(Gv văn phú quốc 2018) 15 câu lượng giác image marked image marked

Câu 1: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm số họ nghiệm của phương trình cot ( sin x ) = 1
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Đáp án B
Ta có cot ( sin x ) = 1  sin x =


4

+ k , k 

.

Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi −1 
Do k 


4

nên k = 0 . Suy ra phương trình sin x =

+ k  1  −

1



−

1
1 1
k − .
4
 4


có 2 họ nghiệm.
4

Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm.
Câu 2: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm  0;   để phương trình x 2 − 4 x + 6 − 4sin  = 0 có
nghiệm kép.
A.  0;  

  2 
B.    ; 
3 3 

  3 
C.    ; 
2 2 

  5 
D.    ; 
6 6 

Đáp án D
Phương trình đã cho có nghiệm kép khi và chỉ khi

 ' = 0  sin  =

1
  5 
    ;  (do  0;2  )
2
6 6 

Câu 3: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho phương trình m sin 2x + sin x − cos x = 0 (m là tham
số).
Mệnh đề nào trong các mệnh đề dưới đây là đúng?
  
A. Trong khoảng  − ;  , phương trình đã cho vô nghiệm.
 2 2
  
B. Trong khoảng  − ;  , phương trình đã cho có nghiệm.
 2 2
  
C. Trong khoảng  − ;  , phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
 2 2

D. x = 0 là một nghiệm của phương trình đã cho.
Đáp án B
Xét hàm số f ( x ) = m sin 2x + sin x − cos x
Rõ ràng f ( x ) là hàm số liên tục trên

  
cho nên f ( x ) liên tục trong đoạn  − ; 
 2 2


 
 
Ta có f   = 1  0, f  −  = −1  0 (với mọi m).
2
 2
    
Suy ra f  −  . f    0, m .
 2 2

  
Do đó theo định lí trung gian phương trình đã cho có nghiệm x0   − ; 
 2 2

Suy ra A, C sai
Kiểm tra thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho, suy ra D sai.
Vậy chỉ có B đúng.
Câu 4: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm các họ nghiệm của phương trình
cos 3 x cos3 x − sin 3 x sin 3 x =




 x = 16 + k 2
A. 
(k 

x = −  + k 

16
2




 x = 16 + k 2
C. 
(k 
 x = −  + k

16

2+3 2
8

)

)



 x = 16 + k
B. 
(k 
x = −  + k 

16

2

)




 x = 16 + k 2
D. 
(k 
x = −  + k 

18
2

)

Đáp án A
Ta có cos 3 x cos3 x − sin 3 x sin 3 x =
 cos 3 x.

2+3 2
8

cos 3 x + 3cos x
3sin x − sin 3 x 2 + 3 2
− sin 3 x.
=
4
4

8

 2cos2 3x + 6cos3x cos x − 6sin 3x sin x + 2sin 2 3x = 2 + 3 2
 2 ( cos 2 3 x + sin 2 3 x ) + 6 ( cos 3 x cos x − sin 3 x sin x ) = 2 + 3 2




x = +k

2
16
2
 cos 4 x =

(k 


2
x = − + k

16
2

)

Câu 5: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình

)

(



sin  3 x − 9 x 2 − 16 x − 80  = 0
4


A. 0
Đáp án C

B. 1

C. 2

D. 3


Điều kiện 9 x 2 − 16 x − 80  0  x  4
Phương trình đã cho tương đương với

( 3x −
4



)

90 x 2 − 16 x − 80 = k ( k 

)

 3x − 9 x2 −16 − 80 = 4k  9 x2 −16 x − 80 = 3x − 4k

4k

4k

x

x



3
3


2
9 x 2 − 16 x − 80 = ( 3x − 4k )2
 x = 2k + 10


3k − 2

 2k 2 + 10 4k
 3k − 2  3

2k 2 + 10


Yêu cầu bài toán tương đương với  x =
4
3k − 2

 2k 2 + 10


 3k − 2

 2k 2 + 10 4k
 −6k 2 + 8k + 30

0
 3k − 2

2
3
3k − 2
Ta có 
 2
 k 3
2
3
 x = 2k + 10  4
 2k − 12k + 18  0


3k − 2
3k − 2
Vì k 

nên k 1;2;3

Với k = 1 suy ra

2k 2 + 10
= 12 
3k − 2

Với k = 2 suy ra

2k 2 + 10 9 9
= 
3k − 2
2 2

2k 2 + 10
= 4
Với k = 3 suy ra
3k − 2
Kết hợp với điều kiện ta suy ra x = 4; x = 12
Vậy có 2 giá trị nguyên dương cần tìm
Câu 6: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm các họ nghiệm của phương trình

cos 2 x + cos 2 2 x + cos 2 3x + cos 2 4 x = 2



 x = 2 + k




A.  x = + k ( k 

4
2


x = + k 

10
5

)



 x = − 2 + k



B.  x = + k ( k 

4
2


x = + k 

10

5

)




 x = 2 + k



C.  x = − + k ( k 

4
2

x =  + k 

10
5



 x = 2 + k



D.  x = + k
(k 


4
2

x = −  + k 

10
5

)

)

Đáp án A
Phương trình đã cho tương đương với: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
1 + cos 2 x 1 + cos 4 x 1 + cos 6 x 1 + cos8 x
+
+
+
=2
2
2
2
2
 cos 2x + cos 4x + cos6x + cos8x = 0
 ( cos 2 x + cos 4 x ) + ( cos 6 x + cos8x ) = 0

 2cos3x cos x + 2cos7 x cos x = 0
 2cos x ( cos3x + cos 7 x ) = 0  4cos x cos 2 x cos5 x = 0






 x = 2 + k
 x = 2 + k
cos x = 0







 cos 2 x = 0  2 x = + k   x = + k ( k  )


2
4
2
cos 5 x = 0




5 x = + k
x = + k 


2
10

5
Câu 7: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Khẳng định nào sau đây là sai?
A. max sin x,cos x = cos x khi 0  x 
C. max sin x,cos x = sin x khi


4


4

 x 

B. max sin x,cos x = cos x khi 0  x 
D. max sin x,cos x = cos x khi


4


2

 x 

Đáp án B

sin x  cos x khi


4

 x   và cos x  sin x khi 0  x 

Vậy max sin x,cos x = cos x khi 0  x 




4

2
Câu 8: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm các họ nghiệm của phương trình

(1 − 4sin x ) sin 3x = 12
2


2

 x = − 14 + k 7
A. 
(k 

2

x = + k

10
5


2

 x = 14 + k 7
C. 
(k 
 x =  + k 2

10
5

)

)


2

 x = 14 + k 7
B. 
(k 

2

x = − + k

10
5

)


2

 x = − 14 + k 7
D. 
(k 
 x = −  + k 2

10
5

)


Đáp án C
Nhận xét cos x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Do đó, nhân cả hai vế của
phương trình cho cos x  0 ta được
( cos x − 4 cos x sin 2 x ) sin 3x = 12 cos x
 2sin 3 x ( 4 cos3 x − 3cos x ) = cos x

 2sin3x cos3x = cos x  sin 6x = cos x

2

x = +k



14
7

 sin 6 x = sin  − x   
(k 
2

 x =  + k 2

10
5
Câu

f ( x, y ) =
A.

(Gv

8:

Văn

Phú

Quốc

2018)

)

Tìm

giá

C.

a+d
b+c

trị

nhỏ

nhất

của

D.

b+c
a+d

hàm

số

a sin 4 x + b cos4 y a cos 4 x + b sin 4 y
+
c sin 2 x + d cos2 y c cos 2 x + d sin 4 y

a+b
c+d

B.

a+c
b+d

Đáp án A

a sin 4 x + b cos4 y
a cos 4 x + b sin 4 y
;
f
=
2
a sin 2 x + b cos2 y
a cos 2 x + b sin 2 y
Ta có c + d = c ( sin 2 x + cos 2 x ) + d ( sin 2 y + cos 2 y )
Đặt f ( x; y ) = af1 + bf 2 với f1 =
Do đó ( O; R )


sin 4 x
cos4 x
2
2
2
2


+
( c + d ) f1 = ( c sin x + d cos y ) + ( c cos x + d sin y )  2

2
2
2
 c sin x + d cos y c cos x + d sin



sin 2 x
cos 2 x
 =1
  c sin 2 x + d cos 2 y
+ c cos 2 x + d sin 2 y
2
2
2
2


c
sin
x
+
d
cos
y
c
cos
x
+
d

sin
y


1
 f1 
c+d
1
a+b
Tương tự f 2 
. Vậy f ( x; y ) = af1 + bf 2 
c+d
c+d
Câu 9: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm nghiệm x của phương trình
2 ( sin 3 x + sin 2 x − sin x + 1) = 3 − 2sin x − cos 2 x

thỏa mãn điều kiện sin x 
A. x = k , k  .
Đáp án A

1
.
2

B. x =


2

+ k , k  . C. x =


6

+ k , k  . D. x .


y 


sin x = 0
Phương trình đã cho tương đương với 2sin x + sin x = 0  
.
sin x = − 1

2
3

Do điều kiện sin x 

2

1
nên sin x = 0  x = k , k  .
2

Câu 10: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm số nghiệm của phương trình
A. 1.

B. 2.

cos x 1
= .
x
5

C. 3.

D. 4.

Đáp án B

x  0
cos x 1

= 
Ta có
x.
x
5
cos x = 5
Số nghiệm phương trình

cos x 1
x
= là số giao điểm của đồ thị hai hàm số y = cos x và y = .
x
5
5

Để ý rằng đường thẳng y =

x
cắt đồ thị hàm số y = cos x tại hai điểm (trừ điểm x = 0 ) nên
5

phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. Hãy xem hình vẽ dưới đây: (Gv Văn Phú Quốc
2018)

Câu 11: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm các họ nghiệm của phương trình

sin 3 x.sin 3x + cos3 x cos 3 x
1
=− .


8


tan  x −  .tan  x + 
6
3


A. x = −
C. x = −


6


6

+ k ( k 
+ k 2 ( k 

).

B. x =

).

D. x =


6


6

+ k ( k 
+ k 2 ( k 

Đáp án A
Điều kiện: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x 


6

+ k ( k 

).









Ta có tan  x −  .tan  x +  = tan  x −  .cot  − x  = −1 .
6
3
6



6

Phương trình đã cho tương đương với

).
).


sin 3 x.sin 3 x + cos3 x.cos 3 x =


1

8

1 − cos 2 x cos 2 x − cos 4 x 1 + cos 2 x cos 2 x + cos 4 x 1
.
+
.
=
2
2
2
2
8

 2 ( cos 2 x − cos 2 x.cos 4 x ) =

1
1
 2 cos 2 x. (1 − cos 4 x ) =
2
2



x = + k

1
1
6
 cos3 2 x =  cos 2 x =  
(k 

8
2
 x = −  + k

6
Đối chiếu với điều kiện ban đầu ta chọn x = −


6

+ k ( k 

)

).

Câu 12: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho góc  thỏa mãn điều kiện    

3
và tan  = 2 .
2



 5

− 2  .
Tính giá trị của biểu thức M = sin 2  + sin   +  + sin 
2


 2

A.

1
.
5

B. −

1
.
5

C.

1− 5
.
5

D.

1+ 5
.
5

Đáp án C
Ta có

1

3
= 1 + tan 2  = 1 + 4 = 5 . Vì    
nên cos   0
2
cos 
2

Suy ra cos  = −

1
.
5



 5

− 2  = sin 2  + cos  + cos 2
Khi đó M = sin 2  + sin   +  + sin 
2

 2

1 1 1− 5
.
= sin 2  + cos  + 2cos 2  − 1 = cos 2  + cos  = −
=
5
5
5

Câu 13: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho góc  thỏa mãn    

3
và sin  − 2cos  = 1 .
2

Tính A = 2tan  − cot  .
A. 6.

B.

1
.
6

C. 2.

Đáp án B
Vì    

3
nên sin   0, cos   0.
2

sin  − 2cos  = 1
2
Ta có  2
 (1 + 2cos  ) + cos 2  = 1
2
sin  + cos  = 1

D.

1
.
2


 5cos 2  + 4 cos  = 0  cos  = −

4
5

3
3
4
Suy ra sin  = − 1 − cos 2  = − ; tan  = ;cot  =
5
4
3
3 4 1
Vậy A = 2 tan  − cot  = 2. − = .
4 3 6
 
Câu 14: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm các nghiệm x   0;  của phương trình sau
 2
x
3 





4sin 2   −  − 3 sin  − 2 x  = 1 + 2 cos 2  x −

2
4 

2



A. x =

5
.
18

 5 7 
B. x   ;  .
 18 18 

C. x =

7
.
18

D. x

Đáp án A

x
3 




Ta có 4sin 2   −  − 3 sin  − 2 x  = 1 + 2 cos 2  x −

2
4 

2


3 

 2 1 − cos ( 2 − x )  − 3 cos 2 x = 1 + 1 + cos  2 x −

2 


 2 − 2cos x − 3 cos 2 x = 2 − sin 2 x  sin 2 x − 3 cos 2 x = 2cos x
1
3




 sin 2 x −
cos 2 x = cos x  sin  2 x −  = cos  − x 

2
2
3

3


 
5
2


 2 x − 3 = 2 − x + k 2
 x = 18 + k 3


 2 x −  =  + x + k 2
 x = 5 + k 2


3 2
6

(k  )

5


.
Vì  x  0;  nên ta chọn được nghiệm x =

18
2


Câu 15: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số y = sin 5 x + 3 cos x . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào là sai?
A. M + m = 0 .

C. M − m = 2 3 .

B. Mm = −3 .

D.

Đáp án D
Ta có sin 5 x  sin 4 x  y  sin 4 x + 3 cos x .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
1
2

(1 − cos x )(1 + cos x )(1 + cos x ) = ( 2 − 2 cos x )(1 + cos x )(1 + cos x )

M
=1.
m


1  2 − 2 cos x + 1 + cos x + 1 + cos x  32
 
 3

 =
2
3
 27
3

 3 − (1 − cos x )(1 + cos x )(1 + cos x )  0
2
 (1 − cos x )  3 − (1 − cos x )(1 + cos x )   0



 3 (1 − cos x ) − sin 4 x  0  sin 4 x + 3 cos x  3
M = max y = 3  cos x = 1  x = k 2 , k 

Ta lại có y  − sin 4 x + 3 cos x .
Tương tự như trên, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
1
2

(1 + cos x )(1 − cos x )(1 − cos x ) = ( 2 + 2 cos x )(1 − cos x )(1 − cos x )


32
 3
27

 3 − (1 + cos x )(1 − cos x )(1 − cos x )  0
2
 (1 + cos x )  3 − (1 + cos x )(1 − cos x )   0




 − sin 4 x + 3 cos x  − 3
m = min y = − 3  cos x = −1  x =  + k 2 , k  .

Do đó

M
= −1 . Vì vậy, mệnh đề D sai.
m