PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC

Giải phương trình bậc hai trên tập số phức
az 2 + bz + c = 0( a, b, c ∈ C ; a ≠ 0)
Xét phương trình
Cách giải
Tính

Gọi

∆ = b 2 − 4ac

±k

là căn bậc hai của

Đặc biệt nếu b=2b’, ta tính

Gọi

±k '

là căn bậc hai của

∆

z=
, nghiệm của phương trình là:

−b − k
−b + k
,z=
2a

2a

∆'

∆'

Bài 1. Giải các phương trình:

z=
, nghiệm của phương trình là:

−b '− k '
−b '+ k '
,z=
a
a

x 2 + 6x + 10 = 0
Giải

x + 6x + 10 = 0
2

ax + bx + c = 0

a = 1, b = 6, b ' =

2

có dạng

∆ ' = b ' − ac = −1 = i 2

với

b
= 3, c = 10
2

2

Biệt số
, Dùng kỹ thuật tìm căn bậc 2 đã học ta tìm được căn bậc hia của
±i
∆'
là
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:
−b '− ∆ '
−b '+ ∆ '
x2 =
= −3 + i
x1 =
= −3 − i
a
a
và
x 2 − 2 ( 1 + 3i ) x + 2i − 5 = 0
Bài 2. Giải các phương trình:
x 2 − 2 ( 1 + 3i ) x + 2i − 5 = 0
b ' = − ( 1 + 3i ) , c = ( 2i − 5 )
∆ ' = b '2 − ac = ( 1 + 3i ) − ( 2i − 5 ) = −3 + 4i

2

Biệt số


Dùng kỹ thuật tìm căn bậc 2 đã học ta tìm được căn bậc hia của
x1 = i
x2 = 2 + 5i
và
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

∆'

± ( 1 + 2i )

là

z2 − ( 4 + i) z + 5( 1+ i) = 0

Bài 3. Giải các phương trình:
z2 − ( 4 + i) z + 5( 1+ i) = 0
∆ = b 2 − 4ac = ( 4 + i ) − 20 ( 1 + i ) = −5 − 12i
2

Biệt số
Dùng kỹ thuật tìm căn bậc 2 đã học ta tìm được căn bậc hia của ∆ là
z1 = 3 − i
z2 = 1 + 2i
và
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

2 − 3i

và

−2 + 3i

z 3 − 3 ( 1 + 2i ) z 2 + ( −3 + 8i ) z + 5 − 2i = 0

Bài

4. Giải các phương trình:

z 3 − 3 ( 1 + 2i ) z 2 + ( −3 + 8i ) z + 5 − 2i = 0

⇔ ( z − 1)  z 2 − 2 ( 1 + 3i ) z + 2i − 5 = 0

⇔ z =1

hoặc

z =i

hoặc

z = 2 + 5i
z = 1, z = i, z = 2 + 5i

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

2

 4z + i 
4z + i
+ 6= 0

÷ −5
z− i
 z− i 

Câu 1 : Phương trình
 −3

 −3

S =  i; −4i 
S =  i;4i 
2

2

A.
B.
Giải

có tập nghiệm là:
3

3


S =  i; −4i 
S =  i;4i 
2

2

C.
D.


2

 4z + i 
4z + i
+ 6= 0

÷ −5
z− i
 z− i 
 4z + i
 z − i = 2  z = −3i
⇔
⇔
2
4
z
+
i



= 3  z = −4i
 z − i
 −3

S =  i; −4i 
2

Đáp án A

z3 − ( 1+ i ) z2 + ( 3+ i ) z − 3i = 0

Câu 2 : Phương trình
có tập nghiệm là:
1± i 11
 1± i 11
 1± i 11 
S = i;
; −i 
S= 
S = i;


2
2
2
S = { i; −i}







A.
B.
C .
D.

z3 − ( 1+ i ) z2 + ( 3+ i ) z − 3i = 0

(

)

⇔ ( z− i ) z2 − z+ 3 = 0
z = i
⇔  1± i 11
z =

2
Đáp án B

z2 − 80z + 4099− 100i = 0

Câu 3 :
S = { 41+ 50i}
A.
Giải

S = { 39 − 50i}

B.

S = { 41+ 50i;39 − 50i}

C.

D.

S= ∅

z2 − 80z+ 4099− 100i = 0
 z = 40 + (50i + 1)  z = 41+ 50i
⇔
⇔
 z = 40 − (50i + 1)  z = 39− 50i

Đáp án C

Câu 4 : Phương trình
A. 0
B.1
Giải

( z + i ) ( z2  − 2z + 2) = 0
C.2

D.3

có bao nhiêu nghiệm phức phân biệt

( z + i ) ( z2  − 2z + 2) = 0
 z = −i
⇔  z = 1+ i

 z = 1− i

3 nghiệm Đáp án D
x2 − (3+ 4i)x + 5i − 1= 0
Câu 5 Giải phương trình
S = { i + 1;3i + 2}
S = { i +1}
A.
B.
Giải

trên tập số phức
S = { 3i + 2}
S = { i + 1;3i + 2,i}
C.
D.

x2 − (3+ 4i )x + 5i − 1= 0
⇔ ( x − i − 1) ( x − 3i − 2) = 0
x = i +1
⇔
 x = 3i + 2
Đáp án A

Câu 6 Phương trình

−1+ i 3
2

A.
Giải

B

x2 + x + 1= 0

−1− i 3
2

có nghiệm là

C. Cả A và B

D. Tất cả đều sai


−1+ i 3
x =
2
2
x + x + 1= 0 ⇔ 
−1− i 3

 x =
2

Đáp án C

Câu 7 : Giải phương trình
A. i
B. i + 1
Giải

z3 − iz2 − 2iz − 2 = 0
C. - i – 1

trên tập số phức
D. Cả A,B,C


z3 − iz2 − 2iz − 2 = 0

(

)

⇔ (z − i ) z2 − 2i = 0
z = i
z = i
⇔ 2
⇔ z = i + 1

z
=
2

i

 z = −i − 1

Đáp án D
z3 + (i − 3)z2 + (4− 4i )z − 4+ 4i = 0
Câu 8 : Giải phương trình
S = { −2i;2;i + 1}
A.
S = { 2i;2;i + 1}
B.
S = { −2i; −2;i + 1}
C.
S = { −2i;2;i − 1}
D.
Giải

trên tập số phức

z3 + (i − 3)z2 + (4 − 4i )z − 4 + 4i = 0
⇔ (z + 2i ) z2 − (3+ i)z + 2+ 2i = 0

(

⇔ (z + 2i )(z − 2)(z − i − 1) = 0
 z = −2i
⇔ z = 2

z = i + 1

)

Đáp án A
(z − 2)(z + i)

Câu 9 : Tìm tất cả các số phức thỏa
Giải
Gọi z = a + bi
(z − 2)(z + i) = z.z + zi − 2z − 2i
= (a2 + b2) − b + ai − 2a + 2bi − 2i
= a2 + b2 − b+ 2a + (a + 2b − 2)i

là số thực

Là số thực thì a+2b-2 = 0 <=> a + 2b = 2
Vậy với mọi số phức có dạng z = a + bi thỏa a+2b=2
(z − 2)(z + i )
Thì
là số thực


Câu 10 : Giải các phương trình sau
z4 − 8(1− i )z2 + 63− 16i = 0
a.
Tổng các nghiệm của phương trình trên là
A. i
B. 2i
C. 3i
D.0
Giải

Tổng các nghiêm của phương trình trùng phương là bằng 0 (nếu có nghiệm)
z4 − 8(1− i )z2 + 63− 16i = 0
 z = 2+ i
 z = −2 − i
 z2 = 3+ 4i
⇔ 2
⇔
 z = 3− 2i
 z = 5− 12i
 z = −3+ 2i
Tổng bằng 0
Đáp án D

Câu 11 ; Cho z1, z2 là nghiệm của

z2 − ( 1+ i 2) z + 2− 3i = 0

. Tính giá trị củaPhần thực của

z12 + z22
là
A. -4 B.-5
Giải

C.-6

D.-7

z12 + z22 = (z1 + z2)2 − 2z1z2 = (1+ i 2)2 − 2(2− 3i ) = −5+ (6 + 2 2)i
Đáp án B

Câu 12 Phần thực của
A. 2
Giải

B.

z12z2 + z1z22

2+ 3 2

C.

3 2

D.0

z12z2 + z1z22 = z1z2 ( z1 + z2 ) = (2− 3i )(1+ i 2) = 2 + 3 2 + (−3+ 2 2)i

Đáp án B

Câu 13 : Phần thực của

−28− 6 2
13

A.
.Giải

B.

z1 z2
+
z2 z1

−28+ 6 2
13

C.

28− 6 2
13

D.

28+ 6 2
13


z1 z2 z12 + z22 −5+ (6+ 2 2)i −28− 6 2 −3+ 4 2
+
=
=
=
+
i
z2 z1
z1z2
2 − 3i
13
13

Đáp án A
Câu 14 Giải phương trình
z3 + (2 − 2i )z2 + (5− 4i )z − 10i = 0
a.

A.

 z = −2i
 z = −1+ 2i

 z = −1− 2i

B.

z = i
 z = −1+ 2i

 z = −1− 2i

C.
Giải

D.

 z = 2i
 z = −1+ 2i

 z = −1− 2i

 z = −i

 z = −1+ 2i

 z = −1− 2i

z3 + (2− 2i)z2 + (5− 4i)z− 10i = 0
⇔ (z − 2i )(z2 + 2z + 5) = 0
 z = 2i
⇔  z = −1+ 2i

 z = −1− 2i
Đáp án B
z3 + (1+ i )z2 + (i − 1)z − i = 0
Câu 15
A. i
Giải

B. –i

C.2i

phương trình trên có nghiệm thuần ảo là
D.-2i

z3 + (1+ i )z2 + (i − 1)z − i = 0
⇔ (z + i )(z2 + z − 1) = 0
 z = −i
⇔
 z = −1± 5

2

Đáp án B
2


z+ 1
z =  2−
÷
z− 7


Câu 16 Tổng tất cả các nghiệm của Phương trình
A. 9
B. 6
C. 0
D. 15

là:


Giải
2


z+ 1
z =  2−
÷
z− 7

⇔ z(z− 7)2 = (2z− 14 − z− 1)2
⇔ z3 − 15z2 + 79z − 225 = 0

⇔ (z − 9)(z2 − 6z+ 25) = 0
z = 9
⇔  z = 3+ 4i

 z = 3− 4i
Đáp án D

Câu 17 Phương trình:
A. 0
B.1
Giải

z4 + 2z3 − z2 + 2z + 1= 0

z4 + 2z3 − z2 + 2z + 1= 0

(

)(

C.2

có bao nhiêu nghiệm thuần ảo

D.3

)

⇔ x2 + 3x + 1 x2 − x + 1 = 0


−3± 5
x =
2
⇔
1± i 3

 x = 2

Đáp án A

Câu 18
A. 1
Giải

z4 − ( 1+ 2) z3 + ( 2 + 2) z2 − ( 1+ 2) z + 1= 0

B.2

C.3

Có bao nhiêu nghiệm phức phân biệt

D.4

z4 − ( 1+ 2) z3 + ( 2 + 2) z2 − ( 1+ 2) z + 1= 0
⇔ (x2 − x + 1)(x2 − x 2 + 1) = 0

1± i 3
x =
2

⇔
2± i 2

 x =
2

Đáp án D
z6 + z5 − 13z4 − 14z3 − 13z2 + z + 1= 0
Câu 19 : Phương trình
C
Có bao nhiêu nghiệm thực


A. 0
Giải

B.2

C.4

D.6

z6 + z5 − 13z4 − 14z3 − 13z2 + z + 1= 0

(

)(

)(

)

⇔ z2 + z + 1 z2 − 4z + 1 z2 + 4z + 1 = 0

−1± i 3
z =
2

⇔  z = 2± 3
 z = −2 ± 3



Đáp án C
(z2 + 3z + 6)2 + 2z(z2 + 3z + 6) − 3z2 = 0
Câu 20 : Giải phương trình:
Có bao nhiêu nghiệm thực
A. 0
B.2
C.3
2

2

2

D.4
2

(z + 3z + 6) + 2z(z + 3z + 6) − 3z = 0

 z2 + 3z+ 6 = z
 z2 + 2z + 6 = 0
⇔ 2
⇔ 2
 z + 3z+ 6 = −3z  z + 6z + 6 = 0
 z = −1± 5i
⇔
 z = −3± 3
Đáp án B
3

Câu 21 : Giải phương trình sau:

 z+ i 

÷ =8
 z− i 

3

 z+ i 

÷ =8
 z− i 
3
 z+ i 
3
⇔
÷ =2
 z− i 

z+ i
⇔
=2
z− i
⇔ z + i = 2z − 2i
⇔ z = 3i

(1)
(2)
(3)

Lời giải trên sai ở đâu
A. (1)
B.(2)
C.(3)
D. Lời giải đúng
Giải
Sai từ bước (2) trong số phức không tồn tại phép tương đương đó


Đáp án B
z = x + yi ( x, y ∈ ¡

)

z2 + z = 0

Câu 22: Gọi
( x;y) = ( 0;1) ;( 0; −1)
A.

( x;y) = ( 0;0) ,( 0;1)
C.
Giải:

. Giải phương trình
( x;y) = ( 0;0) ,( 0;−1)
B.
( x;y) = ( 0;0) ,( 0;±1)
D.

. Giá trị x và y là :

x2 − y2 + x2 + y2 = 0
2
z2 + z = 0 ⇔ ( x + yi ) + x2 + y2 = 0 ⇔ 
2xy = 0
⇔ ( x;y) = ( 0;0) ,( 0;±1)

z = x + yi ( x, y ∈ ¡

)

Câu 23 : Gọi
( x;y) = ( 0;1) ;( 0; −1)
A.
( x;y) = ( 0;0) ,( 0;1)
C.
Giải:
z + z = 0 ⇔ ( x + yi )
2

2

2

⇔ ( x;y) = ( 0;0)

2

z2 + z = 0

. Giải phương trình
( x;y) = ( 0;0)
B.
( x;y) = ( 0;0) ,( 0;−1)
D.
2x2 = 0
+ x + y = 0⇔ 
2xy = 0
2

2

z = x + yi ( x, y ∈ ¡

)

z + 2z = 2 − 4i
. Giải phương trình
. Giá trị x và y là :

2
( x;y) =  ;4÷
3 
B.

Câu 24: Gọi

( x;y) = ( 0;1) ;( 0; −1)
A.

( x;y) =  −
C.
Giải:
Chọn B

. Giá trị x và y là :

2 
;4÷
 3 

( x;y) = ( 0;0) ,( 0;−1)
D.

3x = 2
2 
z + 2z = 2 − 4i ⇔ x + yi + 2( x − yi ) = 2 − 4i ⇔ 
⇔ ( x;y) =  ;4÷
3 
 − y = −4

z = x + yi ( x, y ∈ ¡

Câu 25 : Gọi

)
. Giải phương trình

z2 − z = 0

. Giá trị x và y là :


( x;y) = ( 0;0) ,( 1;0)
A.

( x;y) = ( 0;0)
B.

( x;y) = ( 0;0) ,( 1;1)

C.
Giải:

( x;y) = ( 0;0) ,( 1;−1)

D.

x2 − y2 − x = 0
z − z = 0 ⇔ ( x + yi ) − ( x − yi ) = 0 ⇔ 
⇔ ( x;y) = ( 0;0) ,( 1;0)

2xy + y = 0
2

2

z = x + yi ( x, y ∈ ¡

)

Câu 26: Gọi
( x;y) = ( −1;1)
A.
( x;y) = ( 3;4)
C.
Giải:

z − 2 z = −1 − 8i

. Giải phương trình
( x;y) = ( 1;1)
B.
( x;y) = ( 2;5)
D.

. Giá trị x và y là :

 x2 + y2 − 2x = −1
z − 2z = −1− 8i ⇔ x2 + y2 − 2( x + yi ) = −1− 8i ⇔ 
⇔ ( x;y) = ( 3;4)
 −2y = −8

z = x + yi ( x, y ∈ ¡

)

Câu 27: Gọi
3 14
( x;y) =  ;− ÷
 41 41
A.

(4 − 5i) z = 2 + i
. Giải phương trình

( x;y) = ( 1;1)
B.

( x;y) = 

( x;y) = ( 3;4)
C.
Giải:Chọn D
(4 − 5i)z = 2 + i ⇔ z =

. Giá trị x và y là :

D.

3 14 
; ÷
 41 41

2+ i
3 14
 3 14 
= + i ⇔ ( x;y) =  ; ÷
4 − 5i 41 41
 41 41
4

z = x + yi ( x, y ∈ ¡

Câu 28: Gọi
( x;y) = ( 2;2)
A.
( x;y) = ( 1;1)
C.
Giải:

)

 z+ i 

÷ =1
 z− i 
. Giải phương trình
. Giá trị x và y là :
( x;y) = ( −1;−1)
B.
( x;y) = ( 0;0)
D.

4

z + i = z − i
 z+ i 
 z − i ÷ = 1⇔  z + i = i − z ⇔ z = 0 ⇔ ( x;y) = ( 0;0)




z = x + yi ( x, y ∈ ¡ )

Câu 29: Gọi
11 7
( x;y) =  ; ÷
 25 25
A.
22 4
( x;y) =  ; ÷
 25 25
C.
Giải:

2+ i
−1+ 3i
z=
1− i
2+ i

. Giải phương trình
19 3
( x;y) =  ; ÷
 25 25
B.
23 9
( x;y) =  ; ÷
 25 25
D.

. Giá trị x và y là :

1 7
+ i
2+ i
−1+ 3i
1 7
1 3 
5
5 ⇔ ( x;y) =  22; 4 
z=
⇔  + i ÷z = + i ⇔ z =

÷
1 3
1− i
2+ i
5 5
2 2 
 25 25

+ i
2 2

x1 = 3 + 4; x2 = 3 − 4i
Câu 30: Tìm phương trình bậc hai chứa các nghiệm
x 2 + 6 x + 25 = 0
x 2 − 6 x − 25 = 0
A.
B.
2
x + 6 x − 25 = 0
x 2 − 6 x + 25 = 0
C.
D.
Giải:
 x1 x2 = 25
2
 x + x = 6 ⇒ x − 6 x + 25 = 0
 1 2

. Chọn đáp án đúng:

x1 = 7 − i 3; x2 = 7 + i 3

Câu 31: Tìm phương trình bậc hai chứa các nghiệm
đúng:
x 2 + 2 7 x − 10 = 0
x 2 − 2 7 x + 10 = 0
A.
B.

2
x − 10 x − 2 7 = 0
x 2 + 2 7 x + 10 = 0
C.
D.
Giải: Chọn B
 x1 + x2 = 2 7
⇒ x 2 − 2 7 x + 10 = 0

 x1.x2 = 10

. Chọn đáp án

x1 = 2 − 5i; x2 = 2 + 5i
Câu 32: Tìm phương trình bậc hai chứa các nghiệm

. Chọn đáp án đúng:


A.

x 2 − 4 x + 29 = 0

B.

2

x − 4 x − 29 = 0

C.

D.
Giải:
 x1 + x2 = 4
2
 x .x = 29 ⇒ x − 4 x + 29 = 0
 1 2

x 2 + 4 x + 29 = 0
x 2 + 4 x − 29 = 0

z 2 − mz + m + 1 = 0

Câu 33: Tìm tham số m để phương trình số phức
z12 + z22 = z1z2 + 1
mãn
. Chọn đáp án đúng:
m = −1; m = −4
m = −1; m = 4
m=4
A.
B.
C.
Giải:
z 2 − mz + m + 1 = 0
z + z = m
• 1 2
 z1 z2 = m + 1

z1 , z2
có 2 nghiệm

D.

thõa

m = −1

m = 4 ( N )
2
• z12 + z22 = z1z2 + 1 ⇔ ( z1 + z2 ) − 2 z1 z2 = z1z2 + 1 ⇔ m 2 − 3 ( m + 1) − 1 = 0 ⇔ 
 m = −1( N )

Chú ý: Phương trình số phức luôn có nghiệm.
z1, z2
z 2 − 9mz + 2mi = 0
Câu 34: Tìm tham số m để phương trình
có 2 nghiệm
thõa mãn
3
3
z1 + z2 = 36m − 8i
. Chọn đáp án đúng:
2
2
m=− i
m= i
m = −2i
m = 2i
3
3

A.
B.
C.
D.
Giải:
z 2 − 9mz + 2mi = 0
 z + z = 9m
• 1 2
 z1 z2 = 2mi
• z13 + z23 = 36m − 8i ⇔ ( z1 + z2 ) − 3z1z2 ( z1 + z2 ) = 18 ⇔ ( 3m ) − 3. ( 2mi ) ( 9m ) = 36m − 8i
2
3
2
2
3
3
⇔ ( 3m ) − 3. ( 3m ) .2i + 3.3m. ( 2i ) − ( 2i ) = 0 ⇔ ( 3m − 2i ) = 0 ⇔ m = i
3
3

z 2 − ( 2i + 2 ) z + ( 4 + 2i ) = 0

z1; z2
Câu 35 : Cho

3

là hai nghiệm của phương trình

. Tính giá trị của

A = z12 + z22 − 4i
biểu thức
. Chọn đáp án đúng:
A. -8
B. -10
C. -6
D. -4
Giải:
 z1 + z2 = 2i + 2
 z z = 4 + 2i
1 2
2
2
• A = z12 + z22 − 4i = ( z1 + z1 ) − 2 z1z2 − 4i = ( 2 + 2i ) − 2 ( 4 + 2i ) − 4i = −8
z 2 − ( 2i + 2 ) z + ( 4 + 2i ) = 0

z1; z2
Câu 36: Cho
là hai nghiệm của phương trình
2
B = z1 z2 + z1z22 − 12i
biểu thức
. Chọn đáp án đúng:
A. 10
B. 4
C. 1
D. 9
Giải:

 z1 + z2 = 2i + 2
 z z = 4 + 2i
1 2

. Tính giá trị của

• B = z12 z2 + z1 z22 − 12i = z1z2 ( z1 + z2 ) − 12i = ( 4 + 2i ) ( 2i + 2 ) − 12i = 4
z 2 − ( 2i + 2 ) z + ( 4 + 2i ) = 0

z1; z2
Câu 37: Cho

là hai nghiệm của phương trình
z
z
8
C= 1+ 2− i
z2 z1 5
biểu thức
. Chọn đáp án đúng:
−3
6
8
6
−
−
5
5
5
5

A.
B.
C.
D.

. Tính giá trị của

Giải:
 z1 + z2 = 2i + 2
 z z = 4 + 2i
1 2
2
( 2i + 2 ) 2 − 2 ( 4 + 2i ) − 8 i = − 6
z
z 8
z 2 + z22 ( z1 + z2 ) − 2 z1 z2 8
•C = 1 + 2 − i = 1
=
− i=
z2 z1 5
z1 z2
z1 z2
5
5
5
( 4 + 2i )

Câu 38 .Giải phương trình:
A.
B.

C.
D.

Lời giải

z2 + 4z + 7 = 0


∆ ' = 22 − 7 = −3 = 3i 2 ⇒

các căn bậc hai của

∆'

là

±i 3

z = −2 + 3i, z = −2 − 3i
Vậy nghiệm của phương trình là:

z 3 + 4 z 2 + (4 + i ) z + 3 + 3i = 0 (1)
Câu 39.Giải phương trình:
A.
B.
C.
D.

Lời giải

(1) ⇔ ( z + i )( z 2 + (4 − i ) z + 3 − 3i ) = 0
Dễ thấy z=-i là nghiệm của (1) nên

z + i = 0
⇔ 2
 z + (4 − i ) z + 3 − 3i = 0(2)
Giải (2)

∆ = (4 − i )2 − 12 + 12i = 16 − 1 − 8i − 12 + 12i = 3 + 4i = 4 + 2.2.i + i 2 = (2 + i ) 2
Vậy

∆

có hai căn bậc hai là: 2+i và -2-i

Do đó nghiệm của (2) là

 −4 + i + 2 + i
= −1 + i
z =
2

 z = −4 + i − 2 − i − 2 = −3

2

Vậy (1) có 3 nghiệm là –i, -3, -1+i.
2 ( 1 + i ) z 2 − 4 ( 2 − i ) z − 5 − 3i = 0
z1
z2

Câu 40 .Gọi
và
là hai nghiệm phức của phương trình:
.
2
2
z1 + z2
Tính
.
A.9
B. 8
C.7
D. 5

Lời giải
2
∆ ' = 4 ( 2 − i ) + 2 ( 1 + i ) ( 5 + 3i ) = 16
Ta có
. Vậy phương trình có hai nghiệm phức


z1 =

3 5
1 1
− i , z2 = − − i
2 2
2 2

2

2

z1 + z2 = 9

. Do đó

.

x + x +1 = 0
2

Câu 41.

Tính tổng phần thực của 2 số phức
A.-1
B. -2
C.2
D.1

∆ = −3 = 3i 2

Phương trình có biệt thức
Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt:
−1 − i 3
1
3
−1 + i 3
1
3

x=
=− −
i; x =
=− +
i
2
2 2
2
2 2
z 3 + 8 = 0 ( 1)

Câu

42.

Hỏi có bao nhiêu nghiệm thuần ảo
A.2
B. 0
C.1
D. 3
 z = −2

( 1) ⇔ ( z + 2 ) ( z 2 − 2 z + 4 ) = 0 ⇔ 

2
 z − 2 z + 4 = 0 ( *)

∆ = −12 = 12i 2

Giải phương trình (*):

Phương trình (*) có 2 nghiệm phức:
2 − i2 3
2 + i2 3
x=
= 1 − 3i; x =
= 1 + 3i
2
2
Vậy phương trình (1) có các nghiệm là:
z = −2; x = 1 − 3i; x = 1 + 3i

z4 + z2 − 6 = 0

Câu 43.
Có bao nhiêu nghiệm thuần thực
A.1
B. 0
C.2
D.3

đặt

t = z2

. Phương trình trở thành:

t = 2
t2 + t − 6 = 0 ⇔ 
t = −3

+ Với

+ Với

z = 2
t = 2 : z2 = 2 ⇔ 
 z = − 2
z = i 3
t = −3 : z 2 = −3 ⇔ 
 z = −i 3
z = 2; z = − 2; z = i 3; z = −i 3

Vậy phương trình có các nghiệm là:
z 4 − 1 = 0 ( 1)
44.
Câu
Tổng các nghiệm thuần ảo
A.1
B. 0
C.2
D. 3
 z2 = 1
( 1) ⇔ ( z − 1) ( z + 1) = 0 ⇔  2
 z = −1
2

+) Với

+) Với

2

z =1
z2 = 1 ⇔ 
 z = −1
z = i
z 2 = −1 ⇔ 
 z = −i

z = 1; z = −1; z = i; z = −i

Vậy phương trình có các nghiệm là
z3 + i = 0
Câu 45.
Tính tổng các phần ảo nghiệm phức của phương trình trên
A.-2
B. 0
C.-3/2
D. -1/2

Phương trình

z = i
⇔ z 3 − i 3 = 0 ⇔ ( z − i ) ( z 2 + iz − 1) = 0 ⇔  2
 z + iz − 1 = 0 ( *)

( *) : ∆ = i 2 + 4 = 3

Giải phương trình

Phương trình (*) có 2 nghiệm phức:


z=

−i + 3
3 1
−i − 3
3 1
=
− i; z =
=−
− i
2
2 2
2
2 2
z = i; z =

Vậy phương trình (1) có các nghiệm là:

3 1
3 1
− i; z = −
− i
2 2
2 2

x 2 + ( 1 + i ) x + 5i = 0

Câu

46.

Tính tổng phần thực của nghiệm phức phương trình trên .
A.1
B. -1
C.2
D. -2
∆ = ( 1 + i ) − 20i = −18i = 9 ( −2i ) = 9 ( 1 − i )
2

2

Phương trình có biệt thức:
Vậy phương trình có 2 nghiệm phức:
− ( 1+ i) + 3( 1+ i )
− ( 1+ i ) − 3( 1+ i )
x=
= 1 + i; x =
= −2 − 2i
2
2

x 2 + 2 x + 4i − 2 = 0

Câu 47.
Tính tổng phần thực của nghiệm phức phương trình trên
A.2
B. -2

C.1
D. 0
∆ = 22 − 4 ( 4i − 2 ) = 12 − 16i = ( 4 − 2i )

2

Phương trình có biệt thức:
Vậy phương trình có 2 nghiệm phức:
−2 + ( 4 + 2i )
−2 − ( 4 + 2i )
x=
= 1 + i; x =
= −3 − i
2
2

( 1 + i ) x 2 + ( 8 + i ) x + 3 ( 5 − 2i ) = 0
Câu

48.

Tính tổng phần ảo của các nghiệm phức phương trình trên
A.1
B. 7/2
C.2
D. 5/2
∆ = ( 8 + i ) + 12 ( 5 − 2i ) ( 1 + i ) = −21 − 20i = ( 2 − 5i )
2

Phương trình có biệt thức:

2


Vậy phương trình có 2 nghiệm phức:
− ( 8 + i ) + ( 2 − 5i )
− ( 8 + i ) − ( 2 − 5i )
3 7
x=
= −3; x =
=− + i
2(1+ i)
2(1+ i)
2 2

( 1 − i ) z 2 − 2 ( 1 + 2i ) z − 4 = 0
Câu

49.

z = ai + b; z = c + di

Có hai nghiệm phức
Tính tổng : a + b + c + d
A.2
B. 3
C.1
D. 4
2
1

+
2
i
(
) z − 4 = 0 ⇔ z 2 + 1 − 3i z − 2 1 + i = 0 2
z2 −
(
)
( ) ( )
1− i
1− i
∆ = ( 1 − 3i ) + 8 ( 1 + i ) = 2i = ( 1 + i )
2

Ta có:

Lúc đó:

2


3i − 1 + ( 1 + i )
= 2i
 z1 =
2
( 2) ⇔ 
3i − 1 − ( 1 + i )

= −1 + i
 z1 =

2

z = 2i; z = −1 + i

Vậy phương trình có hai nghiệm
z 2 = ( 1 + i ) z + 11i ( 1)

Câu

50.Giải phương trình sau:

z = ai + b; z = c + di

Có hai nghiệm phức
Chọn phát biểu đúng .
A.a+b+c+d = 1
C.a.b.c.d = 0

B. a+b+c+d=2
D. a.b.c.d = 36

z = x + yi

Gợi ý: Giả sử
, thay vào phương trình, ta được:
2
( x + yi ) = ( 1 + i ) ( x − yi ) + 11i ⇔ x 2 − y 2 + 2 xyi = x + y + ( x − y + 11) i
( x + y ) ( x − y − 1) = 0
 x2 − y 2 = x + y
⇔

⇔
2 xy = x − y + 11 2 xy = x − y + 11


( x; y ) = ( 3; 2 ) , ( x; y ) = ( −2; −3)
Giải hệ được

z = 3 + 2i; z = −2 − 3i

Vậy nghiệm của phương trình là:
z 3 − ( 2 − 3i ) z 2 + 3 ( 1 − 2i ) z + 9i = 0 ( 1)
Câu 51. Giải phương trình sau:
, biết rằng phương trình có
một nghiệm thuần ảo.Tìm nghiệm thuần ảo đó
A.-3i
B. 2i
C.3i
D. 5i
z = bi ( b ≠ 0, b ∈ ¡

)

Gợi ý: Giả sử (1) có nghiệm thuần ảo là
. Thay vào phương trình:
3
2
2
3
( bi ) − ( 2 − 3i ) ( bi ) + 3 ( 1 − 2i ) ( bi ) + 9i = 0 ⇔ 2b + 6b + ( −b − 3b 2 + 3b + 9 ) i = 0
2b 2 + 6b = 0

⇔ 3
⇔ b = −3
2
−b − 3b + 3b + 9 = 0

nên
2
( 1) ⇔ ( z + 3i ) ( z − 2 z + 3) = 0

z = −3i

Lúc đó,
z = −3i; z = 1 + 2i; z = 1 − 2i
Từ đây, tìm được các nghiệm của phương trình (1) là:
z 3 − ( 3 − i ) z 2 − ( 2 − i ) z + 16 − 2i = 0 ( 1)

Câu 52. Giải phương trình sau:
, biết rằng phương trình
có một nghiệm thuần thực . Tìm nghiệm đó
A.-2
B. 2
C.3
D. 5
z ∈C
Gợi ý: Với
, phương trình (1) tương đương với:
3
2
 z − 3z − 2 z + 16 = 0
z 3 − 3z 2 − 2 z + 16 + ( z 2 + z − 2 ) i = 0 ⇔  2

⇔ z = −2
 z + z − 2 = 0

Lúc đó, phương trình

( 1) ⇔ ( z + 2 )  z 2 − ( 5 − i ) z + 8 − i  = 0
z = −2; z = 2 + i; z = 3 − 2i

Từ đây, tìm được các nghiệm của phương trình (1) là:
z = x + yi ( x, y ∈ ¡ )
(3 − 2i) 2 ( z + i) = 3i
Câu 53: Gọi
. Giải phương trình
. Giá trị x và y là :
37
19
36 154
( x;y) =  − ;− ÷
( x;y) =  − ;− ÷
 169 169 
 169 169 
A.
B.


( x;y) =  −
C.
Giải:

22 155

;−
÷
 169 169 

(3− 2i)2(z + i) = 3i ⇔ z =

( x;y) =  −

112 122 
;−
÷
 169 169 

D.

3i
36 154
 36 154 
−i = −
−
i ⇔ ( x;y) =  −
;−
÷
2
(3− 2i)
169 169
 169 169 

[ (2 − i) z + 3 + i ]  iz +

z = x + yi ( x, y ∈ ¡ )

Câu 54 : Gọi
y là :

. Giá trị x và

( x;y) = ( 1;−1) ,

( x;y) = ( −1;−1) ,

1 
;0÷
2 

A.



. Giải phương trình

1
÷= 0
2i 

1 
;1÷
2 

B.

1
( x;y) = ( 1;1) , ;1÷
2 

( x;y) = ( −1;1) ,

C.
Giải:

D.

1 
;0÷
2 

3+ i

= −1− i ⇔ z = −1+ i
(2 − i)z + 3+ i = 0  z =
1


i
−
2

⇔
[ (2− i)z + 3+ i ]  iz + ÷ = 0 ⇔
iz + 1 = 0


2i 
z = − 1 = 1

2i

2i 2 2
1 
⇔ ( x;y) = ( −1;1) , ;0÷
2 
z = x + yi ( x, y ∈ ¡

Câu 55: Gọi
35 12
( x;y) =  − ;− ÷
 37 37 
A.
35 12
( x;y) =  ;− ÷
 37 37
C.
Giải:

)

1 
1

z  3 − i ÷= 3 + i
2 

2


. Giải phương trình
35 12
( x;y) =  ; ÷
 37 37 
B.
35 12
( x;y) =  − ; ÷
 37 37 
D.

1
3+ i
1 
1

2 = 35 + 12 i
z 3− i ÷ = 3+ i ⇔ z =
1
2 
2

3− i 37 37
2
 35 12 
⇔ ( x;y) =  ; ÷
 37 37 

. Giá trị x và y là :


z = x + yi ( x, y ∈ ¡

3 + 5i
= 2 − 4i
z

)

Câu 56: Gọi
. Giải phương trình
7 11
7 11
( x;y) =  − ; ÷
( x;y) =  − ;− ÷
 10 10
 10 10 
A.
B.
7 11
7 11
( x;y) =  ; ÷
( x;y) =  ;− ÷
 10 10 
 10 10 
C.
D.
Giải:

3+ 5i
3+ 5i
7 11
= 2 − 4i ⇔ z =
=− + i
z
2 − 4i
10 10
 7 11
⇔ ( x;y) =  − ; ÷
 10 10 
z = x + yi ( x, y ∈ ¡

)

. Giá trị x và y là :

( z + 3i)( z 2 − 2 z + 5) = 0

Câu 57: Gọi
. Giải phương trình
( x;y) = ( 0;−3) ,( −1;−2) ,( −1;−2)
( x;y) = ( 0;3) ,( −1;2) ,( 1;2)
A.
B.
( x;y) = ( 0;−3) ,( 1;2) ,( 1;−2)
( x;y) = ( 0;3) ,( 1;−2) ,( 1;−2)
C.
D.
Giải:

 z = −3i
 z = −3i
2
(z + 3i)(z − 2z + 5) = 0 ⇔  2
⇔  z = 1+ 2i
 z − 2z + 5 = 0  z = 1− 2i


. Giá trị x và y là :

⇔ ( x;y) = ( 0;−3) ,( 1;2) ,( 1;−2)

z = x + yi ( x, y ∈ ¡
Câu 58: Gọi
3 1
( x;y) =  0;± ÷, ;±2÷
2  2


A.

3
( x;y) = ( 0;±1) , 2;± ÷÷
2 

C.
Giải:

)

( z 2 + 9)( z 2 − z + 1) = 0

. Giải phương trình

. Giá trị x và y là :

( x;y) = ( 0;±1) ,( 2;±1)
B.
1

( x;y) = ( 0;±3) ,
D.

2

;±

3
÷
2 ÷




 z = ±3i

2
z + 9 = 0
1
2

2
(z + 9)(z − z + 1) = 0 ⇔  2
⇔  z = +
2
 z − z + 1= 0 
1

 z = 2 −
1
3
⇔ ( x;y) = ( 0;±3) , ; ±
÷
2 ÷
2


3
i
2
3
i
2

X1, X 2
Câu 59: Gọi
là 2 số phức cần tìm. Biết tổng và tích của chúng lần lượt bằng
1 + 3i
. Chọn đáp án đúng:
X1 = 1; X 2 = 1 + 3i
X1 = −1; X 2 = −1 − 3i

A.
B.
X1 = −1; X 2 = 1 − 3i
X1 = 1; X 2 = −1 − 3i
C.
D.
Giải:
S = 2 + 3i
⇒ X 2 − ( 2 + 3i ) X + ( 1 + 3i ) = 0
P = 1 + 3i

{

2 + 3i

,

∆ = ( 2 + 3i ) − 4 ( 1 + 3i ) = −9 = 9i 2
2 + 3i − 3i

=1
 X1 =
2
⇒
2 + 3i + 3i
X2 =
= 1 + 3i

2
2

X1, X 2
Câu 60: Gọi
là 2 số phức cần tìm. Biết tổng và tích của chúng lần lượt bằng
4 + 2i
. Chọn đáp án đúng:
X1 = 1 + 2i; X 2 = −1 + 3i
X1 = −1 + i; X 2 = −1 + 3i
A.
B.
X1 = −1 − i; X 2 = 1 − 3i
X1 = 1 − i; X 2 = 1 + 3i
C.
D.
Giải:

2i + 2

,


{

S = 2i + 2
⇒ X 2 − ( 2i + 2 ) X + ( 4 + 2i ) = 0
P = 4 + 2i

∆ = ( 2i + 2 ) − 4 ( 4 + 2i ) = −16 = 16i 2
2i + 2 − 4i


X
=
= 1− i
1

2
⇒
2i + 2 + 4i
X2 =
= 1 + 3i

2
2