( phần bonus) 10 câu nhị thức newton image marked image marked

Câu 1 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Với n là số nguyên dương thỏa
n

2 

mãn C1n + C2n = 55, số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức  x 3 + 2  bằng
x 


A. 322560

D. 13440

C. 80640

B. 3360

Đáp án D
Điều kiện: n  2.
Ta có C1n + C2n = 55 

 n = 10
n!
n!
1
+
= 55  n + n ( n − 1) = 55  
1!( n − 1) ! 2!( n − 2 )!
2
 n = −11( l )

n

10 − n

10

10
2  
2 

n 3n  2 
x  2
Khi đó  x 3 + 2  =  x 3 + 2  =  C10
x  
x 

x 
n =0

10

n 10 − n 5n − 20
=  C10
2 x
n =0

Số hạng không chứa x khi 5n − 20 = 0  n = 4  số hạng không chứa x là
4
C10
.210− 4 = 13440.

Câu 2: (ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Tìm số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp
gồm n phần tử (1  k  n).
A. Ank = Cnk .( n − k )! .
Ank =

k !( n − k )!
n!

B. Ank = Cnk .k ! .

C. Ank =

k!
.
( k − n )!

D.

.

Chọn B
Tự luận:
Ta có Ank =

n!
n!
; Cnk =
 Ank = Cnk .k !
( n − k )!

( n − k )!k !

Câu 3: (ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Tính tổng các hệ số trong khai triển (1 − 2 x )
A. 1 .

B. −1 .

C. 2018 .

2018

.

D. −2018 .

Chọn A
Tự luận:
0
1
2
− 2x.C2018
+ (−2x) 2 .C2018
+ ( −2x)3.C32018 + ... + ( −2x) 2018.C 2018
Xét khai triển (1 − 2x) 2018 = C2018
2018

Tổng các hệ số trong khai triển là


0

1
2
S = C2018
− 2.C2018
+ (−2) 2 .C2018
+ (−2)3.C32018 + ... + (−2) 2018 .C2018
2018

Cho x = 1 ta có
0
1
2
(1 − 2.1) 2018 = C2018
− 2.1.C2018
+ (−2.1) 2 .C2018
+ (−2.1)3.C32018 + ... + (−2.1) 2018 .C2018
2018

 ( −1)

2018

= S  S =1

Câu 4: (ĐỀ THI THỬ 2018) Giải bất phương trình
A. 3  n  7

Cnn −−13
1


4
A n +1 14P3

C. 3  n  6

B. n  7

D. n  6

Đáp án D
Điều kiện: n  3

( n − 1)!( n − 3)!  1  1  1  n + 1 n  42  n  6
Cnn −−13
1


( )
A 4n +1 14P3
( n − 3)!2!( n + 1)! 14.3 ( n + 1) n 42
n

n
1 

Câu 5 (ĐỀ THI THỬ 2018)Cho khai triể n: P ( x ) =  x + 4  =  Ckn
2 n  k =0


( x)

n −k

 1 
 4 
2 n 

k

biế t ba hê ̣ số đầ u tiên lâ ̣p thanh̀ cấ p số cô ̣ng. Tìm các số ha ̣ng của khai triển nhâ ̣n giá tri hư
̣ ̃u
tỷ x  N*
A.

C84
x
24

B.

1
2 x2

D. đáp án khác

C. A và B

8

Đáp án C

n ( n − 1)
1 n
1
Ba hệ số đầu tiên của khai triển là C = 1; C . = và C 2n   =
lập thành cấp số
2 2
8
2
2

0
n

cộng nên: 1 +

1
n

n = 8
n ( n − 1)
n
= 2.  n 2 − 9n + 8 = 0  
8
2
 n = 1( L )

( n = 1 thì khai triển chỉ có 2 số hạng)
8− k

Ck x 2

Các số hạng của khai triển đều có dạng: k8 . k
2
x4
( 8 − k ) 2
 k  0; 4;8
Số hạng nhận giá trị hữu tỷ x  N* ứng với 
k 4

Vậy khai triển có 3 số hạng luôn nhận giá trị hữu tỷ x  N* là 1;

1
C84
x và 8 2
4
2 x
2


Câu 6 (

ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Tổng S = C02018 + C22018 + ... + C2018
2018 bằng
D. 21008 .

C. 21009 .

B. 22017 .

A. 22016 .
Hướng dẫn giải: Chọn B

Xét nhị thức (1 + x )

2018

2018

=  Ck2018 .x k , chọn x =-1 và x=1 rồi công từng vế ta được S = 22017
k =0

Câu 7: (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)số hạng không chứa x trong khai triển của
n

1 

2
1
 x x + 4  , với x  0 , nếu biết rằng C n − C n = 44
x 


A. 165

B. 238

C. 485

D. 525

Đáp án A
Ta có C2n − C1n = 44 

n ( n − 1)
− n = 44  n = 11 hoặc n = −8 (loại)
2
11

1 

Với n = 11 , số hạng thứ k + 1 trong khai triển nhị thức  x x + 4  là
x 

k
11

C

(x x )

11− k

k

33 11
− k
 1 
k
2 2
 4  = C11x
x 

Theo giả thiết, ta có

32 11k
−
= 0 hay k = 3
3
2

3
= 165
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển đã cho là C11

Câu 8(Toán Học Tuổi Trẻ 2018)Hệ số có giá trị lớn nhất khi khai triển P( x) = (1 + 2 x)12
thành đa thức là
A. 162270

B. 162720

Đáp án D
12

k k k
Ta có: (1 + 2 x)12 =  C12
2 .x
k =0

k k
2
Suy ra hệ số tổng quát là Tk = C12

k +1 k +1
k k
.2  C12
.2
*Nếu Tk +1  Tk  C12

12!
12!
.2 
(k + 1)!(12 − k − 1)!
k !(12 − k )!
2
1
23


 24 − 2k  k + 1  k 
k + 1 12 − k
3



C. 126270

D. 126720


Hay k 0;1;2;...;7
Suy ra T0  T1  T2  T3  ...  T7  T8
k +1 k +1

k k
*Nếu Tk +1  Tk  C12
.2  C12
.2

12!
12!
.2 
(k + 1)!(12 − k − 1)!
k !(12 − k )!
2
1
23


 24 − 2k  k + 1  k 
k + 1 12 − k
3



Hay k 8,9,10,11,12

 T8  T9  T10  T11  T12
Vậy Max = T8 = 126720

10

Câu (Toán Học Tuổi Trẻ 2018)Tìm hệ số của x 7 trong khai triển f (x) = (1- 3x + 2 x3 )
thành đa thức

A. 204120

B. -262440

C. -4320

D. -62640

Đáp án D
10

10

Ta có (1- 3 x + 2 x 3 ) =

k

å å

i

C10k Cki 210- k (- 3) x 30- 3k + i . Các cặp số nguyên (i, k )thỏa mãn

k = 0 i= 0

0 £ i £ k £ 10,30 - 3k + i = 7 là (i, k )= (1,8), (4,9), (7,10).

Do đó hệ số của x 7 trong khai triển đã cho là
4

7

10 7 0
C108 C81 22 (- 3)+ C109 C94 21 (- 3) + C10
C10 2 (- 3) = - 62640

Câu 10 : (Toán Học Tuổi Trẻ 2018)Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức
n

3

Newton của  2x 2 −  ( x  0 ) , biết rằng 1.Cn1 + 2.Cn2 + 3.Cn3 + ... + n.Cnn = 256n ( Cnk là số tổ
x

hợp chập k của n phần tử).

A. 489888.
Đáp án A

B. 49888.

C. 48988.

D. 4889888.


n

Xét khai triển (1 + x ) =  Cnk x k −1 .
n

k =0

n

Chọn x = 1 ta được n.2n −1 =  kCnk . Kết hợp giả thiết có n.2n −1 = 256n  n = 9 . Với n = 9 ta
k =0

có
9

9
k
 2 3
k 9− k
18 −3 k
2
x
−
=
.

  C9 2 . ( −3) .x
x  k =0


Suy ra: 18 − 3k = 0  k = 6 .
Vậy số hạng cần tìm là: 23.36.C96 = 489888.