(trường chuyên) 9câu giới hạn hàm số 2018 image marked image marked

Câu 1: (Chuyên Lam Sơn –Lần 2)Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
 2
A. un =  − 
 3

n

6
B. un =  
5

n

n3 − 3n
C. un =
n +1

2
D. un = n − 4n

Phương pháp: Tính lim un hoặc lim un và kết luận.
n →−

n →+

n

2
 2
Cách giải: Ta thấy −  0  lim  −  = 0.
n→+

3
 3

Câu 2: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Tính lim
x →1
A. 0

C. +

B. 1

Đáp án B

ln x
x −1

D. −

ln ( x + 1)
=1
x →0
x

Phương pháp: lim

ln ( ( x − 1) + 1)
ln x
= lim
=1
x →1 x − 1

x →1
x −1

Cách giải: lim

Câu 3: Tính giới hạn lim

x →−

A.

1
3

4x 2 + x + 1 − x 2 − x + 3
3x + 2
B. −

1
3

C.

2
3

D. −

2
3

Đáp án B
Phương pháp : Chia cả tử và mẫu cho x và sử dụng giới hạn lim
x →

1
= 0 ( n  0)
xn

Cách giải :

4x + x + 1 − x − x + 3
= lim
x →−
3x + 2
2

lim

x →−

2

− 4+

1 1
1 3
+ 2 + 1− + 2
x x
x x = −2 + 1 = − 1

2
3
3
3+
x

Câu 4: (Chuyên Chu Văn An-2018)Giới hạn của hàm số lim
A. −

1
2

B. −

3
2

3n + 1
bằng:
n−2

C. 3

D. 1

Đáp án C.
Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho n và sử dụng giới hạn lim

1
= 0 ( a  1)

n


1
3n + 1
n =3
= lim
Cách giải: lim
2
n−2
1−
n
3+

Câu 5: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1) Tính lim n
A. +

B. −

C.

(

4n 2 + 3 − 3 8n 3 + n

2
3

)

D. 1

Đáp án C
Phương pháp giải:
Dựa vào phương pháp tính giới hạn (nhân liên hợp) của dạng vô định  − 

4n 2 + 3 − 8n3 + n = 4n 2 + 3 − 2n + 2n − 3 8n3 + n

Lời giải: Ta có
3

=

4n + 3 + 2n
2

Khi đó lim n

(

−

n
4n 2 + 2n 3 8n 3 + n + 3 ( 8n 3 + n )

)

4n 2 + 3 − 3 8n 3 + n = lim

3

3n
4n 2 + 3 + 2n

− lim

n2
4n 2 + 2n 3 8n 3 + n + 3 (8n 3 + n )

2

3
1
3
1
2
− lim
=
−
=
2
2
2 + 2 4 + 2.2 + 2
3
3
1 3
1 
4+ 2 +2
3 8+
4

+
2
+
8
+


2
2
n
n
n 


= lim

Chú ý và sai lầm : Học sinh có thể sử dụng MTCT cho bài toán này.

Câu
un :

6:

(Chuyên

n
1+ n2 + n4

A.

1
4

Hùng

Vương-Gia

Lai)Cho

dãy

số

( un )

như

, n = 1, 2... Tính giới hạn lim ( u1 + u 2 + ... + u n ) .
n →+

B. 1

C.

1
2

D.

1

3

Đáp án C

1
2n
1
2n
1
1
1

= . 2
=  2
− 2
Ta có u n = .

2
2
2 ( n 2 + 1) − n 2 2 ( n − n + 1)( n + n + 1) 2  n − n + 1 n + n + 1 

sau

:


Đặt f ( n ) =

1
1

1
 f ( n + 1) = 2
suy ra u n = f ( n ) − f ( n + 1) 
n − n +1
2
n + n +1
2

1
1 
1
 1
Khi đó lim ( u1 + u 2 + ... + u n ) = lim f (1) − f ( n + 1)  = lim  1 − 2
 =
2
 2  n + n + 1  2

Câu 7 (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3): Tính tổng vô hạn sau: S = 1 +

A. 2n − 1

1
−1
1 2n
B. .
2 1 −1
2

C. 4

1 1
1
+ 2 + ... + n + ...
2 2
2

D. 2

: Đáp án D
1
S là tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn có u1 = 1;q = . Vậy
2

1

S=

1−

1
2

=2

Câu 8: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Với n là số nguyên dương, đặt
Sn =

1
1
1

+
+ ... +
.
1 2 +2 1 2 3 +3 2
n n + 1 + ( n + 1) n

Khi đó, lim Sn bằng
A. 1.

B.

1
.
2

1
.
2 −1

C.

D.

1
.
2+2

D. −

1

2

Đáp án A
Chú ý với mọi số nguyên dương k, ta có
1
1
1
=
−
k k + 1 + (k + 1) k
k
k +1

Lần lượt thay k = 1, 2,..., n , cộng lại ta được Sn = 1 −
Câu 9: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) lim

x →−

A.

1
3

Đáp án C

B.


2

1
n +1

1− x
bằng
3x + 2

C. −

1
3


1
−1
1− x
1
x
lim
= lim
=−
x →− 3x + 2
x →−
2
3
3+
x