Hàm số và nội dung dạy học hàm số trong chương trình toán 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

Nguyễn Thị Thắm

HÀM SỐ VÀ NỘI DUNG DẠY HỌC HÀM SỐ
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 10

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Hà Nội - 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

Nguyễn Thị Thắm

HÀM SỐ VÀ NỘI DUNG DẠY HỌC HÀM SỐ
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 10

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học:
ThS. Dương Thị Luyến

Hà Nội - 2018

Lời cảm ơn
Để hoàn thành khóa luận này, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến ThS. Dương Thị Luyến - Người trực tiếp tận tình hướng dẫn,
chỉ bảo và định hướng cho em trong suốt quá trình em làm bài khóa
luận của mình. Đồng thời em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô
trong tổ Đại số và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em
hoàn thành tốt bài khóa luận này để có kết quả như ngày hôm nay.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản
thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những
thiếu sót rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các
bạn sinh viên và bạn đọc.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Thắm


Lời cam đoan
Em xin cam đoan khóa luận này là công trình nghiên cứu của riêng
em dưới sự hướng dẫn của cô ThS. Dương Thị Luyến. Trong khi nghiên
cứu, hoàn thành bản khóa luận này em đã tham khảo một số tài liệu
đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài: “Hàm số và nội dung
dạy học hàm số trong chương trình toán 10" là kết quả của việc
nghiên cứu và nỗ lực học tập của bản thân, không trùng lặp với kết
quả của các đề tài khác. Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Thắm


Mục lục
Mở đầu

2

1 Hàm số trong chương trình toán 10
1.1 Vị trí, vai trò của nội dung hàm số trong chương trình
toán 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Mục tiêu dạy học hàm số trong chương trình lớp 10 . .
1.3 Nội dung dạy học hàm số trong chương trình toán 10 .
1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Các cách cho hàm số . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Đồ thị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Sự biến thiên của hàm số . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Hàm số chẵn, hàm số lẻ . . . . . . . . . . . . .
1.3.6 Sơ lược về tịnh tiến đồ thị song song với trục
tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.7 Hàm số bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.8 Hàm số bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2 Hệ thống hóa bài tập về hàm số trong chương trình
toán 10

2.1 Hệ thống hóa bài tập SGK, SBT, SNC . . . . . . . . .
2.1.1 Dạng 1: Tìm tập xác định và tính giá trị của
hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Dạng 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số . . .
2.1.3 Dạng 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số . . . . . .
2.1.4 Dạng 4: Bài tập về biến đổi đồ thị hàm số . . .
3

6
7
8
8
10
11
12
14
14
16
16

19
19
19
20
22
24


2.2

2.3

2.1.5 Các bài toán về hàm số bậc nhất . . . . . . . .
2.1.6 Các bài toán về hàm số bậc hai . . . . . . . . .
Một số bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Bài toán 1: Xác định m để hàm số đã cho xác
định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Bài toán 2: Tìm tập giá trị của hàm số . . . . .
2.2.3 Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương
trình bằng đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . .
Một số bài toán thực tế . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm
3.1 Mục đích . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Hệ thống bài tập trắc nghiệm (50 câu) .
3.2.1 Đề bài . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Hướng dẫn giải và đáp án . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

25
29

34
34
35
36
39
43
43
43
44
50

Kết luận

58

Tài liệu tham khảo

59

1


Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Hàm số là một trong những khái niệm cơ bản của Toán học, nó giữ
một vị trí quan trọng trong chương trình môn Toán bậc phổ thông.
Do tính chất biểu thị quan hệ biến thiên phụ thuộc lẫn nhau giữa các
đại lượng - một quan hệ phổ biến, phản ánh bản chất của hầu như
mọi hiện tượng khoa học cũng như trong cuộc sống. Hàm số không chỉ
xuất hiện trong Toán học mà còn được sử dụng như một công cụ để

giải quyết các vấn đề của thực tiễn và của nhiều lĩnh vực khác nhau
như vật lí, kinh tế,...
Trong chương trình phổ thông, hàm số xuyên suốt mạch chương
trình và tạo nên sự liên kết chặt chẽ giữa các phân môn toán học
khác. Ở lớp 10, ngoài hàm số bậc nhất, bậc hai học sinh còn được
học cách vẽ đồ thị của hàm số được cho bởi nhiều biểu thức trên các
khoảng rời nhau và rèn luyện kỹ năng đọc đồ thị hàm số. Từ đó vận
dụng để giải quyết các bài toán liên quan. Việc dạy học khái niệm
hàm số cơ bản ở lớp 10 tạo tiền đề quan trọng cho việc nghiên cứu
các vấn đề liên quan ở các lớp cao hơn.
Với mong muốn giúp bản thân cũng như các bạn sinh viên khoa
Toán hiểu sâu hơn về nội dung dạy học hàm số trong chương trình
toán 10 từ đó có thể dạy tốt hơn phần kiến thức này, dưới sự hướng
dẫn của ThS. Dương Thị Luyến em đã nghiên cứu đề tài: “Hàm số
và nội dung dạy học hàm số trong chương trình lớp 10” để
thực hiện khóa luận tốt nghiệp của mình.
2


2. Mục đích nghiên cứu
Khóa luận phân tích chương trình, nội dung dạy học chương Hàm
số bậc nhất và bậc hai ở lớp 10. Từ đó người dạy có được chọn lựa
phương pháp, cách thức dạy học phù hợp để đạt hiệu quả tốt nhất
khi dạy học nội dung hàm số.
3. Đối tượng nghiên cứu
Nội dung dạy học hàm số trong chương trình lớp 10.
4. Phạm vi nghiên cứu
Hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai và các vấn đề liên quan trong
chương trình toán 10.
5. Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu, phân tích sách giáo khoa, sách bài tập,
sách tham khảo.
+ Phương pháp nghiên cứu lí luận.
6. Cấu trúc đề tài
Khóa luận gồm ba chương
Chương 1. “Hàm số trong chương trình toán 10 ”. Chương này khái
quát vị trí, vai trò, đặc biệt là nội dung của dạy học hàm số trong
chương trình lớp 10.
Chương 2. “Hệ thống hóa bài tập về hàm số trong chương trình toán
10 ”. Mục đích của chương này là giới thiệu, phân dạng và nêu phương
pháp giải các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, sách nâng
cao. Ngoài ra còn nêu thêm một số dạng bài tập nâng cao, bài tập
thực tiễn để học sinh có thể luyện tập thêm.
3


Chương 3. “Xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm”. Mục đích của
chương này là đưa ra các bài tập trắc nghiệm để đánh giá học sinh
trên các mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp và vận dụng
cao.

4


Một số kí hiệu và chữ viết tắt
1. TXĐ: tập xác định
2. SGK: sách giáo khoa
3. SBT: sách bài tập
4. SNC: sách nâng cao
5. GTLN: giá trị lớn nhất

6. GTNN: giá trị nhỏ nhất
7. ĐKXĐ: điều kiện xác định

5


Chương 1
Hàm số trong chương trình toán
10
1.1

Vị trí, vai trò của nội dung hàm số trong
chương trình toán 10

Ngay từ những lớp đầu tiên của bậc tiểu học, học sinh đã được làm
quen ngầm với "hàm số". Cụ thể là qua các phép tương ứng đơn giản
như: tương ứng giữa số ghế với số học sinh, tương ứng giữa số bát với
số đũa,... Từ lớp 4, SGK giới thiệu các biểu thức chứa chữ đơn giản,
các bài toán tìm x hay tìm các giá trị của biểu thức. Lên lớp 7, học
sinh được nghiên cứu về các vấn đề cơ bản của hàm số như: định nghĩa
hàm số, đồ thị của hàm số,... Đặc biệt là nghiên cứu các hàm số đơn
a
giản như: y = ax(a = 0), y = . Đến lớp 9, khái niệm hàm số được
x
tìm hiểu với mức độ sâu rộng hơn. Ở đây học sinh được nhắc lại khái
niệm hàm số và bước đầu nghiên cứu tính đồng biến, nghịch biến của
hàm số, xem xét các hàm số y = ax + b(a = 0), y = ax2 (a = 0).
Cho đến lớp 10, học sinh vẫn tiếp tục nghiên cứu thêm về hàm số.
6

Điều này cho thấy vị trí quan trọng của "hàm số" trong Toán học
cũng như trong chương trình giảng dạy toán ở bậc phổ thông. Hàm số
ở lớp 10 được nghiên cứu trong Chương II: Hàm số bậc nhất và hàm
số bậc hai trang 32 SGK Đại số 10 và trang 35 SGK Đại số 10 nâng
cao. Trong chương trình cơ bản, chương này chiếm 8 tiết trong tổng
số 62 tiết của phần Đại số. Còn trong chương trình nâng cao, chương
này chiếm 11 tiết trong tổng số 90 tiết của phần Đại số. Hàm số trong
chương trình lớp 10 được chính xác hóa và bổ sung thêm so với các
lớp dưới. Đây là tiền đề cơ bản để nghiên cứu hàm số ở mức độ cao
hơn, sâu rộng hơn ở các lớp, các bậc học tiếp theo.

1.2

Mục tiêu dạy học hàm số trong chương trình
lớp 10

Mục tiêu của việc dạy học hàm số trong chương II: Hàm số bậc nhất
và hàm số bậc hai là giúp học sinh:
Về kiến thức
∗ Nắm được các khái niệm: Hàm số, đồ thị của hàm số, hàm số đồng
biến, nghịch biến trên một khoảng, hàm số chẵn, lẻ.
∗ Hiểu các phép tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ.
∗ Nắm được sự biến thiên, đồ thị và tính chất của hàm số bậc nhất
và bậc hai.
Về kỹ năng
∗ Biết cách vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất, bậc nhất trên từng khoảng
và hàm số bậc hai.
∗ Nhận biết được sự biến thiên và một vài tính chất của hàm số thông
7

qua đồ thị của nó.
Về thái độ
∗ Học sinh rèn luyện tính cẩn thận, kiên trì và khoa học khi khảo sát,
vẽ đồ thị hàm số.
∗ Học sinh thấy được ý nghĩa và tầm quan trọng của hàm số và đồ
thị trong đời sống.

1.3

Nội dung dạy học hàm số trong chương trình
toán 10

1.3.1

Định nghĩa

Do khái niệm hàm số đã được giới thiệu ở chương trình lớp 7 nên SGK
Đại số 10 trực tiếp đưa ra định nghĩa và ví dụ minh họa:
Định nghĩa 1.1. SGK Đại số 10 trang 32, NXB Giáo dục 2009 định
nghĩa như sau:
"Giả sử có hai đại lượng biến thiên x và y, trong đó x nhận giá trị
thuộc tập số D.
Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương
ứng của y thuộc tập số thực R thì ta có một hàm số.
Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x.
Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số."
Định nghĩa 1.2. SGK Đại số 10 nâng cao trang 35, NXB Giáo dục
2015 định nghĩa như sau:

"Cho một tập hợp khác rỗng D ⊂ R.
Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x
8


thuộc D với một và chỉ một số, kí hiệu là f (x); số f (x) đó gọi là giá
trị của hàm số f tại x.
Tập D gọi là tập xác định (hay miền xác định), x gọi là biến số
hay đối số của hàm số f ".
Nhận xét 1.1. Ở đây khái niệm hàm số được chính xác hóa thêm
một bước. Cụ thể là đưa vào khái niệm tập xác định của hàm số; coi
hàm số là một quy tắc, nhờ đó mỗi giá trị của x thuộc tập xác định
đều tương ứng với một số thực y duy nhất.
Sau khi định nghĩa SGK Đại số 10 nâng cao còn trình bày thêm:
"Để chỉ rõ kí hiệu biến số, ta viết y = f (x), hay đầy đủ hơn là:
f :D→R
x → y = f (x)”.
Nhận xét 1.2. So sánh với định nghĩa hàm số tổng quát được trình
bày ở trang 58 Đại số sơ cấp, Hoàng Kì, NXB Giáo dục 2000:
Giả sử M và N là hai tập hợp các phần tử tùy ý. Nếu bằng một quy
luật f ta cho ứng với mỗi phần tử x ∈ M với một phần tử duy nhất
y ∈ N thì ta nói rằng đã cho "hàm" (hay "ánh xạ" từ M vào N ):
y = f (x)
Các phần tử x ∈ M được gọi là các giá trị của đối, các phần tử
tương ứng y ∈ N được gọi là các giá trị của hàm. Tập M được gọi
là miền xác định của f hay tập các giá trị thừa nhận được của
đối. Tập các giá trị y = f (x) tương ứng được gọi là miền giá trị của
hàm".
9

Trong khái niệm này, M và N là hai tập hợp số bất kỳ (thường là
Q, R, C). Còn trong khái niệm hàm số ở lớp 10 hàm f : M ⊆ R −→
N ⊆ R. Nói chung khái niệm hàm số tổng quát được mở rộng hơn.
Ví dụ 1.3.1. (Trang 35 SGK Đại số 10 nâng cao)
Trích bảng thông báo lãi suất tiết kiệm của một ngân hàng:
Loại kỳ hạn(tháng) VND (%/ năm) lãi cuối kì, áp dụng từ 08-11-2005
1

6,60

2

7,56

3

8,28

6

8,52

9

8,88

12

9,00

Bảng trên cho ta quy tắc để tìm số phần trăm lãi suất s tùy theo loại
kì hạn k tháng, kí hiệu quy tắc ấy là f . Ta có hàm số s = f (k) xác
định trên tập T = {1; 2; 3; 6; 9; 12}.
Nhận xét 1.3. Ví dụ này tuy có tính khái quát chưa cao nhưng lại
gần gũi với học sinh. Ví dụ này chỉ nhằm làm cho học sinh hiểu tại
sao lại định nghĩa hàm số như là một quy tắc và hiểu thế nào là tập
xác định của hàm số.
1.3.2

Các cách cho hàm số

SGK Đại số 10 đề cập đến 3 cách thường dùng để cho một hàm số:
cho bằng bảng, cho bằng biểu đồ và cho bằng biểu thức. Tuy nhiên
trong thực tiễn ta vẫn gặp những hàm số được cho bằng đồ thị.
Hai cách đầu thường thấy trong các tình huống thực tế nhưng việc
10


phân tích để hiểu cách diễn tả hàm số bằng đồ thị và bằng biểu thức
(kể cả khi được cho bằng các biểu thức khác nhau trên các tập con
khác nhau của R ) mới là yêu cầu của chương này.
SGK Đại số 10 nâng cao chỉ giới thiệu cách cho hàm số bằng công
thức, nghĩa là sau này khi nghiên cứu hàm số và các tính chất của nó
ta chủ yếu xem xét hàm số được cho bằng công thức. Tránh hiểu lầm
rằng hàm số chỉ được cho bằng một cách này.
Trong mục này, SGK đưa ra các ví dụ thực tế về hàm số và qua đó
củng cố lại khái niệm TXĐ, khái niệm giá trị của hàm số. Sau đó đưa
ra quy ước khi cho hàm số bằng công thức mà không chỉ rõ TXĐ của
nó. SGK Đại số 10 trang 34 trình bày: "Tập xác định của hàm số

y = f (x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f (x) có
nghĩa".
1.3.3

Đồ thị của hàm số

Học sinh đã được học khái niệm đồ thị hàm số từ lớp 7 do đó chương
trình lớp 10 chỉ trình bày lại định nghĩa và minh họa bằng một số ví
dụ.
Định nghĩa 1.3. Sách giáo khoa Đại số 10 trang 34 định nghĩa như
sau:
"Đồ thị của hàm số y = f (x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả
các điểm M(x,f (x)) trên mặt phẳng tọa độ với mọi x thuộc D".
Nhận xét 1.4. Với tư tưởng từ trực quan sinh động đến tư duy trừu
tượng, đồ thị được xem là phương tiện chủ yếu để khảo sát hàm số.
Mặc dù không tuyệt đối chính xác nhưng từ đồ thị của một hàm số ta
11


có thể nhận biết được nhiều tính chất của hàm số đó. Từ đó áp dụng
để giải các bài toán liên quan.
Hoạt động 7 trang 35 SGK Đại số 10 và ví dụ 2 trang 37 SGK Đại
số 10 nâng cao bước đầu giúp cho học sinh rèn luyện kĩ năng đọc đồ
thị.
1.3.4

Sự biến thiên của hàm số

Sự biến thiên của hàm số là một trong những nội dung quan trọng
nhất của việc khảo sát hàm số. Ở lớp 9 học sinh đã được học về khái

niệm hàm số đồng biến, nghịch biến. SGK Đại số 10 tiếp tục nhắc lại
và giới thiệu thêm các thuật ngữ mới như "sự biến thiên" và "bảng
biến thiên".
SGK Đại số 10 nhắc lại khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến
thông qua những nhận xét trực quan về đồ thị hàm số y = x2 trên
các khoảng (−∞; 0) và (0; +∞).
Khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến được trình bày theo 2 cách
diễn đạt:
Cách 1:
Cho hàm số f xác định trên K
Hàm số f gọi là đồng biến (hay tăng) trên khoảng K nếu:
∀x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )
Hàm số f gọi là nghịch biến (hay giảm) trên khoảng K nếu:
∀x1 , x2 ∈ K: x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ).
Cách 2:
Hàm số f đồng biến trên K khi và chỉ khi
12


f (x2 ) − f (x1 )
> 0.
x2 − x1
Hàm số f nghịch biến trên K khi và chỉ khi
f (x2 ) − f (x1 )
∀x1 , x2 ∈ K và x1 = x2 ,
< 0.
x2 − x1
SGK Đại số 10 chỉ trình bày theo cách 1 còn SGK Đại số 10 nâng cao
∀x1 , x2 ∈ K và x1 = x2 ,

trình bày theo cả hai cách.
Hoạt động 3 SGK Đại số 10 nâng cao trang 38 dùng để củng cố khái
niệm và tạo kĩ năng nhận biết tính tăng, giảm của đồ thị hàm số.
Khảo sát sự biến thiên của hàm số
Khảo sát sự biến thiên của hàm số là xét xem hàm số đồng biến,
nghịch biến, không đổi trên các khoảng (nửa khoảng hay đoạn) nào
trong tập xác định của nó.
Như vậy để khảo sát sự biến thiên của hàm số f trên K, ta có thể xét
f (x2 ) − f (x1 )
trên K.
dấu của tỉ số
x2 − x1
Kết quả khảo sát sự biến thiên của một hàm số thường được ghi lại
bằng cách lập bảng biên thiên của nó.
Nhìn vào bảng biến thiên ta sơ bộ hình dung được đồ thị hàm số (đi
lên trong khoảng nào, đi xuống trong khoảng nào).
Ở lớp 10 chưa có công cụ giải tích nên SGK chỉ yêu cầu chứng minh
sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên những khoảng, nửa khoảng
hoặc đoạn cho trước và đối với những hàm số đơn giản.
Hoạt động 4 SGK Đại số 10 nâng cao trang 40 đã hoàn chỉnh kết quả
khảo sát biến thiên hàm số y = ax2 . Điều này giúp học sinh vừa ôn
tập và chứng minh những điều đã học ở lớp dưới, vừa để chuẩn bị cho
những bài học sau này.

13


1.3.5

Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Tính chất chẵn - lẻ của hàm số là một trong những tính chất đặc biệt
và dễ nhận thấy mà ta có thể tận dụng nó để giải các bài toán liên
quan đến khảo sát hàm số hoặc vẽ đồ thị hàm số một cách dễ dàng
hơn. SGK đã đưa ra khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ và cho ví dụ
minh họa:
Định nghĩa 1.4. SGK Đại số 10 trang 38 định nghĩa:
"Hàm số y = f (x) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu
∀x ∈ D thì −x ∈ D và f (−x) = f (x).
Hàm số y = f (x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu
∀x ∈ D thì −x ∈ D và f (−x) = −f (x)".
Ví dụ 1.3.2. Hàm số y = x2 là hàm số chẵn
Hàm số y = x là hàm số lẻ.
SGK Đại số 10 nâng cao trình bày chứng minh rồi đưa ra nội dung
định lý về đồ thị hàm số chẵn, hàm số lẻ:
Định lý 1.1. Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối
xứng. Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
Hoạt động 6 SGK Đại số 10 nâng cao trang 42 giúp học sinh hình
thành kĩ năng nhận biết tính chẵn - lẻ và sự biến thiên của đồ thị qua
hàm số.
1.3.6

Sơ lược về tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ

Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao chỉ trình bày sơ lược và rất trực giác
về phép tịnh tiến song song nhằm hỗ trợ cho việc trình bày đồ thị hàm
14


số y = ax2 + bx + c(a = 0) thông qua đồ thị hàm số y = ax2 (a = 0).

Ngoài ra, trong phần đọc thêm ở trang 52 có giới thiệu thêm về phép
tịnh tiến hệ tọa độ để học sinh tham khảo.
Tịnh tiến một điểm
Trong mặt phẳng tọa độ , xét điểm M0 (x0 , y0 ). Với số k > 0 đã cho,
ta có thể dịch chuyển điểm M0 :
– Lên trên hoặc xuống dưới (theo phương của trục tung) k đơn vị;
– Sang trái hoặc sang phải (theo phương của trục hoành) k đơn vị.
Khi dịch chuyển M0 như thế, ta còn nói rằng tịnh tiến điểm M0 song
song với trục tọa độ.
Tịnh tiến một đồ thị
Trang 43 SGK Đại số 10 nâng cao trình bày định lý:
Định lý 1.2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đồ thị (G) của hàm
số y = f (x); p và q là hai số dương tùy ý. Khi đó:
∗Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị của hàm số y =
f (x) + q.
∗Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị của hàm só y =
f (x) − q.
∗Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị của hàm số y =
f (x + p).
∗Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị của hàm số y =
f (x − p).
Nhận xét 1.5. Định lý này là kết quả tổng quát về mối quan hệ giữa
các hàm số mà đồ thị của hàm số này thu được bằng cách tịnh tiến đồ
thị của hàm số kia. Đây là sự chuẩn bị cho các bài học sau, nhất là
15


bài học về hàm số bậc hai.
1.3.7

Hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất và đồ thị của nó là những vấn đề mà học sinh đã
được học khá đầy đủ ở lớp dưới. SGK Đại số 10 trang 39 trình bày
theo đúng lược đồ khảo sát hàm số. Đó là TXĐ, chiều biến thiên,
bảng biến thiên và đồ thị. Ngoài ra còn giới thiệu thêm về hàm số
hằng y = b và hàm số y = |x|.
Còn nội dung chủ yếu của SGK Đại số 10 nâng cao trong phần này là
vẽ đồ thị và khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số dạng y = |ax + b|
và hàm số bậc nhất trên từng khoảng, các vấn đề về đường thẳng hầu
như chỉ là ôn tập.
Chú ý: Khi vẽ đường thẳng cần lưu ý:
• Muốn vẽ chính xác đường thẳng nên xác định 2 điểm không quá
gần nhau của đường thẳng. Có thể lấy thêm điểm khác nếu cần thiết.
• Người ta thường vẽ đồ thị hàm số bậc nhất trên từng khoảng bằng
cách vẽ từng đoạn thẳng hoặc từng tia. Đối với hàm số có dạng y =
|ax + b|, ta có thể vẽ hai đường thẳng y = ±(ax + b) rồi xóa đi phần
đường thẳng nằm bên dưới trục hoành.
1.3.8

Hàm số bậc hai

• Đồ thị của hàm số bậc hai:
SGK Đại số 10 trình bày về đồ thị hàm số bậc hai dựa vào đồ thị hàm
số y = ax2 bằng một số phép "dịch chuyển" trên mặt phẳng tọa độ.
Còn SGK Đại số 10 nâng cao sử dụng phép tịnh tiến đồ thị được học
16


ở bài trước để vẽ đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c một cách rõ ràng

và cụ thể hơn. Việc sử dụng phép tịnh tiến ở đây cho ta thấy được
một cách thuyết phục mối quan hệ giữa các hàm số bậc hai với hàm
số y = ax2 đã được học ở lớp dưới.
SGK Đại số 10 trang 44 đưa ra cách vẽ parabol y = ax2 +bx+c, (a = 0)
theo 4 bước:
−b −∆
"1) Xác định tọa độ của đỉnh I( ;
)
2a 4a
−b
2) Vẽ trục đối xứng x =
.
2a
3) Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung (điểm (0;
c)) và trục hoành (nếu có).
4) Vẽ parabol".
Qua đây, khi vẽ đồ thị hàm số bậc hai ta cần chú ý đến 3 yếu tố: đỉnh
parabol, trục đối xứng, hướng của bề lõm (hướng lên trên khi a > 0,
xuống dưới khi a < 0).
• Chiều biến thiên của hàm số bậc hai:
Chiều biến thiên của đồ thị hàm số bậc hai được rút ra một cách trực
giác từ đồ thị của nó và được khái quát thành định lý.
SGK Đại số 10 trang 45 trình bày:
" Dựa vào đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a = 0), ta có bảng
biến thiên của nó trong hai trường hợp a > 0 và a < 0 như sau:

17


Từ đó ta có định lý dưới đây

Định lý: ∗ Nếu a > 0 thì hàm số y = ax2 + bx + c
−b
Nghịch biến trên khoảng (−∞;
)
2a
−b
Đồng biến trên khoảng ( ; +∞).
2a
∗ Nếu a < 0 thì hàm số y = ax2 + bx + c
−b
Đồng biến trên khoảng (−∞;
)
2a
−b
Nghịch biến trên khoảng ( ; +∞)".
2a
Bài đọc thêm trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao giới thiệu thêm về
đồ thị hàm số có dạng y = ax2 + y0 , y = a(x + x0 )2 và trình bày
chi tiết phép tịnh tiến đồ thị hàm số y = ax2 thành đồ thị hàm số
y = ax2 + bx + c để học sinh tham khảo.

*************
Trên đây là những nội dung kiến thức về hàm số được SGK đưa
vào để giảng dạy cho học sinh. Qua sự phân tích trên, ta có một số
nhận định sau:
∗ Nội dung dạy học hàm số ở toán 10 bao gồm: Đại cương về hàm
số (khái niệm, đồ thị, sự biến thiên của hàm số, hàm số chẵn, hàm số
lẻ, phép tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ), hàm số bậc nhất,
hàm số bậc hai.
∗ Các nội dung về hàm số như: khảo sát, vẽ đồ thị,... tiếp tục được

trang bị cho học sinh trong chương trình toán 11, 12.

18


Chương 2
Hệ thống hóa bài tập về hàm số
trong chương trình toán 10
2.1
2.1.1

Hệ thống hóa bài tập SGK, SBT, SNC
Dạng 1: Tìm tập xác định và tính giá trị của hàm số
tại một điểm

• Phương pháp giải:
1)Tìm TXĐ D của hàm số y = f (x) là tìm tập hợp tất cả các giá trị
của biến số x sao cho f (x) xác định.
ĐKXĐ của một số hàm số thường gặp:
u(x)
∗ y=
xác định ⇔ v(x) = 0
v(x)
∗ y = 2n u(x) xác định ⇔ u(x) ≥ 0
u(x)
xác định ⇔ v(x) > 0
∗ y=
v(x)



u(x) = 0
Chú ý: u(x).v(x) = 0 ⇔

v(x) = 0
2)Tính giá trị của hàm số y = f (x) tại x = a:

19


Nếu a ∈
/ D thì không tồn tại f (a)
Nếu a ∈ D thì tồn tại duy nhất f (a).
• Dạng bài tập này bao gồm các bài tập:
Bài 1, 2 trang 38; bài 1, 8, 13 trang 50, 51 SGK Đại số 10.
Bài 1, 2 trang 44; bài 9, 10 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao.
Bài 1, 2, 3, 4 trang 28, 29; bài 20 trang 41 SBT Đại số 10.
Bài 2.1, 2.1, 2.3, 2.4 trang 29, 30 SBT Đại số 10 nâng cao.
Ví dụ 2.1.1. (Bài 2.4 T30 SBT Đại số 10 nâng cao)
√
Cho hàm số y = x2 + x − 1
a)Tìm tập xác định của hàm số
b) Dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của f (4),
√
f ( 2), f (π) chính xác đến hàng phần trăm.
Lời giải. a) Ta có :
y = x2 +

√

x − 1 xác định ⇔ x − 1 ≥ 0

⇔x≥1

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = [1; +∞)
√
b) f (4) = 42 + 3 ≈ 17, 73
√
√
f ( 2) = 2 +
2 − 1 ≈ 2, 64
√
f (π) = π 2 + π − 1 ≈ 11, 33.
2.1.2

Dạng 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số

• Phương pháp giải: Cho hàm số f xác định trên D. Khi đó:
∗ y = f (x) đồng biến trên D
⇔ ∀x1 , x2 ∈ D : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )
20