u = 5
Câu 1: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Cho dãy số 1
. Tính u100 ?
un+1 = uu + n
B. 4955 .
A. 4950 .
D. 4965 .
C. 4960 .
Hướng dẫn: B
u1 = 5
u = u + 1
1
2
u3 = u2 + 2
+ Ta đi dự đoán công thức tổng quát của un theo n . Ta có
u4 = u3 + 3
........
un +1 = un + n
+ Cộng vế với vế ta được
Khi đó un+1 = 5 + (1 + 2 + 3 + ... + n ) = 5 +
Vậy u100 = 5 +
Câu
2:
n ( n + 1)
2
99.100
= 4955 .
2
(Gv
Lê
Tuấn
Anh
2018)
u(1) = 1; u(m + n) = u(m) + u(n) + mn
. , m, n
A. 2035153
B. 2035154
Cho
*
dãy
số
xác
u( n)
định
bởi
. Tính u(2017)
C. 2035155
D. 2035156
Chọn đáp án A
Áp dụng hệ thức f (m + n) = f (m) + f (n) + m.n
f (2) = f (1 + 1) = f (1) + f (1) + 1.1
f (3) = f (2 + 1) = f (2) + f (1) + 2.1
f (4) = f (3 + 1) = f (3) + f (1) + 3.1 f ( k) = kf (1) + 1.1 + 2.1 + 3.1 + ... + ( k − 1).1
...
f (k) = f (k − 1) + f (1) + f (k − 1).1
f (k) = kf (1) +
2017
(k − 1).k
= 2035153
. Vậy f (2017) = 2017 + 2016.
2
2
Câu 3 : (Gv Lê Tuấn Anh 2018)Cho dãy số
u1 = 1, un+1 =
(un )
được xác định bởi
1
2
un + với mọi n 1 . Tìm giới hạn của (un )
2
un
A. lim un = 1
Chọn đáp án C
B. lim un = −1
C. lim un = 2
D. lim un = − 2
Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được (un ) 0 với mọi n
Đề bài không cho biết dãy số (un ) có có giới hạn hữu hạn hay không, tuy nhiên các đáp án
đề bài cho đều là các giới hạn hữu hạn. Do đó có thể khẳng định được dãy số (un ) có giới
hạn hữu hạn. Đặt lim un = L 0
1
2
2
1
2
lim un+1 = lim un + . Hay L = L + L = L2 = 2 L = 2 .
2
un
2
L
L
Vậy lim un = 2 (loại trường hợp lim un = 2 )
Cách 2: Sử dụng MTCT (quy trình lặp). Nhập vào như màn hình sau
Bấm CALC . Máy hỏi X? nhập 1 rồi bấm phím
liên tiếp. Khi nào thấy giá trị của Y
không đổi thì dừng lại. Giá trị không đổi đó của Y là giới hạn cần tìm của dãy số.
Trong bốn đáp án đã cho, bằng phương pháp loại trừ, ta thấy chỉ có đáp án C là phù hợp với
kết quả tính toán trên máy tính
(
)
2 2,41423568
Câu 4 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Cho cấp số cộng (un ) có công sai d = −3 và u22 + u32 + u42
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng S100 của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó
B. S100 = −14400
A. S100 = −14650
C. S100 = −14250
D. S100 = −15450
Chọn đáp án C
Đặt a = u1 thì
u22 + u32 + u42 = (a + d)2 + (a + 2d)2 + (a + 3d)2 = 3a2 − 36a + 126 = 3(a − 6)2 + 18 18 với mọi a
Dấu bằng xảy ra khi a − 6 = 0 a = 6 . suy ra u1 = 6
Ta có S100 =
100. 2u1 + (100 − 1)d
2
= −14250
u1 = 1
Câu 5 (Gv Lê Tuấn Anh)Cho dãy số ( un ) xác định bởi
. Tính tổng
2
un+1 = 3un + 2, n 1
2
S = u12 + u22 + u32 + ... + u2011
A. 32011
B. 32011 − 1
C. 32011 − 2012
D. 32011 − 2011
Chọn đáp án C
+ Ta có un2+1 = 3un2 + 2 un2+1 + 1 = 3 ( un2 + 1) . Đặt
vn = un2 + 1; v1 = 2 vn +1 = 3vn vn = v1q n −1 = 2.3n −1 un2 = 2.3n −1 − 1
+ Ta có