giới hạn dãy số, hàm số

CHỦ
ĐỀ
4.

GIỚI HẠN

 Bài 01
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Câu

1.

Ta

có

0£

sin 5n 1
£ ,
3n
n

mà

lim

1
=0
n

nên

lim

sin 5n
= 0,
3n

do

đó

ỉ
ư
sin 5n
lim ç
- 2÷
÷
ç
÷= - 2. Chọn A.
ç
è 3n
ø
Nhận xét : Có thể dùng MTCT để tính (có thể chính xác hoặc gần đúng) giới
hạn như sau (các bài sau có thể làm tương tự) :
sin ( 5 X )
Nhập
- 2.
3X
Bấm CALC và nhập 9999999999 (một số dòng MTCT khi bấm nhiều số « 9 » thì

nó báo lỗi, khi đó ta cần bấm ít số « 9 » hơn.
Bấm « = » ta được kết quả (có thể gần đúng), sau đó chọn đáp án có giá trị
gần đúng với kết quả hiện trên MTCT.
n- 2 n sin2n 1
n sin2n
Câu 2. Ta có
.
= 2n
2
n
1
nk cos
Điều kiện bài tốn trở thành
n = 0.
lim
n
1
Ta có limcos = cos0 = 1 nên bài tốn trở thành tìm k sao cho
n
k
-1
nk
k
= limn2 = 0 Û - 1< 0 Û k < 2 ¾¾
¾ ¾® khơng tồn tại k (do k ngun
kỴ ¥ * , k=3l
n
2
dương và chẵn). Chọn A.
3sin n + 4 cos n

7
7
3sin n + 4cos n
£
£ ® 0 ¾¾
® lim
= 0. Chọn B.
Câu 3. Ta có 0 £
n +1
n +1 n
n +1
Câu 4. Ta có
ỉ n cos 2n ư
n cos 2n
n
1
n cos 2n
÷
0£
£ 2
£ ® 0 ¾¾
® lim 2
= 0 ¾¾
® lim ç
5÷= 5. Chọn C.
ç
÷
ç
è
n 2 +1

n +1 n
n +1
n 2 +1 ø
ỉ2
ư
ỉ1 sin np
ư
np
n sin
- 2n 3 ÷
= lim n3 ç
.
- 2÷
÷
÷
Câu 5. Ta có lim ç
ç
ç
÷
÷. Vì
ç
ç
è
ø
è
ø
5
n
5

lim

ìï lim n3 = +¥
ìï lim n3 = +¥
ïï
ïï
ỉ
ư
1 sin np
ïí
¾¾
® ïí
¾¾
® lim n3 ç
.
- 2÷
÷
ỉ
ư
1
sin
n
p
1
1
sin
n
p
ç
÷= - ¥ .

ç
÷
ïï 0 £ .
ïï lim ç
èn
ø
5
£ ®0
.
- 2÷
=- 2 <0
ç
÷
çn
ïỵï
ïïỵ
è
ø
n
5
n
5
Chọn A.
n
n
ỉ ( - 1) n ư
( - 1)
( - 1)
÷
1

1
ç
÷
£
£ ® 0 ¾¾
® lim
= 0 ¾¾
® lim ç
4+
÷
Câu 6. Ta có 0 £
ç
÷= 4.
ç
÷
n +1
n +1 n
n +1
n +1 ø
ç
è
Chọn C.


ìï
ïï 0 £ un £ 2 1 £ 1 ® 0
ï
n +1 n
¾¾
® lim un = lim vn = 0 ¾ ¾

® lim ( un + vn ) = 0.
Câu 7. Ta có ïí
ïï
1
1
£ ®0
ïï 0 £ vn £ 2
n +2 n
ïî
Chọn B.
Chú ý : Cho P ( n) , Q ( n) lần lượt là các đa thức bậc m, k theo biến n :
P ( x ) = am n m + am- 1n m- 1 +L + a1n + a0 ( am =
/ 0)
Q ( n) = bk n k + bk - 1n k - 1 +L + b1n + b0 ( bk =
/ 0)
Khi đó lim

P ( n)
Q ( n)

= lim

P ( n ) am n m
am n m
:
, ta có các trường hợp sau :
k , viết tắt
bk n
Q ( n)
bk n k

Nếu « bậc tử » < « bậc mẫu ( m < k ) thì lim
Nếu « bậc tử » = « bậc mẫu ( m = k ) thì lim

P ( n)
Q ( n)
P ( n)
Q ( n)

= 0.
=

am
.
bk

P ( n)

ìï +¥ khi am bk > 0
= ïí
.
Q ( n ) ïïî - ¥ khi am bk < 0
Để ý rằng nếu P ( n) , Q ( n) có chứa « căn » thì ta vẫn tính được bậc của nó. Cụ
Nếu « bậc tử » > « bậc mẫu ( m > k ) thì lim

k
4
1
. Ví dụ n có bậc là , 3 n 4 có bậc là ,...
n

3
2
Trong các bài sau ta có thể dùng dấu hiệu trên để chỉ ra kết quả một cách
nhanh chóng !
- 3
- 3
0
n2
= lim
= = 0. Chọn C.
Câu 8. Ta có lim 2
2 1
4n - 2n +1
4
4- + 2
n n
Giải nhanh : Dạng « bậc tử » < « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0.
1 2
+
2
n + 2n 2
n = 0 = 0.
= lim n
Câu 9. Ta có lim 3
Chọn D.
3
1
n + 3n - 1
1
1+ 2 - 3

n
n
Giải nhanh : Dạng « bậc tử » < « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0.
3 2
1
- 2+ 4
3n3 - 2n +1
n = 0 = 0.
= lim n n
Câu 10. Ta có lim 4
Chọn B.
2
1
4n + 2n +1
4
4+ 3 + 4
n
n
Giải nhanh : Dạng « bậc tử » < « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0.
1
1
+ 2
n n +1
0
n
Câu 11. Ta có lim 2
= lim n
= = 0. Chọn D.
2
n +2

1
1+ 2
n
n n +1 n n
1
Giải nhanh : 2
:
=
¾¾
® 0.
n +2
n2
n
1
1+
vn
n +1
n = 1 = 1.
= lim
Câu 12. Ta có lim = lim
Chọn A.
2 1
un
n +2
1+
n
thể

m

n k tì có bậc là


Giải nhanh :

n +1 n
:
= 1.
n +2 n

4
a+
an + 4
a
n
= lim
= . Khi đó
Câu 13. Ta có lim un = lim
3 5
5n + 3
5+
n
a
lim un = 2 Û = 2 Û a = 10 ¾¾
® Chọn A.
5
an + 4 an a
:
= Û a = 10.
Giải nhanh : 2 :

5n + 3 5n 5
b
2+
2n + b
n = 2 ( " b Î ¡ ) ¾¾
= lim
® Chọn A.
Câu 14. Ta có lim un = lim
3 5
5n + 3
5+
n
2n + b 2n 2
:
= với mọi b Î ¡ .
Giải nhanh :
5n + 3 5n 5

1 5
1+ + 2
n2 + n + 5
n n = 1 ¾¾
= lim
® Chọn B.
Câu 15. Ta có L = lim
2
1
2n +1
2
2+ 2

n
n2 + n + 5
n2
1
Giải nhanh:
:
= .
2n 2 +1
2n 2 2
1 2
4+ + 2
4n 2 + n + 2
n n = 4 (a =
= lim
/ 0) Û a = 2. Chọn D.
Câu 16. 2 = lim un = lim
2
5
an + 5
a
a+ 2
n
4 n 2 + n + 2 4n 2 4
:
= Û a = 2.
Giải nhanh : 2 :
an 2 + 5
an 2 a
1
- 3

n 2 - 3n 3
- 3
n
= lim
=
¾¾
® Chọn A.
Câu 17. L = lim 3
5
2
2n + 5n - 2
2
2+ 2 - 3
n
n
n 2 - 3n3
- 3n3
3
Giải nhanh:
:
=- .
2 n 3 + 5n - 2
2n3
2
5
- 3a
éa < 0
5n2 - 3an4
- 3a
n2

=
lim
=
>0Û ê
.
Câu 18. L = lim
4
êa > 1 Chọn C.
2
1
( 1- a) n + 2n +1
ë
( 1- a) + 3 + 4 ( 1- a)
n
n
Câu 19. Ta có
æ2
ö 2æ 1 ö
æ2
öæ 1 ö
÷
ç
ç
n3 ç
- 1÷
.n ç
3+ 2 ÷
- 1÷
÷
÷

÷
÷
ç
ç
ç
ç
2
2
÷
÷
֏
÷ - 1.3
ç
ç
ç
ç3 + n 2 ø
( 2n - n3 )( 3n 2 +1)
èn
ø è n ø
èn
ø
3
L = lim
=
lim
=
lim
=
=- .
4

æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
1
7
1
7
2.1
2
2
n
1
n
7
4ç
(
)(
)
÷
÷
ç
ç
nç
2- ÷
12- ÷

1÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
ç
÷.n è
÷
֏
÷
ç nø
ç n4 ø
ç nø
ç n4 ø
è
è
Chọn A.
( 2n - n3 )( 3n2 +1) - n3 .3n 2
3
:
=- .
Giải nhanh:
4
4
2n.n
2
( 2n - 1) ( n - 7)

ổ 2ử
ữổ
ỗ
ỗ

Cõu 20.

ổ
1ử
ữỗ

5ử
ữ

1+ ữ
2+ ữ
4+ ữ
ỗ
ữỗ
ữỗ
ữ 1.2.4 8
ỗ
ỗ
ỗ
( n2 + 2n)( 2n3 +1) ( 4n + 5)
ố nứ
ố n3 ứ
ố nứ
L = lim

=
lim
=
= .
4
2
ổ 3
ổ 7ử
1ử
1.3
3
( n - 3n - 1)( 3n - 7)
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ1- 3 - 4 ữỗ3 - 2 ữ
ỗ
ố

n

ữỗ
ố
n ứ

ữ
n ứ

Chn C.

Gii nhanh:

( n2 + 2n)( 2n3 +1) ( 4n + 5)
:
( n 4 - 3n - 1)( 3n 2 - 7)

n 2 .2n3 .4n 8
= .
n 4 .3n 2
3

1
n +1
n = 1 = 1 ắắ
= lim
đ Chn B.
Cõu 21. L = lim 3
3
n +8
8
1
3 1+
n
1+ 3

3

3

Gii nhanh:

3

n +1
n +8

:

3

n

3

n

= 1.

ổ 2ử
2
ữ
n3 ỗ
ữ
1- 2
ỗ
ữ
ỗ1- n 2 ứ
ố
n - 2n
n .

= lim
= lim n.
Cõu 22. lim
Ta cú
ử
1
1
1- 3n 2
2ổ
ữ
3
n ỗ
3
ữ
ỗ
ữ
ỗ
n2
ốn 2
ứ
ùỡù lim n = +Ơ
2
ùù
1- 2
2
ùù
n3 - 2n
1- 2
n
đ im

= lim n.
= - Ơ ắắ
đ Chn C.
ớ
n = - 1 < 0 ắắ
ùù lim
1
1- 3n 2
3
1
ùù
3
- 3
n2
ùù
n2
ợ
n3 - 2n
n3
1
:
= - n ắắ
đ- Ơ .
Gii nhanh :
2
1- 3n
- 3n 2
3
ổ2
ử

2
n3 ỗ
+ 3ữ
ữ
+3
ỗ
ữ
2
ỗ
ốn 2
ứ
2n + 3n 3
= lim
= lim n. n
. Ta cú
Cõu 23. lim 2
ổ 2 1ử
2 1
4n + 2n +1
ữ
4
+
+
n2 ỗ
4
+
+
ữ
ỗ
ữ

ỗ
n n2
ố n n2 ứ
ùỡù lim n = +Ơ
2
ùù
+3
2
2
ùù
2n + 3n3
+
3
n
2
ắắ
đ
im
=
lim
n
.
= +Ơ . Chn B.
3
ớ
ùù lim n
2 1
= >0
4n 2 + 2n +1
4+ + 2

2 1
ùù
4
4+ + 2
n n
ùù
n
n
ợ
3

2n + 3n3
3n3
3
:
= .n ắắ
đ+Ơ .
2
2
4n + 2n +1 4n
4
ổ3
ử
3
n4 ỗ
- 1ữ
ữ
- 1
ỗ
4

3
ữ
3
ỗ
ốn
ứ
3n - n
3 n
= lim
= lim n .
. Ta cú
Cõu 24. lim
ổ 5ử
5
4n - 5
ữ
ỗ
4
n ỗ4 - ữ
ữ
ỗ
n
ố nứ
Gii nhanh :

ỡù lim n3 = +Ơ
ùù
3
ùù
- 1

4
3
3
3
n
n
ù
3 n
- 1
3
ắắ
đ
lim
=
l
lim
n
.
= - Ơ . Chn C.
ớ
1
ùù lim n
5
4n - 5
=- <0
4
5
ùù
4
n

4ùù
n
ợ


3n - n 4 - n 4
1
:
= - .n3 ắắ
đ- Ơ .
4n - 5
4n
4
Cõu 25. Theo du hiu ó nờu phn Chỳ ý trờn thỡ ta chn gii hn no
ri vo trng hp ô bc t ằ < ô bc mu ằ !
3 + 2n3
lim 2
= +Ơ : ô bc t ằ > ô bc mu ằ v am bk = 2.2 = 4 > 0.
2n - 1
2n 2 - 3
lim
= 0 : ô bc t ằ < ô bc mu ằ. Chn B.
- 2n3 - 4
2n - 3n 3
lim
= +Ơ : ô bc t ằ > ô bc mu ằ v an bk = ( - 3) .( - 2) > 0.
- 2n 2 - 1
am - 3 3
2n 2 - 3n 4
- 3 3

=
= .
lim
=
= : ô bc t ằ = ô bc mu ằ v
4
2
bk
- 2 2
- 2n + n
- 2 2
Gii nhanh :

Cõu 26. Ta chn ỏp ỏn dng ô bc t ằ = ô bc mu ằ v am bk > 0. Chn C.
n 2 - 3n3
- 3
1
=
=- .
3
2
9n + n - 1
9
3
>
Cõu 27. Ta chn ỏp ỏn dng ô bc t ằ
ô bc mu ằ vi am bk > 0. Chn A.
ùỡù lim n = +Ơ
1
ùù

+1
1
2
ù
1+ n2
+1
2
lim un = lim
= lim n. n
= +Ơ vỡ ùớ
.
a
1
n
ù
5
lim
= m = >0
5n + 5
ùù
5+
5
b
5
k
ùù
5+
n
ùợ
n

Cỏc ỏp ỏn cũn li u ri vo trng hp ô bc t ằ Ê ô bc mu ằ nờn cho
kt qu ha hn.
Cõu 28. Ta chn ỏp ỏn dng ô bc t ằ = ô bc mu ằ v am bk < 0. Chn C.
lim un = lim

2n 2 - 3n 4
đ lim un = - Ơ .
: ô bc t ằ > ô bc mu ằ v am bk = - 3.2 = - 6 < 0 ắắ
n 2 + 2n3
ỡù +Ơ khi an > 0
m
m- 1
.
Chỳ ý : (i) lim ( am n + an- 1n +L + a1n + a0 ) = ùớ
ùùợ - Ơ khi an < 0
un =

(ii) Gi s q > max { qi : i = 1; 2ẳ ; m} thỡ
ỡù a0
ùù
lim ( a.q + a q +L + a q + a0 ) = ùớ +Ơ
ùù
ùù - Ơ
ợ
Ta dựng ô du hiu nhanh ằ ny a ra kt qu
sau.
n

n
m m

n
1 1

khi q <1
khi a > 0, q > 1.
khi a < 0, q > 1
nhanh chúng cho cỏc bi

5 3ử
2
2ổ
2+ - 2 ữ
ữ
Cõu 29. L = lim ( 3n + 5n - 3) = lim n ỗ
ỗ
ữ= +Ơ
ỗ
ố n n ứ
Chn D.
2
2
đ+Ơ .
Gii nhanh : 3n + 5n - 3 : 3n ắắ

ỡù lim n 2 = +Ơ
ùù
.
ổ 5 3ử
vỡ ùớ

ùù lim ỗ
2+ - 2 ữ
= 2>0
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố n n ứ
ùùợ

ử
2
3
3 ổ5
- 3( a2 - 2) ữ
ữ
Cõu 30. Ta cú lim( 5n- 3( a - 2) n ) = limn ỗ
ỗ
ữ= - Ơ
ỗn2
ố
ứ
ổ5
ử 2
limỗ
- 3( a2 - 2) ữ
ắ ắ ắđ a = - 1; 0; 1. Chn B.
ữ
ỗ
aẻ Â , aẻ ( - 10;10)

2
ữ= a - 2 < 0 - 2 < a < 2 ắắ
ỗ
ốn
ứ


Cõu 31. Ta cú
ỡù lim n 4 = +Ơ
ùù
ổ
ử
4
1
1
ùớ
lim ( 3n 4 + 4n 2 - n +1) = lim n 4 ỗ
3+ 2 - 3 + 4 ữ
=
+Ơ
.
ữ
ổ 4
vỡ
1
1ử
ỗ
ữ
ỗ
ùù lim ỗ

ố n
n
n ứ
3+ 2 - 3 + 4 ữ
=3>0
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ùùợ
ố n
n
n ứ
Chn D.
4
2
4
đ+Ơ .
Gii nhanh : 3n + 4n - n +1 : 3n ắắ
Cõu 32. Vỡ

2,

( 2)

2

,ẳ ,

( 2)

n

lp thnh cp s nhõn cú u1 = 2 = q nờn

ỡù a = 2 - 2 > 0
ù
n
ộ
ự
. Chn C.
2 ờ 2 - 1ỳắắ
đ lim un = +Ơ vỡ ớù
q
=
2
>
1
ờ
ỳ
ù
ở
ỷ
1- 2
ợ
1
3
n 1
1 n ( n +1)
Cõu 33. Ta cú +1 + + ... + = ( 1 + 2 +L + n) = .

. Do ú
2
2
2 2
2
2
1
3
n
+1 + + ... +
= bc mu). Chn D.
n2 + n
1
2
2
2
lim
= lim 2
= (bc t
2
n +1
4n + 4 4
1
2
n- 1 1
1 ( n - 1) ( 1 + n - 1) n 2 - n
Cõu 34. Ta cú 2 + 2 +... + 2 = 2 ( 1 + 2 +L + n - 1) = 2 .
=
.
n

n
n
n
n
2
2n 2
Do ú
ổ1
2
n - 1ử
n2 - n 1
ữ
lim ỗ
+
+
...
+
=
lim
= . Chn C.
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốn 2 n 2
n2 ứ
2n 2
2
un = 2.

1-

( 2)

n

(

= 2-

)( )

Cõu 35. Ta cú 1 + 3 + 5 +L ( 2n - 1) =

n ( 1 + 2n - 1)
2

= n 2 nờn

ổ
1 + 3 + 5 +L +( 2n +1) ử
n2
1
ữ
ữ
lim ỗ
= lim 2
= ắắ
đ Chn B.
ỗ

ữ
2
ỗ
ữ
ỗ
3
n
+
4
3
n
+
4
3
ố
ứ
Cõu 36. Ta cú
ổ1
ổ 1 1 1
ổ 1 ử
1
1 ử
1
1 ử
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
lim ỗ

+
+
...
+
= lim ỗ
1 - + - +L + = lim ỗ
1ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ= 1.
ỗ
ỗ n +1ứ
ữ
ố 2 2 3
ố
ỗ1.2 2.3
n ( n +1) ứ
n n +1ứ
ố
Chn B.
Cõu 37. Vi mi k ẻ Ơ * thỡ

1ổ 1
1 ử
ữ
= ỗ

ữ
ỗ
ữ, do ú
ỗ
ố
( 2k - 1) ( 2k +1) 2 2k - 1 2k +1ứ
1

ổ1
ử
ộ 1 1 1
1
1
1
1 ự
ữ
ữ= lim 1 ờ
ỗ
ỳ
lim ỗ
+
+... +
1- + - +
ữ
ỗ
ữ
ờ 3 3 5 2n - 1 2n +1ỷ
ỳ
ỗ1.3 3.5
2ở

( 2n - 1) ( 2n +1) ứ
ố

Chn A.
Cõu 38. Ta cú

1ộ
1 ự 1
ỳ= .
= lim ờ
1ờ 2n +1ỷ
ỳ 2
2ở


1
1
1
1ộ 1 1 1 1 1
1
1 ự
ỳ
+
+ ...... +
= ờ
1 - + - + - +L + ờ
1.4 2.5
n ( n + 3) 3 ở 4 2 5 3 6
n n +3ỳ
ỷ

ự
1 ộổ 1 1
1ử ổ
1 1 1
1 ử
ữ
ỳ
= ờỗ
1 + + +L + ữ
- ỗ
+ + +L +
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ờ
ỳ
3 ởố 2 3
n ứ ố4 5 6
n + 3ứỷ
1ổ 1 1
1
1
1 ử
ữ
= ỗ

ữ
ỗ1 + + ữ
ố 2 3 n +1 n + 2 n + 3 ứ
3ỗ
1ổ
11
1
1
1 ử
ữ
= ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
3 ố6 n +1 n + 2 n + 3 ứ
ổ1
ử
1
1ổ
11
1
1
1 ử
11
ữ
ỗ + 1 + ...... +
ữ
ữ
= lim ỗ

= . Chn A.
ữ
Do ú lim ỗ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ1.4 2.5
n ( n + 3) ứ
3 ố6 n +1 n + 2 n + 3 ứ 8
ố
2n3 - 3n 2 + n n ( n - 1) ( 2n +1)
=
thỡ ta cú
6
6
12 + 2 2 + 32 +L + n 2 = ( P ( 2) - P ( 1) ) +( P ( 3) - P ( 2) ) +L +( P ( n +1) - P ( n) )

Cõu 39. t P ( n) =

= P ( n +1) - P ( 1) =
Do ú lim

12 + 2 2 +... + n 2
n ( n 2 +1)

= lim

n ( n +1) ( 2n + 3)
6n ( n 2 +1)

n ( n +1) ( 2n + 3)
6
2 1
= = . Chn D.
6 3

Cõu 40. Gi s lim un = a thỡ ta cú
ỡù a =
ỡù a =
/ 2
/ 2
1
1
a = lim un +1 = lim
=
ùớ
ùớ 2
a = 1. Chn D.
ùù a ( 2 - a ) = 1 ùùợ a - 2a +1 = 0
2 - un 2 - a
ợ
Cõu 41. Gi s lim un = a thỡ ta cú
u +1 a +1
a = lim un +1 = lim n
=
a = 1 ắắ
đ Chn A.

2
2
1 1
9- + 2
9n 2 - n +1
n n = 3 ắắ
Cõu 42. lim
= lim
đ Chn B.
2
4n - 2
4
4n
Gii nhanh:

9n 2 - n +1
:
4n - 2

9n 2
3
= .
4n
4

2 1
- 1+ + 2
n n = - 1 ắắ
= lim
đ Chn C.

Cõu 43. lim
4
2
3
3n + 2
3+ 4
n
2
2
- n + 2n +1 - n
1
:
=.
Gii nhanh :
4
4
3
3n + 2
3n
- n 2 + 2n +1

3
n = 2 = 1.
= lim
Cõu 44. lim
Chn D.
5
2n + 5
2
2+

n
2+

2n + 3

Gii nhanh:

2n + 3
2n + 5

:

2n
2n

= 1.


1 1 4
+ n n 2 n = 0 = 0 ắắ
lim
=
lim
đ Chn B.
Cõu 45.
1
n +1 + n
1 1
+ +1
n n2

n +1 - 4

n +1 - 4

Gii nhanh:

n +1 + n

:

n
1
=
ắắ
đ 0.
n
n

1
2
1+ 1
p
n
= lim
=
= 2 2sin
Cõu 46. Ta cú lim 2
1
4
1 2

n - n- 2
1- n n
ỡù a = 2 2
ắắ
đ ùớ
ắắ
đ S = 8 ắắ
đ Chn B.
ùù b = 0
ợ
10
10
0
n2
= lim
= = 0. Chn C.
Cõu 47. lim 4
2
1
1
1
n + n +1
1+ 2 + 4
n
n
10
10
10
:
= 2 ắắ

đ 0.
Gii nhanh:
n
n 4 + n 2 +1
n4
1+ 1+

n + n2 +1

3

2 ( n +1)
2n + 2
= lim 4
= 0 (bc t < bc mu). Chn
4
2
n +n - 1
n + n2 - 1

Cõu 48. lim ( n +1)
C.
Gii nhanh: ( n +1)

Cõu 49. Ta cú lim

3

2n + 2
2n

2
: n. 4 =
ắắ
đ 0.
2
n +n - 1
n
n
4

5 7
a+ - 3
3
3
n
n = b= a 3
= lim
3
1 2
3
3n2 - n + 2
3- + 2
n n
3

an3 + 5n2 - 7

ỡù 3
ù a=b
1

= b 3 + c ị ùớ
3 ị P = . Chn B.
ùù
3
ùợ c = 0
Cõu 50. Ta cú
ỡù lim n = +Ơ
ùù
ổ
ử
200
2
ữ= - Ơ
ùớ
ổ 200
5
ữ
ỗ
lim 5 200 - 3n5 + 2n 2 = lim n ỗ
3
+
vỡ
2ử
ữ
ữ
ỗ
ữ
5
ữ= ùù lim ỗ
ỗ

ỗ n5
3
+
n3 ứ
ố
5
3 ữ
ỗ
ữ
ỗ
ùù
n
n
ố
ứ
ợ
Chn D.
Gii nhanh:
Cõu 51.

5

n +5 lim

Cõu 52.

5

200 - 3n5 + 2n 2 :

(

- 3n5 = -

n +1 :

n-

n +5 -

n +1 = lim

n 2 - n +1 - n :

5

3.n ắắ
đ- Ơ .

n = 0 ắắ
đ nhõn lng liờn hp :

)

4
n + 5 + n +1

= 0 ắắ
đ Chn A.

n 2 - n = 0 ắắ
đ nhõn lng liờn hp :

5

3 <0

.


1
1
n
lim n - n +1 - n = lim
= lim
= - ắắ
đ Chn A.
2
2
1 1
n - n +1 + n
1- + 2 +1
n n
- n +1
-n
1
2
:
=- .
Gii nhanh : n - n +1 - n = 2

2
2
n - n +1 + n
n +n
ổ
ử
2
2
ỗ 1- 1 - 3 + 2 ữ
ữ= - Ơ vỡ
Cõu 53. lim n - 1 - 3n + 2 = lim n ỗ
2
2 ữ
ỗ
ữ
ỗ
n
n ứ
ố
ổ
1
2ử
ữ
ữ
ỗ
lim n = +Ơ , lim ỗ
1
3
+
= 1- 3 < 0. Chn C.

ữ
ỗ
ữ
ỗ
n2
n2 ứ
ố

(

(

)

n2 - 1 -

Gii nhanh :
Cõu 54.
lim

(

n 2 + 2n -

n 2 - 2n :

n 2 - 2n = lim

(

Ta cú lim

2

2

n +a n-

(

n2 -

)

3n 2 = 1-

3 n ắắ
đ- Ơ .

n 2 = 0 ắắ
đ nhõn lng liờn hp :

n2 -

4n

4

= 2.
Chn B.

2
2
1 + + 1n
n
4
n
4
n
n 2 - 2n =
:
= 2.
n 2 + 2n + n 2 - 2n
n2 + n2

n 2 + 2n -

n2 + a2n -

Cõu 55.

3n 2 + 2 :

)

n 2 + 2n -

Gii nhanh :

- 1+

- n +1

)

2

2

2

n + 2n + n - 2n

n2 +( a + 2) n +1 :

n2 -

)

n +( a+ 2) n +1 = lim
2

= lim

n2 = 0 ắắ
đ nhõn lng liờn hp:

( a2 -

a- 2) n- 1

2

n + n + n2 +1

1
a2 - a- 2
n
= lim
=
= 0
2
1
1
1+ + 1+ 2
n
n

ộa = - 1
ờ
.
ờb = 2 Chn B.
ở

Cõu 56.

2n 2 -

a2 - a- 2-

2n 2 - n +1 lim

(

2n 2 - 3n + 2 :

2n 2 - n +1 -

)

2n 2 = 0 ắắ
đ nhõn lng liờn hp :
2n - 1

2n 2 - 3n + 2 = lim

2

2n - n +1 + 2n 2 - 3n + 2
1
21
n
= lim
=
.
1 1
3 2
2
2- + 2 + 2- + 2
n n
n n

Chn B.
Gii nhanh :
2n 2 - n +1 -

2n 2 - 3n + 2 =

2n - 1
2

2

2n - n +1 + 2n - 3n + 2

Cõu 57. Gii nhanh : n 2 + 2n - 1 -

2n 2 + n :

n2 -

:

(

2n 2 = 1-

2n
2

2n + 2n

2

)

(

Cõu 58. Nu

n 2 + 2n - 1 -

n2 - 8n - n + a2 :

1
2

2 n ắắ
đ- Ơ .

ổ
2 1
1ử
ữ= - Ơ vỡ
ỗ
2n 2 + n = lim n.ỗ
1+ - 2 - 2 + ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ

n n
nứ
ố
ổ
2 1
1ử
ữ
ỗ
lim n = +Ơ , lim ỗ
1+ - 2 - 2 + ữ
= 1- 2 < 0 ắắ
đ Chn C.
ữ
ỗ
ữ
ỗ
n n
nứ
ố

C th : lim

=

)

n2 - n = 0 ắắ
đ nhõn lng liờn hp :

.

Ta có

(

2

lim

( 2a2 - 8) n

)

2

n - 8n - n + a = lim

n2 + n + n

= lim

2a2 - 8
1
1+ +1
n

= a2 - 4 = 0 Û a = ±2. Chọn B.
Câu 59.

n 2 - n = 0 ¾¾
® nhân lượng liên hợp :

n 2 - 2n + 3 - n :

3
n
lim n 2 - 2n + 3 - n = lim
= lim
= - 1 ¾¾
® Chọn A.
2 3
n 2 - 2n + 3 + n
1- + 2 +1
n n
- 2n + 3
- 2n
2
:
= - 1.
Giải nhanh : n - 2n + 3 - n = 2
n - 2n + 3 + n
n2 + n

(

)

Câu 60.

n 2 + an + 5 -

n 2 +1 :

- 1 = lim un = lim

(

n 2 = 0 ¾¾
® nhân lượng liên hợp :

n2 -

4
n

n 2 +1 = lim

=

a 5
1
1+ + 2 + 1+ 2
n n
n

an + 4

)

n 2 + an + 5 -

a+
= lim

- 2+

- 2n + 3

2

n + an + 5 + n 2 +1

a
Û a = - 2.
2

Chọn C.
Giải nhanh :
n 2 + an + 5 -

- 1:
Câu 61.
lim

(

3

n +1 -

n3 +1 -

3

Câu 62.
lim

3

(

3

3

3

3

an + 4

n 2 +1 =
3

3

n +2 :

)

3

n + an + 5 + n +1

n -

2

n + n

2

=

a
Û a = - 2.
2

n = 0 ¾¾
® nhân lượng liên hợp :

3

3

an

:

3

2

= 0. ¾¾
®

( n +1) + n +1. 3 n3 + 2 + 3 ( n3 + 2)
3

3

3

Chọn C.

- n3 + n = 0 ¾¾
® nhân lượng liên hợp :

3

)

2

- 1

n3 + 2 = lim

n 2 - n3 + n :

2

n2

n 2 - n3 + n = lim
3

( n2 -

n

3 2

)

1

= lim

- n 3 n 2 - n3 + n 2

2

æ
1
ç
ç
ç
èn

3

ö
1÷
÷÷
ø

1
- 1 +1
n

3

1
= .
3

Chọn A.
Giải nhanh :
Câu 63.
lim

(

3

3

3

n2

n 2 - n3 + n =
3
3

n3 - 2n 2 - n :

)

( n2 -

n

3 2

)

- n 3 n 2 - n3 + n 2

3

n2

3

1
= .
3

n - n - n +n
3

6

3

2

n3 - n = 0 ¾¾
® nhân lượng liên hợp :
- 2n 2

n3 - 2n 2 - n = lim

:

( n3 -

2n

2 2

)

- 2

= lim

+ n. 3 n3 - 2n 2 + n 2

2

3

=-

2
.
3

=-

2
.
3

æ 2ö
2
ç
3
1- ÷
÷
ç
÷ + 1- n +1
ç
è nø

Chọn B.
Giải nhanh :

Câu 64.

n

(

3

- 2n 2

n3 - 2 n 2 - n =
3

n +1 -

)

n- 1 :

( n3 n

(

2n
n-

2 2

)

+ n. 3 n 3 - 2n 2 + n 2

)

:

- 2n 2
3

6

3

3

n + n. n + n

n = 0 ¾¾
® nhân lượng liên hợp :

2


lim n

(

n

Cõu 65.

(
(

n

lim n

(

)

n :

(

lim n

(

n+ n

1

= lim

n
n +1 + n

) (

2 n

:

= 1 ắắ
đ

Chn D.

= 1.

)

n +1 + n

n =

1
1
1 + + 1n
n

n = 0 ắắ
đ nhõn lng liờn hp :
n

n2 - 3 : n

1

1 + +1
n

=

1
ắắ
đ
Chn B.
2

n

1
= .
n+ n 2

:

)

n2 -

n 2 = 0 ắắ
đ nhõn lng liờn hp :

4n

4
= 2 ắắ

đ
Chn B.
1
3
n +1 + n - 3
1 + 2 + 1- 2
n
n
4
n
4
n
n2 - 3 =
:
= 2.
n 2 +1 + n 2 - 3
n2 + n2
2

= lim

2

)

n 2 +1 -

n 2 + n +1 -

n +1 + n - 1

n-

)

n +1 -

)

(

(

)

n 2 - 3 = lim

Gii nhanh : n

n

n = lim

n 2 +1 -

n 2 +1 -

Cõu 67. n

(

2 n

n- 1 =

2

= lim

n +1 + n - 1

)

n +1 -

n +1 -

Gii nhanh :

(

(

n +1 -

lim n

Cõu 66. n

n - 1 = lim

n

Gii nhanh :

2 n

)

n +1 -

) ( n+ n - 6 ) = lim

n2 + n - 6 : n

n 2 + n +1 -

n2

)

2

n 2 = 0 ắắ
đ nhõn lng liờn hp :
7n
2

n + n +1 + n 2 + n - 6
7

7
= .
2
1 1
1 6
1+ + 2 + 1+ - 2
n n
n n

= lim
Chn C.
Gii nhanh : n
Cõu 68.
lim

(

2

n +2 1

n2 + 2 -

)

n 2 + n +1 -

n2 + 4

n2 + n - 6 =

2

2

n +4 :
= lim-

n 1
2

(

7n
2

2

n + n +1 + n + n - 6

n +2 :

7
= .
2
n + n
2

n = 0 ắắ

đ nhõn lng liờn hp :

ộ 1ổ
ự
2
4ử
ữ
ỗ
ỳ
ữ
ỗ
n 2 + 2 + n 2 + 4 = lim n. ờ
1
+
+
1
+
ữỳ= - Ơ
2
2 ữ
ờ 2ỗ
ỗ
n
n
ố
ứ
ờ
ỳ
ở
ỷ

ự
ổ
ử
1ỗ
2
4 ữỳ
ỗ
1+ 2 + 1+ 2 ữ
= - 1 < 0 ắắ
đ Chn C.
ữ
ỗ
ữỳ
ỗ
2ố
n
n ứ
ỳ
ỷ

)

(

9n 2 - n -

7n

2

2

ộ
vỡ lim n = +Ơ , lim ờ
ờờ
ở
Gii nhanh :
1
1
1
=n2 + 2 + n2 + 4 : 2
2
2
2
n +2 - n +4
Cõu 69.

:

)

(

)

n 2 + n 2 = - n ắắ
đ- Ơ .

9n 2 = 3n =
/ 0 ắắ

đ gii nhanh :

9n 2 - n - n + 2
:
3n - 2

9n 2
= 1 ắắ
đ Chn A.
3n


Câu 70.

3

3

n3 +1 - n :
lim

(

3

1 2
+
n n 2 = 9 = 1.
2
3

3n

n3 - n = 0 ¾¾
® nhân lượng liên hợp :

)

1

n3 +1 - n = lim

Câu 71. Giải nhanh :

1
n

9-

9n 2 - n - n + 2
Cụ thể : lim
= lim
3n - 2

3

2

( n +1) + n 3 n3 +1 + n2
3

= 0 ¾¾
®

Chọn B.

2 - 5n +2
- 5n +2
25
:
=¾¾
® Chọn A.
n
n
n
3 + 2.5
2.5
2
n

æö
1÷
2ç
÷
ç
÷ - 25
ç5 ø
è
2- 5
25
=

lim
=.
Cụ thể : lim n
n
n
3 + 2.5
2
æö
3÷
ç
÷
ç
÷+2
ç
è5 ø
n +2

Câu 72. Giải nhanh :

Cụ thể : lim

3n - 2.5n +1
2n +1 + 5n

3n - 2.5n +1 - 2.5n+1
:
= - 10 ¾¾
® Chọn B.
2n+1 + 5n
5n

n
æö
3÷
ç
- 10
÷
ç
ç
è5 ÷
ø
= lim
= - 10.
n
æö
2
÷
2.ç
÷ +1
ç
ç
è5 ÷
ø
n

Câu 73. Giải nhanh :

3n - 4.2n +1 - 3 3n æö
3÷
: n =ç

® 0. Chọn A.
÷
ç
÷ ¾¾
ç
è4 ø
3.2n + 4n
4
n

n

n

æö
æö
æö
3÷
1÷
1÷
ç
- 8.ç
- 3.ç
÷
÷
÷
ç
ç
ç ø
n

n +1
÷
÷
ç
ç
ç
è4 ø
è2 ø
è
3 - 4.2 - 3
4÷ 0
lim
=
lim
= = 0.
Cụ thể :
n
3.2n + 4n
1
æö
1
÷
3.ç
+
1
÷
ç
÷
ç
è2 ø

Câu 74. Giải nhanh :

3n - 1
3n
1
:
= - ¾¾
® Chọn B.
n
n
n
2 - 2.3 +1 - 2.3
2
n

æö
1÷
1- ç
÷
ç
ç
è3÷
ø
3 - 1
1
=
lim
=- .
Cụ thể : lim n
n

n
n
2 - 2.3 +1
2
æö
æö
2÷
1÷
ç
- 2 +ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
è3 ø
è3ø
Câu 75. Giải nhanh :
n

ìï a = 1
ïï
2n2
1
5
+ 2 =
+2=

+ 2 ¾¾
® ïí b = 5.
n+1
ïï
n
5
5
5.2n +
ïïî c = 2
2
2
2
Vậy S = 1 + 5 + 2 = 30. Chọn B.
n
n
æ
ö
æ2 ö
æ1 ö
ç
3÷
n
÷
÷
ç
ç
÷
ç
æ
ö

1
2.
+
÷
÷
n+1
÷
ç
ç
2
+
ç
÷
2
÷
÷
ç
5 - 2 +1
ç 5ø è
ç 5ø
2÷
ç
è
2n + 3÷
÷
ç
n
÷
ç
÷

ç
÷
++
=
lim
+
ç
÷
Cụ thể : limç
÷
n+1
2
n
n
ç
÷
ç
1
÷
n
n
1
÷
ç
æ
ö
æ
ö
ç
2

1
÷
÷
5.2
+
5
3
ç
1
÷
÷
÷
ç
ç
ç
è
ø
2 ÷
5.
+
5
.
ç
÷
÷
ç
ç
÷
ç
n

ç
÷
ç
÷
÷
ç è 5ø
è 5ø
è
ø

( 5)

n

- 2n+1 +1

2n2 + 3
+ 2
:
n+1
5
- 3 n - 1

( )

( )

( )

=

1
5

+2=

5
+ 2.
5

( 5)
( 5)

n


Cõu 76. Gii nhanh:

pn + 3n + 22 n
pn + 3n + 4 n
4n
1
=
:
= ắắ
đ Chn D.
n
n
2 n +2
n

n
n
n
3p - 3 + 2
3p - 3 + 4.4
4.4
4
n

n

C th : lim

n

2n

p +3 + 2
3pn - 3n + 22 n+2

n

ổ
ổử
pử
3ữ
ữ
ỗ
ỗ
+1

ữ
ỗ
ỗ
ữ +ố
ữ
ỗ4 ứ
ỗ4 ữ
ố
ứ
1
= lim
= .
n
n
4
ổ
ổử
pử
3ữ
ữ
3.ỗ
- 3.ỗ
+4
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ

ỗ
ố4 ứ
ố4 ứ
n

Cõu 77. Gii nhanh : Vỡ 3 > 5 nờn 3n -

5 : 3n ắắ
đ+Ơ . Chn D.

ỡù lim 3n = +Ơ
nử
ùù
ổ
ử
ữ
5ữ
n
ù
ộn
ỗ
ữ
ữ
ữ
ổ5ử
ỗ
lim
3
=
+Ơ

.
C th :
vỡ ớ
ờ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ù
ữ
ỗ
ở
ữ
3
ỗ
ố ứữ
ùù lim1- ỗ ữ = 1 > 0
ứ
ữ
ỗ
ố3 ứ
ùùợ
4 n +1
n
n
đ Chn C.
Cõu 78. Gii nhanh : 3 .2 - 5.3 : - 5.3 = - Ơ ( - 5 < 0) . ắắ
n

ùỡù lim 3 = +Ơ
n
ổ ổử
ử
ù
2
ữ
4 n +1
n
nỗ
n
ữ
ổ ổử
162.ỗ
- 5ữ
= - Ơ vỡ ùớ
.
ữ
C th : lim ( 3 .2 - 5.3 ) = lim 3 ỗ
ữ
2ữ ử
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ùù lim ỗ
ỗ

ố3 ứ
ỗ
ữ
162.
- 5ữ
=- 5 <0
ữ
ữ
ố
ứ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ùù
ỗ
ố3 ứ
ữ
ố
ứ
ùợ
n
3n - 4.2n +1 - 3 3n ổử
3ữ
Cõu 79. Gii nhanh :
: n =ỗ
đ 0. Chn A.
ữ
ỗ

ữ ắắ
ỗ
ố4 ứ
3.2n + 4 n
4
ổ
ỗ
ự
5 ỳ= lim 3n ỗ
1ỗ
ỗ
ỷ
ỗ
ố
n

n

C th : 0 Ê

ổử
3n - 4.2n +1 - 3 8.3n +1
3ữ
3n - 4.2n +1 - 3
Ê
= 24.ỗ
đ 0 ắắ
đ lim
= 0.
ữ

ỗ
n
n
ữ
ỗ
ố4 ứ
3.2n + 4
4
3.2n + 4n

ỡù
ùù
n ( n - 1) ( n - 2) n
ù
n
k
n
3
:
ị ùớ
Cõu 80. Ta cú 2 = ồ Cn ị 2 Cn =
ùù
6
6
k =0
ùù
ùợ
3

n

n
đ0
2n
. Khi ú:
2n
đ
+Ơ
n2

n
ỡù
ùù lim 2 = +Ơ
ùù
n2
ổử
n
1ữ
ỗ
ù
2
+
3.
+
10.
ữ
n
ỗ
ùù
ữ

ỗ
ổử
ố2 ứ
2n +1 + 3n +10
2n
2n
n
1ữ
.
vỡ
ỗ
ớ
lim
=
lim
.
=
+Ơ
2
+
3.
+
10.
ữ
ỗ
n
ùù
ữ 2
ỗ
1 2

ố2 ứ
3n 2 - n + 2
n2
2
ùù lim
3- + 2
= >0
n n
1 2
ùù
3
3- + 2
ùù
n n
ợ
Chn A.
n

4n
1
1
= Ê
2a 1024 = 210 a 10.
4n+a 2a 1024
đ cú 2008 giỏ tr a. Chn B.
M aẻ ( 0;2018) v aẻ Â nờn aẻ {10;2017} ắắ
Cõu 81. Gii nhanh:

4

4n + 2n+1
:
3n + 4n+2

4

n

n

C th : lim 4

n+1

4 +2
3n + 4n+a

ổử
1ữ
1+ 2.ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố2ứ
1
= lim 4
= a =
n
4

ổ3ử
a
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ+4
ỗ
ố4ứ

1
a 2

(2 )

=

1
.
2a

n
ổ n 2 + 2n ( - 1) n ử
( - 1)
ữ
n 2 + 2n
ỗ
ữ
ỗ
lim

+
=
lim
+
lim
. Ta cú
ữ
Cõu 82. Ta cú
ỗ
ữ
ỗ
ữ
3n ứ
3n - 1
3n
ỗ
ố 3n - 1


ỡù
2
ùù
1+
ùù
n 2 + 2n
n =1
= lim
ùù lim
ổ n 2 + 2n ( - 1) n ử
1

3
n
1
3
ùù
ữ 1
ỗ
3ị lim ỗ
+ n ữ
= . Chn C.
ữ
ớ
ỗ
n
ữ
ỗ
ùù
3n - 1
3 ứ
ữ 3
ỗ
ố
n
n
n
ùù
( - 1)
1ữ
ùù 0 Ê ( - 1) Ê ổử
ỗ

đ 0 ị lim n = 0
ữ
ỗ
n
ữ
ùù
ỗ
ố
ứ
3
3
3
ùợ
n
ổ 3n +( - 1) n cos 3n ử
ổ 3n
( - 1) cos 3n ử
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
=
lim
+
. Ta cú :
ữ
ữ

Cõu 83. lim ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
n
1
ữ
n
1
n
ữ
ỗ
ỗ
ố
ứ
ố
ứ
ỡù
ùù lim 3n = 3 = 3
ùù
ổ 3n +( - 1) n cos 3n ử
1
n- 1
ữ
ỗ
ù
ữ

ỗ
ị
lim
= 3.
ữ
ớ
n
n
ỗ
ữ
ỗ
ùù
ữ
1
cos
3
n
( - 1) cos 3n
(
)
n
1
1
ỗ
ố
ứ
ùù 0 Ê
Ê
đ 0 ị lim
=0

ùù
n- 1
n- 1
n- 1
ùợ
Chn B.
ỡù
1
ùù
a- 2
2
ùù lim an - 1 = lim
n =a
ùù
3
3+ n2
an2 - 1 1
ù
+1
ị
lim
3
+
= 3+ a.
2
Cõu 84. Ta cú ớ
n
ùù
3+ n2 2n
n

ùù
1ữ
ùù lim 1 = limổử
ỗ
ữ
ỗ ữ=0
ùù
ỗ
ố2ứ
2n
ợ
ỡù a ẻ ( 0;20) , a ẻ Â
ắắ
đ a ẻ {1;6;13} . Chn B.
Ta cú ùớ
ùù a + 3 ẻ Â
ợ
n

ổử
n
1ữ
+ 2.ỗ
ữ
ỗ
ữ. Vỡ
ỗ
ố3 ứ
3n
ỹ

ùù
ùù
ùù
ùù
lim 3n = +Ơ
ỡù lim 3n = +Ơ
ùù
ùù
ù
n
n
n
2
n
n
0Ê n Ê 2 =
=
đ 0 ị lim n = 0ùý ắắ
đ ùớ
,
1ữ
ùù
ùù lim 2 - n + 2.ổử
n ( n - 1)
3
Cn
n- 1
3
ỗ
=

2
>
0
ữ
ỗ
ùù
ùù
ỗ
ố3 ữ
ứ
3n
ùợ
2
ùù
ùù
n
ổử
1ữ
ùù
lim ỗ
ữ
ỗ
ữ=0
ùù
ỗ
ố3 ứ
ỵ
n
do ú lim 2.3 - n + 2 = +Ơ . Chn D.
Cõu 85. Ta cú lim 2.3n - n + 2 = lim 3n . 2 -

Cõu 86. Gi q l cụng bi ca cp s nhõn, ta cú :
ỡù u1
1
ùỡù
ùù
=2
ỡù u1 = 2 ( 1- q )
ùù q =ù
ùù 1- q
2
ù
ùớ
. Chn A.
ớ
9 ớù
ổ
ử
ùù
1ữ
1- q3 9 ùù 2 ( 1- q 3 ) =
ù
ỗ
u
=
2
1
+
=
3

=
ùù S3 = u1 .
ùù
ỗ
4 ùù 1
ữ
ỗ 2ữ
ố
ứ
1- q
4 ợ
ùợ
ùợù
Cõu 87. Ta cú


æ
ö
÷
æ ö
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
ç
÷

÷
ç
1 1
1
1
1
1
1
1
27
ç
÷
÷
ç
ç
÷
S = 9 + 3 +1 + + +L + n- 3 +L = 9 ç1 + + 2 + 4 +L + n- 1 +L ÷
=
9
= .
÷ ç
÷
ç
÷
ç
1÷ 2
3 9
3
3 4444
3424444444

34444443÷
ç
1444344444
ç
÷
1- ÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
1
ç
è
÷
3ø
CSN
lvh
:
u
=
1,
q
=
ç
1
è
ø
3

Chọn A.
Câu 88. Ta có
æ
ö
÷
æ
ö
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
1
1
1
1
1
ç
÷
÷
ç
ç
÷

÷= 2 2. Chọn C.
S = 2 ç1 + + + +L + n +L ÷= 2 ç
÷
ç
÷
ç
1
÷
2 444444448424444444
2 444443÷
ç
1
44
44
ç
÷
÷
1
ç
÷
ç
÷
÷
ç
1
ç
è
ø
÷
2

CSN
lvh
:
u
=
1,
q
=
ç
1
è
ø
2
Câu 89. Ta có
2
n
æö
2 4
2n
2 æ
2ö
2÷
1
÷
ç
ç
S = 1 + + +L + n +L = 1 + +ç ÷
= 3.
÷
÷ +L + ç

÷ +L =
ç
ç
2
è
ø
è
ø
3 9
3
3
3
3
Chọn A.
144444444444424444444444443 12
3
CSN lvh: u1 =1, q =
3

Câu 90. Ta có :
n +1

( - 1)
1 1 1
S = - + +L +
2 6 18
2.3n- 1

æ
ö

÷
ö
ç
÷ æ
ç
÷
ç
n +1 ÷
÷
ç
ç
÷
1
÷
(
)
1ç
1
1
1
1
ç
÷
÷= 3 . Chon D.
ç
÷
÷
+L = ç
1
+

+
L
+
=
ç
÷
ç
÷
2
n
1
÷
ç
1
÷
2ç
3
3
3
2
8
ç
14444444444244444444443÷
÷
ç
÷
1
+
ç
÷

ç
÷
÷
ç
1
ç
è
ø
÷
3
CSN lvh:u1 =1, q =ç
è
ø
3

Câu 91. Ta có
æ
æ1
1 1ö æ
1 1ö
1ö
S =ç
+ç
+ ... +ç
÷
÷
÷
ç - ÷
ç - ÷
ç n - n÷

÷
÷
÷+ ...
ç
ç
ç
è2 3 ø è4 9 ø
è2
3 ø
æ
ö
æ
ö
÷
÷
ç
ç
1
1
÷
÷
ç
÷
÷ ç
ç
ç
÷
÷
ç
1

1
1
1
1
1
1 1
ç
÷
÷
=ç
+ + L + n +L ÷
- ç
+ +L + n +L ÷
= 2 - 3 = 1- = .
ç
ç
÷
÷
ç
÷
÷
ç
1
1
24444444442444
2444443÷ ç1
3 9
3 4443÷
2 2
ç

1
÷
11÷
ç 44444444244444
ç
÷
÷
1
1
ç
÷
÷ ç
2
3
CSN lvh: u1 =q =
CSN
lvh
:
u
=
q
=
ç
ç
1
è
ø
è
ø
2

3
Chọn D.
Câu 92. Ta có 1+ a+ a2 +... + an là tổng n+1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân
a,
với
số
hạng
đầu
là
và
công
bội
là
nên
1
n+1
n+1
1.
1
a
(
) 1- a
1+ a+ a2 +... + an =
=
.
1- a
1- a
Tương tự: 1+ b+ b2 +... + bn =

1( 1- bn+1 )

=

1- bn+1
.
1- b

1- b
1- an+1
2
n
1+ a + a +... + a
1- b 1- an+1 1- b
= lim 1- na+1 = lim
.
=
( a <1, b <1) .
Do đó lim
2
n
1+ b+ b +... + b
1- b
1- a 1- bn+1 1- a
1- b
Chọn B.
Câu 93. Ta có
2
4
6
2n

S = 114
+
x 44
+44
cos
+
+44
L 44
+4cos
x44
+4
L43=
44cos
44444
444x44
44cos
4244x444
444444
CSN lvh: u1 =1, q =cos2 x

Câu 94. Ta có

1
1
=
. Chọn C.
1- cos 2 x sin 2 x


1

n
S = 1- sin 2 x + sin 4 x - sin 6 x +L +( - 1) . sin 2 n x +L =
.
14444444444444444444444244444444444444444444443 1 + sin 2 x Chọn C.
2
CSN lvh: u1 =1, q =- sin x

ỉ pư
0; ÷
÷
Câu 95. Ta có tan a Ỵ ( 0;1) với mọi a Ỵ ç
ç
÷, do đó
ç
è 4ø
2
3
S = 114
-44
tan
+
a -444
tan
a4+¼
444a44
44tan
444244
4444
4443=
CSN lvh: u1 =1, q =- tan a

1
ïìï
ïï M =
1
m
Þ
Câu 96. Ta có ïí
ïï
1
N
=
ïï
1- n
ỵï

1
cos a
=
=
1 + tan a sin a + cos a

cos a
.
ỉ pư
Chọn B.
÷
2 sin ç
a
+

÷
ç
÷
ç
è
4ø

ïìï
ï m = 1ïíï
ïï
ïï n = 1ỵï

1
M
, khi đó
1
N
1
1
MN
A=
=
=
.
ỉ 1ư
ỉ
ư
1
1- mn
M

+
N - 1 Chọn A.
÷
÷
ç
ç
1- ç
÷
÷
֍
÷
ç1- M ø
ç1- N ø
è
è

Câu 97. Ta có 0,5111L = 0,5+10- 2 +10- 3 +L +10- n +L
Dãy số 10- 2 ;10- 3;...;10- n ;... là một cấp số nhân lùi vơ hạn có số hạng đầu bằng
u1
10- 2
1
=
= .
- 1
1- q 1- 10
90
ì
a
=
23

ï
46 23
=
¾¾
® ïí
¾¾
®T = a+ b = 68. Chọn B.
Vậy 0,5111... = 0,5+ S =
ïïỵ b = 45
90 45
Câu 98. Ta có
35
2
35
35
35 ìï a = 35
10
A = 0,353535... = 0,35 + 0, 0035 +... = 2 + 4 + ... =
= Þ ïí
Þ T = 3465. .
ïïỵ b = 99
1
10
10
99
110 2
Chọn B.
Câu 99. Ta có
B = 5, 231231... = 5 + 0, 231 + 0, 000231 +...
231

3
ìï a = 1742
231 231
231 1742
10
= 5 + 3 + 6 + ... = 5 +
=5+
=
¾¾
® ïí
Þ T = 1409
ïïỵ b = 333
1
10
10
999
333
1103
Chọn A.
Câu 100. Ta có
ỉ1
1
1 ư
0,17232323¼ = 0,17 + 23ç
+
+
L÷
÷
ç
÷

ç
è104 106 108 ø
u1 = 10- 2, cơng bội bằng q = 10- 1 nên S =

1
17
17
23
1706
853
=
+ 23. 10000 =
+
=
=
.
1
100
100 100.99 9900 4950
1100
ïì a = 853
¾¾
® ïí
Þ 212 < T = 4097 < 213.
ïïỵ b = 4950
Chọn D.

 Bài 02
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

® Chọn A.
( 3x 2 + 7 x +11) = 3.22 + 7.2 +11 = 37 ¾¾
Câu 1. lim
x® 2
2
Câu 2. lim x - 4 =
x® 3

( 3)

2

- 4 = 1 ¾¾
® Chọn B.

1
1
= 0.sin = 0 ¾¾
® Chọn D.
2
2
2
x 2 - 3 ( - 1) - 3
=
= - 2 ¾¾
® Chọn B.
Câu 4. xlim
3
®- 1 x 3 + 2

( - 1) + 2
Câu 3. Ta có lim x 2 sin
x®0

Câu 5. lim
x ®1

x - x3

( 2 x - 1) ( x - 3)
4

Câu 6. Ta có lim

x ®- 1

x ®- 1

= 0 ¾¾
® Chọn C.

3 x 2 +1 - x
3 +1 +1
3
=
= - ¾¾
® Chọn A.
x- 1
- 1- 1
2

( 2 x - 1) ( x - 3)

x® 2

( 2.1- 1) ( 14 - 3)

4

9x2 - x

Câu 9. lim 3

1- 13

- 1- 1
x- 1
2
=
= - ¾¾
® Chọn D.
x + x - 3 1- 1- 3
3

Câu 7. Ta có lim
Câu 8. lim
x ®3

=

4

=

9.32 - 3

( 2.3 - 1) ( 34 - 3)

=

1
5

¾¾
® Chọn C.

x 2 - x +1
2 2 - 2 +1 1
=
= ¾¾
® Chọn B.
2
x + 2x
22 + 2.2
2
3

3
3x 2 - 4 - 3x - 2
12 - 4 - 6 - 2 0

=
= = 0 ¾¾
® Chọn C.
x® 2
x +1
3
3
ïìï lim+ ( x - 15) = - 13 < 0
x - 15
x® 2
¾¾
® lim+
= - ¥ . Chọn A.
Câu 11. Vì ïí
x®2 x - 2
ïï lim ( x - 2) = 0 & x - 2 > 0, " x > 2
+
ïî x® 2
ìï lim x + 2 = 2 > 0
ïï x® 2+
x +2
¾¾
® lim+
= +¥ . Chọn B.
Câu 12. í
x® 2
ïï lim x - 2 = 0 & x - 2 > 0, " x > 2
x- 2
+
ïîï x® 2

Câu 10. Ta có: lim

Câu 13. Ta có x + 2 = x + 2 với mọi x >- 2, do đó :
3x + 6
x +2

= lim +

3 x +2

x ®( - 2)

x +2

= lim +

3 ( x + 2)

= lim + 3 = 3 ¾¾
® Chọn B.
x ®( - 2)
x +2
2- x
2- x
1
1
= lim= lim= - . Chọn C.
Câu 14. Ta có xlim
2

® 2- 2x - 5x + 2
x® 2 ( 2- x) ( 1- 2x)
x® 2 1- 2x
3
lim +

x ®( - 2)

x ®( - 2)

Câu 15. Ta có x + 3 > 0 với mọi x >- 3, nên:
lim+

x ®- 3

x 2 +13x + 30

( x + 3) ( x + 5)
2

= lim+
x ®- 3

( x + 3) ( x +10)
( x + 3) ( x + 5)
2

= lim+
x ®- 3

x + 3.( x +10)
2

x +5

=

- 3 + 3 ( - 3 + 7)
2

( - 3) + 5

=0

.
Chọn C.
2
2
® Chọn B.
Câu 16. lim+ f ( x) = lim+ 3 x +1 = 3.1 +1 = 2 ¾¾
x ®1

x ®1

ìï lim ( x 2 +1) = 2
ï x®1x 2 +1
. Chọn A.
Câu 17. lim- f ( x) = lim= +¥ vì ïí
ïï lim ( 1- x ) = 0 & 1- x > 0 ( " x <1)
x ®1

x ®1 1 - x
ïî x®1


ỡù lim f ( x ) = lim ( x 2 - 3) = 1
ù x đ 2+
x đ 2+
ị lim+ f ( x ) = lim- f ( x ) = 1 ị lim f ( x ) = 1.
Cõu 18. Ta cú ùớ
xđ 2
xđ 2
xđ 2
ùù lim f ( x) = lim ( x - 1) = 1
ùợ xđ 2x đ 2Chn C.
ỡù lim f ( x) = lim ( ax - 1) = 2a - 1
ùù xđ 2x đ 2.
Cõu 19. Ta cú ớ
ùù lim f ( x ) = lim x - 2 + 3 = 3
x đ 2+
ợù xđ 2+
Khi ú lim f ( x) tn ti lim- f ( x ) = lim+ f ( x ) 2a - 1 = 3 a = 2. Chn B.

(

xđ 2

)

xđ2

xđ 2

ỡù lim f ( x) = lim ( x - 2 x + 3) = 6
ù xđ3+
x đ3+
ắắ
đ lim+ f ( x ) ạ lim- f ( x)
Cõu 20. Ta cú ùớ
xđ3
x đ3
ùù lim f ( x ) = lim ( 3 - 2 x 2 ) = - 15
x đ3ùợ xđ3ắắ
đ khụng tn ti gii hn khi x đ 3.
Vy ch cú khng nh C sai. Chn C.
ỡù lim x 3 = - Ơ
ùù xđ- Ơ
ổ
ử
1ữ
3
3ỗ1
lim
x
x
+
1
=
lim
x
1

+
=
+Ơ
.
ữ
Cõu 21. xđ- Ơ (
vỡ ùớ
) xđ- Ơ ỗỗốx 2
1
1ử
ữ
ùù lim ổ
ữ
ỗ
x3 ứ
1
+
=
1
<
0
ữ
ỗ
ữ
ùù xđ- Ơ ỗ
ốx 2
x3 ứ
ợ
Chn D.
3

3
đ+Ơ khi x đ - Ơ .
Gii nhanh: x - x +1 : ( - 1) x ắắ
2

Cõu 22. Ta cú
ổ
2 3ử
3
lim ( x + 2x2 + 3 x ) = lim ( - x3 + 2x2 - 3x) = lim x3 ỗ
- 1+ - 2 ữ
ữ= +Ơ . Chn B.
ỗ
ữ
ỗ
xđ- Ơ
xđ- Ơ
ố
x x ứ

xđ- Ơ

3
3
Gii nhanh: x + 2 x 2 + 3 x : x đ +Ơ khi x đ - Ơ .

Cõu 23. Gii nhanh: x đ +Ơ : x 2 +1 + x :
t x lm nhõn t chung:
lim

x đ+Ơ

(

x 2 + x = 2 x đ +Ơ . Chn B.

ỡù lim x = +Ơ
ùù xđ+Ơ
ổ
ử
1
ữ= +Ơ
ùớ
ữ
ỗ
x 2 +1 + x) = lim x ỗ
1
+
+
1
.
vỡ
ữ
ỗ
ữ
x đ+Ơ
ùù lim 1+ 1 +1= 2 > 0
ỗ
x2
ố

ứ
2
+
ùù xđ 2
x
ợ

Cõu 23. Gii nhanh:

x đ +Ơ : 3 3 x3 - 1 + x 2 + 2 :

3

3x3 + x 2 =

(

3

)

3 +1 x đ +Ơ .

Chn B.
t x lm nhõn t chung:
ổ
1
2ử
ữ
3 3ữ= +Ơ vỡ

ỗ
1 + x 2 + 2 ) = lim x ỗ
+
1
+
3
2 ữ
ỗ
ữ
x đ+Ơ
ỗ
x
x ứ
ố

( 3 3x3 x đ+Ơ
lim

x = +Ơ
ùỡù xlim
ùù đ+Ơ
ổ
.
ớ
1
2ử
3
ùù lim ỗ
ữ
ỗ3 3 - 3 + 1 + 2 ữ

ữ= 3 +1 > 0
ùù xđ+Ơ ỗ
ữ
ỗ
x
x ứ
ố
ùợ
Cõu 25. Gii nhanh: x đ +Ơ : x

(

) (

4x2 + 7 x + 2x : x

)

4 x 2 + 2 x = 4 x 2 đ +Ơ .

Chn D.
t x 2 lm nhõn t chung:
lim x

x đ+Ơ

(

ỡù lim x 2 = +Ơ
ùù xđ+Ơ

ổ
ử
7
ù
ữ
2
2ỗ
ữ
ỗ
4 x + 7 x + 2 x = lim x ỗ 4 + + 2ữ= +Ơ vỡ ùớ
.
ổ
ử
7
x đ+Ơ
ùù lim ỗ
ữ
ỗ
x
ữ
ố
ứ
ỗ 4 + + 2ữ
ữ= 4 > 0
ùù xđ+Ơ ỗ
ữ
ỗ
x
ố
ứ

ùợ

)


x3 - 8
(x - 2)(x2 + 2x + 4)
x2 + 2x + 4 12
=
lim
=
lim
= =3
xđ 2 x2 - 4
xđ 2
xđ 2
(x - 2)(x + 2)
x+2
4

Cõu 26. Ta cú lim
Chn C.
Cõu 27. xlim
đ- 1

( x +1) ( x4 - x3 + x2 - x +1)
x5 +1
x4 - x3 + x2 - x +1 5
=
lim

=
lim
= .
xđ- 1
x3 +1 xđ- 1
x2 - x +1
3
( x +1) ( x2 - x +1)

Chn D.

(

)(

)

(

)

2 x + 3 x2 - 3x + 3
2 x2 - 3x + 3
2x3 + 3 3
= lim
= lim
Cõu 28. Ta cú lim
xđ- 3
xđ- 3
xđ- 3

3- x2
3- x
3- x 3 + x

(

=

ộ
2 ờờ
ở

(

)

2

)

3. -

(

)

3- -

Cõu 29. xlim
đ- 3

)

ự
3 + 3ỳ
ỡù a = 3
ỳ 18
ỷ
=
= 3 3 ắắ
đ ùớ
ị a2 + b2 = 10 . Chn A.
ù
b
=
1
2 3
3
ùợ

(

3 -

)(

( x + 3) ( x - 2)
- x2 - x + 6
x- 2
- 3- 2 5

= lim
= lim
=
= . Chn C.
2
x
đ3
x
đ3
x + 3x
x( x + 3)
x
- 3
3

Cõu 30. Ta cú 3- x > 0 vi mi x < 3, do ú:
3- x
3- x
lim
= lim3
xđ 3xđ 3
27- x
( 3- x) ( 9+ 3x + x2 )
3- x

= lim-

2

9+ 3x + x

Cõu 31. Ta cú
xđ 3

lim

3- 3

=

( x2 + p21) 7 1-

9+ 3.3+ 32
2x - p21

x

xđ 0

xđ 0

(

xđ1

x

= lim+
xđ 0

)

3

xđ1 3

3

x2 + x x2

( x2 + x) -

x2

(

4x + 4 - 2

= lim
xđ1

xđ 0

x

x2 + x + x

)

= lim+
xđ 0

2p21 Chn A.
.
7
1
2

x +x + x

(

3

2

( 4x + 4- 8) ( 3 x2 + 3 x +1)

( 4x + 4) + 23 4x + 4 + 4

(

4

3

)

12

x2 + 3 x +1

ổ
2 1+ x - 2 2- 3 8- x ử
ữ
ữ
ỗ
= limỗ
+
ữ
ỗ
ữ
xđ 0 ỗ
x
x
ố
ứ
ổ
ử
ữ
ỗ
2
1
1 13
ữ
ỗ
ữ
= limỗ
+
= 1+ = . Chn B.
ữ

ữ
2
xđ 0 ỗ
ỗ
12 12
x +1+1 4 + 23 8- x + 3 ( 8- x) ữ
ỗ
ữ
ố
ứ
3
ổ3 ax +1- 1 1- 1- bx ử
ax +1- 1- bx
ữ
ữ
Cõu 35. Ta cú lim
ỗ
= limỗ
+
ữ
xđ 0
xđ 0 ỗ
ố
ứ
x
x
x
Cõu 34. Ta cú lim
xđ 0

2 1+ x x

3

8- x

)

( 4x + 4) + 23 4x + 4 + 4

) = 12 = 1. Chn C.

2

= +Ơ

x2 + x + x > 0 vi mi x > 0. Chn D.
(x - 1)

x- 1

) + lim x = -

2x - 1

x

x2 + x + x = 0 v

Cõu 33. Ta cú lim

(
= lim

= lim

( x2 + p21) ( 7 1-

xđ 0

Cõu 32. Ta cú xlim
đ 0+
vỡ 1> 0 ; lim+

= 0. Chn B.


ổ
ử
ax
bx
ữ
= limỗ
+
ữ
ỗ
ữ
xđ 0 ỗ
2
ữ

3
3
x
1
+
1
x
ỗ
ữ
x
x
+
1
+
x
+
1
+
1
(
)
ỗ
ữ
ỗ
ố
ứ
ổ
ử
a
b

ữ= a + b = 2.
= limỗ
+
ữ
ỗ
ữ 3 2
xđ 0 ỗ
2
3
3
ỗ
ữ
( x +1) + x +1+1 1+ 1- x ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố
ứ
ùỡù a + b = 5
ỡù a+ b = 5
ù
ớù
a = 3, b = 2 ắắ
đ Chn A.
Vy ta c: ớ a b
ùù + = 2 ùợù 2a + 3b = 12
ợù 3 2
5 3
2+ - 2
2x2 + 5x - 3

x x =2
= lim
Cõu 36. Ta cú xlim
. Chn D.
đ- Ơ x2 + 6x + 3
xđ+Ơ
6 3
1+ + 2
x x
2
2x + 5x - 3 2x2
Gii nhanh : khi x đ - Ơ thỡ : 2
:
= 2.
x + 6x + 3
x2
5 3
2+ - 3
2x3 + 5x2 - 3
x x =- Ơ .
= lim x.
Cõu 37. Ta cú: xlim
Chn C.
đ- Ơ
xđ- Ơ
6 3
x2 + 6x + 3
1+ + 2
x x
3

2
2x + 5x - 3 2x3
Gii nhanh : khi x đ - Ơ thỡ :
:
= 2x đ - Ơ .
x2 + 6x + 3
x2
2
7 11
- 4+ 6
3
2x3 - 7x2 +11
x
x = 0 = 0.
= lim x
Cõu 38. Ta cú: xlim
Chn C.
đ- Ơ 3x6 + 2x5 - 5
xđ- Ơ
2 5
3
3+ - 6
x x
3
2
2x - 7x +11 2x3 2 1
Gii nhanh : khi x đ - Ơ thỡ :
:
= . đ 0.
3x6 + 2x5 - 5 3x6 3 x3

(

(

Cõu 39. Khi x đ - Ơ thỡ

)

)

(

(

)

)

x2 = - x ắắ
đ x2 +1- x :

ắắ
đ chia c t v mu cho x , ta c lim
xđ- Ơ

x2 - x = - x - x = - 2x =
/ 0

3

x
= lim
= - 1.
2
xđ- Ơ
1
x +1- x
- 1+ 2 - 1
x
2x - 3

2-

Chn D.
Cõu 40. Khi x đ +Ơ thỡ x2 = x ắắ
đ x2 +1- x : x2 - x = x - x = 0
ắắ
đ Nhõn lng liờn hp:
ử
ổ
( 2- a) x - 3
3ửổ
1
ỗ
ữ
ỗ
= lim ( ( 2- a) x - 3) x2 +1+ x = lim x2 ỗ
2- a - ữ
1+ 2 +1ữ
.

ữ
Ta cú xlim
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
đ+Ơ
xđ+Ơ
ố
xứỗ
x
ố
ứ
x2 +1- x xđ+Ơ
ỡù lim x2 = +Ơ
ùù xđ+Ơ
( 2- a) x - 3
ù
ị lim
= +Ơ
ổ
ử
Vỡ ùớ
1
ữ
2
x
đ+Ơ

ùù lim ỗ
ữ
ỗ
1
+
+
1
=
4
>
0
x
+
1
x
ữ
ùù xđ+Ơ ỗ
ữ
ỗ
x2
ố
ứ
ùợ
ổ
3ử
lim ỗ
ữ
ỗ2- a- ữ
ữ= 2- a > 0 ị a < 2 .
xđ+Ơ ỗ

ố
xứ

(

đ
Gii nhanh : ta cú x đ +Ơ ắắ

2x - 3
x2 +1- x

)


= ( ( 2- a) x - 3)

(

)

(

)

x2 +1 + x : ( 2- a) x.

x2 + x = 2( 2- a) x đ +Ơ a < 2 .

2

Khi ú P = a - 2a+ 4 = ( a- 1) + 3 3, P = 3 a = 1< 2 ị Pmin = 3. Chn B.
2

4x2 - x +1
:
x +1

Cõu 41. Gii nhanh: khi x đ - Ơ ắắ
đ
4x2 - x +1
= lim
xđ- Ơ
x +1

C th: lim
xđ- Ơ

4x2 - 2x
=
= - 2. Chn C.
x
x

1 1
+
x x2 = - 4 = - 2.
1
1
1+
x

-

4-

Cõu 42. Gii nhanh : khi
4x2 - 2x +1+ 2- x

x đ +Ơ ắắ
đ

2

9x - 3x + 2x

4x2 - x

:

=

2

9x + 2x

2x - x
1
= . Chn D.
3x + 2x 5

2 1 2
+ + - 1
1
x x2 x
lim
=
lim
= .
C th : xđ+Ơ
2
xđ+Ơ
5
3
9x - 3x + 2x
9- + 2
x
2
Cõu 43. Ta phi cú ax - 3x > 0 trờn ( - Ơ ;a ) a 0.
4-

4x2 - 2x +1+ 2- x

Ta cú x đ - Ơ ắắ
đ 4x2 - 2x +1+ 2- x :

4x2 - x = - 3x =
/ 0.
4x2 - 2x +1+ 2- x

Nh vy xem nh t l mt a thc bc 1. Khi ú lim

ax2 - 3x + bx

xđ- Ơ

khi v ch khi
Ta cú

ax2 - 3x + bx l a thc bc 1.

(

ax2 - 3x + bx :

Khi ú

>0

)

ax2 + bx = -

4x2 - 2x +1+ 2- x
2

ax - 3x + bx

:

a + b x ắắ

đ-

- 3x

(-

)

a +b x

=

3
b-

a

a +b=
/ 0.

= L > 0 b-

a > 0 ị b> a.

Chn B.
đ
Cõu 44. Gii nhanh: x đ - Ơ ắắ

3

x3 + 2x2 +1
2

2x +1

3

:

x3
2

2x

=

x
-

2x

=-

1
2

C.
3

C th: xlim

đ- Ơ

x3 + 2x2 +1
2x2 +1

2 1
1+ + 3
x x =- 1 .
= lim
xđ- Ơ
1
2
- 2+ 2
x
3

Cõu 45. Gii nhanh: x đ - Ơ ắắ
đ 2x2 +1+ ax :
=-

(

2x + ax = a-

)

2 x đ +Ơ a-

x = - Ơ nờn lim
C th: vỡ xlim

đ- Ơ
xđ- Ơ
ổ
ử
1
ữ= aữ
ỗ
lim ỗ
2
+
+
a
ữ
ữ
xđ- Ơ ỗ
ỗ
x2
ố
ứ

(

2x2 + x

2 < 0 a < 2. Chn B.
ổ
ử
1
ữ
ữ

ỗ
2x2 +1+ ax = lim xỗ
2
+
+
a
= +Ơ
ữ
2
ỗ
xđ- Ơ
ữ
ỗ
x
ố
ứ

)

2 < 0 a < 2.

đ 2x3 - x2 : 2x3 đ - Ơ . Chn D.
Cõu 46. Gii nhanh : x đ - Ơ ắắ

. Chn


ỡù lim x3 = - Ơ
ùù xđ- Ơ
1ử

3
2)
3ổ
ù
ữ
ỗ
(
2x - x = lim x ỗ2- ữ
.
C th: xlim
ổ 1ử
ữ= - Ơ vỡ ớù
ỗ
đ- Ơ
xđ- Ơ
ố xứ
ỗ
= 2> 0
ữ
ùù xlim
ỗ2- ữ
ữ
đ- Ơ ỗ
ố xứ
ùợ
ổ1
ổx + 2- 1ử
ổx +1 ử
1 ử
ữ

ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
Cõu 47. Ta cú lim- ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ= xlim
ữ= xlim
ữ= - Ơ
ỗx - 2 x2 - 4ứ
ỗ x2 - 4 ứ
ỗx2 - 4ứ
xđ 2 ố
đ 2- ố
đ 2- ố

( x +1) = 3> 0; lim- ( x2 - 4) = 0 v x2 - 4 < 0 vi mi x ẻ ( - 2;2) . Chn A.
Vỡ xlim
đ 2xđ 2
2
2
ổa
b ử
ữ= lim a + ax + ax - b = lim a + ax + ax - b .
ỗ

ữ
ỗ
Cõu 48. Ta cú lim
3
3
ữ
xđ1 ỗ
xđ1
ố1- x 1- x ứ xđ1
1- x
( 1- x) ( 1+ x + x2 )

ổa
b ử
2
ữ
ỗ
ữ
Khi ú lim
ỗ
ữ hu hn 1+ a.1+ a.1 - b = 0 2a- b = - 1.
ỗ1- x 1- x3 ứ
xđ1 ố
ổa
ùỡ a + b = 4
ùỡ a = 1
b ử
ữ
ùớ
ị L = - lim ỗ

ữ
Vy ta cú ùớ
ỗ
ữ
ỗ
x
đ
1
ùợù 2a- b = - 1 ùợù b = 3
ố1- x 1- x3 ứ
= - lim
xđ1

x2 + x - 2

( 1- x) ( 1+ x + x

2

)

= - lim
xđ1

- ( x + 2)
= 1 . Chn C.
1+ x + x2

ổ 1
ử

ữ
(
ỗ
1+ 2x2 - x) = lim xỗ
+ 2 - 1ữ
= +Ơ
Cõu 49. Ta cú xlim
ữ
2
ỗ
ữ
đ+Ơ
xđ+Ơ
ỗ
ố x
ứ
ổ 1
ử
ữ= 2 - 1> 0.
ữ
ỗ
x = +Ơ ; lim ỗ
+
2
1
Vỡ xlim
Chn B.
ữ
ữ
đ+Ơ

xđ+Ơ ỗ
ỗ x2
ố
ứ
đ 1+ 2x2 - x :
Gii nhanh : x đ +Ơ ắắ
Cõu 50. x đ +Ơ ắắ
đ x2 +1- x :

2x2 - x = 2x - x =

(

)

)

2 - 1 x đ +Ơ .

x2 - x = x - x = 0 ắắ
đ Nhõn lng liờn hp.
1

đ x2 +1- x =
Gii nhanh: x đ +Ơ ắắ

C th: xlim
đ+Ơ

(

2

1
2

=

1
đ 0. Chn A.
2x

x +x
1
1
0
x
= lim
= = 0.
2
xđ+Ơ
2
1
x +1 + x
1+ 2 +1
x

x2 +1- x = lim
xđ+Ơ

x +1 + x

:

Cõu 51. x đ - Ơ ắắ
đ 5x2 + 2x + x 5 :
ắắ
đ Nhõn lng liờn hp:

5x2 + x 5 = -

5x + x 5 = 0

Gii nhanh: x đ - Ơ ắắ
đ 5x2 + 2x + x 5
=

2x
2

5x + 2x + x 5

C th: Ta cú xlim
đ- Ơ
= lim
xđ- Ơ

-

:

(

2x
2

5x - x 5

=

2x
- 2 5x

)

=-

1
5

5x2 + 2x + x 5 = lim
xđ- Ơ

.
2x

2

5x + 2x + x 5
ỡù

ùù a = - 1
2
2
1
1
=
==5 ắắ
đớ
5 ị S = - 1. Chn A.
ùù
5
2
- 2 5
5
b
=
0
5+ + 5
ợù
x

Cõu 52. Khi x đ +Ơ ắắ
đ x2 + 3x ắắ
đ Nhõn lng liờn hp:

x2 + 4x :

Gii nhanh: x đ +Ơ ắắ
đ x2 + 3x -

x2 + 4x

x2 -

x2 = 0


=

- x
2

2

x + 3x + x + 4x

C th: xlim
đ+Ơ

(

- x

:

2

x + x

2

- x
1
= - . Chn B.
2x
2

)

x2 + 3x -

x2 + 4x =

- x

lim

xđ+Ơ

=

2

- 1

= lim

2

x + 3x + x + 4x

=-

3
4
1+ + 1+
x
x

xđ+Ơ

1
.
2

Cõu 53. Gii nhanh:
x đ - Ơ ắắ
đ 3 3x3 - 1+ x2 + 2 :

3

3x3 + x2 =

(

3

)

3 - 1 x đ - Ơ . Chn D.

ổ
ử
ữ= - Ơ
( 3 3x3 - 1+ x2 + 2) = lim xỗỗỗ3 3- 13 - 1+ 22 ữ
C th: xlim
ữ
ữ
đ- Ơ
xđ- Ơ
ỗ
x
x ứ
ố
ổ
1
2ử
3 3ữ
ỗ
x = - Ơ , lim ỗ
- 1+ 2 ữ
= 3 3 - 1> 0.
Vỡ xlim
ữ
3
ỗ
ữ
đ- Ơ
xđ- Ơ ỗ
x

x
ố
ứ
3

Cõu 54. Khi x đ +Ơ ắắ
đ x2 + x ắắ
đ Nhõn lng liờn hp:

=

3

x2 + x -

Gii nhanh:

x3 - x2 =

(

x3 - x2 :

) (

x2 + x - x + x -

2

x

2

x +1 + x

+

x

x + x x - 1+ 3 ( x - 1)
2

3

3

3

1 1 5
= + = ( x đ +Ơ ) . Chn A.
2 3 6
C th: xlim
đ+Ơ

(

3

x2 + x -

)

x2 - -

2

2

x +x

(

x3 - x2 = lim
xđ+Ơ

x3 = x - x = 0

x3 - x2

)

2

x

:

3

3

+

x
3

x + x x3 + 6 x6
2

3

x2 + x - x + x -

x3 - x2

)

ổ
ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
x
x2
ữ
ỗ
ữ= 1 + 1 = 5.
= lim ỗ
+
ữ

2
2
xđ+Ơ ỗ
2 3 6
ỗ
ữ
x +1+ x x2 + x 3 x3 - 1 + 3 ( x3 - 1) ữ
ỗ
ữ
ố
ứ
đ 3 2x - 1Cõu 55. x đ +Ơ ắắ
Gii nhanh:
3

2

3

2x - 1- 2

3

2

( 3 2x - 1C th: xlim
đ+Ơ

3

3

2x +1 :

3

2x -

3

2x = 0 ắắ
đ nhõn lng liờn hp:

2x +1 =

( 2x - 1) + 4x - 1- ( 2x +1)
3

3

2

:

- 2
3

2

3

2

3

2

4x + 4x + 4x

2x +1) = lim

xđ+Ơ 3

=

- 2
3

3 4x2

đ 0. Chn A.

- 2
2

( 2x - 1) + 3 ( 2x - 1) ( 2x +1) + 3 ( 2x +1)

2

= 0.

ộ ổ 1ửự
ờxỗ
ỳ
( x - 1) = 0- 1= - 1. Chn B.
ữ
Cõu 56. Ta cú lim
ỗ1- ữ
ữ= lim
xđ 0 ờ ỗ
ở ố xứỳ
ỷ xđ 0
x
x - 2. x 0. 2
= lim+
=
= 0 . Chn C.
Cõu 57. Ta cú lim+ ( x - 2)
2
xđ 2
x - 4 xđ 2
2
x+2
Cõu 58. Gii nhanh:
2x +1
2x
6
1
6 1
6

x đ +Ơ ắắ
đx
: x.
=
.x.
=
.x. =
. Chn B.
3
2
2
2
3x + x + 2
3x
3
3
x
3
x


2x +1
= lim
Cụ thể: lim x
3
x®+¥
3x + x2 + 2 x®+¥

2+

x2 ( 2x +1)
3

2

3x + x + 2

= lim
x®+¥

1
x

1 2
3+ + 3
x x

=

6
.
3

ỉ
1ư
x2 ç
sin px - 2 ÷
÷
Câu 59. Ta có lim
( x2 sin px - 1) = - 1. Chọn B.

ç
÷= lim
ç
x® 0
x® 0
è
x ø
x
> 0.
Câu 60. Với x Ỵ ( - 1;0) thì x+1> 0 và
x- 1
Do đó

lim+ ( x3 +1)

x®( - 1)

x
x
= lim+ ( x +1) ( x2 - x +1)
x - 1 x®( - 1)
( x - 1) ( x +1)
2

= lim+ x +1( x2 - x +1)
x®( - 1)

x
= 0 . Chọn C.
x- 1

 Bài 03
HÀM SỐ LIÊN TỤC
ïì 3 - x ³ 0
Û
Câu 1. Điều kiện: ïí
ïỵï x + 4 > 0
( - 4;3) . Xét tại x = 3, ta có

ïìï x >- 4 TXD
¾¾¾
® D = ( - 4; 3] ¾¾
® hàm số liên tục trên
í
ïỵï x £ - 3

ỉ
ư 1
1 ÷
÷
lim- f ( x ) = lim- ç
3- x +
=
= f ( 3) ¾¾
® Hàm số liên tục trái tại x = 3.
ç
÷
ç
x®3
x ®3 ç

è
ø
x +4 ÷
7
Vậy hàm số liên tục trên ( - 4;3]. Chọn C.
TXD
/ 0 với mọi x Ỵ ¡ ¾¾¾
® D = ¡ ¾¾
® Hàm số liên tục trên ¡ .
Câu 2. Vì 2sin x + 3 =
Chọn D.
Câu 3. Vì f ( x ) liên tục trên ¡ nên suy ra

x 2 - 3x + 2
= lim ( x - 2) = - 1. Chọn D.
x ®1
x ®1
x ®1
x- 1
Câu 4. Vì f ( x ) liên tục trên [- 3;3] nên suy ra
f ( 1) = lim f ( x ) = lim

f ( 0) = lim f ( x) = lim
x® 0

x ®0

x +3 - 3- x
2
1

= lim
=
. Chọn B.
x
®
0
x
x +3 + 3- x
3

Câu 5. Vì f ( x ) liên tục trên ( - 4; +¥ ) nên suy ra
f ( 0) = lim f ( x ) = lim

x

(

)

= lim x + 4 + 2 = 4. Chọn C.
x + 4 - 2 x® 0
Câu 6. Tập xác định: D = ¡ , chứa x = 2 . Theo giả thiết thì ta phải có
x2 - x - 2
m = f ( 2) = lim f ( x) = lim
= lim ( x +1) = 3. Chọn D.
x® 2
x® 2
x® 2
x- 2
x

Ỵ
¡
Câu 7. Hàm số xác định với mọi
. Theo giả thiết ta phải có
3
2
( x - 1) ( x 2 + 2)
x - x +2x - 2
3 + m = f ( 1) = lim f ( x ) = lim
= lim
= lim ( x 2 + 2 ) = 3 Û m = 0.
x ®1
x ®1
x ®1
x ®1
x- 1
x- 1
Chọn A.
Câu 8. Hàm số f ( x ) có TXĐ: D = [ 0; +¥ ) . Điều kiện bài tốn tương đương với
x® 0

x® 0


x- 1
1
1
1
= lim
= k = - . Chn C.

x đ1
x- 1
2
x +1 2
Cõu 9. Hm s f ( x ) cú tp xỏc nh l ( - 1; +Ơ ) . Theo gi thit ta phi cú
Ta cú: k +1 = y ( 1) = lim y = lim
x đ1

x đ1

m = f ( 3) = lim f ( x ) = lim
x đ3

x đ3

3- x
x +1 - 2

= lim

( 3 - x ) ( x +1 + 2)

x đ3

x- 3

= - lim
x đ3

(

)

x +1 + 2 = - 4.

Chn B.
/ 0 ta cú
Cõu 10. Vi mi x =
0 Ê f ( x) = x 2 sin

1
đ lim f ( x) = 0.
Ê x 2 đ 0 khi x đ 0 ắắ
xđ0
x

f ( x ) = 0. Chn C.
Theo gii thit ta phi cú: m = f ( 0) = lim
xđ 0
Cõu 11. Tp xỏc nh:
ỡp
ỹ
ổ
ử
ổ p pử
ổ
p
3p
p 3p ử
D = Ă ùớ + k p | k ẻ Âùý = Uỗ

+ k p; + k pữ
- ; ữ
+ ữ
ữ= L ẩ ỗ
ữẩ ỗ
ữẩ L
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ2
ỗ 2 2ứ
ỗ2
ùợù 2
ùùỵ k ẻ Â ỗ
ố
ứ
ố
ố
2
2ứ
tan x
sin x 1
1
= lim
.
= 1.
=1 =
/ 0 = f ( 0) ắắ

đ f ( x ) khụng
Ta cú lim f ( x) = lim
xđ0
xđ0
x
đ
0
x
x cos x
cos 0
liờn tc ti x = 0. Chn A.
Cõu 12. Tp xỏc nh D = Ă . iu kin bi toỏn tng ng vi
sin px
m = f ( 1) = lim f ( x ) = lim
x đ1
x đ1 x - 1
ộ
sin ( px - p + p)
- sin p( x - 1)
sin p( x - 1) ự
ỳ( *) .
= lim
= lim
= lim ờ
( - p) .
ờ
ỳ
x đ1
x
đ

1
x
đ
1
x- 1
x- 1
p
x
1
(
)
ờ
ỳ
ở
ỷ
t t = p( x - 1) thỡ t đ 0 khi x đ 1. Do ú (*) tr thnh:
sin t
= - p. Chn A.
t đ0
t
Cõu 13. Hm s xỏc nh vi mi x ẻ Ă . iu kin cz bi toỏn tr thnh:
2
ộ ổx p ửự
x pử
2ổ
ữ
ữ
2 x
ỗ
ỗ

ờ
ỳ
2sin ỗ
sin ỗ
ữ
ữ
2 cos
ữ 1
ữỳ
ỗ2 - 2 ứ
ỗ2 - 2 ứ
ờ ố
ố
1 + cos x
2 = lim
ờ
ỳ ( *)
m = f ( p) = lim f ( x ) = lim
=
lim
=
lim
2
2
2
xđp
xđp
xđ p
xđ p
ỳ

x pử
2 xđp ờ ổ
( x - p)
( x - p)
( x - p)
ữ
ờỗ
ữ
ỗ
ữỳ
ỗ2 2 ứ
ờ
ỳ
ố
ở
ỷ
2
ổ
x p
1
sin t ử
1
1
ữ
t t = - đ 0 khi x đ 1. Khi ú (*) tr thnh: m = lim ỗ
= .12 = .
ữ
ỗ
ữ
ỗ

t
đ
0
ố
ứ
2 2
2
t
2
2
m = lim ( - p) .

Chn C.
Cõu 14. Hm s y = f ( x) cú TX: D = Ă .
D thy hm s y = f ( x) liờn tc trờn mi khong ( - Ơ ;- 1) ,( - 1;0) v ( 0;+Ơ ) .
(i) Xột ti x = - 1, ta cú
x ( x +1) ( x 2 - x +1)
x4 + x
=
lim
= lim ( x 2 - x +1) = 3 = f ( - 1) .
x đ- 1 x 2 + x
x đ- 1
x đ- 1
x ( x +1)

lim f ( x) = lim

x đ- 1

ắắ
đ hm s y = f ( x) liờn tc ti x = - 1.
(ii) Xột ti x = 0 , ta cú
x ( x +1) ( x 2 - x +1)
x4 + x
lim f ( x) = lim 2
= lim
= lim ( x 2 - x +1) = 1 = f ( 0) .
xđ0
xđ0 x + x
xđ0
xđ0
x ( x +1)
ắắ
đ hm s y = f ( x) liờn tc ti x = 0 .
Chn B.