SKKN cuc tri THCS 2018

Phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số và ứng dụng

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ VÀ ỨNG
DỤNG
I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
1. Lý do chọn đề tài.
a. Cơ sở lý luận:
Theo định hướng đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay đã được
xác định là: “Phương pháp dạy học toán trong nhà trường phải phát huy tính tính cực , tự
giác, chủ động của người học , hình thành và phát triển năng lực tự học, trau dồi các phẩm
chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy”. Theo định hướng dạy học này GV là người
thiết kế, tổ chức, hướng dẫn, điều khiển quá trình học tập còn HS là chủ thể nhận thức, biết
cách tự học, tự rèn luyện, từ đó hình thành và phát triển nhân cách, năng lực cần thiết của
người lao động theo những mục tiêu mới đã đề ra.
Tính tích cực học tập biểu hiện ở những dấu hiệu như : hăng hái trả lời các câu hỏi của
giáo viên , bổ sung các câu trả lời của bạn ; mạnh dạn phát biểu những ý kiến của mình
trước những vấn đề nêu ra , nêu những thắc mắc của bản thân , đòi hỏi phải giải thích cặn
kẻ những vấn đề chưa rõ , chủ động vận dụng những kiến thức và kỹ năng đã học để nhận
thức vấn đề mới , tập trung chú ý vào vấn đề đang học , kiên trì hoàn thành các bài tập ,
không nản chí trước những tình huống khó khăn …
Tính tích cực học tập đạt những cấp độ từ thấp đến cao như :
+Bắt chước và gắng sức làm theo những các mẫu hành động của thầy, của bạn .
+ Tìm tòi , độc lập giải quyết những vấn đề nêu ra , tìm kiếm các cách giải quyết
khác nhau của một vấn đề …
+ Sáng tạo , tìm ra cách giải quyết mới , độc đáo , hữu hiệu …
Kinh nghiệm dạy học giúp ta khẳng định rằng việc học tập toán ở nhà trường phổ
thông sẽ thực sự hứng thú và đạt kết quả cao nếu học sinh được hướng dẫn để biết cách
độc lập giải quyết , nắm bắt thật vững vàng và sáng tạo lại những kiến thức đã học . Để đạt
được điều đó , còn có nhiều vấn đề đặt ra đòi hỏi những giáo viên đứng lớp nói chung ,
giáo viên giảng dạy môn Toán nói riêng cần đầu tư và thực sự quan tâm để tìm ra hướng đi

thích hợp , biết chọn lọc những kiến thức tiêu biểu kết hợp với phương pháp dạy học tích
cực , thật sự phù hợp với đối tượng học sinh của mình nhằm đạt được kết quả cao nhất về
dạy và học.
b. Cơ sở thực tiễn:
Bản thân tôi là giáo viên vào ngành hơn 1 năm. Trong những năm qua tôi được
phân công giảng dạy môn toán ở nhiều khối lớp . Tham gia dạy bồi dưỡng học sinh giỏi
của trường. Tôi nhận thấy học sinh còn nhiều vướng mắc khi giải dạng toán tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Điều đó dẫn đến chất lượng bộ môn toán khi học sinh
tham gia các cuộc thi toán cấp trường, cấp huyện kết quả chưa cao. Để đáp ứng được nhu
cầu học tập của học sinh khá, giỏi, cải thiện chất lượng bộ môn khi tham gia các cuộc thi,
ngoài phương pháp truyền thụ người thầy phải nắm bắt được kiến thức một cách nhuần
nhuyễn. Đó chính là lý do tôi đưa ra đề tài này.
2. Mục đích nghiên cứu đề tài:
Nếu đề tài nghiên cứu thành công sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên
trong việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi. Với học sinh rèn luyện kỹ năng linh hoạt
khi tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức. Giúp các em biết cách làm các bài
toán liên quan đến bài toán đã học không chỉ riêng đối với bài toán trong đề tài này mà
GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức

Trang 1


Phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số và ứng dụng

còn cho tất cả các bài toán khác trong chương trình học. Giúp học sinh khắc phục tình
trạng thiếu tự tin, bế tắc khi giải bài tập dạng này.
Mục đích của đề tài là phục vụ cho công tác dạy học toán ở THCS, bồi dưỡng
cho học sinh giỏi và làm tài liệu cho học sinh học tập.
Nhằm giúp học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về dạng toán “giải bài toán bằng
cách lập phương trình” để mỗi học sinh sau khi học xong chương trình toán THCS đều

phải nắm chắc loại toán này và biết cách giải chúng.
Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài toán dưới dạng đặc thù
riêng lẻ. Mặt khác cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy được
khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo được lòng say mê, sáng
tạo, ngày càng tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng đối với việc giải bài toán bằng cách lập
phương trình.
Giúp giáo viên tìm ra phương pháp dạy phù hợp với mọi đối tượng học sinh làm
cho học sinh hứng thú khi học môn Toán.
Học sinh thấy được môn toán rất gần gũi với các môn học khác và thực tiễn cuộc
sống.
3. Đối tượng nghiên cứu.
Cơ sở thực hành đối tượng học sinh trường THCS Hoài Đức năm học: 2015 - 2016
4. Phương pháp nghiên cứu:
Thông qua thực tế giảng dạy cũng như việc bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường.
Nghiên cứu tài liệu (SGK-Sách tham khảo – các đề thi…).
Vận dụng thực hành trong giảng dạy.
So sánh, tổng kết, rút kinh nghiệm.
5. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu:
Viết sáng kiến kinh nghiệm từ tháng 10/ 2015. Hoàn thiện vào tháng 12/2016.
II. NỘI DUNG:
1. Cơ sở lý luận có tính định hướng cho việc nghiên cứu, tìm giải pháp của đề tài.
Dạng toán cực trị là một trong những mảng kiến thức hay và khó của toán học
phổ thông. Để giải toán cực trị, người học toán hiểu kĩ và sâu sắc hơn về các phương
pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức. Đối với học sinh muốn giải
được đòi hỏi phải được trang bị kiến thức tốt và phương pháp giải hợp lí.
2. Thực trạng của vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp mới để giải quyết .
Trong quá trình giảng dạy tại trường THCS tôi nhận thấy kiến thức về tìm cực trị
(hay tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức) là nội dung cơ bản cho việc bồi
dưỡng học sinh khá, giỏi. Nội dung này học sinh chỉ được tiếp cận trong chương trình
thông qua các bài tập đơn lẻ, rời rạc chứ không được lĩnh hội kiến thức cũng như kĩ năng

một cách có hệ thống. Một số ít học sinh nắm và vận dụng được khi gặp dạng toán này.
Xuất phát từ vấn đề thực tiễn đã nêu nên tôi quyết định chọn đề tài “Phương pháp
giải một số dạng toán cực trị đại số và ứng dụng trong chương trình toán THCS” để
giúp học sinh củng cố và nâng cao kiến thức, qua đó tạo nguồn học sinh tham gia đội
tuyển học sinh giỏi các cấp, thi tuyển vào 10, đồng thời giúp cho giáo viên có thêm tài
liệu tham khảo bổ ích trong giảng dạy.
3. Mô tả giải pháp của đề tài.
* Thuyết minh tính mới: Tính mới của đề tài là: Đưa ra một số phương pháp giải dạng
toán cực trị đại số.
3.1 Mô tả tình trạng, sự việc hiện tại:
* Khi giảng dạy chuyên đề cực trị, giáo viên thường trang bị cho học sinh định nghĩa mở
đầu sau : Cho biểu thức f(x,y,…)xác định trên miền D. Ta nói:
GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức

Trang 2


Phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số và ứng dụng

a/ M là GTLN của f(x,y,…) trên D nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:
- Với mọi x,y,… thuộc D thì f(x,y,…)≤ M , với M là hằng số.
- Tồn tại xo,yo,… thuộc D sao cho f(xo,yo,…) = M.
b/ m là GTNN của f(x,y,…) trên D nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:
- Với mọi x,y,… thuộc D thì f(x,y,…)≥ m , với m là hằng số.
- Tồn tại xo,yo,… thuộc D sao cho f(xo,yo,…) = m
* Tuy vậy, qua thực tế giảng dạy chúng tôi nhận thấy học sinh thường không vận dụng
đúng định nghĩa vào việc tìm cực trị của một biểu thức và hay mắc một số sai lầm sau:
1/ Với những bài toán tìm cực trị của biểu thức có điều kiện ràng buộc đối với các biến,
học sinh thường kết luận GTLN , GTNN của biểu thức mà không để ý đến điều kiện ràng
buộc đó:

Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = x2 – 3x + 5 với x ≥ 2
2

9
9 
3  11 11
HS giải: A = x – 3x + 5 = (x – 3x + )+ 5 - =  x − ÷ + ≥
4
4 
4
2
4
11
3
Vậy min A =
khi x =
4
2
3
Phân tích sai lầm: x = không thỏa mãn điều kiện x ≥ 2
2
2
2
3  11
3  11


Lời giải đúng: A =  x − ÷ + A =  x −  +
2
4

2
4


2

2

2

2

3 1
3
1


Với x ≥ 2 thì  x − ÷ ≥ ⇒ A ≥ 3  x −  ≥ ⇒ A ≥ 3
2
4
2
4



Vậy min A = 3 khi x = 2.
2/ Khi tìm cực trị của biểu thức f(x,y,…) bằng cách biến đổi f(x,y,…)≥g(x,y,…) ≥m hoặc
f(x,y,…)≤g(x,y,…)≤M , học sinh thường không quan tâm đến sự xảy ra đồng thời của các
dấu bằng có trong các bất đẳng thức:
Ví dụ 2: Tìm GTNN của f(x,y) = 4x2 + 4y2 – 4xy – 3x

HS giải: f(x,y) = x2 – 4xy + 4y2 + 2x2 – 4x + 2 + x2 + x – 2
= (x – 2y)2 + 2(x - 1)2 + x2 + x – 2 ≥ x2 + x – 2 ∀x (1)
2

1
1 9
9

Vì g(x) = x + x – 2 =  x + ÷ − ≥ −
(2) khi x = 2
2 4
4

9
1
1
Nên f(x,y) có GTNN là - khi x = - và x - 2y = 0 ⇒ y= 4
2
4
2

Phân tích sai lầm: Dấu bằng xảy ra ở (1) khi x = 2y và x = 1
Dấu bằng xảy ra ở (2) khi x = -

1
2

Hai dấu “=” xảy ra không đồng thời nên GTNN của g(x) không phải là GTNN của
f(x,y). Vậy theo cách trên không tìm được GTNN của f(x,y).
Lời giải đúng: f(x,y) = 4x2 + 4y2 – 4xy – 3x = 4y2 – 4xy + x2 + 3(x2 - x)



1

2

3

3

= (2y - x)2 + 3  x − ÷ ≥ 4
4
2

1
x
1
,y= =
2
2
4
3
1
1
Vậy GTNN của f(x,y) là - khi x = , y =
4
2
4

Đẳng thức xảy ra khi x =

GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức

Trang 3


Phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số và ứng dụng

3/ Khi HS chứng minh được f(x,y,…) ≥ g(x,y,…) hoặc f(x,y,…) ≤ g(x,y,…), thấy thuận lợi
đã vội vàng kết luận GTNN, GTLN trong khi chưa chứng minh được f(x,y,…)≥ m hoặc
f(x,y,…)≤ M.
Ví dụ 3: Tìm GTNN của A = x2 + y2 biết x + y = 4.
HS giải: Ta có A = x2 + y2 ≥ 2xy.
Do đó A nhỏ nhất ⇔ x2 + y2 = 2xy ⇔ x = y = 2 (do x + y = 4)
Khi đó min A = 22 + 22 = 8
Phân tích sai lầm: Kết quả tuy không sai nhưng lập luận mắc sai lầm. Học sinh chỉ mới
chứng minh được f(x,y)≥g(x,y) chứ chưa chứng minh được f(x,y,…)≥ m với m là hằng
số.
Lời giải đúng: Ta có x + y = 4 ⇒ x2 + 2xy + y2 = 16
(1)
2
2
2
Ta lại có (x - y) ≥ 0 ∀x,y ⇒ x - 2xy + y ≥ 0
(2)
2
2
2
2
Từ (1) và (2): 2(x + y ) ≥ 16 ⇒ x + y ≥ 8

Vậy min A = 8 ⇔ x = y = 2
4/ Khi tìm cực trị của một phân thức mà tử thức và mẫu thức không phải là luôn dương.
HS thường máy móc áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên.
Ví dụ 4: Với giá trị nào của x thì A =

(

)

(

1

x 1− x

)

đạt giá trị nhỏ nhất.

x 1 − x đạt giá trị lớn nhất.

HS giải: A nhỏ nhất khi

1 1
 2
x , ta có : t(1-t) = - t2 + t = - (t2 – t) = -  t − t + − ÷
4 4

2
 1  1 

= −  t − ÷ −  với t > 0 và t ≠ 1
 2  4 
2
 1  2 1 
1 1

Ta thấy −  t − ÷ −  lớn nhất khi  t − ÷ − nhỏ nhất, khi đó
 2 4
 2  4 
1
1
1
1
t = hay x = ⇒ x = ; A = 4. Vậy min A = 4 khi x = .
2
2
4
4

Đặt t =

Phân tích sai lầm: Với x > 0 và x ≠ 1 thì mẫu thức của A không phải luôn dương, do

(

)

đó ta không lý luận được “A nhỏ nhất khi x 1 − x đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải đúng: A không có GTNN.
Thật vậy, vì A < 0 ⇔ x > 1 nên giả sử A có GTNN tại x = xo thì xo >1.

Khi đó : xét xo > x1>1 thì

(

)

(

xo + x1 > 1 ⇒ xo2 − x12 > xo − x1 ⇒

)

xo 1 − xo < x1 1 − x1 < 0 ⇒

(

1

xo 1 − xo

)

>

(

1

x1 1 − x1

)

⇒ A(x ) > A(x )
o
1

Điều này mâu thuẫn với giả thiết A(xo) là GTNN của A.
Vậy A không có GTNN.
5/ Thiếu linh hoạt và sáng tạo trong quá trình biến đổi, áp dụng các bất đẳng thức một
cách cứng nhắc và máy móc dẫn đến bế tắc trong quá trình tìm cực trị của một biểu thức,
chẳng hạn chứng tỏ được f(x,y,…)≤ M hoặc f(x,y,…)≥ m (M,m ∈ R ) song không tồn tại
các bộ giá trị (xo,yo,…) sao cho f(xo,yo,…)=M hoặc f(xo,yo,…)=m

GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức

Trang 4


Phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số và ứng dụng
 1
 1
Ví dụ 5: Tìm GTNN của B = ( 1 + x ) 1 + ÷+ ( 1 + y ) 1 + ÷ trong đó x,y là các số dương
y
 x


thỏa mãn x2 + y2 = 1.


x  1

y
1 
1  x y



 

 
 

1
x y
1
Vì x,y > 0 nên x + ≥ 2 , y + ≥ 2 , + ≥ 2 (Bất đẳng thức về tổng hai số nghịch đảo).
y
y x
x
1

HS giải: B =  1 + + x + ÷+ 1 + + y + ÷ = 2 +  x + ÷+  y + ÷+  + ÷
y
y
x
x
x
y
y x

Suy ra B≥ 8, dấu “=” xảy ra khi x = y = 1. Kết hợp với điều kiện x 2 + y2 = 1 thì x,y không

tồn tại.
Do đó có hai xu hướng xảy ra: - Bế tắc trong quá trình tìm minB.
- Min B không tồn tại.
Phân tích sai lầm:Thiếu linh hoạt trong quá trình biến đổi và chưa tận dụng được giả thiết
x2 + y2 = 1.


1
x  1
y
+ x + ÷+  1 + + y + ÷
y
y  x
x

1  
1   x y 11 1

=  x + ÷+  y + ÷+  + ÷+  + ÷+ 2
2x  
2y   y x  2  x y 

1
x y
1
≥ 2, + ≥2
Vì x,y ≥ 0 nên áp dụng BĐT Côsi ta có: x + ≥ 2 , y +
2y
y x
2x

Lời giải đúng: B =  1 +

Và

11 1
1
≥
 + ÷≥
2 x y 
xy

2
= 2 (Vì x2 + y2 = 1) ⇒ B ≥ 4 + 3 2
2
x +y
2

Do đó minB = 4 + 3 2 ⇔ x = y =

2
2

* Để hạn chế được những sai lầm trên, giáo viên cần trang bị cho HS các kiến thức cơ
bản về GTLN-GTNN của một biểu thức, các phương pháp thường sử dụng để tìm GTLNGTNN một biểu thức.
3.2 Mô tả nội dung giải pháp mới:
a. Các kiến thức cần thiết:
Các định nghĩa:
Định nghĩa giá trị lớn nhất.
Cho biểu thức f(x,y,…)xác định trên miền D. Ta nói:

M là GTLN của f(x,y,…) trên D nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:
- Với mọi x,y,… thuộc D thì f(x,y,…)≤ M , với M là hằng số.
- Tồn tại xo,yo,… thuộc D sao cho f(xo,yo,…) = M.
Ký hiệu: M = Max f(x,y,...) = fmax, với (x, y, ...) ∈ D
Định nghĩa giá trị nhỏ nhất.
Cho biểu thức f(x,y,…)xác định trên miền D. Ta nói:
m là GTNN của f(x,y,…) trên D nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:
- Với mọi x,y,… thuộc D thì f(x,y,…) ≥ m , với m là hằng số.
- Tồn tại xo,yo,… thuộc D sao cho f(xo,yo,…) = m.
Ký hiệu: m = Min f(x,y,...) = fmin, với (x, y, ...) ∈ D
Các kiến thức thường dùng:
Lũy thừa:
a) x2 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇒ x2k ≥ 0, ∀x ∈ R, k ∈ Z ⇒ - x2k ≤ 0
GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức

Trang 5


Phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số và ứng dụng

Tổng quát : [f (x)]2k ≥ 0 ∀x ∈ R, k ∈ Z ⇒ - [f (x)]2k ≤ 0
Từ đó suy ra : [f (x)]2k + m ≥ m
∀x ∈ R, k ∈ Z
M - [f (x)]2k ≤ M
b)

x ≥ 0

∀x ≥ 0

⇒ ( x )2k ≥ 0

∀x≥ 0 ; k ∈Z

Tổng quát : ( A )2k ≥ 0 ∀ A ≥ 0 (A là một biểu thức)
Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
a) |x| ≥ 0
∀ x∈R
b) |x+y| ≤ |x| + |y| ; nếu "=" xảy ra ⇔ x.y ≥ 0
c) |x-y| ≥ |x| - |y|
; nếu "=" xảy ra ⇔ x.y ≥ 0 và |x| ≥ |y|
Chuỗi bất đẳng thức cơ bản:
(a - b)2≥ 0 (1) ⇔ a2 + b2 ≥ 2ab (2)
(4)
↕
(3)
4ab ≤
(a + b)2 ≤
2(a2 + b2)
↕
⇓
1 1
4
2
2
2
+ ≥
(5) (a1+a2+...+an)2 ≤ n a1 + a2 + ... + an ,…(6)
a b a +b

(

)

Với các BĐT (1),...,(5): dấu “=”
xảy ra khi a = b
Bất đẳng thức Cauchy(Cô - si):
∀ai ≥ 0

; i = 1, n :

a1 + a 2 + .... + a n
≥
n

BĐT (6):dấu “=” xảy ra khi
a 1 = a2 =......= an

n

a1 . a 2 .....a n

∀n∈N, n ≥ 2.

Dấu "=" xảy ra ⇔ a1 = a2 = ... = an
Bất đẳng thức Bunyakovsky(Bu-nhi-a-cốp-xki):
Với n cặp số bất kỳ a1,a2,...,an ; b1, b2, ...,bn ta có:
(a1b1+ a2b2 +...+anbn)2 ≤ ( a12 + a 22 + .... + a n2 ).(b12 + b22 + .... + bn2 )
Dấu "=" xảy ra ⇔

a
a1 a2
=
= ... = n
b1 b2
bn

Bất đẳng thức Bunyakovsky(Bu-nhi-a-cốp-xki) dạng phân thức:
Với (a1, a2, a3, ..., an ) là các số thực bất kì và (b 1, b2, b3, ..., bn) là các số thực dương, ta
có

an
a1 a2
a 2 (a + a + ... + an ) 2
a12 a22
+ + ... + n ≥ 1 2
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = = ... = .
b1 b2
bn
b1 b2
bn
b1 + b2 + ... + bn

Nếu bi = 0 xem như ai = 0
Bất đẳng thức Trê-bư-sép:
Cho hai dãy sắp thứ tự giống nhau: a1 ≤ a2 ≤…≤an ; b1≤b2≤…≤bn :
(a1 + a2 +…+an)( b1 + b2 +…+ bn)≤ n(a1b1 + a2b2 +… + anbn)
đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 =…=an, b1 = b2 =…= bn
…
b. Các phương pháp.

Để giúp học sinh giải tốt dạng toán cực trị đại số ở THCS tôi tổng hợp đưa ra 7
pháp sau:

GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức

phương

Trang 6


Phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số và ứng dụng

Phương pháp 1
(Sử dụng phép biến đổi đồng nhất)
Nội dung:
Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách các hạng tử một cách hợp lí, ta biến đổi biểu thức đã cho
về tổng các biểu thức không âm( hoặc không dương) và những hằng số. Từ đó:
1. Để tìm Max f(x, y,...) trên miền D ta cần chỉ ra:
 f ( x, y ,......) ≤ M

∃( x0 , y0 ,...) ∈ D sao cho f ( x0 , y0 ,...) = M

2. Để tìm Min f(x, y,...) trên miền D ta cần chỉ ra:
 f ( x, y ,......) ≥ m

∃( x0 , y0 ,...) ∈ D sao cho f ( x0 , y0 ,...) = m

Dạng 1: Tìm cực trị của tam thức bậc hai.
 Phương pháp:
Biến đổi P( x, y,....) = ± [ F ( x, y,...) ] + m ( m ∈R )

2

2

- Nếu P(x,y,....) =  F(x,y,...) + m ≥ m suy ra: Min P = m khi F(x, y, ...) = 0
2

- Nếu P(x,y,....) = −  F(x,y,...) + m ≤ m suy ra: Max P = m khi F(x, y, ...) = 0
 Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1:
a) Tìm GTNN của A = x2 - 8x + 1
b) Tìm GTLN của B = - 5x2 - 4x + 1
* Nhận xét: Các biểu thức đều ở dạng tam thức bậc hai. Biến đổi đưa về dạng
2
P( x) = ± [ F ( x) ] + m (m ∈R ) .
* Hướng dẫn:
a) A = x2 - 8x + 1 = (x2 - 8x + 16) - 15 = (x - 4)2 - 15 ≥ - 15
Vậy Min A = -15 ⇔ x - 4 = 0 ⇔ x = 4



2

4  9
2 9 9

÷+ = −5  x + ÷ + ≤
25  5
5 5 5


9
2
2
Vậy Max B = ⇔ x + = 0 ⇔ x = −
5
5
5
4
5

b) B = - 5x2 - 4x + 1 = −5  x 2 + x +

* Nhận xét: Như vậy, khi biến x nhận mọi giá trị thuộc R thì đa thức f(x) đạt cực trị tại
b
b
. Sau đây ta xét trường hợp biến x không nhận giá trị tại - .
2a
2a
2
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức : A = 4x - 12x + 2, với x ≤ -1 hoặc x ≥ 3

x= -

* Hướng dẫn:
Ta có A = 4x2 - 12x + 2 = (2x - 3)2 - 7
2
2
- Với x ≥ 3 thì : 2x - 3 ≥ 2.3 − 3 = 3 ⇔ ( 2 x − 3) ≥ 9 ⇒ A = ( 2 x − 3) − 7 ≥ 9 − 7 = 2
- Với x ≤ −1 thì : 2x - 3 ≤ 2.(−1) − 3 = −5 ⇔ ( 2 x − 3) ≥ 25 ⇒ A = ( 2 x − 3 ) − 7 ≥ 25 − 7 = 18
So sánh hai trường hợp trên, ta thấy min A = 2 ⇔ x = 3

2

2

2
3

* Chú ý: Mặc dù A = ( 2 x − 3) − 7 ≥ −7, min A = −7 ⇔ x = nhưng giá trị này không thỏa
2

mãn x ≤ -1 không thỏa mãn x ≥ 3 . Do đó không kết luận được giá trị nhỏ nhất của A
bằng - 7
Bài tập tự luyện
GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức

Trang 7


Phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số và ứng dụng

Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức:
a) A = x2 - 5x + 1
b) B = 2x2 - 6x
c) C = (x + 1)2 + (x + 3)2
Bài 2: Tìm GTLN của các biểu thức:
a) D = 4x - x2 + 3
b) E = x - x2
c) F = 2x - 2x2 - 5
Dạng 2: Tìm cực trị của đa thức bậc cao.
 Phương pháp:

- Đổi biến để hạ bậc đa thức.
- Biến đổi về dạng tổng các bình phương:

k

∑ [ F ( x, y,...)]
i =1

i

2

+ m với m ∈R .

 Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức A = x4 – 2x3 + 3x2 – 2x + 2
* Nhận xét: Đa thức có bậc lớn hơn 2. Để tìm được GTNN phải hạ bậc đa thức rồi biến
2
đổi đưa về dạng P( x) = [ F ( x) ] + m ( m ∈R ) .
* Hướng dẫn:
A = x4 – 2x3 + 3x2 – 2x + 2 = (x2 – x + 1)2 + 1
A nhỏ nhất khi x2 – x + 1 nhỏ nhất.
2

3
1
1 3 3

Ta có x – x + 1 =  x − ÷ + ≥ . Khi đó min (x2 – x + 1) = ⇔ x =
4

2
2 4 4

3
7
1
Suy ra min A = + 1 = khi x =
4
4
2
7
1
Vậy GTNN A là khi x =
4
2
2

Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức B = x(x – 3)(x -4)(x – 7)
* Hướng dẫn:
Đối với bài này ta thực hiện đổi biến để tìm GTNN
B = x(x – 3)(x -4)(x – 7) = (x2 – 7x)(x2 – 7x + 12)
Cách 1 : Đặt y = x2 – 7x. Ta có B = y(y + 12) = y2 + 12y + 36 – 36
= (y + 6) 2 -36 ≥ -36
2
Vậy min B = - 36 ⇔ y = -6 ⇔ x – 7x + 6 = 0 ⇔ x = 6 hoặc x = 1
Cách 2: Đặt y = x2 – 7x + 6 . Ta có B = (y -6)(y + 6) = y2 – 36 ≥ -36
Vậy min B = - 36 ⇔ y = 0 ⇔ x2 – 7x + 6 = 0 ⇔ x = 6 hoặc x = 1
Bài tập tự luyện
Tìm GTNN của các biểu thức:
a) C = (x + 4)4 + (x + 6)4

b) D = (x - 1)(x - 3)(x2 - 4x + 5)
c) E = x4 - 6x3 + 10x2 - 6x + 9
d) F = (x2 +x - 6)(x2 + x + 2)
Dạng 3: Tìm cực trị của phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai.
 Phương pháp:
Sử dụng tính chất a ≥ b ; ab > 0 suy ra

1 1
≤ hoặc theo quy tắc so sánh hai phân số có
a b

cùng tử, tử và mẫu đều dương.
 Các ví dụ minh hoạ:
GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức

Trang 8


Phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số và ứng dụng
3
Ví dụ 1: Tìm GTLN của M = 2
4x − 4x + 5

* Nhận xét: Phân thức có tử là hằng số dương. Giá trị của biểu thức phụ thuộc vào mẫu
thức. Mẫu càng nhỏ thì giá trị phân thức càng lớn và ngược lại.
* Hướng dẫn:
3
3
=
4x − 4x + 5 (2x-1) 2 + 4

Ta thấy (2x-1) 2 ≥ 0 nên (2x-1) 2 + 4 ≥ 4
3
3
≤
Do đó
2
(2x-1) + 4 4
3
1
Vậy max M = khi 2x -1 = 0 ⇔ x =
4
2
2
Ví dụ 2: Tìm GTNN của N =
6x- 5 − 9x 2

Xét M =

2

* Hướng dẫn:

2
−2
−2
= 2
=
2
6x- 5 − 9x
9x − 6x + 5 (3x - 1) 2 + 4

Ta thấy (3x-1) 2 ≥ 0 nên (3x-1) 2 + 4 ≥ 4
1
1
−2
−2 −1
≤ ⇒
≥
=
Do đó
2
2
(3x-1) + 4 4
(3x-1) + 4 4
2
1
1
Vậy min N = − khi 3x -1 = 0 ⇔ x =
2
3
1 1
Chú ý: Tính chất a ≥ b suy ra ≤ chỉ đúng khi a và b cùng dấu.
a b
1
1
1
1
≤
f
Ví dụ : x2 - 3 ≥ -3 ⇒ 2
là sai. Vì với x = 2 ta có 2

x − 3 −3
2 − 3 −3

Xét N =

Bài tập tự luyện.

Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức A =
Bài 2: Tìm GTLN của các biểu thức :

1
2x − x 2 − 4

1
x − 4x + 9
1
b) C = 2
x − 6 x + 17
3
c) D =
x − x +1

a) B =

2

Dạng 4: Tìm cực trị của phân thức có tử là tam thức bậc hai,
mẫu là bình phương của nhị thức.
 Phương pháp:
Viết phân thức dưới dạng tổng hoặc hiệu của một số với một biểu thức không âm.

 Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Tìm GTNN của A =

3x 2 − 8x + 6
x 2 − 2x + 1

* Hướng dẫn:
Cách 1: Viết A dưới dạng tổng của hai biểu thức không âm:

GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức

Trang 9


Phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số và ứng dụng
( 2 x − 4x + 2) + ( x2 − 4 x + 4) = 2 + ( x − 2) 2 ≥ 2
A=
2
x 2 − 2x + 1
( x − 1)
2

Vậy min A = 2 ⇔ x = 2
Cách 2: Đặt x - 1 = y thì x = y + 1
Ta có A = =

3( y + 1) 2 − 8( y + 1) + 6 3 y 2 − 2 y + 1
2 1
=
= 3− + 2

2
2
y
y
y y

1
= z thì A = 3 - 2z + z2 = ( z − 1) 2 + 2 ≥ 2
y
Vậy min A = 2 ⇔ z = 1 ⇔ y = 1 ⇔ x = 2

Lại đặt

Ví dụ 2: Tìm GTLN của P = −

x2 + x +1

( x + 1)

2

* Hướng dẫn:
Cách 1: Viết (- P) dưới dạng tổng của một số với một biểu thức không âm:
-P =

4 x2 + 4 x + 4
4 ( x + 1)

⇒P≤−

=

2

3 ( x 2 + 2 x + 1) + ( x 2 − 2 x + 1)
4 ( x + 1)

2

2

3  x −1 
3
= +
 ≥
4  2 ( x + 1) 
4

3
4
3
4

Vậy max P = − ⇔ x = 1
1

1

2
Cách 2: - P = 1 − x + 1 +

( x + 1)
2

1
3
1 3 3

Đặt y =
, ta có - P = y2 - y + 1 =  y − ÷ + ≥ ⇒ P ≤ −
x +1
4
2 4 4

3
1
Vậy max P = − ⇔ y = ⇔ x = 1
4
2

Bài tập tự luyện.
Tìm GTNN của:
a) I =
b) L =

4x 2 − 6x+1

( 2 x − 1)

2

x 2 − 4x+1
x2

Dạng 5: Tìm cực trị của các phân thức dạng khác.
 Phương pháp:
Viết phân thức dưới dạng tổng hoặc hiệu của một số với một biểu thức không âm.
 Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ : Tìm GTLN, GTNN của A =
* Hướng dẫn:
- Để tìm GTLN, viết A dưới dạng:

3 − 4x
x2 +1

4x 2 + 4 − 4x 2 − 4x − 1
(2 x + 1) 2
=
4
−
≤4
x2 +1
x2 + 1
1
⇒ Max A = 4 ⇔ x = −
2

A=

- Để tìm GTNN, viết A dưới dạng:
GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức

Trang 10


Phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số và ứng dụng
x − 4 x + 4 − x 2 − 1 ( x − 2) 2
= 2
− 1 ≥ −1
A=
x2 +1
x +1
⇒ Min A = −1 ⇔ x = 2
2

Bài tập tự luyện
Tìm GTLN, GTNN của:
a) B =

27 − 12x
x2 + 9

b) C =

8x+3
4x 2 + 1

c) D =

2x+1
x2 + 2

d) E =

3x 2 − 2 x + 3
x2 +1

Dạng 6: Các dạng khác.

 Phương pháp:
Biến đổi về dạng tổng các bình phương:

k

∑ [ Fi ( x, y,...)]

2

+ m với m ∈R .

i =1

 Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của C = x2 + 6y2 + 14z2 – 8yz + 6xz – 4xy
* Hướng dẫn: C = x2 + 2(3z – 2y)x + 6y2 + 14z2 – 8yz
= (x + 3z – 2y)2 + 6y2 + 14z2 – 8yz - (3z – 2y)2
= (x + 3z – 2y)2 + 2(y + z)2 + 3z2 ≥ 0
Vậy Min C = 0 ⇔ x = y = z = 0
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của D = x2 + xy + y2 – 3x – 3y + 2008
* Hướng dẫn: 4D = 4x2 +4 xy + 4y2 – 12x – 12y + 8032
= (4x2 + y2 + 9 + 4xy – 12x – 6y) + (3y2 – 6y + 3 ) + 8020

1
3
2
2
( 2 x + y − 3) + ( y − 1) + 2005 ≥ 2005
4
4
2 x + y − 3 = 0
⇔ x = y =1
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ 
 y −1 = 0
Vậy MinD = 2005 ⇔ x = y = 1

=

Ví dụ 3: Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: x2 + 2xy +7(x+y) + 2y2 + 10 = 0 (1)
Hãy tìm GTLN, GTNN của E = x + y + 1
* Hướng dẫn: (1) ⇔ (2x + 2y + 7)2 + 4y2 = 9 (2)
Vì 4y2 ≥ 0, ∀y ⇒ (2x + 2y + 7)2 ≤ 9 ⇔ (x + y + 5)(x + y + 2) ≤ 0
x + y + 5 ≥ 0
⇔
x + y + 2 ≤ 0

(Vì x + y + 5 > x + y + 2 , ∀(x;y) )

Vậy minE = -4 ⇔ y = 0, x = -5 ; maxE = -1 ⇔ y = 0, x = -2
Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức : F = x 2 + 2y2 + 3z2 -2xy + 2xz - 2x -2y - 8z +
2008
Bài 2: Cho x + y + z = 3. Tìm GTLN của biểu thức : G = xy + yz + zx.

Phương pháp 2
(Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản)
 Phương pháp:
-Cho A = f(x) có miền xác định là D. Để tìm GTLN hoặc GTNN của A ta có thể
sử dụng các bất đẳng thức cơ bản đã biết để chứng minh f(x) ≤ M hoặc f(x) ≥ m, từ đó
suy ra GTLN hoặc GTNN của A.
- Đây là phương pháp thường được sử dụng, bởi vì rất nhiều các bất đẳng thức
học sinh được học từ chuyên đề “Bất đẳng thức” được ứng dụng rộng rãi trong nhiều

GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức

Trang 11


Phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số và ứng dụng

dạng loại toán, đặc biệt trong dạng toán tìm cực trị. Khi sử dụng các bất đẳng thức đã
biết ta cần lưu ý các điều kiện để bất đẳng thức trở thành đẳng thức.
*Các bất đẳng thức cơ bản thường dùng :
Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối
Bất đẳng thức Cô-si và các hệ quả .
Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki .
...
 Các ví dụ minh hoạ:
Dạng 1: Vận dụng bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối để tìm cực trị.
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức: A = x + x
* Hướng dẫn:
Với x > 0 thì A = x + x = 2x> 0
Với x ≤ 0 thì A = x - x = 0
Vậy Min A = 0 ⇔ x ≤ 0

1

Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức: B = x − 2 + 3
* Hướng dẫn:
Ta có: x − 2 ≥ 0 với mọi x.
⇒ x−2 +3≥ 3⇒

Vậy Max B =

1
1
≤
x−2 +3 3

1
⇔x=2
3

Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức: C = x − 2 + x − 3
* Hướng dẫn:
Ta có: C = x − 2 + x − 3 = x − 2 + 3 − x ≥ x − 2 + 3 − x = 1
Vậy min A = 1 ⇔ ( x − 2)(3 − x) ≥ 0 ⇔ 2 ≤ x ≤ 3
Chú ý: Giải dạng toán này phải linh hoạt khi biến đổi x − 3 = 3 − x để áp dụng bất
đẳng thức giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức: D = 2000 − x − x − 1
* Hướng dẫn:
Ta có: D = 2000 − x − x − 1 = x − 2000 − x − 1 ≤ x − 2000 − x + 1 = 1999
Vậy Max D = 1999 ⇔ ( x − 2000)( x − 1) ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 hoặc x ≥ 2000
Ví dụ 5: Tìm GTNN của biểu thức: E = x − 1 + x − 2 + ............... + x − 2000
* Hướng dẫn:

Ta có: E = ( x − 1 + x − 2000 ) + ( x − 2 + x − 1999 ) + ............... + ( x − 999 + x − 1000 ) (có
1000 cặp)
y1 = x − 1 + x − 2000 ≥ 1999
Min y1 = 1999 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2000
y2 = x − 2 + x − 1999 ≥ 1997
Min y2 = 1997 ⇔ 2 ≤ x ≤ 1999

.................................................
.................................................
y1000 = x − 999 + x − 1000 ≥ 1
Min y1000 = 1 ⇔ 999 ≤ x ≤ 1000
GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức

Trang 12


Phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số và ứng dụng

Vậy Min y = 1 + 3 + 5 + 7 +......................+ 1999 = 10002 = 1000000 ⇔ 999 ≤ x ≤ 1000
Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức: F= x + 2000 + x + y + 4 + 2 x + y − 6
Bài 2: Tìm GTNN của biểu thức: G =

4 x 2 − 4 x + 1 + 4 x 2 − 12 x + 9
Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức: K = x − 1 + x − 2 + ............... + x − 2002

Dạng 2: Vận dụng bất đẳng thức Cô - si để tìm cực trị.
Ví dụ 1: Cho x > 0, y > 0 thoả mãn điều kiện
x+ y

Tìm GTNN của biểu thức A =
* Hướng dẫn:
Do x > 0, y > 0 nên

1
1
f 0,
x
y

1 1 1
+ = .
x y 2

0

1 1
+
1 1
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho hai số ; ta có : x y ≥ 1 . 1
x y
2
x y
1
1
⇒ xy ≥ 4
hay 4 ≥
xy

Mặc khác ta có: x > 0, y > 0 ⇒ x ≥ 0, y ≥ 0

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si ta có: ⇒ x + y ≥ 2

xy ≥ 2 4 = 4

x = y

Vậy min A = 4 khi  1 1 1 ⇔ x = y = 4
x + y = 2


Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức B =
* Hướng dẫn:

x2 − x + 1 + x2 + x + 1

2

1 3 3

Ta có x − x + 1 =  x − ÷ + ≥ , x ∈ R
2 4 4

2

2

1 3 3

x + x +1 =  x + ÷ + ≥ , x ∈R
2 4 4


2

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho hai số dương
Ta có:

x2 − x + 1 + x2 + x + 1 ≥ 2

x 2 − x + 1 và x 2 + x + 1

x 2 − x + 1. x 2 + x + 1

x2 − x + 1 + x2 + x + 1 ≥ 2 4 x4 + x2 + 1 ≥ 2
 x 4 + x 2 + 1 = 1
⇒ Min B = 2 khi : 
⇔ x=0
2
2
 x − x + 1 = x + x + 1

Ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức D = xyz(x+y)(y+z)(y+z) với x, y, z > 0; x + y + z = 1
* Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho ba số dương: x, y, z
Ta có : 1 = x + y + z ≥ 3 3 xyz (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho ba số dương: x + y, y + z, z + x
Ta có 2 = (x + y) + (y + z) + (z+ x) ≥ 3 3 ( x + y )( y + z )( z + x )(2)
3

2
Nhân từng vế của (1) với (2) ta có: 2 ≥ 9 D ⇒ D ≤  ÷

9
3

GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức

Trang 13


Phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số và ứng dụng
8
1
⇔ ⇔x= y=z=
Do đó max D =
729
3

* Nhận xét:
Không phải lúc nào ta cũng dùng trực tiếp được bất đẳng thức đối với các số cho
trong đề bài. Dưới đây là một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thể vận dụng
bất đẳng thức Cô - si rồi được cực trị của nó:
+Biện pháp 1: Chọn điểm rơi (dự đoán x0 mà tại đó dấu bằng xảy ra)
1
a

Ví dụ 1: Cho a ≥ 3. Tìm GTNN của biểu thức A = a + .
1
>0.
a
1
1

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si ta có: a + ≥ 2 a. = 2
a
a
1
Min A = 2 khi a = ⇒ a = 1 . Điều này mâu thuẩn với giả thiết a ≥ 3
a

* Nhận xét và hướng dẫn: Ta có a ≥ 3> 0 ,

Vậy cách giải trên là sai.
Ta thấy rằng khi a tăng thì A cũng tăng theo nên dẫn đến dự đoán a = 3 thì A nhận giá trị
nhỏ nhất. Và Min A =

10
khi a = 3. Do đó BĐT Cô-si xảy ra dấu đẳng thức tại điều
3

kiện các số tham gia phải bằng nhau nên ta đưa ra tham số m sao cho tại điểm rơi a = 3
thì cặp số

a
1
và phải bằng nhau.
m
a

Dự đoán điểm rơi a = 3
a 3
 m = m
1 3

⇒ = ⇒m=9
Ta có sơ đồ điểm rơi: a = 3 ⇒ 
3 m
1 = 1
 a 3

Vậy m = 9 là hệ số điểm rơi.
*Giải:
1  a 1  8a
a 1 8a 2 8a 2 8.3 10
=
A = a + =  + ÷+ ≥ 2 . + = + = +
a

9 a 9
10
Vậy Min A =
khi a = 3
3

9 a

9

3

9

3

Ví dụ 2: Cho a, b > 0. Tìm GTNN của biểu thức C =

9

3

a+b
ab
+
ab a + b

* Hướng dẫn:
Do C là một biểu thức đối xứng với a, b nên dự đoán Min C đạt tại a = b
2a 2
 a+b
=
 m ab ma = m
1 2
⇒ = ⇒m=4
Ta có sơ đồ điểm rơi: a = b ⇒ 
2 m
 ab = a = 1
 a + b 2a 2

Vậy m = 4 là hệ số điểm rơi.
*Giải:
C=

a+b
ab  a + b

ab  3(a + b)
+
= 
+
÷+
ab a + b  4 ab a + b ÷
 4 ab

GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức

Trang 14


Phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số và ứng dụng
C≥2

a + b ab 3( a + b)
3(a + b)
3 5
.
+
= 1+
= 1+ =
2 2
4 ab a + b
4 ab
4 ab

(Vì a + b ≥ 2 ab ⇒
Vậy Min C =

a + b 2 ab
≥
)
ab
ab

5
khi a = b (a, b >0)
2

Ví dụ 3: Cho a, b, c > 0; a + b + c ≤

1 1 1
3
. Tìm GTNN của D = a + b + c + + +
a b c
2

* Hướng dẫn:
Do D là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán Min C đạt tại a = b = c =

1
2

1

a=b=c=

1 2


1
2
⇒
⇒ = ⇒m=4
Ta có sơ đồ điểm rơi: a = b = c =
2 m
2
 1 = 1 = 1 = 2
 ma mb mc m

Vậy m = 4 là hệ số điểm rơi.
*Giải:
1 1 1
a b c
1
1
1  31 1 1

D =  a + b + c + + + ÷+  + + ÷
4a 4b 4c  4  a b c 


D = a+b+c+ + +

1 1 1 3 31 1 1
9 1
9
1
27 1 15

. . + .3 . . = 3 + . 3
≥ 3+ .
≥ 3+ . =
4a 4b 4c 4
a b c
4 abc
4 a+b+c
4 3 2
3
2
15
1
Vậy Min D =
khi a = b = c =
2
2
D ≥ 6 6 abc.

Bài tập tự luyện
3
1 1 1
. Tìm GTNN của P = a2 + b2 + c2 + + +
2
a b c
1
Bài 2: Cho a, b, c > 0 và a2 + b2 + c2 =1. Tìm GTNN của Q = a + b + c +
abc
+Biện pháp 2: Để tìm cực trị của một biểu thức ta cần tìm cực trị của bình phương
biểu thức đó.
Ví dụ : Tìm GTLN của biểu thức A = 3x − 5 + 7 − 3 x .

* Hướng dẫn:
3x − 5 ≥ 0
5
7
⇔ ≤ x≤
ĐKXĐ: 
3
7 − 3x ≥ 0 3
Bài 1: Cho a, b, c > 0 và a + b + c ≤

Bình phương hai vế ta có: A 2 = 2 + 2 (3x − 5)(7 − 3x)
Với

5
7
≤ x ≤ , áp dụng bất đẳng thức Cô -si cho hai số không âm (3x - 5) và (7- 3x) ta
3
3

có: (3x − 5) + (7 − 3x) ≥ 2 (3x − 5)(7 − 3x)
Hay 2 ≥ 2 (3x − 5)(7 − 3x)
Suy ra A 2 ≤ 4 ⇒ A ≤ 2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi: 3x - 5 = 7 - 3x ⇔ x = 2 (thỏa mãn)
GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức

Trang 15


Phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số và ứng dụng

Vậy Max A = 2 khi x = 2

Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm GTLN của biểu thức: M= x − 2 + 4 − x
Bài 2: Tìm GTLN của biểu thức: N = x − 5 + 23 − x
Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: K = x + 1 + 1 − x
+Biện pháp 3: Nhân biểu thức với cùng một số khác 0.
Ví dụ : Tìm GTLN của biểu thức A =

x−9
.
5x

* Hướng dẫn:
ĐKXĐ: x ≥ 9
Ta có : A =

x−9
=
5x

1  x −9

x−9
+ 3÷ x
.3

2 3
3
 = 6 = 1 (Áp dụng bất đẳng thức Cô - si)
≤ 
5x

5x
5 x 30

x− 9
=3

1
⇔ x = 18
Vậy Max A =
. Dấu đẳng thức xảy ra khi :  3
30
x ≥ 9

Bài tập tự luyện
7x − 5
7x − 9
x3 − 9
Bài 2: Tìm GTLN của biểu thức: C =
27 x 3

Bài 1: Tìm GTLN của biểu thức: B =

+ Biện pháp 4: Biến đổi biểu thức đã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích
của chúng là một hằng số.
Ví dụ 1: Cho x > 0. Tìm GTLN của biểu thức A =

3x 4 + 16
.
x3

* Hướng dẫn:
Ta có : A =

3x 4 + 16
16
16
= 3x + 3 = x + x + x + 3
3
x
x
x

Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: A = x + x + x +
Vậy Min A = 8 ⇔ x =

16
16
≥ 4 4 x.x.x. 3 = 4.2 = 8
3
x
x

16
⇔x=2
x3

Ví dụ 2: Cho 0 ≤ x ≤ 3. Tìm GTLN của B = x2(3 - x)
* Hướng dẫn:
Xét 0 ≤ x ≤ 3
x x

2 2

Ta có : B = 4. . .(3 − x)
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho ba số không âm

3

x x
, , (3 − x ) ta có:
2 2

x x
+ +3− x
x x
2
2
. .(3 − x) ≤
2 2
3
3

x x

 + +3− x÷
⇒ x x
2 2
 =1 ⇒B ≤ 4
. .(3 − x) ≤ 
2 2
27

GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức

Trang 16


Phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số và ứng dụng

Vậy Max B = 4 ⇔

x
= 3− x ⇔ x = 2
2

Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho x > 0, y > 0 và x + y = 6. Tìm GTNN của C = 5x + 3y +
Bài 2: Cho x > 0. Tìm GTNN của D =

12 16
+
x
y

x 3 + 2000
x

+Biện pháp 5: Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho.
Ví dụ : Cho ba số dương x, y, z thỏa x + y + z = 2. Tìm GTNN của biểu thức:
P=

x2

z2
y2
+
+
.
y+z y+x z+x

* Hướng dẫn:
x2
y+z
x
z2
y+x
z
y2
z+x
y
+
≥
2.
=
x
+
≥ 2. = z
+
≥ 2. = y ;
Ta có :
;
y+z
4

2
y+x
4
2
z+x
4
2
y+z x+z y+z
⇒ P+
+
+
≥ x+ y+z
4
4
4
x+ y+z x+ y+z
⇒ P ≥ x+ y+z−
=
=1
2
2
 x2
y+z
y+z = x

 z2
y+x
=
2


z ⇒x= y=z=
Vậy min P =1 ⇔  y + x
3
 2
y
z
+
x

=
z+ x
y

x + y + z = 2

Bài tập tự luyện.
Bài 1: Tìm GTNN của B = x + y biết x, y> 0 thỏa

a b
+ = 1 (a và b là các hằng số dương).
x y

x2
z2
y2
+
+
Bài 2: Tìm GTNN của A =
. Biết x, y, z > 0 và
y+z y+x z+x

xy + yz + zx = 1

Dạng 3: Vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky(Bu-nhi-a-cốp-xki) để tìm cực trị.
Ví dụ 1: Cho 3x- 4y = 7. Tìm GTNN của A = 3x2 + 4y2
* Hướng dẫn:
Ta có: A = 3x2 + 4y2 =

(

)

2

3.x + ( −2 y )

2

3x - 4y = = 3. 3.x + (−2).2 y
Áp dụng BĐT Bunyakovsky cho bộ số

3,−2; 3.x,2y ta có:

 3. 3.x + (−2)(2 y )  ≤ ( 3 + 4 ) ( 3 x 2 + 4 y 2 )


⇒ 49 ≤ 7 A ⇒ A ≥ 7
 3
−2
=

x = 1

Dấu "=" xảy ra ⇔  3.x 2 y ⇔ 
 y = −1
3 x − 4 y = 7

2

GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức

Trang 17


Phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số và ứng dụng
x = 1
Vậy Min A = 7 khi 
 y = −1

Ví dụ 2: Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z = 1. Tìm GTLN của biểu thức:
P = 1− x + 1− y + 1− z .
* Hướng dẫn:
Ta xét: P 2 =

(

1− x + 1− y + 1− z

)

2

Áp dụng BĐT Bunyakovsky cho bộ số 1,1,1; 1− x, 1− y, 1− z ta có:
P2 =

P≤

(

1− x + 1− y + 1− z

) ≤ ( 12 + 12 + 12 ) ( (1− x) + (1− y) + (1− z))
2

1+ 1+ 1. (1− x) + (1− y) + (1− z) ≤

6

1− x = 1− y = 1− z
1
⇔ x= y= z= .
 x + y+ z = 1
3

Dấu "=" xảy ra ⇔ 
Vậy Max P =

6 khi x = y = z =

1
3

Ví dụ 3: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x.y.z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất
1
1
1
+ 3
+ 3
x ( y + z ) y ( z + x) z ( x + y )
1
1
1
2
2
1
1
= 2
= x
= x
= x
* Nhận xét: Từ 3
x ( y + z ) x ( xy + xz ) xy + xz xy + xz 1 + 1
1
xyz
y z

của

biểu thức E =

3

Gợi cho ta suy nghĩ đến việc đổi biến để đưa biểu thức về dạng

x2
thuận lợi hơn trong
y+z

việc sử dụng bất đẳng thức Bnnyakovsky. Chính suy nghĩ đó giúp ta có hướng giải sau:
* Hướng dẫn giải:
Đặt a =

2
2
2
1
1
1
; b = ; c = . Ta có E = a + b + c với a, b, c> 0 và a.b.c = 1.
x
y
z
b+c c+a a +b

Áp dụng BĐT Bunyakovsky dạng phân thức ta có:
E=

a2
b2
c2
(a + b + c ) 2 a + b + c 3 3 abc 3

+
+
≥
=
≥
=
b + c c + a a + b 2(a + b + c)
2
2
2

Vậy Min E =

3
khi và chỉ khi x = y = z = 1
2

Bài tập tự luyện
Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:
a) A = 7− x + 2 + x , với –2 ≤ x ≤ 7
b) B = 6 x − 1 + 8 3− x , với 1 ≤ x ≤ 3
c) C = y − 2x + 5 , với 36x2 + 16y2 = 9
d) Cho a, b, c là các số dương thoả mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:

P=

a
b
c

+
+
1+ b − a 1+ c − b 1+ a − c

GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức

Trang 18


Phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số và ứng dụng

Phương pháp 3:
(Sử dụng phương pháp đổi biến số)
 Phương pháp:
- Để đơn giản hoá biểu thức đang xét hoặc để khai thác hết các giả thiết ta có thể
đổi biến số và tìm cực trị đối với biến mới. Cần lưu ý rằng biến số mới sẽ có những
điều kiện giới hạn mới và ta phải kiểm soát được các điều kiện mới đó.
- Phương pháp này thường sử dụng với các biểu thức có chứa các biểu thức giống
nhau của biến, đặt biến số mới là các biểu thức giống nhau đó.
- Phương pháp này thường được ứng dụng trong việc tìm cực trị của biểu thức
nhiều biến kèm theo điều kiện. Nếu khéo léo đổi biến, ta có thể làm giảm số biến và
đưa việc xét biểu thức phức tạp về một biểu thức quen thuộc, đơn giản hơn, phù hợp
với kiến thức bậc trung học cơ sở.
 Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Tìm GTNN của P = x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1
* Hướng dẫn:
Đặt y = x − 1 . ⇒ x = y 2 + 1 . ĐK y ≥ 0 ⇔ x ≥ 1
Khi đó : P =

y2 + 2 y +1 + y2 − 2 y +1 = y + 1 + y −1 = y + 1 + 1− y

Theo bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ta có y + 1 + 1 − y ≥ 2 ⇔ ( y + 1)(1 − y ) ≥ 0 ⇔ 0 ≤ y ≤ 1
⇒ 1≤ x ≤ 2

Vậy min P = 2 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2
Ví dụ 2: Tìm GTNN của C =

x y
x
y
+ −3
−3
+ 2004 , với x, y > 0
y x
y
x

* Hướng dẫn:
Đặt: a =

x
+
y

x y
y
2
(a > 2) ⇔ a = + − 2
y x
x

Khi đó: C = (a2 - 2) - 3a + 2004 = a2 - 3a + 2004 = a2 - 3a + 2 + 2002
= (a - 1)(a - 2) + 2002
⇒
⇒
≥
≥
Ta có: a 2
a - 1 > 0, a - 2 0 (a - 1)(a - 2) ≥ 0
⇒ C ≥ 2002
Vậy Min C = 2002 khi a = 2 ⇔ x = y ; x,y > 0
Ví dụ 3: Tìm GTNN của D =

y
x
z
+
+
, với x, y, z > 0
y+ z
x+ z
x+ y

* Hướng dẫn:
Đặt a = y + z , b =

x+ z ,c= x+ y
a+b+c
⇒ x+ y+ z =
2

−a + b + c
a −b+c
a+b−c
⇒ x=
; y=
; z=
2
2
2
−a + b + c a − b + c a + b − c
+
+
Khi đó D =
2a
2b
2c
1  a b   b c   a c  
=  + ÷+  + ÷+  + ÷− 3
2  b a   c b   c a  
a b
b c
a c
Theo Cô - si với a, b, c, > 0 ta có: + ≥ 2; + ≥ 2; + ≥ 2
b a
c b
c a
GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức

Trang 19

Phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số và ứng dụng

1
3
(2 + 2 + 2 − 3) =
2
2
3
⇔ a = b = c ⇔ x = y = z , x, y, z > 0
Vậy Min D =
2
Bài tập tự luyện
⇒D≥

Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức: E = x2 + 4 - x +

1
x − x +1
2

3
50
≤a≤
2
3
2
2
 x y
x

y
Bài 4: Cho x, y > 0. Tìm GTNN của biểu thức: D = 2 + 2 − 3  + ÷+ 4
y
x
 y x

Bài 2: Tìm GTLN của biểu thức: F =

a + 1 + 2a − 1 + 50 − 3a với

Phương pháp 4:
(Phương pháp miền giá trị hàm số)
 Phương pháp:
- Dùng kỹ năng biện luận phương trình để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số y = f(x) như sau:
Giả sử y = yo (yo là hằng số)
Xét phương trình yo = f(x) ⇔ f(x) – yo = 0 (1)
Trong đó x là ẩn số , yo là tham số.
yo thuộc miền giá trị của f ⇔ phương trình (1) có nghiệm.
⇔ m ≤ yo ≤ M ⇔ m ≤ y ≤ M
Kết luận: Max y = M
Min y = m
- Phương pháp này thường được chuyển về xét điều kiện có nghiệm của phương
trình bậc hai với ∆ ≥ 0.
 Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: y =

x2 + 4 2 x + 3
x2 + 1

* Hướng dẫn: Vì x2 + 1 > 0 với mọi x , nên y xác định với mọi x . Do đó, để y đạt giá trị
yo thì phương trình : yo (x2 + 1) = x2 + 4 2 x + 3 ⇔ (yo – 1)x2 - 4 2x + yo – 3 = 0 (1)
phải có nghiệm đối với ẩn x. Khi đó ta xét các trường hợp:
− 2
+/ Nếu y o = 1 thì (1) ⇔ x =
. Vậy yo = 1 thuộc miền giá trị của f(x)
4

(1)

+/ Nếu yo ≠ 1 thì (1) có nghiệm ⇔  = - yo2 + 4 yo + 5 ≥ 0
⇔ ( yo- 5) (yo + 1) ≤ 0 ⇔ -1 ≤ yo ≤ 5 (y ≠ 1)
Với yo = -1 , từ (1) ⇒ x = − 2 ; yo = 5 ⇒ x =

2
2

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: Min y = -1 khi x = - 2 ; Max y = 5 khi x =

2
2

Ví dụ 2: Cho x,y thỏa mãn hệ thức 36x2 + 16y2 – 9 = 0. (1)
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức : P = -2x + y + 5 (2)
* Hướng dẫn: Để thành lập phương trình chỉ có một ẩn x hoặc y và P là tham số ,ta cần
rút x hoặc y ở phương trình (2) và thế vào phương trình (1) nhằm khử bớt một ẩn, để
cho đơn giản ta nên rút y.
GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức

Trang 20


Phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số và ứng dụng

y = 2x + P - 5 ⇒ 36x2 + 16(2x + P - 5)2 – 9 = 0
⇔ 100x2 + 64(P - 5)x + 16(P - 5)2 – 9 = 0 (3)
(3) có nghiệm ⇔ ’ ≥ 0 ⇔ 576 (P - 5)2 ≤ 900 ⇔
15
2
: Từ (3) ⇒ x =
4
5
25
2
P=
⇒x = - ; y =
4
5
25
Vậy max P =
khi (x,y) =
4

Với P =

; (2) ⇒ y = −

15

25
≤P≤
4
4

9
20

9
20
9 
15
 2 9 
2
  − ; ÷, min P =
khi (x,y) =   ; − ÷
4
 5 20 
 5 20 
3
7
Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức : C = 2 x + 1 − x +
2
2
* Hướng dẫn: Điều kiện : 0 ≤ x ≤ 1 .
Đặt z = x , y = 1 − x thì z2 + y2 = 1 (1)

Ta cần tìm GTLN , GTNN của d = 4z + 3y với 2C = d + 7.
Điều kiện : 0 ≤ z, y ≤ 1 và 0 < d < 7
Thay 9y2 = (d – 4z)2 vào (1) ta được : 25z2 – 8dz + d2 – 9 = 0.

Để phương trình này có nghiệm z thì  ≥ 0 ⇒ d2 ≤ 25 ⇒ d ≤ 5
+ GTLN của d là 5 ⇔ GTLN của C là 6, khi z =

4d 4
16
= ⇒ x = z2 =
(thoả ĐK)
25 5
25

+ d = 4z + 3y ≥ 2 12 yz . Đẳng thức xảy ra khi 4z = 3y (2)
3
5

4
9
⇒x=
(thỏa ĐK)
5
25
59
4 3 24
⇒ GTNN của C là
Khi đó GTNN của d là 2 12. . =
10
5 5
5

Thay (2) vào (1) ta được z = ; y =

Bài tập tự luyện.
2 x2 + 7 x + 3
Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức : P = 2
x + 2 x + 10
x + 2y +1
Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức : Q = 2
x + y2 + 7

Phương pháp 5:
(Phương pháp sử dụng biểu thức phụ)
 Phương pháp:
- Khi tìm cực trị của một biểu thức , nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực
trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị và việc tìm cực trị của biểu
thức sau đơn giản hơn.
- Để tìm cực trị của A , ta có thể xét các biểu thức phụ khác là : - A ;

1
; A2 ; A
A

hoặc

biểu thức B sai khác với A một hằng số .
Ví dụ : -A lớn nhất ⇔ A nhỏ nhất .
GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức

Trang 21


Phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số và ứng dụng

1
lớn nhất ⇔ B nhỏ nhất (B > 0)
B
C lớn nhất ⇔ C2 lớn nhất ( C > 0), . . .

 Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A =

1
5 + 2 6 − x2

.

* Hướng dẫn:
- Ta thấy A>0 với mọi x thuộc MXĐ của A.
- Biểu thức A là nghịch đảo của biểu thức B= 5 + 2 6 − x 2 với B luôn dương, do đó ta
thay việc tìm cực trị của A thành tìm cực trị của B đơn giản hơn.
*Giải:
Điều kiện : x ≤ 6 . Ta có : A > 0
Xét biểu thức : B =

1
= 5 + 2 6 − x 2 . Ta có : 0 ≤ 6 − x 2 ≤ 6
A

⇒ 5 ≤ 5 + 2 6 − x2 ≤ 5 + 2 6

Min B = 5 ⇔ 6 − x 2 = 0 ⇔ x = ± 6 . Khi đó Max A =

1

.
5

Max B = 5+2 6 ⇔ 6 = 6 − x 2 ⇔ x = 0 .
Khi đó Min A =

1
= 5−2 6
5+2 6

3 + 4 x 2 + 3x 4
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : C =
(1 + x 2 ) 2

* Hướng dẫn: Biểu thức C xác định với mọi giá trị của x , ngoài việc tìm cực trị bằng
phương pháp miền giá trị hàm số , ta có thể tách biểu thức C để xét biểu thức phụ:
2 x2
C= 3- 4
= 3 - D
x + 2 x2 + 1

Khi đó , vì D ≥ 0 ∀x nên ta có: maxC = 3 – minD, min C = 3 – maxD
+ D ≥ 0 ⇒ minD = 0 ⇒ max C = 3 khi x=0
+ x4 + 1 ≥ 2x2 ⇒ x4 + 2x2 + 1 ≥ 4x2 ⇒ D ≤
⇒ minC =

1
2 x2 1
= ⇒ maxD =
2

2
4x
2

5
khi x = 1
2

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của : A = − x 2 + 4 x + 12 − − x 2 + 2 x + 3
* Hướng dẫn:Ta thấy A >0 với mọi x, do đó ta thay việc tìm cực trị của A bằng việc tìm
cực trị của A2 để làm mất bớt dấu căn .
*Giải:2 Điều kiện :
− x + 4 x + 12 ≥ 0
− x + 2x + 3 ≥ 0
2

⇔

( x + 2)(6 − x) ≥ 0
( x + 1)(3 − x ) ≥ 0

⇔ −1 ≤ x ≤ 3

(1)

Xét hiệu : (− x 2 + 4 x + 12) − (− x 2 + 2 x + 2) = 2 x + 9
Do (1) nên 2x + 9 > 0 ⇒ A > 0
Xét A2 =

(

( x + 2)(6 − x) − ( x + 1)(3 − x)

)

2

Hiển nhiên A2 ≥ 0, nhưng dấu “=” không xảy ra vì A > 0 .
A2 = ( x + 2)(6 − x) + ( x + 1)(3 − x) − 2 ( x + 2)(6 − x)( x + 1)(3 − x)
GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức

Trang 22


Phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số và ứng dụng
= ( x + 1)(6 − x) + (6 − x) + ( x + 2)(3 − x) − (3 − x) − 2 ( x + 1)(6 − x)( x + 2)(3 − x)

=

(

( x + 1)(6 − x) − ( x + 2)(3 − x)

)

2

+3

⇒ A2 ≥ 3 . Do A > 0 nên min A = 3 Khi : (x+1)(6-x) = (x+2)(3-x) ⇔ x = 0

2
1
+ Với 0 < x < 1 .
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của C =
1− x x

* Phân tích: - Với 0 < x < 1 thì C > 0. Nếu quy đồng mẫu chuyển thành một phân thức,
do có điều kiện 0 < x < 1 nên việc tìm cực trị rất khó khăn.
- Ta cần tìm biểu thức D sai khác với C một hằng số và D sử dụng được
BĐT để khử biến.
*Giải: Xét biểu thức : D =

2x 1 − x
+
.
1− x
x

Áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số dương :

2x
1− x
và
1− x
x

2x 1 − x
.
=2 2
1− x x

1− x
 2x
(1)
=

x
D = 2 2 ⇔ 1 − x
0 < x < 1 (2)

D ≥2

2
2
(1) ⇔ 2 x = (1 − x) ⇔ x 2 = 1 − x ⇔ x 2 = 1 − x ⇔ x = 2 − 1

Như vậy Min D = 2 2 ⇔ x = 2 − 1 (thỏa ĐK(2))
 2

1   2x

1− x 

2 − 2x

+ ÷− 
+
+
Ta có : C – D = 
÷=
x  1− x

1− x x  1− x
Do đó : Min C = 2 2 + 3 ⇔ x = 2 − 1
Bài tập tự luyện

1−1+ x
=3
x

x2 + 4 2 x + 3
Bài 1: Tìm GTNN,GTLN của biểu thức y =
x2 + 1

Bài 2: Tìm GTNN,GTLN của biểu thức A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5
Bài 3: a2 + b2 + c2 = 1. Tìm GTLN của D = a + 2b – 3c.
Bài 4: Cho a, b ∈ R. Tìm GTNN của G = a 2 + (1 − b) 2 + b 2 + (1 − a ) 2
Phương pháp 6:
(Phương pháp chia khoảng để tìm cực trị)
 Phương pháp:
- Để tìm cực trị của một biểu thức, ta có thể chia tập xác định ra từng khoảng. Sau đó ta tiến
hành tìm cực trị của biểu thức đó trong từng khoảng của biến, rồi so sánh các cực trị đó để
tìm giá trị cực trị (GTNN; GTLN) trong toàn bộ tập xác định của biểu thức.
- Phương pháp này thường được sử dụng khi biểu thức có dạng tích mà dấu của biểu thức
phụ thuộc vào dấu của một vài nhân tử nào đó. Đồng thời, tính biến thiên của biểu thức
không thay đổi trong từng khoảng chia.
- Phương pháp này còn được áp dụng với các biểu thức chứa giá trị tuyệt đối.
- Phương pháp này giúp cho ta giới hạn được khoảng giá trị của biến để biểu thức
đạt giá trị cực trị cần tìm. Do đó, sử dụng phương pháp này cho phép ta giải bài toán đơn
giản hơn.
 Các ví dụ minh hoạ:
GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức

Trang 23


Phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số và ứng dụng
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức: A = x 2 ( 2 − x ) với x ≤ 4

* Nhận xét:
Ta thấy: x 2 ≥ 0 với mọi x ∈R , nên dấu của A phụ thuộc vào dấu của ( 2 − x )
+) Với x < 2 ⇒ A ≥ 0
+) Với 2 ≤ x ≤ 4 ⇒ A ≤ 0
Do đó để tìm GTNN ta chỉ xét giá trị của A với x ∈ [ 2;4]
* Hướng dẫn giải:
Với x < 2 ⇒ A ≥ 0
(1)
Với 2 ≤ x ≤ 4 ⇒ A ≤ 0 . Khi đó:
Xét biểu thức: − A = x 2 ( x − 2 ) . Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 3 số không âm:
x x
; ; ( x − 2) .
2 2
3

Ta có:
(2)

x x

3
 + + x −2
A x x

2x − 2 

2
2
 =
− = . .( x − 2 ) ≤ 
 ≤ 8 ⇒ − A ≤ 32 ⇒ A ≥ −32
4 2 2
3

  3 





Từ (1) và (2) ⇒ min A = −32 với x = −4
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức:

B = x 1− x

* Nhận xét:
Ta thấy: 1 − x ≥ 0 với mọi − 1 ≤ x ≤ 1 , nên dấu của B phụ thuộc vào dấu của x
Với 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ B ≥ 0
Với − 1 ≤ x ≤ 0 ⇒ B ≤ 0
Do đó để tìm GTLN ta chỉ xét giá trị của B với x ∈ [ 0;1] ; GTNN ta chỉ xét giá trị
của B
với x ∈ [ − 1;0]
* Hướng dẫn giải:
Điều kiện xác định của B là: x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1

Với 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ B ≥ 0 .
2
2
Ta có: B = x (1 − x ) ≤

Với − 1 ≤ x ≤ 0 ⇒ B ≤ 0

x2 = 1 − x2
1
2
1
⇔x=
(BĐT Cô – si) ⇒ max B = ⇔ 
2
2
2
0 < x ≤ 1

Ta có: − B = x 2 (1 − x 2 ) ≤

1
(BĐT Cô – si)
2
x2 = 1 − x2
1
1
2
⇒ B ≥ − ⇒ min B = − ⇔ 
⇔x=−
2

2
2
− 1 < x < 0

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức: C =

y
với x; y ∈Ν
5 − ( x + y)

* Nhận xét:
- Ta thấy: vì y ∈ Ν , nên dấu của C phụ thuộc vào dấu của [ 5 − ( x + y ) ]
* Với 0 ≤ x + y ≤ 4 ⇒ C ≥ 0
* Với x + y ≥ 6 ⇒ C ≤ 0
Do đó để tìm GTLN của C ta chỉ xét giá trị của với x; y thoả: 0 ≤ x + y ≤ 4
* Hướng dẫn giải:
Điều kiện xác định của C là: 5 − ( x + y ) ≠ 0 ⇔ x + y ≠ 5
GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức

Trang 24


Phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số và ứng dụng

Vì x; y ∈Ν ; nên:
Với 0 ≤ x + y ≤ 4 ⇒ 0 ≤ y ≤ 4 . Do đó ta xét các trường hợp sau:
+ Nếu y = 0 thì C = 0
(a)
+ Nếu 1 ≤ y ≤ 3 thì C ≤ 3
(b)

+ Nếu y = 4 ⇒ x = 0 thì C = 4 (c)
Với x + y ≥ 6 ⇒ C ≤ 0
(d)
Từ (a); (b); (c) và (d) suy ra: max C = 4 ⇔ x = 0; y = 4
Bài tập tự luyện.
Bài 1: Tìm GTNN của M = x − 2004 + x − 2005
HD: Xét M trong các khoảng: x ≤ 2004;2004 < x ≤ 2005;2005 < x
2
Bài 2: Tìm GTNN của N = ( 2 x − 1) − 3 2 x − 1 + 2
1
2

HD: Xét N trong các khoảng: x < ; x ≥

1
2

Phương pháp 7:
(Phương pháp sắp thứ tự)
 Phương pháp:
- Nếu việc sắp thứ tự lại các hằng số; các biến số không làm mất tính tổng quát của
bài toán thì nên thực hiện vì chúng cho thêm giả thiết để tìm GTLN và GTNN.
- Khi sắp thứ tự lại các hằng số và các biến ta nên chú ý đến phần tử Min và Max
của chúng.
- Phương pháp này thường được sử dụng trong các biểu thức đối xứng, hoán vị
vòng quanh và một số biểu thức có điều kiện ràng buộc của biến.
- Phương pháp này giúp cho ta giảm số lượng biến. Do đó, sử dụng phương pháp
này cho phép ta giải bài toán đơn giản hơn.
 Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức: S = x 2 y + y 2 z + z 2 x

Với x, y, z ≥ 0; x + y + z = 1
* Nhận xét:
Ta thấy: Biểu thức S có dạng hoán vị vòng quanh x→y→z→x , do đó ta giả sử x
là số
lớn nhất để có thêm giả thiết và so sánh S với biểu thức trung gian.
* Giải:
Giả sử: x = Max{ x, y , z} . Ta có:
S = x2 y + y 2 z + z 2 x = x2 y + y 2 z +

z2x z2x
z2x z2x
+
⇒ S ≤ x 2 y + xyz +
+
2
2
2
2

zx
( x + z)
2
3
z
x  x z 
z
4

 x+ y+z
⇒ S ≤ x ( x + z )  y + ÷⇒ S ≤ 4. .  + ÷ y + ÷ ≤ 4 

÷ =
2
2  2 2 
2
3


 27
⇒ S ≤ xy ( x + z ) +

(BĐT

Cô – si )
S=

4
x x z
z
2
1
⇔ = + = y + ⇔ z = 0; x = ; y =
27
2 2 2
2
3
3
4
 2 1   2 1 1 2
Vậy MaxS =
khi ( x, y, z ) =  ; ;0 ÷,  0; ;  ,  ;0; ÷

27
 3 3   3 3  3 3 

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức:
GV: Nguyễn Thanh Trầm- Trường THCS Hoài Đức

Trang 25