Năng lượng tự do của ngƣng tụ bose – einstein một thành phần trong gần đúng nhiệt độ thấp (2018)

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ TỐ UYÊN

NĂNG LƢỢNG TỰ DO CỦA NGƢNG TỤ
BOSE – EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN
TRONG GẦN ĐÚNG NHIỆT ĐỘ THẤP

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết,
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

TS. NGUYỄN VĂN THỤ

HÀ NỘI, 2018


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ TỐ UYÊN

NĂNG LƢỢNG TỰ DO CỦA NGƢNG TỤ
BOSE – EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN
TRONG GẦN ĐÚNG NHIỆT ĐỘ THẤP

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết,
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

TS. NGUYỄN VĂN THỤ

HÀ NỘI, 2018


LỜI CẢM ƠN
Trƣớc khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng
cảm ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Thụ ngƣời đã định hƣớng chọn đề tài và
tận tình giúp đỡ, hƣớng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luận này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo giảng
dạy chuyên ngành vật lý lý thuyết khoa vật lý, Đại học sƣ phạm Hà Nội 2 đã
nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm khóa luận.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã động
viên, giúp đỡ, ủng hộ tôi trong mọi công việc.
Hà Nội, tháng 5, năm 2018
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Tố Uyên


LỜI CAM ĐOAN
Dƣới sự hƣớng dẫn của TS. Nguyễn Văn Thụ luận văn chuyên ngành
Vật lý lý thuyết với đề tài “Năng lƣợng tự do của ngƣng tụ Bose – Einstein
một thành phần trong gần đúng nhiệt độ thấp” đƣợc hoàn thành bởi chính sự
nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các
nhà khoa học với sự trân trọng, biết ơn.
Hà Nội, tháng 5, năm 2018

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Tố Uyên


KÍ HIỆU VIẾT TẮT

BEC

Bose – Einstein Condensate

Ngƣng tụ Bose – Einstein

SR

Symmetry Restoration

Phục hồi đối xứng

SNR

Symmetry Non - Restoration

Không phục hồi đối xứng

ISB

Inverse Symmetry Breaking

Phá vỡ đối xứng nghịch đảo

SD

Schwinger – Dyson

CJT

Cornwall – Jackiw – Tombolis


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu .......................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................................... 2
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ........................................................ 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu .................................................................... 2
6. Dự kiến đóng góp mới của đề tài ......................................................... 2
CHƢƠNG 1 TỔNG QUAN .............................................................................. 3
1.1.Giới thiệu về chuyển pha .................................................................. 3
1.2.Ngƣng tụ Bose – Einstein.................................................................. 9
1.3.Tác dụng hiệu dụng Cornwall – Jackiw – Tombolis ở nhiệt độ hữu hạn 13
Kết luận chƣơng 1 ............................................................................... 20
CHƢƠNG 2 NĂNG LƢỢNG CỦA NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN
TRONG KHÍ BOSE MỘT THÀNH PHẦN Ở GẦN ĐÚNG NHIỆT ĐỘ CỰC
THẤP .............................................................................................................. 21
2.1. Thế hiệu dụng trong gần hai vòng ................................................... 22
2.2. Phƣơng trình khe và phƣơng trình Schwinger-Dyson. ....................... 26
2.2.1. Phƣơng trình khe ................................................................................... 26
2.2.2. Phƣơng trình Schwinger-Dyson đối với hàm truyền ............................ 26

2.2.3. Phƣơng trình khe mới............................................................................ 27
2.2.4. Phƣơng trình SD mới ............................................................................ 28
2.3. Năng lƣợng tự do .......................................................................... 29
2.4. Gần đúng nhiệt độ thấp .................................................................. 30
Kết luận chƣơng 2 ............................................................................... 32
KẾT LUẬN ........................................................................................ 33


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein (BEC – Bose – Einstein
Condenstate) của khí Bose ở nhiệt độ cực thấp đƣợc tạo ra đầu tiên trên thế
giới vào năm 1995 đã làm biến đổi nguyên tử vật lý. Điều này, có nghĩa rất
lớn là tạo nên một dạng vật chất mới trong đó các hạt bị giam chung trong
trạng thái ở năng lƣợng thấp nhất, mở ra nhiều triển vọng cho vật lý. Và ở
trạng thái BEC, có nhiều hiện tƣợng tƣợng lạ, lôi cuốn, do đó nghiên cứu tính
chất vật lý của BEC tạo nên khí Bose ở nhiệt độ cực thấp đã trở thành một
trong lĩnh vực hấp dẫn vật lý hiện đại. BEC là vật chất lƣợng tử, sóng vật chất
lƣợng tử có đặc tính rất quan trọng của sóng laser, đó là tính kết hợp. Nghiên
cứu sóng vật chất dựa trên BEC đóng vai trò chủ yếu khi xác lập nguyên lý
làm việc của máy tính lƣợng tử. Để phát hiện các hiệu ứng lƣợng tử có liên
quan trực tiếp đến tin học lƣợng tử ngƣời ta đã tiến hành nhiều nghiên cứu về
thực nghiệm và lý thuyết các tính chất vật lý của cả BEC một thành phần và
BEC hai thành phần. Và các nghiên cứu này đã mang lại nhiều kết quả quan
trọng đối với toàn bộ ngành vật lý, đặc biệt đối với công nghệ lƣợng tử đƣợc
hình thành từ ba thành phần chính là: thông tin lƣợng tử, máy tính lƣợng tử và
vật chất lƣợng tử. Về mặt lý thuyết, có nhiều thành tựu về việc mô tả các hiện
tƣợng khác nhau đã quan sát đƣợc, đồng thời tiên đoán các hiệu ứng lƣợng tử
mới. Việc nghiên cứu cấu trúc pha của BEC ở nhiệt độ cực thấp đóng một vai
trò quan trọng vì cấu trúc pha cho ta thông tin đầy đủ các tính chất vật lý, các

trạng thái của vật chất lƣợng tử ứng với các miền khác nhau của tham số vật
lý nhƣ hằng số tƣơng tác, nhiệt độ, thế hóa học. Trong đó, việc nghiên cứu
năng lƣợng tự do của ngƣng tụ Bose – Einstein một thành phần ở gần đúng
nhiệt độ thấp cũng đóng góp quan trọng về mặt lý thuyết.

1


Xuất phát từ triển vọng trên tôi đã lựa chọn đề tài :" Năng lƣợng tự do
của ngƣng tụ Bose – Einstein một thành phần trong gần đúng nhiệt độ
thấp"
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở lý thuyết ngƣng tụ Bose – Einstein nghiên cứu năng lƣợng
tự do của ngƣng tụ Bose – Einstein một thành phần trong gần đúng nhiệt độ
thấp.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu năng lƣợng tự do của ngƣng tụ Bose – Einstein một thành
phần ở gần đúng nhiệt độ thấp dựa trên thế hiệu dụng Cornwall – Jackiw –
Tomboulis (CJT) trong gần đúng hai vòng, nghiên cứu kịch bản chuyển pha
nhiệt và chuyển pha lƣợng tử.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tƣợng nghiên cứu là ngƣng tụ Bose – Einstein một thành phần
trong thống kê chính tắc lớn. Phạm vi nghiên cứu là xét hệ khí Bose ở nhiệt
độ cực thấp trong gần đúng hai vòng.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Sử dụng phƣơng pháp tác dụng hiệu dụng Cornwall – Jackiw –
Tomboulis (CJT) trong gần đúng hai vòng.
- Tính số bằng phần mềm máy tính.
6. Dự kiến đóng góp mới của đề tài
Nghiên cứu về năng lƣợng tự do của ngƣng tụ Bose – Einstein một

thành phần trong gần đúng nhiệt độ thấp có những đóng góp quan trọng trong
cơ học lƣợng tử nói riêng và vật lý lý thuyết nói chung.

2


CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN
1.1.

Giới thiệu về chuyển pha
Đối với hệ nhiệt động, thông thƣờng để biểu diễn trạng thái rắn, lỏng

hoặc khí ta dùng khái niệm pha. Trong vật lý thống kê, pha là một trạng thái
của hệ vĩ mô có các đặc trƣng khác về chất so với các trạng thái khác của
chính hệ đó và cấu trúc pha của hệ xác định các tính chất vật lý cơ bản của hệ.
Trạng thái vi mô của hệ đƣợc đặc trƣng bởi các thông số trạng thái nhƣ nhiệt
độ (T), áp suất (P), thể tích (V), entropy (S),… mà các đại lƣợng này đƣợc xác
định thông qua các hàm nhiệt động ( là hàm của trạng thái) nhƣ thế nhiệt động
(Ω), năng lƣợng tự do E,… Khi hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt, các thông số
trạng có mối liên hệ với nhau, chúng đƣợc biểu diễn bởi phƣơng trình trạng
thái. Bởi vậy, đối với hệ đồng chất, trạng thái cân bằng sẽ đƣợc xác định bằng
hai đại lƣợng nhiệt động bất kỳ cho trƣớc, ví dụ nhƣ thể tích V và năng lƣợng
E. Nhƣng, nếu cho trƣớc một cặp các giá trị bất kì của E và V thì không thể
khẳng định đƣợc rằng trạng thái đồng chất đó của vật chất sẽ tƣơng ứng với
một trạng thái cân bằng nhiệt. Bởi vì, có thể xảy ra trƣờng hợp trong trạng
thái cân bằng nhiệt, hệ không là đồng chất mà tách ra thành hai thành phần
đồng chất tiếp giáp nhau nhƣng chúng ở những trạng thái khác nhau.
Những pha khác nhau của vật chất gồm các trạng thái khác nhau của
vật chất có thể đồng thời tồn tại, cân bằng với nhau và tiếp giáp nhau. Hai pha

có nhiệt độ, áp suất, thế hóa bằng nhau gọi là hai pha cân bằng, nghĩa là:
T1 = T2; P1 = P2; μ1 = μ2 .

(1.1)

Nếu biểu diễn nhiệt độ và áp suất trên các trục tọa độ thì tập hợp những
điểm mà ở đó có cân bằng pha tạo thành một đƣờng cong, gọi là đƣờng cong

3


cân bằng pha. Những điểm nằm hai bên đƣờng cong là những trạng thái đồng
chất của hệ, nghĩa là thuộc một pha xác định. Khi trạng thái của hệ biến đổi
dọc theo một đƣờng cắt đƣờng cong cân bằng thì tại giao điểm của hai đƣờng
đó sẽ có sự chuyển từ pha này sang pha khác. Nếu sự cân bằng pha đối với
một lƣợng chất xác định đƣợc biểu diễn bằng giản đồ trong mặt phẳng (T, V)
thì sẽ có một miền mặt phẳng bị chiếm bởi các trạng thái trong đó đồng thời
có hai pha. Giống nhƣ điều kiện của hai pha cân bằng, sự cân bằng ba pha
cũng đƣợc xác định bằng 3 đẳng thức:
T1 = T2 = T3; P1 = P2 = P3; μ1 = μ2 = μ3 .

(1.2)

Trong lý thuyết Landau, nếu các bất đẳng thức nhiệt động sau đây đƣợc
thỏa mãn: nhiệt dung đẳng áp luôn lớn hơn nhiệt dung đẳng tích (Cp > Cv),
nhiệt dung đẳng tích luôn dƣơng (Cv > 0) và đạo hàm của áp suất theo thể tích
khi nhiệt độ không đổi luôn âm (

P
T  const <0) thì trạng thái của hệ đƣợc

V

gọi là cân bằng. Do vậy, đối với hệ nhiệt động, các trạng thái có nhiệt dung
đẳng tích âm hay đạo hàm của áp suất theo thể tích khi nhiệt độ không đổi
dƣơng gọi là các pha trạng thái không bền và không thể tồn tại. Ta thấy giá trị
của nhiệt dung đẳng tích và đẳng áp (Cv, Cp) đều dƣơng chứng tỏ rằng năng
lƣợng là một hàm tăng đơn điệu theo nhiệt độ khi thể tích không đổi. Entropi
tăng đơn điệu theo nhiệt độ ngay cả khi thể tích không đổi hoặc áp suất không
đổi. Chú ý rằng, entropi giảm đi khi có thăng giáng xung quanh trạng thái nào
đó nhƣng sau đó hệ quay trở lại trạng thái ban đầu thì trạng thái đó đƣợc gọi
là trạng thái cân bằng bền. Và trạng thái mà có độ lệch hữu hạn nào đó thì
entropi tăng so với trạng thái ban đầu nhƣng sau đó hệ không trở về trạng thái
ban đầu đƣợc gọi là trạng thái nửa bền (giả bền). Trong tất cả cực đại khả dĩ
của entropi thì trạng thái bền tƣơng ứng với cực đại lớn nhất.

4


Trong tự nhiên chuyển pha là một hiện tƣợng vật lý phổ biến nhƣ
chuyển pha khí – lỏng, chuyển pha trong các hệ lƣợng tử: chuyển pha chiral
trong vũ trụ và chuyển pha hadron – quark trong các phản ứng ion nặng. Từ
lâu chuyển pha là đề tài nghiên cứu đƣợc rất nhiều nhà khoa học quan tâm.
Vào thế kỉ 19 Andrew phát hiện ra tính chất của trạng thái lỏng và khí trở nên
không phân biệt và hệ ở trong trạng thái tới hạn, có mầu trắng sữa trên mặt
phẳng P – T của CO2. Đây là quan sát đầu tiên về điểm tới hạn (điểm chuyển
pha). Trên mặt phẳng (P,T), điểm dừng của đƣờng cong cân bằng pha gọi là
điểm tới hạn. Nhiệt độ và áp suất tại điểm đó đƣợc gọi là nhiệt độ và áp suất
tới hạn (Tc, Pc). Nghĩa là hệ trở nên đồng chất, không còn có các pha khác
nhau của vật chất khi nhiệt độ T > Tc và áp suất P > Pc. Thông thƣờng một
điểm chuyển pha không phải là một kỳ dị toán học của các đại lƣợng nhiệt

động của hệ. Mỗi pha có thể tồn tại dƣới điểm chuyển pha nếu bất đẳng thức
nhiệt động phải không bị vi phạm tại điểm chuyển pha. Sau đó khoảng 30
năm, P. Curie đã phát hiện sự chuyển pha sắt từ (ferromagnetic) trong sắt và
thấy đƣợc sự tƣơng đồng giữa hai hiện tƣợng này. Nhƣng cho đến khi
Landau lần đầu tiên đề xuất một mô hình tổng quát cho phép giải thích một
cách thống nhất các hiện tƣợng chuyển pha trong các chất lỏng và từ thì lý
thuyết chuyển pha mới thực sự đƣợc ra đời. Tuy nhiên, lời giải thích chính
xác về mô hình Ising hai chiều của Onsager và các kết quả về đƣờng cong
đồng tồn tại của các chất lỏng đơn của Guggenhein đã chỉ ra rằng lý thuyết
Landau không cho các kết quả định lƣợng đúng. Vậy, để có kiến thức đầy đủ
về lý thuyết chuyển pha thì ngoài lý thuyết Landau cần bổ sung thêm các hệ
thức Scaling cho các chỉ số tới hạn, phƣơng trình trạng thái, ngoài ra kết hợp
thêm lý thuyết về chuyển pha hiện đại của Kadanoff và nhà vật lý lý thuyết
Mỹ K. Wilson. Dựa vào nguyên nhân, chuyển pha đƣợc chia làm hai loại:

5


chuyển pha nhiệt và chuyển pha lƣợng tử. Dƣới đây là những lý thuyết chính
về các loại chuyển pha này:
Chuyển pha nhiệt
Khi nhiệt độ thay đổi đạt đến giá trị tới hạn thì có sự thay đổi về chất
trạng thái của hệ tại điểm chuyển pha gọi là chuyển pha nhiệt. Khi có sự
thăng giáng nhiệt của các đại lƣợng vật lý, đặc biệt là của mật độ hạt, trở nên
rất lớn tại điểm chuyển pha thì chuyển pha nhiệt xảy ra và khi đó độ dài tƣơng
quan trở nên lớn vô hạn.
Đến thời điểm hiện tại, có hai quan điểm về chuyển pha nhiệt, đó là
chuyển pha theo lý thuyết Ehrenfest và theo lý thuyết của Landau.
Trong lý thuyết Ehrenfest, Chuyển pha nhiệt theo lý thuyết này còn
đƣợc gọi là chuyển pha cổ điển. Ở đây, chuyển pha nhiệt của hệ xảy ra tại

điểm tới hạn ứng với sự không liên tục của đạo hàm năng lƣợng tự do theo
nhiệt độ. Nếu đạo hàm bậc nhất của năng lƣợng tự do E theo nhiệt độ không
liên tục tại điểm chuyển pha thì gọi là chuyển pha loại một (hình I.1)
E
∆E

0
T = TC

T

Hình I.1: Năng lƣợng tự do gián đoạn tại điểm tới hạn, tƣơng ứng với chuyển pha xảy ra là
loại một.

6


Theo lý thuyết Landau, khi nhiệt độ tăng, tham số trật tự Φ(T) – Order
Parameter biến đổi có bƣớc nhảy (có từ một giá trị hữu hạn nào đó đến
không) thì sự chuyển của tinh thể là từ có trật tự thành không trật tự hay sự
chuyển pha là loại một còn nếu tham số trật tự dẫn đến không một cách liên
tục, tức là không có bƣớc nhảy thì sẽ có sự chuyển pha loại hai. Điểm cần lƣu
ý ở đây là khi xuất hiện tham số trật tự: nhƣng không có sự thay đổi đối xứng
tinh thể thì không thể có chuyển pha loại hai nhƣng có thể xảy ra chuyển pha
loại một; còn nếu có xảy ra sự chuyển tinh thể từ trật tự thành không trật tự
một cách liên tục nhƣng lại không thể có bƣớc nhảy của nhiệt dung thì cũng
không xảy ra chuyển pha loại hai. Trong chuyển pha loại hai, sự thay đổi đối
xứng của hệ có một tính chất tổng quất rất quan trọng là đối xứng của một pha
cao hơn đối xứng của pha kia, nghĩa là pha nào có nhiệt độ cao hơn sẽ đối
xứng cao hơn. Từ điều kiện không có bƣớc nhảy trạng thái tại điểm chuyển

pha loại hai ta thu đƣợc kết quả: các hàm nhiệt động của hệ (entropi, năng
lƣợng, thể tích,…) vẫn giữ liên tục khi đi qua điểm chuyển pha. Từ đó thấy
đƣợc điểm chuyển pha loại hai có sự khác biết so với điểm chuyển pha loại
một ở điểm là nó xảy ra không kèm theo sự tỏa nhiệt hay hấp thụ nhiệt nhƣng
sẽ có sự thay đổi nhƣ có bƣớc nhảy ở điểm chuyển pha loại hai của đạo hàm
bậc nhất của các đại lƣợng nhiệt động (theo áp suất, thể tích).
Tóm lại, theo lý thuyết Landau:
- Chuyển pha loại một: tham số trật tự có bƣớc nhảy tại T = Tc. Chuyển pha
loại một không gắn liền với các đối xứng của hệ.
- Chuyển pha loại hai: tham số trật tự là hàm đơn điệu của nhiệt độ và tiến tới
không khi nhiệt độ T tiến tới Tc. Điểm đáng chú ý nhất trong lý thuyết này là
gắn chặt sự chuyển pha loại hai với tính đối xứng của hệ đối với các phép
biến đổi của tham số trật tự. Khi chuyển pha loại hai , tham số trật tự Φ(T)

7


của hệ giảm liên tục về không theo ba cách nhƣ ở hình I.2a; I.2b; I.2c và nhiệt
dung có sự kỳ dị tại điểm chuyển pha.
Φ(T)

Φ(T)

0

T = Tc

T

(b)

T

(a)
Φ(T)

0

T = Tc

T
(c)

Hình I.2: sự phụ thuộc nhiệt độ T của tham số trật tự Φ: (a) Đối xứng bị phá vỡ tại T = 0 và
đƣợc phục hồi tại T = Tc > 0 đƣợc gọi là kịch bản pha ứng với hiện tƣợng SR; (b) đối xứng bị
phá vỡ tại T = 0 nhƣng không đƣợc phục hồi khi T tăng đƣợc gọi là kịch bản pha ứng với hiện
tƣợng SNR; (c) đối xứng bị phá vỡ tại T = Tc > 0 đƣợc gọi là kịch bản pha ứng với hiện tƣợng
ISB.

8


Chuyển pha lƣợng tử
Trong lý thuyết lƣợng tử, pha lƣợng tử là các trạng thái khác nhau mà
khi hệ ở cùng một pha vật chất nhƣng vẫn có thể ở các trạng thái lƣợng tử đó.
Khi có sự thăng giáng lƣợng tử của các đại lƣợng vật lý ở nhiệt độ xác định
thì chuyển pha lƣợng tử xảy ra và có mật độ số hạt trở nên rất lớn khi tiến tới
điểm chuyển pha. Thăng giáng lƣợng tử xảy ra do nguyên lý bất định
Heisenberg. Vì vậy nên khi khảo sát thăng giáng của tham số: hằng số tƣơng
tác, thế hóa học, mất độ hạt của hệ lƣợng tử ở nhiệt độ xác định thu đƣợc

thông tin về chuyển pha lƣợng tử.
Ví dụ: khi thế hóa học thay đổi đến giá trị tới hạn μc thì thăng giáng
lƣợng tử của mật độ hạt trở nên vô cùng lớn, tại đó xảy ra chuyển pha lƣợng
tử, khi đó hệ chuyển từ trạng thái lƣợng tử này sang trạng thái lƣợng tử khác
ở nhiệt độ không đổi hay khoảng cách giữa các nguyên tử, phân tử không đổi.
Hiểu một cách đơn giản, chuyển pha nhiệt là hệ chuyển từ trạng thái
nhiệt động này sang trạng thái nhiệt động khác khi đi qua T= Tc còn chuyển
pha lƣợng tử là hệ chuyển từ trạng thái lƣợng tử này sang trạng thái lƣợng tử
khác khi đi qua điểm chuyển pha ở nhiệt độ cực thấp cố định. Thực tế, có các
kịch bản pha ứng với các hiện tƣợng sau đây: SR là kịch bản pha ứng với đối
xứng bị phá vỡ ở nhiệt độ không và đƣợc phục hồi ở nhiệt độ cao hơn; SNR
là kịch bản pha ứng với đối xứng bị phá vỡ ở nhiệt độ không nhƣng không
đƣợc phục hồi ở nhiệt độ cao hơn và trƣờng hợp cuối cùng là kịch bản pha
ISB – kịch bản xảy ra sự phá vỡ đối xứng ở nhiệt độ lớn hơn 0oK.
1.2.

Ngƣng tụ Bose – Einstein
Boson là các hạt có spin nguyên và tuân theo thống kê Bose – Einstein.

Hệ Bose có thể gồm các hạt boson hoặc gồm các cặp hạt Fermi liên kết. Hệ

9


Bose tƣơng tác yếu đƣợc gọi là khí Bose, có thể là khí Bose một thành phần
hoặc nhiều thành phần. Khí Bose không tƣơng tác (g = 0), gọi là khí Bose lý
tƣởng. Trạng thái của hệ Bose đƣợc biểu diễn bằng hàm sóng đối xứng, số lấp
đầy không bị hạn chế bởi nguyên lý Pauli, có thể nhận giá trị tùy ý. Thế nhiệt
động Ω của hệ là:


k  T ln  (e

  k
T

)n ,
k

(1.3)

n 0

  k

khi e

T

 1 có sự hội tụ, nên có thể viết:
k  T ln(1  e

  k
T

) .

(1.4)

Vì năng lƣợng Ek của nk hạt ở trạng thái lƣợng tử thứ k gấp nk lần năng lƣợng

εk của một hạt ở trạng thái đó (Ek = nk εk) nên số hạt boson (nk) ở trạng thái có
năng lƣợng Ek tuân theo hàm phân bố Bose:
nk  


1
.
  
 e T  1
k

(1.5)

Do đó, ở một trạng thái lƣợng tử của hệ Bose số hạt là bất kì.
Từ những năm (1924 – 1925), Einstein dự đoán về mặt lý thuyết rằng ở
nhiệt độ T = 0K, các hạt trong hệ không có chuyển động nhiệt nên không có
động lƣợng và hàm sóng ѱ(k) mô tả hệ các hạt trở thành ѱ(0). Cho nên, năng
lƣợng của hệ các hạt Bose ở trạng thái lƣợng tử ứng với T = 0K là thấp nhất,
gọi là trạng thái cơ bản. Vì các Boson không bị chi phối bởi nguyên lý Pauli
nên ở trạng thái lƣợng tử này, trong một thể tích xác định có thể tồn tại một số
tùy ý các hạt không có chuyển động nhiệt. Đó là một trạng thái rất đặc biệt
với mật độ hạt rất lớn, có thể tƣởng tƣợng nhƣ một đám mây lạnh đậm đặc

10


chứa vô số hạt trong một thể tích nhỏ, xác định. Hiện tƣợng này đƣợc gọi là
ngƣng tụ Bose – Einstein (BEC). Và đây cũng là trạng thái mới của vật chất
xảy ra khi nhiệt độ đƣợc hạ xuống đến gần nhiệt độ tới hạn 0K. Khi ngƣng tụ
có ngƣng tụ, mật độ hạt tăng đột biến. Mô hình Lagangian cho khí Bose một

thành phần đƣợc đƣa ra bởi Bogoliubov (Nga) vào năm 1948 và đến năm
1963, Gross – Pitaevskii đã đƣa ra mô hình Lagangian cho khí Bose hai thành
phần. Đến thời điểm hiện tại, trong nghiên cứu lý thuyết đã hình thành một số
cách tiếp cận BEC khác nhau ở nhiệt độ hữu hạn nhƣ cách tiếp cận dựa trên
thế hiệu dụng CJT và phép gần đúng Hatree – Fork,…
Tuy vậy, do chƣa hạ đƣợc nhiệt độ xuống đến gần 0K, dƣới 10-6K nên
thực nghiệm chƣa chứng minh đƣợc sự tồn tại của BEC. Mãi đến năm 1995,
sau khi tìm ra kỹ thuật là lạnh mới và bằng cách sử dụng Laser lạnh, lần đầu
tiên các nhà nghiên cứu mới thực hiện đƣợc BEC đối với khí Bose loãng,
tƣơng tác yếu một thành phần nhƣ 87Rb và 23Na, 7Li ở nhiệt độ cực thấp. Vào
năm 1997, giải Nobel đã trao cho nhóm nghiên cứu gồm Steven Chu, Claude
Cohen – Tannoudji (lý thuyết) và William Phillips về kỹ thuật bẫy và làm
lạnh tia laser. Ngay sau đó, thành tựu này đƣợc ứng dụng để thí nghiệm phát
hiện BEC. Cụ thể quá trình thí nghiệm về BEC trải qua các bƣớc sau đây: đầu
tiên làm lạnh tia Laser, sau đó bẫy từ trƣờng và cuối cùng là làm bay hơi lạnh
các nguyên tử kiềm.
Tính chất của ngƣng tụ Bose – Einstein
Với hệ các hạt Bose đồng nhất, bƣớc sóng de Broglie phụ thuộc nhiệt
độ đƣợc xác định bởi công thức:

2 2
T 
,
mkT

11

(1.6)

trong đó: m là khối lƣợng của một hạt, k là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ.
Vậy trong BEC, các hạt Bose có cùng một bƣớc sóng de Broglie. Nhƣ vậy,
khi nhiệt độ đƣợc hạ xuống đến giá trị tới hạn thì BEC là vật chất lƣợng tử có
tính chất kết hợp. Công thức xác định nhiệt độ tới hạn:
2/3

2 2  n 
Tc 
,
mk   (3 / 2) 

(1.7)

trong đó: n là mật độ hạt của hệ,  (3 / 2) = 2,612 là hàm zeta Riemann. Từ
biểu thức (1.7) ta thấy, nhiệt độ tới hạn đƣợc dự đoán theo lý thuyết là thấp
hơn 10-6K.
Khí Bose đƣợc làm lạnh sẽ chuyển sang pha lỏng, khi đó hệ khí Bose trở
thành chất lỏng lƣợng tử đƣợc mô tả bởi phƣơng trình Gross – Pitaevskii.
Hàm sóng biểu diễn trạng thái của hệ khí Bose là hàm có tính đối xứng đƣợc
xác định bởi các thông số trạng thái là áp suất, nhiệt độ, năng lƣợng, mật độ
hạt. Đặc biệt, ở nhiệt độ cực thấp, xung lƣợng k << 1, phổ năng lƣợng của các
hạt Bose mang tính siêu lƣu khi có BEC:
E = s k ,
trong đó:  s là tốc độ âm thanh trong BEC. Hệ các hạt Bose ở trạng thái bất ổn
định Landau nếu  s < 0. Và hệ là ở trạng thái bất ổn định động lực
(Dynamical Instability) nếu  s là số phức.
Tóm lại, tính chất cơ bản của BEC là tính kết hợp và tính siêu lƣu khi
xung lƣợng của các hạt rất nhỏ.

12

1.3.

Tác dụng hiệu dụng Cornwall – Jackiw – Tombolis ở nhiệt độ hữu
hạn
Trong lý thuyết trƣờng lƣợng tử, phƣơng pháp khai triển nhiễu loạn

đƣợc xem là phƣơng pháp rất hữu ích khi biểu diễn các quá trình tƣơng tác và
giải các phƣơng trình động lực học. Phƣơng pháp này đã rất thành công trong
điện động lực học lƣợng tử, sắc động học lƣợng tử và một số bài toán cụ thể
khác. Tuy nhiên có nhiều hiện tƣợng vật lý quan trọng nhƣ sự vi phạm đối
xứng tự phát, các trạng thái liên kết, sự chuyển pha và các hiệu ứng tập thể lại
không dễ dàng thấy đƣợc trong chuỗi nhiễu loạn. Do đó, đòi hỏi một phƣơng
pháp mới không dựa vào khai triển nhiễu loạn, vừa bao gồm tất cả các bậc
khai triển ứng với lý thuyết nhiễu loạn, vừa giữ đƣợc những tính chất phi
tuyến của lý thuyết trƣờng đối với các hiệu ứng tập thể.
Trong những nghiên cứu lý thuyết lƣợng tử về ngƣng tụ Bose –
Einstein (BEC) của khí Bose, các nhà nghiên cứu đã sử dụng các phép gần
đúng nhƣ phƣơng pháp trƣờng tự hợp Hatree – Fork để giải phƣơng trình
Schodinger tìm ra hàm sóng mô tả hệ và năng lƣợng tƣơng ứng và phƣơng
pháp thống kê Fecmi – Dirac để giải bài toán hệ có số hạt lớn hoặc phƣơng
pháp gần đúng Popov cho các hệ khí trộn lẫn. Mặc dù vậy, khi nghiên cứu lý
thuyết về các tính chất của BEC cần chú ý rằng, phƣơng pháp nghiên cứu phải
đảm bảo không làm mất đi tính phi tuyến của các hiệu ứng tập thể và liên kết
của ngƣng tụ. Vào năm 1962, phƣơng pháp tác dụng hiệu dụng do J.Golstone,
A.Salam và S.Weinberge đƣợc đƣa ra dựa trên tích phân phiếm hàm là
phƣơng pháp không nhiễu loạn và đáp ứng đƣợc các điều kiện trên, đặc biệt
trong việc khảo sát các hiệu ứng tập thể. Trên cơ sở đó, Cornwall – Jackiw –
Tombolis tiếp tục phát triển phƣơng pháp này và đã mở rộng tác dụng hiệu

dụng cho các toán tử đa hợp gọi tắt là phƣơng pháp tác dụng hiệu dụng CJT.
Ƣu điểm của phƣơng pháp này là tính ƣu việt khi giải quyết các vấn đề của lý

13


thuyết trƣờng lƣợng tử, đặc biệt trong nghiên cứu về các tính chất lƣợng tử
của quá trình chuyển pha. Gọi tác dụng hiệu dụng CJT là Г[  , G]. Trong đó:
 ( x) là giá trị trung bình của trƣờng lƣợng tử, hàm truyền G( x, y ) là giá trị

trung bình của tích chuẩn hai trƣờng lƣợng tử tƣơng ứng T(  ( x)  ( y ) ).
Tác dụng hiệu dụng lƣợng tử CJT
Trong mọi quá trình vật lý, những trạng thái của hệ có thời điểm ban
đầu t   và trạng thái của hệ tại thời điểm cuối cùng t   đƣợc xem
nhƣ những trạng thái ứng với năng lƣợng thấp nhất, tƣơng ứng là các chân
không O  và O  . Khi đó biên độ xác suất để hệ thay đổi từ chân không
O  đến chân không O  khi có các nguồn ngoài J, K là phiếm hàm sinh:
Z J, K  O O



J ,K

 N  De

1
i (  S  . J   . K . )
2

,

(1.8)

trong đó:

 .J    ( x) J ( x) d 4 x ,

.K .    ( x) K ( x, y) ( y)d 4 xd 4 y ,
đƣợc gọi là các tích chấm đƣợc thực hiện trên tất cả quá trình bên trong và
không thời gian, N là thừa số chuẩn hóa; S   là tác dụng thông thƣờng. Tích
phân phiếm hàm đƣợc xác định trên toàn bộ các cấu hình trƣờng của hệ vật lý.
Sự đóng góp của mỗi đƣờng vào tích phân lấy từ tác dụng thông thƣờng đặc
trƣng cho các quá trình vật lý của hệ.
Phiếm hàm sinh Z[J, K] nêu ở trên sinh ra các hàm Green tổng quát
bao gồm các giản đồ liên kết và không liên kết. Phiếm hàm W[J, K] chỉ bao

14


gồm các giản đồ liên kết, không tính đến sự khác nhau do giao hoán các đỉnh
sẽ có mặt trong công thức của Z[ J, K]:
Z  J , K   eiW [ J , K ] .

(1.9)

Ngoài ra còn có phiếm hàm sinh Г[  , G] chỉ bao gồm những giản đồ bất khả
quy hai hạt cho các hàm đỉnh liên kết, tính đƣợc từ phép biến đổi Legendre
loại hai:
1
1

  , G   W  J , K   .J  .K .  Tr G, K ,
2
2

(1.10)

các đại lƣợng trong (1.10) đƣợc xác định bởi các công thức sau:

 . J    ( x ) J ( x ) d 4 x,
 .K .    ( x) K ( x, y ) ( y )d 4 xd 4 y;

Tr G, K    Gij ( x, y ) K ij ( x, y )d 4 xd 4 y.

Bằng cách biến đổi toán học ta có:

( , G)
  J i  ( K . )i ,
i
[ , G]
1
  Kij .
 Gij
2

(1.11)

(1.12)

Từ đây, ( , G) có tên gọi khác là tác dụng hiệu dụng lƣợng tử.
Ở những trạng thái vật lý, khi tất cả các nguồn ngoài bằng không, hai

phƣơng trình (1.11) và (1.12) ứng với trạng thái cơ bản của hệ là một hệ đầy

15


đủ gồm phƣơng trình khe mô tả chuyển động của trƣờng và phƣơng trình SD
của G và đƣợc biểu diễn dƣới dạng:

[ , G ]
 0,
 J  K 0

(1.13)

[ , G ]
 0.
 G J  K 0

(1.14)

và phƣơng trình SD:

Do đó, khi có thêm nguồn ngoài K đặc trƣng cho tính Composite thì tác dụng
hiệu dụng [ , G] không chỉ phụ thuộc vào trị trung bình của trƣờng lƣợng tử
mà còn phụ thuộc vào hàm truyền G – là trị trung bình của tích các toán tử
trƣờng T. Vì vậy, khi tìm đƣợc tác dụng hiệu dụng CJT [ , G] ta mới xác
định đƣợc tất cả các tính chất nhiệt động của hệ. Điều này rất thuận lợi cho
việc nghiên cứu sự vi phạm đối xứng vì nếu (1.11) cho nghiệm đối xứng thì
(1.12) vẫn cho nghiệm làm phá vỡ đối xứng. Tuy nhiên, việc xác định đầy đủ

[ , G] thực tế là rất khó mà phải dùng phép gần đúng nhất định. Và chúng ta
có thể sử dụng khai triển loop của [ , G] để giải quyết vấn đề này. Khai
triển hai loop (bất khả quy hai hạt) trong trƣờng Boson có dạng:
i
[ , G]  S[ ]  Tr[ln GG01  GG01  1]   2[ , G],
2

(1.15)

trong đó:
iG01ij ( ) 

 2 S[ ]
 2 Si nt[ ]
 iG01ij 
,
 i j
 i j

16

(1.16)


 2 [ , G] bao gồm tồng tất cả các giản đồ chân không bất khả quy hai hạt với
Sint [ , ] xác định các đỉnh và hàm truyền đƣợc kí hiệu là G.

Lấy đạo hàm theo G của tác dụng hiệu dụng (1.15) có xét đến (1.12) sẽ
thu đƣợc phƣơng trình Schwinger-Dyson của hàm truyền và năng lƣợng riêng
của hệ.

Với trƣờng hợp bất biến tịnh tiến, trƣờng cổ điển  ( x) là một hằng số.
Khi đó tác dụng hiệu dụng [ , G] đƣợc biểu diễn dƣới dạng:
[ , G] = - Veff(  ,G)  d x,
4

(1.17)

trong đó: Veff(  ,G) là thế hiệu dụng. Từ khai triển (1.15), thế hiệu dụng CJT
trong không gian xung lƣợng đƣợc xác định bằng biểu thức sau:
Veff(  ,G) = U ( ) 

i d4 p
tr[ ln G( p)G01 ( p)  G01 (G; p)  1]  V2 ( , G), (1.18)
4

2 (2 )

với: U ( ) là thế cổ điển và V2 ( , G) là tổng tất cả các giản đồ chân không bất
khả quy hai hạt của lý thuyết ứng với các đỉnh và hàm truyền G(p). Lúc này,
các đỉnh vẫn phụ thuộc vào  nhƣng chỉ còn là một tham số hằng số, đƣợc
sinh ra bởi Sint(  , ) . Khi đó điều kiện dừng mô tả trạng thái cơ bản là:
Veff ( , G )
 0,


Veff ( , G )
 0.
G

17

(1.19)


Vậy, thế hiệu dụng CJT V ( , G) là hàm của  và là một phiếm hàm của G. Ở
trạng thái cơ bản, tác dụng hiệu dụng và thế hiệu dụng CJT có ý nghĩa tƣơng
ứng nhƣ năng lƣợng và mật độ năng lƣợng.
Tóm lại, hình thức luận tác dụng hiệu dụng thu cho hai kết quả quan
trọng.
Đầu tiên, các nghiệm vật lý phải thỏa mãn hai phƣơng trình:
[ , G ]
 0,
 ( x)

(1.20)

( , G )
 0.
 G ( x, y )

(1.21)

(1.20) là phƣơng trình chuyển động, xác định sự biến đổi của trƣờng lƣợng tử;
phƣơng trình (1.21) là phƣơng trình Schwinger – Dyson (SD) cho hàm truyền
G. Kết quả này giúp việc nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng rất thuận lợi vì dù
phƣơng trình (1.20) cho nghiệm đối xứng  ( x)  0 thì phƣơng trình (1.21) vẫn
có thể cho nghiệm làm phá vỡ đối xứng.
Thứ hai, khai triển loop của tác dụng hiệu dụng CJT [ , G] gồm có tất
cả các giản đồ với một số cố định các loop. Vì vậy việc xác định bậc loop
khai triển và tìm điều kiện dừng với sự triệt tiêu của nguồn ngoài đối với

(1.13) và (1.14) là vô cùng quan trọng. Khi hệ (1.20) và (1.21) có nghiệm với

 ( x)  0 tức là có sự phá vỡ đối xứng. Nghĩa là cơ chế phá vỡ đối xứng đã tự
động sinh ra ngay trong hình thức luận tác dụng hiệu dụng CJT. Ngoài ra, khi
khai triển tác dụng hiệu dụng CJT quanh nghiệm dừng, trong các nghiệm
không nhiễu loạn tƣơng ứng với sự phá vỡ đối xứng có chứa các hiện tƣợng
vật lý ở trạng thái cơ bản tự động xuất hiện.

18


Tóm lại, tác dụng hiệu dụng CJT có ý nghĩa rất đặc biệt: xác định giá
trị trung bình của Hamilton trong trạng thái chuẩn hóa. Trong trƣờng hợp bất
biến tính tiến, giá trị mật độ năng lƣợng của hệ đƣợc xác định bằng thế hiệu
dụng. Do vậy, hiện nay, phƣơng pháp tác dụng hiệu dụng CJT cho các toán tử
composite rất phát triển và là một công cụ toán học rất hữu ích sử dụng trong
trƣờng lƣợng tử.
Sự phá vỡ đối xứng tự phát
Đa phần các lý thuyết vật lý đƣợc xây dựng trên cơ sở các nguyên lý
đối xứng. Thực tế, có những đối xứng bị “phá vỡ tự phát” nghĩa là trạng thái
chân không của hệ không còn bất biến dƣới sự biến đổi của phép đối xứng đó.
Nhƣ đã đề nêu ở phần trên, hai phƣơng trình (1.11) và (1.12) ứng với
điều kiện dừng của hệ khi các nguồn ngoài triệt tiêu rất có ích trong việc xét
sự vi phạm đối xứng. Cho nên, khi khai triển thế hiệu dụng ta thấy rằng đạo
hàm bậc hai của thế hiệu dụng là tổng của tất cả các giản đồ liên kết bất khả
quy một hạt trong không gian xung lƣợng và các boson không khối lƣợng (gọi
là boson Goldstone) đƣợc sinh ra khi đối xứng bị phá vỡ. Số hạt boson
Goldstone đƣợc sinh ra tuân theo định lý Goldstone.
Định lý Goldstone
“Một hệ tƣơng đối tính trong đó nhóm đối xứng liên tục G(n) bị phá vỡ

tự phát: G(n)  H (m  n), H là nhóm con của G, sẽ xuất hiện các boson với
hệ thức tán sắc Ei  i .k . Trong gần đúng k  0, số các boson này gọi là
boson Goldstone vơi số lƣợng bằng (n-m)”.

19