( gv hứa lâm phong ) 6 bài toán thực tế image marked image marked

Câu 1 (GV HỨA LÂM PHONG): Cho mô hình sau:

Giả sử một người muốn đi từ A đến C buộc phải đi từ A đến một điểm M nào đó trên đoạn
BC, (M khác B và khác C) sau đó lại đi tiếp từ M đến C. Biết rằng vận tốc của người đó trên
quãng đường AM là 6 km/h, trên quãng đường MC là 8 km/h. Tính gần đúng tổng thời gian
T người đó di chuyển từ A đến C là ngắn nhất. Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.
A. T  2,5

C. T  2,9

B. T  2, 7

D. T  3,1

Đáp án C
2
Đặt MB = x  0  MC = 15 − x; MA = x + 81 và 15 − x  0  x  15. Vậy 0  x  15

Tổng thời gian di chuyển từ A đến C là:
Đặt

f ( x) =

 x 2 + 81 =

T=

x 2 + 81 15 − x
+
6
8

x 2 + 81 15 − x
x
1 f '( x )=0
4x
+
 f '( x) =
− ⎯⎯⎯→
x 2 + 81 =
2
6
8
3
6 x + 81 8
16 x 2 x( 0;15)
27
⎯⎯⎯⎯
→x =
 10, 21.
9
7

15 + 3 7
27
 2,867 khi x =
.
8
7
Câu 2 (GV HỨA LÂM PHONG): Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình:

Lập bảng biến thiên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của f là

S = t 2 − 2t + 3, trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Vận tốc của

chuyển động tại thời điểm t = 2s là:
A. 2m s

B. 5m s

C. 1m s

D. 3m s

Đáp án A
Ta có

v ( t ) = s ' ( t ) = 2t − 2  v ( 2) = 2.2 − 2 = 2

Câu 3 (GV HỨA LÂM PHONG): Một con lắc lò xo dao động với phương trình li độ là


x = 2sin  20t +  ( cm ) , thời gian được tính bằng s và li độ x được tính bằng cm. Tại thời
4


điểm t = 10s con lắc dao động với vận tốc là:
A. −20 2 ( cm s)

B. 20 2 ( cm s)

C. 20 2 ( cm s)

D. −20 2 ( cm s)


Đáp án C
Hàm số biểu thị sự thay đổi của vận tốc theo thời gian chính là đạo hàm của hàm


số biểu thị sự thay đổi của ly độ theo thời gian, nên ta có v = x ' = 40 cos 20t +  .t = 10s
4



thì vận tốc của con lắc sẽ là v = 40 cos 20.10 +  = 20 2 ( cm s)
4


Câu 4 (GV HỨA LÂM PHONG)Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau:
hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ 3 trồng 3 cây, ..., hàng thứ k
trồng k cây. Hỏi người ta đã trồng bao nhiêu hàng cây ?
A. 77

B. 78

C. 76

D. 75

Đáp án A

u = k
 k = 77
k
Đây là một dãy cấp số cộng với  k
 Sk = (k + 1)  k 2 + k − 6006 = 0  
2
 k = −78
d = 1

Câu 5 : (GV HỨA LÂM PHONG) Biết rằng mức lương của một kỹ sư ở công ty X trong
quý I năm 2017 (3 tháng đầu tiên của năm 2017) là S 0 (triệu đồng), kể từ quý II mức lương
sẽ được tăng thêm 0,5 triệu đồng mỗi quý. Tổng lương của kỹ sư đó tính từ quý I năm 2017
đến hết quý IV năm 2022 là 1002 (triệu đồng). Tính tổng lương S (triệu đồng) của kỹ sư tính
từ quý I năm 2017 đến hết quý IV năm 2015.
A. S = 1611

C. S = 324

B. S = 342

D. S = 1911

Đáp án A
Từ quý I năm 2017 đến hết quý IV năm 2022 là 24 quý.
Tổng lương chính là tổng của cấp ố cộng với u1 = S0 , công sai d=0,5.
Theo giả thiết, ta có: 1002 =

24 ( 2S0 + ( 24 − 1) 0,5)
2

 S0 = 36

Từ quý I năm 2017 đến hết quý IV năm 2015 là 36 quý.

S=

36 ( 2.36 + ( 36 − 1) 0,5)
2

= 1611.

Câu 6 (GV HỨA LÂM PHONG): Một nhà địa chất học đang ở tại điểm A trên sa mạc. Anh
ta muốn đến điểm B và cách A một đoạn là 70 km. Trong sa mạc thì xe anh ta chỉ có thể di
chuyển với vận tốc là 30 km/h. Nhà địa chất ấy phải đến được điểm B sau 2 giờ. Vì vậy, nếu
anh ta đi thẳng từ A đến B sẽ không thể đến đúng giờ. May mắn thay, có một con đường


nhựa song song với đường nối A và B và cách AB một đoạn 10 km. Trên đường nhựa này thì
xe của nhà địa chất học này có thể di chuyển với vận tốc 50 km/h. Tìm thời gian ngắn nhất
mà nhà địa chất học có thể đi từ A đến B (đảm bảo trong khung giờ cho phép).

A. 1,83 giờ

B. 1,93 giờ

C. 1,73 giờ

D. 1,86 giờ

Đáp án B

Phân tích:
● Ta có thể mô tả bài toán trên bằng hình vẽ sau:

● Như đã phân tích ở trên, nếu đi trực tiếp từ A đến B trên sa mạc với vận tốc và khoảng
cách hiện có thì nhà địa chất học không thể đến đúng thời gian quy định
● Vì vậy cần thiết phải chia quãng đường đi được thành 3 giai đoạn:
Giai đoạn 1: đi từ A đến C (từ sa mạc đến đường nhựa song song)
Giai đoạn 2: đi từ C đến D (một quãng đường nào đó trên đường nhựa)
Giai đoạn 3: đi từ D đến B (từ điểm kết thúc D trên đường nhựa đi tiếp đến B băng qua sa
mạc).
Goi H, K, C, D là các điểm như hình vẽ.
Khi đó gọi HC = x ( 0  x  70) và DK = y ( 0  y  70)
Quãng đường đi từ A đến C là AC = 102 + x 2  t1 =
Quãng đường đi từ D đến B là DB = 102 + y 2  t2 =

AC
vsahara

=

102 + x 2
30

102 + y 2
DB
=
vsahara
30

Và quãng đường đi C đến D là CD = 10 − ( x + y )  t3 =

CD 70 − ( x + y )
=
vstreet
50

Vậy tổng thời gian mà nhà địa chất học đi từ A đến B là T = t1 + t2 + t3


102 + y 2 70 − ( x + y )
10 + x 2
 T ( x; y ) =
+
+
30
30
50

Đây là một biểu thức có dạng đối xứng 2 biến x và y ta cần tìm min T ( x; y )
Ta có T ( x; y ) =

102 + y 2 35 − y
102 + x 2 35 − x
+
+
+
= f ( x) + f ( y)
30
50
30

50

102 + u 2 35 − u
Khi đó ta xét f ( u ) =
+
, 0  u  70
30
50
Xét f ' ( u ) =

u
30 102 + u 2

−

1
5u
15
, f ' ( u ) = 0  102 + u 2 =
0u=
50
3
2

 15  29
Lập bảng biến thiên ta có min f ( u ) = f   =
u( 0;70 )
 2  30

Do đó ta có T ( x; y ) = f ( x ) + f ( y ) 

Dấu “=” xảy ra khi x = y =

15
2

29 29 29
+
=
 1,93
30 30 15