Xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân với họ vô hạn các ánh xạ không giãn (tt)

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼

◆●❯❨➍◆ ❙❖◆● ❍⑨

❳❻P ❳➓ ◆●❍■➏▼ ❈❍❖ ❇❻❚ ✣➃◆● ❚❍Ù❈ ❇■➌◆ P❍❹◆
❱❰■ ❍➴ ❱➷ ❍❸◆ ❈⑩❈ ⑩◆❍ ❳❸ ❑❍➷◆● ●■❶◆
◆❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ●✐↔✐ t➼❝❤
▼➣ sè✿ ✾✹✻✵✶✵✷

❚➶▼ ❚➁❚ ▲❯❾◆ ⑩◆ ❚■➌◆ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ✷✵✶✽


❈æ♥❣ tr➻♥❤ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ t↕✐✿

❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥

◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✿ ●❙✳❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❇÷í♥❣

P❤↔♥ ❜✐➺♥ ✶✿ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳
P❤↔♥ ❜✐➺♥ ✷✿ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳
P❤↔♥ ❜✐➺♥ ✸✿ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳
▲✉➟♥ →♥ s➩ ✤÷ñ❝ ❜↔♦ ✈➺ tr÷î❝ ❍ë✐ ✤ç♥❣ ❝❤➜♠ ❧✉➟♥ →♥ ❝➜♣ ❚r÷í♥❣ ❤å♣ t↕✐✿
❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✳
❱➔♦ ❤ç✐ ✳✳✳✳✳✳ ❣✐í ✳✳✳✳✳✳ ♥❣➔② ✳✳✳✳✳✳ t❤→♥❣ ✳✳✳✳✳✳ ♥➠♠ ✷✵✶✽

❈â t❤➸ t➻♠ ❤✐➸✉ ❧✉➟♥ →♥ t↕✐ t❤÷ ✈✐➺♥✿

✲ ❚❤÷ ✈✐➺♥ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❱✐➺t ◆❛♠
✲ ❚r✉♥❣ t➙♠ ❤å❝ ❧✐➺✉ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥
✲ ❚❤÷ ✈✐➺♥ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥




1

t t tự ữủ t ỳ ừ t
t ợ ỳ ự ừ s t ở sỹ s
t rt t ứ õ t
tự ổ ởt ừ ự t tớ sỹ t út ữủ sỹ q
t ừ ồ tr ữợ t ữ t ỹ tr
t t ở t t ũ ữỡ tr ợ t tỷ ỡ
t õ ừ ữỡ tr r . . . õ t q ổ
t t tự ữợ tt t ủ t t
ởt ổ ử tố t tr ự ổ t tt
ự ử tỹ t
é t t ữớ t ồ õ ỳ
õ õ q trồ t õ t ữ õ ự ừ
P ý P t P ố
P t ử ử t
ụ ữ ữ t P ỳ
P t t
ổ t
ữớ ữớ t P P ồ P
t P t
P ừ ừ t . . . õ t
tự ởt số t q ụ t ự

ừ t t s ự s tr ữợ
ổ t t tự ờ õ
x C s F (x), x x 0, x C,

tr õ C t ỗ õ rộ ừ ổ rt H F : H H
tr H
r trữớ ủ t C ừ t ữủ ữợ t t
ở ừ ởt ồ ỳ ổ ổ t t õ
ợ t tỹ t ữ t ổ ử t t ố
tổ st ữủ tố tổ tt ỷ
t t
õ t ự ử t t tự tỹ t ỏ ọ
õ ỳ ữỡ số q t õ ởt tr ỳ




ữợ ự q trồ ữủ sỹ q t ừ t ồ
tr ữợ õ t ữỡ ợ t ừ t
t q ừ ữỡ õ ữớ t
tt ữủ tt t tự ỹ tr ữỡ
ừ st P ữỡ ừ rtt
r ỵ t ử ừ ữỡ
rr rr ữỡ
ừ ts ữỡ
q t r tt t ỹ tr ởt số tt t
t ở ữ ữỡ rsss rsss
ữỡ r ữỡ
Pữỡ t ữỡ rt
st r ữủ ổ t ữ s

x C,
0
xk+1 = PC (I F )(xk ),

k = 0, 1, 2, . . .



tr õ PC tr tứ H C I ỡ tr H ởt
số ữỡ ố Pữỡ õ trú ỡ ử tr
ỳ t ố ử t t t Pữỡ sỹ t ủ ỳ sỷ
ử trỹ t õ ừ PC ữỡ ữớ ố t
ớ õ ỳ t ở tr tt t ở ừ ổ
t ữỡ ữớ ố t ữủ ở sỹ
t t ữ ởt t ừ ữỡ ữớ ố t t
ỹ t ừ ởt ỗ tr t t ở ừ ổ
ừ ữỡ ũ õ ừ ổ t
t t ở ừ õ t r ở ừ t t tr
t tỹ t t ỷ t st ữủ
tố tổ ố tổ
. . . õ t ữ t t ừ t tự
tr t t ở ừ ởt ởt ồ ổ ỡ ỳ ú t
t r ồ t ỗ õ õ t ữợ ữủ ừ
ỷ ổ õ ữủ ừ t t ở ổ
t tỷ ỳ ỷ ổ t t t ừ t
tự tr ởt t ỗ õ õ t q t t
tự tr t t ở ừ ởt ồ ổ
õ ởt t r ữỡ t t
tự ữ t ú t õ ừ ổ

Ti i I ợ I t số õ t t tứ ỵ tữ
ỹ ữỡ ữớ ố t ữỡ ở tử
ởt t tr t t ở ừ ồ ỳ ổ
ỗ tớ tọ ừ t t tự
ử t C := (T ) t t ở ừ ởt ổ
tt ữủ ở tử s




F : H H tử Lst ỡ
T : H H ổ tr H ợ (T ) =
k (0, 1] tọ

k
lim k = 0,





k = ,
k=1

tr H
sỷ (0, 2/L2)

lim (k k+1 )2
k+1 = 0

k

õ ợ tũ ỵ x0 H
xk+1 = T (xk ) k+1 F (T (xk )),

k = 0, 1, 2, . . .



ở tử tợ t x ừ t
r trữớ ủ C t t ở ừ ởt ồ ỳ ổ
Ti : H H (i = 1, 2, 3, ..., N ) ỏ t
ữủ ỹ õ
xk+1 = T[k+1] (xk ) k+1 F (T[k+1] (xk )), k = 0, 1, 2, . . .

[k] := k N tr tr t {1, 2, 3, . . . , N }




tử Lst ỡ tr H
N
Ti : H H ồ ỳ ổ tr H ợ C :=
(Ti) =

F : H H

i=1

C = (T1 T2 . . . TN ) = (T2 T3 . . . TN T1 ) = ã ã ã = (TN T1 . . . TN 1 ).

sỷ (0, 2/L2)
k (0, 1] tọ



k
lim k = 0,
k = ,
|k k+N | < .
k=1

k=1

õ ợ tũ ỵ x0 H ở tử tợ t
x ừ t
ứ õ õ ổ tr ự rở t ữỡ
ừ t ữợ t ữợ
t t số t t ọ
tt t tr t t ở ừ ổ Ti
ữớ t t t tr trữớ ủ tờ qt ỡ ợ C

t t ở ừ ởt ồ ổ ữủ ổ
ữợ ởt số ữỡ ữủ tt t tổ
q ũ Wk t t t
Wk õ trú ự t r t q õ tr ữủ tt tr
ổ rt H ộ ữợ ữủ tỹ ỏ
õ ữỡ t tỹ ởt ữợ ự rở tứ ổ
rt H tợ ợ ổ E t t
ữớ t ờ t tr õ ữỡ
ởt ợ t t tự tr ổ
ừ ữớ ở sỹ ữỡ sỷ ử Sk õ
trú ỡ õ t t t s s ữủ
õ t r ỹ ữỡ t tự
tr ổ ởt ữủ s ởt tỹ tt
ú t t ỵ tt t q trồ ỳ
t tr ú tổ ỹ ồ t ự
t tự ợ ồ ổ ổ
ử ừ ự t ữỡ
ởt ợ t t tự ử t ợ t õ
t t tự tr t t ở ừ ởt ồ ổ
ữủ ổ tr ổ tỹ ỗ t õ
t qt s
ỹ ữỡ ợ t
ự tổ q t sỷ ử ợ Sk , Sk S k ỗ tớ tt
ử ồ ử t tữỡ q ợ ởt số ữỡ õ
ử ữỡ ợ ởt ợ t t t ở ừ ởt
ồ ổ ữủ ổ
ử ữỡ ợ ởt ợ t ổ ừ
ởt ồ ổ ữủ j ỡ ỹ
ỗ ữỡ t t t ữỡ
ợ t sỡ ữủ ởt số q trú ồ ừ ổ

ợ t ự ởt số ờ sỷ ử ự
t q ự t ữủ ữỡ s ừ ữỡ tr
t q ự ợ ừ ú tổ tr ữỡ
ởt t tỹ t q ũ ử ử t ồ


5

ữỡ
ởt số tự

ởt ợ t t tự
ổ t

E ổ tỹ ỗ t õ t
F : E E j ỡ ợ số t ợ + > 1
sỷ {Ti} ồ ổ ữủ ổ tr E ợ C := (Ti) =
i=1

ợ t t tự P (F, C) ữủ t ữ s
x C s F (x), j(x x) 0, x C,

tr õ j ố t ừ E x C tọ ữủ ồ
ừ t P(F, C)

Pữỡ ữớ ố t

r ú tổ s tr tt ởt số ự rở
ữỡ ữớ ố t t t tự
õ

C t t ở ừ ởt ồ ỳ ổ tr
ổ rt tỹ ự ữủ t q tữỡ tỹ
t t tữỡ ự
k
lim k /k+1 = 1 lim k /k+N = 1.
k
õ t t r ỡ tỹ sỹ ỡ ỳ t
õ t ỹ ồ ợ t số t {1/k} tr õ ổ tọ t
ổ õ r r s r ợ
lim k /k+N tỗ t ở sỹ t ữỡ ỏ
k

ợ t số k+1 ổ số ố ữ tr t
t số ụ ữủ sỹ ở tử
xk+1 = T[k+1] (xk ) k+1 k+1 F (T[k+1] (xk )),

k = 0, 1, 2, ...




tử Lst ỡ tr H
N
Ti : H H ồ ỳ ổ tr H ợ C :=
(Ti) =
F : H H

i=1

C = (T1 T2 . . . TN ) = (T2 T3 . . . TN T1 ) = ã ã ã = (TN T1 . . . TN 1 ).

sỷ k (0, 2/L2) ợ ồ k N s
k (0, 1) tọ
|k /L2| 2 aL2/L2 ợ t t ởt a (0, 2/L2),
k
lim (k+N (k /k+N )k ) = 0.
õ ợ tũ ỵ x0 H
lim sup T[k+N ] . . . T[k+1] (xk ) xk+N , T[k+N ] . . . T[k+1] (xk ) xk 0
k

t ở tử tợ t x ừ t
ó r k = ợ ồ k 1 (0, 2/L2) t t õ t tt
tọ t tr tr ữủ ỡ ỳ ở
sỹ ụ r r ừ {xk }
ỗ tớ ữợ ữủ tọ
lim sup T[k+N ] . . . T[k+1] (xk ) xk+N , T[k+N ] . . . T[k+1] (xk ) xk 0.
k

t sỹ ủ t t t số
s ợ t q ữủ
t ự r C = t
N

C :=

(Ti) = (T1T2 . . . TN )

i=1

ừ tọ t t tr t t ở ừ
ổ Ti ọ tt
ữớ ũ ữỡ ỹ

xk+1 = (1 k0 )xk + k0 (I k F )Vk (xk ), k = 0, 1, 2, ...
tr õ Vk = TNk TNk 1 ã ã ã T1k Tik = (1 ki )I + ki Ti ợ i = 1, 2, . . . , N t
ự ữủ t q s




tử Lst ỡ tr H
N
Ti : H H ồ ỳ ổ tr H ợ C :=
(Ti) = sỷ
i=1
(0, 2/L2 ) số ữỡ ố k (0, 1) tọ
ỗ tớ tt r ki (, ) ợ i = 0, 1, 2, . . . , N tr õ , (0, 1)
i
lim |k+1
ki | = 0 ợ i = 1, 2, 3, . . . , N. õ ợ tũ ỵ x0 H
k
ở tử tợ t x ừ t
F : H H

õ t t ởt tr ỳ tữỡ tỹ sỹ ở tử ừ ữỡ
tt t số ử tở số ỡ
số st L r tỹ t t t r L ổ
ởt ổ ỗ tớ t t r ữủ tỹ
ỏ ữỡ t tỹ
ự rở trữớ ủ C t t ở ừ ởt ồ ổ
ữủ ổ Ti : H H sỷ ử Wk
t s ỹ õ
xk+1 = (I k F )Wk (xk ), k = 1, 2, 3, . . .

x1 tũ ỵ tở H k (0, 1] > 0 t số



F : H H tử Lst ỡ tr H {Ti}
ồ ổ ổ tr H ợ C := Fix(Ti) = sỷ {k }
i=1

số tỹ tọ 0 < a k b < 1 k = 1, 2, 3, . . . ợ a, b (0, 1) õ
s
(0, 2/L2)
k tọ
t ở tử tợ t x ừ t
Pữỡ sỷ ử Wk t ủ ợ ữỡ ữớ ố t
rở t q ừ ồ ổ ữủ ổ tr
ổ rt tỹ t ọ
õ Wk õ trú ự t ữỡ
ụ t tỹ

t ủ ữỡ ữớ ố t ữỡ sỷ
ử Wk ợ x1 tũ ỵ tở H ở sỹ tt ởt ữủ ỗ
ữ s

y = (I F )(x ),
k
k
k
xk+1 = (1 k )yk + k Wk (yk ),

k = 1, 2, 3, . . .



tr õ k [0, 1] k 0 t số



F : H H tử Lst ỡ tr H {Ti}
ồ ổ ổ tr H ợ C := Fix(Ti) = sỷ {k }
i=1

số tỹ tọ 0 < k b < 1 k = 1, 2, 3, . . . õ s




k [, 1/2] ợ > 0
k tọ
t ở tử tợ t x ừ t

ố ữ ữỡ t t r ữỡ ụ õ trú ự
t õ ữỡ t tỹ
ởt s ụ ữủ t q tữỡ tỹ ữ ừ ở
sỹ ữợ tt ợ t t số t q ừ t t
0 < k /L2 k k0 ợ t t ởt số k0 > 1 ỡ
tỹ sỹ r t k ỏ ọ t ợ ở ừ
t số tr k ử tở số
ỡ số st L t ờ s k F (xk ) 0
k sỹ ở tử ử tở tr F (xk ) t ộ ữợ t
ồ t {k } tọ s õ
ở sỹ ự trữớ ủ C t t ở ừ
ởt ổ tr ổ tỹ ởt q trồ
sỹ ở tử ố ợ ữỡ ợ ừ t tt t tử
t ừ ố t õ ợ ự
ử ừ ữỡ ố ợ t ữủ tt tr ổ
q trồ ổ õ t t ổ Lp[a, b] (1 < p < )
ở sỹ rở t q ừ tợ ợ ổ
qtrỡ ợ số dq , q > 1 Pữỡ õ t ử tr
ổ Lp[a, b], (1 < p < ) tt t k tữỡ tỹ ừ
ỗ tớ t số ỏ ọ ử tở số L số dq
õ t sỷ ử tt t tr t t ở ừ
ổ Ti
C t t ở ừ ởt ồ ổ ữủ ổ
tr ổ tỹ E t sỷ ử ự t Wk t õ
t sỷ ử Vk ỡ ỡ ữủ

Vk = Vk1 , Vki = T i T i+1 . . . T k , T i = (1 i )I + i Ti , i = 1, . . . , k


tr õ i (0, 1) i < . ữớ ở sỹ t

i=1
ự ữỡ ợ ở tử tợ t x ừ
t
xk = Vk (I k F )(xk ),







{k } {k } t số ữỡ ỹ tt
t ởt õ õ t ừ ữỡ õ tr
tỹ t t t ộ ữợ t tỹ ữợ ởt ữỡ
tr t s ởt số ỳ ữợ t s t ữủ
ợ ừ t
r ỳ ử ữủ ổ t t s s ữủ
tr t õ s tứ ử ữỡ
ữớ ở sỹ ỹ Sk tr E ữ s
xk = k (I k F )(xk ) + (1 k )Vk (xk ),

k

Sk =
i=1

si
Ti ,
sk

k

sk =

si ,



k = 1, 2, 3, . . .

i=1



tr õ si > 0 si = s < Ti : E E ổ tr E.
i=1
sỷ ử Sk t tt ữỡ
xk+1 = (1 k )xk + k Sk Fk (xk ), k = 1, 2, 3, . . .


xk+1 = (1 k )Sk (xk ) + k Fk (xk ), k = 1, 2, 3, . . .

Fk = I k F {k } {k } t số ữỡ ỹ ở tử ừ
ữỡ tr ữủ t tr ữợ



E ổ tỹ ỗ t õ t
F : E E j ỡ ợ số t ợ + > 1

{Ti } ồ ổ ữủ ổ tr E ợ C :=
(Ti) = .
s
k (0, 1) tọ
k (0, 1) tọ 0 < lim
inf k lim supk < 1
k

i=1

k

t ở tử tợ t x ừ t


10

ữỡ
ữỡ ởt ợ
t t tự
Pữỡ ữớ ố t ũ Sk
ở ữỡ

Pữỡ tự t ữủ tt ỹ tr sỷ ử Sk t t tứ
x1 tũ ỵ tở E ú tổ ỹ {xk } t ữủ ỗ ữ s
xk+1 = (I k F )Sk (xk ), k = 1, 2, 3, . . .

tr õ Sk ữủ
k

Sk =



(si /
sk )T i
i=1

ợ


i (0, 1) Ti ổ I ỡ tr E t
số k (0, 1) {si} tữỡ ự tọ
T i = (1 i )I + i Ti ,

k

si > 0,

sk =

si



i=1

i = 1, 2, 3, . . .

si = s < .



i=1

ỹ ở tử ừ ữỡ


E ổ tỹ ỗ t õ t
F : E E j ỡ ợ số t ợ + > 1

{Ti} ồ ổ ổ tr E ợ C := (Ti) = sỷ
i=1

si tữỡ ự tọ {xk }
ở tử tợ t x ừ t k
t Pữỡ ũ Sk õ trú ỡ ỡ
Vk , Wk Vk õ t t t s s ữủ ỡ ỳ tứ t ừ
ró r ữỡ õ t ử ởt ợ t t t ở
ừ ởt ồ ổ ữủ ổ tr E
k (0, 1)

t trt t r ss rt qts

r rts




ởt số q

ở sỹ ữỡ ữớ ố t ừ
tt
xk+1 = (I k F )(k xk + (1 k )JrA (xk )), k 0,

ổ x ừ A ỗ tớ x ừ t ợ
x0 E tũ ỵ t t số k , k (0, 1) rk > 0


k
lim k = 0,
k =
| k+1 k |< ,
k

k=1

rk ợ ồ k N



k=0

| rk+1 rk |< ,

k=0

0 < a k b < 1 ợ ồ k N



| k+1 k |< .
k=0

t t ổ Ti t tỷ J A := (I + Ai)1
tr t ú tổ ữủ t q t ợ t tờ qt ỡ s
E F i k si ữủ tt tữỡ tỹ {Ai}
ồ ổ ỡ ỹ tr E ợ C := Zer(Ai) = ợ
i=1
tũ ỵ x1 E {xk }
i

k

xk+1 = (I k F )
i=1

si
(1 i )I + i J Ai (xk ),
sk

k 1,

ở tử tợ ổ x C x t ừ t
k
t Pữỡ ữỡ sỷ ử t số
ó r t t số {k } {k } sỹ ở tử ừ ữỡ
ỡ s ợ tt t số rk si tữỡ
ự tr t õ trỏ ổ s s ữủ
t t q t t ổ
t t f := aI ợ a (0, 1) số tỹ ố õ F := I f
j ỡ ợ số t tr E tọ + > 1 t
ợ x1 tũ ỵ tở E t F I f tr ổ tự t t õ ữủ ỗ
k

xk+1 = 1 k

k

(1
i=1

i )ik I

i ik Ti (xk ),

+

k 1,



i=1

t t ở ừ ởt ồ ổ ữủ ổ tr E
tr õ k := (1 a)k ik := si/sk s q trỹ t ừ




E {Ti} i k si ữủ tt tữỡ tỹ sỷ a

số tỹ ố tở (0, 1) ợ tũ ỵ x1 E {xk }
ở tử tợ t ở p C k tọ
p , j(p p) 0 p C.

ứ ú ỵ t ữủ t q ữợ
E {Ai} i k si ữủ tt tữỡ tỹ sỷ
a số tỹ ố tở (0, 1) ợ tũ ỵ x1 E {xk }

k

k

(1

xk+1 = 1 k

i )ik I

i ik J Ai (xk ),

+

i=1

k 1,



i=1

ở tử tợ ổ p C k p tọ
ỹ ữỡ r t ổ ừ
ởt j ỡ ỹ A tr ổ trỡ E õ

xk+1 = k u + (1 k )(k xk + (1 k )JrA (xk )), k 1,
tr õ x1 E tũ ỵ u E tỷ ố k , k rk t số
sỹ ở tử ừ ữỡ tữỡ tỹ ữỡ
t t ổ ừ ởt j ỡ ỹ ổ
ữủ t t tự õ t r t
t tt t t số k k ỳ t ỡ s ợ t q
ừ ú tổ tr ụ ữ ỵ r trú ừ
ữỡ s ợ tỹ sỹ t
t t f := aI + (1 a)u ợ a (0, 1) số tỹ ố u
tỷ ố tở E õ t r F := I f ụ j ỡ
ợ số t tọ + > 1 õ ợ x1 tũ ỵ tở E t F
I f tr t õ ữỡ r
k

k

k

xk+1 = k u + 1 k

(1

i )ik I

+

i=1

i ik Ti (xk ),

k 1,



i ik J Ai (xk ),

k 1.



i=1

t Ti J A t ữủ
i

k

xk+1 = k u + 1 k

k

(1
i=1

i )ik I

+
i=1

tr õ k := (1 a)k ik := si/sk r trữớ ủ t ụ ữủ
q trỹ t ữợ ừ




E {Ti} i a k si ữủ tt tữỡ tỹ

ợ ồ u E ố {xk } ở tử tợ t ở
p C k tọ
p u, j(p p) 0 p C.

E {Ai} i a k si ữủ tt tữỡ tỹ
ợ ồ u E ố {xk } ở tử tợ ổ
p C k p tọ

Pữỡ ữớ ố t ũ Sk
ở ữỡ

Pữỡ tự ữủ tt ỹ tr sỷ ử Sk t t tứ
x1 tũ ỵ tở E ú tổ ỹ {xk } ữ s
xk+1 = (I k F )Sk (xk ), k = 1, 2, 3, . . .

Sk
1
Sk =
s0 sk

k



(si1 si )T i
i=1

tr õ T i ữủ k (0, 1) tọ
{si } số tỹ t ở tử 0 i

ỹ ở tử ừ ữỡ


E ổ tỹ ỗ t õ t
F : E E j ỡ ợ số t ợ + > 1

{Ti} ồ ổ ổ tr E ợ C := (Ti) = sỷ
k (0, 1) tọ
ở tử 0 {xk }
ừ t k

i=1

{si} số tỹ ữỡ t
ở tử tợ t x

t Pữỡ ợ ữỡ ỡ t

số {si} sỷ ử õ tt Sk Sk ồ si = 1/(i + 1) (i =
0, 1, 2, . . . ) t õ tọ tt ừ ữỡ ữ tt ừ ữỡ

t ổ ữủ ộ si ồ si = 1/(i+1)3
i=0

r ststst t t t t s s

ss

r t




✶✹

♥➳✉ i ❝❤➤♥ ✈➔ si = 1/(i + 1)2 ♥➳✉ i ❧➫ (i = 0, 1, 2, . . . ) t❤➻ ❣✐↔ t❤✐➳t ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✶✮
✤÷ñ❝ ❜↔♦ ✤↔♠ ♥❤÷♥❣ ❣✐↔ t❤✐➳t ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✷✺✮ ❧↕✐ ❦❤æ♥❣ ✈➻ ♥â ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ❞➣②
sè ❣✐↔♠ ♥❣➦t✳ ❱➻ t❤➳✱ ♥❣♦➔✐ ✈✐➺❝ ✤↕t ✤÷ñ❝ ♥❤ú♥❣ ♠ö❝ t✐➯✉ ✈➔ ❦➳t ❧✉➟♥ t÷ì♥❣ tü ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ ✭✷✳✶✮ ✤➣ ♥➯✉ tr♦♥❣ ▼ö❝ ✷✳✶✳✷ ✈➔ ▼ö❝ ✷✳✶✳✸ t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✷✺✮ ❣â♣ ♣❤➛♥ ✤❛
❞↕♥❣ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ t❤➯♠ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ①➜♣ ①➾ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤♦ ❧î♣ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳

✷✳✷✳✸ ▼ët sè ❤➺ q✉↔
▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✻✳ ❈❤♦ E ✱ F ✱ αi✱ λk ✈➔ si ✤÷ñ❝ ❣✐↔ t❤✐➳t t÷ì♥❣ ∞tü ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✹✳ ❈❤♦ {Ai} ❧➔
❤å ✈æ ❤↕♥ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❥✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐ tr➯♥ E ✈î✐ C

si−1 − si
(1 − αi )I + αi J Ai (xk ),
s0 − sk

xk+1 = (I − λk F )
i=1

❑❤✐ ➜②✱ ✈î✐

i=1

✤✐➸♠ ❜❛♥ ✤➛✉ tò② þ x1 ∈ E ✱ ❞➣② {xk } ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
k

Zer(Ai ) = ∅✳

:=

k ≥ 1,

❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tî✐ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ x∗ ∈ C ✈➔ x∗ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✷✮
❦❤✐ k → ∞✳
❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ✤➦t βik := (si−1 − si)/(s0 − sk )✱ sû ❞ö♥❣ ❧↕✐ ❝→❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ✈➔ ❧➟♣ ❧✉➟♥ t÷ì♥❣ tü
◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✺ ✈➔ ◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✻✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ❤➺ q✉↔ trü❝ t✐➳♣ ❞÷î✐ ✤➙② ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✹✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✼✳ ❈❤♦ E ✱ {Ti}✱ αi✱ λk ✈➔ si ✤÷ñ❝ ❣✐↔ t❤✐➳t t÷ì♥❣ tü ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✹✳ ●✐↔ sû a ❧➔

sè t❤ü❝ ❝è ✤à♥❤ t❤✉ë❝ (0, 1)✳ ❑❤✐ ➜②✱ ✈î✐ ✤✐➸♠ ❜❛♥ ✤➛✉ tò② þ x1 ∈ E ✱ ❞➣② {xk } ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
k

k

xk+1 = 1 − λk

(1 −

αi )βik I

αi βik Ti (xk ),

+

i=1

k ≥ 1,

i=1

❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tî✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ p∗ ∈ C ❦❤✐ k → ∞ ✈➔ p∗ t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✷✳✶✾✮✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✽✳ ❈❤♦ E ✱ {Ai}✱ αi✱ λk ✈➔ si ✤÷ñ❝ ❣✐↔ t❤✐➳t t÷ì♥❣ tü ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✻✳ ●✐↔ sû
a ❧➔ sè t❤ü❝ ❝è ✤à♥❤ t❤✉ë❝ (0, 1)✳ ❑❤✐ ➜②✱ ✈î✐ ✤✐➸♠ ❜❛♥ ✤➛✉ tò② þ x1 ∈ E ✱ ❞➣② {xk } ①→❝
✤à♥❤ ❜ð✐
k

xk+1 = 1 − λk

k

(1 −

αi )βik I

αi βik J Ai (xk ),

+

k ≥ 1,

i=1

i=1

❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tî✐ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ p∗ ∈ C ❦❤✐ k → ∞ ✈➔ p∗ t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✷✳✶✾✮✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✾✳ ❈❤♦ E ✱ {Ti}✱ αi✱ a✱ λk ✈➔ si ✤÷ñ❝ ❣✐↔ t❤✐➳t t÷ì♥❣ tü ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✼✳ ❑❤✐ ➜②✱
✈î✐ ♠å✐ u ∈ E ❝è ✤à♥❤ ✈➔ ✈î✐ ✤✐➸♠ ❜❛♥ ✤➛✉ tò② þ x1 ∈ E ✱ ❞➣② {xk } ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
k

xk+1 = λk u + 1 − λk

k

(1 −
i=1

αi )βik I

αi βik Ti (xk ),

+

k ≥ 1,

i=1

❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tî✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ p∗ ∈ C ❦❤✐ k → ∞ ✈➔ p∗ t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✷✳✷✹✮✳




E {Ai} i a k si ữủ tt tữỡ tỹ
ợ ồ u E ố ợ tũ ỵ x1 E {xk }
k

k

(1

xk+1 = k u + 1 k

i )ik I

i ik J Ai (xk ),

+

i=1

k 1,

i=1

ở tử tợ ổ p C k p tọ

Pữỡ ữớ ố t ũ S k
ở ữỡ

t t tứ x1 tũ ỵ tở E {xk } ữủ tt ữ s
xk+1 = (I k F )S k (xk ),

tr õ S

k

= I + (1 )T

k

ợ T

k = 1, 2, 3, . . .

k
k

(si /
sk )Ti

:= Sk =



(0, 1) ởt số tỹ ố

i=1

si ữủ sk =

k

si

k tọ

ỹ ở tử ừ ữỡ

i=1

E ổ tỹ ỗ t õ t
F : E E j ỡ ợ số t ợ + > 1

{Ti } ồ ổ ổ tr E ợ C :=
Fix(Ti ) = ởt tr
i=1

ố (0, 1) sỷ k si tữỡ ự tọ
{xk } ở tử tợ t x ừ t
k

ởt số q
E k si ữủ tt tữỡ tỹ {Ai} ồ

ổ ỡ ỹ tr E ợ C :=

Zer(Ai ) =

ợ

i=1

tũ ỵ x1 E {xk }
k

(si /
sk )J Ai (xk ),

xk+1 = (I k F ) (1 )I +

k 1,

i=1

ở tử tợ ổ x C x t ừ t
k
s r trt t r ss rt qts

t

t t




t t ở ởt ồ ổ ổ {Ti}
tr ởt t ỗ õ Q ừ E ỹ ữủ ỗ ữ s


xk+1 = k u + (1 k ) (1 )I +

tr
õ


k 1,



i=1

tũ ỵ {si} số tỹ ữỡ tọ
si = s < 1 k [0, 1] tọ
i=1
t ổ ừ ởt ồ j ỡ ỹ
Ai : E E t tt t
u Q

ố

(si /
s)Ti (xk ),

x1 Q



i,k (1 )I + J Ai (xk ),

xk+1 = k u +

k 1,



i=1


i,k = 1 k 0 < 1 2 < 1 t số k i,k tữỡ
i=1
ự tọ


|i,k+1 i,k | = 0,

lim

k

i=1

i,k (1 )xk + J Ai xk xk /k = 0.

lim

k

i=1

t ó r ữợ q t t t t ộ ỏ ộ

t tỷ tr tt t t ú t ổ õ tổ
t t tờ ộ t tt ừ ữỡ õ ổ t
ử t t q tr õ t õ õ t tr t t tr
t ữ ởt tỹ t r ú t õ t t t tờ
ổ tr ữỡ tờ r tữỡ ự ổ
ỳ ở tr t t ử ỳ õ
t tr ớ ọ tr
t sỷ ử tữỡ tỹ ữ t
t ợ x1 tũ ỵ tở E t ụ ữủ ữợ
xk+1 = 1 k I + (1 )T k (xk ), k 1,


k

ik J Ai (xk ), k 1.

xk+1 = 1 k I + (1 )
i=1



tr õ k = (1 a)k s q trỹ t ừ
E {Ti} k si ữủ tt tữỡ tỹ sỷ a
số tỹ ố tở (0, 1) {xk } ở tử tợ
t ở p C k p tọ




E {Ai} k si ữủ tt tữỡ tỹ sỷ

số tỹ ố tở (0, 1) {xk } ở tử tợ
ổ p C k p tọ
t Pữỡ q trỹ t ừ õ t ữủ ởt
số ữủt trở
trú ữỡ ỡ ỡ õ ữỡ
số t t ộ ữợ t õ t tớ
t t ỡ tr t t ử tr ử ừ ữỡ
tt t sỷ ử tờ r ừ ộ ỡ
ỡ t ỡ õ t t t tr t r õ ố ợ t
q ừ ổ tỹ ữủ
t r trữớ ủ Ti ổ tr ởt t ỗ
õ Q ừ E t Ti : Q Q tử 1st Q ự tỷ ố
ừ E t xk+1 Q õ ú tr trữớ ủ t
Q ổ ự tỷ ố ừ E t t t f := aI + (1 a)u ợ u Q tỷ ố

õ t
t ữủ ữỡ r

a

x E,
1
xk+1 = u + 1 I + (1 )T k (xk ),
k
k

k 1.



õ t q tờ qt ỡ ừ ữợ
E a k si ữủ tt tữỡ tỹ {Ti} ồ
ổ ổ tr ởt t ỗ õ Q ừ E ợ C := Fix(Ti) =
i=1
tr õ Fix(Ti) := {x Q : x = Ti(x)} {xk } ở tử
tợ t ở p C k p tọ
ợ tữỡ tỹ ữ tr t tr ú tổ ụ ữủ ữỡ
ợ ởt ừ ữỡ r t ổ ừ ởt
ồ j ỡ ỹ
E a k si ữủ tt tữỡ tỹ
Ai : Q E ồ ổ j ỡ ỹ tr ởt t ỗ õ Q ừ

E ợ C :=
Zer(Ai ) = ợ ồ u Q ố x1 tũ ỵ tở E {xk }
i=1

k

xk+1 = k u + 1 k

I + (1 )
i=1

si A i
J
(xk ), k 1,
sk

ở tử tợ ổ p C k p tọ




ữỡ
ởt t tỹ t t q t t số
18

t ố tổ

t ởt ỗ S = {1, 2, ..., S} t ỗ
= {1, 2, ..., L} t t tr ợ ộ t l L
õ ữủ
L
cl > 0 tt r ộ ởt ỗ õ t ũ ữớ Ps t

ữớ ữủ sỷ ử ỗ s L (p)
s L t t tổ q õ
ữớ p Ps q ns số tỷ ừ Ps N = ns sỷ x(p)
s tố
sS

ở tr t ừ ỗ s ữớ p Ps q õ tố ở tr t ừ
ỗ s ữủ xs = x(p)
s
pPs

r ở ữủ C õ r ở ữủ ố ợ ộ
t s tờ tố ở tr t ừ ỗ ũ ởt t õ ọ
ỡ ữủ ừ t C ữủ C := Cl = ợ

lL

Cl :=

(x(p)
s )pPs

sS

(p)

RN
+ :

x(p)

s Is,l cl ,

sS,pP
s

l L (p)
s ,

tr trữớ ủ .
sỷ ỗ s õ ởt tố ở tr t s tố ở tố t
rs > 0 t r ở D := Ds tr õ Ds t ỗ
(p)
Is,l


1
=
0

sS

tố ở ữ ố ợ ỗ s
Ds :=

(x(p)
s )pPs

sS

RN

+ :

x(p)
s rs .
pPs

t ố tổ õ t q t ỹ tr t t ở
ừ ởt ổ s
x (T ) s : U (x) =
max U (x),

(T )
tr õ U : RN R t ữủ tt tử T : RN RN
T (x) := (1/2)(x + T(x)) ợ
T(x) := PRN+ Cl0

vl P Cl +

lL,l=l
0

us PDs (x).
sS


✶✾

❚❛ ❝â t❤➸ sû ❞ö♥❣ ❜❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✶✮✱ ✭✷✳✷✺✮ ✈➔ ✭✷✳✸✶✮ ✤➸ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❜➔✐
t♦→♥ ✭✸✳✸✮✳ ❈ö t❤➸✱ ❝❤♦ E := RN ✱ F := −∇U ✈➔ ❝❤å♥ Ti := T ✈î✐ ♠å✐ i ∈ N. ❇❛ ♠➺♥❤ ✤➲
s❛✉ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ ❤➺ q✉↔ trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ ❝→❝ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✱ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✹ ✈➔ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✺✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✶✳ ❈❤♦ U : RN → R ❧➔ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tö❝ ❝â −∇U : RN → RN ❧➔ →♥❤ ①↕
η ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ✈➔ γ ✲❣✐↔ ❝♦ ❝❤➦t ✈î✐ η + γ > 1✳ ❈❤♦ T : RN → RN ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥
✈î✐ ❋✐①(T ) = ∅✳ ❈❤♦ αi ∈ (0, 1)✳ ●✐↔ sû λk ∈ (0, 1) ✈➔ si t÷ì♥❣ ù♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ ✭▲✶✮✱ ✭▲✷✮ ✈➔ ✭✷✳✹✮✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ✤✐➸♠ ❜❛♥ ✤➛✉ tò② þ x1 ∈ RN ✱ ❞➣② {xk } ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
k

xk+1 = (I + λk ∇U )

k

(1 −

αi )ξik I

αi ξik T (xk ),

+

i=1

k ≥ 1,

✭✸✳✻✮

i=1

❤ë✐ tö tî✐ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✸✮✱ tr♦♥❣ ✤â ξik := si/˜sk .
▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷✳ ❈❤♦ U ✱ T ✈➔ αi ✤÷ñ❝ ❣✐↔ t❤✐➳t t÷ì♥❣ tü ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✶✳ ●✐↔ sû λk ∈ (0, 1)
t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭▲✶✮✱ ✭▲✷✮ ✈➔ {si} ❧➔ ❞➣② sè t❤ü❝ ❞÷ì♥❣ ❣✐↔♠ ♥❣➦t✱ ❤ë✐ tö ✈➲ 0✳
❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ✤✐➸♠ ❜❛♥ ✤➛✉ tò② þ x1 ∈ RN ✱ ❞➣② {xk } ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

k

xk+1 = (I + λk ∇U )

k

(1 −
i=1

αi )βik I

αi βik T (xk ),

+

k ≥ 1,

✭✸✳✼✮

i=1

❤ë✐ tö tî✐ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✸✮✱ tr♦♥❣ ✤â βik := (si−1 − si)/(s0 − sk ).
▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✸✳ ❈❤♦ U ✈➔ T ✤÷ñ❝ ❣✐↔ t❤✐➳t t÷ì♥❣ tü ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✶✳ ●✐↔ sû α ❧➔ ♠ët sè t❤ü❝
❝è ✤à♥❤ t❤✉ë❝ (0, 1) ✈➔ λk ∈ (0, 1) t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭▲✶✮ ✈➔ ✭▲✷✮✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ✤✐➸♠
❜❛♥ ✤➛✉ tò② þ x1 ∈ RN ✱ ❞➣② {xk } ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
xk+1 = (I + λk ∇U )((1 − α)I + αT )(xk ), k ≥ 1,
✭✸✳✽✮
❤ë✐ tö tî✐ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✸✮✳

◆❤➟♥ ①➨t ✸✳✶✳

◆➳✉ αi := α ∈ (0, 1) ❝è ✤à♥❤ t❤➻ ✭✸✳✻✮ ✈➔ ✭✸✳✼✮ s➩ ❝â ❞↕♥❣ ✭✸✳✽✮✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ t❛ ❧↕✐ ❝â
❋✐①(T ) = ❋✐①(Tˆ) ♥➯♥ ✈î✐ α = 1/2 t❛ ❝â t❤➸ ❝❤å♥ Ti := Tˆ ✈î✐ ♠å✐ i ∈ N. ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣
❤ñ♣ ♥➔②✱ ❞➣② {xk } trð t❤➔♥❤
xk+1 = (I + λk ∇U )T (xk ), k ≥ 1,
✭✸✳✾✮
✈➔ ❞➣② ❧➦♣ ✭✸✳✾✮ ❤ë✐ tö tî✐ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✸✮ ✈î✐ ❝→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t t÷ì♥❣ tü
▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✸✳

✸✳✷✳ ❱➼ ❞ö sè ♠✐♥❤ ❤å❛

❈→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❞↕♥❣ ❤✐➺♥ ♠î✐ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝â t❤➸ →♣ ❞ö♥❣ ✤➸ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛
❜➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà✿
❚➻♠ x∗ ∈ C s❛♦ ❝❤♦ :

∞

ϕ(x∗ ) = min ϕ(x),
x∈C

C :=

Ci ,
i=1

✭✸✳✶✵✮

tr õ ỗ õ (x) tử st ỡ tr
ổ Rn Ci t ỗ õ ừ Rn ữủ
Ci = {x Rn : ai1 u1 + ai2 u2 + ã ã ã + ain un bi },


n
n

(uj aij )2 ri2 },

Ci = {x R :



ri > 0,

j=1

aij , bi, ri R (1 j n).
ử t t tr trữớ ủ n = 2 ử t : R2 R
õ
(x) := x 2 = u21 + u22 ợ x = (u1 , u2 ).
t Ci ữủ Ci = {x R2 : ai1u1 + ai2u2 bi} ợ ai1 = 1/i, ai2 = 1
bi = 0 ợ ồ i 1 r trữớ ủ t x = (0; 0) t ừ
t
ử ữỡ ử ợ F (x) = (x) Ti = PC ồ
x1 = (2.0; 3.0) t số tọ ở tử ừ
k = 1/(k + 2) si = i = 1/i(i + 1). ữợ t ữủ t q t
t x100 = (0.000100272; 0.000040995)
t ú tổ ử ữỡ ừ t t ũ t

tr ồ t số tọ ở tử ừ k = 1/(k+2), k =
1/100+1/k(k+1) = 1/20. t q t t ố ợ ữỡ ợ ũ
số ữợ x100 = (0.335041279; 0.149090066) t ồ = 1/3
t t q ữủ ữ s x100 = (0.037590156; 0.016727249)
ớ sỷ ử ữỡ ừ t t số ữủ ồ tọ
k = 1/(k + 2), k = 1/100 + 1/k(k + 1) k = 1/100. t q
t t ữỡ ợ ũ số ữợ ữủ
x100 = (0.000210945; 0.000385873) t ồ k = 1/1000 t t q ữủ
tr trữớ ủ x100 = (0.000373078; 0.000568259)
ữợ tữỡ q s số t t s ợ ừ
ữỡ
Pữỡ
k
xk x
ớ
ợ = 1/3
4.1143 ì 102
ợ = 1/20
3.6671 ì 101
ợ k = 1/100 4.3976 ì 104
ợ k = 1/1000 6.7978 ì 104

1.0833 ì 104
i


✷✶

◆❤➟♥ ①➨t ✸✳✷✳ ❈â t❤➸ t❤➜② r➡♥❣✱ tr♦♥❣ ♠é✐ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✼✮✱ ✭✶✳✽✮ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣

✭✷✳✶✮ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤➲✉ ❝â ✸ ❞➣② ❝→❝ t❤❛♠ sè ❧➦♣✳ ❚❤❛♠ sè t❤ù ♥❤➜t✱ λk ð ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭▲✶✮ ✈➔ ✭▲✷✮ ♥❤÷ ♥❤❛✉ ✈➔ ✤÷ñ❝ ❝❤å♥ ❣✐è♥❣ ♥❤❛✉ ❧➔ λk = 1/(k +2)✳
❚❤❛♠ sè t❤ù ❤❛✐ αi t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✤↔♠ ❜↔♦ sü ❤ë✐ tö✱ ð ✤â ♥â ✤÷ñ❝
❝❤å♥ s❛♦ ❝❤♦ ❝→❝ ❜✐➳♥ t❤➸ ❝õ❛ ♥â tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ t❤✉➟t t♦→♥ ♥➔② ❧➔ ♥❤÷ ♥❤❛✉✳ ❚❤❛♠ sè ρ
tr♦♥❣ ✭✶✳✼✮✱ γk tr♦♥❣ ✭✶✳✽✮ ✈➔ si tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✶✮ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤â♥❣ ✈❛✐ trá ❦❤→❝
♥❤❛✉✱ ♥â ❝❤♦ ♣❤➨♣ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝→❝ q✉② t➢❝ r✐➯♥❣ ❜✐➺t tr♦♥❣ t❤✐➳t ❦➳ ❝õ❛ ♠é✐ t❤✉➟t t♦→♥✳ ❘ã
r➔♥❣✱ tr♦♥❣ ✈➼ ❞ö tr➯♥✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✶✮ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤➲ ①✉➜t ❝â tè❝ ✤ë ❤ë✐ tö ♥❤❛♥❤
❤ì♥ ✈➔ ❝➛♥ ➼t t❤í✐ ❣✐❛♥ t➼♥❤ t♦→♥ ❤ì♥ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✼✮✱ ✭✶✳✽✮✳

❱➼ ❞ö ✸✳✷✳

❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✶✵✮✲✭✸✳✶✷✮ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ n = 2✳ ❍➔♠ ♠ö❝ t✐➯✉ ϕ : R2 → R ✤÷ñ❝
①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
ϕ(x) = (u1 − 1)2 + (u2 − 2)2 ✈î✐ x = (u1 , u2 ).
❈→❝ t➟♣ Ci ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐
Ci = {x ∈ R2 : (u1 − ai1 )2 + (u2 − ai2 )2 ≤ ri2 }
√

✈î✐ ri = 1✱ ai1 = 1 + 1/i ✈➔ ai2 = 0 ✈î✐ ♠å✐ i ≥ 1✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥➔② x∗ = (1.5; 0.75)
❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✳
⑩♣ ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✶✮ ✈î✐ F (x) = ∇ϕ(x) ✈➔ Ti = PC ✳ ❈❤å♥ ✤✐➸♠ ❜❛♥ ✤➛✉ ❧➔
x1 = (3.0; 3.0) ✈➔ ❞➣② ❝→❝ t❤❛♠ sè t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr♦♥❣ ❱➼ ❞ö ✸✳✶✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❦➳t q✉↔ t➼♥❤
t♦→♥ ð ❜÷î❝ ❧➦♣ ✹✻✵✵✵ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❧➔ (1.54118986; 0.88877202)✳
❚r♦♥❣ ❦❤✐ ✤â✱ ❝ò♥❣ ❜÷î❝ ❧➦♣ ♥❤÷ tr➯♥✱ ♥➳✉ →♣ ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✼✮ ✈î✐ ρ = 1/3
t❤➻ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❧➔ (1.552771131; 0.894458825)✱ ♥➳✉ sû ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✽✮ ✈î✐
γk = 1/100 t❤➻ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❧➔ (1.548117716; 0.903764265)✳
❇↔♥❣ t÷ì♥❣ q✉❛♥ ✈➲ s❛✐ sè t➼♥❤ t♦→♥ s♦ ✈î✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
✭✶✳✼✮✱ ✭✶✳✽✮ ✈➔ ✭✷✳✶✮ tr♦♥❣ ✈➼ ❞ö ♥➔② ❧➔✿
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
k

xk − x∗
❚❤í✐ ❣✐❛♥ ✭❣✐➙②✮
✭✶✳✼✮ ✭✈î✐ ρ = 1/3✮
✹✻✵✵✵ 5994. × 10−2 ✸✼✺✻✳✼✷✵✵
✭✶✳✽✮ ✭✈î✐ γk = 1/100✮ ✹✻✵✵✵ 6.1152 × 10−2 ✹✵✶✼✳✽✷✵✵
✭✷✳✶✮
✹✻✵✵✵ 4.7053 × 10−2 ✽✽✷✳✼✼✹✵
◆❤➟♥ ①➨t ✸✳✸✳ ❚r♦♥❣ ✈➼ ❞ö ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝ô♥❣ t❤➜② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✶✮ ❝â tè❝ ✤ë ❤ë✐ tö
♥❤❛♥❤ ❤ì♥ ✈➔ ❝➛♥ ➼t t❤í✐ ❣✐❛♥ t➼♥❤ t♦→♥ ❤ì♥ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✼✮ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✽✮✳
i

❱➼ ❞ö ✸✳✸✳

❚❛ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✶✵✮✲✭✸✳✶✶✮ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ n = 2 ✈➔ ❤➔♠ ♠ö❝ t✐➯✉ ϕ : R2 → R
✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
ϕ(x) = xT Ax + bT x + c ✈î✐ x = (u1 , u2 ),


✷✷

tr♦♥❣ ✤â
A=

1 0
,b =
0 1

−4
−6

✈➔ c = 13.

❈→❝ t➟♣ Ci ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ Ci = {x ∈ R2 : ai1u1 + ai2u2 ≥ bi} ✈î✐ ai1 = 1✱ ai2 = i ✈➔ bi = 2 ✈î✐
♠å✐ i ≥ 1✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥➔② x∗ = (2.0; 3.0) ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✳
⑩♣ ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✷✺✮ ❝❤♦ ✈➼ ❞ö ♥➔② ✈î✐ F (x) = ∇ϕ(x) ✈➔ Ti = PC ✳ ❈❤å♥ ✤✐➸♠
❜❛♥ ✤➛✉ x1 = (−3.0; −3.0) ✈➔ ❝→❝ t❤❛♠ sè t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✹ ❧➔
λk = 1/k + 2, si = 1/(i + 1)(i + 2) ✈î✐ i ≥ 0✱ αi = 1/i(i + 1) ✈î✐ i ≥ 1. ❙❛✉ ✶✵✵✵ ✈á♥❣ ❧➦♣✱
t❛ ❝â x1000 = (1.999975551; 2.999969617)
◆➳✉ sû ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✼✮ ✈î✐ ❝ò♥❣ ✤✐➸♠ ①✉➜t ♣❤→t ✈➔ ❝❤å♥ ❝→❝ t❤❛♠ sè ❧➦♣
t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✺ ❧➔ λk = 1/(k + 2), αk = 1/100 + 1/k(k + 1)
✈➔ ρ = 1/20 t❤➻ ❦➳t q✉↔ t➼♥❤ t♦→♥ ✤è✐ ✈î✐ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥➔② ð ❜÷î❝ ❧➦♣ t❤ù 1000 ❧➔
x1000 = (−0.003777417; 0.004757678)✳ ◆❣❤✐➺♠ ♥➔② ❝á♥ s❛✐ sè r➜t ❧î♥ s♦ ✈î✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤
①→❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✳
◆➳✉ sû ❞ö♥❣ ✭✶✳✽✮ ✈î✐ ❝ò♥❣ ✤✐➸♠ ①✉➜t ♣❤→t ✈➔ ❝❤å♥ ❝→❝ t❤❛♠ sè ❧➦♣ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✻ ❧➔ λk = 1/(k + 2), αk = 1/100 + 1/k(k + 1) ✈➔ γk = 1/2 t❤➻
❦➳t q✉↔ ð ❝ò♥❣ sè ❜÷î❝ ❧➦♣ ❧➔ x1000 = (1.999988011; 2.999986013)✳
◆➳✉ sû ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✶✮ ✈î✐ ❝ò♥❣ ✤✐➸♠ ①✉➜t ♣❤→t ✈➔ ❝→❝ t❤❛♠ sè ❧➦♣ ✤÷ñ❝ ❝❤å♥
t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✷✺✮ t❤➻ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ x1000 = (1.999993006; 2.999991008)✳
❇↔♥❣ t÷ì♥❣ q✉❛♥ ✈➲ s❛✐ sè t➼♥❤ t♦→♥ s♦ ✈î✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
✭✶✳✼✮✱ ✭✶✳✽✮✱ ✭✷✳✶✮ ✈➔ ✭✷✳✷✺✮ tr♦♥❣ ✈➼ ❞ö ♥➔② ❧➔✿
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ k
xk − x∗
❚❤í✐ ❣✐❛♥ ✭❣✐➙②✮
✭✶✳✼✮
✶✵✵✵ 3.603692620 ✶✳✾✹✶✵
✭✶✳✽✮
✶✵✵✵ 1.8420 × 10−5 ✶✳✼✺✶✵
✭✷✳✶✮
✶✵✵✵ 1.1390 × 10−5 ✵✳✼✾✹
✭✷✳✷✺✮

✶✵✵✵ 3.8998 × 10−5 ✵✳✽✸✸
◆❤➟♥ ①➨t ✸✳✹✳ ❚r♦♥❣ ✈➼ ❞ö ♥➔②✱ t❛ t❤➜② tè❝ ✤ë ❤ë✐ tö ✈➔ t❤í✐ ❣✐❛♥ t➼♥❤ t♦→♥ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ ✭✷✳✶✮ ❧➔ ♥❤❛♥❤ ♥❤➜t tr♦♥❣ sè ❜è♥ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣✳ ❚è❝ ✤ë ❤ë✐ tö ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
✭✷✳✷✺✮ ❧➔ ♥❤❛♥❤ ❤ì♥ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✼✮ ♥❤÷♥❣ ❧↕✐ ❝❤➟♠ ❤ì♥ s♦ ✈î✐ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✽✮✳
❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✷✺✮ ❧↕✐ ❝â t❤í✐ ❣✐❛♥ t➼♥❤ t♦→♥ ♥❤❛♥❤ ❣➜♣ ❤❛✐ ❧➛♥ s♦ ✈î✐ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ ✭✶✳✽✮ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥➔②✳
i

❱➼ ❞ö ✸✳✹✳

❙û ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✸✶✮ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✶✵✮✲✭✸✳✶✶✮ ✈î✐ ❝→❝ ❣✐↔
t❤✐➳t t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr♦♥❣ ❱➼ ❞ö ✸✳✶✳ ❱î✐ ❝ò♥❣ ✤✐➸♠ ❜❛♥ ✤➛✉ x1 = (2.0; −3.0)✱ ❝❤å♥
α = 0.5 ✈➔ ❣✐→ trà ❝õ❛ ❝→❝ t❤❛♠ sè ❧➦♣ ❦❤→❝ ✤÷ñ❝ ❝❤å♥ ❣✐è♥❣ ♥❤÷ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✶✮ ð
❱➼ ❞ö ✸✳✶ ❧➔ λk = 1/(k + 2) ✈➔ si = 1/i(i + 1) t❤➻ s❛✉ ✶✵✵ ❜÷î❝ ❧➦♣ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝
x100 = (−0.000078416; −0.000004588)✳


✷✸

❇➙② ❣✐í✱ sû ❞ö♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✶✼✮✱ ✭✶✳✶✽✮ ❝õ❛ ◆❣✉②➵♥ ❇÷í♥❣ ✈➔ ✤t❣✳ ❈❤å♥ ❝→❝
t❤❛♠ sè λk , si ♥❤÷ tr➯♥ ✈➔ γk = 0.5✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ❝ò♥❣ ✤✐➸♠ ❜❛♥ ✤➛✉✱ t❛ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾
ð ❝ò♥❣ sè ❜÷î❝ ❧➦♣ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❤❛✐ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➔ x100 = (−0.00539367; −0.00032443)
✈➔ x100 = (−0.01002674; −0.00057259)✳ ❇↔♥❣ t÷ì♥❣ q✉❛♥ ✈➲ s❛✐ sè t➼♥❤ t♦→♥ s♦ ✈î✐ ♥❣❤✐➺♠
❝❤➼♥❤ ①→❝ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✶✼✮✱ ✭✶✳✶✽✮✱ ✭✷✳✶✮ ✈➔ ✭✷✳✸✶✮ tr♦♥❣ ✈➼ ❞ö ♥➔② ❧➔✿
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ k
xk − x∗
❚❤í✐ ❣✐❛♥ ✭❣✐➙②✮
✭✶✳✶✼✮
✶✵✵ 5.4034 × 10−3 ✵✳✵✹✼✵
✭✶✳✶✽✮

✶✵✵ 1.0004 × 10−2 ✵✳✵✸✷✵
✭✷✳✶✮
✶✵✵ 1.0833 × 10−5 ✵✳✵✸✶✵
✭✷✳✸✶✮
✶✵✵ 1.5868 × 10−6 ✵✳✵✶✻✵
❚✐➳♣ t❤❡♦✱ sû ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✸✶✮ ✤è✐ ✈î✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✶✵✮✲✭✸✳✶✷✮ ✈î✐ ❝→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t
t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr♦♥❣ ❱➼ ❞ö ✸✳✷✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ❝ò♥❣ ✤✐➸♠ ❜❛♥ ✤➛✉ x1 = (3.0; 3.0)✱ ❝❤å♥ α = 0.5
✈➔ ❣✐→ trà ❝õ❛ ❝→❝ t❤❛♠ sè ❧➦♣ ❦❤→❝ ✤÷ñ❝ ❝❤å♥ ❣✐è♥❣ ♥❤÷ ð tr➯♥ t❤➻ t↕✐ ❜÷î❝ ❧➦♣ 45000
♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➔ (1.5034141156; 0.8682249753)✳ ❙û ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✶✼✮
✈➔ ✭✶✳✶✽✮ ✈î✐ γk = 1/50 ♥➳✉ k ❝❤➤♥ ❝á♥ γk = 1/100 ♥➳✉ k ❧➫ t❤➻ t❛ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ t÷ì♥❣
ù♥❣ ❧➔ x46000 = (1.709749782; 0.707411290) ✈➔ x46000 = (1.578254678; 0.816731616)✳
❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥➔② t❛ ❝â ❜↔♥❣ t÷ì♥❣ q✉❛♥✿
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ k
xk − x∗
❚❤í✐ ❣✐❛♥ ✭❣✐➙②✮
✭✶✳✶✼✮
✹✻✵✵✵ 0.262970355 ✾✵✹✳✾✻✽✵
✭✶✳✶✽✮
✹✻✵✵✵ 9.2486 × 10−2 ✾✵✸✳✶✺✼✵
✭✷✳✶✮
✹✻✵✵✵ 4.7053 × 10−2 ✽✽✷✳✼✼✹✵
✭✷✳✸✶✮
✹✺✵✵✵ 4.0613 × 10−3 ✽✻✹✳✾✾✶✵
◆❤➟♥ ①➨t ✸✳✺✳ ❚r♦♥❣ ✈➼ ❞ö ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ t❤➜② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✸✶✮ ❝â tè❝ ✤ë ❤ë✐
tö ♥❤❛♥❤ ❤ì♥ ✈➔ tè♥ ➼t t❤í✐ ❣✐❛♥ t➼♥❤ t♦→♥ ❤ì♥ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✶✼✮✱ ✭✶✳✶✽✮ ✈➔ ✭✷✳✶✮✳
❇➯♥ ❝↕♥❤ ✤â✱ ♥â t❤➸ ❤✐➺♥ t➼♥❤ ✈÷ñt trë✐ ❤ì♥ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ tr♦♥❣ ❝→❝ ✈➼ ❞ö ✤➣ tr➻♥❤
❜➔② ð tr➯♥✳