hàm số 8 image marked image marked
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.44 MB, 40 trang )
Câu 523: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Đường cong trong hình
bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ?
A. y = x 3 − 3x.
B. y = −x 3 + 3x.
C. y = x 4 − 2x 2 .
D. y = x 3 − x 2 .
Đáp án A.
Phương pháp giải:
Dựa vào hình dáng của đồ thị hàm số, điểm cực trị và tọa độ giao điểm với hai trục tọa độ
Lời giải: Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng:
•
Đồ thị hàm số bậc ba, có
•
Đồ thị nhận gốc tọa độ
lim f ( x ) = +
x →+
O ( 0; 0 )
Hệ số
a 0.
làm tâm đối xứng Hàm lẻ: f ( x ) = f ( −x )
Trong 4 đáp án, có duy nhất hàm số y = x 3 − 3x thỏa mãn 2 điều kiện trên.
Câu 524: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1)Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 3 + 3x 2 − 9x + 1
trên đoạn −4; 4 là
A. -4.
B. 4.
C. 1.
D. -1.
Đáp án A.
Phương pháp giải:
Cách 1 : Khảo sát hàm số, lập bảng biến thiên để tìm giá trị nhỏ nhất.
Cách 2 : Giải phương trình
y' = 0
+) Tính các giá trị y ( x i ) ; y ( a ) ;
tìm các nghiệm xi .
y ( b).
+) So sánh các giá trị trên và kết luận giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Lời giải:
Xét hàm số y = x 3 + 3x 2 − 9x + 1 trên −4; 4 , có
Tính giá trị y ( −4) = 21;
−4 x 4
x = 1
y' = 0 2
.
x = −3
3x + 6x − 9 = 0
y ( −3) = 28; y (1) = −4; y ( 4 ) = 77.
Vậy min y = −4.
−4;4
Câu 525( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1): Cho hàm số
bên. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng
y = f (x)
có bảng biến thiên như hình
x
-
-1
y’
+
0
3
+
+
0
+
5
+
y
-
1
A. 1.
B. 3.
C. -3.
D. -1.
Đáp án A.
Phương pháp giải: Đọc bảng biến thiên để tìm điểm cực tiểu – cực tiểu của hàm số.
Lời giải: Dựa vào hình vẽ, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại
Câu 526: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Cho hàm số
x CT = 3 yCT = y ( 3) = 1.
có bảng biến thiên như hình
y = f (x)
bên. Số nghiệm của phương trình f ( x ) + 3 = 0 là
x
-
-1
y’
+
0
1
-
+
0
+
2
+
y
-
-3
A. 0.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
Đáp án C.
Phương pháp giải: Đọc bảng biến thiên để tìm nghiệm của phương trình
Lời giải:
Ta có f ( x ) + 3 = 0 f ( x ) = −3 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 1; x = x 0 .
Câu 527: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Cho hàm số f ( x ) = x 4 + 4mx3 + 3( m +1) x 2 +1. Gọi S là tập
hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại. Tính tổng các
phần tử của tập S.
A. 1.
B. 2.
C. 6.
D. 0.
Đáp án A.
Phương pháp giải: Tính đạo hàm, biện luận phương trình để hàm số có cực tiểu
Lời giải:
Xét f ( x ) = x 4 + 4mx3 + 3( m +1) x 2 +1, có f ' ( x ) = 4x3 +12mx 2 + 6 ( m +1) x; x
Phương trình
.
x = 0
f ' ( x ) = 0 2x ( 2x 2 + 6mx + 3m + 3) = 0
.
2
2x + 6mx + 3m + 3 = 0 (*)
Vì hệ số
a =1 0
nên để hàm số có thể có 2 cực tiểu và 1 cực đại hàm số có 1 cực tiểu mà
không có cực đại Phương trình (*) vô nghiệm
9m 2 − 6m − 6 0
Kết hợp với
m
'(*) 0
1− 7
1+ 7
m
−0,55 m 1, 2.
3
3
,
ta được
m = 0;1 m = 1.
Câu 528: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1)Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để hàm số
y = x +5+
1− m
x−2
đồng biến trên 5; + ) ?
A. 10.
B. 8.
C. 9.
D. 11.
Đáp án B.
Phương pháp giải: Tính đạo hàm, áp dụng điểu kiện để hàm số đồng biến trên khoảng
Lời giải:
Xét hàm số
1− m
y = x +5+
x−2
trên 5; + ) , có y ' = 1 −
1− m
( x − 2)
2
=
x 2 − 4x + 3 + m
( x − 2)
2
; x 5.
Hàm số đồng biến trên 5; +) y' 0; x 5; +) x 2 − 4x + 3 + m 0; x 5
m −x 2 + 4x − 3; x 5 m max −x 2 + 4x − 3 m −8.
5;+ )
Câu 529: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1)Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 có đồ thị (C) và diểm
M ( m; −4 ) .
Hỏi có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn −10;10 sao cho qua M có thể kẻ được
ba tiếp tuyến đến (C).
A. 20.
B. 15.
C. 17.
D. 12.
Đáp án C.
Phương pháp giải: Lập phương trình tiếp tuyến, sử dụng điều kiện tiếp xúc để tìm tham số m
Lời giải:
Gọi phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua M, có hệ số góc k là d:
y = k ( x − m ) − 4.
3x 2 − 6x = k
x 3 − 3x 2 = ( 3x 2 − 6x ) ( x − m ) − 4
Vì (C) tiếp xúc với d nên ta có hệ 3 2
x − 3x = k ( x − m ) − 4
x 3 − 3x 2 + 4 = ( 3x 2 − 6x ) ( x − m ) ( x − 2 )
2
( x + 1) = 3x ( x − 2 )( x − m )
x = 2
x − 2 = 0
x = 2
2
2
3x 2 − ( 3m − 1) x + 2 = 0
2
x
−
x
−
2
=
3x
x
−
m
x
−
x
−
2
=
3x
−
3mx
(
)
f (x)
m 2
5
Để từ M kẻ được 3 tiếp tuyến tới ( C) f ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt, khác 2 m .
3
m −1
Kết hợp với
m Z
5
m −10; −1) ;10 \ 2
m
−
10;10
3
có
Câu 530: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1)Hàm số
bên là đồ thị của hàm số
f '( x)
trên
.
8 + 9 = 17
f ( x ) có
Hỏi hàm số
y=f
giá trị nguyên m cần tìm.
đạo hàm
f '( x)
trên
B. 3.
C. 2.
D. 4.
: Đáp án A.
Phương pháp giải:
Tính đạo hàm của hàm hợp, giải phương trình đạo hàm để tìm số điểm cực trị
Lời giải:
Dựa vào hình vẽ, ta thấy
f '( x) = 0
có 3 nghiệm phân biệt
x = x1 0
.
x = x 2 ; x 3 0
f ' ( x ) khi x 0
f ( x ) + 2018 khi x 0
g '( x ) =
Ta có: g ( x ) = f ( x ) + 2018 =
−f ' ( −x ) khix 0
f ( −x ) + 2018 khi x 0
x = x2
x = x
f ' ( x ) = 0 khi x 0
3
g '( x ) = 0
.
x
=
−
x2
−f ' ( − x ) = 0 khi x 0
x = −x3
Hình vẽ
( x ) + 2018 có bao nhiêu điểm cực
trị ?
A. 5.
.
Do đó
g '(x) = 0
bị triệt tiêu tại 4 điểm x 2 , −x 2 , x 3 , −x 3 và không có đạo hàm tại
x = 0.
Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị.
Câu 531: (Chuyên Đại Học Vinh-2018) Giới hạn lim
x →−2
A. −
B.
3
16
C. 0
x +1
( x + 2)
2
bằng:
D. +
Đáp án A
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính giới hạn của hàm số.
Cách giải:
Ta có: lim
x →−2
x +1
( x + 2)
2
= lim
x →−2
−2 + 1
( −2 + 2 )
2
= −
Câu 532: (Chuyên Đại Học Vinh-2018) Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một
trong bốn hàm số sau.
Hỏi đó là đồ thị của hàm số nào?
A. y =
x−2
x +1
B. y =
x−2
x −1
C. y =
x+2
x−2
D. y =
x+2
x −1
Đáp án A
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính giới hạn của hàm số.
Cách giải:
Ta có: lim
x →−2
x +1
( x + 2)
2
= lim
−2 + 1
x →−2
( −2 + 2 )
2
= −
Câu 533: (Chuyên Đại Học Vinh-2018)Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ
bên. Hàm số y = f ( x ) nghịch
biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
x
−1
−
y'
+
0
0
+
1
-
-
0
+
+
+
y
−
−
A. ( −1;0 )
B. ( −1;1)
C. ( −; −1)
D. ( 0; + )
Đáp án A
Phương pháp:
Hàm số nghịch biến y ' 0 hoặc y ' = 0 tại một số hữu hạn điểm.
Cách giải:
Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −1;0 ) và ( 0;1)
Câu 534: (Chuyên Đại Học Vinh-2018) Đồ thị hàm số nào sau đây có tiệm cận ngang?
x2 − x +1
A. y =
x
B. y = x + 1 − x 2
C. y = x 2 + x + 1
D. y = x + x 2 + 1
: Đáp án D
Phương pháp:
Đường thẳng y = a và là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) lim f ( x ) = a
x →+
Cách giải:
Ta có:
x2 − x +1
+) lim
= lim
x →
x →
x
ngang.
1−
1 1
+
2
x x 2 = đồ thị hàm số y = x − x + 1 không có tiệm cận
1
x
x
+) lim ( x 2 − x + 1) = đồ thị hàm số y = x 2 + x + 1 không có tiệm cận ngang.
x →
)
(
+) lim x + x 2 + 1 = lim
x →
x →
1
x
1
1 + 1 + đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0
x
Câu 535: (Chuyên Đại Học Vinh-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định ( −; 4 và có
bảng biến thiên như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
x
−
y'
+
3
2
1
0
-
+
4
0
-
+
y
2
1
−
A. 3
−1
0
B. 2
C. 4
D. 5
Đáp án A
Phương pháp:
Điểm M ( x 0 ; y0 ) là điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) x 0 là nghiệm của phương trình
y ' = 0 và tại đó y' đổi dấu từ âm sang dương hoặc từ dương sang âm.
Cách giải:
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 536 (Chuyên Đại Học Vinh-2018): Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = xe x trên đoạn
−2;0 là:
A. 0
B. −
2
e2
C. −e
: Đáp án D
Phương pháp:
Để tìm GTNN của hàm số y = f ( x ) trên a;b ta làm các bước sau:
+) Giải phương trình y ' = 0 tìm các giá trị x i .
+) Tính các giá trị y ( a ) ; y ( x i ) ; y ( b )
+) So sánh các giá trị vừa tính, chọn GTNN của hàm số và kết luận.
D. −
1
e
Cách giải:
Ta có: y ' = ex + xex y ' = 0 e x + xe x = 0 x + 1 = 0 x = −1
y ( −2 ) = −
Min = −
−2;0
Câu
2
1
; y ( −1) = − ; y ( 0 ) = 0
2
e
e
1
khi x = −1
e
(Chuyên
537:
Đại
Học
Vinh-2018)
Tập
xác
định
của
hàm
số
y = 1 + log 2 x + 3 log 2 (1 − x ) là:
1
C. ; +
2
1
B. ;1
2
A. ( 0;1)
1
D. ;1
2
Đáp án B
Phương pháp:
+) Hàm số
f ( x ) xác định f ( x ) 0
0 a 1
+) Hàm số loga f ( x ) xác định
f ( x ) 0
Cách giải:
x 0
x 0
x 1
Hàm số y = 1 + log 2 x + 3 log 2 (1 − x ) xác định 1 − x 0
1 + log x 0 log 2x 0
2
2
0 x 1
0 x 1
1
1 x 1
2
2x 1
x 2
Câu 538: (Chuyên Đại Học Vinh-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình
vẽ bên. Số nghiệm của phương trình f ( x − 1) = 2 là:
x
−2
−
y'
+
0
+
3
-
0
+
+
y
4
−2
−
A. 5
B. 4
C. 2
D. 3
Đáp án A
Phương pháp:
Cách 1:
+) Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số y = f ( x ) từ đó suy ra hàm số y = f ( x −1) và đồ thị
hàm số y = f ( x − 1)
+) Số nghiệm của pt f ( x − 1) = 2 là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x − 1) và đường
thẳng y = 2
Cách 2:
+) Để có đồ thị hàm số y = f ( x −1) ta tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) sang phải 1 đơn vị.
+) Lập bảng biến thiên của hàm số y = f ( x −1) từ đó suy ra dáng điệu đồ thị hàm số
y = f ( x − 1) và biện luận số nghiệm của phương trình f ( x − 1) = 2
Cách giải:
Dựa vào BBT của đồ thị hàm số y = f ( x ) ta suy ra BBT của đồ thị hàm số y = f ( x −1)
bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) theo vectơ v = (1;0 )
BBT đồ thị hàm số y = f ( x −1) :
x
−1
−
y'
0
+
+
4
0
-
+
+
4
y
−2
−
Từ đó ta suy ra đồ thị hàm số y = f ( x − 1) có BBT như sau:
x
y'
+
+
y
−1
−
0
+
4
-
0
+
+
4
2
y=0
−2
−
Số nghiệm của phương trình y = f ( x − 1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x − 1) và
đường thẳng y = 2 .
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng y = 2 cắt đồ thị hàm số y = f ( x − 1) tại 5 điểm
phân biệt, do đó phương trình f ( x − 1) = 2 có 5 nghiệm phân biệt.
Câu 539 : (Chuyên Đại Học Vinh-2018) Cho hàm bậc bốn y = f ( x ) . Hàm số y = f ' ( x ) có
đồ thị như hình bên. Số điểm cực đại của hàm số f
A. 1
B. 2
C. 4
D. 3
(
)
x 2 + 2x + 2 là:
: Đáp án A
Phương pháp:
+) Đặt g ( x ) = f
(
x 2 + 2x + 2
)
+) Tìm số nghiệm của phương trình g ' ( x ) = 0 (không là nghiệm bội chẵn).
+) Lập BBT và kết luận điểm cực đại của hàm số.
Cách giải:
x = −1
Quan sát đồ thị hàm số y = f ' ( x ) ta thấy f ' ( x ) = 0 x = 1
x = 3
Đặt g ( x ) = f
(
)
x 2 + 2x + 2 g ' ( x ) =
x +1
x + 2x + 2
2
f'
(
x 2 + 2x + 2
)
x = −1
2
x +1 = 0
x + 2x + 2 = −1( vn )
g '( x ) = 0
2
2
f ' x + 2x + 2 = 0
x + 2x + 2 = 1(1)
2
x + 2x + 2 = 3 ( 2 )
)
(
(1) x 2 + 2x + 2 = 1 x 2 + 2x + 1 = 0 ( x + 1)
( 2 ) x 2 + 2x + 2 = 9 x = −1 2 2
2
= 0 x = −1
Nghiệm của phương trình (1) là nghiệm bội 2 nên không là cực trị của hàm số
y = g(x) = f
(
)
x 2 + 2x + 2 .
Lập BBT của hàm số y = g ( x ) :
−
x
−1
−1 − 2 2
g '(x)
-
0
0
+
+
−1 + 2 2
-
0
+
g (x)
0
Dựa vào BBT ta thấy hàm số y = g ( x ) đạt cực đại tại x = −1 .
Chú ý và sai lầm: Lưu ý đạo hàm của hàm hợp.
Câu 540: (Chuyên Đại Học Vinh-2018) Số giá trị nguyên m 10 để hàm số
y = ln ( x 2 + mx + 1) đồng biến trên ( 0; + ) là:
A. 10
C. 8
B. 11
D. 9
: Đáp án A
Phương pháp:
Để hàm số đồng biến trên ( 0; + ) y' 0x ( 0; + )
Cách giải:
ĐK: x 2 + mx + 1 0
Ta có y ' =
2x + m
x + mx + 1
2
2x + m 0x ( 0; + )(1)
Để hàm số đồng biến trên ( 0; + ) y ' 0x ( 0; + ) 2
x + mx + 1 0x ( 0; + )( 2 )
(1) m −2x ( 0; + ) m 0
( 2 ) mx − x 2 − 1 m
Ta có f ' ( x ) =
−x 2 − 1
= f ( x ) x ( 0; + ) m max f ( x )
( 0;+ )
x
−2x 2 + x 2 + 1 − x 2 + 1
=
= 0 x =1
x2
x2
max f ( x ) = f (1) = −2 m −2
( 0;+ )
Vậy m 0
Khi m = 0 ta có y = ln ( x 2 + 1) có y ' =
2x
0x ( 0; + ) m = 0 thỏa mãn.
x2 +1
Kết hợp điều kiện bài toán ta có m Z,0 m 10 m 0;1;2;3;...;9 Có 10 giá trị.
Câu 541: (Chuyên Đại Học Vinh-2018) Cho hàm số y = ax 3 + cx + d, a 0
có
min f ( x ) = f ( −2 ) . Giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn 1;3 bằng :
( − ;0 )
B. d −16a
A. 8a + d
C. d −11a
D. 2a + d
Đáp án B
Phương pháp:
Xét phương trình y ' = 0 các nghiệm của phương trình thuộc 1;3 .
Lập BBT và suy ra GTLN của hàm số trên 1;3 .
Cách giải:
TXĐ: D = R
Ta có y ' = a x 2 + c
Hàm số có min f ( x ) = f ( −2 ) x = −2 là 1 cực trị của hàm số x = −2 là một nghiệm của
( − ;0 )
phương trình y ' = 0
TH1: c = 0 a = 0 ( ktm )
x
= −2
x = − −
3a
TH2: c 0
c
= 2 1;3 c = −12a
x = −
3a
min f ( x ) = f ( −2 ) a 0
( − ;0 )
BBT ở hình vẽ bên:
−2
−
x
y'
-
0
2
1
+
0
+
3
-
+
y
−
max f ( x ) = f ( 2 ) = 8a + 2c + d = 8a − 24a + d = −16a + d
1;3
Câu 542 : (Chuyên Đại Học Vinh-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên 1;2
thỏa mãn và f (1) = 4 f ( x ) = xf ' ( x ) − 2x 3 − 3x 2 . Tính giá trị f ( 2 )
C. 10
B. 20
A. 5
D. 15
Đáp án B
Phương pháp:
f ( x ) xf ' ( x ) − f ( x )
Sử dụng công thức
và phương pháp lấy tích phân hai vế.
' =
2
x
x
Cách giải:
f ( x ) = xf ' ( x ) − 2x 3 − 3x 2 xf ' ( x ) − f ( x ) = 2x 3 + 3x 2
2
2
f (x)
f (x)
'
=
2x
+
3
'dx
=
1 x
1 ( 2x + 3) dx = 6
x
xf ' ( x ) − f ( x )
= 2x + 3
x2
f (x)
f ( 2 ) f (1)
f ( 2)
=6
−
=6
= f (1) + 6 = 10 f ( 2 ) = 20
x 1
2
1
2
2
Câu 543 (Chuyên Đại Học Vinh-2018): Cho hàm số y = f ( x ) có
đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số giá trị nguyên của m để phương
trình f ( x 2 − 2x ) = m có đúng 4 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn
3 7
− 2 ; 2
A. 1
B. 4
C. 2
D. 3
Đáp án C
Phương pháp:
+) Đặt t ( x ) = x 2 − 2x , tìm miền giá trị của t.
+) Tìm điều kiện tương đương số
nghiệm của phương trình
f ( t ) = m để phương trình f ( x 2 − 2x ) = m có đúng 4 nghiệm thực
3 7
phân biệt thuộc đoạn − ;
2 2
Cách giải:
3 7
3 7
Xét hàm số t ( x ) = x 2 − 2x trên − ; ta có t ' ( x ) = 2x − 2 = 0 x = 1 − ;
2 2
2 2
BBT:
−
x
7
2
1
y'
-
0
+
0
21/ 4
21/ 4
y
−1
21
t −1;
4
21
Với t = −1 thì ứng với mỗi giá trị của t thì có 1 nghiệm x và với t −1; thì ứng với mỗi
4
giá trị của t có 2 nghiệm x phân biệt.
3 7
Do đó để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn − ; thì phương trình
2 2
21
f ( t ) = m có 2 nghiệm phân biệt thuộc −1;
4
m ( 2;4) ( a;5 với a ( 4;5)
=>Có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn là m = 3 và m = 5
Câu 544: (Chuyên Đại Học Vinh-2018)Cho hàm số y = −x 3 + mx 2 + mx + 1 có đồ thị ( C ) .
Có bao nhiêu giá trị của m để tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất của ( C ) đi qua gốc tọa độ O ?
A. 2
B. 1
C. 3
D. 4
Đáp án B
Phương pháp:
+) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) có hệ số góc k = y ' , tìm x để y’ đạt GTLN.
+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ vừa tìm được, cho
đường thẳng tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ, tìm m.
Cách giải:
Ta
x=
có
k = y ' = −3x 2 + 2mx + m
3
3
2
2m m
2m3 m2
m −m m m
= y =
+
+
+1 =
+
+1
6
3
9
3
27
3
3 27
đạt
GTLN
tại
m2
m
m2
m
y ' = −3.
+ 2m. + m =
+m
9
3
3
3
Phương
trình
tiếp
tuyến
điểm
tại
có
hoành
độ
x=
m
là:
3
m2
m 2m3 m2
y=
+ m x − +
+
+ 1( d )
3 27
3
3
Đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ
m2
m 2m3 m 2
0=
+ m− +
+
+1
3
3
3 27
m3 m 2 2m3 m 2
0=−
−
+
+
+1
9
3
27
3
m3
=1 m = 3
27
Câu 545: (Chuyên Đại Học Vinh-2018) Cho hàm số f ( x ) = x 4 − 4x 3 + 4x 2 + a . Gọi M, m
lần lượt là các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 0;2 Có bao nhiêu số
nguyên a thuộc đoạn −3;3 sao cho M 2m?
C. 6
B. 7
A. 3
D. 5
: Đáp án D
Phương pháp:
Xét hàm số y = x 4 − 4x 3 + 4x 2 + a, lập BBT của đồ thị hàm số.
Chia các trường hợp và tìm GTNN của hàm số f ( x ) = x 4 − 4x 3 + 4x 2 + a
Sử dụng giả thiết M 2m tìm các giá trị a nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách giải:
Xét hàm số: y = x 4 − 4x 3 + 4x 2 + a có y ' = 4x 3 − 12x 2 + 8x
x = 2
y ' = 0 4x − 12x + 8 = 0 x = 0
x = 1
y ( 0 ) = a; y (1) = a + 1; y ( 2 ) = a
3
2
Ta có BBT như hình bên:
x
y'
0
2
1
+
0
-
a +1
y
a
a
TH1: a 0 thì ta thấy trong
0;2 đồ
thị hàm số luôn nằm phía trên trục Ox
M = a + 1; m = a
M 2m a + 1 2a a 1
a
Mà
a 1; 2;3
a −3;3
TH2: a+1 0 a -1 ta thấy trong 0;2 đồ thị hàm số y = x 4 − 4x 3 + 4x 2 + a nằm phía
dưới trục Ox được lấy đối xứng lên phía trên trục Ox. Khi đó: M = a; m = a + 1
M 2m a 2 ( a + 1) a 2a + 2 a −2
−2 a −1
a Z
Mà
a −1; −2
a
−
3;3
TH3: a<0
Câu 546: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang )Cho hàm số
y=
mx − 2m − 3
x−m
với m là tham số.
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên khoảng
(2; +).
Tìm
số phần tử của S
A. 3
B. 4
C. 5
D. 1
Đáp án A
Ta có y' =
−m2 + 2m + 3
( x − m)
2
Hàm số đồng biến trên ( 2; + ) y ' 0, x ( 2; + ) .
Suy ra
2
−
−1 m 3
m + 2m + 3 0
−1 m 2
m 2
x m ( 2; + )
Suy ra có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài
Câu 547: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang )Cho hàm số
như sau
y = f (x)
có bảng biến thiên
0
−1
−
x
0
−
y'
+
0
−
0
+
+
1
Hàm số
+
3
+
y
1
y = f (x)
1
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −; −1)
C. ( −; + )
B. (1; + )
D. ( −1;0 ) và (1; + )
Đáp án D
Câu 548: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x 4 − x 2 + 13 trên đoạn −2;3
A.
B.
51
4
C.
51
2
D. 13
49
4
Đáp án A
x = 0
y ' = 4x 3 − 2x = 2x ( 2x 2 − 1) y ' = 0
x = 1
2
51
1 1 51
Suy ra y ( −2 ) = 25, y − = y = , y ( 0 ) = 13, y ( 3) = 85 min y =
−2;3
4
2 2 4
Câu 549: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang )Số giá trị nguyên của tham số m trên đoạn
[ −2018; 2018]
để hàm số . . có tập xác định là
A. 2019
B. 2017
là
C. 2018
D. 1009
Đáp án C
Hàm số có tập xác định D = x 2 − 2x − m + 1 0, x ' = 1 + m −1 0 m 0
Suy ra có 2018 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài
Câu 550: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Cho hàm số
y = f (x)
có bảng biến thiên
như sau
x
−
y'
y
+
1
−1
−
0
+
0
4
+
−
0
0
−
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
A.
B.
x =0
x = −1
C.
x=4
D.
x =1
Đáp án B
Câu 551: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang )Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm
cận đứng?
A.
x+2
y=
x −1
B. y =
x3
x2 + 2
C. y = x 2 + 1
D. y =
x 2 − 5x + 6
x−2
Đáp án A
Câu 552: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Đường cong trong hình bên là đồ thị của
hàm số nào dưới đây?
A. y = x 4 − x 2 + 1
B. y = x 4 − 4x 2 + 1
C. y = −x 4 + 4x 2 + 1
D. y = x3 − 3x 2 + 2x + 1
Đáp án B
Câu 553: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Tính đạo hàm của hàm số
A.
y' =
3
( 3x + 2 ) ln 3
B.
y' =
1
( 3x + 2 ) ln 3
C.
y' =
1
3x + 2
Đáp án A
Ta có
y' =
( 3x + 2 ) ' =
3
( 3x + 2 ) ln 3 ( 3x + 2 ) ln 3
Câu 554: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang )
lim
x →−
1− x
3x + 2
bằng
D.
y = log3 ( 3x + 2 )
y' =
3
3x + 2
A.
B.
1
3
2
C.
−
D.
1
3
−
1
2
Đáp án C
1
−1
1− x
1
lim
= lim x
=−
x →− 3x + 2
x →−
2
3
3+
x
Câu 555: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Gọi
tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm
N ( x N ; yN )
M ( x M ; yM )
(khác M) sao cho
là một điểm thuộc biết tiếp
P = 5x 2M + x 2N
đạt giá trị nhỏ
nhất. Tính OM
A.
OM =
5 10
27
B.
OM =
7 10
27
C.
10
27
OM =
D.
OM =
10 10
27
Đáp án D
Gọi
M ( a; a 3 − 3a 2 + 2 ) PTTT
tại M là
d : ( 3a 2 − 6a ) ( x − a ) + a 3 − 3a 2 + 2
Phương trình hoành độ giao điểm của d với ( C) là:
( 3a
2
− 6a ) ( x − a ) + a 3 − 3a 2 + 2 = x 3 − 3x 2 + 2
( x − a ) ( x 2 + ax − 2a 2 − 3x + 3a ) = 0 ( x − a )
2
xM = a
x N = −2a + 3
( x + 2a − 3) = 0
Khi đó
P = 5a 2 + ( 2a − 3) = 9a 2 − 12a + 9 = ( 3a − 2 ) + 5 5
Suy ra
OM =
2
2
nhỏ nhất khi
a=
2
2 26
M ;
3
3 27
10 10
27
Câu 556: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Cho hàm số f liên tục,
f ( x ) −1, f ( 0 ) = 0
A. 0
( )
và thỏa f ' ( x ) x 2 + 1 = 2x f ( x ) + 1. Tính f 3
B. 3
C. 7
D. 9
: Đáp án B
Ta có: f ' ( x )
x 2 + 1 = 2x f ( x ) + 1
Lấy nguyên hàm 2 vế được
f '( x )
f ( x ) +1
=
f ' ( x ) dx
f ( x ) +1
=
2x
x2 +1
2xdx
x2 +1
2 f ( x ) + 1 = 2 x 2 + 1 + C. Do f ( 0) = 0 C = 0
Khi đó 2 f
( 3) + 1 = 4 f ( 3) = 3
df ( x )
f ( x ) +1
= 2 x2 +1 + C
Câu 557: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Tìm tập xác định D của hàm số
y = ( x 2 − x − 2)
−3
A.
D = ( −; −1) ( 2; + )
B.
C.
D=
D.
\ −1; 2
D=
D = ( 0; + )
Đáp án B
x −1
Hàm số xác định x 2 − x − 2 0
D=
x 2
\ = 1; 2
Câu 558: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
để giá trị lớn nhất của hàm số
A. 5
y=
m sin x + 1
cos x + 2
nhỏ hơn 2?
B. 3
C. 4
D. 6
Đáp án A
Giả sử giá trị lớn nhất của hàm số là M. Khi đó
m sin x + 1
= M m sin x + 1 = M cos x + 2M
cos x + 2
msin x − Mcos x = 2M −1
có nghiệm
m2 + M 2 ( 2M − 1) 3M 2 − 4M + 1 − m2 0
2
(
)
xét f ( M ) = 3M 2 − 4M + 1 − m2 , Có ' = 4 − 3 1− m2 = 3m2 + 1 0; m
Suy ra f ( M ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt
Ta có M 1 =
M 1,M 2 f ( M ) 0 M 1 M M 2
2 + 3m2 + 1
2 − 3m2 + 1
2 + 3m2 + 1
M2 =
suy ra M max =
3
3
3
Yêu cầu bài toán
ymax =
2 + 3m2 + 1
2 3m2 + 1 4 − 5 m 5
3
Câu 559: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Cho hàm số
y = f ( x ) liên
tục trên
\ 1
có bảng biến thiên như sau
x
−
y'
y
1
−2
−
0
2
+
+
2
−
3
+
+
0
+
−
−
và
Đồ thị hàm số
y=
1
2f ( x ) − 5
A. 0
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
B. 4
C. 2
D. 1
Đáp án B
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
1
là nghiệm phương trình:
2f ( x ) − 5
2f ( x ) − 5 = 0
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy có 4 nghiệm phân biệt
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận đứng
Câu 560: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Cho hàm số f liên tục trên đoạn −6;5 có
đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ. Tính giá trị
5
I=
f ( x ) + 2 dx
−6
A.
B.
I = 2 + 35
C.
I = 2 + 34
D.
I = 2 + 33
I = 2 + 32
Đáp án D
Dựa vào hình vẽ ta thấy
Vậy
5
−2
2
−6
−2
5
5
2
−6
I = f ( x ) + 2 dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx + f ( x ) dx + 2dx
−6
−2
=
x + 4
khi − 6 x −2
2
f ( x ) = 1+ 4 − x 2 khi − 2 x 2
2x − 1
khi 2 x 5
3
(
)
x+4
2
2 dx+−2 1+ 4 − x dx+
−6
2
2x − 1
2 3 dx + 2−6 dx = 2 + 32
5
5
Câu 561: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Cho hàm số
y = f '(x )
như hình bên
y = f ( x ).
Đồ thị của hàm số
Hàm số g ( x ) = f ( x 2 ) có bao nhiêu điểm cực trị
A. 4
B. 3
C. 5
D. 2
Đáp án C
( )
( )
→ g' ( x ) = 2x.f ' x 2
Ta có g ( x ) = f x 2 ⎯⎯
x = 0
x = 0
x = 0
2
Phương trình g' ( x ) = 0 2
x = −2;x 2 = 0 x = 1
f ' x = 0 2
2
x = 3
x = 1;x = 3
( )
Vậy hàm số
y = g( x )
có 5 điểm cực trị là
x = 0;x = 1;x = 3
Câu 562: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Cho hàm số f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên
1
1
1
1
2 ;1 thỏa mãn f ' ( x ) = x ( x − 2 ) . Biết f (1) = 1, f 2 = ln a ln 3 + b, ( a, b
).
Tổng a + b
bằng
D. −3
C. −2
B. 3
A. 2
Đáp án B
Cách
giải:
1
1
1
1
2
2
2
1
2
1
1
1 1
1
1
f '( x ) =
f ' ( x ) dx =
dx f ( x ) 11 =
− dx = ( ln x − 2 − ln x )
x ( x − 2)
2 1 x−2 x
2
1
1 x ( x − 2)
2
3
1
1
1 1
1
f (1) − f = ln1 − ln − ln1 + ln 1 − f = − ln 3
2
2
2
2 2
2
a = 2
ln 3 1
1
f = 1+
= ln 3 + b, ( a, b )
a+b =3
2
a
2
b = 1
Câu 563: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Cho hàm số y = f ( x ) có f ' ( x ) liên tục trên
nửa khoảng 0; + ) thỏa mãn biết 3f ( x ) + f ( x ) = 1 + 3e−2x . Giá trị f ( 0 ) =
11
. Giá trị
3
1
f ln 6 bằng
2
A.
1
2
B.
5 6
18
C. 1
D.
5 6
9
: Đáp án B
Phương pháp: Đạo hàm: ( f.g ) ' = f '.g + f.g '
Cách
giải:
3f ( x ) + f ' ( x ) = 1 + 3e −2x 3e3x f ( x ) + e3x f ' ( x ) = 33x 1 + 3−2x e3x f ( x ) ' = e3x 1 + 3e −2x
1
ln 6
2
e3x f ( x ) 'dx =
0
1
ln 6
2
e3x 1 + 3e −2x dx
0
Ta có:
1
ln 6
2
e3x f ( x ) 'dx = ( e3x f ( x ) )
1
ln 6
2
0
=e
3ln 6
2
0
I=
1
ln 6
2
e3x 1 + 3e −2x dx =
1
ln 6
2
0
1
= .
2
(
1
f ln 6 − f ( 0 ) = e ln
2
e 2x e 2x + 3dx =
0
e 2x + 3
3
2
)
1
ln 6
2
=
(e
2x
+ 3) e + 3
2x
1
ln 6
2
3
1
2
1
ln 6
2
63
1
11
1
11
f ln 6 − = 6 6.f ln 6 −
2
3
2
3
e 2x + 3d ( e 2x + 3)
0
8 19
= 9− =
3 3
0
0
5 6
1
11 19
1
10
6 6.f ln 6 − = f ln 6 =
=
3
18
2
3
2
6 6
Câu 564: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm với mọi x và thỏa
mãn f ( 2x ) = 4cos x.f ( x ) − 2x . Giá trị f ' ( 0 ) là
A. 1
B. 3
C. 0
D. −2
Đáp án A
(
)
Phương pháp: Đạo hàm hàm hợp: f ( u ( x ) ) ' = f ' ( u ( x ) ) .u ' ( x )
Cách giải: Ta có: f ( 2x ) = 4cos x.f ( x ) − 2x f ' ( 2x ) .2 = −4sin x.f ( x ) + 4cos x.f ' ( x ) − 2
2f ' ( 0) = −4sin 0.f ( 0) + 4cos0.f ' ( 0) − 2 2f ' ( 0) = 2 f ' ( 0) = 1
Câu 565: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai) Tính giới hạn lim ( 2x 3 − x 2 + 1) .
x →−
B. +
A. −
D. 0
C. 2
Đáp án A
1 1
Ta có lim ( 2x 3 − x 2 + 1) = lim x 3 2 − + 3 = −
x →−
x →−
x x
Câu 566 (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
x
−
y'
0
+
y
0
+
2
-
0
+
5
−
+
1
A. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2
B. Giá trị cực đại của hàm số là 0.
C. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 2.
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và đạt cực đại tại x = 5
Đáp án A
Câu 567: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai)Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Hàm
số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( 0; 2 )
B. ( −2;2 )
C. ( −;0 )
D. ( 2;+ )
Đáp án A
Câu 568: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ
thị như hình vẽ bên. Tìm m để phương trình f ( x ) = m
có bốn ngiệm phân biệt.
A. −4 m −3
B. m −4
C. −4 m −3
D. −4 m −3
Đáp án A
PT f ( x ) = m có bốn nghiệm phân biệt −4 m −3
Câu 569: (Chuyên Thái Nguyên-Thái Nguyên).Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham
số thực m thuộc đoạn
−2017;2017 để hàm số
A. 2030
y = x 3 − 6x 2 + mx + 1 đồng biến trên khoảng ( 0; + )
B. 2005
C. 2018
D. 2006
Đáp án
Do hàm số y = x 3 − 6x 2 + mx + 1 đồng biến trên khoảng ( 0; + ) tương đương vưới hàm số
đồng biến trên 0; + ) .
Ta có y' = 3x 2 − 12x + m 0, x 0; + )
m −3x 2 + 12x, x 0; + ) m max ( −3x 2 + 12x )
0;+)
Xét hàm số y = −3x 2 + 12x có hoành độ đỉnh là x 0 = −
(
b
=2
2a
)
Và y ( 2) = 12, y ( 0) = 0. Suy ra max −3x 2 + 12x = y ( 2 ) = 12
0;+)
Vậy giá trị m cần tìm là m12;13;14;...;2017. Suy ra có 2017 −12 + 1 = 2006 giá trị nguyên
của tham số m cần tìm
Câu 570: (Chuyên Thái Nguyên-Thái Nguyên)Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số
m để hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 4m3 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện
tích bằng 4 (O là gốc tọa độ). Ta có tổng giá trị tất cả các phần tử của tập S bằng
A. 1
Đáp án D
B. 2
C. -1
D. 0
