skkn mục đích yêu cầu của việc dạy học phương pháp tọa độ trong mặt phẵng và trong không gian

MỤC LỤC

1


1. MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài:
Do hình học được đại số hoá ở mức độ cao, các đối tượng hình học trong
phương pháp tổng hợp tuy trừu tượng nhưng vẫn có chỗ tựa trực quan, khi phát
triển từ phương pháp tổng hợp sang phương pháp toạ độ, các đối tượng hình học
được đại số hoá ở mức độ cao dẫn đến nhiều học sinh có thể nhớ các biểu thức
hình thức trong hình học giải tích nhưng không giải quyết được ý nghĩa hình
học, bản chất của nó từ đó dẫn đến vận dụng máy móc hoặc không biết vận
dụngtrong các tình huống cụ thể, chính vì lý do đó tôi chọn đề tài “Mục đích yêu
cầu của việc dạy học phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian”.
1.2 Mục đích nghiên cứu:
Thực chất của việc nghiên cứu phương pháp toạ độ ở trường phổ thông là
nghiên cứu một cách thể hiện khác nhau của hệ các tiên đề hình học phẳng và
không gian vì vậy, sau khi giải các dạng toán hình học bằng cách chọn hệ toạ độ,
giáo viên cần yêu cầu học sinh tổng kết các dạng toán, hình học nào có thể giải
bằng phương pháp toạ độ để từ đó giúp học sinh có thể định hình, định hướng
được cách giải khi đứng trước bài toán hình học trong mặt phẳng và không gian.
1.3 Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu: Mục đích yêu cầu của việc dạy học phương pháp toạ
độ trong mặt phẳng và trong không gian.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp thực hành, thực nghiệm ở học sinh dạy trên các tiết học.
- Trao đổi qua mạng với đồng nghiệp.
1.5. Những điểm mới của SKKN:
Việc đưa vào hệ toạ độ để đại số hoá việc nghiên cứu hình học trong SGK
phổ thông dựa trên các kiến thức cơ sở về vectơ. Mặt khác, do hình học được đại

số hoá ở mức độ cao nên dẫn tới học sinh vận dụng máy móc hoặc không biết
vận dụng trong các tình huống cụ thể, do đó sẽ gặp khó khăn, sai lầm của học
sinh khi học phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và không gian. Từ đó đưa ra
một số biện pháp khắc phục, đó là những điểm mới của SKKN được thể hiện ở
2.3.e và 2.3.f.

2


2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Thực chất của nghiên cứu phương pháp toạ độ ở trường phổ thông là
nghiên cứu một cách thể hiện khác nhau của hệ các tiên đề hình học phẳng và
không gian, việc đưa vào trục toạ độ, hệ trục toạ độ, hệ toạ độ đề các vuông góc
cho phép đặt tương ứng mỗi vectơ liên tục, vectơ trong mặt phẳng và trong
không gian với một số thực, cặp số thực (x,y) và bộ số 3 số sắp thứ tự (x,y,z) từ
đó dẫn tới mỗi điểm trong mặt phẳng hay trong không gian được đặt tương ứng
với duy nhất cặp số thực sắp thứ tự (p,q) hoặc bộ ba s sắp thứ tự (p,q,r).
Khi đó đường thẳng trong mặt phẳng được hiểu là tập hợp các cặp số (x,y)
thoả mãn: Ax+By+C=0, trong đó A2+B2 ≠ 0 và C là một số còn mặt phẳng là tập
hợp các bộ ba số (x,y,z) thoả mãn Ax+By+Cz+D=0 với A 2+B2+C2 ≠0 và D là
một số.
Với cách hiểu trên chúng ta có thể tự nghiệm thấy các tiên đề của mặt
phẳng đã xét trong SGK Hình học 11 đều thoả mãn. Từ đó các kiến thức dẫn
xuất suy từ các tiên đề được trình bày bằng phương pháp toạ độ, bằng cách đại
số hoá các kiến thức bao gồm: Khái niệm về hệ toạ độ trong không gian, toạ độ
vectơ trong hệ toạ độ phẳng và không gian, toạ độ của một số và các tính chất
của chúng, toạ độ của điểm chia đoạn AB theo tỷ số k±1 vectơ pháp tuyến của
đường thẳng trong mặt phẳng, phương trình tổng quát của đường thẳng…Điều
kiện đồng phẳng của 3 vectơ, thể tích hình hộp…

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trước khi thực hiện đề tài, tôi đã khảo sát chất lượng của học sinh thông
qua việc kiểm tra bài toán:
Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1 Các điểm M, N, P lần lượt là
trung điểm các cạnh AD, BB1, C1D1. Chứng tỏ rằng các mặt phẳng (MNP và
(BDC1) song song.
Đa số học sinh dựa vào dấu hiệu chứng minh hai mặt phẳng song song,
dẫn đến chất lượng bài giải của học sinh thấp, kỹ năng đứng trước một bài toán
lựa chọn phương pháp giải phù hợp yếu. Vì vậy giáo viên cần chú trọng cho học
sinh biết khai thác các phương pháp khác nhau. Đặc biệt là phương pháp tọa độ
trong mặt phẳng và trong không gian.

3


Do đó để vận dụng được điều đó chúng ta cần quan tâm rèn luyện cho học
sinh các kỹ năng sau:
2.2.1. Kỹ năng xác định toạ độ vectơ, toạ độ của điểm bằng cách sử dụng
toạ độ vectơ hoặc hình chiếu vuông góc trên các trục hệ toạ độ phẳng hay không
gian.
2.2.2. Kỹ năng lập các dạng phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
hay không gian.
Lập phương trình mặt phẳng, lập phương trình các đường thẳng, mặt
phẳng nhờ khái niệm tính chất của chùm đường thẳng trong mặt phẳng hoặc
chùm mặt phẳng trong không gian.
2.2.3. Các kỹ năng về xác định khoảng cách, xác định góc giữa các yếu tố
trong mặt phẳng và trong không gian.
2.2.4. Kỹ năng lập phương trình đường tròn theo yếu tố tâm, bán kính,
điều kiện tiếp xúc với đường thẳng và đường tròn tính phương tích của một
điểm đối với đường tròn.

2.2.5. Các kỹ năng lập phương trình chính xác của các đường cônic theo
các yếu tố xác định chúng: trục lớn, tiêu cự, tiêu điểm tâm sai, trục đối xứng,
đường chuẩn.
2.2.6. Các kỹ năng viết phương trình tiếp tuyến của các đường cônic qua
điểm thuộc cônic và qua điểm không thuộc cônic.
2.2.7. Các kỹ năng lập phương trình mặt cầu, xác định tâm và bán kính,
lập phương trình tiếp diện của mặt cầu.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết
vấn đề:
Dự tính đến đặc thù nội dung kiến thức về phương pháp toạ độ trong mặt
phẳng và không gian, thực tiễn dạy học nội dung ở trường phổ thông và một số
quan điểm đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay, chúng ta quan tâm một
số vấn đề cơ bản về phương pháp dạy học sau đây.
a) Đảm bảo sự cân đối cho học sinh nắm vững các mặt cú pháp và ngữ
nghĩa trong việc dạy học các nội dung kiến thức về phương pháp toạ độ, viec sử
dụng toạ độ để nghiên cứu hình học thực chất là sử dụng công cụ đại số để nhiên
cứu hình học. Mặt cú pháp được thể hiện rõ ở đây là việc sử dụng các ngn ngữ

4


hình thức, các biểu thức đại số hình thức để diễn tả các đối tượng, cácquan hệ
hình học, chẳng hạn:
ur r r
Khi diễn đạt điều kiện đồng phẳng của ba vectơ a,b,c học sinh cần nắm
r r r

a;b
biểu thức hình thức   .c = 0 , trong đó:
r r r  y1 z1 z1 x1 x1 y1 

a;b  .c = 
;
;
÷
 
y2
z2
z2
x2
x2 y2 

r
r
a
=
x
,
y
,z
b
Với
( 1 1 1 ) và = ( x 2 , y2 ,z 2 )
Chúng ta có thể phân tích để học sinh tháy rõ ý nghĩa hình học của biểu thức là
r r r
 a;b  .c = 0 như sau:
 
urr r
Ký hiệu m,n,p lần lượt là 3 đường thẳng chứa a,b,c ; ∆ là đường thẳng chứa
r
rr

v = a.b  , do

r r
 v ⊥ a
∆ ⊥ m
r
r
nên


∆ ⊥ n
 v ⊥ b

rr
Và do v.c = 0 nên ∆⊥p

Suy ra 3 đường thẳng m,n,p cùng song song với mặt phẳng (α) mà α⊥∆ nên 3
urr r
vectơ a,b,c đồng phẳng.
Như vậy khi dạy học phương pháp toạ độ có thể xảy ra 2 khuynh hướng
sau:
+ Khuynh hướng thứ nhất là chỉ chú trọng rèn luyện cho học sinh giải
toán trên các biểu thức hình thức (các bài toán trong nội bộ phương pháp toạ
độ), ít quan nắm các ý nghĩa hình học.
+ Khuynh hướng thứ hai là chỉ coi trọng nội dung hình thức, coi nhẹ các
dạng toán trong nội bộ phương pháp toạ độ thì học sinh không biết dịch bài toán
sang ngôn ngữ hình thức, ngược lại nếu không chú trọng ngữ nghĩa thì học sinh
không biết dịch bài toán sang ngôn ngữ hình thức (chuyển bài toán thuần tuý
sang bài toán trong nội bộ toạ độ), từ đó ảnh hưởng lớn đến việc rèn luyện kỹ
năng giải toán bằng toạ độ của học sinh.

Do đó để khắc phục các khuynh hướng nêu trên khi dạy học chủ đề
phương pháp toạ độ trong không gian cần chú trọng:
- Khắc sâu ý nghĩa hình học của các hệ thức, biểu thức toạ độ hình thức;

5


- Chú trọng cho học sinh được luyện tập đảm bảo cân đối giải các bài toán
trong nội bộ phương pháp toạ độ đã cho trước hệ toạ độ và các biểu thức toạ độ
biểu thị quan hệ giữa các đối tượng hình học và các dạng toán hình học cần chọn
hệ toạ độ, chẳng hạn:
 x = 1 + 2t
Ví dụ 1: Cho đường thẳng có phương trình tham số 
 y = −5 + 3t
Trong các điểm sau đây, điểm nào thuộc đường thẳng đó, điểm nào không:
A(1,1); B(5,1); C(3,1); D(3,-2); E(201,295).
Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng đó với các trục toạ độ.
Bài toán trên thuộc dạng toán trong nội bộ phương pháp toạ độ.
VD2: Cho hình lập phương ABCDA 1B1C1D1, các điểm M, N, P lần lượt là
trung điểm các cạnh AD, BB1, C1D1. Chứng tỏ rằng các mặt phẳng (MNP)
và (BDC1) song song.
Bài toán trên có thể giải bằng phương pháp toạ độ, khi giải bài toán trên
học sinh cần biết chọ hệ trục toạ độ trong không gian.
Để đơn giản có thể xét cạnh hình lập phương bằng 1 và chọn hệ trục toạ
độ sao cho A (0,0,0); D (1,0,0) ; B (0,1,0) và A1 (0,0,1)
Bài toán dẫn tới tìm toạ độ các điểm MINP, lập phương tính tổng quát 2mp
( MNP) và (BDC1) và sử dụng dấu hiệu hai mặt phẳng song song để xét :
A B C D
( α ) / / ( α' ) ⇔ ' = ' = ' ≠ '
A B C D

Trong đó (A,B,C) là toạ độ véc tơ pháp tuyến của ( α )
'
(A’,B’,C’) là toạ độ véc tơ pháp tuyến của ( α )
'
D và D’ là các hệ số tự do trong phương trình của ( α ) và ( α )

+ Rèn luyện cho học sinh khai thác ý nghĩa hình học của các biểu thức hình thức
thông qua việc giải thích các công tác, các hệ thức liên hệ giữa các đối tượng, hệ
thức tính toán các đại lượng hình học:

6


VD3. Công tác tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng.
uuuuur uuu
r
 M o M; U ∆ 


d(m, ∆) =
;M 0 ∈ ∆
uuu
r
U∆
M2

M

H

M0

Δ

M1

Về ý nghĩa hình học: Khoảng cách từ đểm M tới đường thẳng ∆ Chính bằng độ
dài đường cao kẻ từ M của hình bình hành MM 0M1M2. Trong đó M; M0∈∆ và
uuuuuur ur
M 0 M1 = U ∆ .Khi đó, tử số chính là diện tích của hình bình hành được dựng bởi
uuuuuur ur
M 0 M1 , U ∆ ; mẫu số là độ dài đáy của hình bình hành.
Ví dụ 4. Công tác tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
uu
r x−x
y − y1 z − z1
1
uuur uuur uuuuuur
∆1 =
=
=


a1
b1
c1
 U ∆1 ; U ∆ 2  .M1M 2
uuur uuur
là d ( ∆1; ∆ 2 ) =
uur x − x

y − y2 z − z 2
U∆ ; U∆ 
2
∆2 =
=
=
2 
 1
a2
b2
c2
Công thức trên được giải thích bằng ý nghĩa hình học như sau: khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau chính bằng độ dài đường cao của hình hộp có 2 mặt
đáy lần lượt song song chứa 2 đường thẳng trên, khi đó, tử số là thể tích của
uuuuuur uuur uuuuuur uuur
hình hộp M 2 M 3M 4M 5M1M 6 M 7 M8 với M1M8 = U ∆1 ;M 2M 3 = U ∆ 2
uuuu
r
U ∆2

M8

M7

M1
M6

M4

M5

M2

uuuu
r
U ∆2

M3

7


Còn mẫu số là diện tích đáy của hình bình hành.
Việc khai thác ý nghĩa hình học được tiến hành khi dạy học giải các bài
tập toán, việc quan tâm như vậy còn có tác dụng rèn luyện các biểu tượng không
gian cho học sinh, đồng thời học sinh sẽ không nhớ máy móc các công thức.
Ngoài những ý nghĩa trên việc khai thác ý nghĩa hình học còn là cơ hội tạo mối
liên hệ giữa dạy học chương này với chương khác trong bộ môn hình học ở
trường THPT.
Dưới đây chúng ta xét ví dụ về việc khai thác ý nghĩa hình học thông qua
việc dạy học giải các bài tập toán:
Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng khi biết phương trình tổng
quát của nó là:
2x − y + z + 5 = 0
∆:
2x − z + 3 = 0
Bằng ngôn ngữ hình thức học sinh có thể diễn đạt cách giải theo quy trình các
bước sau:
- Đặt z=t
- Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn x,y theo t
3 1


x
=
−
+ t

2 2

- Dẫn tới phương trình tham số 2x − z + 3 = 0
z = t


3
Suy ra đường thẳng ∆ đi qua M 0 (− ;2;0) và vectơ chỉ phương của ∆ là
2
r 1
u( ;2;1)
2
3
2 = y−z = z
Suy ra phương trình chính tắc:
1
2
1
2
Để khai thác ý nghĩa hình học ta có cách thứ hai tốt hơn:
Xem ∆ là giao tuyến của 2 mặt phẳng:
x+

8

(α) : 2x − y + z + 5 = 0(1)
(β) : 2x − z + 3 = 0(2)

r
(α) có véctơ pháp tuyến là u = (2, −1,1)
r
(β) có véctơ pháp tuyến là v = (2,0, −1)
r
r
Khi đó u vuông góc với mặt phẳng có phương trình (1) nên u ⊥ ∆ , tương tự
uur
r
r
r
v ⊥ ∆ . Từ đó vectơ chỉ phương u ∆ của đường thẳng ∆ vuông góc với u và v .
r
r r  −1 1 1 2 2 −1 


u
=
u,
Từ đó có thể chọn:
 v  =  0 −1 ; −1 2 ; 2 0 ÷ = (1,4,2)


2x − y = 5
Cho z=0 có thể tìm được x,y từ hệ 

2x = −3
3
Khi đó điểm M 0 (− ;2;0) ∈ ∆ . Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng ∆
2
3
là:
2 = y −1 = z
1
4
2
b) Chú trọng khai thác càng nhiều càng tốt các ứng dụng khác nhau của từng
khái niệm vào việc giải quyết, nghiên cứu các vấn đề thuộc phạm vi kiến thức
toán phổ thông.
r r
Chẳng hạn, từ định nghĩa tích có hướng của 2 vectơ a,b và các tính chất
x+

của tích vô hướng như:
r r
r r r
r
r r
r r
a,b  ⊥ a; a,b  ⊥ b và  a,b  = a . b .sin ϕ
 
 
 
r r
Với ϕ là góc giữa hai vectơ a,b có thể vận dụng giải quyết vấn đề sau:
1) Chuyển phương trình tổng quát của đường thẳng về dạng phương trình tham

số của nó (xem VD5)
2) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (p) biết (p) qua 3 điểm
A(x1 , y1 ,z1 );B(x 2 , y 2 ,z 2 );C(x 3 , y 3 ,z 3 ) không thẳng hàng.
Thật vậy, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (p) có thể chọn là:
r
uuuu
ruuur  y − y1 z 2 − z1 z 2 − z1
n =  AB;AC  =  2
;
y
−
y
z
−
z
1
3
1 z 3 − z1
 3

9

x 2 − x1 x 2 − x1
;
x 3 − x1 x 3 − x 1

y 2 − y1 
÷
y3 − y1 

Khi đó phương trình tổng quát của (p) được xác định bởi điểm A(x1 , y1 ,z1 ) và
r
vectơ pháp tuyến n .
3) Lập phương trình của mặt phẳng (p) đi qua điểm M 0 (x 0 , y0 ,z 0 ) và vectơ:
r b
n = '
b

c c
;
c' c '

a a
;
a' a'

b
÷
b' 

4) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Chẳng hạn 2 đường thẳng d,d ' tương ứng đi qua các điểm M 0 (x 0 , y0 ,z 0 ) và
ur
r
M '0 (x '0 , y'0 ,z '0 ) có vectơ chỉ phương tương ứng u = (a,b,c);u ' = (a ' ,b ' ,c ' ) chéo
r ur' uuuuuur'

nhau khi và chỉ khi  u.u  .M 0 M 0 = 0 và a : b : c ≠ a ' : b ' : c ' .
5) Viết phương trình hình chiếu của một đường thẳng lên mặt phẳng cho trước.

6) Viết phương trình của đường thẳng ∆ cho trước và cắt 2 đường thẳng chéo
nhau cho trước.
β
α
∆1

Ta lập mặt phẳng (α) chứa ∆1 và song song với d
Mặt phẳng (β) chứa ∆ 2 và song song với d

10

∆2

d


Vậy ∆ chính là giao tuyến của mặt phẳng (α) và mặt phẳng (β)
7) Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau:

Ta:
- Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆1 và có vectơ pháp tuyến
uur uuu
r uur
uur uuu
r uuur
n α =  u ∆1;u ∆  với u ∆ =  u ∆1;u ∆ 2 
- Lập phương trình mặt phẳng (β) chứa ∆ 2 và có Vectơ pháp tuyến
uu
r uuu

r uur
n β =  u ∆2 ;u ∆ 
Vậy ∆ Chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β)
8) Tính diện tích tam giác: Thể tích hình hộp, tính khoảng cách giữa hai đường
chéo nhau.
c. Chú trọng các yếu tố trực quan, đặc biệt là trực quan ảo nhờ sự hổ trợ của máy
tính điện tử thông qua việc khai thác các phần mền dạy học hình học nhằm
hướng đích, gợi động cơ hình thành khái niệm phát hiện các định lí, quy tắc.
Chẳng hạn ví dụ sau đây gọi động cơ hình thành khái niệm elip:
Khi hình thành khái niệm elip có thể xuất phát từ các tình huống thực tiễn,
chẳng hạn, các hành tinh trong hệ mặt trời chuyển động theo quy đạo là các
đường elip, có thể sử dụng phầm mền toán học đông: “The Geometeris
Sketchpad” được viết bởi Ncolas Jackiw mô tả sự chuyển động trên.
Chẳng hạn, xét bài toán sau: Tìm quỹ tích các điểm M của mặt phẳng mà
từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau tới một trong các đường sau.
x 2 y2
a. Elip
+
=1
6
3

11


x 2 y2
−
=1
b. Hyperbol
5

4
Khi gọi động cơ nhằm định hướng cho học sinh tìm tòi lối giải các bài
toán, nói riêng bài toán trên, yêu cầu học sinh xét trường hợp riêng: Nên cho
đường tròn (trường hợp đặc biệt của elip: “Tìm quỹ tích những điểm M sao cho
từ M các bẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau” Đối với học sinh khá ở
trường phổ thông đều có thể tìm được quỹ tích là đường tròn, đồng tâm với
đường tròn đã cho và có bán kính bằng R 2 . Trong đó R là bán kính đường
tròn đã cho.
M

M

R
0

Từ nhận xét trên, có thể có cơ sở để dự toán quỹ tích cần tìm có thể là
đường elip đặc biệt là đường trò. Từ đó, hướng dần học sinh cố gắng lập mối
liên hệ tọa độ M(x,y), các giao điểm của 2 tiếp tuyến vuông góc, và biến đổi về
dạng biểu thức bậc hai của x và y. Chẳng hạn, xét M(x,y) là giao của 2 tiếp
x 2 y2
+
=1
tuyến ∆; ∆ của elip
6
3
∆ : Ax + By + c = 0
'

∆ ' : A ' x + B' y + c ' = 0
Do hai tiếp tuyến vuông góc nên A’=B và B’=-A vậy M(x,y) là giao điểm của:

∆ : Ax + By + c = 0(1)
∆ ' : Bx − Ay + c' = 0(2)
∆; ∆ ' là tiếp tuyến của elip nên 6A2+3B2=C2 (4)
6B2+3A2=C’2 (5)
Từ (1) và (2) suy ra c = x − (Ax + By);c' = −Bx + Ay

12


Thay các đẳng thức cuối vào (4) và (5) ta nhận dcượ hệ thức liên hệ giữa x, y là
x 2 + y2 = 9
Vậy tập các điểm M giao của các cặp tiếp tuyến của elip vuông góc với nhau là
đường tròn x 2 + y 2 = 9 .
d) Chú trọng các dạng toán trong chương trình phổ thông có thể phối hợp
nhiều phương pháp khác nhau để giải: phương pháp tổng hợp, phương pháp
Vectơ, phương pháp toạ độ thực hiện ý tưởng trên nhằm bồi dưỡng cho học sinh
lớp 12 cách thức nhiều nhận các bài toán theo nhiều toạ độ khác nhau, tạo cơ hội
cho học sinh củng cố các phương pháp giải ϕ toán hình học. Đồng thời việc thực
hiện ý tưởng góp phần bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy biện chứng, nhìn
nhận các vấn đề trong mối quan hệ tương hộ lẫn nhau; xác lập mối liên hệ giữa
các chương, mục khác nhau theo mạch kiến thức, tổng hợp, Vectơ, toạ độ, thông
qua việc giải các dạng toán trên góp phần rèn luyện kỉ năng lựa chọ hệ toạ độ để
giải toán hình học.
VD6: Cho hình lập phương ABCH A ' B' C' D' - gọi M,N lần lượt là trung
điểm của AB và BB’
a) Chứng minh rằng MN⊥ AC’
b) Tính góc tạo bởi 2 đường thẳng MN và AC’
Lời giải:
Cách 1: Dùng phương pháp tổng hợp
Gọi 0 là trung điểm của đường chéo BC’

DM / /ON
Ta có: 
Suy ra Tứ giác MDON là hình bình hành
DM
=
ON

⇒MN//DO
⇒MN//(BDC’)
’

A
’

Mặt khác A C⊥(BDC )
Vậy MN⊥A’C

B

M
D
C

N
O

A’

D’

B’

C’

13
K


b) Xác định góc tạo bởi MN và AC’
Kéo dài B’C’ và đặt C’K=B’C’
Tứ giác ADKC’ là hình bình hành
MN / /DO
’
·
Do 
' nên góc giữa MN và AC chính là góc ODK
 DK / /AC
Giả sử cạnh của hình lập phương bằng a
Áp dụng định lý côsin cho ∆OKC’ ta có:
· 'K
OK 2 = C'K 2 + OC' 2 − 2C'K.BC' .cosOC
2

a 2
a 2
5a 2
0
= a2 + 
−
2a.

.cos45
=
÷
2
2
 2 
Mặt khác, áp dụng định lý côsin cho ∆ODK ta có:
·
OK 2 = DK 2 + DO 2 − 2DK.DO.cosKDO

(

= a 3

)

2

2

a 6
a 6
5a 2
·
+
.cosKDO =
÷ − 2a 3.
2
2
 2 

2
·
Vậy cosKDO
=
3
Cách 2: Phương pháp vectơ
r r
uuur r uuur r uuuu
a) Đặt AD = a,AB = b,AA ' = c
uuuu
r uuuu
r uuur uuur
1r r 1r
MN = MA + AB + BN = − a + b + c
2
2
uuur uuuur uuuur uuuu
r r r r
A 'C = A ' D ' + A ' B ' + A ' A = a + b − c
r r r r 1r r 1r
uuuu
r uuu
Ta có
'
⇒ MN.A C = (a + b − c)( a + b + c)
2
2
u
u

r
u
u
r
u
u
r
1
1
= − a 2 + b2 − c2
2
2
Do cạnh của hình lập phương bằng a nên:
uuuu
r uuur
1
1
MN.A 'C = − a 2 + a 2 − a 2 = 0
2
2
14


Vậy MN⊥A’C
b) Góc giữa 2 đường thẳng MN và AC’ được tính theo công thức:
uuuu
r uuur'
MN.AC
cosϕ = uuuu
r uuur' . Ta có:

MN . AC
uuuu
r uuur'  1 r r 1 r  r r r
MN.AC =  − a + b + c ÷ a + b − c
2 
 2
u
u
r
u
u
r
u
u
r
1
1
1
1
= − a 2 + b2 + c2 = − a 2 + a 2 + a 2 = a 2
2
2
2
2
uuuuu
r 1 uu
r uu
r 1 uu
r 1
1

3
MN 2 = a 2 + b 2 + c 2 = a 2 + a 2 + a 2 = a 2
4
4
4
4
2

(

Từ đó: MN =

)

a 6
;AC' = a 3
2

a2
2a 2
2
= 2
=
Vậy
3
a 6
a 18
.a 3
2
Cách 3: Dùng phương pháp toạ độ.

- Chọn hệ toạ độ sao cho A ’(0,0,0); B’(1,0,0); A(0,0,1) với giả thiết cạnh của
hình lập phương bằng 1.
a) Chứng minh MN⊥A’C
cosϕ =

1
1
Ta có: A 'C = (1,1,1);M(0, ,1); N(1,0, )
2
2
uuuu
r
1 1
Suy ra: MN = (1, − , − )
2 2
u
u
u
r
uuuu
r
1 1
Ta có: MN.A 'C = 1 − − = 0
2 2
r
uuuu
r uuu
Vậy MN ⊥ A 'C
b) Xác định góc giữa 2 đường thẳng AC’ và MN
uuur

Ta có A(0,0,1), C’(1,1,0) suy ra A 'C = (1,1, −1)
Gọi ϕ là góc giữa 2 đường thẳng AC’ và MN

15


1−
Ta có cosϕ =

1 1
+
2 2

1
1
12 + 12 + ( −12 ). 1 + (− ) 2 + (− ) 2
2
2

1

=

3.

3
2

=

2
3

Tuy nhiên, việc ý thức cho học sinh giải bằng các phương pháp khác nhau sẽ
góp phần củng cố thường xuyên các kiến thức, kỹ năng giải toán và hỗ trợ tốt
hơn cho việc nắm các kiến thức về phương pháp toạ độ. Sau khi giải các dạng
toán hình học bằng cách chọn hệ trục toạ dộ giáo viên cần yêu cầu học sinh tổng
hợp các dạng toán hình học nào có thể giải bằng phương pháp toạ độ, có thể rút
ra các kết luận bổ ích như sau:
- Các dạng toán xét các tính chất “Afin”, tính chất về lượng xét trong các mô
hình lập phương; hình hộp chữ nhật, hình tứ diện vuông.
- Các dạng toán xét các tính chất quan hệ giữa các yếu tố trong mô hình tứ dienẹ
có thể nội tiếp trong hình lập phương, hình hộp chữ nhật.
- Các dạng toán xét trên mô hình hai đờng thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau.
- Các dạng toán xét trong mô hình hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt
phẳng đáy…
e) Trong quá trình dạy học phương pháp toạ độ cũng cần chú trọng tới cho học
sinh sử dụng phương pháp toạ độ để giải quyết các bài toán thuần tuý hình học.
Khi đó cần cho học sinh nắm vững các bước giải bài toán bằng phương pháp toạ
độ.
- Bước 1: Chọ hệ trục toạ độ
- Bước 2: Phiên dịch các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ phương pháp toạ
độ
- Bước 3: Giải bài toán trong nội bộ phương pháp toạ độ
- Bước 4: Chuyển sang ý nghĩa hình học
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh là 4 2 ,
S

SC ⊥ (ABC) E và F lần lượt là trung điểm của AB và CB, SC=2. Tính góc
tạo bởi đường thẳng SF và CE.

Cách 1: Dùng phương pháp toạ độ
Chọn hệ trục toạ độ Fxyz như hình vẽ
Ta có:

z
M

F(0,0,0);B(0,2 2,0);C(0, −2 2,0)
A(2 6,0,0),E( 6, 2,0),S(0, −2 2,2)
16

F

y

C

B
E
A
x


uur
SF(0, −2 2,)
uuu
r
CE = ( 6,3 2,0)
r
Suy ra: uur uuu

SF.CE = −12
uur
uuu
r
SF = 12; CE = 24
uur uuu
r
SF.CE
12
1
=
r =
Do đó: cos(SF,CE)= uur uuu
12. 24
2
SF . CE
Vậy, góc tạo bởi đường thẳng SF và CE bằng 450.
Cách 2: Dùng phương pháp vectơ
uuu
r uuu
r 1 uuu
r uuu
r
uur uuu
r
CE
−
CS
.
(

CA
+
CB
SF.CE
2
cos(SF,CE)= uur uuu
r =
uur uuu
r
SF . CE
SF . CE

(

Ta có:

)

r uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r
1 uuur uuu
CF .CA + CF .CB − CF .CA − CF .CB
=2
uur uuu
r
SF . CE
1
2 2.4 2.cos600 + 2 2.4 2 − 0 − 0

=2
3
2 3.4 2.
2
12
1
=
=
12 2
2

Vậy, góc tạo bởi đường thẳng SF và CE bằng 450.
f. Khi phát triển từ phương pháp tổng hợp sang phương pháp toạ độ, các đối
tượng hình học được đại số hoá ở mức độ cao, dẫn đến nhiều học sinh sẽ gặp
khó khăn, sai lầm của học sinh sau khi học phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
và không gian. Biện pháp khắc phục là:
f1. Làm rõ tương ứng 1-1 giữa đối tượng, quan hệ hình học với số và phương
trình đại số;
f2. Rèn luyện kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ từ phương pháp tổng hợp sang ngôn
ngữ toạ độ và ngược lại, có 2 cấp độ:
+ Cấp độ 1: Phiên dịch những kiến thức cơ bản

17


+ Cấp độ 2: Rèn luyện kỹ năng giải bài tập hình học tổng hợp bằng phương
pháp toạ độ.
f3. Sử dụng hình ảnh trực quan khi dạy học hình học bằng phương pháp toạ độ;
f4. Cần dùng thao tác tư duy “tương tự hoá” khi mở rộng không gian 3 chiều
bằng phương pháp toạ độ.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và Nhà trường.
Qua kết quả điều tra khảo sát thực tiễn dạy và học đứng trước một bài
toán hình học tôi nhận thấy có những học sinh có khả năng dịch từ ngôn ngữ
hình học tổng hợp sang ngôn ngữ tọa độ và ngược lại. Do đó học sinh đã phân
dạng các dạng toán hình học nào có thể giải bằng phương pháp tọa độ để từ đó
giúp học sinh có thể định hình, định hướng được cách giải.
Bản thân tôi cũng rút ra những bài học kinh nghiệm trong dạy học.

18


KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
KẾT LUẬN:
Mục đích yêu cầu của việc dạy học phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
và trong không gian nhằm:
- Trang bị cho học sinh các con đường phương pháp nhằm hình thành,
khắc sâu các khái niệm, các định lý hình học và khai thác các ứng dụng kiến
thức vào các chương, mục khác nhau của hình học cũng như vận dụng chúng
vào thực tiễn.
- Cung cấp cách thức khai thác các tiềm năng kiến thức sách giáo khoa hình
học nhằm phát triển năng lực, trí tuệ và bồi dưỡng các phẩm chất tư duy cho học
sinh.
- Làm rõ những khó khăn về phương diện nhận thức hình học liên quan
đến giải quyết mối quan hệ giữa các mặt cú pháp và mặt ngữ nghĩa, giữa khả
năng dịch từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ toạ độ và ngược lại
đồng thời đưa ra những khó khăn, sai lầm của học sinh khi học phương pháp toạ
độ trong mặt phẳng và không gian, từ đó đưa ra một số biện pháp khắc phục.
KIẾN NGHỊ:
- Trong toán học nói chung và trong hình học nói riêng không có phương

pháp nào chung để giải các bài toán. Vì vậy để giúp học sinh có hứng thú học
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian, các thầy cô cần lên
phân dạng các bài toán hình học nào có thể giải bằng phương pháp tọa độ, chú
trọng cho học sinh biết khai thác các phương pháp khác nhau. Đặc biệt là giải
các dạng toán bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian.
Đề tài trên không tránh khỏi thiếu sót, rất mong sự đóng góp quý báu của
hội đồng khoa học và đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thanh Hoá, ngày 20 tháng 5 năm 2018
Xác nhận của Thủ trưởng đơn vị

Tôi xin cam đoan đây là sán kiến của mình
viết không sao chép của người khác
Người viết
Lê Thị Hoan
19


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Bá Kim - Đinh Nho CHương... Phương pháp dạy học môn Toán Phần 2 “dạy học các nội dung cụ thể” - NXB GD 1994;
2. Nguyễn Văn Lộc, Lê Mậu Thảo - Phương pháp giải toán 10,12 - NXB Đại
học quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2002.
3. Nguyễn Bá Kim - Phương pháp dạy học môn Toán- NXB ĐHSP Hà Nội
2002;
4. Đào Tam - Phương pháp dạy học Hình học ở trường THPT, NXB Đại học Sư
phạm Hà Nội 2004;
5. Văn Như Cương (Chủ biên), Tạ Mẫn - Hình học 12. NXB Giáo dục, 2000
6. SGK, SGV lớp 10,11,12.

20

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ LỢI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỤC ĐÍCH YÊU CẦU CỦA VIỆC DẠY HỌC PHƯƠNG PHÁP TOẠ
ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN

Người thực hiện: Lê Thị Hoan
Chức vụ:

Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Thị Lợi
SKKN môn:

Toán

THANH HOÁ, NĂM 2018

21