TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY QUANH OX

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG III
CHỦ ĐỀ 3.3 Thể tích vật thể tròn xoay quay quanh Ox.
MỨC ĐỘ 3
Câu 1.

[2D3-3.3-3] [THPT Quảng Xương 1 lần 2] Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng
x

giới hạn bởi các đường y = e 2 x , x = 1, x = 2 và y = 0 quanh trục Ox là:

(

)

A. π e 2 − e .

B. πe 2 .

(

)

C. π e 2 + e .
Hướng dẫn giải

D. πe .

Chọn B.
2

2

V = π ∫ xe x dx = π ( x.e x − e x ) = π e 2 .
1

Câu 2.

1

[2D3-3.3-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07] Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường

y = x ln x, y = 0, x = e . Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình ( H ) quanh
trục hoành.
π ( 5e3 − 2 )
π ( 5e3 − 2 )
π ( 5e 2 − 2 )
( 5e3 − 2 ) .
A. V =
.
B. V =
.
C. V =
D. V =
.
27
18
27

18
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm của các đường y = x ln x; y = 0 là: x = 1. .
e

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là V = π ∫ ( x ln x ) dx .
2

1

2 ln x

e
2
 du = x
u = ln 2 x
e3 2 2
e3 2
2
⇒
dx . Ta có: I = ∫ ( x ln x ) dx = − ∫ x ln xdx − I1 .
Đặt 
3
2
3 31
3 3
 dv = x dx v = x
1


3
dx

du =

u = ln x

x
e3 x 3 e 2e3 + 1
⇒
Đặt 
. Ta có I1 = −
.

2
3
1 =
3 9
9
 dv = x dx v = x

3
3
π ( 5e − 2 )
Vậy V =
.
27

Câu 3.

 y = 3x
y = x

[2D3-3.3-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 06] Cho hình thang S : 
. Tính thể tích vật thể
x = 0
 x = 1
tròn xoay khi nó xoay quanh Ox .
8π
8π 2
A. 8π 2 .
B.
.
C. 8π .
D.
.
3
3
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Giải: Xét hình thang giới hạn bởi các đường: y = 3x ; y = x ; x = 0; x = 1 .
TRANG 1


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Ta có: V = π

1

∫ ( 3x )
0

Câu 4.

2

PHƯƠNG PHÁP

1

8
2
dx − ∫ ( x ) dx = π .
3
0

[2D3-3.3-3] [BTN 164] Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường
y = tan x , y = 0 , x = 0 , x =
A. π 3 .

B.

π
quay quanh trục Ox tạo thành là:
3

π

(

).

3 −1

C.

3

π
3 3 −1 .
3

(

)

D.

π
3 3 −π
3
.

(

)

Hướng dẫn giải
Chọn D.

b

2
Áp dụng công thức để tính Vx = π ∫ y dx theo đó thể tích cần tìm là:
a

π
3

π
3

0

0

Vx = π ∫ tan 2 xdx = π ∫  −1 + ( 1 + tan 2 x )  dx = π ( − x + tanx )

Vậy Vx =
Câu 5.

π
3
0

=

π
3 3 −π .
3

(

)

π
3 3 − π (đvdt).
3

(

)

[2D3-3.3-3] [BTN 163] Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x − x 2 và Ox .
Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình ( H ) xung quanh trục hoành.
16
16π
136
136π
A. V = .
B. V =
.
C. V =
.
D. V =
.
15
15
15
15

Hướng dẫn giải
Chọn B.
PTHĐGĐ: 2 x − x 2 = 0 ⇔ x = 0 ∪ x = 2 .
2

Khi đó V = π ∫ ( 2 x − x
0

Câu 6.

)

2 2

2

 4 x3
x5 
16π
4
dx = π 
−x + ÷ =
.
5  0 15
 3

[2D3-3.3-3] [THPT chuyên Biên Hòa lần 2] Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình
2
phẳng giới hạn bởi y = x 2 .e 2 , x = 1 , x = 2 , y = 0 quanh trục Ox là V = π ( a + be ) (đvtt).
Tính giá trị biểu thức a + b .

A. 3 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 1.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
1

x

2

x
Ta có: V = π ∫ x.e dx .
1

 x 2 2 x 
u = x
du = dx
⇒
Đặt 
nên V = π  ( xe ) 1 − ∫ e dx ÷ = π
x
x
dv = e dx v = e
1


Vậy a = 0; b = 1 nên a + b = 1 .
Câu 7.

( ( xe )
x

2
1

− ex

2
1

) =e π .
2

[2D3-3.3-3] [BTN 173] Ký hiệu ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 − 1 ,
trục hoành và đường thẳng x = 3 . Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình

( H)

xung quanh trục Ox .
TRANG 2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

A. V =

22
.

3

PHƯƠNG PHÁP

B. V =

20π
.
3

C. V =

22π
.
3

D. V =

20
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn B.

.
Phương trình hoành độ giao điểm.
x 2 − 1 = 0 ⇔ x = ±1 . Khi đó.
3

 x3

20π
V = π ∫ ( x − 1) dx = π  − x ÷ =
.
3
 3
1
1
3

2

Câu 8.

[2D3-3.3-3] [TT Hiếu Học Minh Châu] Cho hàm bậc hai y = f ( x ) có đồ thị như hình bên.
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = f ( x ) và Ox quanh Ox .

.
A. 16π
15 .

B. 12π .
15

C. 4π
3 .

D. 16π

5 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

2
Căn cứ vào đồ thị ta xác định được f ( x ) = − x + 2 x .

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và trục Ox là x = 0 và x = 2 .
2

2
Thể tích khối tròn xoay là V = π ∫ ( x − 2 x ) dx =
0

Câu 9.

2

16π
.
15

[2D3-3.3-3] [Chuyên ĐH Vinh] Cho hàm bậc hai y = f ( x ) có đồ thị như hình bên. Tính thể
tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) và Ox
quanh Ox .

TRANG 3

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

.
A.

12π
.
15

B.

16π
.
15

16π
.
5
Hướng dẫn giải
C.

D.

4π
.
3

Chọn B.

2
Căn cứ vào đồ thị ta xác định được f ( x ) = − x + 2 x .

Hoành độ giao điểm của f ( x ) và Ox là x = 0 và x = 2 .
2

2
Thể tích khối tròn xoay là V = π ∫ ( x − 2 x ) dx =
2

0

16π
.
15

Câu 10. [2D3-3.3-3] [THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT] Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình
phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 + 1 ,.
x = 0 và tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 2 + 1 tại điểm A ( 1; 2 ) xung quanh trục Ox là.
A.

π
.
2

B.

2π
.
5

8π
.
15
Hướng dẫn giải
C.

D. π .

Chọn C.
 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 2 + 1 tại điểm A ( 1; 2 ) là y = 2 x .

Thể
tích
khối
tròn
xoay
được
tính
theo
công
1

1

V = π ∫ ( x 2 + 1) − 4 x 2 dx = π ∫ x 4 − 2 x 2 + 1 dx = π
2

0

0

thức:
1

 x5 2 x3

8π
4
2
x
−
2
x
+
1
d
x
=
π
+ x÷ =
.
)
 −
∫0 (
3
 5
 0 15
1

Câu 11. [2D3-3.3-3] [THPT CHUYÊN VINH] Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình
phẳng giới hạn bởi các đường y = 0, y = x ln ( x + 1) và x = 1 xung quanh trục Ox .

5π
.
18
π
C. V = ( 12 ln 2 − 5 ) .
6

π
( 12 ln 2 − 5 ) .
18
5π
D. V =
.
6
Hướng dẫn giải

A. V =

B. V =

Chọn B.
Giải phương trình: x ln ( x + 1) = 0 ⇒ x = 0. .
1

(

V = π ∫ x ln ( x + 1)

0

)

2

1

dx = π ∫ x 2 ln ( x + 1) dx =
0

π
( 12 ln 2 − 5 ) . .
18

TRANG 4


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

3

2 2
Câu 12. [2D3-3.3-3] [SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH L2] Tích phân π ∫ (4 − x ) dx dùng để tính một trong bốn
2

đại lượng sau, đó là đại lượng nào?
A. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình ( H ) giới hạn bởi các đường y = 4 − x 2 ; y = 0; x = 3

quanh trục Ox. .
B. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = (4 − x 2 ) 2 ; x = 2; x = 3 .
C. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = (4 − x 2 ) 2 ; x = 3; y = 0 .

( H)

D. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình

giới hạn bởi các đường

y = 4 − x 2 ; y = 0; x = 3; x = 2; quanh trục Ox. .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Câu 13. [2D3-3.3-3] [SỞ GD ĐT HÀ TĨNH] Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = tan x , trục

π
hoành và hai đường thẳng x = 0, x = a với a ∈ (0; ) . Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay
2
hình phẳng này xung quanh trục Ox là.
A. −π ( a − tana ) .
B. −π ln(cos a ) .
C. π ( a − tana ) .
D. π ln(cos a) .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
a

a

a

 1

V = π ∫ tan xdx = π ∫ 
− 1÷dx = π ( tan x − x ) 0 = π ( tan a − a ) .
2
cos x 
0
0
2

Câu 14. [2D3-3.3-3] [THPT LƯƠNG TÀI 2] Kí hiệu ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = 4 x + 2.ln x , trục hoành và đường thẳng x = e . Tính thể tích V của khối tròn xoay thu

được khi quay hình ( H ) xung quanh trục Ox .
2
A. V = ( e + 2e − 5 ) π .

2
B. ( e + 6e − 5 ) π .

C. e 2 + 6e − 5 .

D. e 2 + 2e − 5 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

.
e

4 x + 2.ln x = 0 ⇔ x = 1 , V = π ∫
1

(

)

2

e

4 x + 2.ln x dx = π ∫ ( 4 x + 2 ) .ln 2 x.dx .
1

TRANG 5


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

2 ln x

u = ln 2 x
dx
du =
⇒
⇒ V = π ( ln 2 x ) ( 2 x 2 + 2 x )
x
đặt 

.dv
=
4
x
+
2
d
x
(
)
v = 2 x 2 + 2 x



e

e
1

− 4π ∫ ( x + 1) .ln x.dx .
1

1

du = dx

u
=
ln
x




x
⇒
⇒ V = π ( 2e 2 + 2e ) − π ( ln x ) ( 2 x 2 + 4 x )
đặt 
2

.dv = ( x + 1) dx v = x + x


2
V = −π 2e + π ( x 2 + 4 x )

e
1

e

e
1

+ π ∫ ( 2 x + 4 ) .dx .
1

= π ( e 2 + 2e − 5 ) . .

Câu 15. [2D3-3.3-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 04] Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường
y = x − 1 , trục hoành và x = 4 . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng H

quanh trục Ox là:
A.

7π
.
6

B.

7π 2
.
6

C.

7
.
6

D.

5π
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn A.
PTHĐGĐ:
4

VH = π ∫
1

(

x − 1 = 0 ⇔ x = 1( x ≥ 0) .

)

4

2

x − 1 dx = π ∫
1

(

4

 x2 4 3

7π
x − 2 x + 1 dx = π  −
x + x÷
=
( dvtt ) .
÷
 2 3
1 6

)

Câu 16. [2D3-3.3-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 03] Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = e x ,
y = e – x và x = 1. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành là.
2

A. p(e 2

e- 2
2

2
e- 2
B. p(e +
- 1)
.
2
2

+ 1) .

2
e- 2
C. p(e +
+ 1) .
2
2

2

D. p(e 2
Hướng dẫn giải

e- 2
2

- 1) .

Chọn B.
Hoành độ giao điểm của y = e x và y = e – x là x = 0. .

V =π

∫

1

0

1

(e − e
2x

−2 x

e 2 x e −2 x
)dx = π (
+

)
2
2 0

=π(

e2
e −2
+
− 1) .
2
2

Câu 17. [2D3-3.3-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 01] Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = x 2 + 1 và y = 4 x − 2 . Khi đó thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng ( H )
quanh trục Ox là:
224
248π
4π
1016π
π.
A.
B.
.
C.
.
D.
.
15
3

3
15
Hướng dẫn giải
Chọn A.

(

)

3
2
x = 1
224
2
x + 1 = 4x − 2 ⇔ x − 4x + 3 = 0 ⇔ 
V = π ∫ ( 4 x − 2 ) − ( x 2 + 1) dx =
π
15 .
x = 3.
1
2

2

TRANG 6


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Câu 18. [2D3-3.3-3] [TT Tân Hồng Phong] Cho ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường

( C1 ) : y = x , ( d ) : y = 2 − x
cho ( H ) quay quanh Ox .
A. V =

11π
.
6

và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi

B. V =

5π
.
6

C. V =

2π
.
3

D. V =

7π
.
6

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Xét phương trình:

x ≤ 2

 x ≤ 2
x = 2− x ⇔ 
2 ⇔  x = 4 ( l ) .
 x = ( 2 − x )
 x = 1

1

1

2
Thể tích của khối tròn xoay cần tìm là Vox = π ∫ ( 2 − x ) − x dx = π ∫ x − 5 x + 4 dx .
2

0

0

 x 5x
 1 11π
Vox = π ∫ x 2 − 5 x + 4 dx = π ∫ ( x 2 − 5 x + 4 ) dx = π  −
+ 4x ÷ =
.

2
6
 3
0
0
0
1

1

3

2

Câu 19. [2D3-3.3-3] [THPT Quảng Xương 1 lần 2] Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng
x

giới hạn bởi các đường y = e 2 x , x = 1, x = 2 và y = 0 quanh trục Ox là:

(

)

A. π e 2 − e .

(

)

C. π e 2 + e .

Hướng dẫn giải

B. πe 2 .

D. πe .

Chọn B.
2

2

V = π ∫ xe x dx = π ( x.e x − e x ) = π e 2 .
1

1

Câu 20. [2D3-3.3-3] [THPT Hoàng Văn Thụ - Khánh Hòa] Tính thể tích V của vật thể tròn xoay
sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x ln x , trục hoành và đường thẳng
x = e quay quanh Ox. .
A. V =

2e3 + 1
π.
9

B. V =

2e3 − 1
2e3 + 1
C. V =

π.
π.
9
3
Hướng dẫn giải

D. V =

2e3 − 1
π.
3

Chọn A.
Xét phương trình.
x ln x = 0 (đk: x ≥ 1 ).
⇔ x = 1.
e

(

Vậy V = π ∫ x ln x
1

)

2

e

dx = π ∫ x 2 ln xdx .

1

1

u = ln x ⇒ du = x dx
Đặt 
3 .
dv = x 2 dx ⇒ v = x

3
e
e 2
 x3
 2e3 + 1
x
2
=
π.
Vậy V = π ∫ x ln xdx = π  ln x − ∫ dx ÷
÷
3
9
1
1
 3

TRANG 7


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Câu 21. [2D3-3.3-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07] Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường

y = x ln x, y = 0, x = e . Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình ( H ) quanh
trục hoành.
π ( 5e3 − 2 )
π ( 5e3 − 2 )
5e3 − 2 )
π ( 5e 2 − 2 )
(
A. V =
.
B. V =
.
C. V =
.
D. V =
.
27
18
27
18
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm của các đường y = x ln x; y = 0 là: x = 1. .
e

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là V = π ∫ ( x ln x ) dx .

2

1

2 ln x

du =
2
e
2

e3 2 2
e3 2
2
u = ln x

x
⇒
dx
I
=
x
ln
x
dx
=
−
x
ln
xdx

− I1 .
(
)
Đặt 
.
Ta
có:

∫1
3
2
3 3 ∫1
3 3
 dv = x dx v = x

3
dx

 du = x
u = ln x
e3 x 3 e 2e3 + 1
⇒
Đặt 
.
Ta
có
.
I
=
−


2
3
1
1 =
3 9
9
 dv = x dx v = x

3
3
π ( 5e − 2 )
Vậy V =
.
27
 y = 3x
y = x

S
:
Câu 22. [2D3-3.3-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 06] Cho hình thang
. Tính thể tích vật thể

x = 0
 x = 1
tròn xoay khi nó xoay quanh Ox .
8π
8π 2
A. 8π 2 .
B.

.
C. 8π .
D.
.
3
3
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Giải: Xét hình thang giới hạn bởi các đường: y = 3x ; y = x ; x = 0; x = 1 .
Ta có: V = π

1

∫ ( 3x )
0

2

1

8
2
dx − ∫ ( x ) dx = π .
3
0

Câu 23. [2D3-3.3-3] [THPT Ng.T.Minh Khai(K.H)] Kí hiệu ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ
thị hàm số y = x ln x , trục hoành, x = e Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay
hình ( H ) quanh trục hoành:
A. V =

π ( e3 − 3)
27

.

B. V =

π ( e3 − 1)
3

.

C. V =

π ( e3 + 1)
2

.

D. V =

π ( 5e3 − 2 )
27

.

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm x ln x = 0 ⇔ x = 1 nên.

TRANG 8


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

e

PHƯƠNG PHÁP

e

V = π ∫ ( x ln x ) dx = π ∫ x 2 ln 2 xdx .
2

1

1

2 ln x

du = x dx
u = ln 2 x
 x 3 ln 2 x e 2 e 2

 e3 2 e 2

⇒
V
=

π
−
x
ln
x
d
x
=
π
−
x
ln
x
d
x
Đặt 
nên




.
∫
∫
3
2
dv = x dx v = x
 3 1 31

3 31



3
1

du = dx

u1 = ln x

x
⇒
Đặt 
nên.
2
3
dv1 = x dx v = x
 1 3
 e3 2  x 3 ln x e 1 e 2  
 e3 2  e3 x 3 e  
 e3 2  e3 x 3 e   π ( 5e3 − 2 )
V =π  − 
− ∫ x dx ÷ = π  −  −
÷ = π  −  −
÷ =
27
 
 3 3  3 1 3 1
 3 3  3 9 1  
 3 3  3 9 1  
.

Câu 24. [2D3-3.3-3] [BTN 165] Khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox hình phẳng D giới
2
hạn bởi đồ thị ( P ) : y = 2 x − x và trục Ox sẽ có thể tích là:

A. V =

12π
.
15

B. V =

16π
.
15

11π
.
15
Hướng dẫn giải
C. V =

D. V =

4π
.
15

Chọn B.
x = 2

2
Xét phương trình 2 x − x = 0 ⇔ 
.
x = 0
2

2

2
2
3
4
Vậy thể tích cần tìm VOx = π ∫ ( 2 x − x ) dx = π ∫ ( 4 x − 4 x + x ) dx .
2

0

0

2

4
x5 
16π
= π  x3 − x 4 + ÷ =
(đvtt).
5  0 15
3
Câu 25. [2D3-3.3-3] [BTN 165] Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = x , y = − x và x = 4 .
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình ( H ) quanh trục hoành nhận giá trị nào sau

đây:
A. V =

41π
.
3

B. V =

41π
.
2

C. V =

40π
.
3

D. V =

38π
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm:

− x ≥ 0

x = −x ⇔ 
⇔ x = 0.
2
x = x
4

2
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là VOx = π ∫ x − x dx .
0

x = 0
2
Xét phương trình x − x = 0 ⇔ 
.
x = 1
1

4

1

4

0

1

0

1

2
2
2
2
Do đó VOx = π ∫ x − x dx + π ∫ x − x dx = π ∫ ( − x + x ) dx + π ∫ ( x − x ) dx .

TRANG 9


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

1

4

 x3 x 2 
 x3 x 2 
41π
= π − + ÷ +π  − ÷ =
(đvtt).
3
 3 2 0
 3 2 1
Câu 26. [2D3-3.3-3] [BTN 164] Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường
y = tan x , y = 0 , x = 0 , x =
A. π 3 .

B.

π
quay quanh trục Ox tạo thành là:
3

π

(

).

3 −1

C.

3

π
3 3 −1 .
3

(

)

D.

π
3 3 −π

3
.

(

)

Hướng dẫn giải
Chọn D.
b

2
Áp dụng công thức để tính Vx = π ∫ y dx theo đó thể tích cần tìm là:
a

π
3

π
3

0

0

Vx = π ∫ tan 2 xdx = π ∫  −1 + ( 1 + tan 2 x )  dx = π ( − x + tanx )

Vậy Vx =

π

3
0

=

π
3 3 −π .
3

(

)

π
3 3 − π (đvdt).
3

(

)

Câu 27. [2D3-3.3-3] [BTN 163] Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x − x 2 và Ox .
Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình ( H ) xung quanh trục hoành.
16
16π
136
136π
A. V = .
B. V =
.

C. V =
.
D. V =
.
15
15
15
15
Hướng dẫn giải
Chọn B.
PTHĐGĐ: 2 x − x 2 = 0 ⇔ x = 0 ∪ x = 2 .
2

Khi đó V = π ∫ ( 2 x − x
0

)

2 2

2

 4 x3
x5 
16π
4
dx = π 
−x + ÷ =
.
5  0 15

 3

Câu 28. [2D3-3.3-3] [BTN 162] Kí hiệu ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3 x − x và
đường thẳng y =

1
x . Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình ( H ) xung
2

quanh trục Ox. .
A. 13 .
2

B. 56
5 .

C. 25 .
4

D. 57 .
5

Hướng dẫn giải
Chọn B.
PTHĐGĐ 3 x − x =

1
x ⇔ x = 0 ∨ x = 4 . Khi đó VOx =
2

4

∫ ( 3
0



)

2
1 
56
x − x − x 2  dx =
.
4 
5

Câu 29. [2D3-3.3-3] [BTN 161] Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = −e x + 4 x , trục
hoành và hai đường thẳng x = 1; x = 2 . Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay
hình ( H ) xung quanh trục hoành.

TRANG 10


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

A. V = 6 − e 2 + e .

PHƯƠNG PHÁP

B. V = π ( 6 − e2 + e )
C. V = π ( 6 − e2 − e ) . D. V = 6 − e 2 − e .
.
Hướng dẫn giải

Chọn B.
2

V = π ∫ ( 4 x − e x ) dx = π ( 2 x 2 − e x ) = π ( 6 − e 2 + e ) .
1
2

1

Câu 30. [2D3-3.3-3] [THPT Thanh Thủy] Một cái trống trường có bán kính các đáy là 30 cm, thiết

2
diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có diện tích là 1600π ( cm ) , chiều dài của trống là

1m . Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh của trống là các đường Parabol. Hỏi thể
tích của cái trống là bao nhiêu?

A. 425, 2 (lít).

.
B. 425162 (lít).
C. 212, 6 (lít).
Hướng dẫn giải

D. 212581 (lít).

Chọn A.
Ta có chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.
.
y

x

Thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy là hình tròn.
2
có bán kính r có diện tích là 1600π ( cm ) , nên.

r 2π = 1600π ⇒ r = 40cm .

Ta có: Parabol có đỉnh I ( 0; 40 ) và qua A ( 50;30 ) .
Nên có phương trình y = −

1 2
x + 40 .
250

Thể tích của trống là.
50

2

406000 3
 1 2

V = π ∫ −

x + 40 ÷ dx = π .
cm ≈ 425, 2dm3 = 425, 2 (lít).
250
3

−50 

TRANG 11


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Câu 31. [2D3-3.3-3] [THPT Chuyên Thái Nguyên] Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = x ln x, y = 0, x = e quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng

π
( be3 − 2 ) . Tìm a và b .
a
A. a = 26 ; b = 6 .

B. a = 27 ; b = 5 .
C. a = 24 ; b = 5 .
Hướng dẫn giải

D. a = 27 ; b = 6 .

Chọn B.

.

x > 0
x > 0
⇔
⇔ x =1.
Xét phương trình x ln x = 0 ⇔ 
ln x = 0
x = 1
e
π
2
2
3
Ta có V = π ∫ x ln x dx = ( 5e − 2 )
.
27
1
a = 27
π
3
Theo giả thiết V = ( be − 2 ) ⇒ 
.
a
b = 5
Câu 32. [2D3-3.3-3] [THPT Chuyên Thái Nguyên] Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho
hình Elip

x2 y2
+

= 1 quay xung quanh trục Ox .
3 b2

A. 4 3 π b 2
3
.

B. 2 3 π b 2 .
3

C. 4 3 π b 2 .
3

D. 4π b .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
 x2 
x2 y 2
+ 2 = 1 ⇔ y 2 = b 2  1 − ÷.
3 b
3 

Vậy thể tích khối tròn xoay là : V = π

x3 
V = πb  x − ÷
9 −


3

2

3

x2 
2
b
1
−

∫  3 ÷ dx .
− 3
3


3  4 3π b 2
= 2π b 2  3 −
.
÷
÷=
3
3



Câu 33. [2D3-3.3-3] [Chuyên ĐH Vinh] Cho hàm bậc hai y = f ( x ) có đồ thị như hình bên. Tính thể
tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) và Ox
quanh Ox .

TRANG 12


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

.
A.

12π
.
15

B.

16π
.
15

16π
.
5
Hướng dẫn giải
C.

D.

4π

.
3

Chọn B.
2
Căn cứ vào đồ thị ta xác định được f ( x ) = − x + 2 x .

Hoành độ giao điểm của f ( x ) và Ox là x = 0 và x = 2 .
2

2
Thể tích khối tròn xoay là V = π ∫ ( x − 2 x ) dx =
2

0

16π
.
15

Câu 34. [2D3-3.3-3] [BTN 173] Ký hiệu ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 − 1 ,
trục hoành và đường thẳng x = 3 . Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình

( H)

xung quanh trục Ox .

A. V =

22

.
3

B. V =

20π
.
3

C. V =

22π
.
3

D. V =

20
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn B.

.
Phương trình hoành độ giao điểm.
x 2 − 1 = 0 ⇔ x = ±1 . Khi đó.
3

 x3


20π
V = π ∫ ( x − 1) dx = π  − x ÷ =
.
3
 3
1
1
3

2

Câu 35. [2D3-3.3-3] [THPT Chuyen LHP Nam Dinh] Ký hiệu ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi các
2

đường y = ( x - 1) e x - 2 x , y = 0, x = 2. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay
hình ( H ) xung quanh trục hoành.

TRANG 13


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

A. V =

p( 2e - 3)
.
2e

PHƯƠNG PHÁP

B. V =

p( e - 3)
.
2e

C. V =

p( 2e - 1)
.
2e

D. V =

p( e - 1)
.
2e

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm
2


Thể tích cần tính là V = π ∫ 

1
2

= π ∫ ( x − 1) e

x2 −2 x

1

( x − 1) e x −2 x

( x − 1) e x

2

2

−2 x

= 0 ⇔ ( x − 1) e x

2

−2 x

= 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1. .

2

 dx
.


π 2 x2 − 2 x
π 2
dx = ∫ e
d ( x 2 − 2 x ) = .e x − 2 x
21
2

2

1

=

π  1  π ( e − 1)
..
1 − ÷ =
2 e
2e

Câu 36. [2D3-3.3-3] [THPT Chuyên Bình Long] Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai
mặt phẳng x = 0 và x = 3 , biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
Ox tại điểm có hoành độ x ( 0 ≤ x ≤ 3 ) là một hình chữ nhật có hai kích thước là x và
2 9 − x2 .
3

(

)

2

A. V = ∫ x + 2 9 − x dx .
0

3

3

2
B. V = 4π ∫ ( 9 − x ) dx .
0

3

2
C. V = ∫ 2 x 9 − x dx .

(

)

2
D. V = 2 ∫ x + 2 9 − x dx .

0

0

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Diện tích của hình chữ nhật là S ( x ) = x.2 9 − x 2 .

3

2
Thể tích vật thể là V = ∫ 2 x 9 − x dx .
0

Câu 37. [2D3-3.3-3] [THPT Lệ Thủy-Quảng Bình] Cho hình H giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x ,
y = − x + 2 và trục hoành. Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình H quay quanh
trục hoành được tính theo công thức nào?
2

2

A. V = π ∫  x + ( x − 2 )  dx .
0

2
1

2
C. V = π  ∫ xdx + ∫ ( − x + 2 ) dx  .
1
0


2
2

2
V

=
π
x
d
x
+
( − x + 2 ) dx  .
B.
∫
∫
0
0

2

2
D. V = π ∫  x = ( x − 2 )  dx .
0

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Phương trình hoành độ giao điểm giữa y = x , y = − x + 2 là: x = − x + 2 ⇔ x = 1 .
Phương trình hoành độ giao điểm giữa y = x , y = 0 là x = 0 ⇔ x = 0 .
Phương trình hoành độ giao điểm giữa y = − x + 2 , y = 0 là − x + 2 = 0 ⇔ x = 2 .
Khi đó: Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường y = x , y = − x + 2 , y = 0 là:
2
1

2
2

V = π  ∫ x dx + ∫ ( − x + 2 ) dx  .
1
0


TRANG 14


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Câu 38. [2D3-3.3-3] [THPT Hai Bà Trưng- Huế] Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = x2
và y = x. Khối tròn xoay tạo ra khi ( H ) quay quanh Ox có thể tích là.
1

(

1

)

A. pò x - x dx ( đvtt) . .
4

0

1

C. pò

0

(

)

(

x dx ( đvtt) . .

0

1

)

x - x dx ( đvtt) . .
2

(

4
B. pò x - x dx ( đvtt) . .

2
D. pò x 0

)

Hướng dẫn giải

Chọn B.
éx = 0
2
ê
x
=
x
Û
Xét phương trình hoành độ giao điểm
êx = 1. .
ê
ë
1

( ) - ( x)

Suy ra V = pò x

2

0

2

2

1

1

(

)

dx = pò x - x dx = pò x - x4 dx. .
4

0

0

Câu 39. [2D3-3.3-3] [THPT Ngô Quyền] Gọi V là thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay
x2 y 2
quanh trục Ox một Elip có phương trình
+
= 1 . V có giá trị gần nhất với giá trị nào sau
9
4
đây?
A. 60 .
B. 50 .
C. 10 .
D. 500 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
x2 y 2
36 − 4 x 2
36 − 4 x 2
36 − 4 x 2
+

= 1 ⇔ y2 =
⇔ y=±
=±
..
9
4
9
9
3
V là thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox phần hình phẳng giới hạn
36 − 4 x 2
và trục hoành.
3
3
36 − 4 x 2
dx ≈ 50, 24 .
Ta có V = π ∫
9
−3
bởi y =

Câu 40. [2D3-3.3-3] [BTN 170] Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y = x ln x, y = 0, x = e . Tính
thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox .
 13e3 − 2 
V
=
π
A.

÷.

 27 

 e3 − 2 
V
=
π
B.
C. Đáp án khác.

÷.
 27 
Hướng dẫn giải

 5e3 − 2 
V
=
π
D.

÷.
 27 

Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm: x ln x = 0 ( x > 0 ) ⇒ ln x = 0 ⇔ x = 1 .
e

2
2
Thể tích của khối tròn xoay là: V = π ∫ x ln xdx .
1

2 ln x

du =
dx

u = ln x

x
⇒
Đặt 
.
3
2
dv = x dx v = x

3
2

TRANG 15


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

e 3
 x3
 e3 2 e


e
x 2 ln x 
V = π  ln 2 x − ∫
dx ÷ = π  − ∫ x 2 ln xdx ÷.
1
3 x
1
 3

 3 31

1

du = dx

u
=
ln
x


x
⇒
Đặt 
.
2
3
dv = x dx v = x

3

e
e 2
 e3 2  x 3

 e3 2 x 3 e 
 5e3 − 2 
x

÷
÷= π 
V =π
−  ln x − ∫ dx ÷ = π  +
÷.
 9 9 3 1÷
 3 3 3
3 ÷÷
27 

1
1






Câu 41. [2D3-3.3-3] [BTN 168] Kí hiệu hình ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = e x ( x − 1) , trục hoành và đường thẳng x = e . Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được
khi quay quanh hình ( H ) quanh Ox .
e

A. V = π ( e ( e + 2 ) + e ) .

e
B. V = π ( e ( e − 2 ) − e ) .

e
C. V = π ( e ( e − 2 ) + e ) .

e
D. V = π ( e ( e + 2 ) − e ) .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
e x ( x − 1) = 0 ⇔ x = 1 .

PTGĐGĐ:
e

x
x
e
Vậy V = π ∫ e ( x − 1) dx = π e ( x − 2 ) 1 = π ( e ( e − 2 ) + e ) .
e

1

Câu 42. [2D3-3.3-3] [Cụm 8 HCM] Thể tích khối vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng ( S ) giới hạn
bởi các đường y = 1 − x 2 , y = 0 quanh trục hoành có kết quả dạng
giản. Khi đó a + b bằng.
A. 21 .

B. 31.

C. 32 .
Hướng dẫn giải

πa
a
với
là phân số tối
b
b
D. 23 .

Chọn B.
1

1

V = π ∫ ( 1 − x 2 ) dx = π ∫ ( 1 − 2 x 2 + x 4 ) dx =
−1

2

−1

16
π . Vậy a + b = 31 .
15

TRANG 16