( gv đặng thành nam) 5 câu lượng giác image marked image marked

(Gv Đặng Thành Nam 2018)Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình

Câu 1

sin 2 x − sin x = m + 2 m + 3sin x có nghiệm thực.

A. 7.

B. 2.

C. 3.

D. 6.

Đáp án C
Phương trình tương đương với:

sin 2 x + 2sin x = ( m + 3sin x ) + 2 m + 3sin x  sin x = m + 3sin x

sin x  0

 m  −2; −1;0 .
2

m = sin x − 3sin x   −2;0

Câu 2 (Gv Đặng Thành Nam): Biết rằng sin a,sin a cos a, cos a theo thứ tự lập thành một cấp số
cộng. Tính S = sin a + cos a.
A. S =

3− 5

.
2

B. S =

1+ 3
.
2

C. S =

1− 3
.
2

D. S =

1− 5
.
2

Đáp án D
Ta có điều kiện: sin a + cos a = 2sin a cos a  S = S 2 − 1  S =

1 5
.
2

1− 5
.

Đối chiếu S   − 2; 2   S =
2

Câu 3 (Gv Đặng Thành Nam): Có bao nhiêu cặp số thực
( x − 1) y

là

số

đo

ba

góc

một

tam

(x; y) sao cho ( x + 1) y, xy và

giác

(tính

theo

rad)

sin 2 [( x + 1) y] = sin 2 ( xy) + sin 2 [( x − 1) y].

A. 4.

B. 1.

C. 3.

D. 2.

Đáp án B

0  ( x + 1) y  


Theo giả thiết có 0  xy  
và ( x + 1) y + xy + ( x − 1) y =   3xy =   xy = .
3
0  x − 1 y  
)
 (
Và thay vào đẳng thức điều kiện có:


2

 




sin 2  y +  = sin 2   + sin 2  − y   1 − cos  2 y +
3
3

3
3


2

 cos  2 y +
3


2


 − cos  2 y −
3



 3
+ = 0
 2

 3
 2

− 2y

 = + 1 − cos 
 2
 3


và




2 y = + k 2

3
 2  3
3
 −2sin ( 2 y ) sin 

 + = 0  sin ( 2 y ) =
2
 3  2
 2 y = 2 + k 2

3
Đối chiếu với điều kiện nhận y =
Câu 4



 
 ( x; y ) =  2; 

6
 6

(Gv Đặng Thành Nam): Cho hai số thực dương x, y thoả mãn

3sin x + 15sin x sin y + 5sin y = 7sin( x + y) và x + y   . Giá trị nhỏ nhất của x + y bằng
A.

2
.
3

B.


.
6

C.

5
.
6

D.


.
3

Đáp án D
Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz có
 9 15 25 
sin 2 x + sin x sin y + sin 2 y =  +
+  ( sin 2 x + sin x sin y + sin 2 y )
 49 49 49 
2

 3sin x
15sin x sin y 5sin y 
2

+
+
 = sin ( x + y).
 7
7
7 

Do đó sin 2 x + sin x sin y + sin 2 y  ( sin x cos y + sin y cos x )

2

 sin 2 x sin 2 y + sin 2 y sin 2 x + sin x sin y − 2sin x sin y cos x cos y  0
 2sin x sin y + 1 − 2 cos x cos y  0  1 − 2 cos( x + y)  0

 cos( x + y ) 

Câu 5

1

 x+ y  .
2
3

(Gv Đặng Thành Nam): Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình

2cos2 x + 2(m + 1)sin x cos x = 2m − 3 có nghiệm thực.

A. 11.

B. 6.

C. 5.

D. 10.

Đáp án C
Phương trình tương đương với:
(1 + cos 2 x) + (m + 1) sin 2 x = 2m − 3  (m + 1) sin 2 x + cos 2 x = 2m − 4.

Phương trình có nghiệm:
 (2m − 4) 2  (m + 1) 2 + 12 

Có 5 số nguyên thoả mãn.

9 − 39
9 + 39
m

 m  1, 2,3, 4,5 .
3
3