Hàm green đa phức và hàm green thực trên các miền khả lồi phức kiểu hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ TUYẾT

HÀM GREEN ĐA PHỨC VÀ HÀM
GREEN THỰC TRÊN CÁC MIỀN KHẢ
LỒI PHỨC KIỂU HỮU HẠN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 8 46 01 02

Giáo viên hướng dẫn:
TS. DƯƠNG QUANG HẢI

Thái Nguyên - Năm 2018


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi
sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông
tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018
Người viết luận văn

Nguyễn Thị Tuyết

i


Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới TS. Dương Quang Hải, người thầy tận tình hướng
dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận văn
này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán cùng toàn thể
các thầy cô giáo trường ĐHSP Thái Nguyên đã truyền thụ cho tôi những
kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng
góp quý báu trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì
vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các
bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi
trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018
Tác giả

Nguyễn Thị Tuyết

ii


Mục lục
Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Lời nói đầu

1

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản

4

1.1

Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Hàm Green thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Hàm Green đa phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Miền C-khả lồi địa phương kiểu hữu hạn . . . . . . . . . . 10

Chương 2

Hàm Green đa phức và hàm Green thực cổ điển

trên các miền giả lồi chặt trong Cn

13

2.1

Một số đánh giá cận trên đối với hàm Green thực cổ điển . 13

2.2

Một số đánh giá cận dưới của hàm Green đa phức . . . . . 14

2.3

Đánh giá thương của hai hàm Green đa phức và hàm Green
thực cổ điển trên miền giả lồi chặt trong Cn . . . . . . . . . 19

Chương 3

Hàm Green đa phức và hàm Green thực cổ điển

trên một số miền giả lồi yếu
3.1

23

Đánh giá thương của hai hàm Green đa phức và hàm Green
thực cổ điển trên một số miền khả lồi địa phương . . . . . . 23

iii


3.2

Đánh giá thương của hai hàm Green đa phức và hàm Green
thực cổ điển trên một số miền C-khả lồi địa phương kiểu
hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Kết luận

49

Tài liệu tham khảo

50

iv


Lời nói đầu
Các hàm Green đa phức và hàm Green thực cổ điển là các đối tượng
nghiên cứu đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết đa thế vị phức. Đó
là các lớp hàm điều hòa và đa điều hòa dưới có nhiều ứng dụng nên
được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu như:
Siciak,P. Lelong, Zaharjuta, Klimek, Dan Coman, Zeriahi, Magnusson,...
và đạt được nhiều kết quả sâu sắc. Một số kết quả về hàm Green đa phức
với các cực logarit trên đa tạp siêu lồi và hàm Green đa phức với cực hữu
hạn đã đặc biệt nhận được sự quan tâm và nghiên cứu bởi nhiều nhà toán
học như P. Lelong, Klimek, Zaharjuta, E. Amar, Dan Coman, Demailly,
P.J.Thomas, ...
Tuy nhiên, những tính chất về hàm Green đa phức với nhiều cực vẫn còn
được biết rất ít hoặc chưa được nghiên cứu đầy đủ. Đặc biệt, trong những
năm gần đây mối quan hệ giữa hàm Green đa phức với hàm Green thực
cổ điển (là nghiệm cơ bản của bài toán Dirichlet đối với toán tử Laplace)
trên các miền bị chặn trong Cn nhận được sự quan tâm nghiên cứu của
nhiều nhà toán học như Magnus Carlehed, Bo-Yong Chen, N. Nikolov, P.
J. Thomas... Cụ thể, nghiên cứu thương h(x, y) = gD (x, y)/GD (x, y) của
hai hàm Green đa phức và hàm Green thực cổ điển trên miền bị chặn D
trong Cn . Vì hàm h(x, y) hội tụ đến 0 khi x, y hội tụ đến cùng một điểm
trong D nên hàm h có thể mở rộng thành một hàm liên tục không âm
trong D × D. Một câu hỏi được đặt ra là khi nào hàm h sẽ bị chặn trong

D × D? Năm 1997, M. Carlehed đã chứng minh được hàm h bị chặn bởi
hằng số 22n−3 /(n − 1) trên hình cầu đơn vị trong Cn . Hằng số này là đánh

giá tốt nhất đối với hàm h trên hình cầu đơn vị. Tiếp đó, M. Carlehed
chứng minh tính bị chặn của thương hai hàm Green trên các miền giả
1


lồi chặt. Năm 2002, Bo-Yong Chen tổng quát hóa kết quả trên của M.
Carlehed trên các miền lồi kiểu hữu hạn.
Nằm trong tính thời sự này, chúng tôi đã lựa chọn đề tài “Hàm Green
đa phức và hàm Green thực trên các miền khả lồi phức kiểu hữu
hạn” nhằm mục đích nghiên cứu các ước lượng cận dưới các hàm Green
này. Đồng thời, nghiên cứu tính bị chặn của hàm thương gD /GD của hai
hàm Green đa phức và hàm Green thực cổ điển trên một số miền giả lồi
yếu D trong Cn . Luận văn trình bày một số kết quả nghiên cứu mới nhất
gần đây năm 2018 của N. Nikolov, P. J. Thomas về so sánh hai hàm Green
đa phức và hàm Green thực cổ điển được trình bày trong tài liệu tham
khảo [9].
Bố cục của luận văn gồm ba chương nội dung chính, trong đó có phần
lời nói đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản của lý thuyết đa thế vị
phức như hàm nửa liên tục trên, hàm đa điều hòa dưới, hàm Green thực
và hàm Green đa phức,. . . Trình bày một số hàm giả khoảng cách và một
số định nghĩa về tính chất hình học của các miền trong Cn như miền Ckhả lồi, miền C - khả lồi địa phương kiểu hữu hạn. Đây là kiến thức nền
tảng phục vụ cho việc nghiên cứu ở các chương sau.
Chương 2: Hàm Green đa phức và hàm Green thực cổ điển trên các
miền giả lồi chặt Cn .
Trong chương này, chúng tôi trình bày một kết quả về đánh giá cận
dưới của hàm Green đa phức trên các miền lồi chặt và giả lồi chặt, bị chặn
trong Cn và nghiên cứu tính bị chặn của thương của hai hàm Green đa
phức gD /GD trên các miền này.
Chương 3: Là nội dung chính của luận văn, trình bày một số kết quả

của N. Nikolov, P. J. Thomas về so sánh các hàm Green đa phức và hàm
Green thực cổ điển trên một số miền giả lồi yếu trong Cn .
Cụ thể, trong chương này chúng tôi nghiên cứu và đánh giá các cận
dưới của hàm Green đa phức trên một số miền C-khả lồi địa phương với
biên kiểu hữu hạn và tổng quát hơn, nghiên cứu nó trên các miền C-khả

2


lồi địa phương kiểu hữu hạn. Cuối cùng, chúng tôi cũng nghiên cứu tính
bị chặn của thương của hai hàm Green đa phức gD /GD trên một số miền
giả lồi yếu trong Cn .

3


Chương 1
Một số kiến thức cơ bản
Trong chương này, luận văn giới thiệu một số khái niệm cơ bản phục
vụ cho các nghiên cứu ở chương sau.

1.1

Một số khái niệm cơ bản

Trước hết, chúng ta có một số khái niệm của giải tích
Định nghĩa 1.1.1. (Miền Lipschitz) Một miền bị chặn D, compact tương
đối trong Rn được gọi là miền Lipschitz (hay miền với biên Lipschitz) nếu
về mặt địa phương, biên ∂D là đồ thị của một hàm Lipschitz.
Một hàm ψ : Rn−1 → R được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz nếu

tồn tại một hằng số M sao cho

|ψ(y ) − ψ(x )| ≤ M |y − x | với mọi y , x ∈ Rn−1
Như vậy, một miền bị chặn D được gọi là Lipschitz nếu gần mỗi điểm
biên p ∈ ∂Ω, tồn tại một lân cận U của p sao cho

D ∩ U = (x , xn ) ∈ U |xn > ψ(x ) ,
với hàm Lipschitz ψ nào đó.
Định nghĩa 1.1.2. Cho U là một tập mở trong Cn và u : U → R khả vi
lớp C 2 (U ). Ký hiệu ∆ là toán tử Laplace, tức là
n

∆u =
i=1

4

∂ 2u
.
∂x2i


Một hàm h : U → R khả vi lớp C 2 (U ) được gọi là hàm điều hòa trên

U nếu ∆h = 0 trên U .
Chẳng hạn, hàm h := Ref , với f là một hàm chỉnh hình trên miền

D ⊂ C là một hàm điều hòa trên D.
Định nghĩa 1.1.3. Cho X là một không gian tôpô, hàm u : X →

[−∞, +∞) được gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mọi α ∈ R
tập mở {x ∈ X : u(x) < α} là mở trong X .
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử Ω là tập mở trong C. Hàm u : Ω → [−∞, +∞)
gọi là điều hòa dưới trên Ω nếu nó nửa liên tục trên trên Ω, u ≡ −∞ trên
bất kỳ một thành phần liên thông của Ω và thỏa mãn bất đẳng thức dưới
trung bình trên Ω, nghĩa là với mọi ω ∈ Ω tồn tại

0≤r<

> 0 sao cho với mọi

ta có

1
u(ω) ≤
2π

2π

u(ω + reit )dt.
0

Định nghĩa 1.1.5. Cho Ω là một tập con mở của Cn và u : Ω →

[−∞, +∞) là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với −∞ trên
bất kì thành phần liên thông nào của Ω. Hàm u được gọi là đa điều hòa
dưới nếu với mỗi a ∈ Ω và b ∈ Cn , hàm λ → u(a + λb) là điều hòa dưới
hoặc trùng −∞ trên mỗi thành phần của tập hợp {λ ∈ Cn : a + λb ∈ Ω}.
Trong trường hợp này, ta viết u ∈ P SH(Ω). (Ở đây kí hiệu P SH(Ω) là
lớp hàm đa điều hòa dưới trong Ω).

Ký hiệu P SH_ (Ω) là tập các hàm đa điều hòa dưới âm trên Ω.
Định nghĩa 1.1.6. Một miền bị chặn Ω ⊂ Cn được gọi là miền siêu lồi
nếu tồn tại một hàm đa điều hòa dưới âm, liên tục ρ : Ω → (−∞, 0) sao
cho với c < 0

Ωc = {z ∈ Ω : ρ(z) < c}

Ω.

Chẳng hạn, mọi miền lồi chặt (hay giả lồi chặt, với biên lớp C 2 ) đều là
miền siêu lồi.

5


1.2

Hàm Green thực

Cho N là một số nguyên dương. Nghiệm cơ bản đối với toán tử Laplace
trong RN được cho bởi

p(x) =

log |x|
−|x|2−N

nếu N = 2,
nếu N ≥ 3.

Cho Ω là một miền bị chặn trong RN với biên Lipschitz và cho điểm cố
định y ∈ Ω. Khi đó, tồn tại hàm hy (x) liên tục trên Ω là nghiệm của bài
toán Dirichlet sau

∆u(x) = 0
trong Ω,
u(x) = −p(x − y) trên ∂Ω.
Định nghĩa 1.2.1. (Hàm Green thực) Cho Ω là một miền bị chặn trong
RN với biên Lipschitz. Hàm

GΩ (x, y) = p(x − y) + hy (x),
với mọi x, y ∈ Ω, được gọi là hàm Green thực (cổ điển) đối với toán tử
Laplace, với cực tại điểm y .
Hàm Green thực GΩ là hàm đa điều hòa âm trong miền Ω\{y} và hội
tụ đến 0 trên biên ∂Ω. Hơn nữa, GΩ là hàm đối xứng, tức là GΩ (x, y) =

GΩ (y, x), với mọi (x, y) ∈ Ω × Ω.
Ký hệu U_ (Ω, y) là tập các hàm điều hòa dưới u trên miền Ω ⊂ RN ,
với N ≥ 3 thỏa mãn

u(ζ) ≤ p(ζ − y) + O(1) khi ζ → y.
Khi đó, theo phương pháp tính toán của Perron thì hàm Green thực cổ
điển có thể cho bởi

GΩ (x, y) = sup{u(x); u ∈ U_ (Ω, y), u ≤ 0}.
Trong đề tài của luận văn, các hàm Green luôn được định nghĩa là một
hàm âm trên miền đang xét.
Cho D ⊂ Cn ∼
= R2n , n ≥ 2, nếu là hàm Green đang xét trên miền D là
hàm điều hòa hay điều hòa dưới thì D được xét như miền con của R2n và

6


hàm đa điều hòa dưới hoặc hàm Green đa phức thì D được xét như miền
con của Cn .
Vậy, hàm Green thực cổ điển trên miền D ⊂ Cn , n ≥ 3 với cực tại điểm

ω ∈ D có thể được định nghĩa như sau
GD (z, ω) = sup

u(x); u ∈ SH_ (D), u = | · −w|−m+2 + O(1) ,

trong đó SH_ (D) ký hiệu tập các hàm điều hòa dưới trên D.

1.3

Hàm Green đa phức

Cho D là miền bị chặn trong Cn , n ≥ 2. Ký hiệu V (D, y) là tập các
hàm đa điều hòa dưới trên D thỏa mãn

u(ζ) ≤ log |ζ − y| + O(1) khi ζ → y.
Định nghĩa 1.3.1. Cho Ω là một miền trong Cn và a ∈ Ω. Nếu hàm u
là một hàm đa điều hòa dưới trên Ω, ta nói rằng hàm u có cực logarit tại
điểm a nếu hàm z → u(z) − log |z − a| bị chặn trên trong một lân cận của
điểm a.
Nếu Φ : Ω1 → Ω2 là một ánh xạ chỉnh hình và u là một hàm chỉnh hình
trên Ω2 với cực logarit tại điểm Φ(a) thì u ◦ Φ là hàm chỉnh hình trên Ω1
với cực logarit tại điểm a.
Khi đó, năm 1985 Klimek [7] đã đưa ra định nghĩa về hàm Green đa

phức như sau
Định nghĩa 1.3.2. Cho D là miền bị chặn trong Cn , n ≥ 2. Hàm Green
đa phức trên miền D, với cực tại điểm y ∈ D được cho bởi

gD (x, y) = sup{v(x); v ∈ V (D, y), v ≤ 0}.
Chúng ta thường ký hiệu gD (z, ω) hàm Green đa phức trên miền D ⊂
Cn , n ≥ 2, với cực tại điểm ω ∈ D:

gD (z, w) = sup u(z) : u ∈ P SH_ (D), u = log| · −w| + O(1) ,
7


trong đó P SH− (D) là tập các hàm đa điều hòa dưới âm trên D. Trong
trường hợp n = 1 thì gD chính là hàm Green thực cổ điển đối với toán tử
Laplace trên R2 .
Trong đề tài luận văn, đôi khi ta ký hiệu g mà bỏ đi ký hiệu D hàm
Green đa phức khi miền D ta đang xét đã định nghĩa rõ ràng.
Cho u là đa điều hòa dưới trên miền Ω ⊂ Cn . Ký hiệu d = ∂ + ∂ và

dc = i(∂ − ∂).
Định nghĩa 1.3.3. Nếu u ∈ C 2 (Ω) thì toán tử
c

dd u

n

∂ 2u
= dd u ∧ . . . ∧ dd u = 4 n!det
∂zj ∂ z¯k

n
c

c

n

dV,
1≤j,k≤n

với dV là độ đo thể tích trong Cn gọi là toán tử Monge-Ampère phức.
Định nghĩa 1.3.4. (Hàm đa điều hòa dưới cực đại) Cho Ω ⊂ Cn là một
tập con mở. Hàm đa điều hòa dưới u : Ω → R trên Ω được gọi là cực đại
nếu với mọi tập con compact mở G trong Ω và với mỗi hàm nửa liên tục
trên v trên Ω thỏa mãn v là hàm đa điều hòa dưới trên G và v ≤ u trên

∂G, kéo theo v ≤ u trên ∂G.
Trong Klimek [7, Hệ quả 3.1.9] đã chứng minh được rằng: Nếu u là một
hàm đa điều hòa dưới lớp C 2 trên một tập con mở Ω ⊂ Cn thì u là cực
đại khi và chỉ khi (ddc u)n = 0 trên Ω.
Khi đó, hàm Green đa phức gD có một số tính chất sau đây:
Hàm x → gD (x, y) là một hàm đa điều hòa dưới âm, cực đại trên miền

D\{y}. Tức là, ddc gD

n

= 0 trên miền D\{y}.

Hàm Green đa phức gD tiến tới 0 trên biên ∂D của D khi và chỉ khi D

là miền siêu lồi. Gần cực điểm y , hàm Green đa phức xấp xỉ hàm log |x−y|.
Hàm Green đa phức gD là đối xứng, tức là gD (x, y) = gD (y, x) nếu D
là miền lồi chặt. Trong trường hợp tổng quát, E. Berdford - J-P. Demailly
đã chứng minh hàm Green đa phức là không đối xứng.
Hơn nữa, dễ thấy hàm Green đa phức gD là một đa điều hoà dưới hàm
âm trên D nên gd thỏa mãn tính chất sau đây

8


Mệnh đề 1.3.5. Giả sử D là miền siêu lồi, bị chặn trong Cn , cho S =

{a1 , a2 , ..., aN } là một tập hữu hạn các điểm trong D. Khi đó, ta có các
bất đẳng thức sau
N

g(z, aj ) ≤ g(z, a1 , a2 , ..., aN ) ≤ min {g(z, aj )}.

(1.1)

j=1,N

j=1

Chứng minh. Theo định nghĩa của hàm Green đa phức, hàm vế bên trái
của bất đẳng thức trên là một trong những hàm đa điều hoà dưới âm trong
các hàm lấy supremun trong định nghĩa của gD . Mặt khác, hàm Green đa
phức gD cũng là một hàm trong họ các hàm Green định nghĩa của vế phải.
Do đó, chúng ta có bất đẳng thức ở trên.
Tiếp theo, chúng ta có một số ví dụ về hàm Green đa phức trên các đa

đĩa đơn vị
Ví dụ 1.3.6. Trên song đĩa đơn vị D2 ⊂ C2 , hàm Green đa phức với cực
tại ω = (a, 0), a ∈ C được xác định bởi

g{(a,0)} (z) := max log

z1 − a
, log |z2 | .
1 − az1

Ví dụ 1.3.7. Trên song đĩa đơn vị D2 ⊂ C2 , hàm Green đa phức với các
cực trong S = {ω1 = (a1 , 0), ..., ωN = (aN , 0)} ⊂ D2 được xác định bởi


N

z1 − aj
gD (z) = max
log
, log |z2 | .


1
−
a
z
j
1
j=1
Tổng quát hơn, ta có ví dụ sau

Ví dụ 1.3.8. (Xem [11], trang 25-28).Trên đa đĩa đơn vị Dn ⊂ Cn . Khi
đó, hàm Green đa phức với cực w trên đa đĩa đơn vị Dn được cho bởi:

gD (z) = max {log |Tw1 (z1 )|, . . . , log |Twn (zn )|} = max log
1≤j≤n

zj − wj
,
1 − wj zj

trong đó, Tw (z) là phép biến đổi M o¨bius của hình cầu đơn vị.

9


1.4

Miền C- khả lồi địa phương kiểu hữu hạn

Trong phần này, chúng ta có một số định nghĩa một số tính chất hình
học của miền trong Cn . Trong đề tài luận văn, chúng ta luôn giả sử n ≥ 2.
Định nghĩa 1.4.1. Cho D là một miền trong Cn . Ta nói rằng biên ∂D
(hoặc miền D) là nhẵn lớp C k nếu D = ρ < 0 , trong đó ρ là hàm khả
vi lớp Ck trên D sao cho
Cho Ω

ρ = 0 trên ∂D.

Cn là một tập con compact tương đối với biên nhẵn và

điểm biên p ∈ ∂Ω. Với một lân cận U của p, cố định một hàm số thực

r : U → (−∞, +∞) trên U sao cho:
Ω ∩ U = {z ∈ U : r(z) < 0}
và

r = 0 trên ∂Ω ∩ U . Cho z1 , · · · , zn là hệ tọa độ trực chuẩn trong Cn ,

ký hiệu zj = xj + iyj , xj , yj ∈ R, 1 ≤ j ≤ n.
Định nghĩa 1.4.2. Một miền Ω ⊂ Cn được gọi là lồi nếu với mọi điểm

p ∈ ∂Ω ∩ U , với mọi t = (t1 , · · · , t2n ) ∈ R2n , ta có
2n

∂ 2r
(p)ti tj ≥ 0 trong đó,
∂x
∂x
i
j
i,j=1

2n

i=1

∂r
(p)ti = 0.
∂xi

Định nghĩa 1.4.3. Một miền nhẵn lớp C 2 là miền lồi chặt nếu ma trận
Hesse phức của ρ

∂ 2ρ
(a) ,
∂zj ∂z k
hạn chế trên không gian tiếp xúc phức tại mỗi điểm a biên ∂D là xác định
dương.
Định nghĩa 1.4.4. (Miền C-lồi) Một miền D trong Cn được gọi là C-lồi
nếu mọi giao khác rỗng của D với một đường thẳng phức là một miền liên
thông và liên thông đường.
Định nghĩa 1.4.5. (Miền lồi tuyến tính và lồi tuyến tính yếu) Một miền

D trong Cn được gọi là lồi tuyến tính nếu mọi điểm a ∈ Cn \D tồn tại một
siêu phẳng phức đi qua a mà không giao với D.
10


Một miền D trong Cn được gọi là lồi tuyến tính yếu nếu mọi điểm

a ∈ ∂D tồn tại một siêu phẳng phức đi qua a mà không giao với D.
Khi đó, theo [1, Định lý 2.3.9] và [5, Định lý 4.6.8], ta có

D là miền C-lồi ⇒ D là lồi tuyến tính ⇒ D là lồi tuyến tính yếu.
Hơn nữa, nếu D là một miền bị chặn và nhẵn lớp C 1 thì cả ba khái
niệm trên là trùng nhau, tức là một miền C-lồi D chính là miền lồi tuyến
tính, cũng là lồi tuyến tính yếu. Cụ thể hơn, với mọi điểm z ∈ D, tồn tại
một siêu phẳng phức H đi qua z sao cho D ∩ H = ∅.
Định nghĩa 1.4.6. (Miền C− khả lồi) Một miền D ⊂ Cn được gọi là C−
khả lồi nếu D song chỉnh hình với một miền C− lồi, tức là tồn tại một

ánh xạ song chỉnh hình f : D → D ⊂ Cn trong đó D là C− lồi.
Định nghĩa 1.4.7. (Miền C− khả lồi địa phương) Một miền D ⊂ Cn
được gọi là C− khả lồi địa phương nếu với mọi điểm a ∈ ∂D, tồn tại một
lân cận U của a và một phép nhúng chỉnh hình Φ : U → Cn sao cho

Φ(D ∩ U ) là một miền C-lồi.
Người ta đã chứng minh được rằng: Mọi miền giả lồi chặt đều là miền
khả lồi địa phương.
Tiếp theo, chúng ta có định nghĩa về miền khả lồi địa phương kiểu

m-hữu hạn. Trước hết, chúng ta có khái niệm về kiểu của một miền.
Cho hàm f : U → C là một hàm trên một lân cận U của điểm gốc 0
trong C. Kí hiệu ν(f ) bậc triệt tiêu của hàm f (z) − f (0) tại điểm 0. Nếu

F = (f1 , · · · , fn ) là hàm nhẵn từ U vào Cn thì bậc triệt tiêu của hàm F
tại điểm 0 định nghĩa bởi

ν(F ) := min (ν(fi )).
i=1,n

Định nghĩa 1.4.8. Điểm p ∈ Ω được gọi là kiểu hữu hạn nếu tồn tại hằng
số m sao cho

∆1 (p) := sup
F

ν(r◦ F )
≤ m,
ν(F )

11


trong đó F là tham số hóa chỉnh hình của một đa tạp con giải tích phức
một chiều đi qua điểm p của Cn , tức là F : C → Ω là hàm chỉnh hình
khác hằng thỏa mãn F (0) = p. Số ∆1 (p) được gọi là kiểu của điểm p.
Cho V là mầm tại điểm p của đa tạp con giải tích phức một chiều bất
khả quy. Mỗi đa tạp như vậy có một tham số hóa địa phương bởi một hàm
chỉnh hình khác hằng F : C → V sao cho F (0) = p.
Định nghĩa 1.4.9. (Bậc tiếp xúc) Cho Ω ⊂ Cn là một miền và p ∈ ∂Ω.
cho V ⊂ Cn là một đa tạp con giải tích phức một chiều đi qua điểm p.
Định nghĩa bậc tiếp xúc của V với biên ∂Ω tại điểm p, ký hiệu τ (V, p) cho
bởi

τ (V, p) := sup m : |r(z)| ≤ C|z − p|m , z ∈ V ∩ U ,
trong đó U là một lân cận của điểm p.
Định nghĩa 1.4.10. (Kiểu của một miền trong Cn ) (i) Cho a là một điểm
biên nhẵn của một miền Ω ⊂ Cn . Ký hiệu ma là bậc tiếp xúc lớn nhất của
các đĩa giải tích không tầm thường đi qua a với biên ∂Ω tại điểm a. Số

ma (có thể bằng ∞) được gọi là kiểu của điểm a.
(ii) Cho Ω là một miền nhẵn trong Cn . Ta gọi số m là kiểu của miền
Ω, tức m là supremun (cận trên đúng) lấy trên tất cả các kiểu của tất cả
các điểm biên của Ω. Khi m < ∞, ta nói rằng Ω là miền m-kiểu hữu hạn.
Chẳng hạn, mọi miền bị chặn 2-kiểu đều là miền giả lồi chặt. Kiểu của
một miền giả lồi là một số chẵn hoặc ∞.
Trong Định nghĩa 1.4.10 về kiểu của một điểm a, nếu chúng ta thay
các đĩa giải tích bởi các đường thẳng phức thì ta có định nghĩa kiểu đường
thẳng, ký hiệu la , của điểm a. Khi đó, năm 2011 N. Nikolov, P. Pflug, W.
Zwonek trong [13] đã chứng minh được kết quả sau

Mệnh đề 1.4.11. Nếu a là một điểm biên nhẵn của một miền C-lồi

Ω ⊂ Cn thì ma = la .
Định nghĩa 1.4.12. (Miền khả lồi địa phương m-kiểu hữu hạn) Một miền
bị chặn D trong Cn được gọi là miền khả lồi địa phương kiểu hữu hạn nếu

D là miền C- khả lồi địa phương và là miền m-kiểu hữu hạn.
12


Chương 2
Hàm Green đa phức và hàm Green
thực cổ điển trên các miền giả lồi
chặt trong Cn
g(x, y)
của
G(x, y)
hai hàm Green đa phức và hàm Green cổ điển. Đặt N = 2n và chúng ta
Trong chương này, chúng ta nghiên cứu thương h(x, y) =

luôn giả sử rằng n ≥ 2. Khi đó, vì h(x, y) → 0, khi x, y → ζ ∈ Ω nên
hàm h có thể mở rộng thành một hàm liên tục không âm trên miền Ω × Ω.
Câu hỏi đặt ra là: Khi nào hàm h bị chặn trên Ω × Ω? Năm 1997, M.
Carlehed đã chứng minh được trên hình cầu đơn vị, hàm h bị chặn bởi
hằng số 22n−3 /(n − 1) và đây là hằng số tốt nhất có thể. Trước hết, chúng
ta nghiên cứu hàm h trên một miền giả lồi chặt trong Cn .

2.1

Một số đánh giá cận trên đối với hàm Green

thực cổ điển

Cho Ω là một miền bị chặn trong RN , N ≥ 3, với biên khả vi lớp C 2 .
Đặt δ(ξ) = δΩ (ξ) là khoảng cách từ ξ đến biên của miền Ω. Để chứng
minh tính bị chặn trong h, chúng ta cần ước lượng sau đây của Z. Zhao
năm 1986 về hàm Green thực cổ điển G(x, y) bên ngoài điểm 0.
Mệnh đề 2.1.1. [13] Cho Ω là một miền bị chặn trong RN , N ≥ 3. Khi
đó, ta có các bất đẳng thức sau đây với mọi x, y, ∈ Ω

−G(x, y) ≥

C
δ(x) δ(y)
nếu |x − y| ≤ max
,
N
−2
|x − y|
2
2
13

(2.1)


−G(x, y) ≥

Cδ(x)δ(y)
|x − y|N

nếu |x − y| > max

δ(x) δ(y)
,
2
2

(2.2)

trong đó C là một hằng số dương.

2.2

Một số đánh giá cận dưới đối với hàm Green
đa phức

Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu ước lượng cận dưới đối với hàm
Green đa phức trên các miền lồi chặt và các miền giả lồi chặt với biên lớp

C 2 trong Cn . Trước hết, chúng ta cần kết quả sau
Mệnh đề 2.2.1. Cho Ω là miền bị chặn trong RN , N ≥ 2, với biên lớp

C 2 . Khi đó, tồn tại số η , 0 < η < diam(Ω)/2, sao cho:
˜ zy , η) ⊂ Ωc
(1)Với mỗi y ∈ ∂Ω, tồn tại các hình cầu B(zy , η) ⊂ Ω và B(˜
¯˜ z , η) ∩ Ω
¯ = {y}.
¯ y , η) ∩ Ωc = y và B(˜
thỏa mãn B(z
y

(2) Với mỗi điểm ξ thuộc U := {ξ ∈ Ω; δ(ξ) < η}, tồn tại một điểm
gần πξ duy nhất trong ∂Ω và ξ − πξ là một véc tơ đơn vị hướng vào trong
đối với biên tại điểm πξ .
Chứng minh. Áp dụng các định lý của hàm số ngược đối với ánh xạ

∂Ω × (−1, 1) → RN ,
(ζ, t) → ζ + tνζ ,
trong đó νζ là véc tơ đơn vị hướng ra ngoài tại điểm ζ .

¯ nên ta có
Vì ánh xạ x → πx là khả vi lớp C 1 trên U
Mệnh đề 2.2.2. Đối với hình cầu Ω := B(0, r) trong Cn , tồn tại một
hằng số C > 0 (chỉ phụ thuộc vào số chiều) sao cho

−gB(0,R) (x, y) ≤ C

R δ(y)
.
|x − y|2

(2.3)

Chứng minh. Trước hết, ta có hàm Green đa phức trên hình cầu B(0, R)
được cho bởi

g(x, y) = log |Ty/R (x/R)|,

14

trong đó Ta là phép biến đổi M¨oobius biến điểm a lên điểm gốc 0. Cụ thể,
phép biến đổi M¨oobius Ta cho bởi

Ta (x) =

a − Pa (x) − 1 − |a|2 Qa (x)
,
1− < x, a >

trong đó
n

xi yi

< x, y >:=
i=1

là tích hermite và

Pa (x) :=

< x, a >
a, Qa (x) := x − Pa (x).
< a, a >

Vì cả hai vế của bất đẳng thức là bất biến đối với phép co x → x/R
nên chúng ta có thể lấy R = 1. Hơn nữa, vì chúng là bất biến dưới các
phép quay nên ta có thể giả sử rằng y = (t, 0, ..., 0), trong đó t ∈ R+ . Khi
đó, ta có

1
|1 − tx1 |2
−g(x, y) = log
2
|t − x1 |2 + q(1 − t2 )
(1 − |x1 |2 − q)(1 − t2 )
1
= log 1 +
2
|t − x1 |2 + q(1 − t2 )
1 (1 − |x1 |2 − q)(1 − t2 )
≤
,
2 |t − x1 |2 + q(1 − t2 )
trong đó q = |x2 |2 + · · · + |xn |2 . Vì vậy, ta có bất đẳng thức

−g(x, y)|x − y|2
(1 − |x1 |2 )(|t − x1 |2 + q)
≤
.
δ(y)
|t − x1 |2 + q(1 − t2 )
Tiếp theo, cố định t và x1 , dễ dàng thấy rằng vế phải của bất đẳng thức
trên là một hàm tăng theo biến q . Khi đó, vì q < 1 − |x1 |2 nên ta nhận
được đánh giá sau

−g(x, y)|x − y|2
(1 − |x1 |2 )(|t − x1 |2 + 1 − |x1 |2 )
≤
δ(y)

|t − x1 |2 + (1 − |x1 |2 )(1 − t2 )
t2 (1 − |x1 |2 )
2
= (1 − |x1 | ) 1 +
|1 − tx1 |2
1 − |x1 | 2
≤1+4
.
|1 − tx1 |
Từ đó, vì |1−tx1 | ≥ 1−t|x1 | ≥ 1−|x1 | nên mệnh đề được chứng minh.
15


Mệnh đề 2.2.3. Cho Ω là một miền lồi chặt, bị chặn trong Cn . Khi đó,
tồn tại một hằng số C > 0 sao cho

−gΩ (x, y) ≤ C

δ(y)
.
|x − y|2

Chứng minh. Tồn tại một số dương R thỏa mãn các tính chất sau: Với
mỗi điểm ξ ∈ ∂Ω có thể tìm thấy một hình cầu Bξ bán kính R tiếp xúc
với Ω tại điểm ξ và Ω ⊂ Bξ . Áp dụng Mệnh đề 2.2.1, xây dựng một lân
cận của U . Khi đó, với mỗi y ∈ U ∩ Ω, áp dụng đối với hình cầu Bπy . Từ
định nghĩa của hàm Green đa phức, nếu Ω1 ⊂ Ω2 thì gΩ1 (x, y) ≥ gΩ2 (x, y).
Tiếp theo, từ Mệnh đề 2.2.2 ta có

−gΩ (x, y) ≤ −gBR (x, y) ≤ C

δBR (y)
.
|x − y|2

Nhưng vì δBR (y) = δΩ (y) nên mệnh đề được chứng minh với y ∈ U ∩ Ω.
Còn trường hợp y ∈ Ω \ U , áp dụng Mệnh đề 2.2.2. Suy ra điều phải chứng
minh.
Tiếp theo, chúng ta có một đánh giá về cận dưới đối với hàm Green đa
phức trên một miền lồi chặt
Mệnh đề 2.2.4. Cho Ω ⊂ Cn là miền lồi chặt, bị chặn. Khi đó, tồn tại
một hằng số C = C(Ω) phụ thuộc vào miền Ω sao cho với mọi x, y ∈ Ω,
ta có

−g(x, y) ≤ C

δ(x) δ(y)
|x − y|4

(2.4)

Chứng minh. Cho α > 0 và cho T là nửa hình cầu B(0, α)∩{Im(zn ) < 0}.
Đặt Hα (z) := Imzn /α2 . Khi đó, ta có Hα là một hàm đa điều hòa, âm trên

Tα . Nếu x ∈ ∂Ω, bằng phép quay và tịnh tiến Tα sao cho điểm 0 được biến
thành điểm x thì phần phẳng của biên tiếp xúc với Ω tại điểm y và phần còn
lại của biên thuộc bên trong của Ω. Gọi nửa hình cầu nhận được là Tα∗ và
hàm nhận được tương ứng là Hα∗ . Đặt τ := z ∈ Tα∗ sao cho |z − x| = α

∩ Ω.

Tiếp theo, lấy R là bán kính lớn nhất của độ cong của ∂Ω. Khi đó, ta
có Hα∗ (z) ≤ −1/(2R) nếu z ∈ τ , vì phần của ∂Ω bên trong Tα∗ là phần
16


của hình cầu có bán kính R. Khi đó, bằng cách tính toán cơ bản ta nhận
được đánh giá (2.6). Chú ý rằng ước lượng này là độc lập với x.
Cho η là hằng số xác định bởi Mệnh đề 2.2.1 , và đặt D := diam(Ω).
Khi đó, ta có 0 < η < D/2. Nếu δ(x) ≥ η|x − y|/(2D) thì, theo Mệnh đề
2.2.3, ta có các bất đẳng thức sau

−g(x, y)|x − y|4
|x − y|2
≤C
≤ C.
δ(x) δ(y)
η|x − y|/(2D)
và mệnh đề được chứng minh. Còn nếu δ(x) < η|x − y|/(2D) thì khi đó
theo Mệnh đề 2.2.1, tồn tại một điểm duy nhất gần nhất điểm πx với ∂Ω.
Đặt α := η|x − y|/D < |x − y|/2, và xây dựng nửa hình cầu Tα∗ và hàm

Hα∗ tương ứng tại điểm x = πx. Khi đó, chú ý rằng:
(1) x ∈ Tα∗ ∩ Ω, vì δ(x) < α/2; và
(2) y ∈
/ Tα∗ ∩ Ω, vì
|πx − y| ≥ |y − x| − |x − πx| = |y − x| − δ(x)
3
> |y − x| 1 − η/(2D) > |y − x| > α.
4
Giả sử t ∈ τ . Khi đó, ta có

|y − t| ≥ |x − y| − |x − t| ≥ |x − y| − (|x − πx| + |πx − t|)
= |x − y| − δ(x) + α > |x − y| − 3α/2
1
= |x − y| 1 − 3η/(2D) > |x − y|.
4
Do đó, áp dụng Mệnh đề 2.2.3, ta nhận được

−g(t, y) ≤ C |t − y|−2 δ(y) ≤ C|x − y|−2 δ(y).
Vì −2RHα∗ (t) ≥ 1 nên ta có

g(t, y) ≥ 2CR|x − y|−2 δ(y)Hα∗ (t) ≥ C|x − y|−2 δ(y)Hα∗ (t)

(2.5)

với mọi t ∈ τ . Trong trường hợp t ∈ ∂Ω ∩ Tα∗ , vì g(t, y) = 0 nên chúng ta
có bất đẳng thức tương tự. Vì vậy, các bất đẳng thức trên đúng với mọi

t ∈ ∂(Ω ∩ Tα∗ ). Mặt khác, Vì g(t, y) là một hàm đa điều hòa dưới cực đại
đối với biến t trong Ω ∩ Tα∗ và C|x − y|−2 δ(y)Hα∗ (t) là một hàm đa điều
hòa dưới như một hàm của t (thực ra, nó là một hàm đa điều hòa) nên
17


bất đẳng thức (2.5) đúng trong Ω ∩ Tα∗ . Đặc biệt, bất đẳng thức (2.5) cũng
đúng đối với t = x. Suy ra

g(x, y) ≥ C|x − y|−2 δ(y)Hα∗ (x)
−δ(x)
≥ C|x − y|−2 δ(y) 2 ≥ −C|x − y|−4 δ(x)δ(y).

α
Vậy mệnh đề được chứng minh.
Kết quả của Mệnh đề 2.2.4 là ước lượng tốt nhất đối với cận dưới của
hàm Green đa phức trên một miền lồi chặt, bị chặn theo nghĩa không có
đánh giá nào tương tự với số mũ nhỏ hơn 4. Điều này có thể thấy, khi chúng
√
ta áp dụng đối với miền Ω = B(0, 1) ⊂ C2 , y = (t, 0), x = (t, 1 − t), t ∈
R+ .
Trước khi, nghiên cứu kết quả tương tự đối với cận dưới của hàm Green
đa phức trên một miền giả lồi chặt, bị chặn, chúng ta có định lý nhúng
của Fornaess như sau
Định lý 2.2.5. Cho Ω là một miền giả lồi chặt, bị chặn trong Cn . Khi đó,
tồn tại một ánh xạ chỉnh hình ψ : Cn → Cm , với m ∈ Z+ và một miền lồi
chặt, bị chặn Ω trong Cm thỏa mãn

(1) ψ là song chỉnh hình lên một đa tạp con đóng của Cm ;
(2) ψ(Ω) ⊂ Ω và ψ(∂ Ω) ⊂ ∂ Ω;
(3) ψ(Cn ) giao với ∂ Ω.
Khi đó, chúng ta có kết quả sau về cận dưới của hàm Green đa phức
trên một miền giả lồi chặt, bị chặn trong Cn
Mệnh đề 2.2.6. Cho Ω ⊂ Cn là miền giả lồi chặt, bị chặn. Khi đó, tồn tại
một hằng số C = C(Ω) phụ thuộc vào miền Ω sao cho với mọi x, y ∈ Ω,
ta có

−g(x, y) ≤ C

δ(x) δ(y)
|x − y|4

(2.6)

Chứng minh. Theo định nghĩa của hàm Green đa phức nếu ta có f : Ω1 →

Ω2 là một ánh xạ chình hình thì
gΩ1 (x, y) ≥ gΩ2 (f (x), f (y)).
18


Áp dụng bất đẳng thức này đối với hàm ψ trong Định lý 2.2.5 và áp dụng
Mệnh đề 2.2.4, ta nhận được các bất đẳng thức sau

−gΩ (x, y) ≤ −gΩ (ψ(x), ψ(y)) ≤ C

δΩ ψ(x) δΩ ψ(y )
.
|ψ(x) − ψ(y)|4

Vì ψ là song chỉnh hình lên ảnh của nó trong một lân cận của Ω nên tồn
tại một hằng số A > 1 sao cho
1
|ψ(x) − ψ(y)|
<
< A,
A
|x − y|
với mọi x, y ∈ Ω. Hơn nữa, với mọi x ∈ U ∩ Ω, ta có

δΩ ψ(x) ≤ |ψ(x) − ψ(πx)| < C|x − πx| = Cδ(x).
Đối với x ∈ Ω\U , ta có δ(x) ≥ η . Vì vậy, bằng cách tăng C nếu cần thiết,
ta cũng có các đánh giá tương tự. Khi đó, ta có

δ(x)δ(y)
.
−gΩ (x, y) ≤ C
|x − y|4
Vậy mệnh đề được chứng minh.
Chúng ta cũng có kết quả tương tự đối với đánh giá cận trên của hàm
Green thực cổ điển. Cụ thể, chúng ta có

−G(x, y) ≤ C

δ(x)δ(y)
,
|x − y|N

(2.7)

với C là một hằng số dương phụ thuộc vào miền giả lồi bị chặt, bị chặn

Ω ⊂ RN .

2.3

Đánh giá thương của hai hàm Green đa phức
và hàm Green cổ điển trên miền giả lồi chặt
trong Cn

Áp dụng các kết quả trên của Mệnh đề 2.2.6 và đánh giá (2.7), chúng
ta có kết quả sau khẳng định thương của hai hàm Green đa phức và hàm
Green thực cổ điển là bị chặn trên một miền giả lồi chặt, bị chặn. Đây
cũng là kết quả chính của phần này.

19


Định lý 2.3.1. Cho Ω là một miền giả lồi chặt, bị chặn trong Cn . Khi đó,
tồn tại một hằng số C = C(Ω) > 0 phụ thuộc vào miền Ω sao cho

0 ≤ h(x, y) =

g(x, y)
≤ C|x − y|2n−4 ,
G(x, y)

với mọi x, y ∈ Ω. Đặc biệt, hàm h là bị chặn trên Ω.
Chứng minh. Chúng ta xét hai trường hợp sau:

(i) Trường hợp x, y ∈ Ω thỏa mãn
|x − y| ≤ max

δ(x) δ(y)
,
,
2
2

Sử dụng bất đẳng thức (2.1) của Mệnh đề 2.1.1, bằng cách tính toán và
qua một vài ước lượng đơn giản ta nhận được bất đẳng thức
C
−g(x, y) ≤
.

|x − y|

(ii) Trường hợp x, y ∈ Ω thỏa mãn
|x − y| > max

δ(x) δ(y)
,
,
2
2

Sử dụng bất đẳng thức (2.2) của Mệnh đề 2.1.1 và Mệnh đề 2.2.6, ta nhận
được các bất đẳng thức cần chứng minh. Vậy Định lý đã cho được chứng
minh.
Nhận xét 2.3.2. Hiển nhiên, tính siêu lồi của miền Ω là cần thiết cho
tính bị chặn của thương của hai hàm Green h. Tuy nhiên, đó không phải
là điều kiện đủ. Chúng ta có phản ví dụ sau, với Ω là song đĩa đơn vị trong
C2 với biên Lipschitz. Cụ thể, trong song đĩa đơn vị trong C2 hàm Green
đa phức và hàm Green cổ điển có thể không so sánh được với nhau, thậm
chí ngay cả khi các cực là cố định. Khi đó, thương của hai hàm Green h
tiến tới vô cùng khi z hội tụ đến một điểm phân biệt trên biên.
Để chứng minh kết quả trên chúng ta cần đến Bất đẳng thức Harnack
trên biên dưới đây
Định lý 2.3.3. Giả sử D là một miền Lipchitz, P0 là một điểm trong D, E
là tập mở trên ∂D, S là một miền con của miền D thỏa mãn ∂S ∩∂D ⊆ E .
Khi đó, tồn tại một hằng số C sao cho với mọi u1 và u2 là hai hàm điều
20