TOA DO AFIN VA TOA DO TRUC CHUAN

§ 2: TỌA ĐỘ AFIN VÀ TỌA ĐỘ TRỰC CHUẨN
I. Hệ tọa độ afin trong mặt phẳng
1. Mục tiêu afin trong mặt phẳng
1.1 Định nghĩa
Trong mặt phẳng, chọn một điểm O và hai vectơ không cộng tuyến
Khi đó bộ ba
afin. (h.11)

(

r r
O; i; j

)

r
i

r
j

và

.

được gọi là một mục tiêu afin, hay còn gọi là hệ tọa độ

r r

Cặp thứ tự hai vectơ

( i; j )

gọi là cơ sở vectơ của hệ tọa độ .

Ta kí hiệu mục tiêu đó là Oxy, với Ox, Oy là các đường thẳng đi qua O có VTCP
lần lượt là

r
i

r
j

và

(h.12).

O là gốc tọa độ, Ox và Oy là các trục tọa độ.
Ox là trục hoành, Oy là trục tung.
y

r
j

r
j
x

O

r
i

Hình 11
1.2 Tọa độ của vectơ

r
i

O
Hình 12


r r

Xét mặt phẳng với mục tiêu afin

( O; i; j )

Một vectơ bất kì của mặt phẳng được phân tích theo hai vectơ cơ sở

r
j

, tức là có duy nhất cặp số (x;y) sao cho:

( x; y )

Khi đó cặp số
cho và viết: :

Ta có

r
u = ( x; y )

và

r
r
r
u = xi + y j

được gọi là tọa độ của vec tơ

hoặc :

r
i

r
u

r
u = ( x; y )

đối với mục tiêu đã

r
r

r
r
r
u ( x; y ) ⇔ u = ( x; y ) ⇔ u = xi + y j

Dễ thấy:
- Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi tọa độ của chúng bằng nhau

- Nếu :

r
u = ( x; y )

r
ku = ( kx; ky ) .

- Nếu :

r
v = ( x '; y ' )

,

r
u = ( x; y )

và

tọa độ của chúng tỉ lệ:
1.3 Tọa độ của điểm

và

r
v = ( x '; y ' )

x: x'= y: y'

k∈

thì :

r r
u + v = ( x + x '; y + y ' )

là các vectơ khác

r
0

và

và cộng tuyến thì các

hay một cách tương đương

x

y

x'

y'

=0


Trên mặt phẳng cho hệ tọa độ afin Oxy, với mọi điểm M bất kì của mặt phẳng,

uuuu
r
OM

tọa độ của vectơ
được gọi là tọa độ của điểm M đối với mục tiêu đã cho và
viết: M = (x;y) hoặc M(x:y)
Liên hệ giữa tọa dộ của vectơ và tọa độ của điểm
uuuu
r uuur uuuu
r
( x '; y ') MN = ON − OM = ( x '− x; y '− y )
Nếu M=(x;y) và N=
thì
2. Đổi tọa độ afin

Cho 2 hệ tọa độ afin

(

r r

O; i; j

)

r ur

( O '; i '; j ')

và

Giả sử điểm M có tọa độ (x;y) đối với mục tiêu
với mục tiêu

(

r ur
O '; i '; j '

)

(

r r
O; i; j

.

)

, có tọa độ

( x '; y ')

( x '; y ')

. Tìm sự liên hệ giữa (x;y) và
.
r r
O; i; j
Giả sử đối với mục tiêu
điểm O’ và các vectơ

(

r ur
i ', j '

)

có toạ

độ:

O' = (

Nghĩa là:

Ta có: ;

r

ur
p; q ) ; i ' = ( a , b ) ; j ' = ( c , d )

uuuu
r
r
r r
r
r
r
r
r
OO ' = pi + q j ; i ' = ai + b j ; j' = ci + d j

Theo giả thiết :

uuuu
r
r
r uuuuu
r
r
ur
OM = xi + y j O ' M = x ' i ' + y ' j '
;

.

uuuuu
r

r
ur
r
r
r
r
O ' M = x ' i ' + y ' j ' = x '(a i + b j ) + y '(c i + d j )

r
r
= (ax '+ cy ')i + (bx '+ dy ') j

đối


Mặt khác:

Suy ra:

uuuuur uuuu
r uuuur
r
r
O ' M = OM − OO ' = ( x − p)i + (y − q) j

ax '+ cy ' = x − p

bx '+ dy ' = y − q

tức

 x = ax '+ cy '+ p

 y = bx '+ dy '+ q

(*)

Các hệ số a, b, c, d trong công thức (*) được viết thành một bảng như sau:

a c 
A=
÷
b d 
Khi đó A được gọi là ma trận của phép đổi mục tiêu (*)
Giá trị (ad – bc) được gọi là định thức của ma trận A và kí hiệu là detA hay

A=

a c
b d
:

detA = det

a c  a c
= ad − bc ( ad − bc ≠ 0)

÷=
b d  b d

Công thức (*) gọi là công thức đổi hệ tọa độ (hay công thức đổi mục tiêu afin)
Nếu detA > 0 thì hai hệ tọa độ đã cho (O; ; ) và (O’; ; ) được gọi là cùng hướng
Nếu detA < 0 thì hai hệ tọa độ đó gọi là ngược hướng. Do đó:
Tập hợp các hệ tọa độ afin trong mặt phẳng được chia làm hai lớp tương đương.
Hai hệ tọa độ thuộc cùng lớp khi và chỉ khi chúng cùng hướng (suy ra chúng thuộc
hai lớp khác nhau khi và chỉ khi chúng ngược hướng). Ta quy ước gọi các hệ tọa
độ thuộc một lớp này là hệ tọa độ thuận (hay hệ có hướng thuận), còn các hệ tọa độ
thuộc lớp kia là hệ tọa độ nghịch (hay hệ có hướng nghịch). Khi đó mặt phẳng
được gọi là mặt định hướng. Ta thường lấy làm hệ tọa độ thuận (h.13) và hệ tọa độ
nghịch (h.14) tương ứng cùng hướng với một hệ trong hình dưới đây:


Hệ tọa độ thuận

Hệ tọa độ nghịch
r
i

r
j

r
i

r
j

Phép tịnh tiến hệ tọa độ

Đổi hệ tọa độ afin

(

r r
O; i; j

)

thành

gọi là phép tịnh tiến trong hệ tọa độ vectơ

(

r ur
O '; i '; j '

)

, tức

r uuuu
r
v = OO ' = ( p; q )

r r
ur
r
i ' = i = (1; 0), j ' = j = (0;1)
Nên biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là

 x = x '+ p

 y = y '+ q

Ma trận của phép biến đổi hệ tọa độ đó là:
3. Tâm tỉ cự
3.1. Định nghĩa

r r ur
r
i ' = i, j ' = j

( *)

1
A=
0

0
÷
1

Ta có:


Cho hệ n điểm

A1 , A2 ,..., An

và cho n số

Điểm M được gọi là tâm tỉ cự của n điểm
n) nếu:

Ai

k1 , k 2 ,..., k n

mà

với n số tương ứng

k1 + ... + kn ≠ 0

ki

.

( i = 1, 2,…,

uuuu
r r
∑ ki MAi = 0
n

i =1

Trong trường hợp
của hệ điểm

Ai

k1 = k2 = ... = k n ≠ 0

thì điểm M như thế được gọi là trọng tâm

. Khi đó ta có :

uuuu
r r
∑ MAi = 0
n

i =1

Trọng tâm của hệ hai điểm chính là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
Trọng tâm của hệ ba điểm không thẳng hang A, B, C là trọng tâm tam giác ABC,
theo nghĩa đã biết là giao điểm ba đường trung tuyến.

Ai

Nếu cho biết tọa độ các điểm
là
tỉ cự M phải thỏa mãn điều kiện:

( xi ; yi )

, (i = 1,…, n) thì tọa độ (x; y) của tâm

 k1 ( x1 − x ) + k 2 ( x2 − x ) + ... + kn ( xn − x ) = 0

k1 ( y1 − y ) + k2 ( y2 − y ) + ... + kn ( yn − y ) = 0


Suy ra:

k1 x1 + k2 x2 + ... + kn xn

x
=

k1 + k2 + ... + kn


 y = k1 y1 + k2 y2 + ... + kn yn

k1 + k2 + ... + kn

với

k1 + k2 + ... + kn ≠ 0

3.2 Chia đoạn thẳng theo tỉ số k
Định nghĩa: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng,

A≠ B

. Số k được gọi là tỉ số đơn

uuu
r
uuu
r
CA = kCB

k ≠1

của bộ ba điểm thẳng hàng có thứ tự (A, B, C) nếu
(với
). Khi
đó ta còn nói: điểm C chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k và kí hiệu (A, B, C) = k

uuu
r
uuu
r
CA = kCB

uuu
r uuu
r r
CA − kCB = 0

Vì
nên
hệ số tương ứng là 1, -k.
Từ đó, nếu

, vậy C là tâm tỉ cự của hai điểm A, B với hai

A = ( x1; y1 ); B = ( x2 ; y2 )


x=



y =



x1 − kx2
1− k
y1 − ky2
1− k

với

thì tọa độ (x; y) của điểm C là:

k ≠1

Nếu k > 0 ta gọi C là điểm chia ngoài đoạn thẳng AB theo tỉ số k, còn nếu k<0 ta
gọi C là điểm chia trong đoạn thẳng AB theo tỉ số k.

uuur
uuur
MA = − MB

Nếu M là trung điểm của AB thì
trung điểm M của đoạn thẳng AB là:

tức là k = -1, ta có tọa độ (x; y) của


x1 + x2

x
=

2

 y = y1 + y2

2
II. Hệ tọa độ trực chuẩn trong mặt phẳng
1. Hệ tọa độ trực chuẩn
1.1 Định nghĩa

(

r r
O; i; j

)

(

r r

i; j

)

Hệ tọa độ afin
có cơ sở vectơ
gồm hai vectơ đơn vị
vuông góc với nhau được gọi là tọa độ trực chuẩn ( hệ tọa độ Đề các vuông)

u
r uu
r
2
i = j2 = 1

và

rr
i. j = 0

Chú ý: Những tính chất đúng đối với hệ tọa độ afin cũng đúng đối với hệ tọa độ
trực chuẩn. Ngược lại hệ tọa độ trực chuẩn có những tính chất riêng không còn
đúng trong một hệ tọa độ afin bất kì.
1.2 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong hệ tọa độ trực chuẩn

Cho trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxy, hai vectơ
Khi đó:

r
r

u = ( x; y ) v = ( x '; y ' )

r
r
r r
r
r
u = xi + y j v = x ' i + y ' j
rr
r
r
r
r
u.v = ( xi + y j )( x ' i + y ' j )

u
r
uu
r
rr
2
2
= xx ' i + yy ' j + 2 xyi j


Vì

ur uu
r
rr

2
2
i = j = 1 i. j = 0

nên

rr
u.v = xx '+ yy '

Suy ra:

a) Nếu

r
u = ( x; y )

r2
u = x2 + y 2

thì

b) Nếu M = (x;y) và N

( x '; y ' )

MN =

2

+ ( y − y ')

2

thì:

ur
u ' = ( x '; y ' )

r
u = ( x; y )

( x − x ')

c) Nếu
và
tạo bởi hai vectơ đó được tính bởi công thức:

là hai vectơ khác

r
0

thì góc

α

xx '+ yy '

cos α =

x2 + y 2

x '2 + y ' 2

1.3 Đổi hệ tọa độ trực chuẩn
Mục tiêu trực chuẩn cũng là mục tiêu của afin, ta có công thức đổi từ mục
tiêu

(

r r
O; i; j

)

sang mục tiêu

 x = ax '+ cy '+ p

 y = bx '+ dy '+ q

Trong đó

r
i'

(

r ur
O '; i '; j '

:

(*)

r
j'
= (a; b),

)

= (c; d) và

uuuu
r
OO '

= (p; q).


Ở đây, các mục tiêu là trực chuẩn nên:

a 2 + b 2 = 1, c 2 + d 2 = 1

Từ

đẳng

thức

c = cos θ , d = sin θ

Do đó: ac + bd = 0

⇔θ =α +

và

Nếu

 cos α
A=
 sin α

, tức là:

từ

,

ta

có

thể

c2 + d 2 = 1

tìm
tìm

được
được

góc
góc

α

θ

sao

cho

sao

cho

.

⇔ cos ( θ − α ) = 0

π
+ k 2π
2

θ =α +

và

r ur
i '. j ' = 0

và ac + bd = 0. (*)

a 2 + b2 = 1

a = cos α , b = sin α

uur uuu
r
2
i ' = j '2 = 1

θ =α +
hoặc

π
+ k 2π
2

thì

3π
+ k 2π
2

c = cos θ = − sin α

và

d = sin θ = cos α

, do đó:

− sin α 
÷
cos α 

Ta có detA=1.

Công thức đổi tọa độ:

θ =α +
Nếu

 x = x 'cos α − y 'sin α + p

 y = x 'sin α + y 'cos α + q

3π
+ k 2π
2

thì

c = cos θ = sin α

và

(I)

d = sin θ = − cos α

, do đó:


 cos α
A=
 sin α

sin α 
÷
− cos α 

Ta có detA= - 1.

Công thức đổi tọa độ:

 x = x 'cos α + y 'sin α + p

 y = x 'sin α − y 'cos α + q

Vậy đổi mục tiêu trực chuẩn

(

r ur
O '; i '; j '

)

r r
O; i; j

(

)

(II)

sang mục tiêu trực chuẩn mới

, ta có hai dạng công thức trên đây.

*) Một số trường hợp đặc biệt:
Phép quay hệ tọa độ quanh gốc tọa độ (h.18)
r r
O; i; j
Đổi mục tiêu trực chuẩn
sang mục tiêu trực chuẩn mới

(

)

tức O’ = O gọi là phép quay hệ tọa độ một góc

α =

góc

(

r r
i +i' , θ =

)

góc

(

r r
i + j'

Hai mục tiêu trực chuẩn cũ
thức đổi tọa độ:

(

)

θ =α +
với

r r
O; i; j

 x = x 'cos α − y 'sin α

 y = x 'sin α + y 'cos α

)

và mới

(I)

α ≠0

r ur

( O '; i '; j ')

,

, ở đó

π
+ k 2π
2

(

r ur
O '; i '; j '

)

là cùng hướng, có công


Đổi mục tiêu trực chuẩn

r r ur
r
i ' = i, j ' = − j

với

Ta có:

(

)

α+

3π
+ k 2π
2

sang mục tiêu trực chuẩn mới

r ur
α = 0, cos α = 1, sin α = 0, θ = i '; j '

(

)

r r

 cos α
A=
 sin α

(

r ur
O '; i '; j '

)

,

(h.19)

nên mục tiêu trực chuẩn
khác hướng nhau.

Vậy

r r
O; i; j

( O; i; j )

=

và mục tiêu trực chuẩn mới

r ur

( O '; i '; j ')

;

là

sin α   1 0 
÷= 
÷
− cos α   0 −1

Công thức đổi tọa độ:

 x = x'

y = −y '

(II)

III. Hệ tọa độ afin và hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian
1 Hệ tọa độ afin trong không gian
1.1

Định nghĩa

rr r
i, j , k
Trong không gian cho một điểm O và ba vectơ

rr r
(O, i, j , k )
đó
gian.
1.2

không đồng phẳng. Khi

được gọi là một mục tiêu afin, hay một hệ tọa độ afin trong không

Tọa độ afin của vectơ và của điểm trong không gian
Ta có các tính chất sau đây trong hệ tọa độ afin:


( x '; y '; z ')
+ Nếu M = (x; y; z) và N =

thì:

uuuu
r uuur uuuu
r
MN = ON − OM = ( x '− x; y '− y; z '− z)

+ Nếu

r
u = ( x; y; z )

và

r
v = ( x '; y '; z ')

thì:

r r
u + v = (x + x ', y+ y ', z + z ')

,

r
ku = (kx; ky; kz ), k ∈

+ Nếu

r r
kv = u , k ≠ 0

r
u

= (x; y; z) và

Suy ra các tọa độ của chúng tỉ lệ

1.3

r
v = ( x '; y '; z ')

khác

x: x' = y: y' = z: z'

r
0

và cộng tuyến thì

.

Đổi hệ tọa độ afin trong không gian

rr r
(O, i, j , k )
Giả sử đối với hệ tọa độ

(a1 ; b1; c1 ), (a2 ; b2 ; c2 ), (a3 ; b3 ; c3 )
Do đó ta có:

r ur uu
r
i ', j ', k '
, các vectơ

và điểm

lần lượt có tọa độ là

O' = (a0 ; b0 ; c0 )


r
r
r
r
i ' = a1 i + b1 j + c1 k ;
r
r
r
r
j' = a2 i + b2 j + c2 k ;
ur
r
r
r
k' = a3 i + b3 j + c3 k ;
uuuur
r
r
r
OO ' = a0 i + b0 j + c0 k ;
uuuur
r
ur

uu
r
O'M = x ' i ' + y ' j ' + z ' k '
Nên ta có:

uuuur
r
r
ur
O'M = (a1 x '+ b2 y '+ a3 z ')i ' + (b1 x '+ b2 y '+ b3 z ') j' + (c1 x '+ c2 y '+ c3 z ')k'

Mặt khác:

uuuur uuuu
r uuuu
r
r
r
r
O 'M = OM − OO ' = ( x − a0 )i + (y− b0 ) j + (z − c0 ) k

Từ (1) và (2):

 x = a1 x '+ a2 y'+ a3 z'+ a0

 y = b1 x '+ b2 y'+ b3 z'+ b0
 z = c x '+ c y'+ c z'+ c
1
2
3

0


(1)

(2)

(3)

Công thức (3) được gọi là công thức đổi mục tiêu hay đổi tọa dộ afin (trong
không gian). Các hệ số trong (3) được viết thành bảng số dưới đây:

 a1

A =  b1
c
 1

a2
b2
c2

a3 
÷
b3 ÷
c3 ÷


Và được gọi là ma trận của phép biến đổi mục tiêu (3)

2. Hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian:
2.1. Định nghĩa:

rr r
(O, i, j , k )
Nếu mục tiêu afin

rr r
(i, j , k )
có cơ sở vectơ

gồm những vectơ đơn vị

ur uu
r uu
r
2
2
i = j = k2 =1

rr r r rr
i. j = j.k = i.k = 0

và đôi một vuông góc, tức là:
và
đó được gọi là mục tiêu trực chuẩn hay hệ tọa độ trực chuẩn.

thì mục tiêu

2.2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng đối với hệ tọa độ trực chuẩn trong
không gian

rr r
(O, i, j, k )
Cho mục tiêu trực chuẩn

rr r
(i, j , k )
có cơ sở vectơ

ur uu
r uu
r
2
2
i = j = k2 =1

và

r r
u, v
Các vectơ

:

có các tọa độ trực chuẩn:

r
r

u = ( x; y; z ); v = ( x '; y '; z ')

Ta chứng minh được các công thức sau:
+ Tích vô hướng:

rr
u.v = xx '+ yy '+ zz '

r
u = x2 + y 2 + z 2

r
u ( x; y; z )
+ Độ dài vectơ
+ Gọi
có:

α

là

r
u ( x; y; z )
là góc giữa hai vectơ

cos α =

r
v( x '; y '; z ')
và

xx '+ yy '+ zz '
x 2 + y 2 + z 2 x '2 + y '2 + z '2

đều khác

r
0

thì ta


Suy ra nếu M = (x;y;z) và N =

( x '; y '; z ')

thì khoảng cách MN là:

MN = ( x − x ') 2 + ( y − y ') 2 + ( z − z ') 2
2.3. Đổi hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian:

rr r
(O, i, j , k )
Cho hai hệ tọa độ trực chuẩn

rr r
(O, i, j , k )
hệ

ta có:

r ur uu
r
(O, i ', j ', k ')
và

. Khi đó, nếu đối với

r
ur
uu
r
i ' = ( a1 ; b1 ; c1 ) , j ' = ( a2 ; b2 ; c2 ) , k ' = ( a3 ; b3 ; c3 )

thì:

a12 + b12 + c12 = a2 2 + b2 2 + c2 2 = a32 + b32 + c32 = 1

và

a1a2 + b1b2 + c1c2 = a2 a3 + b2b3 + c2 c3 = a3 a1 + b3b1 + c3c1 = 0
rr r
(O, i , j , k )

Ví dụ 3. Đổi mục tiêu trực chuẩn

r ur uu
r
(O, i ', j ', k ')
thành hệ

cho quay các trục Ox và Oy quanh một trục Oz một góc

α

bằng cách
:

rr r
(O, i , j , k )
Suy ra, đối với hệ

có:

r
r
r
i = (cos α ;sin α ; 0), j = (− sin α ;cos α ;0), k = (0;0;1)

r 2 r 2 ur 2
i ' = j' = k' = 1

và

r r uuruu
r uruu
r
i. j = j '.k ' = i'.k ' = 0

. Thử lại có

và ma trận đổi tọa độ là:

 x = x 'cos α − y 'sin α

 y = x 'sin α + y 'cos α

z = z'



2.4. Tích có hướng:

r
a

Định nghĩa: Cho hai vectơ bất kì

rr r
(O, i, j , k )

chuẩn

là

r
r r

u =  a; b 

- Nếu

và

r
b

của không gian với hệ mục tiêu trực

. Tích có hướng của hai vectơ

r
a

và

r
b

là một vectơ

r
u

, kí hiệu

, được xác định như sau:

r r
a=0

hoặc

r r
b=0

thì

r r
r
 a; b  = 0
 

r r
a, b
- Nếu

khác vectơ không thì:

r r
 a; b 
 

i. Vectơ

ii. Bộ ba

(

r

a

vuông góc với

r r r
a, b, u

)

và

cùng hướng với bộ ba cơ sở vectơ

tiêu trực chuẩn

.

r r
r r
r r
 a; b  = a . b .sin a; b
 

( )

Các tính chất :

1.

2.

tức là

r r r
r r r
 a; b  .a =  a; b  .b = 0
 
 

rr r
(i, j , k )

rr r
(O, i, j , k )

iii.

r
b

r r
r r
 a; b  = − b; a 
 
 

r r
r r
 k a; b  = k  a; b 



 

với mọi

k∈

của hệ mục


3.

r r r
r r
r r
 a; b + c  =  a ; b  +  a ; c 

    
rr r
(O, i, j, k )

Ví dụ 4. Trong mục tiêu trực chuẩn

hướng ta có:

rr
r r
r r
i; i  =  j; j  , =  k ; k  = 0,
    



, theo các tính chất của tích có

rr
r r r r rr r
i; j  = k  j; k  = i  k ; i  = j
 

  

Biểu thức tọa độ của tích có hướng

rr r
(O, i, j , k )
Trong hệ trong hệ tọa độ trực chuẩn

r
r
u ( x; y; z ), v( x '; y '; z ')

cho các vectơ

, tức là:

r
r r
r
u = xi + y j + z k ,
r

r
r
r
v = x ' i + y ' j + z ' k.

Khi đó:

r r
r r
r
r
r
r
u; v  =  xi + y j + z k ; x ' i + y ' j + z ' k  .
  


(

)(

)

Áp dụng tính chất phân phối ta có:

r r
rr
rr
rr
rr

r r
r r
u; v  = xx ' i; i  + xy ' i; j  + xz ' i; k  + yx '  j ; i  + yy '  j ; j  + yz '  j ; k 
 
 
 
 
 
 
 
rr
r r
r r
+ zx '  k ; i  + zy '  k ; j  + zz '  k ; k 
rr r
(O, i, j , k )
Vì

là mục tiêu trực chuẩn nên:


rr
r r
r r
rr
r r r r rr r
i; i  =  j; j  , =  k ; k  = 0, i; j  = k  j; k  = i  k ; i  = j
    

 


  

Suy ra:

Vậy

r r
r
r
r
r
r
r
u; v  = xy ' k − xz ' j − yx ' k + yz ' i + zx ' j − zy ' i
 
r
r
r
= ( yz '− zy ')i + ( zx '− z ' x) j + ( xy '− yx ')k

r r  y z z x x y
u ; v  = 
;
;
÷.
 
y
'
z

'
z'
x'
x'
y'



2.5.Tích hỗn hợp của ba vectơ

rr r
(O, i, j , k )
Định nghĩa: Trong không gian với mục tiêu trực chuẩn

r r r
a; b; c
. Tích vô hướng

r r r
 a; b  .c
 

của vectơ

hỗn hợp của bộ ba vectơ có thứ tự

(

r r r
a; b; c

Các hệ quả suy từ định nghĩa:

(

(

r r r
r r r
r r r
a, b, c = b, c, a = c, a, b

(

r r r
r r r
a , b , c = − b, a , c

(

r r r
r r r
k a , b, c = k a , b , c

) (
)

) (

(

)

(

)

)

)

với mọi

k∈

r uu
r r r
r r r
uu
r r r
a + a ', b, c = a, b, c = a ', b, c

) (

) (

)

)

r r
 a; b 
 

với vectơ

, ký hiệu

cho ba vectơ

r
c

được gọi là tích

r r r r r r
 a; b  .c = a; b; c
 

(

)


Biểu thức tọa độ của tích hỗn hợp

rr r
(O, i, j , k )
Trong mục tiêu trực chuẩn

cho ba vectơ:

r
r
r
r r
r
r
r ur
r
r
r
u = xi + y j + zk , v = x ' i + y ' j + z ' k , w = x '' i + y '' j + z '' k .
Khi đó:

(

r r ur
r r ur y z
z x
x y
u , v, w = u; v .w =
.x "+
. y"+
.z"
y' z'
z' x'
x' y'

)

x y z
= x' y' z'
x" y" z"

(

x y z
r r ur
u , v, w = x ' y ' z '
x" y" z"

)

Vậy
Ứng dụng:
Tính diện tích, thể tích.
Giả sử trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz của không gian, các điểm A, B, C, D có
tọa độ tương ứng là

( xi , yi , zi ) , i = 1, 2,3, 4

AB ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 );
AC ( x3 − x1 , y3 − y1 , z3 − z1 );
AD( x4 − x1 , y4 − y1 , z4 − z1 );
Diện tích tam giác:

. Ta có:

S ABC =
1
=
2

r uuur
1 uuu
 AB; AC 

2

y2 − y1

z2 − z1

y3 − y1

z3 − z1

2

+

z2 − z1

x2 − x1

z3 − z1

x3 − x1

2

+

x2 − x1

y2 − y1

x3 − x1

y3 − y1

Đặc biệt, nếu A, B, C nằm trong mặt phẳng Oxy, tức z = 0, thì ta có:

S ABC =

1 x2 − x1
2 x3 − x1

y2 − y1
y3 − y1

Thể tích tứ diện:

1 uuur uuur uuur
VABCD =
AB, AC , AD
6
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

1
= x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1
6
x4 − x1 y4 − y1 z4 − z1

(

)

2