PHÂN TÍCH THEO GIÁ TRỊ SUY BIẾN CỦA MỘT MA TRÂN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC-ĐẠI HỌC HUẾ
KHOA TOÁN

--- ---

BÀI NIÊN LUẬN

PHÂN TÍCH THEO GIÁ TRỊ SUY BIẾN
CỦA MỘT MA TRÂN

Giáo viên hướng dẫn : T.S TRẦN ĐÌNH LONG
Học phần
: Thực hành viết niên luận
Sinh viên
: VÕ QUANG HƯNG
: HUỲNH THÁI DƯƠNG
Lớp
: TOÁN K36

Năm học 2015- 2016


PHÂN TÍCH THEO GIÁ TRỊ SUY BIẾN CỦA MỘT MA TRÂN

LỜI NÓI ĐẦU
SVD đã được phát hiện một cách độc lập và tái phát nhiều lần , theo
những ghi chép với sự phát triển ban đầu gồm có :
- Eugenio Beltrami (1835-1899) vào năm 1873 ,
- ME Camille Jordan (1838-1922) vào năm 1875 ,
-James J. Sylvester (1814-1897) vào năm 1889 ,
-L. Autonne vào năm 1913 và

-C. Eckart và G. Young trong năm 1936.

Trang 2


PHÂN TÍCH THEO GIÁ TRỊ SUY BIẾN CỦA MỘT MA TRÂN

Mục lục
Trang bìa…………………………………………………………………………….
Lời nói đầu ……………………………………………………………………………
Nội dung
(-) PHÂN TÍCH GIÁ TRI SUY BIẾN ………………………………………
(-) ẢNH CỦA CÁC ĐƠN VỊ HÌNH CẦU ( MẶT CẦU )………………….
(-) KHOẢNG CÁCH ĐẾN MA TRẬN BẬC THẤP HƠN…………………
(-) PHƯƠNG PHÁP NGHỊCH ĐẢO MOORE-PENROSE………………..
(-) BÀITẬP………………………………………………………………….…

Trang 3


PHÂN TÍCH THEO GIÁ TRỊ SUY BIẾN CỦA MỘT MA TRÂN

NỘI DUNG
I)

PHÂN TÍCH GIÁ TRI SUY BIẾN

Cho A ∈ R m×n có rank = r , có ma trận trực giao
trận đường chéo Dr×r = diag (δ1 , δ 2 , δ 3 ,...., δ r ) . Ta có
 D 0

T
A =U 
÷ V
 0 0 m×n

với

U m×m ,Vn×n

, và một ma

δ1 ≥ δ 2 ≥ δ 3 ≥ ......... ≥ δ r > 0

(I)

Trong đó δ i đgl các giá trị suy biến khác không của A . Khi r < p =
min(m,n) thì A được cộng thêm p-r giá tri suy biến . Phân tích nhân
trong (I) đgl sự phân tích giá trị suy biến của ma trận A và các cột trong
U và V đgl bên trái , bên phải của vector suy biến A , tương ứng .
Từ đây ta phân tích vì sao lại được như vậy
Đối với ma trận A có rank = r , và áp dụng houselolder để rút
gọn một ma trận trực giao B(m×n) bằng cách PA =

 B
 ÷
0

. Trong đó

B có rank = r . Sự rút gọn được áp dụng cho BT có không gian trong

1 ma trận trực giao V(n × n) và 1 ma trận suy biến tam giác trên C
như thế này
VB =
T

 C ( n × n) 

÷
 0 

=> B =

( C T |0)V

=>

 B
 ÷
0

=

 CT

 0

0
÷V
0

Như vậy
C 0
÷ VT
0

 ( n× n )

A= P 0

là 1 nhân tử URV

Trong đó C là ma trân tam giác .
Mục đích phần này là chứng minh rằng C buộc phải la ma trận
đường chéo .
Giả sử
δ1 = A 2 = C 2 và C 2 = Cx 2 cho một số vector x
Như vậy
Trang 4


PHÂN TÍCH THEO GIÁ TRỊ SUY BIẾN CỦA MỘT MA TRÂN

(CT C − λ I ) x = 0 trong đó x 2 =1 và λ = xT C T Cx = δ12
(1)
Tập hợp Y = Cx/ Cx 2 = Cx/ δ1 , và Ry = ( y | Y ) và Rx = ( x | X) , ta được
bộ phản xạ cơ bản có y va x là cột đầu tiên của ma trận và xây dựng
một ma trận unitary có chứa x là cột đầu tiên của nó.
Đặt u = x ± μe1 trong R = I-2 (uu* / u*u) và đảm bảo Rx = ∓μ e1 , vì
vậy nhân trên bên trái của R ( ghi nhớ rằng R2 = I) , và
x = ∓μRe1 = [∓μR]* 1 . Từ đó | ∓μ | = 1, U = ∓μR là một ma trận

unitary với U*1 = x, do đó các cột của U là cơ sở trực chuẩn . ta có
thể suy ra rằng bộ phản xạ là ma trân trực giao .
Ta tiến hành
Y T CY =

X T C T CX λ X T X
=
=0
δ1
δ1

Tương tác với các sự kiện
được
 yT
Ry CRx =  T
Y

và

Y T Cx = δ1Y T y = 0

Y T Cx = Y T (δ1 y) = δ1

Ry = RyT

và

. ta tính toán

 y T Cx y T CX   δ1 0 


÷= 
÷c( x | X ) =  T
÷
T

 Y Cx Y CX   0 C2 

Với δ1 ≥ C2 2 ( bởi vì δ1 = C 2 = max { δ1 , C 2 } .
Lặp đi lặp lại quá trình trên C2 , và tiến hành phản xạ
này :
δ
S y C2 S x =  2
0

Nếu

P2

và

Q2

0
÷
C3 

trong đó

δ 2 ≥ C3

Sx , S y

như thế

2

là các ma trận trực giao , thì ta có

1 0 
1 0 
P2 = 
÷Ry , Q2 = Rx 
÷
 0 Sx 
 0 Sy 

, sau đó

 δ1 0

P2CQ2 =  0 δ 2
0 0


0
÷
0÷
C3 ÷


Trong đó δ1 ≥ δ 2 ≥ C3 2 và tiếp tục cho đến r-1 lần và ma trận trực
giao Pr −1 và Qr −1 , như vậy
Pr −1CQr −1 = diag (δ1 , δ 2 , δ 3 ,..............., δ r ) = D

trong đó

δ1 ≥ δ 2 ≥ .... ≥ δ r

Nếu U T va V là ma trận trực giao thì ta có
Trang 5


PHÂN TÍCH THEO GIÁ TRỊ SUY BIẾN CỦA MỘT MA TRÂN

0 T
P
 Qr −1 0 
U T =  r −1
÷U , V = V 
÷
I
 0 I
 0

, trong đó I la ma trận đơn vị

Sau đó
 D 0
U T AV = 

÷
 0 0

và do đó giá trị suy biến (SVD) được tìm thấy .

Ví dụ
1) Tìm một SVD cho ma trận sau :
 −4 −6 
C =
÷
 3 −8 

Giải
Ta tính được
 25 0  2
CT C = 
÷, δ = 100 , và nó rõ ràng
 0 100 
như thế này (C T C − 100 I ) x = 0 và x 2 = 1 .

rằng

x = e2

là một

vector
Như vậy

Ta thiết lập

u x = x − e1

và

Rx = I − 2

 −3 / 5 
y = Cx / δ1 = 
÷
 −4 / 5 
u y = y − e1 và xây dựng

u xu Tx  0 1 
=
÷
u Tx u x  1 0 

và

Ry = I − 2

 −3 / 5 −4 / 5 
=
÷
u u y  −4 / 5 3 / 5 
u y u Ty
T
y

Như vậy
 10 0 
Ry CRx = 
÷= D
 0 5

. Sau đó ta suy ra được

C = Ry DRx

Vậy ta tìm được 1 SVD của C

II)

ẢNH CỦA CÁC ĐƠN VỊ HÌNH CẦU ( MẶT CẦU )
Trang 6


PHÂN TÍCH THEO GIÁ TRỊ SUY BIẾN CỦA MỘT MA TRÂN

Trong khi các phương pháp xây dựng dùng để lấy SVD có thể
được sử dụng như một thuật toán,. Tuy nhiên, các chi tiếtcủa một
thuật toán SVD thực tế là quá phức tạp để được thảo luận vào thời
điểm này.
Trong thực tế, các thuật toán thực tế để tính SVD là một thực hiện
các lần lặp QR , được khéo léo áp dụng cho AT A , mà không bao giờ
tính toán 1 cách rõ ràng cho AT A .
Giá trị suy biến tiết lộ điều gì đó về hình học của biến đổi tuyến tính
, bởi vì các giá trị suy biến δ1 ≥ δ 2 ≥ δ 3 ≥ ........ ≥ δ n của một ma trận A ,
cho chúng ta biết có thể xảy ra quá trình chuyển đổi bằng A . Họ

làm như vậy bằng cách cho chúng tôi một bức tranh rõ ràng về cách
A là biến dạng các cầu đơn vị. Để phát triển điều này , giả sử rằng
A ∈ R n×n là và để cho S 2 = {X | X 2 = 1} là đơn vị 2- mặt cầu trong R n .
Bản chất của hình ảnh A(S2 ) được tiết lộ bằng cách xem xét sự phân
tích giá trị suy biến của 1 ma trận ,
A = UDV T

và

A−1 = VD −1U T

, trong đó

D = diag (δ1 , δ 2 , δ 3 ,....., δ n )

Trong khi U và V la ma trận trực giao . Đối với mỗi
như vậy y=Ax , vì vậy , với w= U T y , ta có
2

y ∈ A(S2 )

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1 = x 2 = A−1 Ax = A−1 y = VD −1U T y = D −1U T y = D −1w

=

w12 w22 w32
wr2
+
+
+
.....
+
δ12 δ 22 δ 32
δ r2

.

,

x ∈ S2

(II,1)

Điều này có nghĩa rằng U T A(S2 ) là 1 ellipsoid có thứ k của bán trục
có chiều dài δ k . Bởi vì biến đổi trực giao là phép đẳng cự , U T chỉ có
thể ảnh hưởng đến sự định hướng của A (S2), do đó A (S2) cũng là
một ellipsoid ở bán trục thứ k có chiều dài δ k . Hơn nữa, (5.12.3) có
thể hiểu rằng các ellipsoid U T A (S2) là tiêu chuẩn vị trí-tức là , các
trục của nó được đạo diễn cùng các vectơ cơ sở tiêu chuẩn ek . Từ đó
U ánh xạ lên U T A (S2) cho A (S2), và kể từ U e = U*k , sau đó các
trục A (S2) được định hướng cùng bên trái vectơ suy biến và xác
định bởi các cột của U . Vì vậy , những bán trục thứ k của A (S2) là
δ k U *k . Cuối cùng, vì AV = UD có nghĩa là AV*k = δ kU *k , vector suy
k

Trang 7


PHÂN TÍCH THEO GIÁ TRỊ SUY BIẾN CỦA MỘT MA TRÂN

biến bên phải V*k là một điểm trên S2 là ánh xạ tới các vị trí k có độ
dài
vector trên ellipsoid A (S2) . Những hình ảnh trong R3 trông giống
như hình 5.12 .1

Hình 5.12.1

Mức độ biến dạng của hình cầu đơn vị thực hiện chuyển đổi bằng A
là do bởi κ2 = σ1/σn, tỷ lệ giá trị suy biến lớn nhất với giá trị suy
biến nhỏ nhất .

Ta có

max
x 2 =1

Ax 2 = A 2 = UDV T

2

= D 2 = δ1

Và
min Ax 2 =
x 2 =1

1
A−1

=
2

1
VD U T

=

−1

2

1
D −1

= δn
2

Hay nó cách khác , dài nhất hay ngắn nhất trên vector A( S2 ) có độ
−1
−1
dài tương ứng là δ1 = A 2 và δ n = 1/ A 2 , do đó k2 = A 2 A 2 .
Sau đây là bảng tóm tắt nội dung trên :

Trang 8


PHÂN TÍCH THEO GIÁ TRỊ SUY BIẾN CỦA MỘT MA TRÂN

ẢNH CỦA CÁC ĐƠN VỊ HÌNH CẦU (MẶT CẦU)
Đối với 1 ma trận không suy biến An×n có giá trị suy biến
δ1 ≥ δ 2 ≥ δ 3 ≥ ...... ≥ δ n và một SVD A = UDV T với D = diag (δ1 , δ 2 , δ 3 ,..., δ n ) ,
hình ảnh của đơn vị 2 – khối cầu là 1 ellipsoid mà k th bán trục được
cho bởi δ kU*k (xem hình 5.12.1) . Hơn nữa V*k là 1 điểm trên mặt cầu
đơn vị đó , khi đó AV*k = δ kU*k . Đặc biệt ,
δ1 = AV*1 2 = max Ax 2 = A 2
(-)
(II.2)
x =1
2

δn = AV*n n = min Ax 2 =1 / A 2

(-)
(II.3)
x =1
Mức độ biến dạng của hình cầu đơn vị thực hiện chuyển đổi bằng
A , được đo bằng số lượng đăng ký 2-mức :
−1

2

(-)
Chú ý rằng

k2 =
k2 = 1

δ1
= A 2 A−1 ≥ 1
2
δn

(II.4)

khi và chỉ khi A là ma trân trực giao .

Ví dụ
:

(*) Kiểm tra một câu trả lời . Giả sử rằng x là một tính toán
(hoặc gần đúng), giải pháp cho một hệ thống không suy biến Ax = b
:

, và giả sử tính chính xác của x được "kiểm tra" bằng cách tính dư r
:
= b-A x . Nếu r = 0, chính xác,
:
sau đó x phải là giải pháp chính xác. Nhưng nếu r không chính xác
bằng không , r 2 là số không đến t đáng kể chữ số được chúng tôi
:
đảm bảo rằng x đội hình dự kiến chính xác đến khoảng t con số
đáng kể .

Vấn đề:
Đến mức nào kích thước của dư phản ánh chính xác của một
giải pháp gần đúng?
Giải pháp:
:
Để ràng buộc về tính chính xác của x tương đối so với các
:
:
giải pháp chính xác x , viết r = b-A x như A x = b-r, và áp dụng

Trang 9


PHÂN TÍCH THEO GIÁ TRỊ SUY BIẾN CỦA MỘT MA TRÂN
:

κ

−1

e
b

x −x
≤

x

e , trong đó κ = A A−1
≤κ
b

và với e = r để có

được
:

κ

−1

r
b

2
2

≤

x−x

x

≤κ

r
b

2

trong đó κ = A

2

A −1

2

2

Vì vậy, đối với một A có điều kiện , r còn lại là tương đối nhỏ
:
nếu và chỉ nếu x đội hình dự kiến tương đối chính xác. Vì vậy, khi
:
A là có điều kiện xấu , một xấp xỉ rất không chính xác x cần sản
xuất một r dư nhỏ, và và một xấp xỉ rất chính xác có thể sản xuất
một dư lớn.
Kết luận :
Dư là chỉ số đáng tin cậy về độ chính xác chỉ khi A là cũng có
điều kiện , nếu A có điều kiện xấu thì dư gần như vô nghĩa .

III)

KHOẢNG CÁCH ĐẾN MA TRẬN BẬC THẤP HƠN
Trang 10


PHÂN TÍCH THEO GIÁ TRỊ SUY BIẾN CỦA MỘT MA TRÂN

Ngoài việc đo lường sự biến dạng của cầu đơn vị và đánh giá sự
độ nhạy của hệ thống tuyến tính, giá trị suy biến cung cấp một biện
pháp như thế nào gần A là một ma trận các cấp bậc thấp hơn .
Nếu δ1 ≥ δ 2 ≥ δ 3 ≥ ....... ≥ δ r là những giá trị số ít khác không của Am×n ,
sau đó cho mỗi k < r, khoảng cách từ A đến ma trận gần nhất của
bậc k là :
δ k +1 = min A − B 2
(III.1)
rank ( B ) = k
Chứng minh

Giả sử , rank ( Bm×n ) = k , và để cho
với

D = diag (δ1 , δ 2 ,..., δ r )

V = ( Fn×k +1 | G )

. Xác định

 D 0 T
A =U 

÷V là
 0 0
S = diag (δ1 , δ 2 ,..., δ k +1 )

dim N ( BF ) = k + 1 − rank ( BF ) ≥ 1

S 0
0 T

÷V Fx = U  0 *
0
0 0

A − B 2 = max ( A − B ) y 2 , và khi
y 2 =1

đó

Fx 2 = x 2 = 1
k +1

A − B 2 ≥ ( A − B) Fx 2 = Sx 2 = ∑ δ x ≥ δ
2

2

2

i =1

0 T
÷V
0

với

Dk = diag (δ1 ,....., δ k )

, do đó

0  x 
 Sx 
÷ ÷
 ÷
0 ÷ 0 ÷= U  0 ÷
÷
 ÷
0 ÷
 0 
0 

D
AFx = U 
0

D
Bk = U  k
 0

và phân vùng

.

Mặc khác rank ( BF ) ≤ rank ( B) = k ,
x ∈ N ( BF ) với x 2 = 1 .
Thì ta có , BFx = 0 và

Khi đó

một SVD của A

2 2
i i

,
2
k +1

k +1

∑x
i =1

2
i

= δ k2+1

và như thế (III,1) đã được

chứng minh .

Ví dụ
Nhiễu loạn và thuộc số Hạng .Đối A∈ ℜm×n với p = min {m, n},
Cho {δ1 , δ 2 ,....., δ p } và {β1, β2, ..., βp} là tất cả các giá trị suy biến
và cho A và A + E, tương ứng .
Vấn đề : Chứng minh rằng

Trang 11


PHÂN TÍCH THEO GIÁ TRỊ SUY BIẾN CỦA MỘT MA TRÂN

δ k − βk ≤ E

cho mỗi k=1,2,3,……,p

2

Giải pháp: Nếu SVD cho A được đưa ra trong (I) được viết dưới
dạng
p

A =∑δi ui v

T
i

i =1

và nếu chúng ta đặt Ak −1 =

k −1

∑δ u v
i =1

T
1 1 i

Sau đó

δ k = A − Ak −1 2 = A + E − Ak −1 − E 2 ≥ A + E − Ak −1 2 − E

≥ βk − E

2

2

Ghép các dữ liệu lại và quan sát ta thấy

δk =

≤

min

rank ( B ) = k −1

min

rank ( B ) = k −1

A− B 2 =

A+ E − B − E

2

A + E − B 2 + E 2 = βk + E

2

min

rank ( B ) = k −1

để kết luận rằng

δ k − βk ≤ E

IV)

2

PHƯƠNG PHÁP NGHỊCH ĐẢO MOORE-PENROSE
Trang 12

PHÂN TÍCH THEO GIÁ TRỊ SUY BIẾN CỦA MỘT MA TRÂN

Cũng như sự phân hủy tầm nullspace để xác định nghịch đảo Drazin
của một ma trận vuông , một nhân tử URV hoặc một SVD có thể
được sử dụng để xác định một nghịch đảo tổng quát cho các ma trận
chữ nhật. Đối với một phần từ URV
C 0
T
Am×n = U 
÷ V ,
 0 0  m× n

chúng ta xác định

†
m×n

A

 C −1 0 
T
=V 
÷ U
 0 0 n + m

là nghịch đảo Moore-Penrose (hoặc các pseudoinverse) của A. Mặc
dù các yếu tố URV không duy nhất xác định bởi A, nó có thể được
chứng minh rằng A † là duy nhất bằng cách cho rằng A † là giải
pháp duy nhất để bốn phương trình Penrose

AA † A=A
(AA † )T =AA †

A † AA † = A†

(A † A)T =A † A

như vậy A † là ma trận không đổi và được xác định như trên . Vì nó
không quan trọng về việc nhân tử URV được sử dụng , nên chúng
ta có thể sử dụng SVD ở (I) , trong trường hợp này
C = D = diag (δ1 ,........, δ r ) . Một số "inverselike" thuộc tính có
liên quan A † đến giải pháp và nhất là các giải pháp cho hình
vuông , hệ thống tuyến tính được đưa ra trong những điều tóm tắt
sau đây.

Trang 13


PHÂN TÍCH THEO GIÁ TRỊ SUY BIẾN CỦA MỘT MA TRÂN

• Xét về yếu tố URV, các pseudoinverse Moore-Penrose của
 C −1 0  T
 Cr ×r 0  T
†
Am×n = U 
là An×m = V 
(IV.1)
÷U
÷V
0

o
0
0




†
• Khi Ax = b là phù hợp, x = A b là các giải pháp định mức tối thiểu
Euclide.
(IV.2)
†
• Khi Ax = b là không phù hợp , x = A b là hình vuông ít giải pháp
định mức tối thiểu Euclide.
(IV.3)
• Khi một SVD được sử dụng , C = D = diag (δ1 ,........, δ r ) , vì vậy
r
r
 D −1 0  T
(uiT b)
vi uiT
†
†
A =V 
vi
và A b = ∑
(IV.4)
÷U = ∑
δ
0

0
δ
i
=
1
i =1
i


i
Chứng minh
Để chứng minh (IV.2), giả sử Ax0 = b , và thay thế bằng A bởi AA †A
để viết b = Ax0 = AA† Ax0 = AA† b. Theo đó A†b giải quyết Ax=b khi
nó là phù hợp. Để thấy rằng A†b là các giải pháp định mức tối thiểu,
quan sát thấy giải pháp chung là A†b + N (A) , do đó, mỗi giải pháp
có dạng z = A†b + n, khi đó n∈N (A). Nó không khó để thấy rằng
A†b ∈ R ( A† ) = R ( AT ) , như vậy b⊥n. Do đó, theo định lý Pythagore ,
2

2

2

2

2

z 2 = A b+n = A b + n 2 ≥ A b .
†

2

†

2

†

2

Đẳng thức là có thể nếu và chỉ nếu n = 0, do đó A†b là tối thiểu duy
nhất giải pháp định mức . Khi Ax = b là không phù hợp, các giải
pháp bình phương tối thiểu là các giải pháp của phương trình bình
thường AT Ax=AT b , và nó đơn giản để xác minh rằng A†b là một giải
pháp như vậy . Để chứng minh rằng A†b là giải pháp bình phương
tối thiểu của định mức tối thiểu, áp dụng lập luận tương tự được sử
dụng trong các trường hợp phù hợp với các phương trình bình
thường.
Chú ý ! Nghịch đảo tổng quát là hữu ích trong việc xây dựng báo
cáo lý thuyết chẳng hạn như những người ở trên, nhưng, cũng giống
như trong trường hợp của nghịch đảo bình thường, tổng quát
Trang 14


PHÂN TÍCH THEO GIÁ TRỊ SUY BIẾN CỦA MỘT MA TRÂN

ngược là không công cụ tính toán thực tế. Ngoài việc tính toán hiệu
quả, vấn đề nghiêm trọng số kết quả từ thực tế rằng A †nhu cầu
không phải là một hàm liên tục của các mục của A .
Ví dụ như

1
A( x ) =
0

1
0 


÷, >x ≠0.
0
0 1 / x 

†
⇒
A
(
x
)
=

.
÷
x
 1 0 , > x =0. 
÷
 

 0 0 


A ( x) ≠ A (0) ,
Không chỉ là A† x không liên tục trong ý nghĩa rằng lim
x→ 0
nhưng nó là không liên tục trong cách tồi tệ nhất bởi vì như A (x)
đến gần hơn với A (0) nhưng ma trận A† x di chuyển xa A† (0) .
Những hành vi này dịch vào khó khăn không thể vượt qua tính toán
vì những lỗi nhỏ do làm tròn (hoặc bất cứ điều gì khác) có thể tạo ra
những lỗi rất lớn trong việc tính toán A †, và sai sót trong A trở nên
nhỏ hơn các lỗi dẫn đến A † có thể trở nên lớn hơn . Thực tế ma quỷ
cũng đúng đối với nghịch đảo Drazin . Các vấn đề về số vốn có
cùng với thực tế rằng đó là cực kỳ hiếm hoi cho một ứng dụng để
đòi hỏi kiến thức rõ ràng về các mục của A † hoặc AD buộc họ phải
được công cụ lý thuyết hoặc kí hiệu. Nhưng đừng đánh giá thấp vai
trò này .
†

†

Bài tập
Trang 15


PHÂN TÍCH THEO GIÁ TRỊ SUY BIẾN CỦA MỘT MA TRÂN

1)

Nếu δ1 ≥ δ 2 ≥ ..... ≥ δ r là những giá trị số ít khác không của A, sau
đó nó có thể được chỉ ra rằng hàm số ν k ( A) = (δ12 + δ 22 + δ 32 + ...... + δ k2 )1/2
định nghĩa một chuẩn mực bất biến unitarily với ℜm×n ( hoặc C m×n
) cho mỗi k = 1,2, ..., r . Giải thích tại sao 2 - chuẩn mực và tiêu

chuẩn Frobenius là những trường hợp cực đoan trong ý nghĩa
2
2
rằng A 2 = δ12 và A F = δ12 + δ 22 + δ 32 + ...... + δ r2 .

Giải
ν12 ( A) =δ12 = A

2
2

không cần bằng chứng, nó chỉ là

một trình bày lại (II.2) .
2
Thực tế là νr2 ( A) = A F để quan sát số lượng mà
A

2
F

2)

 D2
= trace( A A) = traceV 
 0
T

0 T
2

2
2
2
2
÷V = trace( D ) = δ1 + δ 2 + δ 3 + ... + δ r
0

Chứng minh rằng nếu δ1 ≥ δ 2 ≥ ..... ≥ δ r là những giá trị suy biến
khác không của một ma trân A có cấp bậc r và nếu E 2 < δ r , sau
đó rank (A + E) ≥ rank (A).

Giải
Nếu rank(A+E)=k
E 2 = A − ( A + E ) 2 ≥ min

rank (B) = k

A − B 2 = δ k +1 ≥ δ r

đó là không thể. Do đó rank (A + E) ≥r = rank (A) .

3)

Thiết lập các thuộc tính sau của A † .
a) A† = A−1 trong đó A không suy biến
b) ( A† )† = A
c)

( A† )T = ( AT )†

Trang 16


PHÂN TÍCH THEO GIÁ TRỊ SUY BIẾN CỦA MỘT MA TRÂN

d) A = {
†

( AT A) −1 AT

rank ( Am×n ) = n

AT (AAT ) −1 rank ( Am×n ) = m

e) AT = AT AA† = A† AAT cho tất cả A ∈ℜm×n
f) A† = AT ( AAT )† = ( AT A)† AT cho tất cả A ∈ℜm×n
g) R ( A† ) = R ( AT ) = R (A † A), , và N ( A† ) = N ( AT ) = N ( AA† ) .

Giải
a) Trong khi A không suy biến , U=V=I và R=A , do đó A† = A−1 .
b)

Nếu

A = URV T

được cho trong () , trong đó

C 0

R=
÷
 0 0

, rõ ràng là

(R † ) † = R , và vì thế ( A† )† = (VR † U † )† = U ( R † )† V † = URV T = A
c) Vì R như trên, nó rất dễ dàng để thấy rằng (R † )T = ( RT )† do
đó ,
†

( A† )T = (VR † U † )T = (URV ) = (U T RTV )† = ( AT )†
d)

Khi rank (Am × n) = n, một SVD phải có các hình thức

 Dn×n 
†
−1
T
A = U m×m 
÷I n×n như vậy A = I ( D 0) U
 0m − n×n 
Hơn nữa , AT A = D 2 và ( AT A) −1 AT = I ( D −1 0)U T = A† . các
phần khác là tương tự
e)

 CT
A AA = V 
 0

T

†

0  T  Cr × r
÷U U 
0
 0

0  T  C −1 0  T
T
÷U = A
÷V V 
0
 0 0

Các phần khác là tương tự
f) Sử dụng một SVD viết
 DT
A ( AA ) = V 
 0

 D −1 0  T
0 T
†
÷U = V 
÷U = A
0
 0 0
g) Phân tích nhân URV đảm bảo rằng rank ( A† ) = rank ( A) = rank ( AT )

T

T †

0  T  D −2
÷U U 
0
 0

và một phần (f) gợi ý R( A† ) ⊆ R( AT ) , do đó R( A† ) = R ( AT ) , mặc
khác ta cũng có thể suy ra rằng R ( A† A) = R( AT ) . Các phần khác
cũng tương tự .

Trang 17


PHÂN TÍCH THEO GIÁ TRỊ SUY BIẾN CỦA MỘT MA TRÂN

4)

Chứng minh rằng nếu
không Am×n sau đó

ε < δ r2

( AT A + ε I ) −1

cho giá trị suy biến nhỏ nhất khác
tồn tại , và

lim( AT A + ε I ) −1 AT = A†
ε →0

Giải
 D 0 T
A
=
U
Nếu

÷V là một SVD ,
 0 0
sau đó

2

D
+εI 0  T
T
A A+εI =U 
÷V
εI 
 0

là một SVD

không có giá trị suy biến , vì vậy nó không suy biến .
Hơn nữa,

 ( D 2 + ε I ) −1 D 0  T

 D −1 0  T
†
(A A + ε I) A =U 
÷V → U 
÷V = A
0
0

 0 0
Điều phải chứng minh .
T

−1

T

Trang 18