Mot so phuong trinh quy ve bac nhat va bac hai mot an

Chương 33

PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH

§ 4. Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất hoặc phương
trình bậc hai


Dạng toán 1: Phương trình bậc ba, phương trình bậc bốn
Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0, (a ≠ 0)

(∗)

— Đặt t = x2 ≥ 0 thì (∗) ⇔ at2 + bt + c = 0

(∗∗)

— Để xác định sớ nghiệm của (∗), ta dựa vào sớ nghiệm của (∗∗) và dấu của chúng,
cụ thể:

•

(∗∗) v« nghiƯm

m.
Để (∗) vơ nghiệm ⇔ (∗∗) cã nghiƯm kÐp ©
(∗∗) cã 2 nghiƯm ©
m

•

(∗∗) cã nghiƯm kÐp t1 = t2 = 0
×
Để (∗) có 1 nghiệm ⇔ 
m
(∗∗) cã 1 nghiƯm b»ng 0, nghiƯm cßn l¹i ©

•

(∗∗) cã nghiƯm kÐp d ¬ng
×
Để (∗) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 
(∗∗) cã 2 nghiƯm tr¸i dÊu

•

Để (∗) có 3 nghiệm ⇔ (∗∗) có 1 nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại dương.

•

Để (∗) có 4 nghiệm ⇔ (∗∗) có 2 nghiệm dương phân biệt.

Mợt sớ dạng phương trình bậc bớn quy về bậc hai
2

 Loại 1. ax4 + bx3 + cx2 + dx + e= 0 với

e  d
=  ÷ ≠ 0.
a  b

2


→ Phương pháp giải: Chia hai vế cho x ≠ 0, rời đặt t = x +
2

α=

α

α
⇒ t2 =  x + ÷ với
x
x


d
×
b

 Loại 2. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a+ c = b+ d.

→ Phương pháp giải: (x + a)(x + c) ×(x + b)(x + d) = e

⇔  x2 + (a+ c)x + ac × x2 + (b+ d)x + bd = e và đặt t = x2 + (a+ c)x.

. = cd
..
 Loại 3. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = ex2 với ab
2


→ Phương pháp giải: Đặt t = x + ab +

a + b+ c + d
×x thì phương trình
2


a+ b − c − d   a + b− c − d 
⇔ t +
×x÷× t −
×x÷ = ex2 (có dạng đẳng cấp)
2
2

 


 Loại 4. (x + a)4 + (x + b)4 = c

→ Phương pháp giải: Đặt x = t −

 Loại 5. x4 = ax2 + bx + c

a+ b
a− b
⇒ (t + α )4 + (t − α )4 = c với α =
×
2
2

(1)


→ Phương pháp giải: Tạo ra dạng A 2 = B2 bằng cách thêm hai vế cho mợt lượng
Trang
1/15


2k.x2 + k2 , tức phương trình (1) tương đương:
(x2 )2 + 2kx2 + k2 = (2k + a)x2 + bx + c + k2 ⇔ (x2 + k)2 = (2k + a)x2 + bx + c + k2.

2k + a > 0
⇒ k= ?
2
2
∆ VP = b − 4(2k + a)(c + k ) = 0

Cần vế phải có dạng bình phương ⇒ 
 Loại 6. x4 + ax3 = bx2 + cx + d

(2)


→ Phương pháp giải: Tạo A 2 = B2 bằng cách thêm ở vế phải 1 biểu thức để tạo ra dạng
2


 2 a


a2  2
4
3
2
x
+
x
+
k
=
x
+
ax
+
2
k
+
bình phương: 

÷x + kax + k . Do đó ta sẽ cộng thêm hai vế
÷
2
4






của phương trình (2) một lượng:  2k +



a2  2
2
÷x + kax + k , thì phương trình
4

2



a
 
a2
(2) ⇔  x2 + x + k÷ =  2k + + b÷x2 + (ka+ c)x + k2 + d.
2
4

 


a2
2k + + b > 0
4

⇒ k= ?
Lúc này cần số k thỏa: 
2
∆ = (ka+ c)2 − 4 2k + a + b÷(k2 + d) = 0
 VP

4



 Lưu ý: Với sự hổ trợ của casio, ta hoàn toàn có thể giải được phương trình bậc bốn bằng
phương pháp tách nhân tử. Tức sử dụng chức năng table của casio để tìm nhân tử bậc hai,
sau đó lấy bậc bốn chia cho nhân tử bậc hai, thu được bậc hai. Khi đó bậc bốn được viết
lại thành tích của 2 bậc hai.
Phân tích phương trình bậc ba bằng Sơ đồ Hoocner
Khi gặp bài toán chứa tham số trong phương trình bậc ba, ta thường dùng nguyên tắc nhẩm
nghiệm sau đó chia Hoocner.
— Nguyên tắc nhẩm nghiệm:
• Nếu tổng các hệ số bằng 0 thì phương trình sẽ có 1 nghiệm x = 1.
•
Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì PT có 1 nghiệm
x = −1.
•
Nếu phương trình chứa tham số, ta sẽ chọn nghiệm x sao cho triệt tiêu đi
tham số m và thử lại tính đúng sai.
— Chia Hoocner: đầu rơi – nhân tới – cộng chéo.

Câu 1. Phương trình
A. a ¹ 0 .

b
= a có nghiệm duy nhất khi:
x +1
B. a = 0 .
C. a ¹ 0 và b ¹ 0 .
Hướng dẫn giải

D. a = b = 0 .

Chọn C.
Điều kiện: x ¹ - 1
b
= a ( 1) Û a ( x +1) = b Û ax = b - a ( 2)
Phương trình
x +1
Phương trình ( 1) có nghiệm duy nhất
Û Phương trình ( 2) có nghiệm duy nhất khác - 1
ìï a ¹ 0
ìï a ¹ 0
ìï a ¹ 0
ï
Û ïí b - a
Û ïí
Û ïí
.
ïï
ïïî b ¹ 0
¹ 1 ïïî b - a ¹ a
ïî a
3
3x
=
Câu 2. Tập nghiệm của phương trình 2 x +
là :
x- 1 x- 1
Trang

2/15


ïì 3 ïü
A. S = í 1; ý.
ïîï 2 ïþ
ï

B. S = {1} .

ïì 3 ïü
C. S = í ý.
ïîï 2 ïþ
ï
Hướng dẫn giải

D. S = Æ.

Chọn C.
Điều kiện: x ¹ 1
3
3x
Û 2 x ( x - 1) + 3 = 3 x Û 2 x 2 - 5 x + 3 = 0 Û
=
Phương trình 2 x +
x- 1 x- 1
ì 3ü
Vậy S = ïí ïý.
ïîï 2 ïþ
ï

Câu 3. Tập nghiệm của phương trình

( m2 + 2) x + 3m
x

ïì 3 ïü
A. T = í - ý .
ïîï m ïþ
ï
C. T = ¡ .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Điều kiện: x ¹ 0

éx = 1 ( l )
ê
ê 3
.
êx = ( n)
ê
ë 2

= 2 trường hợp m ¹ 0 là:

B. T =Æ.
D. Cả ba câu trên đều sai.

2
Phương trình thành ( m + 2) x + 3m = 2 x Û m 2 x =- 3m

- 3
Vì m ¹ 0 suy ra x =
.
m
2
Tập hợp nghiệm của phương trình ( m + 2) x + 2m = 2 m ¹ 0 là :
(
)
Câu 4.
x
ì 2ü
A. T = ïí - ïý .
B. T = Æ.
C. T = R .
D. T = R \ { 0} .
ïï
îïï m þ
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Điều kiện: x ¹ 0
( m2 + 2) x + 2m Û m2 x =- 2m Û x = - 2
Phương trình
=2
m
x
ì - 2ü
ïý .
Vậy S = ïí
ïï
îïï m þ

Phương trình x - m = x - 2 có nghiệm duy nhất khi :
Câu 5.
x +1
x- 1
A. m ¹ 0 .
B. m ¹ - 1 .
C. m ¹ 0 và m ¹ - 1 . D. Không có m .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
ìï x ¹ 1
Điều kiện: ïí
ïïî x ¹ - 1

Phương trình ( 1) thành
x- m x- 2
=
( 1) Û ( x - m) ( x - 1) = ( x - 2) ( x +1) Û x 2 - x - mx + m = x 2 - x - 2
x +1
x- 1
Û mx = m + 2 ( 2)
Phương trình ( 1) có nghiệm duy nhất
Û Phương trình ( 2) có nghiệm duy nhất khác - 1 và 1

Trang
3/15


ìï
ïï
ïï m ¹ 0

ïï m + 2
Û í
¹ 1 Û
ïï m
ïï
ïï m + 2 ¹ - 1
ïïî m

Câu 6.

ìï m ¹ 0
ïìï m ¹ 0
ïï
ìï m ¹ 0
ï
.
í m + 2 ¹ m Û ïí 2 ¹ 0 ( ld ) Û ïí
ïï
ïïî m ¹ - 1
ïï
ïïî m + 2 ¹ - m ïïî m ¹ - 1

Biết phương trình: x - 2 + x + a = a có nghiệm duy nhất và nghiệm đó là
x- 1
nghiệm nguyên. Vậy nghiệm đó là :
A. - 2 .
B. - 1 .
C. 2 .
D. 0 .
Hướng dẫn giải

Chọn D.
Điều kiện: x ¹ 1
Phương trình ( 1) thành
x +a
x- 2+
= a Û x 2 - 3x + 2 + x + a = ax - a Û x 2 - ( 2 + a ) x + 2a + 2 = 0 ( 2)
x- 1
Phương trình ( 1) có nghiệm duy nhất

Û Phương trình ( 2) có nghiệm duy nhất khác 1 hoặc phương trình ( 2) có 2
nghiệm phân biệt có một nghiệm bằng 1
éa = 2 + 2 2
ê
ìï a 2 - 4a - 4 = 0 ìï a 2 - 4a - 4 > 0
ê
ï
ï
Û êa = 2 - 2 2
Û í
Èí
ïïî a +1 ¹ 0
ïïî a +1 = 0
ê
êa =- 1
ê
ë
Với a = 2 + 2 2 phương trình có nghiệm là x = 2 + 2
Với a = 2 - 2 2 phương trình có nghiệm là x = 2 - 2
éx = 0 ( n)
Với a =- 1 phương trình có nghiệm là ê

êx = 1 ( l ) .
ê
ë
2
mx
1
Cho phương trình:
= 3 ( 1) . Với giá trị nào của m thì phương trình ( 1) có
Câu 7.
x +1
nghiệm?
3
A. m ¹ .
B. m ¹ 0 .
2
3
3
1
C. m ¹
và m ¹ 0 .
D. m ¹
và m ¹ - .
2
2
2
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Điều kiện: x ¹ - 1
2mx - 1
= 3 Û 2mx - 1 = 3 x + 3 Û ( 2m - 3) x = 4 ( 2)

Phương trình ( 1) thành
x +1
Phương trình ( 1) có nghiệm
ìï
3
ïï m ¹
ïìï 2m - 3 ¹ 0
ï
2
Û Phương trình ( 2) có nghiệm khác - 1 Û ïí 4
Û í
.
ïï
1
¹ - 1 ïï
ïî 2m - 3
ïï m ¹ 2
ïî
Phương trình ax + b = cx + d tương đương với phương trình :
Câu 8.
A. ax + b = cx + d
B. ax + b =- ( cx + d )
Trang
4/15


C. ax + b = cx + d hay ax + b =- ( cx + d )
Hng dn gii
Chn C.
Cõu 9.

Tp nghiờm cua phng trỡnh: x - 2 = 3 x - 5 (1) l tp hp no sau õy ?
ùỡ 3 7 ùỹ
A. ớ ; ý .
ùợù 2 4 ùỵ
ù
Hng dn gii
Chn A.
Ta cú

Cõu 10.

D. ax + b = cx + d

ùỡ 3 7 ùỹ
B. ớ - ; ý.
ùợù 2 4 ùùỵ

3 ùỹ
ùỡ 7
C. ớ - ; - ý .
ùợù 4
2 ùùỵ

ùỡ 7 3 ùỹ
D. ớ - ; ý.
ùợù 4 2 ùùỵ

ộ 3
ờx =

ộx - 2 = 3 x - 5
ộ2 x = 3
ờ
x - 2 = 3x - 5 ờ
ờ
ờ 2.
ờ
ờ
ờ 7
ởx - 2 = 5 - 3 x
ở4 x = 7
ờx =
ờ
ở 4
Phng trỡnh 2 x - 4 + x - 1 = 0 cú bao nhiờu nghiờm ?
A. 0 .
Hng dn gii
Chn A.
Ta cú

B. 1 .

C. 2 .

ùỡ 2 x - 4 = 0
ùỡ x = 2
ùớ
2 x - 4 + x - 1 = 0 ùớ
( vl )
ùùợ x - 1 = 0

ùùợ x = 1
Suy ra S =ặ.
Phng trỡnh 2 x - 4 - 2 x + 4 = 0 cú bao nhiờu nghiờm ?
Cõu 11.
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
Hng dn gii
Chn D.
Ta

cú:

D. Vụ sụ.

D. Vụ sụ.

ộ2 x - 4 = 2 x - 4
2x - 4 - 2x + 4 = 0 2x - 4 = 2x - 4 2x - 4 0 ầ ờ
ờ2 x - 4 = 4 - 2 x ( vl )
ở

ỡù x 2
ùớ
x 2.
ùùợ x ẻ Ă
Vi giỏ tri no cua a thỡ phng trỡnh: 3 x + 2ax =- 1 cú nghiờm duy nhõt:
Cõu 12.
3
A. a > .

2
Hng dn gii
Chn D.

B. a <

- 3
.
2

ùỡ - 3 3 ùỹ
; ý.
C. a ạ ớ
ùợù 2 2 ùỵ
ù

D. a <

- 3
3
a > .
2
2

ộ3 x =- 1- 2ax
2ax Ê - 1 ầ
Ta cú: 3 x + 2ax =- 1 3 x =- 1- 2ax - 1- 2ax 0 ầ ờ
ờ
ở3 x = 1 + 2ax
ộ - 3

ờa <
ộ( 3 + 2a ) x =- 1 ( 2)
ờ
2
ờ
ờ( 3 - 2a ) x = 1 ( 3) . Gii hờ ny ta c ờ
ờ 3
ờ
ở
ờa >
ờ
ở 2
ộ - 3
ờa <
ờ
2
Vy phng trỡnh ( 1) cú nghiờm duy nhõt ờ
.
ờ 3
ờa >
ờ
ở 2
Phng trỡnh: x +1 = x 2 + m cú 1 nghiờm duy nhõt khi v ch khi :
Cõu 13.
Trang
5/15


A. m = 0
C. m =- 1 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.

B. m = 1 .
D. Không tồn tại giá trị m thỏa.

ìï - x 2 + x +1 khi x ³ 0
.
x +1 = x + m Û m = f ( x ) = ïí 2
ïï - x - x +1 khi x < 0
î
Biểu diễn đồ thị hàm số f ( x ) lên hệ trục tọa độ như hình vẽ bên trên. Dựa
2

vào đồ thị ta suy ra không tồn tại m để phương trình m = f ( x ) có duy nhất 1
nghiệm.
Tập nghiệm của phương trình: x - 2 = 2 x - 1 là:
Câu 14.
A. S = { - 1;1} .
Hướng dẫn giải
Chọn C.

B. S = { - 1} .

C. S = {1} .

D. S = { 0} .

x =- 1 ( l )
éx - 2 = 2 x - 1

1 é
Çê
Û x³
Ta có x - 2 = 2 x - 1 Û 2 x - 1 ³ 0 È ê
ê
ê
2 ê
ëx - 2 = 1- 2 x
ëx = 1 ( n)
Vậy S = {1}
Câu 15.

Tập nghiệm của phương trình
ìï 11 + 65 11 + 41 ü
ïï
;
A. ïí
ý.
ïï
ïï
14
10
î
þ
ìï 11 + 65 11- 65 ü
ïï
;
C. ïí
ý.
ïï

ïï
14
14
î
þ

Hướng dẫn giải
Chọn C.

x - 1 - 3x +1
=
( 1) là :
2x - 3
x +1
ìï 11- 65 11- 41 ü
ïï
;
B. ïí
ý.
ïï
ïï
14
10
î
þ
ìï 11 + 41 11 - 41 ü
ïï
;
D. ïí
ý.

ïï
ïï
10
10
î
þ

ì
3
ïìï 2 x - 3 ¹ 0 ïïï x ¹
Û í
2
Điều kiện: í
ïï
ïïî x +1 ¹ 0
x
¹
1
ïî
Phương trình (1) thành: x +1 ( x - 1) = ( - 3x +1) ( 2 x - 3)
TH1: x ³ - 1
é 11 + 65
êx =
( n)
ê
14
2
2
2
Phương trình thành x - 1 =- 6 x +11x - 3 Û 7 x - 11x + 2 = 0 Û ê

ê 11- 65
êx =
( n)
ê
14
ë

TH2: x <- 1

Trang
6/15


é 11 + 41
êx =
( l)
ê
10
2
2
2
ê
Û
Phương trình thành - x +1 =- 6 x +11x - 3 Û 5 x - 11x + 4 = 0
ê 11- 41
êx =
( l)
ê
10
ë

ìï 11 + 65 11- 65 ü
ïï
;
Vậy S = ïí
ý.
ïï
ïï
14
14
î
þ

2
Tập nghiệm của phương trình x - 4 x - 2 = x - 2 là :
Câu 16.
x- 2
A. S = { 2} .
B. S = {1} .
C. S = { 0;1} .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Điều kiện: x > 2

Ta có

x2 - 4x - 2
= x - 2 Û x2 - 4 x - 2 = x - 2 Û x2 - 5x = 0 Û
x- 2

D. S = { 5} .

éx = 0 ( l )
ê
êx = 5 ( n)
ê
ë

Vậy S = { 5} .
2
Cho x - 2 ( m +1) x + 6m - 2 = x - 2 ( 1) . Với m là bao nhiêu thì ( 1) có nghiệm duy
Câu 17.
x- 2
nhất
A. m >1 .
B. m ³ 1 .
C. m <1 .
D. m £ 1 .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Điều kiện x - 2 > 0 Û x > 2 .
( 1) Û x 2 - ( 2m + 3) x + 6m = 0 ( 2) , phương trình luôn có nghiệm là x = 3 và x = 2m

, để phường trình ( 1) có duy nhất 1 nghiệm thì 2m £ 2 Û m £ 1 .
Với giá trị nào của tham số a thì phương trình: ( x 2 - 5 x + 4) x - a = 0 có hai
Câu 18.
nghiệm phân biệt
A. a <1 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Điều kiện: x ³ a

B. 1 £ a < 4 .

C. a ³ 4 .

D. Không có a .

éx = 4
éx 2 - 5 x + 4 = 0
ê
Û êx = 1
Phương trình thành ê
êx - a = 0
ê
ë
êx = a
ë
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt Û 1 £ a < 4 .
Câu 19.

Số nghiệm của phương trình: x - 4 ( x 2 - 3 x + 2) = 0 là:
A. 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Điều kiện: x ³ 4

Câu 20.

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

éx = 4 ( n)
ê
2
ê
Phương trình thành x - 4 ( x - 3x + 2) = 0 Û êx = 1 ( l ) Û x = 4 .
ê
ê
ëx = 2 ( l )
Phương trình ( x 2 - 3x + m) ( x - 1) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi :
Trang
7/15


9
A. m < .
4
Hng dn gii
Chn C.

B. m Ê

9
m ạ 2 .
4

9

C. m < m ạ 2 .
4

9
D. m > .
4

ộx = 1
2
Phng trỡnh ( x - 3 x + m) ( x - 1) = 0 ờ
ờx 2 - 3 x + m = 0 ( 2)
ờ
ở
Phng trỡnh (1) cú 3 nghiờm phõn biờt

ỡù
9
ùù m <
ùỡù 9 - 4m > 0
Phng trỡnh (2) cú hai nghiờm phõn biờt khỏc 1 ớ
ớ
4.
ùùợ 1- 3 + m ạ 0
ùù
ùợ m ạ 2
Cho phng trỡnh: ( x 2 - 2 x + 3) 2 + 2 ( 3 - m) ( x 2 - 2 x + 3) + m 2 - 6m = 0 . Tỡm m ờ
Cõu 21.
phng trỡnh cú nghiờm :
A. Mi m.
B. m Ê 4 .

C. m Ê - 2 .
D. m 2 .
Hng dn gii
Chn D
2
2
2
t t = x - 2 x + 3 ( t 2) . Ta c phng trỡnh t + 2 ( 3 - m) t + m - 6m = 0 ( 1) ,
D / = m 2 - 6m + 9 - m 2 + 6m = 9 suy ra phng trỡnh ( 1) luụn cú hai nghiờm l
t1 = m - 6 v t2 = m .

theo yờu cu bi toỏn ta suy ra phng trỡnh ( 1) cú nghiờm ln hn hoc
ộm - 6 2
m 2
bng 2 ờ
ờ
ởm 2
2
Tỡm tõt c giỏ tri cua m ờ phng trỡnh : m 2 - x = x - mx + 2 cú nghiờm
Cõu 22.
2- x
dng:
A. 0 < m Ê 2 6 - 4 .
B. 1 < m < 3 .
C. 4 - 2 6 Ê m <1 .
D. 2 6 - 4 Ê m <1
Hng dn gii
Chn B
iu kiờn x < 2 , vi iu kiờn ny thỡ phng trỡnh ó cho tr thnh
x 2 + 2 - 2m = 0 x 2 = 2m - 2 , phng trỡnh ó cho cú nghiờm dng khi v ch

khi 0 < 2m - 2 < 4 1 < m < 3 .
2
ổx 2 ử
2x2
ữ
Cú bao nhiờu giỏ tri nguyờn cua a ờ phng trỡnh: ỗ
ữ+
+ a = 0 ( 1) cú
ỗ
ữ
Cõu 23.
ữ x- 1
ỗ
ốx - 1ứ

ung 4 nghiờm.
A. 0.
B. 1.
C. 2.
Hng dn gii
Chn A.
x2
t t =
x- 1
Phng trỡnh ( 1) thnh t 2 + 2t + a = 0 ( 2)

D. 3 .

Phng trỡnh ( 1) cú ung 4 nghiờm
phng trỡnh ( 2) cú 2 nghiờm dng phõn biờt

ùỡù D > 0
ù
ớ S >0
ùù
ùùợ P > 0

ỡù 4 - 4a > 0
ùù
ùớ - 2 > 0 ( vl ) a ẽ ặ.
ùù
ùùợ a > 0

Trang
8/15


æ 1ö
1ö
Định m để phương trình : æ
có nghiệm :
ç
x2 + 2 ÷
- 2m ç
x+ ÷
÷
÷
ç
ç
÷
÷+1 + 2m = 0

ç
ç
è
è
x ø
xø
é
3
êm ³
ê
3
3
3
3
2
A. - £ m £ .
B. m ³ .
C. m £ - .
D. ê
.
1
4
4
4
4
ê
êm £ ê
2
ë
Hướng dẫn giải

Chọn D.
Điều kiện x ¹ 0
1
Đặt t = x + suy ra t £ - 2 hoặc t ³ 2 . Phương trình đã cho trở thành
x
2
t - 2mt - 1 + 2m = 0 , phương trình này luôn có hai nghiệm là t1 = 1 ; t2 = 2m - 1 .
é
3
êm ³
é2m - 1 ³ 2
ê
2
Û ê
Theo yêu cầu bài toán ta suy ra ê
.
ê
1
ê
ë2m - 1 £ - 2
êm £ ê
2
ë
2ö
÷
Định k để phương trình: x 2 + 4 - 4 æ
ç
x
÷+ k - 1 = 0 có đúng hai nghiệm lớn hơn
ç

2
Câu 25.
ç
è
ø
x
x÷
1:
A. k <- 8 .
B. - 8 < k <1 .
C. 0 < k <1 .
D. Không tồn tại k
.
Lời giải
Chọn B.
2
æ 2÷
ö
4
2
2
2

ç
x- ÷
+ k - 1 = 0 ⇔  x − ÷ − 4  x − ÷+ k + 3 = 0 ( 1) .
Ta có: x + 2 - 4 ç
÷
ç
è xø

x
x
x



Câu 24.

2
2
Đặt t = x − , phương trình trở thành t − 4t + k + 3 = 0 ( 2 ) .
x
Nhận xét : với mỗi nghiệm t của phương trình ( 2 ) cho ta hai nghiệm trái dấu

của phương trình ( 1) .

Ta có : ∆ = 4 − ( k + 1) = 1 − k .
Từ nhận
khi

1 − k > 0
2
1 − 2 +

12 − 2 −

Tìm m để
Câu 26.

(

(

xét trên, phương trình ( 1) có đúng hai nghiệm lớn hơn 1 khi và chỉ

)
1 − k ) .1 − 2 < 0

1 − k .1 − 2 < 0 ⇔ −8 < k < 1

phương trình :

nghiệm.
A. 3 < m < 4 .

(x

2

2
+ 2 x + 4 ) – 2m ( x 2 + 2 x + 4 ) + 4m –1 = 0 có đúng hai

B. m < 2 - 3 Ú m > 2 + 3 .
m = 2 + 3
D. 
.
m > 4

C. 2 + 3 < m < 4 .

Lời giải

Chọn D.
2
Đặt t = x 2 + 2 x + 4 = ( x + 1) + 3 ≥ 3 , phương trình trở thành

t 2 − 2mt + 4m − 1 = 0

( 2) .

Trang
9/15


Nhận xét: Ứng với mỗi nghiệm t > 3 của phương trình ( 2 ) cho ta hai nghiệm

( 1) .

của phương trình

Do đó phương trình

phương trình ( 2 ) có đúng một nghiệm t > 3 .

( 1)

có đúng hai nghiệm khi

  ∆′ = m 2 − 4m + 1 = 0

m = 2 + 3
⇔  2m > 3

⇔
.

m > 4
2
1. ( 3 − 2m.3 + 4m − 1) < 0

Câu 27.

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình :
nào dưới đây?
A. 2,5.
Lời giải
Chọn D.
Ta

có

:

B. 3.

x2 +

25 x 2

( x + 5)

2

= 11 gần nhất với số

C. 3,5.

25 x 2

( x + 5)

x2 +

2

= 11 Û

D. 2,8.

x2 æ
25 ö
x 2 x 2 + 10 x + 50
÷
ç
x +5 +
=
11
⇔
.
= 11
÷
ç
÷

è
x +5 ç
x +5ø
x+5
x+5

 x2
 x +5 =1

x2  x2
 x2 
x2
⇔
+ 10 ÷ = 11 ⇔ 
− 11 = 0 ⇔  2

÷ + 10
x+5 x+5
x+5
 x

 x+5
 x + 5 = −11

1 − 21
x
=
≈ −1, 79
2


x − x − 5 = 0
2
.
⇔
⇔ 2

1 + 21
 x + 11x + 55 = 0 ( vn )
≈ 2, 79
x =

2
Có
bao
nhiêu
giá
trị
nguyên
của
m
để
2

Câu 28.

phương

trình:

2

2 ( x 2 + 2 x) - ( 4m - 3) ( x 2 + 2 x) +1- 2m = 0 có đúng 3 nghiệm thuộc [- 3; 0] .
A. 1.
B. 2.
C. 3.
Hướng dẫn giải
Chọn .
2
2
Ta có: ∆ = ( 4m − 3) − 4.2. ( 1 − 2m ) = ( 4m − 1)

D. 0.

1
 2
x + 2x =
( 1)

2
2 ( x + 2 x ) − ( 4m − 3) ( x + 2 x ) + 1 − 2m = 0 ⇔ 
2
 x + 2 x = 2m − 1 ( 2 )

−2 + 6
∉ [ −3; 0]
x =
1
2
2


⇔
( 1) ⇔ x + 2 x − = 0
2

−2 − 6
∈ [ −3; 0 ]
x =

2
2
( 2 ) ⇔ ( x + 1) = 2m . Phương trình đã cho có 3 nghiệm thuộc đoạn [ −3; 0] khi
2

2

2

phương trình ( 2 ) có hai nghiệm thuộc đoạn [ −3; 0]
m > 0
 2m > 0


1
1

⇔  −3 ≤ − 1 + 2 m ≤ 0 ⇔  m ≤ ⇔ 0 < m ≤ .
2
2



 −3 ≤ − 1 − 2 m ≤ 0

m ≤ 2
Không có giá trị nguyên nào của m thỏa mãn.

Trang
10/15


Phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm âm: x 6 + 2003x3 - 2005 = 0
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 6 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Phương trình x 6 + 2003x 3 - 2005 = 0
Vì 1.( - 2005) < 0 suy ra phương trình có 2 nghiệm trái dấu
Suy ra có phương trình có một nghiệm âm.
Cho phương trình ax 4 + bx 2 + c = 0 ( 1) ( a ¹ 0) . Đặt: D = b 2 - 4ac , S = - b , P = c . Ta
Câu 30.
a
a
có ( 1) vô nghiệm khi và chỉ khi :
ìï D ³ 0
ïï
ïì D > 0
ïì D > 0
A. D < 0 .
B. D < 0 Úí S < 0 . C. ïí

.
D. ïí
.
ïïî S < 0
ïïî P > 0
ïï
ïïî P > 0
Hướng dẫn giải
Chọn B.
2
Đặt t = x ( t ³ 0)
Câu 29.

2
Phương trình ( 1) thành at + bt + c = 0 ( 2)

Phương trình ( 1) vô nghiệm
Û phương trình ( 2) vô nghiệm hoặc phương trình ( 2) có 2 nghiệm cùng âm
ìï D ³ 0
ïï
Û D <0Èí S <0 .
ïï
ïïî P > 0
Phương trình x 4 + 65 - 3 x 2 + 2 8 + 63 = 0 có bao nhiêu nghiệm ?
Câu 31.

(

)

A. 2.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có D =

(

65 -

(

)

B. 3.

)

C. 4.

(

2

D. 0.

)

3 - 4.2. 8 + 63 = 4 - 2 195 - 8 63 < 0

Suy ra phương trình vô nghiệm.

Phương trình - x 4 - 2 2 - 1 x 2 + 3 - 2 2 = 0 có bao nhiêu nghiệm ?
Câu 32.

(

A. 2.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
2
Đặt t = x ( t ³ 0)

)

(

)

B. 3.

C. 4.

2
Phương trình ( 1) thành - t - 2

(

(

) (
2) < 0

D. 0.

)

2 - 1 t + 3 - 2 2 = 0 ( 2)

Phương trình ( 2) có a.c = ( - 1) 3 - 2

Suy ra phương trình ( 2) có 2 nghiệm trái dấu
Suy ra phương trình ( 2) có 2 nghiệm phân biệt.
Câu 33.

Phương trình: 2 x 4 - 2

(

)

2 + 3 x 2 + 12 = 0

A. vô nghiệm
B. Có 2 nghiệm x =

2+ 3+ 5
, x =2

2+ 3+ 5
.
2

Trang
11/15


C.

2 + 32

Có 2 nghiệm x =

2+ 3+ 5
, x =2

D. Có 4 nghiệm x =

5

, x =-

2 + 32

2+ 3+ 5
, x=
2

5

.

2 + 32

5

,

2 + 3- 5
.
2
Hướng dẫn giải
Chọn D.
2
Đặt t = x ( t ³ 0)
x =-

2.t 2 - 2

Phương trình (1) thành

(

)

2 + 3 t + 12 = 0 ( 2)

Ta có D ' = 5 + 2 6 - 2 6 = 5
ìï
ïï D ' = 5 > 0
ïï
ïï

ï - 2 2+ 3
b
=- > 0
Ta có ïí ïï
a
2
ïï
ïï 12 c
= >0
ïï
a
ïî 2

(

)

Suy ra phương trình ( 2) có 2 nghiệm dương phân biệt

Câu 34.

Vậy Phương trình ( 1) có 4 nghiệm.
Cho phương trình x 4 + x 2 + m = 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng:
A. Phương trình có nghiệm Û m £

1
.
4

B. Phương trình có nghiệm m £ 0 .

C. Phương trình vô nghiệm với mọi m .
D. Phương trình có nghiệm duy nhất Û m =- 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
2
Đặt t = x ( t ³ 0)
2
Phương trình ( 1) thành t + t + m = 0 ( 2)

Phương trình ( 1) vô nghiệm
Û phương trình ( 2) vô nghiệm hoặc phương trình ( 2) có 2 nghiệm âm

Câu 35.

ïìï D ³ 0
ïìï 1- 4m ³ 0
ìï
1
1 ïï m £
ï
ï
Û D < 0 È í S < 0 Û 1- 4m < 0 È í - 1 < 0
Û m > Èí
4 Û m>0.
ïï
ïï
4 ïï
ïïî P > 0
ïïî m > 0
ïî m > 0

Phương trình có nghiệm Û m £ 0 .
Phương trình - x 4 + 2 - 3 x 2 = 0 có:

(

A. 1 nghiệm.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có
4

- x +

(

2-

)

2

)

B. 2 nghiệm.

2

(

2

3 x =0 Û x - x + 2-

C. 3 nghiệm.

éx 2 = 0
3 =0 Û ê
ê2
ê
ëx = 2 -

)

D. 4 nghiệm.

3 ( vl )

Û x2 = 0 Û x = 0 .

Trang
12/15


Câu 36.

Phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm âm: x 4 - 2005 x 2 - 13 = 0
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
2
Đặt t = x ( t ³ 0)
Phương trình ( 1) thành t 2 - 2005t - 13 = 0 ( 1)
Phương trình ( 2) có a.c = 1.(- 13) < 0
Suy ra phương trình ( 2) có 2 nghiệm trái dấu
Ruy ra phương trình ( 1) có một nghiệm âm và một nghiệm dương.

Câu 37.
nghiệm là :
- 4
A. x =
.
B. x =- 4 .
3
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Trường hợp 1: x <- 2

Phương trình :
C. x =

2
.
3

D. Vô nghiệm.

Phương trình thành 3 - x - 2 x - 4 = 3 Û 3x =- 4 Û x =

Trường hợp 2: - 2 £ x £ 3
Phương trình thành 3 - x + 2 x + 4 = 3 Û x =- 4 ( l )
Trường hợp 3: x > 3
Phương trình thành x - 3 + 2 x + 4 = 3 Û 3 x = 2 Û x =
Vậy S = Æ.
Câu 38.
nhiêu nghiệm ?
A. 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.

3 - x + 2 x + 4 = 3 , có

- 4
( l)
3

2
( l)
3

Phương trình: 2 x - 4 + x - 1 = 0 có bao
B. 1 .

C. 2 .

D. Vô số.

ìï 2 x - 4 = 0
ìï x = 2

2 x - 4 + x - 1 = 0 Û ïí
Û ïí
( vl ) Û x Î Æ
ïïî x - 1 = 0
ïïî x = 1
Câu 39.
Cho phương trình: a x + 2 + a x - 1 = b .
Để phương trình có hai nghiệm khác nhau, hệ thức giữa hai tham số a, b là:
A. a > 3b .
B. b > 3a .
C. a = 3b .
D. b = 3a .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Câu 40.
Phương
trình:
x + 2 + 3x - 5 - 2 x - 7 = 0 , có nghiệm là :
é 5ù
A. " x Î ê- 2; ú.
B. x =- 3 .
C. x = 3 .
D. x = 4 .
ê
ë 3 ú
û
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Trường hợp 1: x £ - 2
Phương trình thành: - x - 2 - 3x + 5 + 2 x - 7 = 0 Û - 2 x = 4 Û x =- 2 ( n) .

Trường hợp 2: - 2 < x <

5
3

Trang
13/15


5
Phương trình thành: x + 2 - 3x + 5 + 2 x - 7 = 0 Û 0 x = 0 ( ld ) Suy ra - 2 < x < .
3
5
7
Trường hợp 3: £ x £
3
2
5
Phương trình thành: x + 2 + 3x - 5 + 2 x - 7 = 0 Û 6 x = 10 Û x = ( n) .
3
7
Trường hợp 4: x >
2
- 2
( l) .
Phương trình thành: x + 2 + 3x - 5 - 2 x + 7 = 0 Û 6 x =- 4 Û x =
3
é 5ù
Vậy S = ê- 2; ú.
ê

ë 3 ú
û
Câu 41.
Phương
trình
2
2
x
3
x
3
- 2 x + + - 3x + 4 = có nghiệm là :
2
2
2
4
1
7
13
, x= , x= .
2
2
3
7
5
13
C. x = , x = , x = .
5
4
2

Hướng dẫn giải
Chọn D.
TH 1: x £ 1

3
7
11
; x= , x= .
2
3
3
7
5
13
D. x = , x = , x = .
4
2
4

A. x =

Phương

trình

B. x =

thành:

19

x2
3 x2
3
2
- 2 x + + - 3x + 4 = Û x - 5 x + = 0
4
2
2 2
4

é 5+ 6
êx =
( l)
ê
2
Û ê
.
ê 5- 6
êx =
( l)
ê
2
ë

TH 2: 1 < x < 2

Phương trình thành: TH 3: 2 £ x £ 3
Phương trình thành: TH 4: 3 < x < 4
Phương trình thành:
TH 4: x ³ 4

Phương

Câu 42.

trình

7
x2
3 x2
3
+ 2 x - + - 3 x + 4 = Û x = ( n) .
4
2
2 2
4
25
5
x2
3 x2
3
2
= 0 Û x = ( n) .
+ 2x - + 3x - 4 = Û - x + 5 x 4
2
2
2 2
4

13
x2

3 x2
3
( n) .
- 2x + + 3x - 4 = Û x =
4
2
2 2
4

thành:

19
x2
3 x2
3
2
- 2 x + + - 3x + 4 = Û x - 5 x + = 0
4
2
2 2
4

é 5+ 6
êx =
( l)
ê
2
Û ê
.
ê 5- 6

êx =
( l)
ê
2
ë

k để
Định
phương
trình:
x + 2 x - k + x - 1 = 0 có đúng ba nghiệm. Các giá trị k tìm được có tổng :
A. - 5 .
B. - 1 .
C. 0 .
D. 4 .
2

Trang
14/15


2
Cõu 43.
Phng
trỡnh: x - 6 x + 5 = k 2 x - 1 cú
nghiờm duy nhõt.
A. k <- 1 .
B. k > 4 .
C. - 1 < k < 4 .
D. k >- 1 .

Hng dn gii
Cõu 44.
Cú bao nhiờu giỏ tri nguyờn cua m ờ
2
ổx - 2 x +1 ử
x +2
ữ
ữ
- m
= 12 cú ung 4 nghiờm?
phng trỡnh: ỗ
ỗ
2
ữ
ỗ
ữ
x- 1
ốx + 4 x + 4 ứ
A. 14 .
B. 15 .
C. 16 .
D. Nhiu hn 16 nhng hu hn.
Hng dn gii
Cõu 45.
Cho
phng
trỡnh:
3mx +1
2 x + 5m + 3
+ x +1 =

. ờ phng trỡnh cú nghiờm, iu kiờn ờ tha
x +1
x +1
món tham sụ m l :
ộm < 0
ộ
1
ờ
ờm <1
1
3.
A. 0 < m < .
B. ờ 1 .
C. - < m < 0 .
D. ờ
ờm >
ờ
3
3
ờ
ờ
3
ở
ởm > 0
Hng dn gii
Chn B.
iu kiờn: x >- 1
Phng trỡnh thnh 3mx +1 + x +1 = 2 x + 5m + 3 ( 3m - 1) x = 5m +1 ( 2)

Phng trỡnh ( 1) vụ nghiờm

Phng trỡnh

( 2) vụ nghiờm hoc phng

trỡnh ( 2) cú nghiờm duy nhõt nh hn bng - 1
ỡ 3m - 1 ạ 0
ử
ỡùù 3m - 1 = 0 ùùù
5m +1 Ê - 3m +1 khi 3m - 1 0ữ
1 ổ 1 ộ
ờ
ữ
ớ
ẩ ớ 5m +1
m
ạ
ầ
m= ẩ ỗ
ỗ
ữ
ùùợ 5m +1 ạ 0 ùù
ỗ
3 ờ
Ê- 1
3 ỗ
ố
ứ
ở5m +1 - 3m +1 khi 3m - 1 < 0ữ
ùợ 3m - 1

ổ
ộ
1ử
ỗ
ờm Ê 0 khi m ữ
ữ
ỗ
1 ờ
1 ỗ
1
ữ
3ữ
ỗ
ữ
m ạ ầờ
m= ẩ ỗ
0Ê mÊ
ữ
ỗ
ữ
1ữ
3 ờ
3 ỗ
3
ỗ
ờm 0 khi m < ữ
ữ
ữ
ỗ
ố

ờ
3ứ
ở
ộm < 0
ờ
Vy Phng trỡnh cú nghiờm ờ 1 .
ờm >
ờ
3
ở
x +m x- 2
+
= 2 . ờ
Cõu 46.
Cho phng trỡnh:
x +1
x
phng trỡnh vụ nghiờm thỡ:
ộ
1
ờm =ộm = 1
ộm =- 1
ộm = 2
ờ
3
ờ
ờ
A. ờ
.
B.

.
C.
.
D.
.
ờ
ờ
ờ
ờ
1
ờ
ởm = 3
ởm =- 3
ởm =- 2
ờm =
ờ
2
ở
Hng dn gii
Chn A.
ỡù x ạ 0
iu kiờn: ùớ
ùùợ x ạ - 1
2
2
2
Phng trỡnh thnh x + mx + x - x - 2 = 2 ( x + x) ( m - 3) x = 2 ( 2) .

Phng trỡnh ( 1) vụ nghiờm
Trang

15/15


Phng trỡnh ( 2) vụ nghiờm hoc phng trỡnh ( 2) cú nghiờm duy nhõt
bng 0 hoc bng - 1 .
ổ
ử
ộ 2
ỗ
ờ
= 0 ( vl ) ữ
ữ
ỗ
ữ
ỡùù m ạ 3
ộm = 3
ỗ
ờm - 3
ữ
.
ữ
ờ
m
3
ạ
0
ầ

m
=

3
ẩ

m- 3=0ẩ ỗ
ỗ
ờ
ớ
ữ
ỗ
ữ
ờ
ù
2
2
=
3
m
m
=
1
ờ
ỗ
ùợ
ở
ữ
ỗ
=- 1 ữ
ờ
ữ
ỗ

ữ
ố
ờ
ứ
m
3
ở
Cõu 47.
nghiờm l:
A. x = 1 .
Hng dn gii
Chn A.
ỡù x ạ 0
iu kiờn: ùớ
ùùợ x ạ 2

B. x = 3 .

Cho phng trỡnh:

x 2 - 1 + x +1
= 2 . Cú
x ( x - 2)

C. x = 4 .

D. x = 5 .

2
Phng trỡnh thnh x - 1 + x +1 = 2 x ( x - 2)

TH 1: x <- 1

ộx = 2 ( l )
ờ
Phng trỡnh thnh x - 1- x - 1 = 2 ( - x ) ( x - 2) 3x 2 - 5 x - 2 = 0 ờ - 1
.
ờx =
( l)
ờ
3
ở
2

TH 2: - 1 Ê x Ê 0

ộx = 0 ( l )
2
Phng trỡnh thnh x - 1 + x +1 =- 2 x ( x - 2) 3x 2 - 3 x = 0 ờ
ờx = 1 ( l ) .
ờ
ở
TH3: x > 0
ộx = 0 ( l )
2
Phng trỡnh thnh x - 1 + x +1 = 2 x ( x - 2) x 2 - 5 x = 0 ờ
ờx = 5 ( n) .
ờ
ở
Cõu 48.
Tỡm m ờ phng trỡnh vụ nghiờm:

2x - m
= m - 1 ( m l tham sụ).
x- 2
A. m = 3 .
B. m = 4 .
C. m = 3 m = 4 .
D. m = 3 m =- 4 .
Hng dn gii
Chn A.
iu kiờn: x ạ 2
Phng trỡnh thnh 2 x - m = mx - 2m - x + 2 ( m - 3) x = m - 2(2)
Phng trỡnh (1) vụ nghiờm
Phng trỡnh (2) vụ nghiờm hoc phng trỡnh (2) cú nghiờm duy nhõt
bng 2
ỡ m- 3ạ 0
ộm = 3
ỡùù m - 3 = 0 ùùù
ớ
ẩớ m- 2
ờ
.
ờ
ùùợ m - 2 ạ 0 ùù
m=4
=2
ở
ùợ m - 3
3- 2x - x
= 5 cú cỏc
Cõu 49.

Phng trỡnh
3 + 2x + x - 2
nghiờm l:
1
21
2
22
1
23
3
A. x =- , x =- 7 . B. x =, x = . C. x =, x = . D. x =, x= .
8
9
23
9
23
9
23
Hng dn gii
Chn A.
Trang
16/15


Điều kiện: 3 + 2 x + x - 2 ¹ 0
Phương trình thành 3 - 2 x - x = 5 3 + 2 x + 5 x - 10
- 3
TH 1: x <
2
Phương trình thành 3 - 2 x + x =- 15 - 10 x + 5 x - 10 Û 4 x =- 28 Û x =- 7 ( n) .

- 3
£ x£ 0
TH2:
2
1
( n) .
Phương trình thành 3 - 2 x + x = 15 +10 x + 5 x - 10 Û 16 x =- 2 Û x =8
3
TH 3: 0 < x <
2
1
( l) .
Phương trình thành 3 - 2 x - x = 15 +10 x + 5 x - 10 Û 18 x =- 2 Û x =9
3
TH 4: x ³
2
4
( l) .
Phương trình thành - 3 + 2 x - x = 15 +10 x + 5 x - 10 Û 14 x =- 8 Û x =7
Câu 50.
Tập nghiệm T của phương trình:
x- 3
x- 3
=
là:
x- 4
x- 4
A. T = [ 3; +¥ ) .
B. T = [ 4; +¥ ) .
C. ( 4;+¥ ) .

D. T = Æ.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Điều kiện: x > 4
Phương trình thành
é0 x = 0 ( ld )
éx - 3 = x - 3
Û x ³ 3Ç ê
x- 3 = x- 3 Û x- 3³ 0Çê
Û x ³ 3.
êx = 3
ê
x
3
=
3
x
ë
ë
Vậy T = ( 4; +¥ ) .

Trang
17/15