( gv đặng thành nam) 9 câu nhị thức newton image marked image marked

Câu 1 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho (2 x + 1) n = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n thỏa mãn

a0 +

a
a1 a2
+ 2 + ... + nn = 4096. Tìm a5 .
2 2
2

A. 25 C105 .

C. 25 C125 .

B. 27 C125 .

D. 27 C105 .

Đáp án C
Thay x =

1
vào hai vế đẳng thức ta có:
2

2n = a0 +

a
a1 a2
+ 2 + ... + nn = 4096  n = 12  a5 = C125 25.
2 2

2

Câu 2 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Sau khi khai triển và rút gọn, biểu thức
20

10

1 

 3 1
 x − 2  +  x −  có bao nhiêu số hạng
x
x 



A. 32.

B. 27.

C. 29.

D. 28.

Đáp án C
20
10
1 
1



 −1 
 −1 
Ta có  x − 2  +  x3 −  = C20k x 20− k  2  + C10m x3(10− m )  
x 
x


 x  m=0
 x 
k =0
20

10

20

10

k =0

m=0

k

m

k 20 −3 k
= (−1) k C20
x

+ (−1) m C10m x30− 4 m .

0  m  10, 0  k  20
.
Ta tìm các số hạng trong hai khai triển có cùng luỹ thừa của x, tức 
20 − 3k = 30 − 4m

Suy ra m =

3k + 10
3k + 10
0
 10  k  0;1;...;10  (k ; m) = (2; 4);(6;7);(10;10).
4
4

Vậy trong khai triển đã cho có tất cả 21 +11 − 3 = 29 số hạng.
n

Câu (Gv Đặng Thành Nam 2018)Biết rằng hệ số của x

n−2

1

trong khai triển  x −  bằng
4


31. Tìm n.

B. n = 32.

A. n = 30.

C. n = 31.

D. n = 33.

Đáp án B
n
n
1

 −1 
 −1 
Ta có:  x −  = Cnk x n − k   = ak x n − k với ak = Cnk   .
4

 4 
 4 
k =0
k =0
n

k

k

2

 1
Theo giả thiết a2 = 31  Cn2  −  = 31  n = 32.
 4


Câu 4 (Gv Đặng Thành Nam 2018) Có tất cả bao nhiêu số hạng mà luỹ thừa của x nguyên

(

)

9

trong khai triển 2x − 3 x ?
A. 3.

B. 1.

C. 4.

D. 2.

Đáp án C
9

Ta có: (2 x − x ) = C (2 x)
3

9

k
9

9− k

k =0

k
3

9

k
3

.(− x) = (−1) .2

9− k

k
9

C x

9−

2k
3

.

k =0

Luỹ thừa của x nguyên khi và chỉ khi 9 −

2k
 Z  2k 3  k  0,3, 6,9 .
3

Vậy có bốn số hạng với luỹ thừa của x nguyên.
Câu 5 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Với n là số nguyên dương để Cn1 , Cn2 , Cn3 theo thứ tự lập
n

2

thành một cấp số cộng, số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức  x 4 + 3  bằng
x 


A. 560.

B. 672.

C. 280.

D. 448.

Đáp án A
Ta có điều kiện: Cn1 + Cn3 = 2 ( Cn2 )  n +

n(n − 1)(n − 2)
= n(n − 1)  n = 7.
6

7

2

Và  x 4 + 3  có số hạng không chứa x là 2k C7k x −3k x 4(7 − k ) với −3k + 4(7 − k ) = 0  k = 4,
x 


tức 24 C74 = 560.
Câu 6 (Gv Đặng Thành Nam 2018) Cho an là hệ số của x 2 sau khi khai triển thành đa thức
của (1 + x )(1 + 2 x ) .... (1 + nx ) . Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất thoả mãn an − an −1  327 .
2

A. 384.

n

B. 470.

C. 469.

D. 385.


Đáp án B
Đặt bn là hệ số của x trong khai triển, có a1 = 0, b1 = 1 và

... + an x 2 + bn x + 1 = (1 + x)(1 + 2 x) 2 ...(1 + nx) n
= (... + an −1 x 2 + bn −1 x + 1)(1 + nx) n

= (... + an −1 x 2 + bn −1 x + 1)(... + n 2 Cn2 x 2 + nCn1 x + 1)

n3 (n − 1) 2
= ... + (an−1 + n bn−1 +
) x + (bn−1 + n 2 ) x + 1.
2
2

an = an −1 + n 2

Vậy ta có 
n3 (n − 1)
bn = bn −1 + n 2
bn −1 +

2
n

Có bn = b1 +  ( bk − bk −1 ) = 1 + 22 + 32 + ... + n 2 =
k =2

Do đó an − an −1 = n 2 .

n(n + 1)(2n + 1)
.
6

(n − 1)n(2n − 1) n3 (n − 1) n3 (n2 − 1)
+
=
.
6
2
3

1
Vậy theo giả thiết có an − an −1 = n3 (n 2 − 1)  327  3ln n + ln(n 2 − 1)  28ln 3  n  470.
3

Chú ý có thể tìm được công thức tổng quát: an =

(n − 1)n2 (n + 1) 2 (n + 2)
.
18

Câu 7 (Gv Đặng Thành Nam 2018) Gọi ak là hệ số của số hạng chứa x k trong khai triển
a
a
a2
+ 3 3 + ... + n n = 72.
a1
a2
an −1

(1 + 2 x)n . Tìm n sao cho a1 + 2

B. n = 12.

A. n = 8.

C. n = 6.

D. n = 16.

Đáp án A
n

n

k =0

k =0

Ta có (1 + 2 x) n = Cnk (2 x) k = 2k Cnk x k  ak = 2k Cnk .

k

Do đó k

ak
2 C
= k k −1
ak −1
2 C

k
n

k −1
n

n!
1
k !(n − k )!
k
= 2k .
= 2k .
= 2(n − k + 1).
n!
1
(k − 1)!(n − k + 1)!
n − k +1
n

Do đó theo giả thiết có: S = k
k =1

n
n
ak
= 2(n − k + 1) = 2n(n + 1) − 2k
ak −1 k =1
k =1

= 2n(n + 1) − n(n + 1) = n(n + 1) = 72  n = 8.


Câu 8 : (Gv Đặng Thành Nam 2018)Hệ số của số hạng chứa x 5 trong khai triển

10

1 
 5 1
 x + 2 + 7  bằng
x
x 


A. 2520.

B. 1260.

C. 3150.

D. 4200.

Đáp án A
10

10
1
1 
1
1

Có  x5 + 2 + 7  = 70 ( x12 + x5 + 1) = 70
x
x 
x

x


C10k ( x12 + x5 ) =
10

k =0

k

1
x 70

10

k

C

k
10

Ckm x 5 k x 7( k −m ) .

k =0 m=0

5k + 7(k − m) − 70 = 5
Vậy 
 ( k ; m ) = (8;3). Hệ số cần tìm là C108 C83 = 2520.
0  m  k  10



Câu 9 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển
( x + 1)10 + (2 x + 1)11 + (3x + 1)12 là

A. C1010 + C1110 + C1210 .

B. C1010 + 2C1110 + 32 C1210 .

C. C1010 + 210 C1110 + 310 C1210 .

D. C1010 + 211 C1110 + 312 C1210 .

Đáp án B
Hệ số của x10 trong ( x + 1)10 ;(2 x + 1)11 ;(3x + 1)12 lần lượt là C1010 ; 210 C1110 ;310 C1210 .