Độ dài xuyên thấu của ngưng tụ bose einstein hai thành phần

TRƢƠ
̀
NG ĐA
̣
I HO
̣
C SƢ PHA
̣
M HA
̀
NÔ
̣
I 2
KHOA VÂ
̣
T LY
́






NGUYỄN THỊ HÀ TRANG



ĐỘ DÀI XUYÊN THẤU CỦA NGƢNG TỤ
BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN

Chuyên nga
̀
nh: Vâ
̣
t lí lý thuyết

KHA LUN TT NGHIỆP ĐI HỌC


Ngƣơ
̀
i hƣơ
́
ng dâ
̃
n khoa ho
̣
c :


TS. NGUYỄN VĂN THỤ




HÀ NỘI 2015

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo

TS. Nguyễn Văn Thụ, người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình
thực hiện khóa luận tốt nghiệp này.
Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến những thầy cô giáo đã giảng
dạy tôi trong bốn năm qua, đặc biệt là các thầy cô trong Khoa Vật lý Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã giảng dạy và trang bị cho tôi những kiến thức cơ
bản trong học tập, nghiên cứu khoá luận cũng như trong công việc sau này.
Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen
với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những
thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp của các quý thầy cô
và các bạn để đề tài này được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên


Nguyễn Thị Hà Trang



LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp “Độ dài xuyên thấu của ngưng tụ trạng thái
Bose-Einstein hai thành phần” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình
và nghiêm khắc của thầy giáo T.S Nguyễn Văn Thụ.
Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của tôi và không
trùng với bất kì kết quả nghiên cứu của tác giả nào khác.

Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thị Hà Trang














MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
1.  1
2.  u 1
3.     1
4.   1
5. B cc ca khóa lun 1
NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN 2
1.1 . H hng nht 2
1.1.1. Khái niệm hệ hạt đồng nhất 2
1.1.2. Đặc điểm hàm sóng của hệ lý tưởng bao gồm các hạt đồng
nhất Nguyên lý Pauli 2
1.2. Thng kê Bose-Einstein 4

1.3. Tr bose-einstein 8
1.4. Thc nghim v  Bose-Einstein 15
1.4.1.Ngưng tụ Bose-Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium 15
1.4.2.Tạo ra ngưng tụ Bose-Einstein trong sự rơi tự do 17
1.4.4. Các nhà vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngưng tụ
polariton 20
CHƯƠNG 2. SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƯNG TỤ BOSE-
EINSTEIN 24
2.1. Toán t Hamilton 24
-Pitaevskii ph thuc thi gian 25

-Pitaevskii không ph thuc vào thi gian 27
 dài xuyên thu c Bose-Einstein hai thành phn 28
KẾT LUẬN 31
TÀI LIỆU THAM KHẢO 32

1

MƠ
̉
ĐÂ
̀
U
1. Lý do chọn đề ti
-Trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein được tạo ra đầu tiên trên thế giới
(BEC- Bose-Einstein condensate) từ những nguyên tử lạnh năm 1995. Điều
này có ý nghĩa lớn là tạo nên một dạng vật chất mới trong đó các hạt bị giam
chung trong trạng thái có năng lượng thấp nhất,đã mở ra nhiều triển vọng
nghiên cứu vật lý. Đây là một lĩnh vực khoa học hay,có hướng phát triển
mạnh mẽ, đa dạng trong thời gian tới, có thể tạo ra nhiều dang vật chất mới

mang ý nghĩa quan trọng trong ngành vật lý.
- Chính là lý do em chọn lĩnh vực “ngưng tụ Bose-einstein”.Để nghiên
cứu được chuyên sâu hơn ,em chọn đề tài nghiên cứu của mình là “ Độ dài
xuyên thấu của ngƣng tụ Bose – Einstein”
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu những đóng góp của ngưng tụ Bose-Einstein 2 thành phần
trong vật lý thống kê và cơ học lượng tử.
3. Đi tƣng nghiên cứu
- Ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần, phương trình Gross-
Pitaevskii
4. Phƣơng pha
́
p nghiên cƣ
́
u
- Đo
̣
c, tra cư
́
u ta
̀
i liê
̣
u.
- Sử dụng thống kê cổ điển, lượng tử và các phép tính giải tích toán học
- Phương pháp nghiên cứu lí luận
5. B cục của khóa luận
- Chương 1: Lý thuyết chung về ngưng tụ Bose – Einstein.
- Chương 2: Độ dài xuyên thấu của ngưng tụ Bose – Einstein 2 thành
phần.

2

NỘI DUNG
CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN
1.1 . Hệ hạt đồng nhất
1.1.1. Khái niệm hệ hạt đồng nhất
Nếu các hạt có các đặc trưng như điện tích, khối lượng, spin không
phân biệt với nhau thì ta có một hệ N hạt đồng nhất. Hệ lý tưởng bao gồm các
hạt đồng nhất.
1.1.2. Đặc điểm hàm sóng của hệ lý tưởng bao gồm các hạt đồng nhất
Nguyên lý Pauli
Xét hệ gồm N hạt đồng nhất độc lập, tức là N hạt không tương tác.
Haminton của hệ có dạng tổng các Haminton của từng hạt,

1 2 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
    
n
H H H H H
. (1.1)
Giả sử

là hàm sóng mô tả trạng thái của hệ, E là năng lượng của hệ trong
trạng thái đó, khi đó

và E được xác định là hàm riêng và trị riêng tương
ứng của toán tử
ˆ
H

, tức là được xác định bằng cách giải phương trình
Schodinger.
Phương trình hàm riêng và trị riêng cho toán tử
ˆ
H
có dạng
ˆ
nn
HE  
(1.2)
Hàm sóng
 

ni i
x
và năng lượng

ni
của hạt i được xác định từ
phương trình
ˆ

  
i ni ni ni
H
,
(i=1,2,3….,N) các trạng thái

ni
được gọi là trạng thái đơn hạt. Từ (1.1) và

(1.2) ta thấy năng lượng của hệ phải bằng tổng năng lượng của từng hạt, còn
hàm sóng của hệ phải bằng tích hàm sóng của từng hạt
3

   
   
1 2 3
1 2 3
1 2 3
,

   
    
     
N
N
n n n n
n n n n N
n
E
x x x x
. (1.3)

Khi viết biểu thức (1.3) ta chưa chú ý tới tính đồng nhất của các hạt, vì vậy
hàm sóng có dạng (1.3) không phải là đối xứng và cũng không phải là phản
đối xứng. Pauli đã chứng minh rằng hàm sóng của hệ các hạt boson (có spin
nguyên) là đối xứng, còn hàm sóng của hệ các hạt fermion (có spin bán
nguyên) là phản đối xứng.
Hàm sóng
 

12
, , ,
sn
X X X
gọi là đối xứng nếu nó không đổi dấu khi
ta hoán vị hai hạt i và k tùy ý

   
11
, , , , , , , ,  
s i k s k i
X X X X X X
.
Hàm sóng
 
12
, , ,
sn
X X X
gọi là phản đối xứng, nếu nó đổi dấu khi
ta hoán vị hai hạt i và k tùy ý

   
11
, , , , , , , ,  
s i k s k i
X X X X X X
.
Từ hệ các hàm sóng đơn hạt (
   

   
1 2 3
1 2 3
, , , ,   
N
n n n N
n
x x x x
)
ta có thể thiết lập hàm sóng của hệ có tính chất đối xứng hoặc phản đối xứng.
Ta kí hiệu
1
N
là số hạt ở trạng thái
1

n
,
2
N
là số hạt ở trạng thái
2
.
n

Đối
với hệ các hàm boson hàm sóng phải có dạng tính đối xứng đã chuẩn hóa

 
 

 
 
12
12
12
! ! !

!
    

N
k
s n n n N
p
N N N
x x x
N
, (1.4)
trong đó
 

p
là kí hiệu lấy tổng theo mọi hoán vị
i
n
và
k
n
,
12

, , ,
s
N N N
là số
các hạt ở trong các trạng thái lượng tử
12
, , ,
s
n n n
,
N
là tổng số hạt của hệ và
thỏa mãn điều kiện
12
.   
s
N N N N



4

Ví dụ
Xét trường hợp hệ gồm hai hạt (N = 2), giả sử mỗi hạt có thể nằm trong
trạng thái
1

hoặc
2


. Khi đó hàm sóng đối xứng của hệ là

       
1 1 2 2 1 2 2 1
1
2
   
  


s
x x x x
.
Bây giờ ta thiết lập hàm sóng phản đối xứng. Ta dễ dàng thấy rằng hàm
sóng phản đối xứng của hệ fermion độc lập là
   
 
   
 
   
 
1 1 1
2 2 2
12
12
12


1
!

  
  
  

N N N
n n n N
n n n N
a
n n n N
x x x
x x x
N
x x x
, (1.5)
nhận thấy rằng nếu hoán vị hai chỉ số bất kỳ n
i
và n
k
thì định thức trên sẽ đổi
dấu và do đó hàm sóng cũng đổi dấu. Nếu một hạt hoặc nhiều hạt ở cùng
trong một trạng thái thì định thức sẽ chứa 2 hoặc nhiều cột giống nhau, do đó
0


a
tức là ở trạng thái đó thì hệ không tồn tại. Hàm sóng (1.5) thỏa mãn
nguyên lý cấm của Pauli “ trong mỗi trạng thái đơn hạt chỉ có tối đa một hạt
fecmion”.

1.2. Thng kê Bose-Einstein
Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở
trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu
hạt.Xuất phát từ phân bố chính tắc lượng tử
exp
k
kk
E
Wg







, (1.6)
trong đó E
k
là năng lượng của hệ ở trạng thái k,

và

là các thông số của
phân bố, g
k
là độ suy biến là độ suy biến của mức năng lượng E
k
. Nếu hệ gồm
các hạt không tương tác thì ta có

5

0





k l l
l
En
, (1.7)
ở đây,

l
là năng lượng của một hạt riêng lẻ của hệ,
l
n
là số chứa đầy mức

l

tức là số hạt trong hệ có cùng năng lượng
.

l

Số hạt trong hệ có thể nhận giá trị từ
0 
với xác suất khác nhau.

Độ suy biến g
k
trong (1.6) sẽ tìm được bằng cách tính số các trạng thái khác
nhau về phương diện vật lý ứng với cùng một giá trị E
k
. Vì số hạt trong hệ
không phải là bất biến nên tương tự như trường hợp thống kê cổ điển thay thế
cho phân bố chính tắc lượng tử ta có thể áp dụng phân bố chính tắc lớn lượng
tử hay phân bố Gibbs suy rộng.
Phân bố chính tắc lớn lượng tử có dạng
0
1
W exp
!
ll
l
kk
Nn
g
N





  









, (1.8)
trong đó
0




l
l
Nn
,

là thế nhiệt động lớn,

là thế hóa học. Sở dĩ có thừa
số
1
!N
xuất hiện trong công thức (1.8) là vì có kể đến tính đồng nhất của các
hạt và tính không phân biệt của các trạng thái mà ta thu được do hoán vị các
hạt. Kí hiệu
 
01
, ,
!


k
g
G n n
N
, (1.9)
thì (1.8) được viết lại như sau

 
 
0
01
W exp , ,
ll
l
k
n
G n n





  









. (1.10)
6

Từ đây ta có hai nhận xét về công thức (1.10) như sau: Một là vế phải
của (1.10) có thể coi là hàm của các
l
n
nên ta có thể đoán nhận công thức đó
như là xác suất để cho có n
0
hạt nằm trên mức
0

,
l
n
hạt nằm trên mức

l
,
nghĩa là, đó là xác suất các số chứa đầy, và ta viết lại nó như sau
 
 
 
0
0 1 0 1
W , , exp , ,
ll
l

n
n n G n n





  








.
Từ đó theo lý thuyết xác suất ta có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên
các mức năng lượng bất kỳ đối với các thống kê lượng tử khác nhau
 
 
 
0 1 0 1
0
0 1 0 1
W , exp , ,






  








 
ll
l
k k k
n n n n
n
n n n n n G n n
.
Hai là đại lượng
 
01
, , G n n
xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện các
trạng thái vật lý mới hoán vị (về tọa độ) các hạt. Đối với hệ boso và hệ
fecmion, tức là hệ được mô tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, thì
các phép hoán vị đều không đưa đến một trạng thái vật lý mới nào cả, bởi vì
khi đó hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu, hoặc đổi dấu nghĩa là diễn tả
cùng một trạng thái lượng tử. Do đó đối với các hạt boso và hạt fecmion ta có
 
01

, , 1G n n
, (1.11)
nhưng trong thống kê Mawsxoen – Bonzoman, khi mà các hạt hoán vị có thể
xuất hiện trạng thái mới, ta có
 
01
01
1
,
! !
G n n
nn
. (1.12)


 Tìm
k
g

7

Trong phân bố Macxoen-Bonzoman tất cả các phép hoán vị khả dĩ của
tọa độ của các hạt đều sẽ cho ta các trạng thái mới trừ các phép hoán vị của
các tọa độ của các hạt có cùng một năng lượng
1

. Do đó số tổng cộng các
trạng thái khác nhau về phương diện vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng N!
chia cho số hoán vị trong các nhóm có cùng năng lượng tức là chia cho
01

! ! nn
. Khi đó

01
!
! !

k
N
g
nn
,
thay giá trị của
k
g
vào (1.9) ta thu được (1.12). Để tính trị trung bình của các
số chứa đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lượng khác nhau) ta gắn
cho đại lượng

trong công thức (1.10) chỉ số l, tức là ta sẽ coi hệ ta xét hình
như không phải chỉ có một thế hóa học

mà có cả một tập hợp thế hóa học

l
. Và cuối phép tính ta cho

l
=


.
Khi đó điều kiện chuẩn hóa như sau
 
01
01
W , , exp 1







nn
n n Z
, (1.13)
với
 
 
01
0
01
exp ,
l l l
l
nn
n
Z G n n
















(1.14)
nghĩa là
ln

   Z
. (1.15)
Đạo hàm của

theo

k
dựa vào (1.14) và (1.15)

 
 
01
0

01
1
.exp


  



  

 

   







ll
l
k
nn
kk
Z
n G n n
Z
. (1.16)

8

Nếu trong biểu thức (1.10) ta đặt


k
thì theo (1.10) vế phải của công thức
(1.15) có nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầy
k
n
tức là ta được



  

k
k
n
. (1.17)
Đối với hệ hạt boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kỳ (từ
0 
) và
 
01
1G n n
do đó theo (1.14) ta có
 
01
0

0
0
0
exp exp
1
,
1 exp
l l l
l l l
n n n
l
l l l
n
Zn

















  



   













 


(1.18)
khi đó
0
ln 1 exp






  

  





ll
l
. (1.19)
Theo (1.12) ta tìm được phân bố của các số chứa đầy trung bình
1
exp 1








k
l
n
, (1.20)
(1.20) là công thức của thống kê Bose-Einstein. Thế hóa học

trong công
thức này được xác định từ điều kiện

0




l
l
nN
. (1.21)
1.3.Trạng thái ngƣng tụ bose-einstein
Ngưng tụ bose-einstein (BEC-bose-einstein condensation) là một trạng
thái vật chất của khí boson loãng bị làm lạnh đến nhiệt đô rất gần độ không
tuyệt đối (hay rất gần giá 0K hay -273˚C).dưới điều kiện này, một tỷ lệ lớn
9

các boson tồn tại ở trạng thái lượng tử thấp nhất, tại điểm mà các hiệu ứng
lượng tử trở nên rõ rệt ở mức vĩ mô. Hiện tượng này được dự đoán bởi
Einstein vào năm 1925 cho các nguyên tử với spin toàn phần có những giá trị
nguyên. Dự đoán này dựa trên ý tưởng về một phân bố lượng tử cho các
photon được đưa ra bởi bose trước đó một năm để giải thích phổ phát xạ và
hấp thụ các vật đen tuyệt đối. Einstein sau đó mở rộng ý tưởng của bose cho
hệ hạt vật chất. những nỗ lực của bose và Einstein cho kết quả khái niệm khí
bose trong khuôn khổ lý thuyết thống kê bose-einstein, miêu tả phân bố thống
kê của những hạt đồng nhất với spin nguyên, mà sau này Paul Dirac goih là
boson. Các hạt boson bao gồm photon cũng như các nguyên tử heli-4 được
phép tồn tại ở cùng trạng thái lượng tử như nhau. Einstein chứng minh rằng
khi làm lạnh các nguyên tử boson đến nhiệt độ rất thấp thì hệ tích tụ lại (hay
ngưng tụ) trong trạng thái lượng tử thấp nhất có thể và tạo nên trạng thaí mới
của vật chất.
Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng công 13 nguyên tố đã được

làm cho ngưng tụ. mười trong số ngưng tụ này đã dược tạo ra bởi mười nhóm
nghiên cứu quốc tế khác nhau.
Năm 1938, Fritz London đề xuất trạng thái BEC như là một cơ chế giải
thích cho tính siêu chảy của He cũng như tính siêu dẫn của một số loại vật
liệu.
Năm 1995, khí ngưng tụ đầu tiên đã được tạo ra bởi nhóm của Eric
Cornell và Carl Wieman ở phòng thí nghiệm JILA thuộc viên công nghệ tiêu
chuẩn quốc gia (Nist)tại đại học colorada ở boulder, khi họ làm lạnh khí
nguyên tử Rubidi đến nhiệt độ 170 nanokelvin(nk). Cũng trong thời gian này
Wolfgang Ketterle ở học viện công nghệ Massachusetts tạo ra được ngưng tụ
bose-einstein đối với nguyên tử natri và duy trì được hệ 2000 nguyên tử này
trong thời gian lâu cho phép ngiên cứu những tính chất của hệ. Vì vậy mà
Cornell,wieman, Ketterle được nhận giải Nobel vật lý 2001.
10

Các hạt trong vật lý được chia ra làm 2 lớp cơ bản: lớp các boson và
lớp các fermion. Boson là những hạt với “spin nguyên”, fermion là các hạt
với “spin bán nguyên. Các hạt bose tuân theo bose-einstein, còn các hạt
fermion tuân theo thống kê fecmi-dirac. Ngoài ra các hạt fermion còn tuân
theo nguyên lý loại trừ pauli,”hai hạt fermion không thể cùng tồn tại trên một
trạng thái lượng tử”.

Hình 1.1: Trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein của các boso, trong trường hợp
này là các nguyên tử Rubidi. Hình vẽ là phân bố tốc độ chuyển động của các
nguyên tử theo từng vị trí. Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyển động nhanh, màu
xanh và trắng chỉ nguyên tử chuyển động chậm. Bên trái là trước khi xuất
hiện ngưng tụ Bose-Einstein. Ở giữa là ngay sau khi ngưng tụ. Bên phải là
trạng thái ngưng tụ xuất hiện rõ hơn. Ở trạng thái ngưng tụ, rất nhiều nguyên
tử có cùng vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lượng tử) nằm ở đỉnh màu trắng.

Ở nhiệt độ phòng, Boson và Fermi đều phản ứng rất giống nhau, giống hạt cổ
điển tuân thủ theo gần đúng thống kê Macxoen – Bonzoman (bởi cả thống kê
B- A và thống kê F-D đều tiệm cận đến thông kê M-B ở nhiệt độ phòng). Có
thể khẳng định rằng ở nhiệt độ thấp khí Bose có tính chất khác hẳn khí Fermi
11

(chẳng hạn như khí điện tử tự do trong kim loại). Thật vậy, vì các hạt Boson
không chịu sự chi phối của nguyên lý cấm Pauli nên ở nhiệt độ không tuyệt
đối tất cả các hạt đều có năng lượng
0


, do đó trạng thái cơ bản của tất cả
chất khí là trạng thái có E=0. Còn đối với khí Fermi thì khác, ở nhiệt độ T=0
-
0
K các hạt lần lượt chiếm các trạng thái có năng lượng từ 0 đến mức fermi, do
đó năng lượng của cả hệ khác không (
0E 
).
Xét việt áp dụng thống kê Boso –Einstein vào hệ hạt có spin nguyên
hay spin bằng không (ví dụ như các photon, các mezon, các nguyên tử trong
đó các electron và nucleon là chẵn,…) được gọi là các hạt boson hay khí bose.
Đối với khí lí tưởng, theo công thức của thống kê Boso-Einstein. Số hạt
trung bình có năng lượng trong khoảng từ
d
  

bằng
()

()
exp 1
dN
dn










(1.22)
Trong đó
()dN

là số các mức năng lượng trong khoảng từ
d
  

.
Tìm
()dN

.
Theo quan điểm lượng tử, các hạt boson chứa trong thể tích V có thể xem như
các sóng đứng Debrolige. Áp dụng công thức:
2

()
2
k dk
dN k V


(1.23)
Theo hệ thức Debroglie giữa xung lượng
p

và véc tờ sóng
k


,pk
 

(1.24)
Khi đó ta có thể được viết dưới dạng
2
2
()
2
p dp
dN p V



(1.25)
Đối với các hạt phi tương đối tính tức là hạt có vận tốc

vc
thì
2
2
p
m


suy ra

2
2pm



12

23
2p dp m



Khi đó (1.25) có dạng:
3
23
2
()
2
mV
dN d

  




Vì các hạt có thể có các định hướng spin khác nhau nên số trạng thái khả dĩ
ứng với cùng một giá trị của spin s của hạt g=2s+1. Do đó số các mức năng
lượng trong khoảng
d
  

là:
3
23
2
()
2
m Vg
dN d
  



(1.26)
Theo số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng
d
  

là:
3

23
2
()
2
exp 1
m Vg d
dn












(1.27)
Vì số hạt toàn phần là N nên ta có phương trình sau:
3 1/2
23
00
2
()
2
1
kT
m Vg

N dn d
e










. (1.28)
Nhận thấy nếu số hạt N là số cho trước thì phương trình (1.28) sẽ cho ta xác
định thế hóa học

. Thật vậy, số hạt trung bình
()dn

chỉ có thể là một số
dương, do đó theo (1.27) điều kiện đó sẽ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.27)
13

Luôn dương. Tức là
0


để cho giá trị của
exp







luôn luôn lớn hơn l
với mọi giá trị của

.
Ta có thể chứng minh

là hàm nghịch của biến của tọa độ tức là
0
T




.
Theo quy tắc lấy đạo hàm các hàm ẩn vào (1.28) ta có:
0
0
1
1
kT
kT
d
N
T
Te

N
T
d
e






























0
0
1
1
kT
kT
d
T
e
d
e






























   
22
2
00
22
00
1
11
1
1
11
kT kT
kT kT
kT kT
kT kT
ee
dd

kT
ee
T
ee
dd
kT
ee
   
   
   
   
   
   
   






   
   
   
   
   
   


   




(1.29)
Vì
0


và
0


Nên
0


, do đó biểu thức dưới dấu tích phân ở vế phải
(1.23) luôn luôn dương với mọi giá trị của

, vì vậy
0
T




.Từ các tính chất
0


và

0
T




của hàm

ta thấy khi nhiệt độ giảm thì

tăng (giá trị âm
tăng đến giá trị lớn hơn “nhưng vẫn là âm”) tới nhiệt độ T
0
nào đó

sẽ đạt
giá trị cực đại bằng không
ax
0
m


.
Xác định nhiệt độ T
0
Chọn
0


và

0


. Khi đó phương trình:
3 1/2
23
00
2
()
2
1
kT
m
N dn Vg d
e











Trở thành:
14

0

3 1/2
23
00
2
()
1
m Vg e
N dn dx











3/2
00
23
0
3/2 1/2 3/2
00
1/2 2 3 1/2 2 3
00
(2 )
21
()

2 1 2 1
x
xx
m Vg x
dx
m Vg m Vg
xx
dx dx



   










(1.30)
Mà ta biết:
0
2.31
1
x
x
dx






, nên từ (1.25) và
00
kT


, ta được:
2
2/3
0
0
2/3
3,31
()
N
T
k g mk V



(1.31)
Đối với tất cả khí boson quen thuộc thì nhiệt độ đó là rất nhỏ. Ví dụ
như
4
2
He

có mật độ
33
0,12 / 120 /
N
m g cm kg m
V

, nhiệt độ cỡ 2,19
0
K. Tuy
nhiên, sự tồn tại nhiệt độ T
0
#0 có ý nghĩa rất quan trọng. Để hiểu ý nghĩa của
nó ta xét khoảng nhiệt độ 0<T<T
0
. Khi giảm nhiệt độ xuống tới T
0
thì thế hóa
học

tăng tới giá trị

max
=0, mà
0
T





nên

không thể giảm nữa, do đó
trong khoảng nhiệt độ 0<T<T
0
thì

=0.
Với nhiệt độ T<T
0
số hạt có năng lượng là:
3/2 3/2
2 3 1/2 2 3
00
(2 ) (mkT)
( 0) '
2 2 1
1
x
kT
m Vg x Vg x
N d dx N


  


   





(1.32)
So sánh ta thấy:
2/3
0
( 0) ( )
T
NN
T


hay
'
2/3 2/3
0
( ) ( )
NT
NT


Vì số hạt toàn phần trong hệ là không đổi, nên kết quả trên phải được
đoán nhận vật lý một cách đặc biệt. Khi T<T
0
thì N-N’chỉ ra rằng số hạt toàn
phần N chỉ có một số hạt N’ có thể phân bố theo các mức năng lượng một
cách tương ướng với công thưc (1.22), tức là:
15

3/2

1/2 2 3 3/2
'
()
2 (2.31)
exp{ } 1 exp{ } 1
m Vg d N d
dn
   







(1.33)
Còn các loại hạt còn lại N-N’, cần phải được phân bố như thế nào đó
khác đi, chẳng hạn như tất cả số đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa
là chúng hình như được nàm ở một pha khác nhau mà người ta quy ước gọi là
pha ngưng tụ.
Như vậy ở các nhiệt độ thấp hơn T
0
, một phần các hạt của khí bose sẽ
nằm ở mức năng lượng thấp nhất (mức năng lượng không) và các hạt còn lại
sẽ được phân bố ở các mức năng lượng khác nhau theo định luật
1
1





. Hiện
tượng mà ta vừa mô tả trong đó một số hạt của khí Bose chuyển xuống mức
năng lượng không và hai phần của và hai phần của khí Bose phân bố khác
nhau theo hai năng lượng gọi là “sự ngưng tụ bose”. Ở nhiệt độ không tuyệt
đối (T=0) tất cả các hạt bose sẽ nằm trên mức không.
1.4. Thực nghiệm về ngƣng tụ Bose-Einstein
1.4.1.Ngưng tụ Bose-Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium
Đội nghiên cứu của Francesca Ferlaino tại trường Đại học Innsbruck là
nhóm đầu tiên tạo ra thành công một ngưng tụ của nguyên tố lạ erbium. Các nhà
vật lí thực nghiệm Innsbruck hiện đang giữ kỉ lục thế giới trong việc thu được
những ngưng tụ Bose-Einstein đầu tiên của những nguyên tố hóa học khác nhau.
Các chất khí lượng tử cực lạnh có những tính chất ngoại hạng và mang
lại một hệ lí tưởng để nghiên cứu những hiện tượng vật lí cơ bản. Với việc
chọn erbium, đội nghiên cứu đứng đầu là Francesca Ferlaino thuộc Viện Vật
lí Thực nghiệm, Đại học Innsbruck, đã chọn một nguyên tố rất lạ, đó là vì
những tính chất đặc biệt của nó mang lại những khả năng mới và hấp dẫn để
nghiên cứu những câu hỏi cơ bản trong lĩnh vực vật lí lượng tử.
16

“Erbium tương đối nặng và có từ tính mạnh. Những tính chất này dẫn tới
một hành trạng lưỡng cực cực độ của các hệ lượng tử,” Ferlaino cho biết.
Cùng với nhóm nghiên cứu của mình, bà đã tìm ra một phương pháp đơn
giản đến bất ngờ để làm lạnh nguyên tố phức tạp này bằng phương tiện laser
và kĩ thuật làm lạnh bay hơi. Ở những nhiệt độ gần độ không tuyệt đối, một
đám mây gồm khoảng 70.000 nguyên tử erbium tạo ra một ngưng tụ Bose-
Einstein từ tính. Trong một ngưng tụ, các hạt mất đi tính chất cá lẻ của chúng
và đồng bộ hóa hành trạng của chúng. “Những thí nghiệm với erbium cho
phép chúng tôi thu được kiến thức sâu sắc mới về những quá trình tương tác
phức tạp của những hệ tương quan mạnh và, đặc biệt, chúng mang lại những

điểm xuất phát mới để nghiên cứu từ tính lượng tử với những nguyên tử
lạnh,” Francesca Ferlaino nói.
Nhà khoa học trẻ này đã giành giải thưởng START của Áo hồi năm 2009
và bà còn nhận tài trợ Starting Grant của Ủy ban Nghiên cứu châu Âu vào
năm 2010. “Với việc thu được ngưng tụ Bose-Einstein vừa đúng một năm sau
khi bắt tay vào nghiên cứu, chúng tôi đã đạt tới một trong những mục tiêu
quan trọng nhất của dự án,” Francesca Ferlaino phát biểu một cách tự hào.
“Điều này cho thấy tầm quan trọng của những khoản tài trợ dành cho các nhà
khoa học trẻ và sự ủng hộ từ phía trường Đại học Innsbruck và Viện Vật lí
Thực nghiệm dành cho tôi và đội của mình.” Nhà khoa học giành giải Nobel
Eric Cornell đã hoan nghênh các nhà nghiên cứu Innsbruck: “Những bạn trẻ
mới đáng yêu làm sao. Cha mẹ của họ hẳn là rất tự hào!”
Cesium, strontium và erbium là ba nguyên tố hóa học mà các nhà vật lí ở
Innsbruck đã cho ngưng tụ thành công trong vài năm trở lại đây. Một đột phá
quan trọng đã được thực hiện bởi Rudolf Grimm và nhóm nghiên cứu của ông
hồi năm 2002 khi họ thu được sự ngưng tụ của cesium, dẫn tới vô số những
kết quả khoa học trong những năm sau đó. Một nhân vật nhận tài trợ START
khác, Florian Schreck, một thành viên thuộc nhóm nghiên cứu của Rudolf
17

Grimm, là người đầu tiên hiện thực hóa một ngưng tụ của strontium hồi
năm 2009. Và nay Francesca Ferlaino lập tiếp kì công này với nguyên
tố erbium.
Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã được
làm cho ngưng tụ. Mười trong số những ngưng tụ này đã được tạo ra bởi
mười nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau. Vào năm 2001, Eric Cornell,
Wolfgang Ketterle và Carl Wieman đã giành Giải Nobel Vật lí cho việc
tạo ra ngưng tụ Bose-Enstein đầu tiên. Ngưng tụ mới của erbium, lần đầu
tiên được tạo ra ở Innsbruck, là một hệ mẫu tuyệt vời để bắt chước những
hiệu ứng phát sinh từ sự tương tác tầm xa. Loại tương tác này là cơ sở của

cơ chế động lực học phức tạp có mặt trong tự nhiên, ví dụ như xảy ra
trong các xoáy địa vật lí, trong các chất lỏng sắt từ hay trong protein khi
gấp nếp.
1.4.2.Tạo ra ngưng tụ Bose-Einstein trong sự rơi tự do
Một thí nghiệm ngưng tụ Bose– Einstein – các laser và toàn bộ thiết
bị - đã được thả rơi đi rơi lại nhiều lần từ độ cao 146 m. Do một đội các
nhà vật lí quốc tế thiết kế, thí nghiệm trên chứng tỏ rằng các hệ lượng tử
nhiều hạt mong manh có thể được tạo ra và phân tích trong môi trường
không trọng lượng do sự rơi tự do mang lại. Kết quả còn cho thấy người
ta có thể đưa những thí nghiệm giống như vậy vào trong không gian, nơi
đó họ có thể kiểm tra các tiên đoán của lí thuyết tương đối rộng của
Einstein.
Các ngưng tụ Bose–Einstein (BEC) hình thành khi các nguyên tử
giống hệt nhau với spin nguyên được làm lạnh cho đến khi toàn bộ các
nguyên tử ở trong một trạng thái lượng tử giống nhau. Điều này có nghĩa
là một BEC gồm hàng chục nghìn nguyên tử hành xử như một hạt lượng
tử đơn lẻ. Các BEC có thể dùng làm các giao thoa kế vật chất, trong đó
18

một hạt lượng tử bị “chia tách” và gửi đi theo hai lộ trình khác nhau trước
khi cho tái hợp lại tại một máy dò – giống hệt như một xung ánh sáng
trong giao thoa kế quang học. Mặc dù những thí nghiệm như vậy đã được
thực hiện với các đơn nguyên tử, nhưng độ chính xác của chúng được
tăng lên đáng kể khi sử dụng BEC.
1.4.3. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý
Các nhà khoa học Đức đã tạo ra bước đột phá trong lĩnh vực vật lý khi
cho ra đời một loại ánh sáng mới bằng cách làm lạnh các phân tử photon sang
trạng thái đốm màu.

Hình 1.2: Một "siêu photton" được tạo ra khi các hạt photon bị làm lạnh

tới một trạng thái vật chất được gọi tên là "trạng thái ngưng tụ Bose-
Einstein"

Cũng giống như các chất rắn, lỏng và khí, khám phá mới thể hiện một
trạng thái của vật chất. Với tên gọi "trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein", nó
19

từng được tạo ra vào năm 1995 thông qua các nguyên tử siêu lạnh của một
chất khí, nhưng các nhà khoa học từng nghĩ không thể tạo ra nó bằng các hạt
photon (quang tử) - những đơn vị cơ bản của ánh sáng.
Tuy nhiên, bốn nhà vật lý Jan Klars, Julian Schimitt, Frank Vewinger và
Martin Weitz thuộc Đại học Bonn ở Đức mới đây thông báo đã hoàn thành
"nhiệm vụ bất khả thi" trên. Họ đặt tên cho các hạt mới là "các siêu photon".
Các hạt trong một trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein truyền thống được
làm lạnh tới độ không tuyệt đối, cho tới khi chúng hòa vào nhau và trở nên
không phân biệt được, tạo thành một hạt khổng lồ. Các chuyên gia từng cho
rằng, các photon sẽ không thể đạt được trạng thái này vì việc vừa làm lạnh
ánh sáng vừa ngưng tụ nó cùng lúc dường như là bất khả thi. Do photon là
các hạt không có khối lượng nên chúng đơn giản có thể bị hấp thụ vào môi
trường xung quanh và biến mất - điều thường xảy ra khi chúng bị làm lạnh.
Theo trang LiveScience, bốn nhà vật lý Đức cuối cùng cũng tìm được
cách làm lạnh các hạt photon mà không làm giảm số lượng của chúng. Để
nhốt giữ các photon, những nhà nghiên cứu ngày đã sáng chế ra một thùng
chứa làm bằng những tấm gương đặt vô cùng sát nhau và chỉ cách nhau
khoảng một phần triệu của một mét (1 micron). Giữa các gương, nhóm
nghiên cứu đặt các phân tử "thuốc nhuộm" ( về cơ bản chỉ có một lượng nhỏ
chất nhuộm màu). Khi các photon va chạm với những phân tử này, chúng bị
hấp thụ và sau đó được tái phát.
Các tấm gương đã "tóm" các photon bằng cách giữ cho chúng nhảy tiến -
lui trong một trạng thái bị giới hạn. Trong quá trình đó, các hạt quang tử trao

đổi nhiệt lượng mỗi khi chúng va chạm với một phân tử thuốc nhuộm. Và
cuối cùng, chúng bị làm lạnh tới mức nhiệt độ phòng.
20

Mặc dù mức nhiệt độ phòng không thể đạt độ không tuyệt đối nhưng nó
đã đủ lạnh để các photon kết lại thành một trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein.
Trong bài viết mới đây trêm tạp trí Nature, nhà vật lý James Anglin thuộc
trường đaih học kỹ thuật Kaiserslautem (Đưc) đánh giá thử nghiệm trên là
"một thành tựu mang tính bức ngoặt". Các tác giả của nghiên cứu này cho biết
thêm rằng, công trình của họ có thể giúp mạng tới những ứng dụng trong việc
chế tạo các loại laser mới, với khả năng sinh ra ánh sáng có bước sóng vô
cùng ngắn trongb các dải tia X hoạc tia cực tím.
1.4.4. Các nhà vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngưng tụ
polariton
Các nhà vật lý Mỹ nói rằng họ chứng kiến một sự kết hợp độc đáo của
một trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein (Bose-Einstein condensaten-BEC)
trong một hệ các giả hạt được làm lạnh được gọi là "polariton". Mặc dù những
khăng định tương tự đã từng được công bố trước đó, nhưng các nhà nghiên
cứu khác trong lĩnh vực này vẫn hoài nghi rằng sự kết hợp này là một hiệu
ứng của trùm laser được dùng để tạo ra các polariton, có nghĩa là hệ không
chắc chắn là ngưng tụ. Thí nghiệm mới này đã hoàn toàn loại bỏ những nghi
ngờ bằng cách tích lũy polariton từ các chùm.
Lần đầu tiên được tạo ra vào năm 1995 từ hơi nguyên tủ rubidi, trạng thái
ngưng tụ Bose-Einstein (BEC) là một hệ mà trong đó số lượng lớn các hạt
boson (các hạt có spin nguyên) chồng chập trong một trạng thái cơ bản giống
nhau. Điều này cho phép các boson biểu hiện các thuộc tính cổ điển ngẫu
nhiên của chúng và dịch chuyển như một trạng thái kết hợp, và rất có ý nghĩa
cho các nghiên cứu về hiệu ứng lượng tử ví dụ như siêu chảy trong một hệ vĩ
mô. Điều trở ngại ở đây là sự thay đổi trạng thái thường chỉ xảy ra ở nhiệt độ
rất thấp, gần không độ tuyệt đối.