(GV mân ngọc quang)54 câu oxyz image marked image marked
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.22 MB, 25 trang )
Câu 1 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác MNP với
M (1; −1) , N ( 3;1) , P ( 5; −5) . Tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là:
B. I ( −4;2 )
A. I ( 4;2 )
C. I ( 4; −4 )
D. I ( 4; −2 )
Đáp án D.
I ( x; y ) là tâm đường tròn ngoại tiếp MNP
( x − 1)2 + ( y + 1)2 = ( x − 3)2 + ( y − 1)2
MI 2 = NI 2
2
2
2
2
2
2
MI = PI
( x − 1) + ( y + 1) = ( x − 5 ) + ( y + 5 )
x + y = 2
x = 4
I ( 4; −2 )
x − y = 6
y = −2
Câu 2 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Trong không gian Oxy cho ba vecto a = ( 2, −5,3) ;
b
b = ( 0, 2, −1) ; c = (1, 7, 2 ) . Tọa độ của vecto u = 4a − + 3c là:
3
1 55
B. u = −11, ,
3 3
1 55
A. u = 11, ,
3 3
−1 55
C. u = 11, ,
3 3
−1 −55
D. u = 11, ,
3 3
Chọn A.
a = ( 2, −5,3) 4a = (8, −20,12 )
Ta có:
b
2 1
b = ( 0, 2, −1) − = 0, − ,
3
3 3
c = (1, 7, 2 ) 3c = ( 3, 21, 6 )
b
1 55
Vậy u = 4a − + 3c = 11, ,
3
3 3
Câu 3
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Cho ba vectơ a = ( 3; −1; −2) , b = (1;2; m ) , c = (5;1; 7 ) .
Xác định m để c = a, b
A. m = −1
Chọn A.
B. m = −9
C. m = 1
D. m = 9
−1
5 =
2
3
c = a, b 1 = −
1
3
7 =
1
−2
= −m + 4
m
−2
= − ( 3m + 2 ) m = −1
m
−1
2
Bình luận: Ta có cách làm nhanh sau:
c ⊥ a
c = a, b
c ⊥ b c.b = 0 1.5 + 2.1 + 7m = 0 m = −1
Câu 4 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Cho mệnh đề:
1) Mặt cầu có tâm I (1; 0; −1) , đường kính bằng 8 là: ( x − 1) + y 2 + ( z + 1) = 16
2
2
2) Mặt cầu có đường kính AB với A = ( −1;2;1) , B = ( 0;2; 3 ) là:
2
1
x + + y − 2
2
(
) + (z − 2 )
2
2
=
5
4
3) Mặt cầu có tâm O ( 0; 0; 0 ) và tiếp xúc với mặt cầu
là: x 2 + y 2 + z 2 = 30 2 29
Số mệnh đề đúng là bao nhiêu:
A. 1
B. 2
Chọn B.
(S) có tâm ( 3; −2; 4 ) , bán kính bằng 1
C. 3
D. 0
1) ( x − 1) + y 2 + ( z + 1) = 16
2
2
2
1
2) x + + y − 2
2
(
) + (z − 2 )
2
2
=
5
4
3) x 2 + y 2 + z 2 = 30 2 29
Chú ý đến tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài của 2 mặt cầu .
Câu 5
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian Oxyz cho hai điểm
M ( 2; −1; 7 ) , N ( 4; 5; −2 ) . Đường thẳng MN cắt mặt phẳng (Oyz) tại P. Tọa độ điểm P là:
A. ( 0; −7;16 )
B. ( 0; 7; −16 )
C. ( 0; −5;12 )
Chọn A.
(
(Oyz) tại P
) (
)
P ( 0; y ; z ) MP = ( −2; y + 1; z − 7 ) ; MN = (2; 6; −9)
M 2; −1; 7 , N 4; 5; −2 . MN cắt mặt phẳng
Ta có: M, N, P thẳng hàng MP cùng phương MN
D. ( 0; 5; −12 )
y = −7
−2 y + 1 z − 7
=
=
. Vậy P 0; −7;16
2
6
−9
z = 16
(
)
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Trong không gian Oxyz cho hai vectơ
a = ( 3; −2;1) , b = (2;1; −1) . Với giá trị nào của m thì hai vectơ u = ma − 3b và v = 3a − 2mb
Câu 6
cùng phương?
A. m =
2 3
3
Chọn B.
(
B. m =
)
(
3 2
2
C. m =
3 5
5
(
)
a = 3; −2;1 , b = 2;1; −1 u = ma − 3b = 3m − 6; −2m − 3; m + 3
(
v = 3a − 2mb = 9 − 4m ; −6 − 2m ; 3 + 2m
u cùng phương v
(
(
D. m =
5 7
7
)
)
3m − 6 −2m − 3
m +3
=
=
9 − 4m
−6 − 2m
3 + 2m
)(
) (
) (
)(
3m − 6 6 + 2m = 9 − 4m
2
2m + 3 = m + 3 6 + 2m
)(2m + 3) m
)
2
=
9
3 2
m =
2
2
Câu 7
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian Oxyz cho tam giác MNP với
M (1; 0; 0 ) , N ( 0; 0;1) , P (2;1;1) . Góc M của tam giác MNP bằng:
A. 450
Chọn C.
(
) (
) (
D. 1200
C. 900
B. 600
)
(
)
(
)
M 1; 0; 0 , N 0; 0;1 , P 2;1;1 MN = −1; 0;1 ; MP = 1;1;1
cos M =
MN .MP
=
−1 + 0 + 1
MN . MP
= 0 M = 900
2. 3
Câu 8. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng
( ) cắt ba trục tọa độ tại M ( −3; 0; 0 ) , N ( 0; 4; 0 ) , P ( 0; 0; −2 ) có phương trình là:
A. 4x − 3y + 6z + 12 = 0
B. 4x − 3y + 6z − 12 = 0
C. 4x + 3y + 6z + 12 = 0
D. 4x + 3y − 6z + 12 = 0
Chọn A.
( ) cắt 3 trục tọa độ tại M ( −3; 0; 0) , N ( 0; 4; 0 ) , P ( 0; 0; −2 )
Phương trình mặt phẳng ( ) có dạng:
Câu 9
x
y
z
+ +
= 1 4x − 3y + 6z + 12 = 0
−3 4 −2
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Đường thẳng
mp ( P ) : x + y + z + 1 = 0 và
cắt
cả
2
đường
(d) vuông góc với
x −1 y +1
=
=z
thẳng ( d1 ) :
và
2
−1
x − 2 y + z −1 = 0
có phương trình là:
2 x − y − 2 z + 1 = 0
2 x + y − 3z + 1 = 0
2 x + y − 3z − 1 = 0
A.
B.
x − 2 y + z = 0
x − 2 y + z −1 = 0
( d2 ) :
x + y − 3z − 1 = 0
x + y − 3z + 1 = 0
C.
D.
2 x − 2 y + z − 1 = 0
2 x − 2 y + z = 0
Chọn B.
(d1 ) đi qua (A d1, B d2 ) , VTCP a = (2; −1;1) mặt phẳng ( P ) có VTPT B d2
(
)
B = 8 + 2t '; 6 + t ';10 − t ' .
Gọi A B = ( −8 + 2t '− t ; 4 + t '+ t ;14 − t '− 2t ) là mặt phẳng chứa (d1 )
và A B ⊥ u1 6t + t ' = 16 thì A B ⊥ u 2 t + 6t ' = 26 qua
(
(
)
6t + t ' = 16
t = 2
A = 2; 0; 0
và có VTPT là I = 1; 5; 3
t + 6t ' = 26
t'=4
B
=
0;10;
6
Nên phương trình
(
) (
2
)
35 : x − 1 + y − 5
) + (z − 3 )
2
2
(
)
(
) (
) (
= 35 A 1, 1, 1 , B −1, 2, 0 , C 2, −3, 2
2x − y + z + 1 = 0
2x + y + z + 1 = 0
)
(d ) đi qua x − 4y + z − 7 = 0 có VTCP x − 4y − z − 7 = 0
2
2x + y + z + 1 = 0
Gọi A BC là mặt phẳng chứa d2 và A BC thì
đi qua M ( x , y , z ) và có
x − 4y − z − 7 = 0
MA 2 = MB 2
MA
=
MB
=
MC
VTPT
2
2
MB = MC
x −1 2 + y −1 2 + z −1 2 = x +1 2 + y −2 2 + z − 0 2
nên
2
2
2
2
2
2
x −1 + y −1 + z −1 = x −2 + y + 3 + z −2
−4x + 2y − 2z − 2 = 0
2x − y + z + 1 = 0
2x − 8y + 2z − 14 = 0
x − 4y + z − 7 = 0
(
(
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
)
)
Vậy đường thẳng (d ) vuông góc với ( P ) cắt cả d1, d2 là giao tuyến của 2 mặt phẳng M ( x 1, y1 )
2x − y + z + 1 = 0
và
có phương trình là: A BC
x − 4y + z − 7 = 0
Câu 10 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Đường thẳng đi qua I ( −1;2;3) cắt hai đường thẳng
x −1 y +1 z
x − 2 y +1
=
= và ( d ') :
=
=
3
1
1
2
3
x + 2 y − z + 3 = 0
A.
27 x + 7 y + 15 z − 32 = 0
y − z +1 = 0
C.
27 x + 7 y + 15 z − 32 = 0
(d ) :
z +1
là:
−5
y − 2z +1 = 0
B.
27 x − 7 y + 15 z − 32 = 0
2 x + 3 y − z + 5 = 0
D.
27 x + 7 y − 15 z − 32 = 0
Chọn C.
(d ) qua M (1; −1; 0 ) , VTCP v = (m + 2n, 2n − m , −m + n ) ; (d ' ) qua ( ) ⊥ (P )
(
) (
) (
)
Viết phương trình ( ) chứa (d ) và I
Ta có MI = ( −2; 3; 3 ) a; MI = ( 0; −11;11) n = ( 0;1; −1) là VTPT của ( )
pt ( ) qua I và có VTPT −11x − 13y − 5z-19 = 0 nên ( ) có phương trình:
(y − 2 ) − ( z − 3 ) = 0 y − z + 1 = 0
Viết phương trình (P ) : x + 3y − z − 12 = 0 chứa (d ' ) và qua I
Ta có: NI = ( −3; 3; 4 ) n ' = NI ;b = (27; 7;15 ) là VTPT của ( )
(P ) : x + 3y + z − 12 = 0 qua I và có VTPT M (0, 1, −1), N (0, −1, −1) nên ( ) có phương trình:
n ⊥ v = n .v = 0 VTCP 3 m + 2n − 2 2n − m + m − n = 0
M (0, 1, 1), N (0, 1, −1)
* Đường thẳng 15x − 11y + 17z − 10 = 0 qua I, cắt cả (d ) , (d ' ) chính là giao tuyến của 2 mp ( )
y − z + 1 = 0
và 15x − 11y + 17z + 10 = 0 nên có phương trình:
27x + 7y + 15z − 32 = 0
Câu 11 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt
phẳng ( P ) : 5x − 2 y + 5z −1 = 0 và (Q) : x − 4 y − 8 z + 12 = 0. Mặt phẳng ( R ) đi qua điểm M
trùng với gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng ( P ) và tạo với mặt phẳng ( Q ) một góc
= 450 . Biết ( R) : x + 20 y + cz + d = 0. Tính S = cd :
A. 1
B. 2
C. 3
Chọn D.
Giả sử PT mặt phẳng ( R ) : ax + by + cz + d = 0 a 2 + b2 + c 2 0
(
Ta có: (R ) ⊥ (P ) 5a − 2b + 5c = 0
cos((R ), (Q )) = cos 450
9 a +b +c
2
)
(1);
a − 4b − 8c
2
D. 0
=
2
2
2
(2)
a = −c
c = 7a
(2) 7a 2 + 6ac − c 2 = 0
Từ (1) và
Với a = −c : chọn a = 1, b = 0, c = −1 PT mặt phẳng (R ) : x − z = 0 (loại)
Với c = 7a : chọn a = 1, b = 20, c = 7 PT mặt phẳng (R ) : x + 20y + 7z = 0 (tm)
Câu 12
(
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong
)
(
A 2; 3; 0 , B 0; − 2; 0
)
không
gian
Oxyz, cho các điểm
x = t
và đường thẳ ng d có phương trình y = 0 . Điể m C a ; b; c trên
z = 2 − t
(
đường thẳ ng d sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhấ t. Nhận định nào sau đây sai?
A. a + c là một số nguyên dương
B. a − c là một số âm
C. a + b + c = 2
D. abc = 0
)
Chọn B.
Vì AB không đổi nên tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất khi CA + CB nhỏ nhất.
Gọi C (t ; 0;2 − t ) d ta có:
(t − 2)
(
2
CA =
+ 32 + 2 − t
(
CB = t 2 + 22 + 2 − t
Đặt u =
(
(
)
)
)
2
)
(
2
= 2 t −2
(
)
)
2
+ 32
2
= 2 t − 1 + 22
2 t − 2 ;3 ,v =
(
(
)
)
(
2 1 − t ;2 u + v = − 2; 5
)
Áp dụng tính chất u + v u + v , dấu '' = '' xảy ra khi u // v ta có:
Dấu '' = '' xảy ra khi
( ) = 3 t = 7 C 7 ; 0; 3
5
5
2 (1 − t ) 2
5
2 t −2
Câu 13 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz , cho 3 điểm
(
) (
(
)
)
( )
A −2; 2; 3 ; B 1; − 1; 3 ; C 3; 1; − 1 và mặt phẳng P : x + 2z − 8 = 0 . Gọi M là điểm thuộc
mặt phẳng ( P ) sao cho giá trị của biểu thức T = 2MA 2 + MB 2 + 3MC 2 nhỏ nhất. Tính khoảng
cách từ điểm M đến mặt phẳng (Q ) : −x + 2y − 2z − 6 = 0 .
B. 2 .
A. 4 .
C.
(
)
4
.
3
2
.
3
D.
• Cách 1: Gọi M ( P ) có dạng M 8 − 2a; b; a . Khi đó, ta có:
(
) + (b − 2) + (a − 3)
= ( 7 − 2a ) + (b + 1) + (a − 3 )
= ( 5 − 2a ) + (b − 1) + (a + 1)
2
MA 2 = 10 − 2a
MB 2
MC 2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
) (
)
T = 30a 2 − 180a + 354 + 6b2 − 12b + 12 = 30 (a − 3 ) + 6 (b − 1) + 90 90
(
2
)
2
(
)
Vậy T min = 90 khi a = 3; b = 1 . Vậy M 2; 1; 3 . Do đó, d M , (Q ) = 4
• Cách 2:
Gọi I là điểm thỏa mãn 2IA + IB + 3IC = 0 I (1;1;1)
(
Ta có T = 2MA 2 + MB 2 + 3MC 2 = 2 MI + IA
(
)
) + (MI + IB ) + 3 (MI + IC )
2
2
2
= 6MI 2 + 2MI 2IA + IB + 3IC + 2IA 2 + IB 2 + 3IC 2 = 6MI 2 + 2IA 2 + IB 2 + 3IC 2
(
)
Do đó để P nhỏ nhất thì M là hình chiếu của I lên (P ) M (2;1; 3) d M , (Q ) = 4. Câu
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của M trên d,
x = 2 − t
M 1;2; −1 , d : y = 1 + 2t .
z = 3t
14
(
)
(
A. H 2;1; 0
)
(
B. H 0;5;6
(
)
C. H 1; 3; 3
)
(
D. H −1;7;9
)
Chọn A.
Do H thuộc d nên H ( 2 − t ;1 + 2t ; 3t ) . Từ giả thiết ta có:
(
MH ^ d Þ MH .ud = 0 Þ t = 0 Þ H 2;1; 0
Câu 15
)
( )
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Viết phương trình mặt phẳng P
chứa điểm
x = 4 + 2t
A ( 2; −3;1) và đường thẳng d : y = 2 − 3t .
z = 3 + t
A. 11x + 2y + 16z − 32 = 0
B. 11x − 2y + 16z − 44 = 0
C. 11x + 2y − 16z = 0
D. 11x − 2y − 16z − 12 = 0
Chọn C.
Lấy A1 ( 4;2; 3 ) d1. Mặt phẳng ( P ) có VTPT là n .
Từ giả thiết ta có : n = A1A, ud = (11;2; −16 ) .
Từ đó suy ra phương trình (P) là 11x + 2y − 16z = 0 .
Câu 16 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một mặt phẳng
đi qua điểm M (1; 3; 9 ) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A (a; 0; 0 ) , B ( 0; b; 0 ) , C ( 0; 0; c ) với a,
b, c là các số thực dương. Tìm giá trị của biểu thức P = a + b + c để thể tích tứ diện OABC đạt giá
trị nhỏ nhất.
A. P = 44
B. P = 39
C. P = 27
D. P = 16
V OA BC =
1
1
OA .OB .OC = abc ;
6
6
Phương trình mặt phẳng đi qua A, B ,C :
Vì M ( A BC )
x y z
+ + =1
a b c
1 3 9
+ + =1
a b c
Áp dụng BĐT Côsi: 1 =
1 3 9
1 3 9
27.27
1
+ + 33 . . 1
abc 121, 5
a b c
a b c
abc
6
1 3 9
+ + =1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a b c
1 = 3 = 9
a b c
a = 3
b = 9 a + b + c = 39
c = 27
Câu 17 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua hai đường
thẳng cắt nhau:
x = 3t
x = −1 + 2t
d1 : y = 1 − 2t , d2 : y = 3 − 2t .
z = 3 + t
z = −2 + 3t
A. 4x − 7y + 2z − 12 = 0
C. 4x + 7y + 2z − 13 = 0
B. 4x − 7y − 2z + 5 = 0
D. 2x + 7y + 4z − 12 = 0
Chọn C.
Lấy A ( 0;1; 3 ) d1
n ^ u
d2
P
Gọi VTPT của
là n . Từ giả thiết cho ta
Þ n = ud , ud = −4; −7; −2 .
1 2
n
^
u
d1
( )
(
)
Vậy ( P ) qua A1 có VTPT là n Þ (P ) : 4x + 7y + 2z − 13 = 0 .
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian Oxyz cho đường thẳ ng
Câu 18
d:
x
y −2 z −3
=
=
và hai mă ̣t phẳ ng : x + 2y + 2z + 1 = 0, : 2x − y − 2z + 7 = 0 . Mă ̣t
−1
1
2
( )
(S) có tâm nằ m trên đường thẳ ng d và
cầ u
( )
(S) tiế p xúc với hai mă ̣t phẳ ng ( ) và ( ) có
bán kính là:
A. 2 12
B. 4 144
C. 2 2 3
Chọn A.
Go ̣i I là tâm của mă ̣t cầ u (S), I Î d nên I ( −t ;2 + t ; 3 + 2t )
(
D. 2 2
) (
Vì (S) tiế p xúc với hai mă ̣t phẳ ng ( ) va`( ) nên d I ( ) = d I , ( )
5t + 11
3
=
7t + 1
3
)
5t + 11 = 7t + 1 t = 5, t = −1
+) t = −1 (1;1;1) , R = 2 . Phương triǹ h mă ̣t cầ u
+) t = 5 I ( −5; 7;13), R = 12 . Phương triǹ h mă ̣t cầ u
(S): (x − 1) + (y − 1) + (z − 1) = 4
2
2
2
(S) ( x + 5 ) + (y − 7 ) + ( z − 13 ) = 144
2
2
2
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Trong không gian Oxyz cho bốn điểm
A (1; 0;2 ) , B (1;1; 0 ) , C ( 0; 0;1) và D (1;1;1) .
Câu 19
Phương trình mặt cầu
(S) ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm là
A. R =
3
2
11
4
1 1
2 2
C. R =
B. I − ; − ;
Chọn D.
Phương trình mặt cầu
3
10
2
1 1
2 2
D. I ; − ;
2
(S) ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:
x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = 0
2
2
2
2a + 4c − d − 5 = 0
2a + 2b − d − 2 = 0
Do A, B, C, D thuộc (S) nên ta có hệ phương trình:
2c − d − 1 = 0
2a + 2b + 2c − d − 3 = 0
3
1
1
Giải hệ ta có: a = , b = − , c = , d = 0
2
2
2
Vậy phương trình mặt cầu (S) là x 2 + y 2 + z 2 − 3x + y − z = 0
Suy ra
3
1 1
2 2
(S) có tâm là I ; − ; và bán kính R =
2
11
2
Câu 20 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Trong không gian với hê ̣ to ̣a đô ̣ Oxyz, cho ba điể m
(
) (
)
(
)
( ) (
) (
) (
2
2
A 0;1; l , B 3; 0; −1 , C 0; 21; −19 và mă ̣t cầ u S : x − 1 + y − 1 + z − 1
)
2
(
= 1 . M a ; b; c
)
là
điể m thuô ̣c mă ̣t cầ u
Tiń h tổ ng a + b + c
(S) sao cho biể u thức T = 3MA 2 + 2MB 2 + MC 2 đa ̣t giá tri ̣ nhỏ nhấ t.
A. a + b + c = 0
B. a + b + c = 12
C. a + b + c =
12
5
D. a + b + c =
Go ̣i I ( x ; y ; z ) là điể m thỏa mañ 3IA + 2IB + IC = 0 I (1; 4; −3)
(
Ta cóT = 3MA 2 + 2MB 2 + MC 2 == 3 MI + IA
)
(
14
5
) + 2 (MI + IB ) + (MI + IC )
2
2
2
= 6MI 2 + 2MI 3IA + 2IB + IC + 3IA 2 + 2IB 2 + IC 2 = 6MI 2 + 3IA 2 + 2IB 2 + IC 2
Do đó để T nhỏ nhất thì MI nhỏ nhất
8 1
x =1
M 1 1; ;
5 5
y
=
1
+
3
t
K
1;1;1
I
Mă ̣t cầ u (S) có tâm là
. Cho KI S
2 9
z = 1 − 4t
M 2 1; ;
5 5
14
Tiń h M 1I = 4; M 2I = 6 M 1 là điể m thỏa mañ YCBT nên a + b + c =
5
(
)
( )
Câu 21 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian Oxyz, đường thẳng nằm trong
( )
( )
mp : y + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng d1
trình tham số là:
x = 1 − t
x = 2 − t
và d2 : y = 4 + 2t
: y = t
z = 4t
z = 1
( )
có phương
x = 1 + 4t
B. y = −2t
z = t
x −1
y
z
=
=
A.
4
−2 1
Chọn: Đáp án B
* Thế phương trình
x = −1 + 4t
C. y = −2t
z = t
x +1
y
z
=
=
4
−2 1
D.
(d1) vào phương trình mp ( ) ta có t + 8t = 0 t = 0
Vậy d1 ( ) = A (1, 0, 0 )
* Thế phương trình
(d2) vào phương trình mp ( ) ta có: 4 + 2t + 2 = 0 t = −3
Vậy: d2 ( ) = B ( 5; −2;1)
(
)
A B = 4, −2, 1
* Ta có:
x = 1 + 4t
Vậy phương trình tham số của đường thẳng AB nằm trong mp và cắt d1, d2 là: y = −2t
z = t
( )
Chú ý: Đề yêu cầu tìm phương trình tham số nên B là đáp án đúng.
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho
Câu 22.
tam giác MNP biết MN = (2;1; −2) và NP = ( −14; 5;2) .Biết Q thuộc MP; NQ là đường phân
giác trong của góc N của tam giác MNP. Hệ thức nào sau đây là đúng?
A. QP = 3QM
B . QP = −5QM
C. QP = −3QM
D. QP = 5QM
Chọn B.
(
(
)
)
MN = 2;1; −2 MN = 9 = 3 ; NP = −14;5;2 NP = 196 + 25 + 4 = 15
NQ là phân giác trong của góc N
QP
=−
QM
NP
15
=−
= −5 QP = −5QM
MN
3
Câu 23 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba
điểm M (1; 0; 0 ) , N ( 0;2; 0 ) , P ( 0; 0; 3 ) . Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (MNP)
bằng:
A.
3
7
B.
6
7
C.
5
7
D.
9
7
Chọn B.
(
) (
) (
)
(
)
M 1; 0; 0 , N 0;2; 0 , P 0; 0; 3 MNP :
(
)
d O, MNP =
−6
36 + 9 + 4
=
x y z
+ + = 1 6x + 3y + 2z − 6 = 0
1 2 3
6
7
Câu 24 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu
(S) có phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 6y − 4z − 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song
song với giá của véc tơ v = (1; 6;2) , vuông góc với mặt phẳng ( ) : x + 4y + z − 11 = 0 và tiếp xúc
với (S).
4x − 3y − z + 5 = 0
4x − 3y − z − 27 = 0
3x + y + 4z + 1 = 0
C.
3x + y + 4z − 2 = 0
x − 2y
x − 2y
2x − y
D.
2x − y
A.
B.
+z +3 = 0
+ z − 21 = 0
+ 2z + 3 = 0
+ 2z − 21 = 0
Chọn D.
(S) có tâm I (1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của ( ) là n = (1; 4;1) .
VTPT của
(P) là: n P = n , v = (2; −1;2) PT của (P) có dạng: 2x − y + 2z + m = 0 .
Vì (P) tiếp xúc với
m = −21
.
m = 3
(S) nên d (I , (P )) = 4
Vậy ( P ) : 2x − y + 2z + 3 = 0 hoặc ( P ) : 2x − y + 2z − 21 = 0 .
Câu 25.
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường
x = t
thẳng (d ) : y = −1 + 2t và điểm A ( −1; 2; 3) . Mặt phẳng
z = 1
(P) chứa đường thẳng
(d) sao cho
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3 có vecto pháp tuyến là:
A. n = (2;1; −3)
C. n = (2; −1; −2)
B. n = (2;1;2)
D. n = ( 4; −2;2 )
Chọn C.
(d) đi qua điểm M (0; −1;1) và có VTCT u = (1;2; 0) . Gọi n = (a;b; c) với a 2 + b2 + c 2 0 là
VTPT của (P) .
PT mặt phẳng (P): a(x − 0) + b(y + 1) + c(z − 1) = 0 ax + by + cz + b − c = 0
(1).
Do (P) chứa
(
)
d A , (P ) = 3
(d) nên: u.n = 0 a + 2b = 0 a = −2b
−a + 3b + 2c
a +b +c
2
2
(
2
4b2 − 4bc + c 2 = 0 2b − c
Từ (2) và
Câu 26
=3
5b + 2c
5b + c
2
)
2
= 0 c = 2b
(2)
= 3 5b + 2c = 3 5b2 + c 2
2
(3)
(3), chọn b = −1 a = 2, c = −2 PT mặt phẳng ( P ) : 2x − y − 2z + 1 = 0 .
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Tìm phương trình mặt phẳng ( R ) đối xứng với
mặt phẳng (Q ) qua mặt phẳng ( P ) với ( P ) : x + y + z − 3 = 0, (Q ) : x − y − z − 4 = 0.
A. 7x + y + 2z − 21 = 0
C. 5x − 3y + 3z − 1 = 0
Chọn B.
Lấy điểm M ( 2; −1; −1) (Q )
B. 5x + 3y + 3z − 16 = 0
D. 7x − y + 2z + 1 = 0
Gọi H là hình chiếu của M trên mặt phẳng ( P ) , M đối xứng với M qua ( P ) suy ra H là
trung điểm của MM .
Gọi H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P ) Þ MH ⊥ (P ) Þ uMH = n P .
Phương trình đường thẳng MH qua M có VTCP n P
Tọa độ H = MH (P )
x
y
thỏa mãn hệ:
z
z
x = 2 + t
là: y = −1 + t .
z = −1 + t
= 2+t
= −1 + t
Þ t = 1.
= −1 + t
+y +z −3 = 0
Từ đó suy ra H ( 2; 0; 0 ) Þ M ( 2;1;1) .
7
x =
2
x + y + z − 3 = 0
1
Gọi d là giao tuyến của P , Q suy ra d là:
Û y = − − t ud = 0; −1;1
x
−
y
−
z
−
4
=
0
2
z = t
7 1
5 3 3
3 3
Lấy A ; − ; 0 d M ' A = ; − ; −1 M ' A, ud = − ; − ; − n R = 5; 3; 3
2 2 2
2 2
2 2
( )( )
(
)
(
)
Phương trình ( R ) qua M có VTPT là n R là: 5x + 3y + 3z − 16 = 0.
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018).. Trong không gian Oxyz, cho các điểm
Câu 27
x = t
. Điểm C trên đường thẳng
A(2; 3; 0); B (0; − 2; 0) và đường thẳng d có phương trình y = 0
z = 2 − t
d sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất là:
7
5
3
5
A. C ( ; 0; )
7
5
B. C ( − ; 0;
17
)
5
C. C (
27
17
; 0; − )
5
5
7
5
D. C ( ; 0;
Chọn A. Vì AB không đổi nên tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất khi CA + CB nhỏ nhất.
OA = (t − 2)2 + 32 + (2 − t )2 = 2(t − 2)2 + 32
Gọi C (t ; 0;2 − t ) d . Ta có
CB = t 2 + 2 + (2 − t )2 = 2(1 − t )2 + 22
Đặt u = ( 2(t − 2); 3), v = ( 2(1 − t );2) = u + v = ( − 2;5)
Áp dụng tính chất | u | + | v || u + v | , dấu “=” xảy ra khi u cùng hướng với v
Ta có: CA + CB =| u | + | v || u + v |= 2 + 25 = 3 3
Dấu “=” xảy ra khi
2(t − 2)
2(1 − t )
=
3
7
7
3
t = . Khi đó C ( ; 0; )
5
5
2
5
13
)
5
Câu 28
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018).. Cho hình hộp ABCD.A ' B 'C ' D ' biết
A (1; 0;1) ; B ( 2;1;2 ) ; D (1; −1;1) ;C ' ( 4; 5; −5 ) .
Tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp là:
A. A ' ( 3; 5; −6 ) ; B ' ( 4; 6; −5 ) ; C ( 2, 0, 2 ) ; D ' ( 3, 4, −6 ) .
B. A ' ( 3, −5, −6 ) ; B ' ( −4, 6, −5 ) ; C ( 2, 0, −2 ) ; D ' ( 3, 4, −6 ) .
C. A ' ( 3, 5, −6 ) ; B ' ( −4, 6, −5 ) ; C ( 2, 0, 2 ) ; D ' ( 3, −4, −6 ) .
D. A ' ( 3, 5, −6 ) ; B ' ( −4, 6, −5 ) ; C ( 2, 0, −2 ) ; D ' ( 3, 4, −6 ) .
Chọn A.
Ta có A B = (1, 1, 1)
(
)
(
DC = xC − 1, yC + 1, zC − 1 với C xC , yC , zC
)
x − 1 = 1
C
Ta có A B = DC yC + 1 = 1 C 2, 0, 2 CC ' = 2, 5, −7
z − 1 = 1
C
x −2 = 2
B'
Ta có BB ' = x B ' − 2, y B ' − 1, z B ' − 2 ; CC ' = BB ' y B ' − 1 = 5 B ' 4, 6, −5
z − 2 = −7
B'
(
(
(
)
)
)
(
)
Ta có A A ' = CC ' A ' ( 3, 5, −6 ) ; DD ' = CC ' D ' ( 3, 4, −6)
Câu 29.
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Trong không gian Oxyz, cho (d ) :
x y z +3
= =
,
2 4
1
điểm A ( 3; 2;1) , phương trình đường thẳng ( ) đi qua A cắt vuông góc với đường thẳng
là:
x + 2y + 2z − 7 = 0
A.
2x + 3y − z − 4 = 0
x = 1 + 3t
B. y = 1 − 5t
z = 1 + 2t
x − y + 2z − 7 = 0
C.
4x − 3y _ 2z − 5 = 0
x = 3 + 9t
D. y = 2 − 10t
z = 1 + 22t
Chọn D.
Ta có đường thẳng (d) đi qua M ( 0, 0, −3 ) , VTCP a = (2; 4;1)
Gọi ( ) là mặt phẳng đi qua A, ⊥ (d ) nên ( ) nhận na = (2; 4;1) làm VTPT.
Phương trình ( ) : 2 ( x − 3 ) + 4 (y − 2 ) + 1 ( z − 1) = 0
2x + 4y + z − 15 = 0
(d)
Phương trình tham số của
x = 2t
(d) là: y = 4t
z = −3 + t
Thế vào phương trình ( ) : 2 (2t ) + 4 ( 4t ) + ( −3 + t ) − 15 = 0 t =
6
7
12 24 −15
9 10 22
; ;
AB = − ; ;−
7
7 7 7
7 7
Vậy d ( ) = B
Vậy phương trình đường thẳng qua A, cắt vuông góc với
(d) chính là đường thẳng
x = 3 + 9t
A B : y = 2 − 10t
z = 1 + 22t
Câu 30.
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Cho hai điểm A ( 2;4; −1) và B ( 5;0;7 ) . Chọn
phát biểu sai:
x = 2 + 3t
A. Phương trình tham số của đường thẳng AB là: y = 4 − 4t t
z = −1 + 8t
x = 2 + 3t
B. Phương trình tham số của tia AB là: y = 4 − 4t t 0; +
z = −1 + 8t
)
x = 2 + 3t
C. Phương trình tham số của đoạn thẳng AB là: y = 4 − 4t t 0;1
z = −1 + 8t
D. Cả 3 phát biểu đều sai.
x = 2 + 3t
Phương trình tham số của đoạn thẳng AB là: y = 4 − 4t t 0;1
z = −1 + 8t
Chọn: Đáp án D
Giả sử M là một điểm bất kì. Khi đó:
M thuộc đường thẳng AB AM = t AB, t
M thuộc tia AB AM = t AB, t [0; +)
M thuộc đoạn thẳng AB AM = t AB, t 0;1
x = 2 + 3t
Từ đó suy ra phương trình tham số của đường thẳng AB là: y = 4 − 4t t
z = −1 + 8t
x = 2 + 3t
Phương trình tham số của tia AB là: y = 4 − 4t t 0; +
z = −1 + 8t
)
Câu 31 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Trong không gian Oxyz cho ba điểm A (1;2;3), B
(-1;0;-3), C (2;-3;-1). Điểm M (a;b;c) thuộc đường thẳng :
x −1 y +1 z −1
=
=
sao cho
2
3
−1
biểu thức P = MA − 7MB + 5MC đạt giá trị lớn nhất. Tính a + b + c = ?
A.
31
4
11
3
B.
C.
• Cách 1: M M (1 + 2t ; −1 + 3t ;1 − t )
(
MA − 7MB + 5MC = 2t + 19; 3t − 14; −t + 20
P =
(
2t + 19
) (
2
+ 3t − 14
Dấu “=” xảy ra khi: t =
) (
2
+ 20 − t
)
2
12
5
D.
55
7
)
2
12
6411
= 14 t − +
7
7
6411
7
12
55
a +b +c =
7
7
• Cách 2: Gọi I là điểm thỏa mãn IA − 7IB + 5IC = 0 I ( −18;13; −19)
(
) (
) (
)
Ta có P = MA − 7MB + 5MC = MI + IA − 7 MI + IB + 5 MI + IC = −MI = MI
Do đó để P nhỏ nhất thì M là hình chiếu của I xuống
31 29 5
55
M ; ;− a +b +c = .
7
7
7 7
Câu 32.
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Cho ba vectơ a = ( 3; −1; −2) , b = (1;2; m ) , c = (5;1;7 )
. Xác định m để c = a, b
A. m = −1
Chọn A.
−1
5 =
2
3
c = a, b 1 = −
1
3
7 =
1
B. m = −9
C. m = 1
−2
= −m + 4
m
−2
= − ( 3m + 2 ) m = −1
m
−1
2
D. m = 9
Bình luận: Ta có cách làm nhanh sau:
c ⊥ a
c = a, b
c ⊥ b c.b = 0 1.5 + 2.1 + 7m = 0 m = −1
Câu 33 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt
cầu:
( S1 ) : x2 + y 2 + z 2 + 4x + 2 y + z = 0 , ( S2 ) : x2 + y 2 + z 2 − 2x − y − z = 0
cắt nhau theo một đường tròn
(C) và ba điểm A (1;0;0) , B ( 0;2;0) và C ( 0;0;3) . Hỏi có tất
cả bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa đường tròn
thẳng AB, AC,BC?
A. 1 mặt cầu
B. 2 mặt cầu
C. 4 mặt cầu.
Nhận xét: AB = ( −1; 2;0 ) , AC = ( −1;0;3)
(C) và tiếp xúc với ba đường
D. Vô số mặt cầu.
Do AB, AC 0 nên A, B, C không thẳng hàng. Mà A, B, C không thuộc ( S1 ) và ( S2 )
(ABC) không trùng (P).
Gọi ( P ) = ( S1 ) ( S2 ) , ta có: A, B, C ( P )
Trong mặt phẳng
(ABC) có 4 đường tròn ( C1 )( C2 ) ; ( C3 ) ; ( C4 ) thỏa tính chất tiếp xúc với ba
đường thẳng AB, AC, BC.
Mỗi đường tròn ( Ci ) , i = 1; 4 tương ứng là giao của mặt cầu ( Si ) với
(ABC).
Tương ứng này là tương ứng 1 − 1 nên có 4 mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 34.
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian Oxyz cho điểm A (1; −1;0) và
x +1 y −1 z
=
=
.
2
1
−3
Mặt phẳng (P) chứa A và vuông góc với đường thẳng (d). Tọa độ điểm B có hoành độ
dương thuộc trục Ox sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng (P) bằng 14 là:
đường thẳng d:
15
; 0; 0
2
A. B
19
13
; 0; 0
2
; 0; 0
2
C. B
B. B
17
; 0; 0
2
D. B
Chọn A.
• d có vtcp ud ( 2;1; −3) . Vậy vtpt của
•
(P) là n p ( 2;1; −3)
( P ) : 2 ( x −1) + ( y + 1) − 3z = 0 2x + y − 3z −1 = 0
B thuộc Ox B ( b;0;0)
Ta có: d ( B; ( P ) ) = 14
Vậy với b = −
2b + 0 − 3.0 − 1
22 + 12 + ( −3)
2
b = −13 / 2
= 14 2b − 1 = 14 15
b =
2
13
15
13
15
B − ;0;0 ; với b = B ;0;0
2
2
2
2
Câu 35. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
A(1, 2, −1), B(3, 0, −5) .Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
A. x + y − 2 z − 3 = 0
Chọn C.
B. x − y + 2 z − 17 = 0
C. x − y − 2 z − 7 = 0
D. x + y + 2 z − 5 = 0
Gọi ( ) là mặt phẳng trung trực của AB. M là trung điểm của AB → M mặt phẳng ()
Ta có: A (1;2; −1) ; B ( 3;0; −5) AB ( 2; −2; −4 ) M ( 2;1; −3)
( ) là mặt phẳng trung trực của AB → mp ( ) nhận AB làm vectơ pháp tuyến
( ) : 2 ( x − 2) − 2 ( y −1) − 4 ( z + 3) = 0 x − y − 2 z − 7 = 0
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
A (1;2; −1) và mặt phẳng ( P ) : 2 x − y − z + 3 = 0 . Đường thẳng d đi qua A , cắt trục Ox và song
song mặt phẳng (P) có tọa độ của VTCP là:
Câu 36.
(
(
)
A. 1; 4; - 2
(
)
Chọn C.
Gọi E là giao điểm của
)
C. - 1; - 4;2
B. 1; - 4;2
(
)
D. - 1; 4;2
(d) và Ox
E Ox E ( a;0;0 ) AE ( a − 1; −2;1)
Đường thẳng (d) qua A và E nhận AE ( a − 1; −2;1) làm vectơ chỉ phương; mà ( d ) / / ( P )
→ vectơ pháp tuyến n p ( 2; −1; −1) của mặt phẳng (P) phải vuông góc với AE = ( a − 1; −2;1)
1
2
2 ( a − 1) + 2 − 1 = 0 2a − 1 = 0 a =
x −1 y − 2 z +1
1
=
=
AE − ; −2;1 Phương trình (d):
.
−1
−4
2
2
Câu 37. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai
điểm M (2; −4; 5 ) và N ( −3;2; 7 ) . Điểm P trên trục Ox cách đều hai điểm M và N có tọa độ là:
17
; 0; 0
10
Chọn A.
(
9
; 0; 0
10
7
; 0; 0
10
A. −
C.
B.
) (
(
)
M 2; −4; 5 , N −3;2; 7 , P Ox P x , 0, 0
(
MP 2 = NP 2 x − 2
)
−10x = 17 x = −
2
(
+ 16 + 25 = x + 3
)
2
19
; 0; 0
10
D. −
)
+ 4 + 49
17
17
. Vậy P − ; 0; 0
10
10
Câu 38 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
(S): x 2 + y 2 + z 2 + 2x − 4y − 4 = 0 và mặt phẳng (P): x + z − 3 = 0 . Viết phương trình mặt
phẳng (Q) đi qua điểm M (3;1; −1) vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu
(S).
2x + y − 2z − 9 = 0
4x − 7y − 4z − 9 = 0
2x + y − 2z − 7 = 0
2x + y − 2z − 5 = 0
A.
B.
3x + 2y − 2z − 9 = 0
x − 5y − 3z − 6 = 0
x + y − 2z − 5 = 0
x + y − 2z + 3 = 0
C.
D.
Chọn A.
(S) có tâm I (–1; 2; 0) và bán kính R = 3;
(P) có VTPT n P = (1; 0;1) .
PT (Q) đi qua M có dạng: A(x − 3) + B (y − 1) + C (z + 1) = 0, A 2 + B 2 + C 2 0
(Q) tiếp xúc với
(S) d(I , (Q )) = R −4A + B + C = 3 A 2 + B 2 + C 2
(Q ) ⊥ (P ) nQ .n P = 0 A + C = 0 C = −A
(*)
(**)
Từ (*), (**) B − 5A = 3 2A 2 + B 2 8B 2 − 7A 2 + 10A B = 0 A = 2B 7A = −4B
• Với A = 2B . Chọn B = 1, A = 2, C = –2 PT
(Q): 2x + y − 2z − 9 = 0
• Với 7A = −4B . Chọn B = –7, A = 4, C = –4 PT (Q): 4x − 7y − 4z − 9 = 0
Câu 39 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu
(S): x 2 + y 2 + z 2 + 4x – 6y + m = 0 và đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P):
2x – 2y – z + 1 = 0 , (Q): x + 2y – 2z – 4 = 0 . Tìm m để (S) cắt (d) tại 2 điểm M, N sao cho
độ dài MN = 8.
A. m = 2
B. m = −12
C. m = 12
D. m = −2
Chọn B.
(S) tâm I (–2;3;0), bán kính R= 13 − m = IM (m 13) . Gọi H là trung điểm của MN
MH = 4 IH = d (I; d) =
−m − 3
(d) qua A (0;1;-1), VTCP u = (2;1;2) d (I; d) =
u ; A I
u
= 3.
Vậy: −m − 3 = 3 m = –12.
Câu 40. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Trong không gian với hê ̣ trục to ̣a đô ̣ Oxyz , cho
đường thẳng d đi qua điểm M ( 0; −1;1) và có véc tơ chỉ phương u = (1;2;0) . Phương trình mặt
phẳng (P) chứa đường thẳng d có vecto pháp tuyến là n = (a; b; c)(a 2 + b2 + c 2 0) . A, b thỏa
mãn điều kiện nào sau đây?
A. a = 2b
B. a = −3b
C. a = 3b
D. a = −2b
Đáp án D.
Đường thẳng d đi qua điểm M (0;-1;1) và có véc tơ chỉ phương u = (1;2;0)
Gọi n = (a; b; c)(a 2 + b2 + c 2 0) là véc tơ pháp tuyến của (P)
Do (P) chứa d nên u.n = 0 a + 2b = 0 a = −2b
Câu 41.
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian với hê ̣ trục to ̣a đô ̣ Oxyz cho mặt
phẳng ( P ) : x + y + z = 0 .
Phương trình mặt phẳng
(Q) vuông góc với
(P) và cách điểm M (1;2; −1) một khoảng bằng
2 có dạng: Ax + By + Cz = 0( A2 + B2 + C 2 0) . Ta có kết luận gì về giá trị của A, B, C?
A. B = 0 hay 3B + 8C = 0
C. B = 0 hay 3B − 8C = 0
Đáp án A.
B. B = 0 hay 8B + 3C = 0
D. 3B − 8C = 0
A = −B − C
A + B + C = 0
( P ) ⊥ (Q )
A + 2B − C
B − 2C
Từ giả thiết ta có:
= 2(*)
=
2
d ( M ;(Q)) = 2
2
2
2
2
2
2 B + 2C + 2 BC
A + B +C
(*) B = 0 hoặc 3B + 8C = 0
Bình luận: Kiến thức cần nhớ:
Điểm M ( a, b, c ) cách mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz = 0 mộtkhoảng là:
Câu 42.
Aa + Bb + Cc
A2 + B 2 + C 2
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Trong không gian Oxyz , cho 3 điểm
M ( 3;1;1) , N ( 4;8; −3) , P ( 2;9; −7 ) và mă ̣t phẳ ng ( Q ) : x + 2 y − z − 6 = 0 . Đường thẳng d đi qua G ,
vuông góc với ( Q ) . Tìm giao điểm A của mặt phẳng ( Q ) và đường thẳng d . Biết G là trọng tâm
tam giác MNP.
A. A (1;2;1)
C. A ( −1; −2; −1)
B. A (1; −2; −1)
D. A (1;2; −1)
Đáp án D.
Tam giác MNP có trọng tâm G (3; 6; -3)
• Đường thẳng d qua G, vuông góc với
Đường thẳng d cắt
Câu 42.
x = 3 + t
(Q): y = 6 + 2t
z = −3 − t
x = 3 + t
y = 6 + 2t
A (1;2; −1)
(Q) tại A:
z = −3 − t
x + 2 y − z − 6 = 0
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian Oxyz, cho hình thoi ABCD
với điểm A ( −1;2;1) , B ( 2;3;2 ) . Tâm I của hình thoi thuộc đường thẳng ( d ) :
Biết D có tọa độ âm, vậy tọa độ của đỉnh D là:
A. D ( −2; −1;0 )
B. D ( 0;1;2 )
C. D ( 0; −1; −2 )
Đáp án A.
Go ̣i I ( −1 − t; −t;2 + t ) d . Ta có IA = ( t; t + 2; −t − 1) , IB = ( t + 3; t + 3; −t )
x +1 y z − 2
.
=
=
−1 −1
1
D. D ( 2;1;0 )
Do ABCD là hình thoi nên IA.IB = 0 3t 2 + 9t + 6 = 0 t = −1; t = −2
Do C đố i xứng với A qua I và D đố i xứng với B qua I nên
• t = −1 I ( 0;1;1) C (1;0;1) , D ( −2; −1;0 )
• t = −2 I (1;2;0 ) C ( 3;2; −1) , D ( 0;1; −2 )
Câu 44. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt
cầu (S) có phương trình: x2 + y 2 + z 2 − 2x + 6 y − 4z − 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng
(P) song song với giá của véc tơ v = (1;6;2) , vuông góc với mặt phẳng ( ) : x + 4 y + z − 11 = 0
và tiếp xúc với (S).
4 x − 3 y − z + 5 = 0
A. 4 x − 3 y − z − 27 = 0
x − 2y + z + 3 = 0
B. x − 2 y + z − 21 = 0
3 x + y + 4 z + 1 = 0
C. 3 x + y + 4 z − 2 = 0
2 x − y + 2 z + 3 = 0
D. 2 x − y + 2 z − 21 = 0
Đáp án D.
(S) có tâm I (1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của ( ) là n = (1;4;1) .
VTPT của
Vì
(P) là: nP = n, v = (2; −1;2) PT của (P) có dạng: 2 x − y + 2 z + m = 0 .
(P) tiếp xúc với
m = −21
.
m = 3
(S) nên d ( I ,( P)) = 4
Vậy: (P): 2 x − y + 2 z + 3 = 0 hoặc (P): 2 x − y + 2 z − 21 = 0
Câu 45 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Cho mệnh đề:
1) Mặt cầu có tâm I (1;0; −1) , đường kính bằng 8 là: ( x − 1) + y 2 + ( z + 1) = 16
2
2
2) Mặt cầu có đường kính AB với A = ( −1;2;1) , B = ( 0;2;3) là:
2
1
5
2
2
x + + ( y − 2) + ( z − 2) =
2
4
3) Mặt cầu có tâm O ( 0;0;0 ) và tiếp xúc với mặt cầu
1 là: x + y + z = 30 2 29
Số mệnh đề đúng là bao nhiêu:
A. 1
2
2
(S) có tâm ( 3; −2;4 ) , bán kính bằng
2
Chọn B.
2
1) ( x − 1) + y + ( z + 1) = 16
2
2
2
1
5
2
2
x + + ( y − 2) + ( z − 2) =
2
4
2)
2
2
2
3) x + y + z = 30 2 29
B. 2
C. 3
D. 0
Câu 46 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian Oxyz cho 3 điểm M ( 2;0;0 ) ,
N ( 0; −3;0 ) , P ( 0;0;4 ) . Nếu MNPQ là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là:
A. ( 2;3;4 ) .
B. ( 3;4;2 ) .
C. ( −2; −3;4 ) .
D. ( −2; −3; −4 ) .
Chọn A.
−2 = 0 − xQ
xQ = 2
MNPQ là hình bình hành MN = QP −3 = 0 − yQ yQ = 3 Q ( 2;3;4 )
0 = 4 − zQ
zQ = 4
Câu 47 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Trong không gian Oxy cho ba vecto a = ( 2, −5,3)
b
; b = ( 0, 2, −1) ; c = (1, 7, 2 ) . Tọa độ của vecto u = 4a − + 3c là:
3
1 55
A. u = 11, ,
3 3
1 55
B. u = −11, ,
3 3
−1 55
C. u = 11, ,
3 3
−1 −55
D. u = 11, ,
3 3
Chọn A.
Ta có:
a = ( 2, −5,3) 4a = (8, −20,12 )
b
2 1
b = ( 0, 2, −1) − = 0, − ,
3
3 3
c = (1, 7, 2 ) 3c = ( 3, 21, 6 )
b
1 55
Vậy u = 4a − + 3c = 11, ,
3
3 3
Câu 48 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng
2x + y −1 = 0
x + y −1 = 0
và d 2 :
là:
z − 2 = 0
2 x + z = 0
( d1 ) :
x − 3y + 2z + 3 = 0
A.
2 x + y − 10 z + 19 = 0
2 x − 3 y + z + 3 = 0
B.
2 x + y − 10z + 19 = 0
x − 3y + 2z + 3 = 0
C.
3x − y + 2z + 14 = 0
x − y − 2z + 9 = 0
D.
2 x + y − 10z + 5 = 0
Chọn A.
Dùng Casio tính tích có hướng của 2 vecto dễ dàng:
n1 = (1,1, 0 )
( d1 ) có
n2 = ( 2, 0,1)
n1 = ( 2,1, 0 )
( d2 ) có
n2 = ( 0, 0,1)
( d1 ) có VTCP a = (1, −1, −2 )
( d 2 ) có VTCP b = n1 , n2 = (1, −2,0 )
Vecto chỉ phương của đường vuông góc chung: u = a; b = ( 4;2;1) .
Gọi ( ) là mặt phẳng đi qua d1 và // d : Khi đó vtpt của ( ) là: n = u; a = (1; −3;2 ) .
Đi qua điểm A ( 0;1;0 ) : ( ) : x − 3 y + 2 z + 3 = 0
Gọi ( ) là mặt phẳng đi qua d 2 và // d : Khi đó vtpt của ( ) là: n = u; b = ( 2;1; −10 ) .
Đi qua điểm B ( 0;1;2 ) : ( ) : 2 x + y − 10 z + 19 = 0
x − 3y + 2z + 3 = 0
Vậy phương trình đường vuông góc chung là:
2 x + y − 10 z + 19 = 0
Câu 49 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường
thẳng :
tạo với
x −1 y z +1
và mặt phẳng (P): 2 x − y + 2 z − 1 = 0 . Mặt phẳng (Q) chứa và
= =
2
1
−1
(P) một góc nhỏ nhất, khi đó góc gần với giá trị nào nhất sau đây?
A. 60
B. 80
C. 100
D. 50
Chọn B. Do (Q ) nên (Q ) : a (x − 1) + by + c (z + 1) = 0 và 2a + b − c = 0 c = 2a + b
Vậy (Q): ax + by + ( 2a + b ) z + a + b = 0 . Gọi = ((P ), (Q ) ), 00 ; 90o
Ta có: cos =
n P .nQ
=
n P . nQ
Nếu a = 0 cos =
b + 6a
3 a 2 + b2 + (2a + b)2
=
1 b2 + 12ab + 36a 2
3 2b2 + 4ab + 5a 2
1
3 2
Nếu a 0 , đặt t =
b
b2 + 12ab + 36a 2 t 2 + 12t + 36
thì ta có:
= 2
=f t
a
2b2 + 4ab + 5a 2
2t + 4t + 5
−7
t =
f' t =0
10 . Từ bảng biến thiến ta có thể dễ nhận thấy:
t
=
−
6
()
()
1 53
7 53
80
maxf t = f − =
= cos −1
10
6
3
6
()
Câu 50 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
A (1; 3; - 2) và mặt phẳng (P ) có phương trình 2x - y + 2z - 1 = 0 . Viết phương trình mặt
cầu (S ) có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P ) .
Tọa độ tiếp điểm là:
A. H ; ; −
3 3 3
Chọn A.
7 7
(
)
R = d A, P =
C. H ; − ; −
3 3 3
B. H ; ; −
3 3 3
2
1 1
2 − 3 − 4 −1
3
7
2
( ) (
7
D. H ; ;
3 3 3
7 7 2
2
) + (y − 3 ) + ( z + 2 )
= 2 S : x −1
2
2
2
=4
(
Gọi H là tiếp điểm, ta có AH đi qua A (1; 3; - 2) , có véc tơ chỉ phương u = 2; −1;2
)
x = 1 + 2t
A H : y = 3 − t H 1 + 2t ; 3 − t ; −2 + 2t
z = −2 + 2t
H (P ) 2 1 + 2t − 3 − t + 2 −2 + 2t − 1 = 0
(
(
) (
)
)
(
)
7 7 −2
; ;
3 3 3
Câu 51 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A
(2;0;-2), B (3;-1;-4), C (-2;2;0). Điểm D trong mặt phẳng (Oyz) có tung độ dương sao cho
thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 1
có thể là:
A. D ( 0; −3; −1)
B. D ( 0;1; −1)
C. D ( 0;2; −1)
D. D ( 0;3; −1)
9t − 6 = 0 t =
2
H
3
Chọn D.
D (Oyz ) D(0; y0 ; z0 ) ,Điều kiện z0 0.
Phương trình (Oxy) : z = 0 d ( D,(Oxy)) = z0 = − z0 = 1. Suy ra z0 = −1 D(0; y0 ; −1) .
Ta có AB = (1; −1; −2), AC = (−4;2;2), AD = (−2; y0 ;1) .
Suy ra AB, AC = (2;6; −2) AB, AC . AD = 6 y0 − 6
VABCD =
y = 3
1
. AD = y0 − 1 = 2 0
AB
,
AC
6
y0 = −1
Suy ra D (0;3;-1) hoặc D (0;-1;-1) (loại)
Câu 52 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường
thẳng d:
x −3 y −3 z
=
= và mặt cầu
2
2
1
mặt phẳng
(S): x2 + y 2 + z 2 − 2x − 2 y − 4z + 2 = 0 . Lập phương trình
(P) song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu
(S).
y − 2z + 3 + 2 5 = 0
2 y − z + 2 + 3 5 = 0
B.
A.
y − 2 z + 3 − 2 5 = 0
2 y − z + 2 − 3 5 = 0
3 y + z + 1 + 5 3 = 0
4 y − z + 5 + 6 = 0
C.
D.
3 y + z + 1 − 5 3 = 0
4 y − z + 5 − 6 = 0
Chọn B.
(S) có tâm I (1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP u = (2;2;1) .
(P) // d, Ox (P) có VTPT n = u, i = (0;1; −2) PT của
(P) tiếp xúc với
(S) d (I , (P )) = R
(P) có dạng: y − 2z + D = 0 .
D = 3 + 2 5
1−4 +D
= 2 D −3 = 2 5
D = 3 − 2 5
12 + 22
(P): y − 2z + 3 + 2 5 = 0 hoặc (P): y − 2z + 3 − 2 5 = 0 .
Câu 53 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba
điểm A(−1;0;1), B(1;2; − 1), C(−1;2;3) và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính
bán kính R mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz).
A. R = 4
B. R = 3
C. R = 5
D. R = 2
Phương trình (A BC ) : 2x − y + z + 1 = 0 . Gọi I (x ; y ; z ) .
IA = IB = IC x + y − z − 1 = 0, y + z − 3 = 0
(1) ;
I (A BC ) 2x − y + z + 1 = 0 (2)
Từ (1) (2) I (0; 2; 1) . Bán kính mặt cầu là R = d (I , (Oxz )) = 2
Câu 54. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho
tam giác MNP biết MN = ( −3;0;4 ) và NP = ( −1;0; −2 ) . Độ dài đường trung tuyến MI của tam
giác MNP bằng:
A.
9
2
B.
85
2
C.
95
2
D.
15
2
Chọn B.
Ta có: MP = MN + NP = ( −4; 0;2)
MI =
Câu 55
MN + MP 7
= − ; 0; 3 MI =
2
2
49
85
+9 =
4
2
(GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
phẳng ( P ) : x + y + z − 1 = 0 và hai điểm A (1; −3;0 ) , B ( 5; −1; −2 ) . Điểm M (a, b, c) trên mặt phẳng
( P ) sao cho
MA − MB đạt giá trị lớn nhất. Tính tổng S = a + b + c.
B. 11
A. 1
Chọn A.
C. 5
D. 6
Kiểm tra thấy A và B nằm khác phía so với mặt phẳng ( P ) .
Gọi B ' ( x ; y ; z ) là điểm đối xứng với B ( 5; −1; −2 )
Suy ra B ' ( −1; −3; 4 )
Lại có MA − MB = MA − MB ' A B ' = const
Vậy MA − MB đạt giá trị lớn nhất khi M , A, B ' thẳng hàng hay M là giao điểm của đường
thẳng A B ' với mặt phẳng ( P )
x = 1 + t
A B ' có phương trình y = −3
z = −2t
x
y
Tọa độ M x ; y ; z là nghiệm của hệ
z
x
(
)
t = −3
= −3
x = −2
= −2t
y = −3
z = 6
+y +z −1 = 0
=1+t
Vậy điểm M ( −2; −3; 6 ) S = 1
A
B’
M
P
B
