(GV ĐẶNG VIỆT ĐỘNG)13 câu NHỊ THỨC NEWTON image marked image marked

Câu 1:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tính tổng các hệ số trong khai triển (1 − 2x )
A. ‒1

C. ‒2018

B. 1

2018

.

D. 2018

Đáp án B.
Xét khai triển

(1 − 2 x )

2018

0
1
2
3
= C2018
+ ( −2 x ) .C2018
+ ( −2 x ) .C2018
+ ( −2 x ) .C2018
+ ... + ( −2 x )
2

3

2018

2018
.C2018

Tổng các hệ số trong khai triển là
0
1
2
3
S = C2018
+ ( −2 ) .C2018
+ ( −2 ) .C2018
+ ( −2 ) .C2018
+ ... + ( −2 )
2

3

2018

2018
.C2018

Cho x = 1 ta có

(1 − 2.1)
 ( −1)

2018

0
1
2
3
= C2018
− 2.1.C2018
+ ( −2.1) .C2018
+ ( −2.1) .C2018
+ ... + ( −2.1)

2018

= S  S = 1.

2

3

2018

2018
.C2018

Câu 2:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn −1 − Cn3 = 0
n

 x2 1 

. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của  −  , x  0 .
 2 x
5

A. −

35 5
x.
16

B. −

35
.
16

C. −

35 2
x .
2

D.

35 5
x.
16

Đáp án A.
Ta có 5Cnn −1 − Cn3 = 0  5n −

n ( n − 1)( n − 2 )
= 0  n = 7.
6
7

 x2 1 
Do đó ta có khai triển nhị thức Niu-tơn của  −  .
 2 x
4

 x2   1 
35
Số hạng chứa x trong khai triển trên là C    −  = − x5 . .
16
 2   x
3

3
7

5

Phân tích phương án nhiễu.
Phương án B: Sai do HS nhầm yêu cầu số hạng chứa x 5 với hệ số của số hạng chứa x 5 .
Phương án C: Sai do HS viết sai số hạng chứa x 5 . Cụ thể là

(x )

2 4

3
7

C

3

35 5
 1
−  = − x .
2  x
2

Phương án D: Sai do HS viết sai số hạng chứa x 5 . Cụ thể là
4

 x 2   1  35 5
C     =
x.
 2   x  16
3
7

3


Câu 3:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức
Newton của P ( x ) = (1 + 2 x )

12

A. 126700.

B. 126730.

C. 126720.

D. 126710.

Đáp án C.
12

12

Ta có P ( x ) = (1 + 2 x ) =  C12k 112− k ( 2 x ) =  C12k 2k x k .
12

k

k =0

Gọi ak = C12k 2k , ( 0  k  12, k 

k =0

)

là hệ số lớn nhất trong khai triển.

ak  ak +1 C12k 2k  C12k +1 2k +1
 k k
Suy ra 
k −1 k −1
a

a
k −1
 k
C12 2  C12 2
12!
12!

2
k
 1
.2

.2k +1

 (12 − k ) !k !

(11 − k )!( k + 1)!
 12 − k k + 1



1
1
12!

12!
 

.2k 
.2k −1
 k 2 (13 − k )
 (12 − k ) !k !
(13 − k )!( k + 1)!

k + 1  2 (12 − k )
23
26


k
→ k = 8.
3
3
 2 (13 − k )  k

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển đã cho là a8 = 28 C128 = 126720 .
Câu 4:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tìm tất cả các số tự nhiên k sao cho C14k , C14k +1 , C14k + 2
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng

k = 4
A. 
.
k = 5

k = 7

C. 
.
k = 8

k = 3
B. 
.
k = 9

Đáp án D.

0  k  12
Điều kiện: 
. Yêu cầu bài toán  C14k + C14k + 2 = 2C14k +1
 k



14!
14!
14!
+
= 2.
(14 − k )!k (12 − k )!( k + 2 )! (13 − k )!( k + 1)!
1

+

1

=

2

(14 − k )(13 − k ) ( k + 2)( k + 1) (13 − k )( k + 1)

 ( k + 1)( k + 2) + (14 − k )(13 − k ) = 2 (14 − k )( k + 2)

 k 2 + 3k + 2 + 182 − 27 k + k 2 = 2 ( 28 + 12k − k 2 )

k = 4
D. 
.
k = 8


k = 4
 4k 2 − 48k + 128 = 0  
.
k = 8
Câu

GV

5:(

(1 − 3x + 2 x )

2 2017

ĐẶNG

ĐÔNG

VIỆT

2018)

Cho

khai

biến

= ao + a1 x + a2 x 2 + ... + a4034 x 4034 . Tìm a2

A. 18302258

B. 16269122

C. 8132544

D. 8136578

Đáp án A.
Từ giả thuyết suy ra a2 là hệ số của số hạng chứa x 2 trong khai triển đa thức.
Ta có (1 − 3 x + 2 x 2 )

=  2 x 2 + (1 − 3 x ) 

2017

2017

k

k =0

i =0

2017

k
=  C2017
( 2x2 )
2017

2017 − k

(1 − 3x )

k

k =0

2017 k

k
k
22017 − k x 4034− 2 k  Cki ( −3x ) =   C2017

Cki 22017 − k ( −3) x 4034− 2 k +i
 C2017
i

i

k =0 i =0

0  k  2017
0  k  2017
0  i  k
0  2k − 4032  k



Ta có hệ phương trình sau 
4034 − 2k + i = 2
i = 2k − 4032
i, k 
i, k 
0  k  2017
2016  k  2017
2016  k  4032
 k = 2016, i = 0


 i = 2k − 4032


 k = 2017, i = 2

i = 2k − 4032
i, k 

i, k 
2016 0
2017 2
C2016 21 ( −3) + C2017
C2017 20 ( −3) = 18302258 .
Vậy a2 = C2017
0

Câu

GV

6:(

ĐẶNG

n

 2x 
2
1 −  = a0 + a1 x + a2 x +
3


6

 2

A. C .  −  .
 3
6
13

2

VIỆT

ĐÔNG

+ an x n . Tìm max a0 ; a1; a2 ;
8

 2
B. C .  −  .
 3
8
12

2018)

khai

triển

;a n  biết An2− 2 + Cnn − 2 = 188.
7

 2

C. C  −  .
 3
7
13

Đáp án A.
+ Ta có An2−2 + Cnn −2 = 188 

Cho

(n − 2)!
n!
+
= 188
(n − 4)! (n − 2)!2!

28

n = − (1)
n(n − 1)
2

 (n − 2)(n − 3) +
= 188  3n − n − 364 = 0 
3

2
 n = 13
13

 2x 
+ Tìm hệ số lớn nhất trong các số hạng của khai triển  1 −  .
3 


7

2
D. C .   .
3
8
13


 2x 
Số hạng tổng quá Tk +1 = C13k 113− k  − 
 3 

k

k
a  ak +1
 2
 ak = c13k  −   ak là giá trị lớn nhất   k
 3
ak  ak −1
k +1
 k  2 k
2
k +1 

C13  −   C13  − 
0  k  13
  3
 3
k =6

với

k
k −1
k


2
 k  2
k −1 
C13  − 3   C13  − 3 


8

 2
Vậy hệ số max là a8 = C  −  .
 3
6
13

Cách 2: Dùng MTCT
+ Dùng công cụ nhập MODE 7 nhập f ( X ) = ( X − 2) P2 + XC ( X − 2) − 188
Start: 3

f ( x)

Bảng giá trị x

End: 23
Step: 1

13

0

Từ bảng giá trị tìm x sao cho f ( x ) = 0  x = 13 . Vậy n = 13 .
13

k

13
 2x 
 2
 2
+ Có 1 −  =  C13k .  −  .x k  ak = C13k .  − 
3 

 3
 3
k =0

 2
+ Nhập vào máy tính f ( x ) = (13CX )  − 

 3
Start: 0

k

k

Bảng giá trị x

f ( x)

End: 13
Step: 1

6

150.65 → max

Từ bảng giá trị f ( x ) chọn f ( x ) lớn nhất  Giá trị x cần tìm là k

 k = x = 6 thì f ( x ) = 150.65 là giá trị lớn nhất.
Câu 7:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tìm hệ số x 5 trong khai triển đa thức của

x (1 − 2 x ) + x 2 (1 + 3x ) .
5

A. 3310
Đáp án D.

10

B. 2130

C. 3210

D. 3320


Đặt f ( x ) = x (1 − 2 x ) + x 2 (1 + 3 x )
5

10

5

10

5

10

Ta có f ( x ) = x  C5k . ( −2 ) .x k + x 2  C10i . ( 3x ) =  C5k . ( −2 ) .x k +1 +  C10i .3i.x i + 2
k

k =0

i =0

i

k

k =0

i =0

Vậy hệ số của x 5 trong khai triển ứng với k = 4 và i = 3 là:

C54 . ( −2 ) + C103 .33 = 3320
4

Câu 8:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tính giá trị của biểu thức: A =

An4+1 + 3 An3
. Biết rằng:
( n + 1)!

Cn2+1 + 2Cn2+ 2 + 2Cn2+3 + Cn2+ 4 = 149.

A.

4
.
3

3
.
4

B.

C.

5
.
4

D.

4
.
5

Đáp án B.
Giải phương trình: Cn2+1 + 2Cn2+ 2 + 2Cn2+3 + Cn2+ 4 = 149.
Điều kiện: n  3
Phương trình 

( n + 1)! + 2. ( n + 2 )! + 2. ( n + 3)! + ( n + 4 )! = 149
2!( n − 1)!
2!n!
2!( n − 1)! 2!( n + 2 )!

n = 5
 n2 + 4n − 45 = 0  
 n = −9

Vậy A =

A64 + 3 A53 3

= .
6!
4

Câu 9:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho (1 − 2 x ) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + a12 x12 thì giá trị
12

S = a0 − a1 + a2 − a3 + ... + a12 là:

A. 312

C. −1

B. 1

D. 0

Đáp án A.
Chọn x = −1  (1 + 2 ) = a0 − a1 + a2 − a3 + ... + a12  S = 312 .
12

Câu 38:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Số hạng không chứa x trong khai triển nhị thực
12

2

Niu-tơn:  x +  là:
x


B. C126 .26.

A. C126 .25.

C. C125 .25.

D. C126 .27.

Đáp án B
12

k

12
12
2

2
Ta có  x +  =  C12k .x12− k .   =  C12k .2k .x12− 2 k  12 − 2k = 0  k = 6
x

 x
k =0
k =0


 Số hạng không chứa x trong khai triển là C120 .26

Câu 10:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Gọi Cnk và Ank lần lượt là tổ hợp chập k của n và
chỉnh hợp chập k của n. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

B. Cnk−−11 + Cnk−1 = Cnk .

A. Cnk = Cnn − k .

C. Ank = Ann − k .

D. Ank = k !Cnk .

Đáp án C
Các đáp án A, B, D đều đúng nên C là đáp án sai.
Câu
11:(
GV
ĐẶNG
VIỆT
1 0
1 1
1 2
1
2018
S = C2018
+ C2018
+ C2018
+ ... +
C2018
là
1
2
3
2019

A.

22018 − 1
.
2018

22019 − 1
.
2019

B.

C.

ĐÔNG

22018 − 1
.
2019

2018)

D.

Tổng

22019 − 1
.
2018

Đáp án B.
Ta có số hạng tổng quát:

1 k
1
2018!
1
2019!
1
k+1
C2018 =
.
=
.
=
.C2019
k +1
k + 1 k! ( 2018 − k )! 2019 ( k + 1)! ( 2018 − k )! 2019
Cho k chạy từ 0 đến 2018 ta được:

(

)

(

)

1
1

2
2018
2019
C2019
+ C2019
+ ... + C2019
+ C2019
2019
C0
1
0
1
2
2019
=
C2019
+ C2019
+ C2019
+ ... + C2019
− 2019
2019
2019
1
=
22019 − 1 .
2019

S=

(

Câu
P=C

)

GV

12:(
0
2018

.2

2018

−C

1
2018

.2

2017

ĐẶNG
+C

2
2018

.2

2016

B. P = 0.

A. P = 1.

− ... + C

VIỆT
2018
2018

ĐÔNG

2018)

Tổng

là:
C. P = 22017.

D. P = 22018.

Đáp án A.
Xét các khai triển

( a + b)

2018

0
1
2
2018 2018
= C2018
a 2018 + C2018
a 2017 b + C2018
a 2016b2 + ... + C2018
b .

Thay a = 2, b = −1 ta có:
0
1
2
2018
1 = C2018
22018 − C2018
22017 + C2018
22016 + ... + C2018
= P.

Câu 13:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển:
17

 1

4 3

3 2 + x 
 x


( x  0) .


C. C177 .x 7 .

B. C178 .x8 .

A. C177 .
Đáp án D.
17

17 − k

17
 1

 −2 
Ta có 
+ 4 x3  =  C17k  x 3 
3 2
k =0


 x


Muốn số hạng đã cho không chứa x phải có:
2
34 3k
17k 34
k− +
=0
−
=0 k =8.
3
3
4
12
3

Vậy số hạng cần tìm là C178 .

k

2 34 3 k
17
k− +
 3
.  x 4  =  C17k .x 3 3 4 .
  k =0

D. C178 .