ly thuyet phuong phap toa do trong mat phang chi tiet day du

CHƢƠNG III
PHƢƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
I. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG
1. Vectơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng
 
Vectơ u  0 đgl vectơ chỉ phƣơng của đường thẳng  nếu giá của nó song song hoặc
trùng với .


Nhận xét: – Nếu u là một VTCP của  thì ku (k  0) cũng là một VTCP của .
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP.
2. Vectơ pháp tuyến của đƣờng thẳng
 
Vectơ n  0 đgl vectơ pháp tuyến của đường thẳng  nếu giá của nó vuông góc với .


Nhận xét: – Nếu n là một VTPT của  thì kn (k  0) cũng là một VTPT của .
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT.
 


– Nếu u là một VTCP và n là một VTPT của  thì u  n .
3. Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng

Cho đường thẳng  đi qua M0 ( x0 ; y0 ) và có VTCP u  (u1; u2 ) .

 x  x0  tu1

 y  y0  tu2

Phương trình tham số của :

(1)

( t là tham số).

 x  x0  tu1
Nhận xét: – M(x; y)     t  R: 
.
y

y

tu

0
2
– Gọi k là hệ số góc của  thì:

với  = 
xAv ,   900 .

+ k = tan,
u
+k= 2 ,
u1

với u1  0 .

y

y

v
v






O

A

x

O

A



x

4. Phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng

Cho đường thẳng  đi qua M0 ( x0 ; y0 ) và có VTCP u  (u1; u2 ) .

x  x0 y  y0


(2) (u1  0, u2  0).
u1
u2
Chú ý: Trong trường hợp u1 = 0 hoặc u2 = 0 thì đường thẳng không có phương trình
chính tắc.
5. Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng
Phương trình chính tắc của :

PT ax  by  c  0 với a2  b2  0 đgl phƣơng trình tổng quát của đường thẳng.
Nhận xét: – Nếu  có phương trình ax  by  c  0 thì  có:



VTPT là n  (a; b) và VTCP u  (b; a) hoặc u  (b; a) .

– Nếu  đi qua M0 ( x0 ; y0 ) và có VTPT n  (a; b) thì phương trình của  là:

a( x  x0 )  b( y  y0 )  0
Trang 22


Các trường hợp đặc biệt:
Các hệ số Phƣơng trình đƣờng thẳng 
c=0
ax  by  0
a=0
by  c  0
b=0
ax  c  0

Tính chất đƣờng thẳng 

 đi qua gốc toạ độ O
 // Ox hoặc   Ox
 // Oy hoặc   Oy

  đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b  0): Phương trình của :

x y
  1.
a b

(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) .
  đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k: Phương trình của : y  y0  k ( x  x0 )
(phương trình đường thẳng theo hệ số góc)
6. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng
Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1y  c1  0 và 2: a2 x  b2 y  c2  0 .
Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình:
a1x  b1y  c1  0
(1)

a2 x  b2 y  c2  0
 1 cắt 2

 hệ (1) có một nghiệm



a1 b1


a2 b2

 1 // 2

 hệ (1) vô nghiệm



a1 b1 c1


(nếu a2 , b2 , c2  0 )
a2 b2 c2

 1  2

 hệ (1) có vô số nghiệm



a1 b1 c1


(nếu a2 , b2 , c2  0 )
a2 b2 c2

(nếu a2 , b2 , c2  0 )

7. Góc giữa hai đƣờng thẳng


Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1y  c1  0 (có VTPT n1  (a1; b1 ) )



và 2: a2 x  b2 y  c2  0 (có VTPT n2  (a2 ; b2 ) ).

 

(n1, n2 )

(1, 2 )   0  

 
 

khi (n1, n2 )  900

0
180  (n1, n2 ) khi (n1, n2 )  90

 
n1.n2
a1b1  a2 b2
 


cos(1, 2 )  cos(n1, n2 )    
n1 . n2
a2  b2 . a2  b2
1

Chú ý:

1

2

2

 1  2  a1a2  b1b2  0 .
 Cho 1: y  k1x  m1 , 2: y  k2 x  m2 thì:
+ 1 // 2  k1 = k2
+ 1  2  k1. k2 = –1.

8. Khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng
 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng : ax  by  c  0 và điểm M0 ( x0 ; y0 ) .

d ( M0 , ) 

ax0  by0  c

a2  b2
 Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng : ax  by  c  0 và hai điểm M ( xM ; yM ), N ( xN ; yN )  .
– M, N nằm cùng phía đối với   (axM  byM  c)(axN  byN  c)  0 .
– M, N nằm khác phía đối với   (axM  byM  c)(axN  byN  c)  0 .
Trang 23

 Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1y  c1  0 và 2: a2 x  b2 y  c2  0 cắt nhau.
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và 2 là:
a1x  b1y  c1
a x  b2 y  c2
 2
a12  b12
a22  b22

II. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG TRÒN
1. Phƣơng trình đƣờng tròn
Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R: ( x  a)2  ( y  b)2  R2 .
Nhận xét: Phương trình x 2  y2  2ax  2by  c  0 , với a2  b2  c  0 , là phương trình
đường tròn tâm I(–a; –b), bán kính R = a2  b2  c .
2. Phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng tròn
Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng .
 tiếp xúc với (C)  d (I , )  R

III PHƢƠNG TRÌNH ELIP
1. Định nghĩa
Cho F1, F2 cố định với F1F2  2c (c > 0).

M  (E )  MF1  MF2  2a (a > c)
F1, F2: các tiêu điểm, F1F2  2c : tiêu cự.
2. Phƣơng trình chính tắc của elip

x2
2



y2
2

1

(a  b  0, b2  a2  c2 )

a
b
 Toạ độ các tiêu điểm: F1(c;0), F2 (c;0) .

 Với M(x; y)  (E), MF1, MF2 đgl các bán kính qua tiêu điểm của M.

MF1  a 

c
c
x, MF2  a  x
a
a

3. Hình dạng của elip
 (E) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
A1(a;0), A2 (a;0), B1(0; b), B2 (0; b)
 Toạ độ các đỉnh:
trục lớn: A1 A2  2a , trục nhỏ: B1B2  2b

 Độ dài các trục:

c
(0 < e < 1)
a
 Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng x  a, y  b (ngoại tiếp elip).
4. Đƣờng chuẩn của elip (chương trình nâng cao)
a
 Phương trình các đường chuẩn i ứng với các tiêu điểm Fi là: x   0
e
MF1
MF2

e
 Với M  (E) ta có:
(e < 1)
d ( M , 1 ) d ( M , 2 )
 Tâm sai của (E):

e

III PHƢƠNG TRÌNH HYPEBOL
1. Định nghĩa
Cho F1, F2 cố định với F1F2  2c (c > 0).
M  (H )  MF1  MF2  2a

Trang 24

(a < c)


F1, F2: các tiêu điểm, F1F2  2c : tiêu cự.

2. Phƣơng trình chính tắc của hypebol

x2
2



y2
2

1

(a, b  0, b2  c2  a2 )

a
b
 Toạ độ các tiêu điểm: F1(c;0), F2 (c;0) .

 Với M(x; y)  (H), MF1, MF2 đgl các bán kính qua tiêu điểm của M.

MF1  a 

c
c
x , MF2  a  x
a
a

3. Hình dạng của hypebol
 (H) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng.

 Toạ độ các đỉnh:
A1(a;0), A2 (a;0)
 Độ dài các trục:

trục thực: 2a, trục ảo: 2b
c
 Tâm sai của (H):
(e > 1)
e
a
 Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng x  a, y  b .
 Phương trình các đường tiệm cận:

b
y   x.
a

4. Đƣờng chuẩn của hypebol
 Phương trình các đường chuẩn i ứng với các tiêu điểm Fi là: x 
 Với M  (H) ta có:

MF1

d ( M , 1 )



MF2

d ( M , 2 )

e

Trang 25

(e < 1)

a
0
e