phương trình đường tiệm cận của hàm số

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG I
CHỦ ĐỀ 4.1 Tìm phương trình đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
MỨC ĐỘ 1
Câu 1.

1
A. y = − .
2

Câu 2.

x+ 2
có đường tiệm cận đứng là.
1− 2x
1
C. x = 2.
D. x = .
2
Hướng dẫn giải

[2D1-4.1-1] [THPT Ngô Sĩ Liên lần 3] Đồ thị hàm số y =
1
B. x = − .
2

Chọn D.
[2D1-4.1-1] [THPT Hà Huy Tập] Cho hàm số f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên. Tiệm cận đứng

và tiệm cận ngang của đồ thị lần lượt là.
A. x = −1 và y = 2 .
C. x = −1 và y = −2 .

B. x = 1 và y = 2 .
D. x = 1 và y = −2 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

.
Nhìn vào đồ thị ta suy ra ngay tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là các đường thẳng
x = −1; y = 2 .
Câu 3.

f (x) = 3 và
[2D1-4.1-1] [THPT Nguyễn Trãi Lần 1] Cho hàm số y = f (x) có lim
x®+¥
lim f (x) = - 3 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
x®- ¥
A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x = 3 và x = - 3 .
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 3 và y = - 3.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
 Áp dụng định nghĩa về đường tiệm cận ngang.

TRANG 1

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Câu 4.

PHƯƠNG PHÁP

[2D1-4.1-1] [THPT Nguyễn Trãi Lần 1] Tìm phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị
x- 1
.
x +2

hàm số y =
A. y = 1.

B. x = - 2 .

C. x = 1.
Hướng dẫn giải

D. x = 2 .

Chọn B.

Ta có: TXĐ D = ¡ \ { −2} . .
x −1
x −1
lim
= −∞ và lim−
= +∞ nên x = −2 là phương trình đường tiệm cận đứng của đồ

x →−2+ x + 2
x →−2 x + 2
x −1
thị hàm số y =
.
x+2
Câu 5.

[2D1-4.1-1] [Sở GD&ĐT Bình Phước] Đường thẳng nào sau đây la tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số y =

2x +1
x −1
B. y = −2 .

A. x = −1 .

C. x = 1 .
Hướng dẫn giải

D. y = 2 .

Chọn D.
lim y = lim

x →±∞

Câu 6.

x →±∞

2x +1
= 2 nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x −1

[2D1-4.1-1] [THPT Đặng Thúc Hứa] Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận đứng của đồ thị
hàm số y =
A. x = −2 .

2x +1
?
x−2
B. y = 2 .

C. x = 2 .
Hướng dẫn giải

D. y = −2 .

Chọn C.
2x +1
= +∞;
x →2
x →2 x − 2
.
2x +1
lim y = lim−
= −∞
x → 2−
x →2 x − 2

lim+ y = lim+

Vậy x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

Câu 7.

2x +1
..
x−2

[2D1-4.1-1] [THPT chuyên Lương Thế Vinh] Cho hàm số y =

ax + b
, ad − bc ≠ 0 . Khẳng
cx + d

định nào sau đây là sai?
A. Hàm số không có cực trị.
B. Đồ thị hàm số luôn có hai đường tiệm cận.
C. Hàm số luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định.
D. Đồ thị hàm số luôn có tâm đối xứng.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
ax + b
Vì khi c = 0 thì y =
khi đó đồ thị hàm số không có hai đường tiệm cận.
d

TRANG 2

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Câu 8.

PHƯƠNG PHÁP

[2D1-4.1-1] [THPT chuyên Lê Thánh Tông] Tìm cận cận ngang của đồ thị hàm số y =
.
A. y = 2 .

B. x = 2 .

1− x
x−2

D. y = −1 .

C. x = −1 .
Hướng dẫn giải

Chọn D.
1
−1
1− x
x
y = lim
= lim
= −1 . Vậy tiệm cận ngang là y = −1 .
Ta có xlim

→±∞
x →±∞ x − 2
x →±∞
2
1−
x
Câu 9.

[2D1-4.1-1] [THPT chuyên Hưng Yên lần 2] Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ \ { - 1} , liên
tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ. Hỏi mệnh đề nào dưới đây
sai?

A. Hàm số không có đạo hàm tại điểm x = −1 .
B. Hàm số đạt cực trị tại điểm x = 2 .
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = −1 .
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = −1 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Vì lim y = +∞, lim y = +∞ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang, chọn A.
x →+∞

Câu 10.

x →−∞

[2D1-4.1-1] [THPT chuyên Hưng Yên lần 2] Trong các hàm số sau, hàm số nào có đúng một
đường tiệm cận (gồm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang).
x +1
A. y = x 4 + x 2 + 1 .
B. y = x 2 + 1 − x .

C. y = x 3 − 2 x + 1 .
D. y =
.
x−2
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: Tập xác định của hàm số là ¡ và:


1
lim x 2 + 1 − x = lim 
x2 + 1 − x = 0 .
÷ = 0; xlim
2
x →+∞
x →+∞
→−∞
 x +1 + x 
Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang.
[2D1-4.1-1] [THPT An Lão lần 2] Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị nào
dưới đây?
2
1+ x
−2 x + 3
2x − 2
A. y =
.
B. y =
.
C. y =

.
D. y =
.
x +1
1− 2x
x−2
x+2
Hướng dẫn giải
Chọn D.
2x − 2
2x − 2
=2.
Trong 4 đáp án trên chỉ có đáp án y =
thoả xlim
→±∞ x + 2
x+2

(

Câu 11.

Câu 12.

)

(

)

[2D1-4.1-1] [Minh Họa Lần 2] Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

TRANG 3


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

2x +1
?
x +1
A. y = −1 .

PHƯƠNG PHÁP

y=

B. x = −1 .

C. y = 2 .
Hướng dẫn giải

D. x = 1 .

Chọn B.
2x +1
2x +1
= −∞; lim− y = lim−
= +∞ suy ra đường thẳng x = −1 là đường
x →−1
x →−1 x + 1
x →−1
x →−1 x + 1

2x +1
tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
.
x +1

Ta có lim+ y = lim+

Câu 13.

[2D1-4.1-1] [THPT Tiên Lãng] Trong các phát biểu sau đây, đâu là phát biểu đúng?
A. Các đường tiệm cận không bao giờ cắt đồ thị của nó.
B. Nếu hàm số y = f ( x ) có tập xác định là ¡ thì đồ thị của nó không có tiệm cận đứng.
C. Đồ thị của hàm số dạng phân thức luôn có tiệm cận đứng.
ax + b
D. Đồ thị hàm số y =
với c ≠ 0, ad − cb ≠ 0 luôn có hai đường tiệm cận.
cx + d
zzzzz.
zzzzz.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
a b
ax + b
≠ nên hàm không suy biến nên đồ thị hàm số y =
với
c d
cx + d
c ≠ 0, ad − cb ≠ 0 luôn có hai đường tiệm cận.

Vì điều kiện ad − bc ≠ 0 ⇒

Câu 14.

[2D1-4.1-1] [CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP] Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị
−2 x − 1
có phương trình lần lượt là:
x −1
A. y = 1, y = −2 .
B. x = 1; y = −2 .
C. x = 1, x = −2 .
D. x = 1, y = 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
1
1
−2 −
−2 −
−2 x − 1
−
2
x
−
1
x = −2 và lim y = lim
x = −2 .
y = lim
= lim
= lim
Ta có xlim
→+∞

x →+∞ x − 1
x →+∞
x →−∞
x →−∞ x − 1
x →−∞
1
1
1−
1−
x
x
Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = −2 .
−2 x − 1
−2 x − 1
= −∞ và lim− y = lim−
= +∞ .
Ta có lim+ y = lim+
x →1
x →1
x →1
x →1
x −1
x −1
Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là x = 1 .
3
[2D1-4.1-1] [THPT chuyên Thái Bình] Cho hàm số y =
có đồ thị ( C ) . Mệnh đề
x +1
nào sau đây là mệnh đề sai ?
A. Đồ thị ( C ) không có tiệm cận ngang.

hàm số y =

Câu 15.

B. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
C. Hàm số không có điểm cực trị.
D. Đồ thị ( C ) nhận I (−1;0) làm tâm đối xứng.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
TRANG 4


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Hàm số đã cho có y′ = −

PHƯƠNG PHÁP

3

( x + 1)

2

< 0,∀x∈ ¡ \ { −1} nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng

xác định và không có cực trị ⇒ A và D đúng.
Do lim y = 0; lim+ y = +∞; lim− y = −∞ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang và đứng lần lượt
x→±∞

x→−1

x→−1

là y = 0; x = −1 ⇒ C đúng, B sai.
Câu 16.

[2D1-4.1-1] [THPT NGUYỄN QUANG DIÊU] Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang
2x +1
của đồ thị hàm số y =
?
x −1
A. y = 1 .
B. x = 2 .
C. y = 2 .
D. x = 1 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
2x +1
2x +1
= 2 , lim y = lim
=2.
Ta có: lim y = lim
x →+∞
x →+∞ x − 1
x →−∞
x →−∞ x − 1
⇒ đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang.

Câu 17.

[2D1-4.1-1] [TT Hiếu Học Minh Châu] Cho hàm số y =

3
có đồ thị là ( C ) . Mệnh đề nào
x +1

sau đây là đúng?
A. ( C ) có tiệm cận ngang là y = 0 .

B. ( C ) chỉ có một tiệm cận.

C. ( C ) có tiệm cận ngang là y = 3 .

D. ( C ) có tiệm cận đứng là x = 1 .
Hướng dẫn giải

Chọn A.
3
y=
⇒ lim y = 0 ⇒ y = 0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x + 1 x→±∞
Câu 18.

[2D1-4.1-1] [Chuyên ĐH Vinh] Cho hàm số y =

1− 2x
có đồ thị ( C ) . Mệnh đề nào sau đây
x +1

sai ?
A. ( C ) có tiệm cận đứng.

B. ( C ) có tiệm cận ngang là y = −2 .

C. ( C ) có hai tiệm cận.

D. ( C ) có tiệm cận ngang là y = −1 .
Hướng dẫn giải

Chọn D.
Hàm số có tiệm cận đứng x = −1 và tiệm cận ngang y = −2 .
Câu 19.

[2D1-4.1-1] [THPT CHUYÊN BẾN TRE] Cho hàm số y =

3
. Khẳng định nào sau đây là
x −1

đúng?
A. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞;1) và (1; +∞) .
B. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.
C. Hàm số có một cực trị.
D. Hàm số nghịch biến trên ¡ \ { 1} .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
TRANG 5

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Cách 1: y ′ =

−3

( x − 1)

2

PHƯƠNG PHÁP

< 0; ∀x ∈ D. .

Tiệm cận đứng: x = 1; Tiệm cận ngang: y = 0 . Chọn D.
Cách 2: Dùng CASIO.
Bấm máy:
Câu 20.

d  3 

÷ ; KQ: −3 < 0 ,loại đáp án A, B, C. Chọn D.
dx  x − 1  x = 0

[2D1-4.1-1] [Cụm 1 HCM] Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

1 − 2x
?
x−2
A. y = −2 .

y=

B. y = 1 .

C. x = 2 .
Hướng dẫn giải

D. x = 1 .

Chọn A.
1 − 2 x −2 x + 1
=
.
x−2
x−2
y = −2 nên đường thẳng y = −2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vì xlim
→±∞
Ta có: y =

Câu 21.

2x −1
.
x +1
D. x = 2 .

[2D1-4.1-1] [THPT Gia Lộc 2] Tìm các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. y = 2 .

B. x = −1 .

C. x = 0 .
Hướng dẫn giải

Chọn B.
lim + y = −∞; lim − y = +∞ .
x →( −1)

x →( −1)

Suy ra: tiệm cận đứng của đồ thị hàm số này là x = −1. .
Câu 22.

f ( x ) = 2 và
[2D1-4.1-1] [THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT] Cho hàm số y = f ( x ) có xlim
→+∞
lim f ( x ) = −2 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

x →−∞

A. Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 2 và y = −2 .
B. Đồ thị hàm số đã cho không có đường tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một đường tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng x = 2 và x = −2 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
f ( x ) = y0 hoặc lim f ( x ) = y0 thì đồ thị
Ta có theo định nghĩa về tiệm cận ngang nếu xlim
→+∞

x →−∞
hàm số y = f ( x ) có tiệm cận ngang là y = y0 .
f ( x ) = 2 và lim f ( x ) = −2 nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là các
Do xlim
→+∞
x →−∞
đường thẳng y = 2 và y = −2 .
Câu 23.

f ( x ) = 0 và
[2D1-4.1-1] [THPT CHUYÊN VINH] Cho hàm số y = f ( x ) có xlim
→+∞
lim f ( x ) = +∞ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

x →−∞

A. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có một tiệm cận đứng là đường thẳng y = 0 .
TRANG 6


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

B. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có một tiệm cận ngang là trục hoành.
C. Đồ thị hàm số y = f ( x ) không có tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số y = f ( x ) nằm phía trên trục hoành.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
f ( x ) = 0 và lim f ( x ) = +∞ nên đồ thị hàm số chỉ một tiệm cận đứng là trục hoành.

Vì xlim
→+∞
x →−∞
Câu 24.

[2D1-4.1-1] [SỞ GD ĐT HƯNG YÊN] Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên các khoảng

( 0; +∞ )

f ( x ) = 2. Với giả thiết đó, hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề
và thỏa mãn lim
x →∞

sau?
A. Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) .
B. Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x ) .
C. Đường thẳng y = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x ) .
D. Đường thẳng x = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Phân tích: Ta có.

Đường thẳng y = yo là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x) nếu ít nhất một trong các
điều kiện sau được thỏa mãn.
lim f ( x) = yo , lim f ( x) = yo .

x→+∞

x→−∞

Vậy ta thấy C đúng.
Câu 25.

[2D1-4.1-1] [SỞ GD ĐT HƯNG YÊN] Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm
2x +1
.
x −1
A. Tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang x = 2 .
B. Tiệm cận đứng y = 1, tiệm cận ngang y = 2 .
C. Tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y = −1 .
D. Tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y = 2 .
số y =

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Phân tích: Ta có tiệm cận ngang của hàm số là y =
Câu 26.

2
= 2 ; TCĐ là x = 1.
1

[2D1-4.1-1] [SỞ GD ĐT HƯNG YÊN] Cho hàm số y =

x2 −1
. Hãy chọn mệnh đề đúng
x

trong các mệnh đề sau:
A. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = 1 và y = −1, có tiệm cận đứng là x = 0. .

B. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = 1 , có tiệm cận đứng là x = 0. .
C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = 1 và y = −1, .
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = −1, có tiệm cận đứng là x = 0. .
TRANG 7


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Phân tích:
Ta có lim
x→+∞

x2 − 1
1
x2 − 1
1
= lim 1− 2 = 1; lim
= lim − 1− 2 = −1 ⇒ y = 1; y = −1 là hai tiệm
x→+∞
x→−∞
x→−∞
x
x
x
x

cận ngang của đồ thị hàm số.
2
Ta có lim x − 1 không tồn tại.
x→0+

x

Câu 27.

[2D1-4.1-1] [SỞ GD ĐT HÀ TĨNH] Đường thẳng y = −2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm
số.
2 − 2x
2x + 3
−2 x + 2
1+ x
A. y =
.
B. y =
.
C. y =
.
D. y =
.
x+2
2+ x
1− x
1− 2x
Hướng dẫn giải
Chọn A.
2 − 2x

2 − 2x
= −2 nên y = −2 là TCN của hàm số y =
Ta có: lim
nên ta có đáp ánB.
x →∞ x + 2
x+2

Câu 28.

[2D1-4.1-1] [THPT Nguyễn Văn Cừ] Đường tiệm cận ngang của đồ thị của hàm số
y=

−2 x + 1
có phương trình là.
4− x
.

A. y = 2 .

B. y = 4 .

1
D. y = − .
2

C. x = 2 .
Hướng dẫn giải

Chọn A.
Ta có lim y = 2 ⇒ tiệm cận ngang của đồ thị hàm số có phương trình y = 2. .

x →±∞
Câu 29.

[2D1-4.1-1] [THPT Nguyễn Đăng Đạo] Đồ thị hàm số y =
A. Tiệm cận đứng là
B. Tiệm cận đứng là
C. Tiệm cận đứng là
D. Tiệm cận đứng là

2 x +1
có:
x- 1

x =- 1 ; tiệm cận ngang là y =- 2 .
x =1 ; tiệm cận ngang là y = 2 .
x =1 ; tiệm cận ngang là y =- 2 .
x =- 1 ; tiệm cận ngang là y = 2 .
Hướng dẫn giải

Chọn B.
y =−∞, lim+ y =+∞nên có tiệm cận đứng là x = 1 ;
Vì xlim
→1−
x →1
y = 2, lim y = 2 nên có tiệm cận ngang là y = 2 .
Vì xlim
→−∞
x →+∞

Câu 30.

[2D1-4.1-1] [THPT Lý Văn Thịnh] Cho hàm số y =

−3 x + 1
. Chọn phát biểu sai.
x −3
TRANG 8


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

A. Hàm số không có cực trị.
B. Hàm số có tiệm cận đứng là x = 3 .
C. Hàm số có tiệm cận ngang là y = −3 .
D. Hàm số luôn tăng trên ¡ .
Hướng dẫn giải
Chọn D.

y' =
Câu 31.

8

( x − 3)

2

> 0 ∀x ≠ 3⇒ Hàm số đã cho luôn tăng trên hai khoảng ( −∞;3) và ( 3;+ ∞ ) .

[2D1-4.1-1] [THPT LÝ THƯỜNG KIỆT] Tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm
số y =

2x −1
lần lượt là:
x −1

A. y = 2 và x = 1 .

B. y = 1 và x = −1 .

C. y = 1 và x = 2 .

D. y =

1
và x = −1 .
2

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Câu 32.

Câu 33.

Câu 34.

[2D1-4.1-1] [THPT Chuyên Hà Tĩnh] Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm
số nào dưới đây?

2x + 3
−2 x + 1
2x +1
A. y =
.
B. y =
.
C. y = x 2 + 2 x + 2 .
D. y =
.
−x + 2
5− x
1− x
Hướng dẫn giải
Chọn B.
−2
= 2.

Đáp án A có tiệm cận ngang y =
−1
2
= −2 .

Đáp án B có tiệm cận ngang y =
−1
−2
= −2 .

Đáp án C có tiệm cận ngang y =
1


Đáp án Dkhông có tiệm cận.
x +1
[2D1-4.1-1] [THPT Tiên Du 1] Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
là
x −1
A. x = 0 .
B. x = −1 .
C. x = 1 .
D. x = 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Tập xác định: D = ¡ \ { 1} .
 x +1 
 x +1
= +∞ và lim− y = lim− 
Ta có lim+ y = lim+ 
÷
÷ = −∞ .
x →1
x →1  x − 1 
x →1
x →1  x − 1 
Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng x = 1 .
3x + 1
[2D1-4.1-1] [THPT Quế Vân 2] Cho hàm số y =
. Khẳng định nào sau đây khẳng định
2x −1
đúng?
3

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là y = .
2
x
=
1
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là
.
C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
3
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = .
2
TRANG 9


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Hướng dẫn giải
Chọn D.
3x + 1 3
3
lim
= ⇒ y = là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x →−∞ 2 x − 1
2
2
Câu 35.

[2D1-4.1-1] Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cân ngang của đồ thị hàm số y =

A. y = −

1
.
2

1
B. x = − .
2

3
.
2
Hướng dẫn giải
C. y =

D. x =

3x − 1
?
2x +1

3
.
2

Chọn C.

1
3x − 1

x = 3 ⇒ y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
= lim
Xét xlim
→±∞ 2 x + 1
x →±∞
1 2
2
2+
x
2x +1
Câu 36. [2D1-4.1-1] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 04] Đồ thị hàm số y =
có tiệm cận
−x + 2
đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:
A. x = 2; y = −2 .
B. x = −2; y = 2 .
C. x = 2; y = 2 .
D. x = −2; y = −2 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
3−

y = lim y = −2 ; lim+ y = +∞ ; lim− y = −∞ .
Vì xlim
→−∞
x →+∞
x →2
x→2

Câu 37.

[2D1-4.1-1] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 01] Cho hàm số y =
đúng ?

3x + 1
. Khẳng định nào sau đây
2x −1

3
.
2
1
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = − .
2
3
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là y = .
2
D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
3
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = .
2
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y =

Câu 38.

[2D1-4.1-1] [TT Tân Hồng Phong] Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm

x+2

.
1− x
A. y = 1 .
số y =

B. x = −1 .

C. x = 1 .
Hướng dẫn giải

D. y = −1 .

Chọn D.

x+2
x+2
= −1; lim y = lim
= −1 nên đường thẳng y = −1 là đường tiệm
x →+∞
x →+∞ 1 − x
x →−∞
x →+∞ 1 − x
cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Ta có lim y = lim

TRANG 10


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Câu 39.

PHƯƠNG PHÁP

[2D1-4.1-1] [THPT Nguyễn Chí Thanh - Khánh Hòa] Cho hàm số y =
biểu đúng?
A. Đường tiệm cận đứng y = 2 .
C. Đường tiệm cận đứng y = 1 .

2x + 1
, Chọn phát
x −1

B. Đường tiệm cận đứng x = 1 .
D. Đường tiệm cận đứng x = 2 .
Hướng dẫn giải

Chọn B.
Tiệm cận đứng: x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ( x = 1 không là nghiệm của tử).
Câu 40.

[2D1-4.1-1] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 05] Cho hàm số y =

3x + 1
. Khẳng định nào sau đây
2x −1

đúng?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1 .
B. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.

3
.
2
3
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = .
2
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x =

Hướng dẫn giải
Chọn D.

3x + 1 3
= .
x→±∞ 2 x − 1
2

Tiệm cận ngang lim y = lim
x→±∞

Câu 41.

[2D1-4.1-1] [Sở GD&ĐT Bình Phước] Đường thẳng nào sau đây la tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số y =

2x +1
x −1
B. y = −2 .

A. x = −1 .

C. x = 1 .
Hướng dẫn giải

D. y = 2 .

Chọn D.
2x +1
= 2 nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x →±∞ x − 1

lim y = lim

x →±∞

Câu 42.

[2D1-4.1-1] [TTGDTX Cam Lâm - Khánh Hòa] Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận
2x - 1
.
x- 1
B. y = 2 .

ngang của đồ thị hàm số y =
A. x = 2 .

C. x = 1 .

D. y = 1 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
lim y = lim y = 2 ⇒ y = 2 là tiệm cận ngang.
x®+¥

x®- ¥

Câu 43.

[2D1-4.1-1] [THPT Đặng Thúc Hứa] Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận đứng của đồ thị
hàm số y =
A. x = −2 .

2x +1
?
x−2
B. y = 2 .

C. x = 2 .

D. y = −2 .
TRANG 11


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Hướng dẫn giải
Chọn C.

2x +1
= +∞;
x−2
.
2x +1
lim y = lim−
= −∞
x → 2−
x →2 x − 2
lim y = lim+

x → 2+

x →2

Vậy x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
Câu 44.

2x +1
..
x−2

2x −1
có đường tiệm cận ngang là.
3x + 1
1
2
C. x = − .
D. y = .
3

3
Hướng dẫn giải

[2D1-4.1-1] [THPT Thanh Thủy] Đồ thị hàm số y =
A. x =

2
.
3

B. y =

1
.
3

Chọn D.
2x −1 2
2
= ⇒ đường TCN của hàm số là đường thẳng y = .
x→+∞ 3 x + 1 3
3

Ta có lim
Câu 45.

[2D1-4.1-1] [THPT Nguyễn Huệ-Huế] Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị
−x − 2
có phương trình là.
x −1

A. x = - 1; y = 1 .
B. x = −1; y = −1 .
C. x = 1; y = −1 .
D. x = 1; y = 1 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
−x − 2
−x − 2
= −∞, lim−
= +∞ nên tiêm cận đứng có phương trình x = 1 .
Ta có lim+
x →1
x →1
x −1
x −1
−x − 2
−x − 2
= −1, lim
= −1 nên tiệm cận ngang của đồ thị có phương trình y = −1 .
và lim
x →+∞ x − 1
x →−∞ x − 1
hàm số y =

Câu 46.

f ( x ) = 2, lim f ( x ) =- 2 .
[2D1-4.1-1] [THPT Kim Liên-HN] Cho hàm số y = f ( x ) , xlim
®+¥
x®- ¥

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
B. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là các đường thẳng x = 2; x =- 2 .
C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
D. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là các đường thẳng y = 2; y =- 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là các đường thẳng y = 2; y =- 2 là MĐ đúng.

Câu 47.

[2D1-4.1-1] [Chuyên ĐH Vinh] Cho hàm số y =

1− 2x
có đồ thị ( C ) . Mệnh đề nào sau đây
x +1

sai ?
A. ( C ) có tiệm cận đứng.

B. ( C ) có tiệm cận ngang là y = −2 .

C. ( C ) có hai tiệm cận.

D. ( C ) có tiệm cận ngang là y = −1 .
Hướng dẫn giải

Chọn D.
TRANG 12

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Câu 48.

PHƯƠNG PHÁP

Hàm số có tiệm cận đứng x = −1 và tiệm cận ngang y = −2 .
[2D1-4.1-1] [Cụm 1 HCM] Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

1 − 2x
?
x−2
A. y = −2 .
y=

B. y = 1 .

C. x = 2 .
Hướng dẫn giải

D. x = 1 .

Chọn A.
1 − 2 x −2 x + 1
=
.
x−2
x−2
y = −2 nên đường thẳng y = −2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì xlim
→±∞
Ta có: y =

Câu 49.

[2D1-4.1-1] [Sở Hải Dương] Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
y=

1− 2x
?
x +1

A. y = 1 .

B. x = 2 .

C. x = −1 .
Hướng dẫn giải

D. y = −2 .

Chọn D.
Tập xác định D = ¡ \ { −1} .
1
1
−2
−2
1 − 2x
1− 2x

x
x
= lim
= −2, lim
= lim
= −2 .
Ta có xlim
→+∞ x + 1
x →+∞
x →−∞ x + 1
x →−∞
1
1
1+
1+
x
x
Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = −2 .
Câu 50.

[2D1-4.1-1] [THPT – THD Nam Dinh] Cho hàm số y =
nào đưới đây là đúng ?
A. ( C ) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = −2 .

2
có đồ thị ( C ) . Mệnh đề
1− x

B. ( C ) có tiệm cận ngang là đường thẳng x = 1 .
C. ( C ) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 0 .

D. ( C ) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có lim y = lim
x →+∞

Câu 51.

x →+∞

2
2
= 0 và lim y = lim
= 0 ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của ( C ) . .
x
→−∞
x
→−∞
1− x
1− x

[2D1-4.1-1] [THPT Hùng Vương-PT] Cho hàm số y =

2x −1
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
x+2

A. Đồ thị của hàm số đã cho có tiệm cận đứng x = 2 .
−1
B. Đồ thị của hàm số đã cho có tiệm cận ngang y =

.
2
C. Đồ thị của hàm số đã cho có tiệm cận ngang y = −2 .
D. Đồ thị của hàm số đã cho có tiệm cận đứng x = −2 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
TRANG 13


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Ta có lim+
x →−2

Câu 52.

PHƯƠNG PHÁP

2x −1
= −∞ vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −2 .
x+2

[2D1-4.1-1] [THPT Chuyên Bình Long] Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ
thị hàm số y =
A. y =

3
.
2

4x −1
?
2x − 3
B. x =

3
.
2

D. y = 2 .

C. x = 2 .
Hướng dẫn giải

Chọn D.
lim f ( x) = lim f ( x) = 2 , nên hàm số có TCN y = 2 .
x →−∞
x →+∞
Câu 53.

[2D1-4.1-1] Hỏi đồ thị hàm số y =
A. 0 .

B. 3 .

x −5
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
x+2
C. 2 .
D. 1 .

Hướng dẫn giải

Chọn C.
Ta có lim+
x →−2

x−5
x−5
= −∞, lim−
= +∞ nên đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng x = −2. .
x →−2 x + 2
x+2

x −5
= 1 nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang y = 1. .
x+2
Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.
lim

x →±∞

Câu 54.

4x +1
có tiệm cận ngang là đường thẳng nào sau đây?
1− x
B. y = 4 .
C. y = −4 .
D. x = −4 .
Hướng dẫn giải

[2D1-4.1-1] Đồ thị của hàm số y =
A. x = 1 .
Chọn C.

4x +1
= −4 nên y = −4 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x →±∞ 1 − x

Ta có lim
Câu 55.

[2D1-4.1-1] Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cân ngang của đồ thị hàm số y =

1
A. y = − .
2

1
B. x = − .
2

3
.
2
Hướng dẫn giải
C. y =

D. x =

3x − 1
?
2x +1

3
.
2

Chọn C.

1
3−
3x − 1
x = 3 ⇒ y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
= lim
Xét xlim
→±∞ 2 x + 1
x →±∞
1 2
2
2+
x
Câu 56.

[2D1-4.1-1] [THPT Lệ Thủy-Quảng Bình] Đồ thị hàm số y =
và tiệm cận đứng lần lượt là các cặp đường nào sao đây?
1
A. y = − ; x = 1 .
B. y = −1; x = 1 .
C. y = 2; x = −2 .

2
Hướng dẫn giải
Chọn C.

2 x − 2017
có tiệm cận ngang
2+ x
1
D. y = 1, x = − .
2

TRANG 14


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

2 x − 2017
lim
= lim
x →+∞
x →+∞
2+ x

•

2 x − 2017
lim
= lim
x →−∞
x →−∞

2+ x
•

PHƯƠNG PHÁP

2017
x = 2 và
2
+1
x

2−

2017
x = 2 ⇒ y = 2 là tiệm cận ngang.
2
+1
x
2 x − 2017
2 x − 2017
lim+
= −∞ và lim−
= +∞ ⇒ x = −2 là tiệm cận
x →−2
x →−2
2+ x
2+ x

2−

đứng.
Câu 57.

[2D1-4.1-1] [THPT Hoàng Văn Thụ (Hòa Bình)] Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên.

.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng có phương trình.
A. không tồn tại tiệm cận đứng.
B. x = −2 .
C. x = 1 .
D. x = −2 và x = 1 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Vì lim + y = +∞ nên x = −2 là đường tiệm cận đứng.
x →( −2 )

Câu 58.

[2D1-4.1-1] [THPT Chuyên Hà Tĩnh] Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm
số nào dưới đây?
2x + 3
−2 x + 1
2x +1
A. y =
.
B. y =
.
C. y = x 2 + 2 x + 2 .
D. y =
.

−x + 2
5− x
1− x
Hướng dẫn giải
Chọn B.
−2
= 2.
•
Đáp án A có tiệm cận ngang y =
−1
2
= −2 .
•
Đáp án B có tiệm cận ngang y =
−1
−2
= −2 .
•
Đáp án C có tiệm cận ngang y =
1
•
Đáp án Dkhông có tiệm cận.

Câu 59.

[2D1-4.1-1] [Sở GD và ĐT Long An] Cho hàm số y =

3− x
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
x −1

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 3 và tiệm cận ngang là y = 1 .
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1 và tiệm cận ngang là y = −1 .
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = −1 và tiệm cận ngang là y = 1 .
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1 và tiệm cận ngang là y = 3 .
TRANG 15


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Tập xác định: D = ¡ .
Ta có:
3
3
−1
−1
3− x
3− x
x
x
lim y = lim
= lim
= −1; lim y = lim
= lim
= −1 .
x →+∞
x →+∞ x − 1

x →+∞
x →−∞
x →−∞ x − 1
x →−∞
1
1
1−
1−
x
x
Do đó hàm số có tiệm cận ngang là y = −1 .
3− x
= +∞ (do x − 1 > 0, ∀x > 1 ).
Lại có lim+ y = lim+
x →1
x →1 x − 1
3− x
lim− y = lim−
= −∞ (do x − 1 < 0, ∀x < 1 ).
x →1
x →1 x − 1
Do đó hàm số có tiệm cận đứng là x = 1 .
Câu 60.

2x −1
.
x +1
D. x = 2 .

[2D1-4.1-1] [THPT Gia Lộc 2] Tìm các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

A. y = 2 .

B. x = −1 .

C. x = 0 .
Hướng dẫn giải

Chọn B.
lim + y = −∞; lim − y = +∞ .
x →( −1)

x →( −1)

Suy ra: tiệm cận đứng của đồ thị hàm số này là x = −1. .
Câu 61.

[2D1-4.1-1] [Cụm 6 HCM] Đồ thị hàm số y =
trong các đường thẳng sau?
2
3
A. y = .
B. y = − .
3
2

3x + 2
có tiệm cận ngang là đường thẳng nào
2x + 3

3

C. y = − .
2
Hướng dẫn giải

D. y =

3
.
2

Chọn D.
2
3+
3x + 2
x = 3 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang: y = 3 .
y = lim
= lim
Ta có: xlim
→±∞
x →±∞ 2 x + 3
x →±∞
3 2
2
2+
x
Câu 62.

[2D1-4.1-1] [THPT Ngô Quyền] Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào
dưới đây?
2

−2 x + 3
2x − 2
1+ x
A. y =
.
B. y =
.
C. y =
.
D. y =
.
x +1
x−2
x+2
1− 2x
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Tiệm cận ngang y =

Câu 63.

a
=2.
c

[2D1-4.1-1] [THPT Trần Phú-HP] Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =

2− x
là.
1+ 2x

TRANG 16


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

1
A. y = − .
2

PHƯƠNG PHÁP

B. y = 1 .

C. y = −1 .

D. y = 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có.

2 − x −1
1
=
⇒ y = − là đường tiệm cận ngang.
x →+∞
x →+∞ 1 + 2 x
2
2

a
1
C2: y = = − là đường tiệm cận ngang.
c
2
C1: lim y = lim

Câu 64.

[2D1-4.1-1] [THPT CHUYÊN VINH] Cho hàm số y =

3
có đồ thị là ( C ) . Mệnh đề nào
x +1

sau đây là đúng?
A. ( C ) chỉ có một tiệm cận.

B. ( C ) có tiệm cận đứng là x = 1 .

C. ( C ) có tiệm cận ngang là y = 3 .

D. ( C ) có tiệm cận ngang là y = 0 .
Hướng dẫn giải

Chọn D.
3
y=
⇒ lim y = 0 ⇒ y = 0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x + 1 x→±∞

Câu 65.

3− x
. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là.
x+2
C. y = −3 .
D. y = 1 .
Hướng dẫn giải

[2D1-4.1-1] [Cụm 8 HCM] Cho hàm số. y =
A. y = −1 .

B. y = 3 .

Chọn A.
Ta có y =
y = −1 .

3 − x −x + 3
=
nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = −2 và tiệm cận ngang
x+2 x+2

TRANG 17