( GV NGUYỄN bá TRẦN PHƯƠNG 2018 ) 13 câu NHỊ THỨC NEWTON image marked image marked

CHUYÊN ĐỀ 7 : NHỊ THỨC NEWTON
Câu 1: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tìm hệ số của x10 trong khai triển
nhị

Niu

thức

(2 + x)

Tơn

n

,

biết

rằng

C0n .3n − C1n .3n −1 + C2n .3n −2 − C3n .3n −3 + ... + ( −1) Cnn = 2048
n

A. 12

B. 21

C. 22

D. 23

Đáp án là C
Ta có 2n = ( 3 + ( −1) ) = C0n .3n − C1n .3n −1 + Cn2 .3n −2 − C3n .3n −3 + ... + ( −1) Cnn = 2048  n = 11
n

n

Số hạng tổng quát trong khai triển ( x + 2 )

11

là Tk +1 = C11k x11− k 2k vậy hệ số của x10 ứng với

k=1  hệ số cần tìm bằng 2C111 = 22
Câu 2: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho biết 3 số hạng đầu của khai
n

1 

triển  x +
 , x  0 có các hệ số là 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Tìm số
2 x

hạng thứ 5 trong khai triển trên.
A.

35 4
.x .
8

B.

35
.
8

C.

53 4
.x .
8

D.

53
.
8

Đáp án C
n = 1( L)
1
1
Cn0 + Cn1 . = 2.Cn1 . = n 2 − 9n + 8 = 0 = 
4
2
n = 8(TM )
1
1
Ba số hạng đầu tiên có hệ số là Cn0 , Cn1 . , Cn1 . lập thành CSC suy ra
2
4

n = 1( L)
1
1
Cn0 + Cn1 . = 2.Cn1 . = n 2 − 9n + 8 = 0 = 
4
2
n = 8(TM )

Số hạng thứ 5 ứng với k=4: C84
Câu

3:

(

GV

1 0 C84 35
x = 4 =
24
2
8

NGUYỄN

BÁ

TRẦN

PHƯƠNG

2018

)

Tính

0
1
2
3
2017
2018
S = C2018
.32018 − C2018
.32017 + C2018
.32016 − C2018
.32015 + ... − C2018
.3 + C2018

A. S = 32018.

B. S = 2018.

C. S = 22018.

D. S = −2018.

Đáp án C

2018

k
32018− k .(−1) k = (3 − 1) 2018 = 2 2018
Dễ thấy theo nhị thức Newton ta có: S =  C2018
k =0

tổng


Câu

4(

GV

NGUYỄN

BÁ

PHƯƠNG

TRẦN

2018

)

Tính

tổng

1
1
1
1
S = Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cn3 + ... +
Cnn .
2
3
4
n +1

2n +1 + 1
B. S =
.
n +1

2n +1 − 1
A. S =
.
n +1

2n +1
C. S =
.
n +1

2n +1
D. S =

.
n+2

Đáp án A
Xét khai triển (1 + x ) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + ..... + Cnn x n
n

1

1
1
1


  ( x + 1) dx = Cn0 x + Cn1 x 2 + Cn1 x 3 + .... + Cnn x n 
2
3
n

0
0
1

n

1

 S =  ( x + 1)

n

( x + 1)
dx =

n +1 1

n +1

0

=
0

2n+1 − 1
n +1

Câu 5.( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Số hạng không chứa x trong khai
7

1 

triển  3 x + 4  , x  0 là số hạng thứ bao nhiêu?
x

A. Số hạng thứ 3.

B. Số hạng thứ 5.

C. Số hạng thứ 7.

D. Số hạng thứ 6.

Đáp án B
7−k
28− 7 k
7
7
1 
1
3
k
k
3
=  C7 x 12 .
Ta có  x + 4  =  C7 x
k
x  k =0

x 4 k =0
7

Số hạng không chứa x là số hạng thứ k thỏa mãn 28 − 7k = 0  k = 4 .
 Là số hạng thứ 5

Câu

6(

GV

NGUYỄN

BÁ

TRẦN

PHƯƠNG

2018

)

Tìm

mãn C21n + C23n + C25n + C27n + ... + C22nn −1 = 223.
A. n = 10

B. n = 12

C. n = 7

D. n = 15

Đáp án B

(1 + 1)2 n = C20n + C21n + .... + C22nn
 22 n = 2 ( C21n + C23n + ... + C22nn−1 )
Xét khai triển 
2n
0

1
2n
(1 − 1) = C2 n − C2 n + .... + C2 n
Do đó 2.223 = 22n  224 = 22n  n = 12 .

n

thỏa


Câu 7: ( GV
M=

NGUYỄN BÁ TRẦN

PHƯƠNG 2018 ) Tính giá trị của biểu thức

An4+1 + 3 An3
, biết rằng
( n + 1)!

Cn2+1 + 2Cn2+ 2 + 2Cn2+3 + Cn2+ 4 = 149

A. M =

3
4

B. M =

4
3

C. M =

15
9

D. M =

17
25

Đáp án A
Từ đề bài ta có

Cn2+1 + 2Cn2+ 2 + 2Cn2+3 + Cn2+ 4 = 149


( n + 1)! + ( n + 2 )! + ( n + 3)! + ( n + 4 )! = 149
2 ( n − 1)!
n!
( n + 1)! 2 ( n + 2 )!

 6n 2 + 24n + 28 = 298
 n = 5  n = −9
Vậy n=5
Câu8 : ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tìm số hạng không chứa x trong
5n

1 2

khai triển  2 x3 + 2  ,
x 

biết Cn2Cnn − 2 + 2Cn2Cn3 + Cn3Cnn −3 = 100.
A. 3630.

B. 3603.

C. 3360.

D. 6330.

Đáp án B
Cn2Cnn − 2 + 2Cn2Cn3 + Cn3Cnn −3 = 100
 ( Cn2 ) + 2Cn2Cn3 + ( Cn3 ) = 100
2

2

 ( Cn2 + Cn3 ) = 100
2

 Cn2 + Cn3 = 10
n=4
5n

5n

k

5n

5n
15 n
5n
2
2
−k
−5 k
 3 1 2
3 2 −k  1 
2
2
2
x
+
=
2
x
=
2
x
(
)


 2 
2 

x 

x 
k =0
k =0
k =6

5

Câu 9: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Gọi a là hệ số của x 3 trong khai
3n

2

triển  3 x 2 +  , x  0, biết rằng.
x



2n − 4 ( Cnn − 2 − Cn1− 2 − n ) = Cnn−−12

A. a = 96069

B. a = 96906

C. a = 96960

D. a = 96096

A. L = 

B. L = 0

C. L = +

D. L = 1

Đáp án D
ĐK n  2 .

(

)


( n − 2 )! − n  = ( n − 1)!
n!
−

 2!( n − 2 )! ( n − 3)!

 ( n − 2 )!

Ta có 2n − 4 Cnn − 2 − Cn1− 2 − n = Cnn−−12  2n −4 

 n ( n − 1)

 2n − 4 
− ( n − 2 ) − n  = n − 1  2n−5 ( n2 − 5n + 4 ) = n − 1
 2


 2n−5 ( n − 1)( n − 4 ) = n − 1  2n−5 ( n − 4 ) = 1  n = 5 .

n = 5,

Với
3n

15

xét
15− k

2k
15
2
3 2 2
 3 2 2
k
3 
x
+
=
x
+
=
C
x

15





 
x
x


 x
k =0

Xét

khai
15

=  C15k x

5 k − 45
3

triển

215−k

k =0

5k − 45 5
=  k = 10 .

3
3
5
3

10 5
Vậy hệ số của x là C15
.2 = 96096 .

Câu 10: ( GV

NGUYỄN BÁ TRẦN

PHƯƠNG 2018 ) Trong khai triển nhị thức

n

1

 x +  , x  0, hệ số của số hạng thứ 3 lớn hơn hệ số của số hạng thứ 2 là 35. Tìm số hạng
x


không chứa x trong khai triển nói trên.
A. 225.

B. 252.

C. 522.

Đáp án B
n
1
1
Ta có: ( x + ) n =  Cnk x n − k ( ) k
x
x
k =0

Hệ số của số hạng thứ 3 lớn hơn hệ số của số hạng thứ 2 là 35
Cn2 − Cn1 = 35
= n 2 − 3n − 70 = 0
= n = 10

Số hạng không chưa x => n=5 => Hệ số là C105 = 252

D. 525.


Câu 11: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Tính đạo hàm cấp n của hàm
số y =

5 x 2 − 3x − 20
x2 − 2 x − 3

A. y ( n ) = (−1)n .n!3 ( x + 1)


− n −1

C. y ( n ) = ( −1) .n!3 ( x + 1)

n

− n −1

+ 4 ( x − 3)

− n −1

− 4 ( x − 3)




− n −1

B. y ( n ) = n!3 ( x + 1)


− n −1

+ 4 ( x − 3)

− n −1




 D. y ( n ) = n!3 ( x + 1)− n−1 − 4 ( x − 3)− n−1 





Đáp án A

5 x 2 − 3x − 20
7x − 5
3
4
Ta có y = 2
.
= 5+
= 5+
+
x − 2x − 3
x +1 x − 3
( x − 3)( x + 1)
3

 y = −

−

4

= −3 ( x + 1) − 4 ( x − 3)
−2

−2

( x + 1) ( x − 3)
−3
−3
−3
−3
 y = 6 ( x + 1) + 8 ( x − 3) = 3.2!( x + 1) + 4.2!( x − 3)
−4
−4
−4
−4
 y = −18 ( x + 1) − 24 ( x − 3) = −3.3!( x + 1) − 4.3!( x − 3)
2

2

Bằng quy nạp ta chứng minh được y

( n)

= ( −1) .n !3 ( x + 1)

n

− n −1

+ 4 ( x − 3)

n −1

.


Câu 12: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho n là số nguyên dương thỏa
mãn 3Cn2 + 2 An2 = 3n 2 + 15. Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển
n

 3 3 
 2 x − 2  , x  0.
x 


A. 1088640

B. 1088460

C. 1086408

D. 1084608

Đáp án A
Ta có
3Cn2 + 2 An2 = 3n 2 + 15 

3n!
2n !
7
+
= 3n 2 + 15  n(n − 1) = 3n 2 + 15
(n − 2)!2! (n − 2)!

2

 n = 10
 n 2 − 7n − 30 = 0  
. Mà n nguyên dương nên n = 10.
 n = −3

Khi

đó:
n

10
10
k
 3 3
3
−2 10
k
3 10−k
−2 k
2
x
−
=
2
x
−
3
x

=
C
2
x
.
−
3
x
=
C10k 210−k ( −3) x30−5 k , x  0.
(
)
(
)
(
)


10

2 
x 

k =0
k =0

Số hạng chứa x 10 trong khai triển ứng với 30 − 5k = 10  k = 4, và có hệ số là:


Câu 13: ( GV NGUYỄN BÁ TRẦN PHƯƠNG 2018 ) Cho dãy số ( un ) xác định bởi

u
u u
1
n +1
u1 = , un +1 =
un . Đặt S n = u1 + 2 + 3 + ... + n , tính L = lim S n
n →
9
2 3
9n
n

A. L = −

1
8

B. L =

1
8

C. L = −

1
4

Đáp án B
1
2

3
Ta có u1 = ; u2 = 2 ; u3 = 3
9
9
9

Ta sẽ chứng minh un =
 un+1 =

n
n
bằng quy nạp. Thật vậy, giả sử un = n
n
9
9

n +1
n +1 n n +1
.un =
=
(đúng với giả thiết quy nạp)
9n
9n 9n 9n+1

Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có un =

Sn =

n
9n

u1 u2 u3
u
+ + + ... + n
1 2 3
n
n

1
1−  
n
n
n
u
1i
1 1
1
1
9
Khi đó:  S n =  i = i =  i = .   = . 1 − n  .
9 1− 1
8 9 
i =1 i
i =1 i 9
i =1 9
9
1
1 1
 lim Sn = lim . 1 − n  = .
n→+

n→+ 8
 9  8
C104 .210−4.(−3) 4 = 1088640.

D. L =

1
4