hàm số mũ, hàm số logarit
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (394.58 KB, 28 trang )
Bài 03
HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
I. HÀM SỐ LOGARIT
1. Định nghĩa
Cho a là số thực dương và a�1. Hàm số y = loga x gọi là hàm số logarit cơ số
a.
2. Đạo hàm hàm số logarit
y = loga x ��
� y' =
1
;
x ln a
1
y = ln x ��
� y' = ;
x
y = loga u( x) ��
� y' =
u'( x)
u( x) .ln a
.
3. Khảo sát hàm số logarit
Tập xác định: của hàm số logarit y = loga x ( a > 0, a �1) là ( 0;+�) .
Chiều biến thiên: a> 1 : Hàm số đồng biến.
0 < a < 1 : Hàm số nghịch biến.
Tiệm cận: Trục tung Oy là đường tiệm cận đứng.
Đồ thị: Đồ thị đi qua điểm M ( 1;0) , N ( a;1) và nằm phía bên phải trục tung.
II. HÀM SỐ MŨ
1. Định nghĩa
Cho a là số thực dương và a�1. Hàm số y = ax được gọi là hàm số mũ cơ
số a .
2. Đạo hàm của hàm số mũ
y = ax ��
� y' = ax ln a ;
y = ex ��
� y' = ex ;
y = au( x) ��
� y' = u'( x) .ln aa
. u( x) .
3. Khảo sát hàm số mũ
x
Tập xác định: của hàm số mũ y = a ( a > 0, a �1) là �.
Chiều biến thiên: a> 1 : Hàm số ln đồng biến.
0 < a < 1 : Hàm số ln nghịch biến.
Tiệm cận: Trục hồnh Ox là đường tiệm cận ngang.
Đồ thị: Đồ thị đi qua điểm ( 0;1) , ( 1;a) và nằm phía trên trục hồnh.
Nhận xét. Đồ thị hàm số y = ax và đồ thị hàm số y = loga x đối xứng với
nhau qua đường thẳng y = x .
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ
Câu 1. (ĐỀ MINH HOẠ 2016 – 2017) Tìm tập xác định D của
2
hàm số y = log2 ( x - 2x - 3) .
A. D = ( - �;- 1] �[ 3;+�) .
B. D = [- 1;3] .
C. D = ( - �;- 1) �( 3;+�) .
D. D = ( - 1;3) .
�
x>3
2
.
Lời giải. Hàm số xác định � x - 2x - 3> 0 � �
�
x <- 1
�
Vậy tập xác định của hàm số là D = ( - �;- 1) �( 3;+�) . Chọn C.
x- 1
.
x
A. D = ( 0;1) .
B. D = ( 1;+�) .
C. D = �\ { 0} .
D. ( - �;0) �( 1;+�) .
�
x >1
x- 1
>0� �
Lời giải. Hàm số xác định �
. Chọn D.
�
x<0
x
�
Câu 3. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm tập xác định D của
x- 3
.
hàm số y = log5
x+2
A. D = ( - 2;3) .
B. D = ( - �;- 2) �[ 3;+�) .
Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số y = log2
C. D = �\ { - 2} .
D. D = ( - �;- 2) �( 3;+�) .
�
x <- 2
x- 3
>0� �
Lời giải. Hàm số xác định �
. Chọn D.
�
x>3
x+2
�
Câu 4. Tìm tập xác định D của hàm số y = 2- ln( ex) .
A. D = ( 1;2) .
B. D = ( 1;+�) .
C. D = ( 0;1) .
D. D = ( 0;e] .
�
ex > 0
�x > 0
�x > 0
��
��
� 0 < x �e. Chọn
Lời giải. Hàm số xác định � �
�
�
�
2
�
�
�
2- ln( ex) �0 �
ex �e
�
�x �e
D.
Câu 5. Tìm tập xác định D của hàm số y = log2 ( x +1) - 1.
A. D = ( - �;1] .
B. D = ( 3;+�) .
C. D = [1;+�) .
�x +1> 0
x >- 1
�
�
��۳
Lời giải. Hàm số xác định � �
�
�
�
log2 ( x +1) �1 �
�
�x +1�2
C.
Câu 6. Tìm tập xác định D của hàm số y = ln( x - 5 + 5A. D = �\ { 5} .
B. D = �.
D. D = �\ { 3} .
x >- 1
�
�
�
�
x �1
�
x
1 . Chọn
x) .
C. D = ( - �;5) .
D. D = ( 5;+�) .
Lời giải. Hàm số xác định � x - 5 + 5- x > 0
� x - 5 > x - 5 � x - 5 < 0 � x < 5 . Chọn C. Chú ý: A > A � A < 0.
3
Câu 7. Tìm tập xác định D của hàm số y = log 2 x +1- log1 ( 3- x) - log3 ( x - 1) .
2
A. D = ( 1;3) .
B. D = ( - 1;1) .
C. D = ( - �;3) .
D. D = ( 1;+�) .
�x +1> 0 �x >- 1
�
�
�
�
3- x > 0 � �
� D = ( 1;3) . Chọn
Lời giải. Hàm số xác định � �
�
�x < 3 � 1< x < 3 ��
�
�
�
�
�
�x - 1> 0 �
�x > 1
A.
Câu 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
y = ln( x2 - 2mx + m) có tập xác định là �.
A. m< 0 ; m> 1 . B. 0 < m< 1.
C. m�0 ; m�1 .
D. 0 �m�1.
a> 0
�
2
� 0 < m< 1. Chọn B.
Lời giải. Ycbt � x - 2mx + m> 0, " x ��� �
�
�
D ' = m2 - m< 0
�
Câu 9. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham
2
số m để hàm số y = log( x - 2x - m+1) có tập xác định là �.
A. m�0 .
C. m�2 .
D. m> 2 .
a
>
0
�
2
� m< 0 . Chọn B.
Lời giải. Ycbt � x - 2x - m+1> 0, " x ��� �
�
�
D ' = 1+ m- 1< 0
�
B. m< 0 .
Câu 10. Tìm tập xác định D của hàm số y = ln( 1- log2 x) .
A. D = ( 2;+�) . B. D = ( - �;2) .
C. D = ( 0;2) .
�x > 0
Lời giải. Hàm số xác định � �
�
�
1- log2 x > 0
�
D. D = ( - 2;2) .
�x > 0
�x > 0
��
��
� 0 < x < 2 . Chọn C.
�
�
�
�x < 2
log2 x < 1 �
�
log2 ( x - 1) - 1�
.
Câu 11. Tìm tập xác định D của hàm số y = log3 �
�
�
A. D = ( - �;3) . B. D = ( 3;+�) .
C. D = [ 3;+�) .
D. D = �\ { 3} .
�x > 1
�x > 1
�x - 1> 0
��
��
� x > 3. Chọn
Lời giải. Hàm số xác định � �
�
�
�
�
�x - 1> 2 �
�x > 3
log2 ( x - 1) > 1 �
�
B.
1
+ ln( x - 1) .
Câu 12. Tìm tập xác định D của hàm số y =
2- x
A. D = �\ { 2} .
B. D = ( 1;2) .
C. D = [ 0;+�) .
�x Lời giải. Hàm số xác định � �
�
�
2�
D. D = ( - �;1) �( 2;+�) .
1> 0 �
x >1
��
� 1< x < 2 . Chọn B.
�
x>0 �
�x < 2
Câu 13. Tìm tập xác định D của hàm số y =
A. D = ( - 2;+�) .
( x2 + x +1) .log1 ( x + 2) .
2
B. D = [- 2;- 1] .
C.
D = ( - 2;- 1) .
D. D = ( - 2;- 1] .
�x + 2 > 0
�
�
�x >- 2
�
2
�
Lời giải. Hàm số xác định � �
�
�
log1 ( x + 2) �0
( x + x +1) .log1 ( x + 2) �0 �
�
�
�
� 2
2
�
�x >- 2
�x >- 2
��
��
� - 2 < x �- 1. Chọn D.
�
�
�
�x + 2 �1 �
�x �- 1
2
Câu 14. Tìm điều kiện của x để hàm số y = log1 ( 1- 2x + x ) có nghĩa.
x
A. x > 0 .
B. x �0 .
�x > 0
C. �
.
�
�
�x �1
D. x > 1 .
�
1- 2x + x2 > 0
�
x �1
�
�
�
�
�
1
�
�
�
�x > 0.
�
�� >0
� �x > 0 � �
Lời giải. Hàm số có nghĩa
�x
�
�x �1 Chọn C.
�
�
�
�
x
�
1
�
�
�
1
�
�1
�
�
�x
Câu 15. Hàm số nào dưới đây có tập xác định là đoạn [- 1;3] ?
2
A. y = ln( 3+ 2x - x ) .
C. y = 3+ 2x - x2 .
B. y =
D. y =
1
.
3+ 2x - x2
1
3+ 2x - x2
.
1
2
Lời giải. Hàm số y = ln( 3 + 2x - x ) và hàm số y =
3+ 2x - x2
3+ 2x - x2 > 0 � ( x +1) ( x - 3) < 0 � - 1< x < 3 : không phù hợp.
Hàm số y =
xác định khi
�x �- 1
1
3+ 2x - x2 �0 � �
.
�
2 xác định khi
�
3+ 2x - x
�x �3
Hàm số này có tập xác định là D = �\ { - 1;3} : không phù hợp.
Hàm số y = 3+ 2x - x2 xác định khi 3+ 2x - x2 �0 � - 1�x �3: thỏa mãn.
Chọn C.
ex
Câu 16. Tìm tập xác định D của hàm số y = x
.
e - 1
A. D = �\ { 0} . B. D = �.
C. D = �\ {1} .
D. D = �\ { e} .
Lời giải. Hàm số xác định �-�۹۹
ex 1 0
ex
1
0 . Chọn A.
x
2
Câu 17. Tìm tập xác định D của hàm số y = 1- 3x - 5x+6 .
A. D = [ 2;3] .
B. D = ( - �;2] �[ 3;+�) .
C. D = [1;6] .
D. D = ( 2;3) .
2
Lời giải. Hàm số xác định �-��
1 3x - 5x+6
2
�-+�
x �5x 6 0 2 x 3 . Chọn A.
0
2
3x - 5x+6
1
x2 - 3x
��
2
Câu 18. Tìm tập xác định D của hàm số y = �
�
��
�
��
3�
A. D = [ 0;3] .
9
.
4
B. D = ( - �;1] �[ 2;+�) .
C. D = [1;2] .
D. D = [- 1;2] .
2
x - 3x
��
2
�
Lời giải. Hàm số xác định ۳۳�-��
��
�
��
3�
�-+��
x2�3x 2 0 1
Câu 19. Đẳng thức
A. x > 0 .
Lời giải. Điều kiện:
-
9
4
x2 - 3x
- 2
��
2
�
�
��
�
��
3�
��
2
�
�
��
�
��
3�
x2
3x
2
2 . Chọn C.
x = 3log3 x có nghĩa khi:
B. Với mọi x .
C. x �0 .
D. x > 1 .
x> 0.
log x
Lôgarit cơ số 3 hai vế của x = 3log3 x , ta được log3 x = log3 ( 3 3 )
x
� log3 x = log3 x.log3 3 � log3 x = log3 x : luôn đúng " x > 0 . Chọn A.
Câu 20. Cho a là số thực dương khác 1. Tìm điều kiện của x để x = loga ax
xảy ra.
A. Với mọi x .
B. x > 0 .
C. x �0 .
D. x > 1 .
x
� x = loga N (với 0 < a �1).
Lời giải. Đặt N = a > 0 ��
Khi đó x = loga ax � loga N = loga ax � N = ax � ax = ax : luôn đúng " x ��. Chọn A.
Vấn đề 2. TÍNH ĐẠO HÀM
2
Câu 21. Tính đạo hàm của hàm số y = ( 2x2 + x - 1) 3 .
A. y' =
C. y' =
Lời
2( 4x +1)
33 2x2 + x - 1
3( 4x +1)
23 2x2 + x - 1
giải.
Áp
.
B. y' =
.
D. y' =
dụng
công
2( 4x +1)
33 ( 2x2 + x - 1)
2
.
2
.
3( 4x +1)
23 ( 2x2 + x - 1)
( ua )
thức
/
= a.ua - 1.u/ ,
ta
có
1
/
2
y/ = .( 2x2 + x - 1) 3 .( 2x2 + x - 1)
3
2( 4x +1)
2
1
= .
.( 4x +1) =
. Chọn A.
3
3 3 2x2 + x - 1
3 2x2 + x - 1
Câu 22. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Tính đạo hàm của hàm số y = 13x .
A. y' = x.13x- 1 .
B. y' = 13x.ln13 .
C. y' = 13x .
D. y' =
/
13x
.
ln13
/
Lời giải. Áp dụng công thức ( ax ) = ax .ln a , ta có y' = ( 13x ) = 13x.ln13 . Chọn B.
2
Câu 23. Tính đạo hàm của hàm số y = 2x .
2
A. y' =
x.21+x
.
ln2
2
B. y' = x.21+x .ln2 . C. y' = 2x.ln2x .
/
D. y' =
/
x.21+x
.
ln2
Lời giải. Áp dụng công thức ( au ) = u/ .au.ln a , ta có y/ = ( x2 ) .2x .ln2
2
2
2
= 2x.2x .ln2 = x.21+x .ln2 . Chọn B.
Câu 24. Tính đạo hàm của hàm số y = e 2x .
A. y�
=
e 2x
2 2x
B. y�
=
.
Lời giải. Ta có y�
=
(
ex
2x
�
2x .e 2x =
)
e 2x
C. y�
=
.
2
2 2x
.e 2x =
2x
e 2x
2x
D. y�
= 2x.e 2x .
.
. Chọn C.
Câu 25. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Tính đạo hàm của hàm số y =
A. y' =
C. y' =
1- 2( x +1) ln2
2x
2
1- 2( x +1) ln2
2
4x
.
B. y' =
.
D. y' =
1+ 2( x +1) ln2
22x
1+ 2( x +1) ln2
/
( x +1) .4x - ( x +1) .( 4x )
�x +1�
�
�
�
Lời giải. Ta có y' = �
2
�=
�
�4x �
( 4x )
/
=
4x - ( x +1) .4x.ln4
x 2
(4 )
=
2
4x
.
.
/
1- ( x +1) .ln4
1- 2( x +1) ln2
ln 4=2.ln2
�����
� y' =
. Chọn A.
x
x
2 x
2x
4
=
2
=
2
( )
4
22x
Câu 26. Tính đạo hàm của hàm số y = 3e- x + 2017ecosx .
A. y' =- 3e- x + 2017sin xecosx.
B. y' =- 3e- x - 2017sin xecosx .
C. y' = 3e- x - 2017sin xecosx .
D. y' = 3e- x + 2017sin xecosx .
/
�
�
( e- x ) = - e- x
�
� y' = - 3e- x - 2017.sin x.ecosx .
Lời giải. Ta có �
/ cosx
�
cos x
cos x
�
e = ( cos x) e = - sin x.e
�
Chọn B.
Câu 27. Tính đạo hàm của hàm số y = xx với x > 0.
A. y' = x.xx- 1 .
x +1
.
4x
x
B. y' = ( ln x +1) x . C. y' = xx ln x .
Lời giải. Viết lại y = xx = ex ln x .
D. y' =
xx
.
ln x
x ln x
x ln x
x
Suy ra y' = ( x ln x) 'e = ( ln x +1) .e = ( ln x +1) x . Chọn B.
p
x
Câu 28. Tính đạo hàm của hàm số y = f ( x) = x .p tại điểm x = 1.
A. f '( 1) = p.
2
2
B. f '( 1) = p + ln p . C. f '( 1) = p + p ln p. D. f '( 1) = 1 .
/
/
Lời giải. Đạo hàm f '( x) = ( xp ) .px + xp .( px ) = p.xp- 1.px + xp .px.ln p
2
Suy ra f '( 1) = p + p ln p . Chọn C.
x x
/
Câu 29. Cho hàm số y = f ( x) = 2 .5 . Tính f ( 0) .
/
A. f ( 0) = 10.
/
B. f ( 0) = 1.
C. f / ( 0) =
1
.
ln10
/
D. f ( 0) = ln10.
/
x x
x
Lời giải. Viết lại f ( x) = 2 .5 = 10 . Suy ra f / ( x) = ( 10x ) = 10x.ln10.
0
Vậy f '( 0) = 10 .ln10 = 1.ln10 = ln10. Chọn D.
Câu 30. Cho hàm số f ( x) = 5ex . Tính P = f '( x) - 2x. f ( x) +
2
C. P = 3 .
Lời giải. Ta có f '( x) = 10x.e . Do đó f '( 0) = 0 và f ( 0) = 5 .
A. P = 1.
B. P = 2 .
1
f( 0) - '( 0) .
5
D. P = 4 .
x2
1
f( 0) 5
Vậy P = f '( x) - 2xf ( x) +
2
2
1
'( 0) = 10xex - 2x.5ex + .5- 0 = 1 . Chọn A.
5
2
Câu 31. Cho hàm số f ( x) = 2x
A. T = - 2.
+1
2
Tính T = 2- x - 1. f '( x) - 2x ln2 + 2.
B. T = 2.
/
C. T = 3.
Lời giải. Ta có f '( x) = ( x +1) .2
2
2
2
Vậy T = 2- x - 1.2x ln2.2x
x2 +1
D. T = 1.
x2 +1
.ln2 = 2x.ln2.2
.
- 2x ln2 + 2 = 2x ln2- 2x ln2 + 2 = 2. Chọn B.
1
1
+
. Trong các khẳng định sau, có bao
Câu 32. Cho hàm số f ( x) =
x
3+ 2
3+ 2- x
nhiêu khẳng định đúng?
( x) �0 với mọi x ��.
1) f �
+1
2) f( 1) + ( 2) +... + f ( 2017) = 2017.
1
1
+
.
3+ 4x 3+ 4- x
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải. Ta có
- 2x ln2
2- x ln2
� f '( x) =
+
2
2 . Tại x = 0 ta có f '( x) = 0 nên khẳng định 1 sai.
( 3+ 2x ) ( 3+ 2- x )
3) f ( x2 ) =
�f ( x) =
2x + 2- x + 6
( 3+ 2x )( 3+ 2- x )
=
2x + 2- x + 6
3.( 2x + 2- x ) +10
< 1��
� f( 1) + ( 2) +... + f ( 2017) < 2017
nên khẳng định 2 sai.
1
1
1
1
�f ( x2 ) =
+
�
+
với x = 1 chẳng hạn nên khẳng định
x
x2
- x2
3+ 4
3+ 4- x
3+ 2
3+ 2
3 sai.
Do đó không có khẳng định nào đúng. Chọn A.
ax + a- x
ax - a- x
Câu 33. Cho 0 < a �1+ 2 và các hàm f ( x) =
, g( x) =
. Trong
2
2
các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?
2
2
1) f ( x) - g ( x) = 1.
2) g( 2x) = 2g( x) f ( x) .
3) f ( g( 0) ) = g( f ( 0) ) .
( 2x) = g�
( x) f ( x) - g( x) f �
( x) .
4) g�
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải. Ta có
2
�
�
ax + a- x �
�
�f 2 ( x) - g2 ( x) = �
�
��
� 2 �
�
2
�
�
ax - a- x �
�
�
= 1��
� khẳng đinh 1 đúng.
�
� 2 �
�
�
�
x
- x
x
- x
a2x - a- 2x ( a - a )( a + a )
ax - a- x ax + a- x
=
= 2.
.
= 2g( x) . f ( x) ��
�
2
2
2
2
khẳng đinh 2 đúng.
�f ( g( 0) ) = f ( 0) = 1.
�
�
�
1
��
��
� f ( g( 0) ) � g( f ( 0) ) ��
� khẳng định 3 sai.
�
a�
a2 - 1
�
a
�
�g( f ( 0) ) = g( 1) = 2 = 2a
�
�g( 2x) =
� �� ), ta có:
� Do g( 2x) = 2g( x) f ( x) , lấy đạo hàm hai vế (để ý là �
g( u) �
�
�= u g ( u)
� �
�
g( 2x) �
g�
� 2g�
g�
( x) f ( x) + g( x) f �
( x) �
( 2x) = 2 �
( x) f ( x) + g( x) f �
( x) �
�
�= 2 �
�
�
�
� g�
( 2x) = g�
( x) f ( x) + g( x) f �
( x) � khẳng định 4 sai.
Vậy có 2 khẳng định đúng. Chọn C.
Câu 34. Tính đạo hàm của hàm số y = log2017 x.
1
log2017 e
2017
.
.
.
C. y' =
D. y' =
x.log2017
x
x.ln2017
log2017 e
1
1
/
=
. Chọn B.
Lời giải. Áp dụng ( loga x) =
, ta được y' =
x.ln a
x.ln2017
x
Câu 35. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tính đạo hàm của hàm số
y = log2 ( 2x +1) .
A. y' =
ln2017
.
x
B. y' =
A. y' =
2
.
2x +1
B. y' =
1
.
2x +1
C. y' =
2
.
( 2x +1) ln2
D. y' =
1
.
( 2x +1) ln2
/
/
Lời giải. Áp dụng ( loga u) =
( 2x +1)
u'
2
=
. Chọn
, ta được y' =
u.ln a
2
x
+
1
.ln2
2
x
+
1) .ln2
(
)
(
C.
Câu 36. Tính đạo hàm của hàm số y = log2x.
1
1
1
A. y/ =
.
B. y/ =
.
C. y/ =
.
x ln10
2x ln10
x ln2
ln2x
1
=
.ln2x .
Lời giải. Viết lại y = log2x =
ln10 ln10
D. y/ =
ln10
.
x
/
Suy ra y' =
1
1 ( 2x)
1 2
1
/
.( ln2x) =
.
=
.
=
. Chọn B.
ln10
ln10 2x
ln10 2x x ln10
(
)
Câu 37. Tính đạo hàm của hàm số y = ln 1+ x +1 .
=
A. y�
=
C. y�
1
(
)
2 x +1 1+ x +1
1
(
)
x +1 1+ x +1
=
B. y�
.
=
D. y�
.
Lời giải. Áp dụng công thức ( ln u) �=
�
Mà 1+ x +1 =
(
)
1
2 x +1
��
� y�
=
1
1+ x +1
.
2
(
).
x +1 1+ x +1
�
u�
1+ x +1
, ta được y�
.
=
u
1+ x +1
(
1
(
)
) . Chọn A.
2 x +1 1+ x +1
2
( x) ) .
Câu 38. Cho hàm số f ( x) = ln x. Tính đạo hàm của hàm số g( x) = log3 ( x f �
1
A. g'( x) = .
x
B. g'( x) =
/
Lời giải. Ta có f ( x) =
Suy ra g'( x) =
1
.
x ln3
C. g'( x) =
ln3
.
x
D. g'( x) =
x
.
ln3
�2 1�
�
1
��
� g( x) = log3 ( x2. f �
x. �
= log3 x.
( x) ) = log3 �
�
�
�
� x�
x
1
. Chọn B.
x ln3
2
Câu 39. Tính đạo hàm của hàm số y = 2ln( x +1) .
ln( x2 +1)
2
A. y�
= 2
.
x +1
ln( x2 +1)
B. y�
=2
.
(
)
ln x2 +1
ln( x2 +1)
2x.2
.ln2
C. y�
=
.
2
x +1
=
D. y�
x.2
( x2 +1) ln2
.
� ln( x2 +1) .ln2 = 2x .2ln( x2 +1) .ln2. Chọn C.
Lời giải. Ta có y�
=�
ln( x2 +1) �
�
�.2
x2 +1
2
Câu 40. Hàm số g( x) = 8x +x+1.( 6x + 3) .ln2 là đạo hàm của hàm số nào sau
đây ?
2
A. f ( x) = 2x
2
2
. B. f ( x) = 8x +x+1.
+x+1
C. f ( x) = 23x
2
D. f ( x) = 83x
+3x+1
.
+3x+1
.
Lời giải. Thử đạo hàm lần lượt từng hàm số ở các đáp án và được đáp án
đúng là B.
(
)
/
/
Thật vây: Ta có 8x +x+1 = ( x2 + x +1) .8x +x+1.ln8
2
2
2
= ( 2x +1) .8x +x+1.3ln2 = 8x
2
.( 6x + 3) .ln2 .Chọn B.
+x+1
2
Câu 41. Tính đạo hàm của hàm số y = ln ( ln x) tại điểm x = e .
/
A. y ( e) = e.
/
B. y ( e) = 1 .
C. y/ ( e) =
2
.
e
/
D. y ( e) = 0 .
/
Lời giải. Nhận thấy có dạng ua ��
�( ua ) = a.ua - 1.u/ với u = ln( ln x) .
/
( 1)
Áp dụng, ta được y/ = 2.ln( ln x) . �
ln( ln x) �
�
�.
----------------------------------------------------------------------/
/
�. Nhận thấy có dạng ( ln u) / = u với u = ln x .
Tính �
ln
ln
x
(
)
�
�
u
1
/
( ln x)
/
1
( 2)
Áp dụng, ta được �
�
ln
ln
x
=
= x =
.
)�
�(
ln x
ln x x ln x
2ln( ln x)
2ln( ln e) 2.ln1
Từ ( 1) và ( 2) , ta có y/ =
��
� y/ ( e) =
=
= 0. Chọn D.
x ln x
e.ln e
e.ln e
(
Câu 42. Cho hàm số f ( x) = 4ln
)
x - 4 + x + x2 - 4x với x �4 . Tính giá trị
2
�
của biểu thức P = f( 4) - �
�'( 8) �.ln2.
A. P = 2ln2 .
B. P = 4ln2 .
Lời giải. Ta có f '( x) = 4.
(
C. P = 6ln2 .
)
x- 4 + x '
x- 4 + x
+
x- 2
2
x - 4x
=
D. P = 8ln2 .
x
2
x - 4x
.
Khi đó f '( 8) = 2 và f ( 4) = 4ln2 .
2
( )
2
�
Vậy P = f( 4) - �
2 .ln2 = 2.ln2 . Chọn A.
�'( 8) �.ln2 = 4ln2cos x
Câu 43. Cho hàm số y = e . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. y'.cos x + y.sin x + y '' = 0 .
B. y'.sin x + y.cos x + y'' = 0 .
C. y'.sin x - y''.cos x + y' = 0 .
D. y'.cos x - y.sin x - y'' = 0 .
�y' = - sin x.ecosx
. Thay lần lượt vào các đáp án thì ta
Lời giải. Ta có �
�
2
cos x
cos x
�
�y'' = sin x.e - cos x.e
được đáp án B đúng. Thật vậy: Ta có y'.sin x + y.cos x + y''
=- sin x.ecosx .sin x + ecosx.cos x + sin2 x.ecosx - cos x.ecosx = 0 .Chọn B.
Câu 44. Cho hàm số y = x.e- x . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ( 1- x) y ' = x.y .
B. x.y ' = ( 1+ x) y .
C. x.y ' = ( 1- x) .y .
D. ( 1+ x) .y ' = ( x - 1) .y .
Lời giải. Ta có y' = e - x.e = ( 1- x) e
- x
- x
- x
- x
Nhân hai vế cho x , ta được x.y' = x.( 1- x) .e = ( 1- x) . y . Chọn C.
Câu 45. Cho hàm số y = e- x.sin x . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. y'+ 2y''- 2y = 0 .
B. y''+ 2y'+ 2y = 0 .
C. y''- 2y'- 2y = 0 .
D. y'- 2y''+ 2y = 0 .
- x
- x
- x
Lời giải. Ta có y' =- e .sin x + e .cosx = e ( cosx - sin x) .
- x
- x
- x
Lại có y'' = - e ( cos x - sin x) + e ( - sin x - cos x) = - 2e .cos x
- x
- x
- x
Ta thấy y''+ 2y'+ 2y =- 2e .cos x + 2e ( cos x - sin x) + 2e .sin x = 0 . Chọn B.
1
Câu 46. Cho hàm số y = 2016.ex.ln 8 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. y'+ 2y ln2 = 0. B. y'+ 3y ln2 = 0. C. y'- 8y ln2 = 0.
D. y'+ 8y ln2 = 0.
/
1
x.ln
� 1�
1 x.ln 18
1
8
Lời giải. Ta có y' = 2016.�
x ln �
.
e
=
2016.ln
.e
= ln .y =- 3ln2. y.
�
�
�
�
� 8�
8
8
Suy ra y'+ 3ln2.y = 0. Chọn B.
Câu 47. Cho hàm số y = x.e-
x2
2
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
2
A. xy = ( 1+ x ) y ' .
2
B. x.y ' = ( 1+ x ) .y .
2
C. xy = ( 1- x ) . y' .
-
Lời giải. Ta có y' = e
2
D. xy' = ( 1- x ) . y .
x2
2
� �
+ x.�
- xe
�
�
�
x2
2
� �
�
=e
�
�
�
�
x2
2
Nhân hai vế cho x , ta được x.y' = x( 1- x2 ) e
Câu 48. Cho hàm số y =
A. xy = y'( y ln x +1) .
-
- x2e
x2
2
x2
2
-
= ( 1- x2 ) e
x2
2
.
= ( 1- x2 ) y . Chọn D.
1
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
1+ x + ln x
B. xy' = y( y ln x - 1) .
C. xy = y( y 'ln x - 1) .
D. xy' = y( y ln x +1) .
1
x +1
x
Lời giải. Ta có y' = =2
2
x( 1+ x + ln x)
( 1+ x + ln x)
1+
( 1+ x + ln x) - ln x
1
ln x
=+
= - y + ln x.y2
2
1+ x + ln x ( 1+ x + ln x) 2
( 1+ x + ln x)
� xy' = y( y ln x - 1) . Chọn B.
Suy ra xy ' = -
Câu 49. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f ( x) = ex - 3x+3 trên đoạn [ 0;2].
3
A. M = e .
B. M = e2 .
C. M = e3 .
D. M = e5 .
Lời giải. Hàm số f ( x) xác định và liên tục trên đoạn [ 0;2] .
�
x = 1�[ 0;2]
2
x3 - 3x+1
��
� f '( x) = 0 � 3x2 - 3 = 0 � �
.
Đạo hàm f '( x) = ( 3x - 3) e
�
x =- 1�[ 0;2]
�
�f ( 0) = e3
�
�
� max f ( x) = f ( 2) = e5. Chọn D.
Ta có �
�f ( 1) = e ��
[ 0;2]
�
�
5
�
f
2
=
e
(
)
�
�
Câu 50. Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số
f ( x) = e2- 3x trên đoạn [ 0;2] . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. m+ M = 1 .
B. M - m= e.
C. M .m=
1
.
e2
D.
M
= e2 .
m
Lời giải. Hàm số f ( x) xác định và liên tục trên đoạn [ 0;2] .
2- 3x
< 0, " x ��. Do đó hàm số f ( x) nghịch biến trên [ 0;2] .
Đạo hàm f '( x) =- 3e
�
max f ( x) = f ( 0) = e2
�
[ 0;2]
�
1
1
� m= 4 , M = e2 ��
� M .m= 2 . Chọn C.
Suy ra �
�
1 ��
�
e
e
�
min f ( x) = f ( 2) = 4
�
�[ 0;2]
e
ln x
1;e2 �
.
Câu 51. Tìm tập giá trị T của hàm số f ( x) =
với x ��
�
�
x
�
� 1�
�1 �
1 �
0; �
- ;e�
A. T = [ 0;e] .
B. T = �;e�
.
C. T = �
.
D. T = �
.
�
�
�
e �
�
�
� e�
�
�e �
�
1;e2 �
Lời giải. Hàm số f ( x) xác định và liên tục trên đoạn �
.
�
�
1- ln x
��
� f '( x) = 0 � 1- ln x = 0 � x = e��
1;e2 �
.
Đạo hàm f '( x) =
�
�
x2
�
�
�
f ( 1) = 0
�
�
�
� 1�
�
1
1
��
� min2 f ( x) = 0, max2 f ( x) = ��
�T = �
0; �
. Chọn C.
Ta có �
�f ( e) =
�
�
�
�
�
x��
1;
e
x
�
1;
e
e
e
� �
�
� �
�
� e�
�
�
�
�
�
�
2
�
f ( e2 ) = 2
�
�
e
�
Câu 52. Biết rằng hàm số f ( x) = x ln x đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [1;e] tại
x = x0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
�3�
�
�
3
1; �
.
; e�
.
�
A. x0 ��
B. x0 ��
�
�
�
�
�
�
�
e
e
� �
�
.
C. x0 ��
�e;2�
D. x0 �( 2;e].
Lời giải. Hàm số xác định và liên tục trên đoạn [1;e] .
Đạo hàm f '( x) =
( x)
/
/
.ln x + x.( ln x) =
ln x
+
1
=
ln x + 2
.
2 x
1
Suy ra f '( x) = 0 � ln x + 2 = 0 � ln x =- 2 � x = e- 2 = 2 �[1;e].
e
�f ( 1) = 0
�
��
� GTLN của hàm số bằng e , đạt tại x = e . Chọn D.
Ta có �
�
�
�f ( e) = e
ln x + 2
f ( x) đồng biến trên [1;e] .
Nhận xét. Ta có f '( x) =>"ξ�� 0, x [1;e]
2 x
2 x
x
(
2
2
Câu 53. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f ( x) = ln x + x + e
[ 0;e].
A. m=
1
.
2
B. m= 1.
(
)
C. m= 1+ ln 1+ 2 .
(
)
D. m= 1- ln 1+ 2 .
Lời giải. Hàm số xác định và liên tục trên đoạn [ 0;e] .
)
trên đoạn
Đạo hàm
( x+
f '( x) =
x2 + e2
)
/
1+
x
2
x + e2
1
> 0, " x �[ 0;e]
x+ x +e
x + e2
� min f ( x) = f ( 0) = 1. Chọn B.
Suy ra hàm số luôn đồng biến trên [ 0;e] ��
[ 0;e]
2
=
2
x+ x +e
2
2
=
2
Câu 54. Tìm điểm cực trị x0 của hàm số y = x.e- x .
A. x0 = e .
B. x0 = e2 .
C. x0 = 1.
D. x0 = 2 .
Lời giải. Hàm số xác định và liên tục trên �.
- x
- x
- x
� y' = 0 � 1- x = 0 � x = 1.
Ta có y' = e + x.( - e ) = e ( 1- x) ��
Vậy hàm số đạt cực trị tại x = 1. Chọn C.
Câu 55. Tính giá trị cực tiểu yCT của hàm số y = xex .
1
1
A. yCT = .
B. yCT = e .
C. yCT = - .
e
e
Lời giải. Hàm số xác định và liên tục trên �.
x
x
x
� y' = 0 � 1+ x = 0 � x =- 1.
Ta có y' = e + xe = e ( 1+ x) ��
D. yCT = - 1.
Bảng biến thiên
x
y'
y
1
. Chọn
e
Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số có giá trị cực tiểu yCT = y( - 1) =C.
Vấn đề 3. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Câu 56. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng ( 0;+�) ?
y = log 2 x
A.
. B. y = loge x .
C. y = loge x .
D. y = logp x .
2
3
2
4
Lời giải. Áp dụng lý thuyết
'' Hàm số y = loga x đồng biến khi a> 1 , nghịch biến khi 0 < a < 1 '' .
e
Trong các hàm số đã cho chỉ có hàm số y = loge x đồng biến vì cơ số a= > 1 .
2
2
Chọn C.
Câu 57. Hàm số nào sau đây đồng biến trên �?
x
x
x
x
� 2 + 3�
� 3�
� p
�
�3�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
A. y = �
.
B.
y
=
.
C.
y
=
.
D.
y
=
�
�
�
��
�
�
�.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� 2 + 3�
p�
� 3
�
�2 �
Lời giải. Áp dụng lý thuyết
'' Hàm số y = ax đồng biến khi a> 1 , nghịch biến khi 0 < a < 1 '' .
x
� 2 + 3�
�
�
�
Trong các hàm số đã cho chỉ có hàm số y = �
đồng biến vì cơ số
�
�
�
� 3
�
�
2+ 3
> 1.
3
Chọn B.
Câu 58. Hàm số nào sao đây nghịch biến trên �.
a=
A. y = 2017x .
B. y = log1 x .
2
C. y = log
x2 +1) .
2(
x
�
p�
�
D. y = �
�.
�
�
�
�
4�
Lời giải. Hàm số y = 2017x có TXĐ: D = �; cơ số 2017 > 1 nên đồng biến trên
�.
� không thỏa mãn.
Hàm số y = log1 x có TXĐ: D = ( 0;+�) ��
2
Hàm số y = log
y = log
2
( x2 +1)
2
( x2 +1)
có TXĐ: D = �. Ta có y' =
2x
(x
2
+1) ln 2
nên hàm số
đồng biến khi x > 0 , nghịch biến khi x < 0. Do đó C sai.
x
�
p�
p
�
Hàm số y = �
�
�
� có TXĐ: D = �; cơ số 4 < 1 nên nghịch biến trên �. Chọn D.
�
�
4�
Câu 59. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số y = logM x với
M = a2 - 4 nghịch biến trên tập xác định.
A. 2 < a < 5 .
B. a= 5 .
C. - 5 < a <- 2 ; 2 < a < 5 .
D. a= 2 .
Lời giải. Hàm số đã cho nghịch biến khi cơ số 0 < M < 1 hay 0 < a2 - 4 < 1
�
2< a< 5
� 4 < a2 < 5 � �
. Chọn C.
�
- 5 < a <- 2
�
�
x
Câu 60. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hàm số y = ( a2 - 3a+ 3) đồng
biến.
A. a= 1.
C. a�( 1;2) .
B. a= 2 .
D. a�( - �;1) �( 2;+�) .
�
a <1
2
2
. Chọn D.
Lời giải. Hàm số đồng biến khi a - 3a+ 3> 1� a - 3a+ 2 > 0 � �
�
a> 2
�
(
3
2
)
x - 3x +2
Câu 61. Cho hàm số y = log1 3
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
2
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 2;+�) .
B. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ( - �;2) và ( 2;+�) .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( - �;2) .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 0;2) .
(
)
x - 3x +2
= ( x3 - 3x2 + 2) log1 3 = - ( x3 - 3x2 + 2) .log2 3 .
Lời giải. Viết lại y = log1 3
2
3
2
2
Nếu để ý thấy thì đây là hàm bậc ba thuần túy và có đạo hàm
�
x=0
y' =- ( 3x2 - 6x) .log2 3 =- 3x( x - 2) .log2 3 ��
� y' = 0 � �
.
�
x=2
�
Lập bảng biến thiên, suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;2) . Chọn D.
3
4
3
2
Câu 62. Cho a, b là hai số thực thỏa mãn a 3 > a 2 và logb < logb . Mệnh đề
4
5
nào sau đây là đúng?
A. 0 < a < 1, 0 < b < 1 .
B. 0 < a < 1, b> 1 .
C. a > 1, 0 < b < 1.
D. a > 1, b> 1 .
3
2
3
2
, mà a 3 > a 2 .
<
3
2
Suy ra hàm đặc trưng y = ax nghịch biến nên 0 < a < 1 .
Lời giải. Ta có
3 4
3
4
< và logb < logb .
4 5
4
5
Suy ra hàm đặc trưng y = logb x đồng biến nên b> 1 .
Vậy 0 < a <1 và b> 1 . Chọn B.
Câu 63. Cho hàm số y = x - ln( 1+ x) . Khẳng định nào sau đây đúng?
Tượng tự có
A. Hàm số giảm trên ( - 1;+�) .
B. Hàm số tăng trên ( - 1;+�)
C. Hàm số giảm trên ( - 1;0) và tăng trên ( 0;+�) .
D. Hàm số tăng trên ( - 1;0) và giảm trên ( 0;+�) .
Lời giải. TXĐ: D = ( - 1;+�) . Đạo hàm y' = 1-
1
x
=
��
� y' = 0 � x = 0.
1+ x x +1
Bảng biến thiên
x
y'
y
Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số giảm trên ( - 1;0) và tăng trên ( 0;+�) .
Chọn C.
Câu 64. Cho a là một số thực dương khác 1 và các mệnh đề sau:
1) Hàm số y = ln x là hàm số nghịch biến trên ( 0;+�) .
2) Trên khoảng ( 1;3) hàm số y = log1 x nghịch biến.
2
3) Nếu M > N > 0 thì loga M > loga N .
4) Nếu loga 3 < 0 thì 0 < a < 1 .
Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 1.
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải. Vì cơ số e> 1��
� y = ln x đồng biến trên ( 0;+�) . Do đó 1) sai.
1
Hàm số y = log1 x có cơ số a= �( 0;1) nên nghịch biến trên �, suy ra
2
2
nghịch biến trên khoảng ( 1;3) . Do đó 2) đúng.
Nếu cơ số a�( 0;1) thì hàm số y = loga x nghịch biến. Vì vậy với M > N > 0 ,
suy ra loga M < loga N . Do đó 3) sai.
Ta có loga 3 < 0 � loga 3 < loga 1��
� 0 < a <1. Do đó 4) đúng.
Vậy có 2) và 4) đúng. Chọn B.
Câu 65. Cho a là một số thực dương khác 1 và các mệnh đề sau:
1) Hàm số y = loga x liên tục trên �.
2
2) Nếu loga < 0 thì a > 1 .
3
3) loga x2 = 2loga x .
Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 1.
B. 2 .
C. 3 .
D. 0.
y
=
log
x
0;+�
Lời giải. Hàm số
xác định trên (
) . Do đó 1) sai.
a
2
2
< 0 � loga < loga 1��
� a > 1 . Do đó 2) đúng.
3
3
Ta có loga x2 = 2loga x . Do đó 3) sai.
Vậy chỉ có 2) đúng. Chọn A.
Câu 66. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Hàm số y = ex không chẵn cũng không lẻ
Ta có loga
(
)
2
B. Hàm số y = ln x + x +1 là hàm số lẻ.
C. Hàm số y = ex có tập giá trị là ( 0;+�) .
(
)
2
D. Hàm số y = ln x + x +1 không chẵn cũng không lẻ.
1
. Do đó A đúng.
ex
x
ex = +� . Do đó C đúng.
f ( x) = e > 0, " x ��; xlim
�+�
Lời giải. Ta có f ( - x) = e- x =
(
)
2
Xét hàm số y = ln x + x +1 .
Ta có x + x2 +1 > x + x2 = x + x �0, " x ��.
(
)
2
Do đó hàm số y = ln x + x +1 có TXĐ: D = �. Rõ ràng " x �D � - x �D .
(
) (
2
)
2
Ta có y( - x) + y( x) = ln - x + ( - x) +1 + ln x + x +1
(
)
(
)
(
)(
�
x2 +1- x + ln x + x2 +1 = ln � x2 +1- x
�
hay y( - x) = - y( x) .
= ln
(
)
�
x2 +1 + x �
= ln1= 0
�
)
2
Suy ra hàm số y = ln x + x +1 là hàm số lẻ. Do đó đáp án D sai. Chọn D.
(
)
2
Câu 67. Cho hàm số y = x ln x + 1+ x -
(
1+ x2 . Mệnh đề nào sau đây sai?
)
2
A. Hàm số có đạo hàm y' = ln x + 1+ x .
B. Hàm số tăng trên khoảng ( 0;+�) .
C. Tập xác định của hàm số là D = �.
D. Hàm số giảm trên khoảng ( 0;+�) .
Lời giải. Ta có x + x2 +1 > x + x2 = x + x �0, " x ��.
Do đó hàm số có tập xác định là D = �. Suy ra C đúng.
x
1+
x
Đạo hàm
1+ x2
Do đó A
y' = ln x + 1+ x2 + x.
= ln x + 1+ x2 .
2
2
x + 1+ x
1+ x
đúng.
� 1+ x2 > 1
�
� 1+ x2 > 1- x hay x + 1+ x2 > 1.
Trên khoảng ( 0;+�) , ta có �
�
1- x < 1
�
(
(
)
(
)
)
2
Suy ra y' = ln x + 1+ x > 0, " x �( 0;+�) . Do đó B đúng, D sai. Chọn D.
Câu 68. Cho a là một số thực dương khác 1 và các mệnh đề sau:
x
1) Hàm số y = ( - 5) là hàm số mũ.
2) Nếu pa < p2a thì a < 1.
3) Hàm số y = ax có tập xác định là �.
4) Hàm số y = ax có tập giá trị là ( 0;+�) .
Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 1.
B. 2 .
C. 3 .
Lời giải. Hàm số y = ( - 5)
x
D. 4 .
không phải là hàm số mũ vì cơ số - 5 < 0. Do đó 1)
sai.
Vì cơ số p > 1 nên từ pa < p2a � a < 2a � 0 < a . Do đó 2) sai.
Hàm số y = ax xác định với mọi x . Do đó 3) đúng.
ax = +� nên hàm y = ax có TGT là ( 0;+�) . Do đó 4)
Vì ax > 0, " x ��và xlim
�+�
đúng.
Vậy có 3) và 4) đúng. Chọn B.
Câu 69. Cho a là một số thực dương khác 1 và các mệnh đề sau:
1) ax > 0 với mọi x ��.
2) Hàm số y = ax đồng biến trên �.
3) Hàm số y = e2017x là hàm số đồng biến trên �.
4) Đồ thị hàm số y = ax nhận trục Ox làm tiệm cận ngang.
Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 1.
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải. Rõ ràng 1) đúng theo định nghĩa.
Hàm số y = ax đồng biến khi a> 1 , nghịch biến khi 0 < a < 1 . Do đó 2) sai.
Vì cơ số e> 1 nên hàm số y = e2017x là hàm số đồng biến trên �. Do đó 3)
đúng.
Rõ ràng 4) đúng theo định nghĩa SGK.
Vậy có 1), 3) & 4) đúng. Chọn C.
a.2b - b.2a
Câu 70. Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn a- b = a
. Tính giá trị
2 + 2b
biểu thức P = 2017a - 2017b.
A. P = 0.
B. P = 2016.
C. P = 2017.
D. P = - 1.
b
a
a.2 - b.2
Lời giải. Từ giả thiết, ta có a- b = a
��
�( a- b) ( 2a + 2b ) = a.2b - b.2a .
b
2 +2
( *)
��
� a.2a + a.2b - b.2a - b.2b = a.2b - b.2a � a.2a = b.2b.
x
( x) = 2x + x.2x.ln2 = 2x ( 1+ x.ln2) > 0; " x > 0
Xét hàm số f ( x) = x.2 với x > 0 , có f �
.
Suy ra hàm số f ( x) là đồng biến trên khoảng ( 0;+�) .
Nhận thấy ( *) � f ( a) = f ( b) � a = b.
Khi a = b thì 2017a - 2017b = 2017a - 2017a = 0 . Chọn A.
Cách trắc nghiệm. Chọn a = b = 1 thỏa điều kiện. Khi đó P = 20171 - 20171 = 0.
Vấn đề 4. ĐỒ THỊ
Câu 71. Đường cong trong hình bên là đồ thị của
một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là
hàm số nào?
x
x
��
1�
A. y = 3 .
B. y = �
.
�
�
�
��
2�
y
3
1
( )
x
x
-1
O
��
5
1�
C. y = 2 + .
D. y = �
�.
�
�
��
2
3�
Lời giải. Dựa vào hình dáng đồ thị từ trái sang phải ta thấy: x tăng nhưng y
giảm. Suy ra hàm số tương ứng của đồ thị là hàm nghịch biến. Loại A, C.
Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ ( - 1;3) nên chỉ có D thỏa mãn. Chọn D.
x
3
Câu 72. Đường cong trong hình bên là đồ thị của
một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là
hàm số nào?
x
��
1�
A. y = - 2x .
B. y = �
�.
�
�
��
2�
y
x
O
-1
x
��
1�
D. y = - �
�.
�
�
��
2�
Lời giải. Đồ thị nằm phía dưới trục hoành. Loại B, C.
Lấy đối xứng đồ thị qua trục hoành ta được đồ thị của một hàm số đồng biến.
Chọn A.
y
Câu 73. Đường cong trong hình bên là đồ thị của
một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
1
phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là
x
O
hàm số nào?
-1
2
A. y = log2 x .
B. y = log2 ( x +1) .
C. y = 2x .
C. y = log3 x +1 . D. y = log3 ( x +1) .
Lời giải. Dựa vào đồ thị thấy có tiệm cận đứng x = - 1. Loại đáp án A, C.
Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ ( 2;1) nên chỉ có D thỏa mãn. Chọn D.
Câu 74. Cho hàm số y =
( 2)
x
có đồ thị Hình 1. Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào
dưới đây?
y
y
1
x
1
O
O
Hình 1
A. y =
( 2)
x
.
x
Hình 2
B. y = -
( 2)
x
.
C. y =
( 2)
x
D. y = -
.
( 2)
x
.
Lời giải. Từ đồ thị ta thấy: Đồ thị Hình 2 có được là lấy đối xứng đồ thị Hình 1
(phần x �0 ) qua trục Oy . Do đó hàm số của đồ thị Hình 2 là hàm số chẵn.
Chọn C.
Câu 75. Cho hàm số y = ln x có đồ thị như Hình 1. Đồ thị Hình 2 là của hàm
số nào dưới đây?
y
y
1
O
x
1
1
O
A. y = ln x .
x
e
Hình 1
B. y = ln x .
1
C. y = ln( x +1) .
e
Hình 2
D. y = ln x +1.
Lời giải. Đồ thị Hình 2 được suy ra từ đồ thị Hình 1 bằng cách:
● Giữ nguyên phần y�0.
● Lấy đối xứng qua Ox phần y< 0. Chọn B.
Câu 76. Cho a, b, c là các số thực dương
khác 1. Hình vẽ bên là đồ thị của ba hàm số
y = ax , y = bx , y = cx . Khẳng định nào sau
đây là đúng?
A. a > b> c.
B. a < b < c.
C. c > a > b.
D. a > c > b.
y
y � bx
y � cx
y � ax
1
O
x
x
Lời giải. Ta thấy hàm y = c có đồ thị từ trái sang phải theo hướng đi lên nên
x
x
là hàm đồng biến ��
� c > 1. Còn hàm số y = a và y = b là những hàm nghịch
biến ��
� a, b< 1. Từ đó loại được các đáp án A, D.
Từ đồ thị hàm số ta thấy tại cùng một giá trị x0 < 0 thì đồ thị hàm số y = bx
�x < 0
��
� b < a . Ví dụ
y = ax hay �
nằm trên đồ thị hàm số
�x
�
b > ax
�
x =- 1
�
�
x =- 1
�
�
�
>ۮۮۮۮۮۮۮۮۮۮۮۮۮۮۮۮۮۮۮۮۮۮ
�
b a.
�- 1
�
1 1
�
b > a- 1 �
�>
�
�b a
Vậy c > a > b. Chọn C.
y
Cách trắc nghiệm. Kẻ đường thẳng x = 1
y � cx
y � bx
x
x
x
cắt đồ thị các hàm số y = a , y = b , y = c
lần lượt tại các điểm có tung độ
c
y = a, y = b, y = c . Dựa vào đồ thị ta thấy ngay
y � ax
1
c > a > b.
a
b
O
Câu 77. Cho a, b, c là các số thực dương khác 1.
Hình vẽ bên là đồ thị của ba hàm số y = loga x ,
y = logb x , y = logc x . Khẳng định nào sau đây là
đúng?
A. a < c < b.
B. a < b < c.
C. b < a < c.
D. b> a > c.
1
y
x
y � logb x
y � logc x
x
O
1
y � loga x
Lời giải. Ta thấy hàm y = loga x có đồ thị từ trái sang phải theo hướng đi
xuống nên là hàm nghịch biến ��
� 0 < a < 1. Còn hàm số y = logb x và
y = logc x là những hàm đồng biến ��
� b, c > 1. Từ đó loại được các đáp án C,
D.
Từ đồ thị hàm số ta thấy tại cùng một giá trị x0 > 1 thì đồ thị hàm số y = logb x
�x > 1
��
� b< c .
nằm trên đồ thị hàm số y = logc x hay �
�
�
logb x > logc x
�
Vậy a < b < c. Chọn B.
Cách trắc nghiệm. Kẻ đường thẳng y = 1 cắt đồ thị
các hàm số y = loga x , y = logb x , y = logc x lần lượt
tại các điểm có hoành độ x = a, x = b, x = c . Dựa vào
đồ thị ta thấy ngay a < b < c.
y
y � logb x
1
O
y � logc x
x
a
1
b
c
y � loga x
Câu 78. Cho a là số thực tùy ý và b, c
là các số thực dương khác 1. Hình vẽ
bên là đồ thị của ba hàm số y = logb x ,
y = logc x và y = xa, x > 0 . Khẳng định
nào sau đây là đúng?
A. a < c < b.
B. a < b < c.
C. a > b> c.
D. a > c > b.
Lời giải. Nhận thấy hàm số y = xa
nghịch biến ��
� a < 0. Do đó ta loại
ngay đáp án C & D (vì b, c là các số thực
dương khác 1).
Kẻ đường thẳng y = 1 cắt đồ thị của hai
hàm số y = logb x , y = logc x lần lượt tại
điểm có hoành độ là x = b và x = c như
hình vẽ. Dựa vào hình vẽ ta thấy
0 < b < c.
Vậy a < b < c. Chọn B.
Câu 79. Cho đồ thị của ba hàm số
y = xa , y = xb , y = xg trên khoảng ( 0;+�) trên
cùng một hệ trục tọa độ như hình vẽ bên.
Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. g < b < a < 0.
B. 0 < g < b < a < 1.
C. 1< g < b < a.
D. 0 < a < b < g < 1.
Lời giải. Dựa vào đồ thị, ta có
● Với 0 < x < 1 thì
xa < xb < xg < x1 ��
�a > b > g>1.
● Với x > 1 thì
x1 < xg < xb < xa ��
�1< g < b < a .
Vậy với mọi x > 0 , ta có a > b > g > 1. Chọn C.
Nhận xét. Ở đây là so sánh thêm với đường
y = x = x1 .
Câu 80. Cho các hàm số y = loga x và y = logb x
có đồ thị như hình vẽ bên. Đường thẳng x = 5 cắt
trục hoành, đồ thị hàm số y = loga x và y = logb x
lần lượt tại A, B và C . Biết rằng CB = 2AB. Mệnh
đề nào sau đây là đúng?
A. a = b2 .
B. a3 = b .
C. a = b3
D. a = 5b .
y
y � logb x
C
B
y � loga x
A
x
O
x� 5
Lời giải. Theo giả thiết, ta có A ( 5;0) , B ( 5;loga 5) , C ( 5;logb 5) .
uur
uuu
r
Do CB = 2AB ��
�CB = 2BA � loga 5- logb 5 = 2.( - loga 5)
1
��
� 3loga 5 = logb 5��
� loga 5 = logb 5��
� loga 5 = logb3 5 ��
� a = b3. Chọn C.
3
Câu 81. Cho hàm số y = 5x có đồ thị ( C ) . Hàm số nào sau đây có đồ thị đối
xứng với ( C ) qua đường thẳng y = x.
A. y = 5- x.
B. y = log5 x.
D. y = - 5- x.
C. y = - log5 x.
Lời giải. Dựa vào lý thuyết '' Đồ thị hàm số y = ax và đồ thị hàm số y = loga x
đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x ''. Chọn B.
x
Câu 82. Cho hàm số y = 32 có đồ thị ( C ) . Hàm số nào sau đây có đồ thị đối
xứng với ( C ) qua đường thẳng y = x.
A. y = log 3 x .
�
x�
�
�
C. y = log3 �
�
�.
�
�
2�
B. y = log3 x2 .
1
D. y = log3 x .
2
x
Lời giải. Trước tiên ta đưa hàm số về dạng chuẩn: y = 32 =
( 3)
x
.
Dựa vào lý thuyết '' Hai hàm số y = ax và y = loga x có đồ thị đối xứng nhau
qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất y = x '' . Chọn A.
Câu 83. Cho hàm số y = - log2 x có đồ thị ( C ) . Hàm số nào sau đây có đồ thị
đối xứng với ( C ) qua đường thẳng y = x.
1
A. y = 2x .
x
C. y = 2- x .
B. y = 2x .
D. y = 22 .
Lời giải. Trước tiên ta đưa hàm số về dạng chuẩn: y = - log2 x = log1 x .
2
x
��
1� - x
Suy ra hàm số cần tìm là y = �
�= 2 .
�
�
��
2�
Chọn C.
Câu 84. Biết hai hàm số y = ax và y = f ( x) có đồ
thị như hình vẽ đồng thời đồ thị của hai hàm số
này đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = - x .
y� � x
y
y � ax
3
Tính f ( - a ) .
A. f ( - a ) = - a
3
B. f ( - a3 ) = -
- 3a
1
.
3
.
1
y � f � x�
-1
O
x
3
C. f ( - a ) = - 3.
3
3a
D. f ( - a ) = - a .
Lời giải. Giả sử M ( xM ; yM ) là điểm thuộc hàm số y = ax ; N ( x0 ; y0 ) là điểm đối
xứng của M qua đường thẳng y = - x .
�
xM + x0 yM + y0 �
�
�I �
;
�
Gọi I là trung điểm của MN ��
�
�.
�
� 2
2 �
�yM + y0
x + x0
�
=- M
�
I
�
d
�x0 = - yM
�
�
2
2
�
r uu
r ��
��
��
.
Vì M , N đối xứng nhau qua d ��
�uuuu
�
�
�
�
�MN P nd
�xM - x0 = yM - y0
�y0 = - xM
�
�
1
� 1
x
x
M
Ta có M ( xM ; yM ) � đồ thị y = a nên yM = a .
x
- y
�- y0 = loga ( - x0 ) � y0 =- loga ( - x0 ) . Điều này
Do đó x0 = - yM =- a M = - a 0 ��
chứng tỏ điểm N thuộc đồ thị hàm số f ( x) = - loga ( - x) .
3
3
Khi đó f ( - a ) = - loga a = - 3. Chọn C.
Cách 2. Lấy đối xứng đồ thị hàm số y = ax qua Oy là được đồ thị hàm số
x
��
1�
y = a- x = �
�.
�
�
��
a�
Lấy đối xứng đồ thị hàm số y = f ( x) qua Oy là được đồ thị hàm số y = f ( - x) .
Theo giả thiết, ta có đồ thị hai hàm số y = ax và y = f ( x) đối xứng nhau qua
x
��
1�
đường thẳng y = - x nên suy ra đồ thị của hai hàm số y = �
� và y = f ( - x)
�
�
��
a�
đối xứng nhau qua đường thẳng y = x . ( 1)
Theo lý thuyết (SGK) thì đồ thị của hai hàm số y = ax và y = loga x đối xứng
nhau qua đường thẳng y = x. ( 2)
x=a
� f ( - a3 ) = log1 a3 =- 3.
Từ ( 1) và ( 2) , suy ra f ( - x) = log1 x ���
3
a
a
Câu 85. Đối xứng qua trục hoành của đồ thị hàm số y = log2 x là đồ thị nào
trong các đồ thị có phương trình sau đây?
x
��
1�
A. y = log1 x .
B. y = 2x .
C. y = log2 x .
D. y = �
.
�
�
�
2
��
2�
Lời giải. Dựa vào lý thuyết '' Đồ thị hàm số y = f ( x) đối xứng qua trục hoành
ta được đồ thị hàm số y = - f ( x) '' . Do đó đồ thị hàm số y = log2 x đối xứng qua
trục hoành ta được đồ thị hàm số y = - log2 x.
Chưa thấy đáp án nên ta biến đổi: y = - log2 x = log1 x . Chọn A.
2
Câu 86. Cho hàm số y = a ( 0 < a �1) có đồ thị ( C ) . Mệnh đề nào sau đây là
sai?
A. Đồ thị ( C ) luôn đi qua M ( 0;1) và N ( 1; a)
x
B. Đồ thị ( C ) có tiệm cận y = 0 .
C. Đồ thị ( C ) luôn nằm phía trên trục hoành.
D. Hàm số luôn đồng biến.
Lời giải. Với x = 0 � y = a0 = 1 và x = 1� y = a1 = a . Do đó A đúng.
y = 0 nếu 0 < a < 1 và lim y = 0 nếu a> 1. Suy ra y = 0 là tiệm cận
Ta có xlim
�+�
x�- �
ngang. Do đó B đúng.
Vì ax > 0, " x ��. Do đó C đúng.
Hàm số y = ax đồng biến khi a> 1 , nghịch biến khi 0 < a < 1 . Do đó D sai. Chọn
D.
Câu 87. Cho hàm số y = log4 x ( x �0) có đồ thị ( C ) . Mệnh đề nào sau đây là
đúng?
A. Hàm số có tập xác định D = �.
B. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng tập xác định.
C. Đồ thị ( C ) nhận Oy làm trục đối xứng.
D. Đồ thị ( C ) không có đường tiệm cận.
Lời giải. Tập xác định: D = �\ { 0} . Do đó A sai.
� y đồng biến.
Với x > 0 , ta có y = log4 x ��
� y' =
Với x < 0 , ta có y = log4 ( - x) ��
- 1
< 0, " x < 0 ��
� y nghịch biến.
x
( ) ln4
Do đó B sai.
�
" x �D � ( - x) �D
�
� hàm số y = log4 x chẵn trên tập xác
Ta có �
�y( - x) = log4 - x = log4 x = y( x)
�
định nên nhận Oy làm trục đối xứng. Do đó C đúng. Chọn C.
log4 x = lim- log4 x = - � . Suy ra x = 0 là tiệm cận
Đáp án D sai. Ta có xlim
�0+
x�0
đứng.
Câu 88. Cho a là số thực dương và khác 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
x
��
1�
A. Đồ thị của hai hàm số y = ax và y = �
đối xứng nhau qua trục hoành.
�
�
�
��
a�
B. Đồ thị của hai hàm số y = log x và y = log1 x đối xứng nhau qua trục
a
a
tung.
C. Đồ thị của hai hàm số y = ex và y = ln x đối xứng nhau qua đường phân
giác của góc phần tư thứ nhất.
D. Đồ thị của hai hàm số y = ax và y = loga x đối xứng nhau qua đường
thẳng y = - x
x
��
1�
Lời giải. Đồ thị của hai hàm số y = ax và y = �
�
� � đối xứng nhau qua trục
�
��
a
tung. Do đó A sai.
Đồ thị của hai hàm số y = log x và y = log1 x đối xứng nhau qua trục hoành.
a
a
Do đó B sai.
Dựa vào lý thuyết '' Đồ thị của hai hàm số y = ax và y = loga x đối xứng nhau
qua đường y = x '' . Do đó C đúng. Chọn C.
Đồ thị của hai hàm số y = ax và y = loga x đối xứng nhau qua đường thẳng
y = x . Do đó D sai.
x
Câu 89. Cho hai hàm số y = f ( x) = loga x và y = g( x) = a ( 0 < a �1) . Xét các
mệnh đề sau:
1) Đồ thị của hai hàm số f ( x) và g( x) luôn cắt nhau tại một điểm.
2) Hàm số f ( x) + g( x) đồng biến khi a> 1 , nghịch biến khi 0 < a < 1 .
3) Đồ thị hàm số f ( x) nhận trục Oy làm tiệm cận.
4) Chỉ có đồ thị hàm số f ( x) có tiệm cận.
Hỏi có tất cả bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 1.
B. 2 .
C. 3 .
D. 4.
f
x
g
x
(
)
(
)
Lời giải. Chọn a= 2 chẳng hạn, khi đó
và
cùng đồng biến. Mà hai
hàm cùng đồng biến thì không kết luận được số nghiệm của phương trình
f ( x) = g( x) vì nó có thể vô nghiệm, hoặc có một nghiệm, hoặc có hai nghiệm,
….Do đó 1) sai.
Tổng của hai hàm đồng biến là hàm đồng biến, tổng của hai hàm nghịch biến
là hàm nghịch biến. Do đó 2) đúng.
Dựa vào lý thuyết, đồ thị hàm số y = loga x nhận trục Oy làm tiệm cận đứng.
Do đó 3) đúng.
Đồ thị hàm số y = ax nhận trục Ox làm tiệm cận ngang. Do đó 4) sai.
Vậy có các mệnh đề 2) và 3) đúng. Chọn B.
Câu 90. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có diện
tích bằng 36, đường thẳng chứa cạnh AB song song với trục Ox, các đỉnh
A, B và C lần lượt nằm trên đồ thị của các hàm số y = loga x, y = log a x và
y = log3 a x với a là số thực lớn hơn 1. Tìm a .
A. a= 3 .
a= 6 3 .
B. a= 3 6 .
C. a= 6
D.
� A, B nằm trên đường thẳng y = m ( m�0) .
Lời giải. Do AB POx ��
Lại có A, B lần lượt nằm trên đồ thị của các hàm số y = loga x, y = log a x .
�m �
m
�
A
a
;
m
B
a 2 ;m�
�
Từ đó suy ra (
.
), �
�
�
�
�
�
�
m
Vì ABCD là hình vuông nên suy ra x = x = a 2 .
C
B
�m 3m�
�
y
=
log
x
C
a2 ; �
.
�
C
3
Lại có
nằm trên đồ thị hàm số
, suy ra �
�
a
�
�
� 2�
�
m
�
m
�
2
a
a
=6
�
�
�
AB = 6
�
�
�
S
=
36
��
�
��
�
Theo đề bài ABCD
�
�
�
�
BC = 6
3m
�
�
�
- m=6
�
�
�2
m= - 12
�
�
m= 12
�
�
�
��
��
hoặc �
� 6 . Chọn D.
1
�
�
a = 6 < 1( loa�
i)
a= 3
�
�
�
3
�
Vấn đề 5. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Câu 91. Cho 9x + 9- x = 23 . Tính giá trị biểu thức P =
5+ 3x + 3- x
.
1- 3x - 3- x
3
1
5
B. P = .
C. P = .
D. P = - .
2
2
2
Lời giải. Đặt t = 3x + 3- x ��
� t2 = 9x + 9- x + 2 = 25��
� t = �5 .
Vì 3x + 3- x > 0 nên t > 0 . Do đó ta chọn t = 5 hay 3x + 3- x = 5 .
5+ 5
5
= - . Chọn D.
Thay 3x + 3- x = 5 vào P , ta được P =
1- 5
2
4log4 ( 8log2 x) �
= 8 . Tính ln x .
Câu 92. Cho số thực x thỏa mãn log2 �
�
�
125
126
127
A. ln x = 2 .ln2 . B. ln x = 2 .ln2 . C. ln x = 2 .ln2 .
D. ln x = 2128ln2 .
4log4 ( 8log2 x) �
= 8 ��
� 4log4 ( 8log2 x) = 28
Lời giải. Ta có log2 �
�
�
A. P = 2.
��
� log4 ( 8log2 x) = 64 ��
� 8log2 x = 464 ��
� log2 x = 2125
( 2125)
( 2125)
��
�x=2
��
� ln x = ln2
= 2125 ln2 . Chọn A.
x
��
1�
Câu 93. Cho hàm số f ( x) = �
� và biểu thức P = f ( x - 1) + f ( x - 2) . Mệnh đề
�
�
��
2�
nào sau đây là đúng?
3
A. P = f ( x) .
B. P = 6 f ( x) .
C. P = - 3 f ( x) .
D. P = - 8 f ( x) .
4
x- 1
x- 2
��
1� ��
1�
�
Lời giải. Ta có P = f ( x - 1) + f ( x - 2) = �
+
�
�
�� �
��
�
��
��
2
2
x
x
x
��
��
��
1�
1�
1�
= 2.�
+ 4.�
= 6�
�
�
�= 6 f ( x) . Chọn B.
�
�
�
�
�
�
�
�
��
��
��
2
2
2�
x
Câu 94. Cho hàm số f ( x) = 2017 . Tính P =
f ( x) f ( x +1) f ( x + 2)
f ( 3x)
.
A. P = 2017x.
B. P = 3.2017.
C. P = 3.
D. P = 20173.
x
x+1
x+2
f ( x) f ( x +1) f ( x + 2) 2017 .2017 .2017
=
Lời giải. Ta có P =
f ( 3x)
20173x
=
20173x+3
= 20173 . Chọn D.
20173x
Câu
95.
Cho
hàm
số
f ( x) =
4x
.
4x + 2
Tính
tổng
�1 �
� �2 �
�
�
�
2016�
S = f�
+ �
+... + f �
.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2017� �
2017�
2017�
A. S = 2016.
B. S = 1008.
C. S = 1007.
D. S = 2017.
Lời giải. Sử dụng tính chất '' Nếu a + b = 1 thì f ( a) + f ( b) = 1 '' . Thật vậy:
● f ( a) =
4a
2.4a
=
.
4a + 2 2.4a + 4
4
a
41- a
4
= 4 =
● a + b = 1��
.
� b = 1- a . Do đó f ( b) = f ( 1- a) = 1- a
4
4 +2
4 + 2.4a
+
2
4a
a
2.4
4
Suy ra f ( a) + f ( b) =
+
= 1.
2.4a + 4 4 + 2.4a
�1 �
� �
�
2016�
1
2016
+ �
=1.
+
= 1 nên f�
�
�
Áp dụng: Ta có
�
�
�
�
�
�
�
2017� �
2017�
2017 2017
�� 1 � �
� �� 2 � �
�
��
�
�
�
2016�
2015�
1008�
1009�
�
�
�
�
�
�
�
�
f�
+ �
+�
f�
+ �
+... + �
f�
+ �
�
�
�
�
�
�
Vậy S = �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2017 � � 2017
2017 �
2017 �
� 2017
� 2017
�
= 1+1+... +1= 1008 . Chọn B.
Bài toán tổng quát: Nếu f ( x) =
Câu
96.
Cho
Mx
Mx+ M
hàm
số
( M > 0) thì f ( x) + f ( 1- x) = 1.
f ( x) =
9x
.
9x + 3
�1 �
� �2 �
�
�
�
2016�
S = f�
+ �
+... + f �
.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2017� �
2017�
2017�
A. S = 2016.
B. S = 2017.
C. S = 1008.
Lời giải. Ta có
�� 1 � �
� �� 2 � �
�
��
�
2016�
2015�
1008�
�
�
�
�
�
�
S=�
f�
+ �
+�
f�
+ �
+... + �
f�
+
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2017� �
2017�
2017� �
2017�
2017�
��
� ��
�
��
Tính
tổng
D. S = 1007.
�
�
1009�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2017�
�
= 1+1+... +1= 1008 . Chọn C.
4x
2
2
và góc a tùy ý. Tính S = f( sin a ) + ( cos a ) .
x
4 +2
B. S = 2.
C. S = 3.
D. S = 4sin2a.
Câu 97. Cho hàm số f ( x) =
A. S = 1.
2
Lời giải. Do sin2 a + cos2 a = 1 nên S = f( sin a ) +
( cos2 a ) . = 1 . Chọn A.
9x
. Biết a + b = 3 , tính S = f ( a) + f ( b- 2) .
9 +3
1
3
A. S = 1.
B. S = 2.
C. S = .
D. S = .
4
4
� f ( a) + f ( b- 2) = 1. Chọn A.
Lời giải. Ta có a +( b- 2) = a + b- 2 = 3- 2 = 1��
Câu 98. Cho hàm số f ( x) =
x
9t
với m là
9 + m2
tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho f ( x) + f ( y) = 1
x+ y
với mọi x, y thỏa mãn e �e( x + y) . Tìm số phần tử của S .
Câu 99. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Xét hàm số f ( t) =
t
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.
t
t
� g'( t) = 0 � t = 1.
Lời giải. Xét hàm số g( t) = e - et, " t ��. Ta có g'( t) = e - e��
Lập bảng biến thiên ta thấy g( t) �0, " t �� và đẳng thức xảy ra � t = 1.
x+ y
x+ y
Ta có g( x + y) = e - e( x + y) �0 � e �e( x + y) .
x+ y
x+ y
Kết hợp với giải thiết e �e( x + y) , suy ra e = e( x + y) � x + y = 1.
Chọn
��
1
f�
+
�
��
�
��
2�
Vậy có
Câu
một
bộ
x= y=
1
2
theo
giả
thiết,
có
��
1
3
�
= 1 � 2.
= 1 � m= � 3.
�
��
�
�
��
2
3+ m2
hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu. Chọn C.
100.
Cho
hàm
số
�
x +1�
�
f ( x) = ln2017- ln�
�
�
�.
�
�x �
Tính
S = f'( 1) + '( 2) +... + f '( 2017) .
A. S =
4035
.
2018
C. S =
B. S = 2017.
2016
.
2017
D. S =
2017
.
2018
/
�
x +1�
- 1
�
�
�
�
�
2
�
�
�
1
1
1 .
x
Lời giải. Ta có f '( x) = =- x =
= x +1
x +1 x( x +1) x x +1
x
x
Khi đó S = f'( 1) + '( 2) + ... + f '( 2017)
�
�
�1
1
1 �
1
1 �
1 �
1
1
2017
�
�
�
=�
+�
+... +�
= =
. Chọn D.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1+1� �
2 2 +1�
2017 2017 +1� 1 2017 +1 2018
Câu 101. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Xét các số nguyên dương a, b sao
cho phương trình aln2 x + bln x + 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và phương
trình 5log2 x + blog x + a = 0 có hai nghiệm phân biệt x3, x4 thỏa mãn x1x2 > x3x4
. Tính giá trị nhỏ nhất Smin của S = 2a+ 3b .
A. Smin = 30 .
B. Smin = 25 .
C. Smin = 33 .
D. Smin = 17 .
Lời giải. Điều kiện x > 0 .
Phương trình aln2 x + bln x + 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt � b2 > 20a .
Phương trình 5log2 x + blog x + a = 0 có hai nghiệm phân biệt � b2 > 20a .
Ta có
t=ln x
aln2 x + bln x + 5 = 0 ���
� at2 + bt + 5 = 0.
2
u=log x
2
( 1)
( 2)
5log x + blog x + a = 0 ���� 5u + bu + a = 0.
Với mỗi một nghiệm t thì có một nghiệm x , một nghiệm u thì có một nghiệm
x.
b
�
t1 t2
t1 +t2
�
a
x
.
x
=
e
.
e
=
e
=
e
b
b
�
1 2
a
5
Ta có �
, kết hợp giả thiết x x > x x ��
�
�
e
>
10
b
�
1
2
3
4
�
u1 +u2
5
�x3.x4 = 10
= 10
�
b
b
5
a��+
��
�- >- ln10 � a >
���
� a �3 .
a
5
ln10
+
b��
Suy ra b2 > 20a �60 ���
� b �8 .
a= 3
�
Vậy S = 2a + 3b �2.3+ 3.8 = 30 , suy ra Smin = 30 đạt được khi �
. Chọn A.
�
�
b= 8
�
Câu 102. Cho a, b là các số thực thỏa mãn a2 + b2 > 1 và loga2 +b2 a+ b �1. Tìm
giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P = 2a+ 4b- 3.
1
10
.
A. Pmax = 10.
B. Pmax =
C. Pmax =
D. Pmax = 2 10.
.
10
2
Lời giải.
2
2
� 1�
� 1�
� 1
�
�
Do a2 + b2 > 1 nên loga2 +b2 ( a + b) �1 � a + b �a2 + b2 � �
a
+
b
� . ( 1)
�
�
�
�
� �
�
�
� 2�
� 2
2�
�
�3
� 1�
� 1�
�
�
a- �
+ 2�
b- �
+ . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có
�
�
Ta có a+ 2b = �
�
�
�
�
�
�
�
�
� 2� � 2�
�
�2
�
Do đó �
a�
�
�
2
2
2
�
�
�
� 1�
� 1�
� 1�
� 1�
��
1 5
�
�
�
�
�
�
�
�
��( 12 + 22 ) �
a- �
+
2
b
a
+
b
�5. = .
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� 2� � 2�
�
� � 2�� 2 2
�
�
� 2
� 1�
1�
10
10 3
�
+ 2�
b- �
�
��
� a + 2b �
+ ��
� P = 2a + 4b- 3 � 10.
�
�
�
�
�
� 2�
�
2�
2
2
2
5+ 10
5+ 2 10
; b=
. Chọn A.
10
10
�
1 1�
2
; �
�
Cách 2. Ta thấy ( 1) là hình tròn tâm I �
�
.
�, bán kính R =
�
�
2 2�
2
Ta có P = 2a+ 4b- 3 � D : 2a+ 4b- 3- P = 0. Xem đây là phương trình đường
thẳng.
Để đường thẳng và hình tròn có điểm chung � d[ I , D ] �R
Dấu " = " xảy ra � a =
1
1
2. + 4. - 3- P
2
2
��ۣۣ����
4 +16
2
2
P
10
P
10.
Câu 103. Xét các số thực a, b thỏa mãn a�b>1. Biết rằng P =
1
a
+ loga
log( ab) a
b
đạt giá trị lớn nhất khi b= ak . Khẳng định nào sau đây đúng?
� 3�
�
3 �
0; �
.
;2�
.
( 1;0) .
�
�
A. k��
B. k�C. k��
D. k�( 2;3) .
�
�
�
�
�
�
� 2�
�
2 �
Lời giải. Ta có P =
1
a
+ loga = loga ( ab) + 1- loga b = 1+ loga b+ 1- loga b
log( ab) a
b
Khi b = ak ��
� P = 1+ k + 1- k .
2
� 1�
� 9 9
Đặt t = 1- k ( k �1) , ta được P = - t2 + t + 2 = - �
t- �
+ � .
�
�
�
� 2� 4 4
1
3 � 3�
�. Chọn A.
� k = ��
0; �
Dấu '' = '' xảy ra � t = ��
�
�
� 2�
2
4 �
