Nghiên cứu sức căng mặt ngoài của ngưng tụ bose einstein một thành phần trong thống kê chính tắc lớn (2018)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

TRẦN THI ̣ THẮM

NGHIÊN CỨU SỨC CĂNG MẶT NGOÀ I CỦA
NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT THÀ NH PHẦN
TRONG THỐNG KÊ CHÍ NH TẮC LỚN
Chuyên ngành: Vâ ̣t lý lý thuyế t
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

TRẦN THI ̣ THẮM

NGHIÊN CỨU SỨC CĂNG MẶT NGOÀ I CỦA
NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT THÀ NH PHẦN
TRONG THỐNG KÊ CHÍ NH TẮC LỚN
Chuyên ngành: Vâ ̣t lý lý thuyế t
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Người hướng dẫn khoa học

PGS. TS. NGUYỄN VĂN THỤ

HÀ NỘI, 2018

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nô ̣i dung chính của khóa luâ ̣n tố t nghiê ̣p, tôi xin gửi lời
cám ơn tới PGS. TS Nguyễn Văn Thu ̣ người đã đinh
̣ hướng cho ̣n đề tài và đã
hướng dẫn tôi rấ t tâ ̣n tình để tôi làm tố t khóa luâ ̣n.
Đồ ng thời tôi cám ơn giảng viên của bô ̣ môn Vâ ̣t lý lý thuyế t của trường
Đa ̣i ho ̣c sư pha ̣m Hà Nô ̣i 2 đã hỗ trơ ̣ và giúp đỡ tôi trong thời gian ho ̣c tâ ̣p
cũng như thực hiêṇ khóa luâ ̣n.
Hà nô ̣i, tháng 5, năm 2018.
Tác giả

Trầ n Thi Thắ
m
̣


LỜI CAM ĐOAN
Cùng với hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Văn Thu ̣ khóa luâ ̣n tố t nghiê ̣p
chuyên ngành Vâ ̣t lý lý thuyế t, đề tài “Nghiên cứu sức căng mă ̣t ngoài của
ngưng tu ̣ Bose-Einstein mô ̣t thành phầ n trong thố ng kê chiń h tắ c lớn” đươ ̣c cá
nhân tôi thực hiên.
̣ Các số liê ̣u và kế t quả nêu trong đây là trung thực và chưa
đươ ̣c công bố ở tài liê ̣u khoa ho ̣c nào. Nế u điề u đó không đúng, tôi sẽ hoàn
toàn chiụ trách nhiê ̣m.
Hà nô ̣i, tháng 5, năm 2018.
Tác giả

Trầ n Thi Thắ
m
̣

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

BEC

(Bose-Einstein condensate) Ngưng tu ̣ Bose-Einstein

GPE

(Gross-Pitaevskii equation) Phương trình Gross-Pitaevskii

DPA

(Double-parabola approximation) Gầ n đúng parabol kép

GCE

(Grand canoical ensemble) Tâ ̣p hơ ̣p chính tắ c lớn


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do cho ̣n đề tài. .......................................................................................... 1
2. Mu ̣c đích nghiên cứu. .................................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu. ................................................................................... 1
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 2
5. Những đóng góp mới của đề tài. ................................................................... 2
6. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2
CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CHUNG CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN. . 3

1.1. Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein. ...................................................... 3
1.1.1. Về mă ̣t lý thuyết. ..................................................................................... 3
1.1.2. Nghiên cứu thực nghiệm. ........................................................................ 4
1.1.2.1. BEC đầu tiên của nguyên tố erbium. ................................................... 4
1.1.2.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý. ............................................. 5
1.2. Lý thuyết trường trung bình. ...................................................................... 6
1.2.1. Thế tương tác........................................................................................... 6
1.2.2. Phương trình Gross-Pitaevskii phu ̣ thuô ̣c vào thời gian. ........................ 9
1.3. Phương pháp gần đúng Parabol kép......................................................... 11
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1................................................................................ 13
CHƯƠNG 2 SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINTEIN
MỘT THÀNH PHẦN TRONG THỐNG KÊ CHÍNH TẮC LỚN. ................ 14
2.1. Các hệ thống kê. ....................................................................................... 14
2.1.1. Nghiên cứu hệ hạt đồng nhất. ............................................................... 14
2.1.2. Nghiên cứu hệ vi chính tắc.................................................................... 16
2.1.3. Nghiên cứu hệ chính tắc. ....................................................................... 17
2.1.4. Hệ chính tắc lớn. ................................................................................... 22
2.2. Trạng thái cơ bản gần đúng parabol kép. ................................................. 24


2.3. Sức căng mặt ngoài trong thố ng kê chính tắc lớn. ................................... 25
2.3.1. Sức căng mă ̣t ngoài. .............................................................................. 25
2.3.2. Sức căng mă ̣t ngoài trong thố ng kê chính tắ c lớn. ................................ 27
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2................................................................................ 29
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 30
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 31


MỞ ĐẦU
1. Lý do cho ̣n đề tài.

Albert Einstein(1987-1995)-một nhà vật lý lý thuyết người Đức, ông đã
phát triển thuyết tương đối tổng quát, một trong hai trụ cột của vật lý hiện đại.
Nói tới ông nói tới hàng loạt những công trình nghiên cứu vi ̃ đại có sức ảnh
hưởng vô cùng lớn trong thế kỷ 20, trong đó có nghiên cứu về ngưng tụ BoseEinstein (Bose-Einstein Condansate-BEC).
1995, ở trạng thái này các nguyên tử sơ khai đươ ̣c ngưng tu ̣ thành công
bằ ng cách làm la ̣nh tới nhiê ̣t đô ̣ thấ p nhấ t, với các tính chất khác biêt.̣
Thấy rằng việc nghiên cứu ra đươ ̣c nguyên tử ở trạng thái BEC mang
đế n ý nghĩa quan tro ̣ng là tạo ra đươ ̣c tra ̣ng thái tồ n ta ̣i mới của vâ ̣t chấ t. Mà
chúng bị nhố t ta ̣i năng lượng cực tiể u , bên ca ̣nh đó còn đem đế n vô số triển
vọng đố i với vật lý cơ bản và với công cuô ̣c nghiên cứu khoa học cho loài
người.
Ngoài ra, ở tra ̣ng thái BEC ta còn thấ y được các hiệu ứng vật lý mà
không thể tìm thấ y ở những tra ̣ng thái khác, ví du ̣: siêu dẫn, siêu chảy…
Nhiǹ ra vô số ý nghiã của viê ̣c nghiên cứu trạng thái BEC cũng như
mong muốn nghiên cứu nhiề u hơn về trạng thái BEC tôi chọn “Nghiên cứu
sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose-Einstein một thành phần trong
thống kê chính tắc lớn” làm đề tài nghiên cứu của mình.
2. Mu ̣c đích nghiên cứu.
Tìm đươ ̣c sức căng mă ̣t ngoài của BEC mô ̣t thành phầ n trong thố ng kê
chin
́ h tắ c lớn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Xây dựng phương trình Gross-Pitaevskii tổng quát và phương pháp gầ n
đúng parabol kép.

1


Nghiên cứu về sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose-Einstein một
thành phần trong thống kê chính tắc lớn.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Hê ̣ ngưng tu ̣ Bose-Einstein mô ̣t thành phầ n trong thố ng kê chiń h tắ c
lớn.
5. Những đóng góp mới của đề tài.
Nghiên cứu trạng thái BEC một thành phần trong thống kê chính tắc
lớn góp phầ n mang la ̣i mô ̣t số ý nghiã cho Vật lý thống kê, cơ học lượng
tử và cả Vật lý lý thuyết.
6. Phương pháp nghiên cứu.
Phương trình Gross-Pitaevskii.
Sử dụng phương pháp gần đúng parabol kép.
Tính toán và trình bày hình nhờ vào phần mềm Mathematica.

2


CHƯƠNG I
LÝ THUYẾT CHUNG CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN.
1.1. Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein.
1.1.1. Về mă ̣t lý thuyết.
BEC được phát hiện bởi Satyendra Nath Bose và Einstein.
Từ năm 1924 tư tưởng về BEC đã đươ ̣c một nhà vật lý và toán học ở Ấn
Độ là Satyendra Nath Bose hình thành, khi Bose xem xét các nhóm photon
hành xử như thế nào. Photon thuộc về một trong hai lớp lớn của các hạt cơ
bản hoặc siêu nhỏ xác định bởi dù lượng tử của nó quay là một số nguyên hay
bán nguyên. Bao gồ m hai loa ̣i: thứ nhất được gọi là boson bao gồm các
photon mà spin của nó là 1, thứ hai gọi là fermions bao gồm các electron mà
spin của nó là ½ và hai lớp hành xử khác nhau. Theo nguyên tắc lọai trừ
Pauli, hạt fermions có xu hướng tránh lẫn nhau, ngược lại một số lượng không
giới hạn của boson có thể cùng một trạng thái năng lượng và chia sẻ trạng thái
lượng tử duy nhất [2].

Ý tưởng của Bose đươ ̣c Einstein phát triể n và tổng quát lý thuyết cho một
khí lý tưởng các nguyên tử. Ông dự đoán khi làm la ̣nh các nguyên tử đến mô ̣t
nhiệt độ cực thấp thì bước sóng của chúng sẽ lớn đến mức xế p chồ ng lên
nhau. Các nguyên tử khi ấ y sẽ hình thành ra trạng thái lượng tử vĩ mô hay là
một siêu nguyên tử-tức là một BEC.
Vào năm 1925, Albert Einstein đã thể hiêṇ đươ ̣c quan điể m cơ bản của
một ngưng tụ Bose–Einstein, theo quan điể m của ông một lươ ̣ng lớn các hạt
nằ m ta ̣i tra ̣ng thái mức thấp nhất và nhiệt độ thấp.
Đối với 4He lỏng các nhà nghiên cứu phát hiêṇ ra sự thay đổi trạng thái vô
cùng đă ̣c biêṭ ở 2,19oK và đươ ̣c được coi như sự ngưng tụ của khí boson [3].

3


Năm 1938, Fritz London đã giải thích tính siêu lỏng của 4He bằ ng cách
đề xuất trạng thái BEC và tính chấ t siêu dẫn của một số vật liệu ở gầ n đô ̣
không tuyê ̣t đố i.
Năm 1947 Bogoliubov xây dựng thành công lý thuyế t về tương tác khí
bose ở lĩnh vực BEC, ông đưa ra cách tính tương tác giữa những nguyên tử
khi nhố t chúng la ̣i.
1.1.2. Nghiên cứu thực nghiệm.
1.1.2.1. BEC đầu tiên của nguyên tố erbium.
Dựa và những đă ̣c trưng quan tro ̣ng của chấ t khí lươ ̣ng tử ta ̣i nhiêṭ đô ̣ cực
thấ p hỗ trơ ̣ viêc̣ làm cho mô ̣t số hiêṇ tươ ̣ng vâ ̣t lý dễ hiể u hơn. Nhóm nghiên
cứu của Francesca Ferlaino quyế t đinh
̣ nghiên cứu về nguyên tố Erbium, do
mô ̣t số tin
́ h chấ t đă ̣c trưng của nó giúp giải quyế t đươ ̣c nghi ngờ trong vâ ̣t lý
cơ bản.
“Erbium tương đối nặng và có tính từ mạnh. Những tính chất này dẫn tới

một hành trạng lưỡng cực cực độ của hệ các lượng tử” Francesca Ferlaino
nói.
Bà và nhóm nghiên cứu của bà đã làm lạnh nguyên tố phức tạp này nhờ
vào phương tiện laser và kỹ thuật giúp làm lạnh bay hơi. Một đám mây chứa
lươ ̣ng lớn erbium có thể ta ̣o một ngưng tụ Bose-Einstein từ tính ta ̣i nhiê ̣t đô ̣
gầ n đô ̣ không kenvil. Ta ̣i đây, tính chất đơn lẻ của các ha ̣t bi ̣xóa bỏ và chúng
sẽ đươ ̣c đồng bộ hóa hành trạng.
“Những thí nghiệm với erbium cho phép chúng tôi thu được kiến thức sâu
sắc mới về những quá trình tương tác phức tạp của những hệ tương quan
mạnh và đặc biệt chúng mang lại những điểm xuất phát mới để nghiên cứu từ
tính lượng tử với những nguyên tử lạnh”, Francesca Ferlaino nói.
Ba nguyên tố hóa học Cesium, Strontium và Erbiu đã đươ ̣c các nhà Vật lý
ta ̣i Innsbruck ngưng tụ thành công da ̣o gầ n đây. Vào năm 2002 Rudolf Grimm

4


và nhóm của ông có thành công là thu đươ ̣c ngưng tụ của Cesium. Cũng là
mô ̣t thành viên trong nhóm đó, Florian Schreck là người trước tiên ngưng tụ
thành công Strontium hồi 2009. Và Francesca Ferlaino tiế p tu ̣c thành công
với nguyên tố Erbium.
Hiê ̣n nay có 13 nguyên tố được làm cho ngưng tụ, mười trong số đó được
nghiên cứu từ mười nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau [4].
1.1.2.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý.
Mô ̣t số nhà khoa ho ̣c đế n từ Đức hóa la ̣nh phân tử photon để nó chuyể n
sang da ̣ng đố m màu nhờ đó tìm ra đươ ̣c loa ̣i ánh sáng mới.
Từ đó người ta đã khám phá ra tra ̣ng thái vâ ̣t chấ t mới “trạng thái ngưng
tụ Bose-Einstein” đã đươ ̣c tìm dựa vào viêc̣ làm la ̣nh nguyên tử của chất khí
năm 1995, nhưng ho ̣ cho rằ ng từ hạt photon không thể ta ̣o ra nó (quang tử).
Nhưng Jan Klars, Julian Schmitt, Frank Vewinger và Martin Weitz là

những nhà vật lý thuộc đại học Bonn (Đức) gầ n đây đã thành công và go ̣i tên
hạt đó là “các siêu photon”.
Làm cho ha ̣t tồ n ta ̣i ở tra ̣ng thái BEC truyề n thố ng thành da ̣ng siêu la ̣nh
cho tới khi hòa vào nhau, không thể phân biệt được với nhau rồ i tạo ra một
hạt khổng lồ. Những photon từng bi ̣dự đoán sẽ không thể đạt được da ̣ng trên
vì mô ̣t điề u không thể làm đó là làm la ̣nh và ngưng tu ̣ ánh sáng cùng mô ̣t lúc.
Photon khi bi ̣làm la ̣nh sẽ bi ̣hấ p thu ̣ vào môi trường quanh nó để rồ i biế n mấ t
vì khố i lươ ̣ng của nó là không đáng kể . Nhưng rồ i bố n nhà vâ ̣t lý người Đức
kia đã làm la ̣nh đươ ̣c đươ ̣c photon mà nó không bi ̣biế n mấ t.
Ho ̣ chế ra một thùng nhố t giữ photon làm bằng những tấm gương, những
tấ m gương đó chỉ cách nhau một khoảng phần triệu của một mét (1micron).
Các phầ n nhỏ các phân tử “thuốc nhuộm” đươ ̣c bỏ vào các khoảng vô cùng
nhỏ ấ y.Khi photon va cha ̣m với các phân tử thuố c nhuô ̣m sẽ bi ̣hấ p thu ̣ rồ i tái
phát.

5


Trong quá trin
̣
̀ h va cha ̣m các photon bi ̣ các tấ m gương giữ chỉ đươ ̣c dich
chuyể n trong khoảng giới ha ̣n. Khi va cha ̣m các photon có thể đa ̣t tới mức
nhiêṭ đô ̣ phòng nhờ trao đổ i nhiêṭ với phân tử thuố c nhuô ̣m và ta ̣i đó chúng sẽ
ta ̣o thành mô ̣t tra ̣ng thái BEC.
Thử nghiệm trên đươ ̣c nhâ ̣n xét là “một thử nghiệm mang tính bước
ngoặt” đươ ̣c James Anglin nói trong ta ̣p trí Nature. Thử nghiêm
̣ trên còn hỗ
trơ ̣ viê ̣c ứng dụng trong để tạo ra mô ̣t số laser mới sinh ra đươ ̣c ánh sáng với
bước sóng cực ngắn trong dải tia X hoặc tia cực tím.
1.2. Lý thuyết trường trung bình.

1.2.1. Thế tương tác.
Xét hê ̣ BEC thu đươ ̣c từ viê ̣c làm la ̣nh boson xuố ng nhiê ̣t đô ̣ cực
thấ p(0oK). Để khảo sát một hệ bất kỳ ta sử du ̣ng biể u thức năng lươ ̣ng ở tra ̣ng
thái cơ bản. Phương trình tổ ng quát của toán tử Hamilton [3]:

(

)

 pi2
 1 N N
H = 
+ Vext ri  + V ri − rj ,
i =1  2m
 2 i =1 j i
N

()

(1.1)

với: số hạng thứ nhấ t bên phải biể u thi ̣động năng của hạt thứ i và thứ hai biể u
thi ̣tương tác ngoài, thứ ba biể u thi ̣tương tác giữa N hạt của hệ.
Phương pháp cực trị đươ ̣c dùng để tìm ra năng lượng. Dựa vào năng
lượng tự do thì ta có năng lượng cần làm cho nhỏ nhấ t F = E −  N với E là
năng lượng còn µ là thế hóa học.
Năng lươ ̣ng đươ ̣c viế t la ̣i thông qua Hˆ và ψ
E ( ) =

 Hˆ 

.


(1.2)

Dựa vào công thức (1.2) ta đi tìm năng lươ ̣ng tự do F. Hê ̣ đang khảo sát
cho phép liên hợp hàm sóng ψi với bất kỳ hàm sóng nào cùng hệ. Nhưng để
giải đươ ̣c chúng ta cầ n dựa vào phương pháp gần đúng trường trung bình.

6


Để làm đươ ̣c thì trong không gian của hàm sóng thì năng lươ ̣ng tự do của
nó cầ n đươ ̣c cực tiể u hóa, có da ̣ng  =     .....  

với

 là

tenxơ, có  là tích tenxơ của N hàm sóng các hạt (điều kiện chuẩn hóa

  = 1).
Viê ̣c giải bài toán đươ ̣c quy về tìm cực tiể u của

F (  ) =  H  −    , bây giờ đi tính từng thành phần của biểu thức
2

N

N

pi

 =
2
m
i =1
i =1 2 m

=N

 

*

( r ) ( r ) d r
i

i

i

( ) dr

2

  ri

2m

= −N

2

2


2m 

*

2

i

(1.3)

( r )   ( r ) d r.
2

Nghiê ̣m của (1.3) có đươ ̣c nhờ vào tính chấ t của hàm Green
Số hạng mô tả thế năng đươ ̣c viết lại



n

V
i =1

ext

(r ) 
i

()

()

= N  * r Vext r d r.

(1.4)

Tương tác giữa các ha ̣t của hê ̣ đươ ̣c biể u thi ̣

(

)

1 N N
 V ri − rj 
2 i =1 j i
1 N N
=   d ri  * ri  * rj V ri − rj  ri  rj d rj
2 i =1 j i

() ( ) (

=

) () ()

(1.5)

N ( N − 1) )
d r  * r  r  V r − r   r  r  d r ,

2

() ( )(

) () ( )

Trong công thức năng lươ ̣ng tự do, số ha ̣ng cuố i

( () () )

N

   =   * r  r d r .

7

(1.6)


Tính cực tiểu của các công thức trên, hay là khảo sát sự thay đổ i nhỏ của

()

các  r , thực tế là khảo sát sự thay đổ i của các thành phần thực và ảo của

()

 r nhưng ta coi  và  * độc lập đố i với biến số. Ta đươ ̣c

 ...
cho (1.3)
 *

và (1.4). Ở (1.5), đã có đạo hàm bâ ̣c hai hàm sóng  * nhưng r vị trí có thể
biế n đổ i nên

(

)

()

() (


1 n n

V ri − rj 
 *
2 i =1 i =1
= N ( N − 1)  

*

r    r


2

(1.7)

) ()

V r − r   r d r.


Giố ng như thế hóa, ta có

 
= N  * r  r d r
*

= N  

*

( () () )
( r ) ( r ) d r.

N −1

 

*

( r ) ( r ) d r

(1.8)

Thế tất cả các công thức trên vào năng lượng tự do F sau đó lấ y biế n phân

F
=0
 *
2


2
 − 2m   r + V r  r +

= N
  *,(1.9)
2
 + ( N − 1)   ( r ) V r − r ' d r ' ( r ) −  ( r ) 





( )

ext

( ) ( )

(

)

đa số thế năng tương tác đươ ̣c lấ y là

(

)

V r − r =

4 2
 r − r  ,
m

(

)

(1.10)

với α là chiều dài tán xạ sóng s, gần đúng N − 1 N cuối cùng ta có:
2
− 2 2
4 2
  r + Vext r  r + N
  r  r =  r . (1.11)
2m

m

()

() ()

8

() ()

()


(1.11) đươ ̣c go ̣i là phương trình Gross–Pitaevskii không phụ thuộc thời
gian. Các boson có cường đô ̣ tương tác với nhau đươ ̣c biể u thi ̣ qua α, α < 0
biể u thi ̣ tương tác hút và α > 0 biể u thi ̣ tương tác đẩ y. Kế t luâ ̣n năng lượng E
bi ̣ cực tiể u hóa tương đương với năng lượng tự do F = E −  N bi ̣ cực tiểu
hóa.
1.2.2. Phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian.
Khảo sát hệ BEC một thành phần, hàm S
S   =  dtL =  dtdrL1 ,

(1.12)

trong gầ n đúng trường trung bình mật độ hàm Lagragian có dạng
L1    = i  *


−  (),
t

(1.13)

và hàm Hamiton
 () = −

2

2m

*2  +

g 4
 ,
2

(1.14)

ở đây ta có: hàm sóng  =  ( r , t ) ở tra ̣ng thái cơ bản; m-khối lượng hạt; ghằng số tương tác dương và chúng phu ̣ thuô ̣c vào đô ̣ dài tán xa ̣ sóng
g = 4

2

1
as .
m

(1.15)

Cực tiểu hóa hàm S theo  *

S
= 0,
 *

(1.16)

tìm ra phương trình GP phụ thuộc vào thời gian
i

  2 2
2
= −
 + U + g   ,
t  2m


(1.17)

với U là thế năng tương tác.
Bây giờ hàm sóng viế t la ̣i thành

( ) ()

 r , t =  r e − it / .

(1.18)

9

Thế (1.18) vào (1.17) có phương triǹ h
− 2 2
3
  −  + g  = 0.
2m

(1.19)

Lúc này thế tương tác sẽ có da ̣ng sau
V = −  +
2

g 4
 .
2

(1.20)

Khi các thành phầ n ngưng tu ̣ đươ ̣c phân bố do ̣c theo phương Oz và có tiń h
chấ t đố i xứng tinh
̣ tiế n theo các phương Ox, Oy thì (1.19) sẽ dươ ̣c viế t la ̣i
− 2 d 2
3
−  + g  = 0.
2
2m dz

(1.21)

Bây giờ ta đi đưa phương trình về da ̣ng không thứ nguyên bằ ng cách đưa

vào mô ̣t số đa ̣i lươ ̣ng:
- Đô ̣ dài đă ̣c trưng:  =

2m

- Thời gian đă ̣c trưng: t =



.

.

Sử du ̣ng các biế n không thứ nguyên là to ̣a đô ̣  = z  , thời gian t, hàm
n0 với no là mâ ̣t đô ̣ khố i của ha ̣t n0 =  g .

sóng rút go ̣n  = 

d 2 d 2 d 2  1 d 2
=
=
Ta có:
,
= ,
2m
dz 2 d  2 dz 2  2 d  2
2

2

1 d 2
3
−  + g  = 0,
nên (1.21) thành −  2
2
 d
2

mà  = gn0 , =  n0 nên từ phương trình (1.21) đươ ̣c

− gn0
2

1

2

d 2
n0
− gn0 n0  + gn0 n0  3 = 0
2
d

−d 2

−  +  3 = 0,
2
d

(1.22)

10


và thế năng tương tác (1.20) đươ ̣c viế t la ̣i thành
V = − gn0 n0  +
2

g 2 4
n0  ,
2


V
2
 2 =− +
= VGP .
gn0
2
4

(1.23)

1.3. Phương pháp gần đúng Parabol kép.
Khi muố n đi sâu hơn về DPA ta đi xét BEC mô ̣t thành phầ n giới ha ̣n bởi
tường cứng. Thế tương tác trong phương trình Gross-Pitaevskii theo (1.23)
viế t la ̣i như sau

VGP = −  +
2



4

2

.

(1.24)

Ở gầ n mă ̣t thoáng, giá tri ̣mâ ̣t đô ̣ khố i giảm dầ n từ 1 nên ở gầ n đúng bâ ̣c

  1 + a,

thấ p nhấ t lấ y

(1.25)

Trong đó a phải nhỏ và là số thực.
Thế (1.25) vào (1.24) có
1
4
(1 + a )
2
1
= −1 − 2a − a 2 + (1 + 4a + 6a 2 + 4a 3 + a 4 )
2
1
1

= − + 2a 2 + 2a 3 + a 4 .
2
2

VGP = − (1 + a ) +
2

Khai triể n VGP lấ y đế n gầ n đúng bâ ̣c hai đươ ̣c
VDPA = 2a 2 −

1
1
2
 2 ( − 1) − ,
2
2

với VDPA là thế gầ n đúng trong parabol kép.

11

(1.26)


0.4

V

0.2

0.0

0.2

0.4
1.5

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Hình 1.1: Đồ thi ̣ biể u diễn thế tương tác theo tham số trâ ̣t tự ϕ, đường nét
liề n ứng với thế GP và nét đứt ứng với thế DPA.
Thấ y rằ ng thế GP đươ ̣c thay bằ ng hai đường parabol nên go ̣i đây là gầ n
đúng parabol kép.

12


KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong chương này tôi đã trình bày về tổ ng quan của BEC, đưa ra đươ ̣c thế
tương tác của hê ̣ BEC mô ̣t thành phầ n và phương triǹ h GP phu ̣ thuô ̣c cũng

như không phu ̣ thuô ̣c vào thời gian, đồ ng thời tôi cũng triǹ h bày đươ ̣c phương
pháp gầ n đúng parabol kép.

13


CHƯƠNG 2
SỨC CĂNG MẶT NGOÀ I CỦ A NGƯNG TỤ BOSE-EINTEIN MỘT
THÀ NH PHẦN TRONG THỐNG KÊ CHÍ NH TẮC LỚN.
2.1. Các hệ thống kê.
2.1.1. Nghiên cứu hệ hạt đồng nhất.
Nguyên lý đồng nhất.
Toán tử Hamilton trong hê ̣ N ha ̣t chuyể n đô ̣ng phi tương đố i tính
N
Pˆi 2 ˆ
ˆ
ˆ
H =
+ V ( r1 , r2 ,..., rn ) + W,
i =1 2mi

(2.1)

ˆ biể u thi ̣ toán tử tương tác
với Vˆ biể u thi ̣ toán tử tương tác giữa các hạt, W
spin–quỹ đa ̣o.
Phương trình Schrodinger có hàm sóng
 

− Hˆ  ( , 2,..., N , t ) = 0,

i
 t


(2.2)

trong đó toán tử Hamilton (2.1) biể u thi ̣hàm to ̣a đô ̣ không gian, thời gian và
spin.
Hê ̣ ha ̣t go ̣i là đồ ng nhấ t là hê ̣ có những ha ̣t không thể phân biê ̣t đươ ̣c về
điện tích, khối lượng, spin…. Để xác đinh
̣ đươ ̣c các ha ̣t này ta phải chỉ ra to ̣a
đô ̣ và xung lươ ̣ng cho từng ha ̣t.
Phát biể u nguyên lý: “Trong hệ các hạt đồng nhất chỉ tồn tại những trạng
thái không thay đổi khi đổi chỗ các hạt đồng nhất cho nhau” [1].
Trạng thái đối xứng và phản đối xứng.
Kí hiệu Pˆij là toán tử hạt i và j với nhau và trạng thái của hệ gồ m N hạt
đồng nhất là  (1,2,...., N , t )   ( i, j ) . Nếu vậy:
Pˆij ( i, j ) =  ( j , i )

và Pˆij ( j , i ) =  ( i, j ) .

Pˆij có hàm riêng và tri ̣riêng biể u thi qua
̣

14

(2.3)


Pˆij ( i, j ) =  ( i, j ) .

(2.4)

(

)

Chú ý tới (2.4) Pˆij2 ( i, j ) =  2 ( i, j ) = Pˆij Pˆij ( i, j ) = Pˆij ( j, i ) =  (i, j ) ,
ta thu đươ ̣c  = 1 là tri ̣riêng của Pˆij và hàm riêng của nó gồ m
a)  = −1
Hàm phản đố i xứng là hàm đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kì.
Pˆij a = − a ,

(2.5)

Hạt Fermion tuân theo thống kê Fermi–Dirac là những hạt có hàm sóng ψa
và có spin bán nguyên.
b)  = 1
Hàm đố i xứng là hàm không đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kì.
Pˆij s =  s ,

(2.6)

Ha ̣t Bose tuân theo thố ng kê Bose-Einstein là những ha ̣t có có hàm sóng
ψs và có spin nguyên.
Nguyên lí Pauli là hàm sóng của hệ tương tác yếu.
Pauli đã đưa ra một nguyên lí cấm cho các Fermion: “Nếu có một bộ 4 đại
lượng động lực (L1,L2,L3,St) bất kỳ đủ để đặc trưng cho trạng thái của một hạt
thì trong hệ Fermion không thể có hai hạt có trạng thái được đặc trưng bởi 4
số (L1,L2,L3,St) giống nhau” [5].

Giả thiế t, có hạt i và j ta ̣i hai trạng thái như nhau trong hê ̣
Pˆij a ( i, j ) =  a ( j , i ) = − a ( i, j ) ,

Thêm nữa  a ( j, i ) =  a ( i, j ) , nên  a ( i, j ) = − a ( i, j )
suy ra 2 a ( i, j ) = 0 và  a ( i, j ) = 0
nói cách khác không có trạng thái như thế của hệ.
Bây giờ khảo sát hệ ha ̣t đồ ng nhấ t trong đó những ha ̣t tương tác yếu hay
coi như không có tương tác.

15


Coi phương trin
̀ h
 Hˆ ( l ) −  nl  nl ( l ) = 0



có nghiê ̣m là hàm φnl(l),
trong đó: toán tử Hamilton của hạt thứ l là Hˆ ( l ) (l=1,2,3,..., N), nl là tập hợp
các số lượng tử đa ̣i diê ̣n cho trạng thái của hạt thứ l.
Thì toán tử Hˆ có hàm riêng dạng n1 (1)n 2 ( 2)nN ( N ).
Hàm sóng là tích đối xứng hóa của hê ̣ Boson
s =

N1 ! N 2 !....N s !
v Pv n1 (1)n 2 ( 2 ) ...nN ( N ),
N!

(2.7)

với Pv bao gồ m các hoán vị khả dĩ sao cho n1 (1)n 2 ( 2 )...nN ( N ) khác nhau
từng đôi một; N1, N2, …, Ns là số các hạt ở trong trạng thái lượng tử n1, n2,…,
ns tương ứng khác nhau đôi một và N1+N2+…+Ns=N.
Hàm sóng có dạng phản đối xứng đố i với hê ̣ Fermion

n1 (1)n1 ( 2 ) .......n1 ( N )
a =

1 n 2 (1) n 2 ( 2 ) ....... n 2 ( N )
,
N ! ...

(2.8)

nN (1)nN ( 2 ) ...... nN ( N )
và từ (2.8) suy ra đươ ̣c nguyên lí Pauli.
2.1.2. Nghiên cứu hệ vi chính tắc.
Khảo sát hê ̣ đoạn nhiệt: H ( X , a ) = E = const ,

(2.9)

Có thể đặt

(X ) =

1
 E − H ( X , a ) ,
 ( E, a )

với thừa số chuẩ n hóa

1
có đươ ̣c nhờ điều kiện chuẩn hóa
 ( E, a )

16

(2.10)


  ( X ) dX = 1

(X )

 ( E, a ) =

  E − H ( X , a ) dX .

(2.11)

(X )

Phân bố vi chính tắc Gipxơ biể u thi ̣ qua công thức (2.10), nhờ đó ta tính
trị trung bình của bấ t kỳ đại lượng vật lý nào trong hệ cô lập đoạn nhiê ̣t

F=

 F ( X )  ( E , a )  E − H ( X , a ) dX .
1

(2.12)

(X )

2.1.3. Nghiên cứu hệ chính tắc.
Giả sử hệ muố n xét là C1 và C2 (hệ điều nhiệt với số bâ ̣c tự do rấ t lớn so
với hê ̣ đẳ ng nhiê ̣t đang muố n), số hạt lần lượt là N1, N2 và được mô tả thông
qua X1, X2 và có N 2

N1 .

Cũng có thể coi một hệ cô lập và đoạn nhiệt chưa biế t là hê ̣ chung của
chúng có phân bố vi chính tắc

 ( X1, X 2 ) =

1
 E − H ( X 1 , X 2 ) ,
( E )

(2.13)

trong đó hàm Hamilton của hệ bằng tổng hàm Hamilton của hai hệ C1 và C2
và có năng lượng tương tác U12.
H ( X 1 , X 2 ) = H ( X 1 ) + H ( X 2 ) + U12 ( X 1 , X 2 ).

(2.14)

Tích phân trên tất cả các miền biến thiên theo đại lượng X2 tìm được hàm

phân bố của hệ con C1

 ( X1 ) =

  ( X , X ) dX

( X2 )

1

2

2

.

(2.15)

Để xác đinh
̣ ω(X1) mô ̣t cách tổng quát ta đưa ra ba giả thiết
1. Thứ nhấ t, năng lượng của các hệ C1 và C2 coi so với năng lượng tương
tác U12 luôn lớn hơn rấ t nhiề u. Nếu như số hạt N1, N2 đủ lớn thì điề u này rất
hợp lý với các hệ nhiệt động thông thường và đố i với (2.14) nế u hê ̣ có năng
lươ ̣ng cô ̣ng tiń h thì

17


U12 ( X 1 , X 2 ) = 0.

(2.16)

2. Thứ hai, nế u N1+N2 → ∞ thì

E 3
=  = const ,
N 2

(2.17)

(2.17) có đươ ̣c nế u hê ̣ có năng lươ ̣ng cô ̣ng tính thêm nữa ta đã quy ước
N1<
E 3
= ,
N 2

(2.18)

ở đây coi θ/2 tương đương với số bậc tự do là mô ̣t và mang giá tri ̣ trung bình
số học của năng lươ ̣ng hê ̣.
3. Thứ ba, khi đi tìm ω(X1) ta giả sử
H1 ( X 1 )  E ,

(2.19)

nghĩa là đi khảo sát trạng thái có năng lươ ̣ng toàn phầ n lớn hơn rấ t nhiề u đố i
với năng lươ ̣ng của hê ̣. Hay kế t quả tìm cho ω(X1) phải phù hơ ̣p với điều kiện
(2.19).
Để tìm được ω(X1) đơn giản, ta thực hiê ̣n

Đầ u tiên chia hê ̣ cầ n xét thành C’1 và C”1, lầ n lươ ̣t có hàm phân bố là
ω(X’1) và ω(X”1), năng lựơng hê ̣ sẽ bi ̣chi phố i bởi năng lượng toàn phần của
hệ C’1 và C”1.

 ( X '1 ) = f H '1 ( X '1 )
 ( X "1 ) = f H "1 ( X "1 ).
C1 có biể u thức năng lươ ̣ng toàn phầ n
H1 ( X 1 ) = H '1 ( X '1 ) + H "1 ( X "1 ) + U '12 .

Nếu hai hê ̣ con đủ lớn thì giố ng với giả thiết đầ u coi năng lượng tương tác
U’12 bằ ng không
H1 ( X 1 ) = H '1 ( X '1 ) + H "1 ( X "1 ).

18