skkn Phương pháp tìm giới hạn của dãy số được cho bởi công thức truy hồi, qua việc tìm số hạng tổng quát của dãy

MỤC LỤC
Nội dung
I. MỞ ĐẦU…………………………………………………………

Trang
2

1. Lý do chọn đề tài……………………………………………….

2

2. Mục đích nghiên cứu……………………………………………

2

3. Đối tượng nghiên cứu……………………………………………

2

4. Phương pháp nghiên cứu……………………………………….

2

II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM…………………

2

II.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm……………………….

2

II.2.Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm...
II.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn
đề…………………..
3.1.Dạng toán 1……………………………………………………..

3

3.2.Dạng toán 2 …………………………………………………….

5

3.2.Dạng toán 3……………………………………………………

6

3.2.Dạng toán 4……………………………………………..............

8

3.5.Dạng toán 5:………………………….......................................

10

II.4. Hiệu quả sáng kiến đối với họat động dạy và học.....................

13

III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ…………………………...........

14

1. Kết luận …………………………………………………………

14

2. Kiến nghị ………………………………………………………..

14

4
4

I. MỞ ĐẦU
1


1. Lí do chọn đề tài
Đứng trước một bài toán, đặc biệt là bài toán khó người làm toán luôn đặt ra
phương hướng giải quyết. Tuy nhiên đối với người ham mê toán còn đi tìm các
cách giải quyểt khác nhau, nhất là tìm được cách giải hay ngắn gọn và mới lạ thì lại
càng kích thích tính tò mò khám phá và lòng say mê môn học .
Trong chương trình toán THPT chúng ta thường gặp bài toán về dãy số trong đó
có dạng toán về việc tìm giới hạn của dãy số cho bằng công thức truy hồi . Đây là
các dạng toán thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh và
quốc gia.
Có nhiều phương pháp để giải dạng bài toán này, nhưng với học sinh phổ thông
sử dụng kỹ thuật biến đổi để đưa về dãy số quen thuộc trong chương trình toán
trung học : Cấp số cộng, cấp số nhân để tìm giới hạn là dễ hiểu và thiết thực cho
học sinh ứng dụng.

Nhằm phát triển tư duy sáng tạo và giúp học sinh biết cách tìm tòi trong quá trình
học toán đặc biệt với những em học khá, giỏi. Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy
các đội tuyển học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh tôi luôn hướng cho các em tìm ra
nhiều cách giải một bài toán, mục đích là nhằm phát triển tư duy sáng tạo và kỹ
năng làm toán. Với những lí do như trên, từ thực tế giảng dạy, với kinh nghiệm thu
được, tôi đã tiến hành thực hiện đề tài sáng kiến kinh nghiệm cho năm 2018 với nội
dung “Phương pháp tìm giới hạn của dãy số được cho bởi công thức truy hồi,
qua việc tìm số hạng tổng quát của dãy ”
2. Mục đích nghiên cứu
Với việc nghiên cứu đề tài “Phương pháp tìm giới hạn của dãy số được cho bởi
công thức truy hồi, qua việc tìm số hạng tổng quát của dãy ”sẽ giúp học sinh,
đặc biệt là đối tượng học sinh học ở mức độ khá, giỏi có thể tìm giới hạn của dãy
một cách nhanh hơn, mới lạ hơn và sáng tạo hơn.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến là áp dụng cho học sinh ở mức độ trung bình
khá trở lên lớp 11, 12 -THPT Trần Phú –Thanh Hóa. Tất nhiên với từng đối tượng
lớp mà sẽ có những ví dụ minh họa hoặc các bài toán áp dụng sẽ là khác nhau.
4. Phương pháp nghiên cứu
Sáng kiến kinh nghiệm này được trình bầy các dạng bài toán tổng quát theo thứ tự
từ đơn giản đến phức tạp có ví dụ minh hoạ điển hình và một số bài tập áp dụng
.Qua đó mong muốn khai thác thêm được cái hay cái đẹp của toán học và đồng thời
góp phần tăng thêm kỹ năng giải toán cho học sinh.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
II.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Trong chương trình toán lớp 11 học sinh đã được học về dãy số, giới hạn của dãy
số, có nhiều bài toán về tìm giới hạn của dãy số, nhất là giới hạn của dãy được cho
bởi công thức truy hồi, học sinh thường coi đây là dạng toán khó. Tuy nhiên với
2

một dãy số mà cho ở dạng số hạng tổng quát hay đưa chúng về được số hạng tổng
quát thì làm việc trên chúng sẽ đơn giản hơn.
Sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 (cả cơ bản và nâng cao) đều dạy lý
thuyết cho học sinh hai dãy số đặc biệt và quan trọng là cấp số cộng và cấp số
nhân, định nghĩa, các định lí, tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, dãy số có giới hạn vô
cực
Xin nhắc lại số hạng tổng quát của cấp số cộng ( SGK Đại số & Giải tích NC lớp
11 trang 111 mục 3 định lí 2) và cấp số nhân (SGK Đại số & Giải tích NC lớp 11
trang 118 mục 3 định lý 2) là lý thuyết cơ bản nhất để tìm số hạng tổng quát của
dãy, là cái cốt lõi để từ đó tìm giới hạn của dãy:
- Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un của
nó được xác định bởi công thức sau :
un = u1 + ( n − 1) d .

- Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q ≠ 0 thì số hạng tổng quát
un của nó được xác định bởi công thức sau :
un = u1.q n −1.

II.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trong một đợt thi chọn đội tuyển học sinh đi thi học sinh giỏi cấp tỉnh trường
THPT Trần Phú- Nga Sơn tôi đã ra cho học sinh bài toán sau:
Bài toán: Tìm giới hạn của dãy số ( un ) xác định bởi :
 2un +1 = un + 1, n ≥ 1, n ∈ N

u1 = 3

*Kết qủa thu được
Khi chấm bài của các em tôi thấy nhiều em không làm được bài này, chỉ một
số ít em làm được song bằng cách mò mẫm và dài dòng không khoa học .
Thực ra đây là bài toán không khó, nếu ta biết sử dụng phương pháp phù hợp mà

cụ thể là : “Phương pháp tìm giới hạn của dãy số được cho bởi công thức truy
hồi, qua việc tìm số hạng tổng quát của dãy ”
Cụ thể như sau (Đây chính là dạng toán 1 đề cập dưới đây)
Gọi ( vn ) là dãy số xác định bởi : vn = un − 1, n ≥ 1, n ∈ N .
un + 1
u −1 1
−1 = n
= vn .
2
2
2
1
Vậy ( vn ) là cấp số nhân có công bội q = và
2
n −1
1
vn = v1.q n −1 = 2.  ÷ .
2
Vậy số hạng tổng quát của dãy ( un ) là :

Khi đó :

vn +1 = un +1 − 1 =

v1 = u1 − 1 = 3 − 1 = 2 . Từ đó ta suy ra

3


n −1

n

1
1
un = vn + 1 = 2.  ÷ + 1 = 4.  ÷ + 1 (với n ≥ 1, n ∈ N )
2
2
n −1

n

1
1
Do đó: lim un = lim(vn + 1) = lim(2.  ÷ + 1) = lim(4.  ÷ + 1) = 1 . Vậy lim un = 1
2

2

Như vậy phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số thông qua số hạng tổng
quát của cấp số nhân để tìm giới hạn của dãy ta có cách giải ngắn gọn tự nhiên và
rõ ràng.
Sau những năm trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá giỏi, học sinh dự
thi học sinh giỏi trường, giỏi tỉnh tôi đã đi tìm tòi các cách giải phù hợp trong đó
“Phương pháp tìm giới hạn của dãy số được cho bởi công thức truy hồi, qua
việc tìm số hạng tổng quát của dãy ” là những phương pháp như thế và tôi đã
mạnh dạn cải tiến phương pháp này đồng thời áp dụng sáng kiến này trong các năm
học từ 2005- 2006 đến nay ở trường THPT Trần Phú Thanh Hoá.
II.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Để làm sáng tỏ điều này tôi xin đưa ra 5 dạng toán cơ bản, 9 ví dụ điển hình và các

bài tập áp dụng cho mỗi loại như sau :
3.1.Dạng toán 1: Tìm giới hạn của dãy số ( un ) với :
u1 = c

và a, b, c ∈ R .
un +1 = a.un + b
PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Trường hợp 1 : Nếu a = 1 thì dãy ( un ) là một cấp số cộng, công sai b .
Trường hợp 2 : Nếu a ≠ 1 ,ta quy dãy ( un ) thành dãy ( vn ) là một cấp số nhân ,công
bội a như sau :
b
. Khi đó ( vn ) là cấp số nhân .
a −1
b
b
b 

= a.un + b +
= a  un +
Thật vậy : vn +1 = un +1 +
÷ = a.vn .
a −1
a −1
a −1 

b
.
Nên : vn +1 = a.vn là một cấp số nhân công bội a và v1 = u1 +
a −1

b
b
= v1.a n −1 −
.
Từ đó suy ra số hạng vn = v1.a n −1. Suy ra : un = vn −
a −1
a −1
b
b
Vậy số hạng tổng quát dãy số là : un = v1.a n −1 −
với v1 = c +
a −1
a −1
Từ đó ta được giới hạn của dãy ( un )

Đặt

vn = un +

4


Ví dụ 1 :Tìm giới hạn của dãy số ( un )

un

un +1 = 2u + 3 , n ≥ 1, n ∈ N
n
xác định bởi : 
u = 1

 1 2

Giải
Ta có u1 f 0 bằng quy nạp ta có được un f 0
1

3
1
. Đặt vn = , khi đó ta được : vn +1 = 3.vn + 2
un
un
n +1
với v1 = 2 (*). Đặt zn = vn + 1, (*) trở thành : zn +1 = 3zn với z1 = 3 .
Như vậy ( zn ) là một cấp số nhân có công bội bằng 3 và z1 = 3 nên zn = z1.3n −1 = 3n.
Suy ra vn = zn − 1 = 3n − 1
1
Vậy dãy số ( un ) có số hạng tổng quát là : un = n , n ≥ 1, n ∈ N
3 −1
1
Do đó : lim un = lim n = 0 . Vậy lim un = 0
3 −1

Từ giả thiết suy ra : u

= 2+

BÀI TẬP ÁP DỤNG

1. Tìm giới hạn của dãy số của các dãy số cho bởi
a.

u1 = 3

−un

un +1 = u − 1 ; n ≥ 1, n ∈ N
n


2. Tìm giới hạn của dãy số của ( un )

u1 = 2

un
b. 
un +1 = 2u + 1 ; n ≥ 1, n ∈ N
n

u1 = 2
xác định bởi : 
un +1 = 3un + 1, n ≥ 1, n ∈ N

3.2.Dạng toán 2 :
u1 = c
un +1 = a.un + f (n)

Tìm giới hạn của dãy số của các dãy số ( un ) với : 
với a, b, c ∈ R và f ( n ) là một đa thức theo n .

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Trường hợp 1 : a = 1 ta có un +1 = un + f (n).
n

Cho n lần lượt nhận các giá trị 1; 2;3;....; n thì ta được : un = u1 + ∑ f (i)
i =1

Trong đó

n

n

n

i =1

i =1

i =1

n

∑ f (i) được tính thông qua các tổng : ∑ i; ∑ i ; ∑ i ...
2

3

i =1

5


Trường hợp 2 : a ≠ 1 . Đặt vn = un + g (n) trong đó bậc của g(n) bằng bậc của f(n) và
g(n) được xác định thông qua phương pháp hệ số bất định đồng thời thoả mãn :
vn +1 = a.vn .

Ta quy dãy ( un ) thành dãy ( vn ) thành một cấp số nhân có công bội q = a .
Ví dụ 2 : Tìm giới hạn của dãy số ( un ) xác định bởi :
un +1 = un + n3 + 2, n ≥ 1, n ∈ N

u1 = 2

Giải
Theo đề bài ta có :
un +1 = un + n3 + 2 ⇔ un +1 − un = n3 + 2.

Thay n lần lượt bằng 1; 2;3;....; ( n − 1) và cộng ( n − 1) đẳng thức ta được :
2

 n(n − 1) 
un − u1 = ∑ (i + 2) = 
+ 2(n − 1).
 2 
i =1
n −1

3

2

n(n − 1) 
+ 2n .
 2 
 n(n − 1)  2

Do đó lim un = lim 
÷ + 2n  = +∞ . Vậy lim un = +∞
 2 


Vậy un = 

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Xác định giới hạn của các dãy số được xác định bởi các công thức sau :
u = 4
1,  1
un +1 = un + 2n + 1, n ≥ 1, n ∈ N
u1 = 2
2, 
3
2
un +1 = 4un + 3n − 3n − 3n − 1, n ≥ 1, n ∈ N

3.3.Dạng toán 3 : Tìm giới hạn của dãy số ( un ) xác định bởi
u1 = b
a, b, α ∈ R, β > 0.

n và

un +1 = a.un + α .β
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Trường hợp 1 : a = 1 ta có un +1 = un + α .β n .
n −1

i
Cho n lần lượt nhận các giá trị 1; 2;3;....; ( n − 1) thì ta được : un = u1 + α ∑ β .
i =1

n

Trong đó

∑β
i =1

i

được tính thông qua các tổng cấp số nhân có số hạng đầu β và

công bội β .

6


Trường hơp 2 : a ≠ 1 .
Ta quy bài toán về dạng toán 1 bằng cách đặt vn = un + g (n) với vn +1 = a.vn , đồng
thời g(n) là hàm số thảo mãn :
+ Nếu a ≠ β thì g (n) = A.β n
+ Nếu a = β thì g (n) = A.n.β n

Trong đó A được xác định thông qua phương pháp hế số bất định.
Dãy ( vn ) được xác định theo cấp số nhân và từ đó suy được ( un ) và giới hạn của
dãy.
Ví dụ 3
u1 = 3

Tìm giới hạn của dãy số ( un ) được xác định bởi : 

n
un +1 = un + 3.4

Giải
Theo đề ta có : un +1 = un + 3.4n ⇔ un +1 − un = 3.4n.
Thay n lần lượt bằng 1; 2;3;....; ( n − 1) và cộng ( n − 1) đẳng thức ta được :
4n −1 − 1
= 4n − 4
3
i =1
n
Vậy ta được : un = 4 − 1. Khi đó : lim un = lim(4n − 1) = +∞.
n −1

un − u1 = 3∑ 4i = 3.4.

u1 = 6

Ví dụ 4 . Tìm giới hạn của dãy ( un ) được xác định bởi : 

n
un +1 = 3.un + 5.3

Giải
Ta thấy a = β = 3 nên ta đặt vn = un + A.n.3n với vn +1 = 3.vn .
Khi đó

vn +1 = 3.vn ⇔ un +1 + A. ( n + 1) .3n +1 = 3 ( un . A.n.3n ) ⇔ 3.un + 5.3n + A. ( n + 1) .3n +1 = 3 ( un + A.n.3n )
⇔ 5.3n + A. ( n + 1) .3n +1 = 3. A.n.3n ⇔ 5 + 3. A.(n + 1) = 3. A.n .

Suy ra : A = −

5
3

5
5
vn = un − .n.3n ⇔ un = vn + .n.3n
3
3
u1 = 6
v1 = 1
⇔


n
vn +1 = 3.vn
un +1 = 3.un + 5.3

Ta được :
Khi đó

Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân ta được vn = 3n −1 .
5
3

Ta được: un = 3n −1 + .n.3n = ( 1 + 5n ) .3n−1. .
5
3

Vậy lim un = lim(3n −1 + .n.3n ) = lim ( 1 + 5n ) .3n −1 = +∞
BÀI TẬP ÁP DỤNG

7


u1 = 5

1. Tìm giới hạn của dãy số ( un ) xác định bởi : 
2. Tìm giới hạn của dãy số ( un ) xác định bởi :

n
un +1 = 4un + 3.4 , n ≥ 1, n ∈ N

u1 = 32

 un +1
 n2 = 2.un , n ≥ 1, n ∈ N
2

3.4.Dạng toán 4:

a.u + b

n
Tìm giới hạn của dãy số ( un ) xác định bởi : un +1 = c.u + d (ad − bc ≠ 0, n ≥ 1) theo
n

u1 , a, b, c, d .

Giải
Xét phương trình : x =

ax+b
( *) .
cx + d

Trường hợp 1: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt : x1 , x2 khi đó ta được một
un − x1
u −x
= k n −1 1 .
un − x2
un −1 − x2

hằng số k để cho :
au

+b

au

+b

ax + b

( ad − bc ) ( u

−x

)

n −1
1
n −1
n −1
1
Thật vậy : un − x1 = cu + d − x1 = cu + d − cx + d = cu + d cx + d
( n−1 ) ( 1 )
n −1
n −1
1

un − x2 =

( ad − bc ) ( un−1 − x2 )
( cun−1 + d ) ( cx2 + d )

cx2 + d
un − x1  cx2 + d   un −1 − x1 
un −1 − x1
=
( với k = cx + d )

÷= k
÷
un − x2  cx1 + d   un −1 − x2 
un −1 − x2
1
u −x
vn = n 1 ⇒ vn = kvn −1 . Từ đó áp dụng cấp số nhân ,tìm được vn , suy ra
Ta đặt
un − x2
được un và giới hạn của dãy.
Trường hợp 2 : Phương trình (*) có nghiệm kép : x0 .
1
1
Tương tự như trên ta tìm được k để có : u − x = u − x + k
n
0
n −1
0
1
Ta đặt : vn = u − x ⇒ vn = vn −1 + k .
n
0
Áp dụng cấp số cộng ta tính được vn và suy ra un và giới hạn của dãy.

Nên :

Ví dụ 5
Tìm giới hạn của dãy số ( un ) xác định bởi :

4un −1 + 2


; n ≥ 2, n ∈ N
un =
u n −1 +3

u = 3
 1

Giải

8


4u

+2

5u

+5

n −1
n −1
Ta có : un + 1 = u + 3 + 1 = u + 3
n −1
n −1

un − 2 =

4un −1 + 2

2u − 4
−2 = n −1
un −1 + 3
un −1 + 3

un + 1 5  un −1 + 1 
= 
÷.
un − 2 2  un −1 − 2 
u +1
u +1
5
vn = n
=4
vn = vn −1 và v1 = 1
thì
có
un − 2
u1 − 2
2

Nên

Đặt

n −1

5
Áp dụng cấp số nhân ta có vn = 4.  ÷ .
2

n −1

5
8 ÷ +1
un + 1
3
2v + 1
2
Từ vn = u − 2 = 1 + u − 2 suy ra được : un = n =
.
n −1
vn − 1
n
n
5
4  ÷ −1
2
n −1
5
8 ÷ +1
2
.
Vậy số hạng tổng quát của dãy trên là : un =
n −1
5
4  ÷ −1
2
n −1
5
8 ÷ +1

2
= 2. Vậy lim un = 2.
Từ đó ta có : lim un = lim
n −1
5
4  ÷ −1
2

Ví dụ 6
Tìm giới hạn dãy số ( un )
Giải
5u

−1

5un −1 − 1

, n ≥ 2, n ∈ N
un =
un −1 + 3
xác định bởi : 
.
u = 2
 1
4u

−4

n −1
n −1

Ta có un − 1 = u + 3 − 1 = u + 3
n −1
n −1

1
1 u +3 1
1
=  n −1
.
÷= +
un − 1 4  un −1 − 1  4 un −1 − 1
1
1
1
Đặt vn = u − 1 thì ta có vn = vn −1 + và v1 = u − 1 = 1
4
n
1
1
n −1 n + 3
=
Áp dụng cấp số cộng được vn = v1 + ( n − 1) = 1 +
.
4
4
4
4
4
n+7
+1 =

.
Suy ra un − 1 =
hay un =
n+3
n+3
n+3
n+7
Ta được số hạng tổng quát của dãy số là : un =
với n ≥ 2, n ∈ N .
n+3

Nên

9


Vì vậy lim un = lim

n+7
=1.
n+3
BÀI TẬP ÁP DỤNG
u1 = 2

2un + 1

un +1 = u + 2 , n ≥ 1, n ∈ N
n


1. Tìm giới hạn của dãy số ( un ) xác định bởi :
2. Tìm giới hạn của dãy số ( un ) xác định bởi :
u1 = 3

un − 6

u
=
, n ≥ 1, n ∈ N
n
+
1

u
−
2
n


3.5.Dạng toán 5:
Tìm giới hạn của dãy số ( un ) xác định bởi :

u1 ; u2

un +1 = ( a + b ) un − abun −1 ; n ≥ 2, n ∈ N

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Ta có : un +1 = ( a + b ) un − abun −1 ⇔ un +1 − aun = b ( un − aun −1 )
Đặt vn = un+1 − aun với n ≥ 1( *)

vn +1 = bvn ; n ≥ 1
; ( vn ) là cấp số nhân công bội b với v1 = u2 − au1 ( **)
v1 = u2 − au1
Từ (*) ta lần lượt n bằng : n − 1; n − 2; n − 3;...3; 2;1 :

Ta được : 

vn −1 = un − aun −1  vn −1 = un − aun −1

2
vn − 2 = un −1 − aun − 2   avn − 2 = aun −1 − a un − 2
vn −3 = un − 2 − aun −3  a 2 vn −3 = a 2un − 2 − a3un −3
 
.........................  ⇒ .................................
  a n − 4 v = a n − 4u − a n −3u
v3 = u4 − au3
3
4
3
 
n
−
3
n
−
3
n
−
2
v2 = u3 − au2

  a v2 = a u3 − a u2
  n −1
v1 = u2 − au1
  a v1 = a n− 2u2 − a n−1u1















( n − 1 đẳng thức )

Cộng các đẳng thức trên cho ta :
un − a n −1u1 = a n− 2 v1 + a n−3v2 + ... + avn − 2 + vn −1
= a n − 2v1 + a n −3bv1 + ... + ab n −3 .v1 + b n− 2 .v1
= ( a n − 2 + a n −3b + ... + ab n −3 + b n − 2 ) .v1

= ( a n − 2 + a n −3b + ... + ab n −3 + b n − 2 ) . ( u2 − au1 )
10

Suy ra : un = ( a
Nêu a ≠ b thì :

n−2

+ a n−3b + a n− 4b 2 + ... + ab n−3 + b n − 2 ) .u2 − ab ( a n−3 + a n− 4b + ... + ab n− 4 + b n−3 ) .u1

 a n −1 − bn −1 
 a n −2 − bn−2 
un = 
.
u
−
ab
÷ 2

÷.u1 với n ≥ 3 .
 a−b 
 a −b 
n−2
n −1
Nếu a = b thì un = ( n − 1) .a .u2 − ( n − 2 ) a .u1 với n ≥ 3 .

Từ đó ta tìm được giới hạn của dãy.
Ví dụ 8
Tìm giới hạn của dãy số ( un ) xác định bởi :
u1 = 1, u2 = 2

un +1 = 3un − 2un −1 ; n ≥ 2, n ∈ N

Giải
(Áp dụng bài toán 5 với a = 1; b = 2 )
Ta có un +1 = 3un − 2un −1 ⇔ un +1 − un = 2 ( un − un −1 )
Đặt vn = un+1 − un với n ≥ 1
vn +1 = 2vn ; n ≥ 1
; ( vn ) là cấp số nhân công bội 2 với v1 = 1
v1 = u2 − u1 = 1

Ta được : 
Suy ra :

un = ( un − un −1 ) + ( un −1 − un − 2 ) + ... + ( u2 − u1 ) + u1
= vn −1 + vn − 2 + vn −3 + ... + v1 + u1
= v1.

1 − 2n −1
+ u1 = 2n −1
1− 2

Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là : un = 2n −1 với n ≥ 1, n ∈ N
Do đó giới hạn của dãy là : lim un = lim 2n −1 = +∞
Ví dụ 9
Tìm giới hạn của dãy số ( un ) xác định bởi :
u1 = 1, u2 = 2

un + 2 = 9un +1 − 18un ; n ≥ 1, n ∈ N

Giải

un + 2 = 9un +1 − 18un , n ≥ 1 ⇔ un + 2 − 3un +1 = 6 ( un +1 − 3un )

Đặt vn = un+1 − 3un với n ≥ 1( *)

vn +1 = 6vn ; n ≥ 1
; (vn ) là cấp số nhân công bội 6 với v1 = −1
v1 = u2 − 3u1 = −1
Thay n lần lượt bởi n − 1; n − 2; n − 3;...;3; 2;1 vào (*)

Ta được : 
Ta được :

11


un − 3un −1 = vn −1 
un −1 − 3un − 2 = vn − 2 
un − 2 − 3un −3 = vn −3 

.......................... 

u4 − 3u3 = v3

u3 − 3u2 = v2


u2 − 3u1 = v1


u n −3un −1 = vn −1


2
3un −1 − 3 un − 2 = 3vn − 2
32 u − 33 u = 32 v
n−3
n −3
 n − 2
..........................
3n − 4 u − 3n −3 u = 3n − 4 v
4
3
3

3n −3 u3 − 3n −2 u2 = 3n −3 v2
 n−2
3 u2 − 3n −1 u1 = 3n − 2 v1

⇒





 ( n − 1) đẳng thức





Cộng ( n − 1) đẳng thức trên suy ra :

un − 3n −1 u1 = 3n −2 v1 + 3n −2 v2 + ... + 3vn − 2 + vn −1

= ( 3n − 2 + 3n−3.6 + 3n− 4.6 2 + ... + 32.6 n− 4 + 3.6 n−3 + 6 n − 2 ) .v1

Nên ta được :

un = 3n −1.u1 + ( 3n− 2 + 3n −3.6 + 3n − 4.6 2 + ... + 32.6n − 4 + 3.6 n −3 + 6n − 2 ) .v1
= 3n −1 − ( 3n − 2 + 3n −3.6 + 3n − 4.62 + ... + 32.6 n− 4 + 3.6n −3 + 6 n −2 )

Ta có S = 3n −2 + 3n −3.6 + 3n −4.62 + ... + 32.6n −4 + 3.6n −3 + 6n −2
2n −1 − 1
= 2.6n − 2 − 3n− 2
Là tổng của ( n − 1) cấp số nhân với côn bội q = 2 nên S = 3n −2.
n −1

n −2

Vậy ta có : un = 3 + 3

− 2.6

n −2

n −2

= 4.3

n−2

− 2.6 .

4
Do đó : lim un = lim(4.3n −2 − 2.6n −2 ) = lim 6n −2 ( n − 2 − 2) = −∞
2

2 −1

Ví dụ 8
u1 = 2, u2 = 3
un +1 = 5un − 6un −1 ; n ≥ 2.

Tìm giới hạn của dãy số ( un ) xác định bởi : 

Giải
(áp dụng cách giải như dạng toán 5 với a = 2; b = 3 )
Ta có un +1 = 5un − 6un −1 , n ≥ 2 ⇔ un +1 − 2un = 3 ( un − 2un −1 )
Đặt vn = un +1 − 2un ; n ≥ 1( *)
vn +1 = 3vn ; n ≥ 1
; ( vv ) là cấp số nhân công bội 3 với v1 = −1
v1 = u2 − 2u1 = −1

Ta được : 

Vậy số hạng tổng quát của dãy là : un = 3.2n −1 − 3n −1 với n ≥ 2, n ∈ N .
n −1

Do đó : lim un = lim(3.2

n −1

2

− 3 ) = lim 3 (3.  ÷ − 1) = −∞
3
BÀI TẬP ÁP DỤNG
n −1

n −1

u1 = 2, u2 = 3
un + 2 = 3un +1 − 2un ; n ≥ 1, n ∈ N

1. Cho dãy số ( un ) : 

Hãy tìm giới hạn của dãy.
12


u1 = 0, u2 = 1
un + 2 = 4un +1 − 3un ; n ≥ 1, n ∈ N

2.Cho dãy số ( un ) : 

Hãy tìm giới hạn của dãy.
3. Cho dãy số (un ) thoả mãn điều kiện : un +1 − 2un + un −1 = 1; n ≥ 2 .
Hãy tính un theo u1 , u2 và n . Tìm lim un .
4. Cho a, b là hai số cho trước với a + b ≠ 0 và a + 2b ≠ 0 các số hạng của dãy ( un )
aun + bun −1
với mọi n ≥ 2 .
a+b
Hãy biểu diễn un qua u1,u2 và n . Tìm lim un .

được xác định bởi hệ thức : un +1 =

II.4.Hiệu quả của sáng kiến đối với các hoạt động dạy và học
Nội dung sáng kiến này đã được trình bày tùy theo đối tượng ở các khối lớp
nhưng chủ yếu dành cho các em học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi Toán 11, 12.
Sự hứng thú và tự tin của học sinh đối với việc học Toán, đặc biệt là loại toán về
dãy số, thật sự được cải thiện đã góp phần vào thành tích chung trong các kì thi của
nhà trường trong các năm học qua.
Sau hơn mười năm được phân công trực tiếp giảng dạy các đội tuyển học sinh
giỏi ở trường THPT Trần Phú –Thanh Hóa, tôi đã áp dụng sáng kiến này trong việc
giảng dạy đại trà ở lớp, bồi dưỡng học sinh khá giỏi, ôn luyện các đội tuyển và tôi
đã rút ra kết luận sau :
* Kết quả kiểm nghiệm trong quá trình giảng dạy cho các nhóm lớp:
( Lớp 11A ,11C,11G trường THPT Trần Phú Thanh Hoá)
Lớp
11A
11C
11G

Sĩ số
Số học sinh làm được bài dạng này
(theo
khi chưa dạy phương pháp
nhóm)
Số lượng
Phần trăm
14
2
14 %
15

3
20 %
17
4
23 %

Số học sinh làm được bài dạng này
khi đã dạy phương pháp
Số lưọng
Phần trăm
10
71 %
12
80 %
14
82 %

* Kết quả kiểm nghiệm về tính hiệu quả cho học sinh khi dạy sử dụng phương
pháp:
- Giúp học sinh rèn luyện kỹ năng phân tích bài toán để tìm mối liên hệ với các
kiến thức đã được học, từ đó áp dụng để giải các bài toán tương tự, có liên quan.
- Làm cho học sinh yêu thích hơn và gây sự thích thú tò mò khám phá về môn
học.
- Có cách giải hợp lí, hay, ngắn gọn đồng thời khai thác được dạng tổng quát của
mỗi bài toán để áp dụng làm các bài toán cụ thể.

13


- Sau khi sử dụng phương pháp này vào việc giảng dạy tôi nhận thấy số học sinh

khá giỏi ngày càng được tăng lên ở các năm và học sinh không còn ‘‘ e ngại’’ khi
gặp các bài toán về dạng này.
* Bài học kinh nghiệm rút ra:
Sau một thời gian đưa vào sử dụng , bồi dưỡng học sinh tôi đã rút ra một số kinh
nghiệm sau:
- Giáo viên phải nghiên cứu kỹ kiến thức sách giáo khoa, tài liệu tham khảo.
- Lựa chọn đúng phương pháp giảng dạy bộ môn phù hợp với đối tượng học sinh.
- Để áp dụng và làm tốt các bài tập cần cho học sinh nắm vững cơ sở lý thuyết
của vấn đề tránh được những thiếu sót và không chặt chẽ trong quá trình giải bài
tập của học sinh.
- Khi cho bài tập cần nâng cao dần về mức độ khó.
- Sau mỗi bài tập cần chốt lại cái cơ bản của vấn đề và nhận xét nhằm lôi cuốn
học sinh có lòng say mê học toán.
III.KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1.Kết luận
Trên đây là sáng kiến của tôi trong quá trình trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học
sinh giỏi. Sau nhiều năm tôi đã hệ thống thành chuyên đề về : “Phương pháp tìm
giới hạn của dãy số được cho bởi công thức truy hồi, qua việc tìm số hạng tổng
quát của dãy ”. Đây là phương pháp rất hữu ích giúp học sinh biết chuyển từ bài
toán phức tạp thành bài toán đơn giản để giải quyết và đặc biệt làm cho học sinh
không còn “ngại” khi học loại toán về dãy số. Dạng toán này cũng là một chuyên
đề quan trọng giúp cho giáo viên bồi dưỡng các kỳ thi học sinh giỏi hàng năm.
2. Kiến nghị
Mặc dù bản thân đã dành thời gian nghiên, tuy vậy thời gian nghiên cứu còn hạn
chế , bản thân kinh nghiệm chưa nhiều nên bài viết không tránh khỏi những thiếu
sót . Mong được sự góp ý chân thành của quý Thầy Cô giáo.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh hóa,ngày 24 tháng 5 năm 2018

Tôi xin cam đoan trên đây là SKKN của
mình, không sao chép nội dung
người khác

Trịnh Văn Hoan
TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách giáo khao Đại số và giải tích 11 nâng cao – Đoàn Quỳnh (Tổng chủ
biên) –NXB Giáo dục Việt Nam-Năm 2007
14


- Sách giáo khao Đại số và giải tích 11 – Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) –NXB
Giáo dục Việt Nam-Năm 2007
- Toán Đại số bồi dưỡng học sinh phổ thông trung học – Hàn Liên Hải (Chủ
biên) –NXB Hà Nội -Năm 2002
- Giải toán đại số và giải tích – Trần Thành Minh (Chủ biên) –NXB Giáo Dục
-Năm 2003
- Báo toán học và tuổi trẻ năm 2007
- Báo toán học và tuổi trẻ năm 2008
DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SKKN ĐÃ ĐƯỢC SỞ GD&ĐT ĐÁNH GIÁ
Tên đề tài
- Phương pháp lượng giác hóa để giải các phương trình vô tỷ
- Phương pháp tọa độ để giải và biện luận phương trình chứa tham
số
- Sử dụng phương pháp tọa độ, để giải các bài toán bất đẳng thức và
giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
- Phương pháp tọa độ để tính khoảng cách trong bài toán hình học
không gian

Loại

C
B
C
C

15