Cac bai toan kho cua tich phan doi bien

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TOÁN KHÓ CỦA TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN (PHẦN III)
1

Bài 1: Biết rằng  xf  x  dx 
1
2


2

15
, tính  sin2xf  sinx  dx .
64

6

Để giải bài toán này, ta đưa tích phân bên phải về tích phân bên trái:

2


2

1


6


6

1
2

 sin2xf  sinx  dx  2 sinxf sinx  dsinx  2 uf udu 
e

15
32

1

1 2
2
1 x ln x.f lnx  dx  2 , tính 0 x f  x  dx .
Trong bài toán này, ta biến tích phân bên trái về tích phân bên phải:

Bài 2: Biết rằng

e

e

1

1 2
2
2
1 x ln x.f lnx  dx  1 ln x.f lnx  dlnx  0 x f  x  dx  2

4

e

1
1
Bài 3: Biết 
f  tanx  dx  1 , tính  ln2 x  1  f lnx  dx .
4
x
cos x
0
1
Bài toán này chúng ta sẽ đưa hai tích phân về dạng trung gian:


 4
1
4
4
1
1

2
f
tanx
dx

f
tanx
dtanx


tan
x

1
f
tanx
dtanx

u2  1  f u  du

 
 



2



  cos4 x 
cos x
0
0
0
0
e
e
1
 1 2

2
2
  ln x  1  f lnx  dx   ln x  1  f lnx  dlnx   u  1  f u  du
1 x
1
0

Do đó ta được kết quả là 1.
e2

Bài 4: Biết rằng


e

f lnx 
xlnx


3

dx  1 đồng thời  f  cosx  tanxdx  2 . Tính
0

2


1
2

f x
x

dx .

Bài này ta đưa hai tích phân bên trái về dạng giống bên phải:
e
2
e f lnx 
f lnx 
f u 
dx  
dlnx  
du  1

lnx
u
 e xlnx
e
1
2
f x


3
1 x dx  3
0
1
f  cosx 
f u 

sinx

  f  cosx  cosx dx   cosx dcosx   u du  2 2

1
 0
3
2
2

2

x

Bài 5: Với x  a  0 và a là tham số thực, đặt f  x    t ln3 tdt . Hàm số đồng biến trên khoảng nào?
a

x

Ta có: f  x    t ln3 tdt  F  x   F  a  f '  x   F'  x   x ln3 x vậy f '  x   0  x  1 .
a


h t 
dt xác định trên 1;  . Tính h 4  biết rằng f' x   x  x .
t
1
x

Bài 6: Cho hàm số f  x   

h t 
h x 
dt  F  x   F 1   f '  x   F'  x  
 x  x  h  x   x2  x x  h  4   24 .
t
x
1
x

Ta có: f  x   

Bài 7: Cho biết f  x  

e2x

 tln

20

tdt , tìm cực trị của hàm số đã cho.

ex

f x 

e2x

 tln

20

tdt  F  e2x   F  ex   f'  x   F' e2x 2e2x  F' ex  ex  x20e2x 221 e2x  1 

ex

Lập trục xét dấu ta được cực trị đó là cực tiểu x  

21
ln2 .
2

t2  2mt  1
dt . Tìm m để hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2.
t2016  1
a
x

Bài 8: Cho f  x   

t2  2mt  1
x2  2mx  1
dt

F
x

F
a


f
'
x

F'
x

.








t2016  1
x2016  1
a
x

Ta có: f  x   

Như vậy độ dài đoạn nghịch biến là x2  x1  2 trong đó đây là nghiệm phân biệt của phương trình
x2  2mx  1  0 . Áp dụng Viet ta tìm được: 4   x1  x2   4x1x2  m   2 .
2

x

Bài 9: Cho hàm số f  x   

1

t3   m  2  t 2  2  m  1  t  4
t4  1

dt với x  1 . Tìm m để hàm số có 3 cực trị.

t3   m  2  t 2  2  m  1  t  4
x 3   m  2  x 2  2 m  1  x  4
.
dt

F
x

F
1

f'
x

F'
x

   
   
4
4
t


1
x

1
1
x

f x  

Hàm số có 3 cực trị khi x3  m  2 x2  2 m  1  x  4  0 có ba nghiệm phân biệt x  1 .
  x  2  x2  mx  2   0 có ba nghiệm phân biệt x  1  x2  mx  2  0 có hai nghiệm phân biệt lớn

  m2  8  0
m  2  m   2


 x1  1  x2  1   0 m  3

 2m3.
hơn 1 và khác 2  
x1  x2  2
m  2
4  2m  2  0
m  3

