Phương pháp toạ độ và bài toán quỹ tích (2018)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

LÊ THỊ MAI HƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀ
BÀI TOÁN QUỸ TÍCH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

LÊ THỊ MAI HƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀ
BÀI TOÁN QUỸ TÍCH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
ThS. ĐINH THỊ KIM THÚY

HÀ NỘI – 2018

Lời cảm ơn
Để hoàn thành được khóa luận tốt nghiệp này, ngoài sự cố gắng, nỗ
lực của bản thân, em còn nhận được sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình
chu đáo của thạc sĩ Đinh Thị Kim Thúy - giảng viên tổ Hình Học,
khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2. Đồng thời em cũng
nhận được các ý kiến chỉ bảo, giúp đỡ, hướng dẫn từ các thầy cô giáo
khoa Toán cùng bạn bè.
Nhân dịp này, em xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô
Đinh Thị Kim Thúy, người đã tận tình quan tâm giúp đỡ em trong
suốt thời gian qua, xin cảm ơn cô cùng các thầy cô, bạn bè và gia đình
đã tạo mọi điều kiện để em hoàn thành khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2018

Tác giả khóa luận

Lê Thị Mai Hương

1


Lời cam đoan

Em xin cam đoan khóa luận "Phương pháp tọa độ và bài toán quỹ
tích" là công trình nghiên cứu của riêng em dưới sự hướng dẫn của
ThS. Đinh Thị Kim Thúy. Các nội dung nghiên cứu trong khóa luận
là hoàn toàn trung thực và có sử dụng một số tài liệu trong danh mục
tài liệu tham khảo. Em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về khóa luận
của mình.
Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2018

Tác giả khóa luận

Lê Thị Mai Hương.

i


Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Kiến thức cơ bản về tọa độ

4

1.1

1.2

Tọa độ trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Hệ trục tọa độ trong mặt phẳng . . . . . . . . .

4

1.1.2

Tọa độ của vecto, điểm trên mặt phẳng . . . . .

5

1.1.3

Đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.4

Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.5

Ba đường cônic . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.1

Hệ trục tọa độ trong không gian . . . . . . . . .

14

1.2.2

Tọa độ của vecto, điểm trong không gian . . . .

15

1.2.3

Mặt phẳng trong không gian . . . . . . . . . . .

17

1.2.4

Đường thẳng trong không gian

. . . . . . . . .

18

1.2.5

Khoảng cách và góc trong không gian . . . . . .

20

1.2.6

Mặt cầu trong không gian . . . . . . . . . . . .

22

2 Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải một số bài toán
quỹ tích

24

2.1

24

Một vài nét về bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . . .
ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.2

2.3

Lê Thị Mai Hương

2.1.1

Bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.1.2

Cách giải một bài toán quỹ tích . . . . . . . . .

25

Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải một số bài toán
quỹ tích trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.2.1

Quỹ tích điểm là đường thẳng . . . . . . . . . .

28

2.2.2

Quỹ tích điểm là đường tròn . . . . . . . . . . .

32

2.2.3

Quỹ tích điểm là đường elip . . . . . . . . . . .

36

2.2.4

Quỹ tích điểm là đường hypebol . . . . . . . . .

39

2.2.5

Quỹ tích điểm là đường Parabol . . . . . . . . .

42

2.2.6

Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải một số bài toán
quỹ tích trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.3.1

Quỹ tích điểm trong không gian . . . . . . . . .

46

2.3.2

Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

Kết Luận

55

Tài liệu tham khảo

56

iii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Mai Hương

Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong quá trình học tập ở trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, em
được nghiên cứu về chuyên ngành hình học và nhận thấy đây là một
môn học rất thú vị, có vai trò quan trọng trong đời sống thực tiễn
cũng như trong nghiên cứu khoa học. Hình học là môn học khó bởi

tính trừu tượng hóa cao, đòi hỏi sự logic, chặt chẽ trong tư duy. Mỗi
bài tập hình học có thể có nhiều phương pháp giải khác nhau như:
Phương pháp tọa độ, phương pháp tổng hợp, phương pháp biến hình,
phương pháp vecto... Trong nhiều trường hợp, phương pháp tọa độ là
công cụ hữu hiệu cho phép giải hợp lý và ngắn gọn các bài toán của
hình học như: bài toán quỹ tích, bài toán chứng minh, bài toán tính
toán... Đặc biệt, quỹ tích là một dạng toán khó đối với học sinh. Việc
giải bài toán quỹ tích đòi hỏi phải nắm vững kiến thức, tư duy logic
và kỹ năng thực hành.
Chính vì những lý do trên, cùng với sự giúp đỡ chỉ bảo của thạc sĩ
Đinh Thị Kim Thúy, em đã tìm hiểu và nghiên cứu đề tài " Phương
pháp tọa độ và bài toán quỹ tích". Qua việc nghiên cứu nội dung
này, em có điều kiện củng cố và khắc sâu kiến thức đã học cho bản
thân để sau khi ra trường có thể áp dụng vào thực tiễn giảng dạy.
Luận văn gồm hai chương:
Chương 1: "Kiến thức cơ bản về tọa độ".
Chương 2: "Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải một số bài toán
quỹ tích".
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Mai Hương

Chương 1 trình bày toàn bộ lý thuyết về tọa độ, các đường, các mặt
trong mặt phẳng và không gian trong phạm vi chương trình THPT
lớp 10 và lớp 12.
Chương 2 giới thiệu về bài toán quỹ tích và nêu ra các ví dụ điển
hình về bài toán quỹ tích được giải bằng phương pháp tọa độ.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các kiến thức cơ bản về phương pháp tọa độ và ứng
dụng của nó vào việc giải bài toán quỹ tích.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
∗ Tóm tắt kiến thức cơ bản liên quan đến phương pháp tọa độ.
∗ Xây dựng hệ thống các ví dụ minh họa và bài tập luyện tập nhằm
làm nổi bật việc sử dụng phương pháp tọa độ trong giải bài toán quỹ
tích.
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
4.1. Đối tượng nghiên cứu
Kiến thức về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và không gian
cùng bài toán quỹ tích.
4.2. Phạm vi nghiên cứu
Chương trình hình học ở trường trung học phổ thông.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu SGK, các sách tham khảo, các tài liệu có liên quan đến
nội dung này.
Trong quá trình thực hiện, mặc dù đã rất cố gắng xong khóa luận
không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được những
ý kiến đóng góp của quý thầy cô cũng như các bạn sinh viên để khóa
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Mai Hương

luận này hoàn thiện hơn.

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2018

Tác giả khóa luận

Lê Thị Mai Hương

3


Chương 1
Kiến thức cơ bản về tọa độ
1.1
1.1.1

Tọa độ trong mặt phẳng
Hệ trục tọa độ trong mặt phẳng

Định nghĩa 1.1. Cho hai trục x Ox, y Oy vuông góc với nhau tại
gốc chung O. Gọi i, j thứ tự là các vecto đơn vị trên các trục x Ox
và y Oy. Hệ hai trục xác định như trên gọi là hệ trục tọa độ Oxy (hệ
trục tọa độ Đề-cac vuông góc). Trong đó x Ox là trục hoành, y Oy là
trục tung, O là gốc của hệ trục (gốc tọa độ).

Hình 1.1: Hệ trục tọa độ Oxy

Mặt phẳng có gắn hệ trục tọa độ Oxy được gọi là mặt phẳng tọa độ.
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.2

Lê Thị Mai Hương

Tọa độ của vecto, điểm trên mặt phẳng

Xét trong mặt phẳng, cho hệ trục tọa độ vuông góc Oxy:
a. Tọa độ của vecto:
Định nghĩa 1.2. Cho vecto a bất kỳ. Vì i và j không cùng phương
nên có cặp số thực (x; y) sao cho a = x.i + y.j. Cặp số (x; y) được gọi
là tọa độ của vecto a (x là hoành độ, y là tung độ). Kí hiệu a = (x; y)
hoặc a (x; y).
Với mỗi vecto a tồn tại duy nhất cặp số (x; y) sao cho a = (x; y).
Ngược lại, mỗi cặp số (x; y) xác định duy nhất một vecto a sao cho a
= (x; y).
Tính chất 1.1.1. Cho hai vecto m= (x; y) và n = (x ; y ). Khi đó:
x = x
• Hai vecto bằng nhau: m = n ⇔
y = y
• Tổng, hiệu của hai vecto: m ± n = (x ± x ; y ± y )
• Phép nhân vecto với một số thực: αm = (αx; αy) , ∀α ∈ R
• Tính chất kết hợp của phép cộng và nhân hai vecto:
αm + βn = (αx + βx ; αy + βy ), ∀α, β ∈ R
• Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: m . n = xx + yy
• Độ dài của vecto m được xác định bởi : |m| =

x2 + y 2

b. Tọa độ của điểm:
Định nghĩa 1.3. Trong mặt phẳng cho điểm A tùy ý, tọa độ của vecto

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Mai Hương

−→
OA được gọi là tọa độ của điểm A.
−→
A(x; y) ⇔ OA = (x; y)
Để biểu thị tọa độ của điểm A ta còn sử dụng kí hiệu là xA và yA , lúc
này ta viết A(xA ; yA ).
Tính chất 1.1.2. Cho các điểm M (xM ; yM ), N (xN ; yN ), P (xP ; yP ).
−−→
−−→
• M N = (xN −xM ; yN −yM ) và M N = (xN − xM )2 + (yN − yM )2
xM + xN yM + yN
• Nếu I là trung điểm của M N thì điểm I(
;
)
2
2
xM + xN + xP yM + yN + yP
• Nếu G là trọng tâm của ∆M N P thì G(
;
).
3
3
c. Tích vô hướng của hai vecto:

Ở mục này nêu ra định nghĩa một phép toán vô cùng quan trọng,
đó là tích vô hướng của hai vecto. Nó không những cho phép ta mở
rộng mối quan hệ giữa các vecto mà còn có thể vận dụng hết sức hiệu
quả vào việc giải quyết nhiều bài toán hình học khác nhau.
Định nghĩa 1.4. Cho hai vecto m, n = 0. Từ một điểm O tùy ý dựng
−−→
−−→
OM = m, ON = n. Khi đó ϕ = M ON được gọi là góc giữa hai vecto
m và n. Kí hiệu (m, n).
Định nghĩa 1.5. Cho hai vecto m và n, tích vô hướng của m và n kí
hiệu là m.n được định nghĩa bởi công thức:
m.n = |m| . |n| .cos(m, n)
Trong đó |m|, |n| lần lượt là độ dài của hai vecto m, n, còn (m, n) là
góc giữa hai vecto m, n.
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Mai Hương

Nhận xét: Định nghĩa trên cho thấy rằng, khác với phép cộng,
phép trừ hai vecto có kết quả là một vecto thì tích vô hướng của hai
vecto lại cho kết quả là một số thực.
Hệ quả:
√−
−
−
−
−

−
• →
m 2 = →
m. →
m = |→
m| 2 ; |→
m| = →
m2
→
−
→
−
m= 0
−
−
• Nếu 
thì ta quy ước →
m.→
n =0
→
−
→
−
n = 0
→
−
−
−
−
−

−
−
• Nếu →
m, →
n = 0 thì →
m⊥→
n ⇔→
m.→
n =0
→
−
−
m.→
n
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
• Nếu m, n = 0 thì cos( m. n ) = →
−
|−
m| . |→
n|
1.1.3

Đường thẳng

Định nghĩa 1.6. Vecto u = 0 có giá song song hoặc trùng với đường
thẳng ∆ được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng ∆.
Vecto n = 0 có giá vuông góc với đường thẳng ∆ được gọi là vecto
pháp tuyến của đường thẳng ∆.
Nhận xét:
- Mỗi đường thẳng có vô số vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến.
- Vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến của một đường thẳng luôn
luôn vuông góc với nhau.
a. Phương trình đường thẳng.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình tổng quát của đường
thẳng là: ax + by + c = 0 (a2 + b2 = 0).
−
Ngoài ra, đường thẳng đi qua điểm A(xo ; yo ) nhận →
u (a; b) là vecto
chỉ phương có:

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Mai Hương


 x = x + at
o
• Phương trình tham số là:

,t∈R
y = y + bt
o

x − xo
y − yo
• Phương trình chính tắc là:
=
a
b
Chú ý: Nếu một trong hai tọa độ của vtcp (hoặc vtpt) của đường
thẳng bằng 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc.
• Đường thẳng đi qua điểm A(xo ; yo ) và có hệ số góc k có phương
trình là: y = k(x − xo ) + yo
• Đường thẳng cắt trục Ox tại A(a; 0), cắt trục Oy tại B(0; b) với
x y
a, b = 0 có phương trình: + = 1 (Phương trình có dạng như trên
a b
được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn).
b. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng m1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 và m2 : a2 x + b2 y + c2 = 0.
Số các giao điểm của m1 và m2 tương ứng là số các nghiệm của hệ
phương trình:

a x + b y + c = 0
1
1
1
a x + b y + c = 0
2

2
2

(1.1)

• Hai đường thẳng m1 cắt m2 khi và chỉ khi phương trình (1.1) có 1
nghiệm.
• Đường thẳng m1 song song với đường thẳng m2 khi và chỉ khi
phương trình (1.1) vô nghiệm.
• Đường thẳng m1 trùng với đường thẳng m2 khi và chỉ khi phương
trình (1.1) vô số nghiệm.
c. Khoảng cách
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(xA ; yA ), B(xB ; yB ) và
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Mai Hương

đường thẳng m có phương trình: ax + by + c = 0.
• Khoảng cách d từ điểm A đến đường thẳng m được xác định:
d(A; m) =

|axA + byA + c|
√
a2 + b2

Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng là khoảng cách từ một điểm
thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.

• Hai điểm A và B nằm cùng phía đối với đường thẳng m khi và chỉ
khi: (axA + byA + c)(axB + byB + c) > 0.
• Hai điểm A và B nằm khác phía đối với đường thẳng m khi và chỉ
khi: (axA + byA + c)(axB + byB + c) < 0.
d. Góc giữa hai đường thẳng
Định nghĩa 1.7. Trong mặt phẳng hai đường thẳng a, b cắt nhau tạo
thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất trong các số đo của bốn góc đó được
gọi là góc giữa hai đường thẳng a và b. Kí hiệu (a; b).
Góc giữa hai đường thẳng bé nhất bằng 0o khi hai đường thẳng
song song hoặc trùng nhau và lớn nhất bằng 90o khi hai đường thẳng
vuông góc với nhau.
Cho hai đường thẳng



m1 : a1 x + b1 y + c1 = 0

m2 : a2 x + b2 y + c2 = 0

Khi đó, góc giữa đường thẳng m1 và đường thẳng m2 được xác định
bởi công thức:
−
−
−
−
|→
n1 .→
n2 |
|→
u1 .→

u2 |
cos(m1 ; m2 ) = →
=
=
−
−
−
|−
n1 | . |→
n2 | |→
u1 | . |→
u2 |

|a1 a2 + b1 b2 |
a21 + b21 . a22 + b22

−
−
−
−
−
−
Chú ý: Nếu m1 ⊥ m2 ⇔ →
n1 ⊥ →
n2 ⇔ →
u1 ⊥ →
u2 ⇔ →
n1 .→
n2 = 0
9

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Mai Hương

−
−
−
−
−
−
⇔→
u1 .→
u2 = 0 (→
n1 , →
n2 , →
u1 , →
u2 lần lượt là các vecto pháp tuyến và vecto
chỉ phương của đường thẳng m1 và đường thẳng m2 ).
1.1.4

Đường tròn

Định nghĩa 1.8. Đường tròn là tập hợp tất cả các điểm M trong mặt
phẳng cách đều điểm I một khoảng không đổi bằng R > 0. Ta gọi đó
là đường tròn tâm I bán kính R, kí hiệu là C(I, R).
a. Phương trình đường tròn:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) tâm I(a; b) và bán
kính R > 0 có phương trình là :

(x − a)2 + (y − b)2 = R2
Ngoài ra, phương trình đường tròn (C) còn có dạng khác:
x2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 với điều kiện a2 + b2 − c > 0
Lúc này đường tròn (C) có tâm I(a; b), bán kính R =

√

a2 + b2 − c

b. Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng, đường tròn đối
với đường tròn
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(xA ; yA ), đường thẳng m,
hai đường tròn C(I, R) và C (I , R ) với I(a; b), I (a ; b ). Khi đó:
Vị trí tương đối của điểm với đường tròn:
• Điểm A nằm trong đường tròn (C) khi và chỉ khi: IA < R.
• Điểm A nằm trên đường tròn (C) khi và chỉ khi: IA = R.
• Điểm A nằm ngoài đường tròn (C) khi và chỉ khi: IA > R.
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Mai Hương

Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn:
• Đường thẳng m không giao với đường tròn (C) ⇔ d(I; m) > R.
• Đường thẳng m tiếp xúc với đường tròn (C) ⇔ d(I; m) = R.
• Đường thẳng m cắt đường tròn (C) ⇔ d(I; m) < R.
Vị trí tương đối của đường tròn với đường tròn:
• Hai đường tròn (C) và (C ) ngoài nhau ⇔ II > R + R .

• Hai đường tròn (C) và (C ) tiếp xúc ngoài ⇔ II = R + R .
• Hai đường tròn (C) và (C ) cắt nhau ⇔ |R − R | < II < R + R .
• Hai đường tròn (C) và (C ) tiếp xúc trong ⇔ II = |R − R | > 0.
• Hai đường tròn (C) và (C ) trong nhau ⇔ II < |R − R |.
c. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
Phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn (C) tại điểm A(xo ; yo ) là:
(xo − a)(x − xo ) + (yo − b)(y − yo ) = 0
Điều kiện để đường thẳng ∆ bất kỳ là tiếp tuyến của đường tròn (C)
là: d(I; ∆) = R
1.1.5

Ba đường cônic

Khi cắt một mặt nón tròn xoay bởi một mặt phẳng không đi qua
đỉnh và không vuông góc với trục của mặt nón, người ta nhận thấy
ngoài đường elip ra, có thể còn hai loại đường khác nữa là parabol và
hypebol. Các đường nói trên thường được gọi là ba đường cônic (do
gốc Hi Lạp Konos nghĩa là mặt nón) - Theo SGK hình học lớp 10
trang 89.
a. Elip
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Mai Hương

Định nghĩa 1.9. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm cố định F1 ,
F2 với F1 F2 = 2c (c > 0) và số 2a (a > c). Tập hợp tất cả các điểm
M sao cho M F1 + M F2 = 2a được gọi là elip (E).

F1 , F2 gọi là các tiêu điểm, khoảng cách F1 F2 là tiêu cự của elip.
Phương trình chính tắc của elip:
Elip (E) có phương trình chính tắc là:

x2 y 2
+
= 1 (a > b > 0)
a2 b 2

với a2 = b2 + c2 .
Elip (E) có:
• Tâm đối xứng O; các trục đối xứng: Ox, Oy; trục lớn A1 A2 = 2a
nằm trên Ox, trục bé B1 B2 = 2b nằm trên Oy.
• Các đỉnh: A1 (−a; 0), A2 (a; 0), B1 (0; −b), B2 (0; b), hai tiêu điểm
c
F1 (−c; 0), F2 (c; 0) và tâm sai e = < 1.
a
• Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở: x = ±a, y = ±b.
• Bán kính qua tiêu của điểm M (xM ; yM ) thuộc elip (E):
cxM
cxM
M F1 = a +
, M F2 = a −
.
a
a
x.xM y.yM
• Tiếp tuyến tại điểm M (xM ; yM ):
+ 2 = 1.
a2

b
a
−a
(∆1 ) ; x = (∆2 )
• Phương trình các đường chuẩn: x =
e
e
• Tỷ số khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên elip tới tiêu điểm F1
(hoặc F2 ) và đường chuẩn tương ứng ∆1 (hoặc ∆2 ) luôn bằng tâm sai.
b. Hypebol
Định nghĩa 1.10. Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định F1 , F2 với
F1 F2 = 2c (c > 0) và hằng số 2a (a < c). Tập hợp tất cả các điểm M
sao cho |M F1 − M F2 | = 2a được gọi là hypebol (H).
F1 , F2 là các tiêu điểm, khoảng cách F1 F2 là tiêu cự của hypebol.
Phương trình chính tắc của hypebol
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hypebol (H) có phương trình:

Lê Thị Mai Hương

x2 y 2
− 2 = 1 (a, b > 0) với c2 = a2 + b2 .
2
a
b

Hypebol (H) có:
• Tâm đối xứng O, trục thực A1 A2 = 2a nằm trên Ox, trục ảo
B1 B2 = 2b nằm trên Oy.
• Bán kính qua tiêu của điểm M (xM ; yM ) thuộc hypebol (H) :
cxM
cxM
M F1 = a +
, M F2 = a −
.
a
a x.x y.y
M
M
• Tiếp tuyến tại điểm M (xM ; yM ) :
= 1.
a2
b2
−a
a
• Phương trình các đường chuẩn: x =
(∆1 ) ; x = (∆2 ).
e
e
• Tỷ số khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên hypebol tới tiêu điểm
F1 (hoặc F2 ) và đường chuẩn tương ứng ∆1 (hoặc ∆2 ) luôn bằng e.
c. Parabol
Định nghĩa 1.11. Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm F cố định và
một đường thẳng cố định ∆ không đi qua F . Tập hợp tất cả các điểm
M sao cho khoảng cách từ M đến F bằng khoảng cách từ M đến ∆
được gọi là parabol (P ) ta có:

(P ) = {M | M F = d(M, ∆)}
Điểm F gọi là tiêu điểm của parabol (P ), đường thẳng ∆ là đường
chuẩn của parabol (P ), p = d(F, ∆) > 0 gọi là tham số tiêu của
parabol (P ).
Phương trình chính tắc của parabol
Parabol (P ) có phương trình: y 2 = 2px với p > 0.
Parabol (P ) có:
• Đỉnh: O(0; 0), tham số tiêu p, trục đối xứng Ox.
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Mai Hương

p
MF
• Tiêu điểm F ( ; 0), tâm sai e =
= 1.
2
d(M ; ∆)
p
• Phương trình đường chuẩn ∆: x = − .
2
p
• Bán kính qua tiêu của điểm M (x; y) thuộc parabol (P ): M F = x+ .
2

1.2
1.2.1

Tọa độ trong không gian
Hệ trục tọa độ trong không gian

Định nghĩa 1.12. Trong không gian, cho ba trục x Ox, y Oy, z Oz
đôi một vuông góc với nhau tại gốc O. Gọi i, j, k thứ tự là các vecto
đơn vị tương ứng trên các trục. Hệ gồm 3 trục xác định như vậy được
gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc trong không gian hay còn gọi
là hệ trục tọa độ Oxyz. Trong đó x Ox được gọi là trục hoành, y Oy
là trục tung, z Oz là trục cao và O là gốc của hệ tọa độ.

Hình 1.2: Hệ trục tọa độ Oxyz

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Mai Hương

Không gian với hệ trục tọa độ Oxyz gọi là không gian Oxyz
1.2.2

Tọa độ của vecto, điểm trong không gian

a. Tọa độ của vecto
Định nghĩa 1.13. Trong không gian tọa độ Oxyz với các veto đơn vị
i, j, k và cho vecto v. Khi đó với mỗi vecto v luôn tồn tại duy nhất bộ
3 số thực (v1 ; v2 ; v3 ) sao cho: v = v1 .i + v2 .j + v3 .k. Bộ ba số (v1 ; v2 ; v3 )
thỏa mãn hệ thức trên được gọi là tọa độ của vecto v đối với hệ tọa độ

Oxyz cho trước. Kí hiệu: v = (v1 ; v2 ; v3 ) hoặc v(v1 ; v2 ; v3 ).
Tính chất 1.2.1. Cho hai vecto u(u1 ; u2 ; u3 ), v(v1 ; v2 ; v3 ). Khi đó ta
có các tính chất sau:





u1 = v1



• Hai vecto bằng nhau: u = v ⇔ u2 = v2





u3 = v3
• Tổng và hiệu hai vecto: u ± v = (u1 ± v1 ; u2 ± v2 ; u3 ± v3 )
• Phép nhân một vecto với số thực: αu = (αu1 ; αu2 ; αu3 ) , với α ∈ R
• Tích vô hướng của hai vecto: u.v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
• Hai vecto có phương vuông góc với nhau: u⊥v ⇔ u.v = 0
⇔ u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 = 0
• Vecto u cùng phương với vecto v khi và chỉ khi: u = k.v
√
• Độ dài của vecto u: |u| = u2 = u21 + u22 + u23 ;
|u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 |
cos(u; v) =
u21 + u22 + u23 . v12 + v22 + v32

b. Tọa độ của điểm:
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Mai Hương

Định nghĩa 1.14. Trong không gian Oxyz, cho điểm A tùy ý. Tọa
−→
độ của vecto OA được gọi là tọa độ của điểm A, tức là :
−→
A(x; y; z) ⇔ OA = (x; y; z).
Ta cũng dùng kí hiệu xA , yA , zA để chỉ hoành độ, tung độ và cao độ
của điểm A, ta viết A(xA ; yA ; zA ).
Tính chất 1.2.2. Cho 2 điểm M (xM ; yM ; zM ), N (xN ; yN ; zN ) trong
không gian Oxyz. Ta có các tính chất:
−−→
• Tọa độ của vecto: M N = (xN − xM ; yN − yM ; zN − zM )
−−→
• Độ dài của vecto: M N = (xN − xM )2 + (yN − yM )2 + (zN − zM )2
−−→
−−→
• Điểm A chia đoạn thẳng M N theo tỉ số k = 1 (tức là AM = k AN )
xM − kxN yM − kyN zM − kzN
có tọa độ A(
;
;
).
1−k

1−k
1−k
xM + xN yM + yN zM + zN
• Nếu I là trung điểm của M N thì tọa độ I(
;
;
).
2
2
2
c. Tích có hướng (hay tích vecto) của hai vecto
Định nghĩa 1.15. Tích có hướng ( hay tích vecto) của hai vecto
u(u1 ; u2 ; u3 ), v(v1 ; v2 ; v3 ), kí hiệu [u, v] là một vecto w được xác định
bởi:

w = [u, v] = 

u2 u3

;

v2 v3

u3 u1
v3 v1

;

u1 u2
v1 v2




Tính chất 1.2.3. • [u, v] = − [v, u]
• Tích có hướng [u, v] = 0 ⇔ hai vecto u và v cùng phương.
• Vecto w luôn vuông góc với hai vecto u và v, tức là: w.u = w.v = 0
• Độ dài của tích có hướng: |[u, v]| = |u| . |v| .sin(u, v).
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Mai Hương

• Điều kiện cần và đủ để 3 vecto u, v, w đồng phẳng là: [u, v] .w = 0.
1.2.3

Mặt phẳng trong không gian

Định nghĩa 1.16. Vecto n = 0 gọi là vecto pháp tuyến của mặt phẳng
(P ) nếu giá của vecto n vuông góc với mặt phẳng (P ).
Một mặt phẳng có vô số vecto pháp tuyến và chúng cùng phương
với nhau.
a. Phương trình mặt phẳng:
Trong không gian Oxyz:
• Mặt phẳng (P ) có phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0
với A2 + B 2 + C 2 = 0.
• Mặt phẳng (P ) có phương trình đoạn chắn:
x y z

+ + =1
a b c
Mặt phẳng này cắt các trục Ox; Oy; Oz lần lượt tại các điểm A(a; 0; 0);
B(0; b; 0); C(0; 0; c).
• Mặt phẳng (P ) đi qua ba điểm E(x1 ; y1 ; z1 ), F (x2 ; y2 ; z2 ), G(x3 ; y3 ; z3 )
có phương trình là:
x − x1

y − y1

z − z1

x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0
x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1
b. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Mai Hương

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng



(γ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0

(δ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

lần lượt có vecto pháp tuyến n1 (A1 ; B1 ; C1 ), n2 (A2 ; B2 ; C2 ); (điều kiện
A2k + Bk2 + Ck2 = 0, k = 1, 2). Khi đó:
• Mặt phẳng (γ) cắt mặt phẳng (δ) ⇔ n1 = ln2 . 

n1 = ln2
• Mặt phẳng (γ) song song với mặt phẳng (δ) ⇔

D1 = lD2


n1 = ln2
• Mặt phẳng (γ) trùng với mặt phẳng (δ) ⇔

D1 = lD2
• Mặt phẳng (γ) vuông góc với mặt phẳng (δ) ⇔ n1 .n2 = 0.
1.2.4

Đường thẳng trong không gian

a. Phương trình đường thẳng
Định nghĩa 1.17. Vecto u = 0 được gọi là vecto chỉ phương của
đường thẳng d nếu giá của vecto u song song hoặc trùng với d.
Một đường thẳng trong không gian có vô số vecto chỉ phương và
chúng cùng phương với nhau.
• Trong không gian cho mặt phẳng (γ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
và mặt phẳng (δ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0, đường thẳng d là giao
tuyến của hai mặt phẳng trên nên có phương trình tổng quát là:

d:



A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Mai Hương

với A1 : B1 : C1 = A2 : B2 : C2
Khi đó, vecto chỉ phương u của đường thẳng d được xác định bởi:

u=

B1 C1
B2 C2

;

C1 A 1
C2 A 2

;

A1 B1

A2 B2




• Đường thẳng d đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ) và có vecto chỉ phương
u(u1 ; u2 ; u3 ) với u21 + u22 + u23 = 0 có phương trình tham số là:




x = x0 + u1 t



d : y = y0 + u2 t





z = z0 + u3 t

,t ∈ R

Nếu u1 , u2 , u3 đều khác 0 thì phương trình chính tắc của đường thẳng
d là:
x − xo
y − yo
z − zo

=
=
u1
u2
u3
b. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 , d2 lần lượt đi qua
hai điểm M (xM ; yM ; zM ) và N (xN ; yN ; zN ) với hai vecto chỉ phương
thứ tự là u(u1 ; u2 ; u3 ), v(v1 ; v2 ; v3 ). Đặt w = [u, v]. Khi đó ta có:
−−→
• Hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau khi và chỉ khi : w.M N = 0
−−→
• Hai đường thẳng d1 và d2 đồng phẳng khi và chỉ khi
:
w.
MN = 0

−→

w.−
MN = 0
• Hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau khi và chỉ khi :

w = 0


w = 0
• Hai đường thẳng d1 , d2 song song với nhau khi và chỉ khi:

M ∈

/ d2
19