Giáo án dạy thêm môn toán lớp 8

Buổi 1 : ÔN TẬP NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
I- Mục tiêu cần đạt.
1. Kiến thức: Cần nắm được các hằng đẳng thức: Bình phương của một tổng, bình
phương một hiệu, hiệu hai bình phương.
2. Kĩ năng: Biết áp dụng các hằng đẳng thức trên để tính nhẩm, tính hợp lý.
3. Thái độ: Rèn tính chính xác khi giải toán
II- Chuẩn bị:
GV: Nội dung bài
III- Tiến trình bài giảng.
1. Ổn đinh tổ chức:
2. Kiểm tra bài cũ:
1
2

HS1: Làm tính nhân : (x2 - 2x + 3) ( x - 5)
3. Bài mới:
Hoạt động của thầy và trò
Hoạt động1: Lý thuyết
GV: Yêu cầu học sinh nhắc lại hằng
đẳng thức.

Nội dung

I. Lý thuyết:
1. (A+B)2 = A2 +2AB + B2
2. (A-B)2= A2- 2AB + B2
3. A2- B2 = ( A+B) ( A-B)
+Bằng lời và viết công thức lên bảng. 4. (A+B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
5. (A-B)3= A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
HS: Thực hiện theo yêu cầu của giáo
6. A3+ B3= (A+B)( A2- AB + B2)

viên.
7. A3- B3= (A-B)( A2+ AB + B2)
Hoạt động2: Bài tập
II. Bài tập:
Bài tập: Tính giá trị các biểu thức:
Bài tập1:
3
2
a) - x + 3x - 3x + 1 tại x = 6.
a) - x3 + 3x2 - 3x + 1 = 1 - 3. 12. x + 3.
b) 8 - 12x +6x2 - x3 tại x = 12.
1. x2 - x3 = (1 - x)3 = A
Với x = 6 ⇒A = (1 - 6)3 = (-5)3 = -125.
HS: Hoạt động theo nhóm ( 2 bàn 1
b) 8 - 12x +6x2 - x3 = 23 - 3. 22. x + 3.
nhóm)
2. x2 - x3 = (2 - x)3 = B
Với x = 12
⇒ B = (2 - 12)3 = (-10)3 = - 1000.
Bài tập 16:
*Viết các biểu thức sau dưới dạng Bài2tập 16. (sgk/11)2
a/ x +2x+1 = (x+1)
bình phương của một tổng một hiệu.
2
2
HS: Thực hiện theo nhóm bàn và cử b/ 9x +2 y +6xy
= (3x) +2. 3x. y +y2 = (3x+y)2
đại diện nhóm lên bảng làm
1
1

1
c/ x2 - x+ = x2 - 2. x + ( ) 2
4
2
2
GV: Nhận xét sửa sai nếu có
1
= ( x - )2
2

Bài tập 18. (sgk/11)
a/ x2 +6xy +9y2 = (x2 +3y)2
Bài tập 18:
b/ x2- 10xy +25y2 = (x-5y)2.
HS: hoạt động nhóm.
Bài 21 Sgk-12:
GV: Gọi hai học sinh đại diện nhóm a) 9x2 - 6x + 1
1


lên bảng làm
HS: Dưới lớp đưa ra nhận xét
Bài 21 <12 Sgk>.
+ Yêu cầu HS làm bài vào vở, 1 HS
lên bảng làm.

= (3x)2 - 2. 3x . 1 + 12
= (3x - 1)2.
b) (2x + 3y)2 + 2. (2x + 3y) + 1

= [(2x + 3y) + 1] 2
= (2x + 3y + 1)2.
Bài 23 Sgk-12:
a) VP = (a - b)2 + 4ab
Bài 23 <12 Sgk>.
= a2 - 2ab + b2 + 4ab
+ Để chứng minh một đẳng thức, ta
= a2 + 2ab + b2
làm thế nào ?
= (a + b)2 = VT.
+ Yêu cầu hai dãy nhóm thảo luận, đại
diện lên trình bày
b) VP = (a + b)2 - 4ab
Áp dụng tính:
= a2 + 2ab + b2 - 4ab
= a2 - 2ab + b2
(a – b)2 biết a + b = 7 và a . b = 12.
= (a - b)2 = VT.
2
2
Có : (a – b) = (a + b) – 4ab
Bài 33 (Sgk-16):
2
a) (2 + xy)2 = 22 + 2. 2. xy + (xy)2
= 7 – 4. 12 = 1.
= 4 + 4xy + x2y2.
Bài 33 <16 SGK>.
+Yêu cầu 2 HS lên bảng làm bài.
b) (5 - 3x)2 = 52 - 2. 5. 3x + (3x)2
= 25 - 30x + 9x2.

c) (5 - x2) (5 + x2)
= 52 - ( x 2 )
= 25 - x4.
+ Yêu cầu làm theo từng bước, tránh
nhầm lẫn.
Bài 18 <Sbt-5>.
VT = x2 - 6x + 10
= x2 - 2. x . 3 + 32 + 1
+ Làm thế nào để chứng minh được đa
thức luôn dương với mọi x.
b) 4x - x2 - 5 < 0 với mọi x.
+ Làm thế nào để tách ra từ đa thức
bình phương của một hiệu hoặc tổng ?

2

a) Có: (x - 3)2 ≥ 0 với ∀x
⇒ (x - 3)2 + 1 ≥ 1 với ∀x hay
x2 - 6x + 10 > 0 với ∀x.
b) 4x - x2 - 5
= - (x2 - 4x + 5)
= - (x2 - 2. x. 2 + 4 + 1)
= - [(x - 2)2 + 1]
Có (x - 2)2 ≥ với ∀x
- [(x - 2)2 + 1] < 0 với mọi x.
hay 4x - x2 - 5 < 0 với mọi x.

4. Củng cố Tìm x, y thỏa mãn 2x2 - 4x+ 4xy + 4y2 + 4 = 0
5. Hướng dẫn học sinh học và làm bài về nhà
Thường xuyên ôn tập để thuộc lòng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.

+ BTVN: Bài 19 (c) ; 20, 21 <Sbt-5>.

2


Buổi 2: ÔN TẬP ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC
CỦA HÌNH THANG
I- Mục tiêu cần đạt.
1. Kiến thức: Nắm vững hơn định nghĩa và các định lý 1, định lý 2 về đường trung
bình của tam giác.
2. Kĩ năng: Biết vận dụng tốt các định lý về đường trung bình của tam giác để giải
các bài tập tính toán, chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai đoạn thẳng song
song.
3. Thái độ: Rèn luyện cách lập luận trong chứng minh định lý và vận dụng các định
lý vào giải các bài toán thực tế.
II- Chuẩn bị:
GV: Nội dung bài
III- Tiến trình bài giảng.
1. Ổn đinh tổ chức:
2. Kiểm tra bài cũ:
HS1: Phát biểu định nghĩa đường trung bình của tam giác của hình thang.
3. Bài mới:
Hoạt động của thầy và trò
Nội dung
Hoạt động1: Lý thuyết
I. Lý thuyết:
GV: Yêu cầu học sinh nhắc lại định lí
1. Định lí: Đường trung bình của tam giác
đường trung bình của tam giác,của hình Định lí1: Đường thẳng đi qua trung điểm
thang.

một cạnh của tam giác và song song với
cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ
HS: Thực hiện theo yêu cầu của giáo
ba.
viên.
Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác
là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của
tam giác.
Hoạt động2: Bài tập
II. Bài tập:
Bài 1. Tứ giác ABCD có BC=CD và
HS vẽ hình
DB là phân giác của góc D. Chứng
C
B
1
minh ABCD là hình thang
-GV yêu cầu HS vẽ hình?

A

2

1
D

- Ta chứng minh BC//AD
- Chỉ ra hai góc so le trong bằng nhau
- Để chứng minh ABCD là hình thang
thì cần chứng minh điều gì?

- Nêu cách chứng minh hai đường
thẳng song song

Ta có ∆BCD cân => B1 = D1
¶ =D
¶ => B
µ =D
¶ => BC//AD
Mà D
1
2
1
2
Vậy ABCD là hình thang

Bài 3. Tam giác ABC vuông cân tại A,
Phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác
BCD vuong cân tại B. Chứng minh

HS vẽ hình

3


ABDC là hình thang vuông
- GV hướng dẫn học sinh vẽ hình

D

B

2
1

A

- Yêu cầu HS thảo luận nhóm
Đại diện 1 nhóm trình bày

Bài tập 24: (sgk/80)
HS: Đọc đề.
GV: Hướng dẫn vẽ hình: Kẻ AD; CK;
BQ vuông góc xy.
Trong hình thang APQB: CK được
tính như thế nào? Vì sao?
HS: CK =

AP + BQ 12 + 20
=
= 16(cm)
2
2

(Vì CK là đường trung bình của hình
thang APQB)

C

- ABC vuông cân tại A=> Cµ1 =450
- BCD vuông cân tại B=> C¶ 2 =450

=> Cµ =900 , mà Ậ=900 =>AB//CD
- => ABDC là hình thang vuông
Nhóm khác nhận xét
Bài tập 24: (sgk/80)
. Kẻ AP, CK, BQ
20
vuông góc với xy.
12
Hình thang ACQB
có: AC = CB;
CK // AP // BQ
nên PK = KQ.
⇒ CK là trung bình của hình thang APQB.
B

C

A

x

P

Q

K

⇒ CK =
=

1
(AP + BQ)
2

1
(12 + 20) = 16(cm)
2

Bài 21(sgk/80)
∆ ABC (B = 900).
Bài 21(sgk/80): Cho hình vẽ:
A

Phân giác AD của góc A.
GT M, N , I lần lượt là trung
điểm của AD ; AC ; DC.

M

N

a) Tứ giác BMNI là hình gì ?
KL b) Nếu  = 580 thì các góc
của tứ giác BMNI bằng

B
D
I
C
a) Tứ giác BMNI là hình gì ?

b) Nếu  = 580 thì các góc của tứ giác
BMNI bằng bao nhiêu ?

bao nhiêu ?
Giải:
a) + Tứ giác BMNI là hình thang cân vì:
+ Theo hình vẽ ta có: MN là đường trung

4


HS: Quan sát kĩ hình vẽ rồi cho biết GT bình của tam giác ADC ⇒ MN // DC hay
của bài toán.

MN // BI (vì B, I, D, C thẳng hàng).

*Tứ giác BMNI là hình gì ?Chứng ⇒ BMNI là hình thang .
+ ∆ABC (B = 900) ; BN là trung tuyến ⇒
minh ?
AC

HS: Trả lời và thực hiện theo nhóm bàn BN = 2 (1).
GV: Gọi đại diện nhóm lên bảng thực ∆ADC có MI là đường trung bình (vì AM
hiện
HS: Nhóm khác nêu nhận xét
*Còn cách nào chứng minh BMNI là
hình thang cân nữa không ?

= MD ; DI = IC) ⇒ MI =
(1) (2) có BN = MI (=

AC
(2).
2

AC
).
2

⇒ BMNI là hình thang cân. (hình thang có
2 đường chéo bằng nhau).

HS: Trả lời
580
0
∠ BAD =
b)
∆ABD
(B
=
90
)
có
=
GV: Hãy tính các góc của tứ giác
2
BMNI nếu  = 580.
290. ⇒ ∠ ADB = 900 - 290 = 610.
HS: Thực hiện theo nhóm bàn
⇒ ∠ MBD = 610 (vì ∆BMD cân tại M).

GV: Gọi học sinh đại diện nhóm lên Do đó ∠ NID = ∠ MBD = 610 (theo đ/n ht
bảng thực hiện
cân).
HS: Nhóm khác nhận xét

⇒∠ BMN = ∠ MNI = 1800 - 610 = 1190.

4. Củng cố,hướng dẫn:
GV: Hệ thống lại nội dung kiến thức đã thực hiện.
HS: Nhắc lại định lý ,định nghĩa đường trung bình của tam giác ,hình thang
Hoạt động 5: Hướng dẫn học ở nhà.
-Học kĩ định lý ,định nghĩa đường trung bình của tam giác ,hình thang
- Xem lại các bài học đã chữa.

5


Buổi 3 : ÔN TẬP VỀ NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
I- Mục tiêu cần đạt.
1. Kiến thức: Cần nắm được các hằng đẳng thức: Lập phương của một tổng; Lập
phương của một hiệu.
2. Kĩ năng: Biết áp dụng các hằng đẳng thức trên để tính nhẩm, tính hợp lý.
3. Thái độ: Rèn tính chính xác khi giải toán
II- Chuẩn bị: GV: Nội dung bài
III- Tiến trình bài giảng.
1. Ổn đinh tổ chức:
2. Kiểm tra bài cũ:
1
2

1. Làm tính nhân : (x2 - 2x + 3) ( x - 5)
2. Khai triển :
( 2+ 3y)3
3. Khai triển :
( 3x - 4y)3
3. Bài mới:
Hoạt động của thầy và trò
Hoạt động1: Lý thuyết
GV: Yêu cầu học sinh nhắc lại hằng
đẳng thức.
HS: Thực hiện theo yêu cầu của giáo
viên.
1

* Áp dụng: Tính. a)  x − 
3


3

3

b) (x - 2y) .
HS: Làm bài độc lập trong ít phút.
2 HS trình bày bài trên bảng.
GV: Nhận xét kết quả.
Hoạt động2: Bài tập
Bài tập 31: Tính giá trị các biểu thức:
a) - x3 + 3x2 - 3x + 1 tại x = 6.
b) 8 - 12x +6x2 - x3 tại x = 12.

HS: Hoạt động theo nhóm ( 2 bàn 1
nhóm)
GV: Gọi học sinh đại diện nhóm thực
hiện.
HS: Nhóm khác nhận xét
Bài 43(sgk/17):
GV: Gọi học sinh đọc nội dung đầu bài
HS: Thực hiện và hđộng theo nhóm bàn
GV: Gọi đdiện nhóm lên bảng thực hiện

Nội dung
I. Lý thuyết:
1. (A+B)2 = A2 +2AB + B2
2. (A-B)2= A2- 2AB + B2
3. A2- B2 = ( A+B) ( A-B)
4. (A+B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
5. (A-B)3= A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
6. A3+ B3= (A+B)( A2- AB + B2)
7. A3- B3= (A-B)( A2+ AB + B2)
* Áp dụng: (skg/13)
1)Tính:
a)
3

2

1

1 1
3

2 1
 x −  = x − 3 x . + 3.x.  −  
3
3

3 3
1
1
= x3 − x2 + x −
3
27

3

b) (2x - 2y)3 = x3 - 3. x2. 2y + 3. x
(2y)2 - (2y)3 = x3 - 6x2y + 12xy2 - 8y3
II. Bài tập:
Bài tập31: (sgk/14)
a) - x3 + 3x2 - 3x + 1 = 1 - 3. 12. x + 3. 1.
x2 - x3 = (1 - x)3 = A
Với x = 6 ⇒A = (1 - 6)3 = (-5)3 = -125.
b) 8 - 12x +6x2 - x3 = 23 - 3. 22. x + 3. 2.
x2 - x3 = (2 - x)3 = B
Với x = 12
⇒ B = (2 - 12)3 = (-10)3 = - 1000.
Bài 43(sgk/17): Rút gọn biểu thức
a/ (a + b)2 – (a – b)2 = [(a + b) + (a – b)]
[(a + b) - (a – b)] = 2a (2b) = 4ab
b/ (a + b)3 – (a – b)3 – 2b3

6


HS: Nhóm khác nêu nhận xét.
Bài 36 (sgk/17):
GV: Nêu nội dung đề bài
HS: Hai em lên bảng thực hiện,học sinh
dưới lớp cùng làm so sánh kết quả với
bạn
Bài 1. Khai triển các HĐT sau
2

a) (2x + 3y)

3

c) 27x3 + 1

1

b)  x − 3 
2


3

d) 8x3 - y3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – (a3 – 3a2b +
3ab2 - b3) – 2b3 = 6a2b

Bài 36 (sgk/17):
a/ x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 với x = 98
⇒ (98 + 2)2 = 1002 = 10000
b/ x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3với x = 99
⇒ (99 + 1)3 = 1003 = 1000000
B1. Khai triển HĐT
Đại diện các nhóm lên bảng
a. (2x2 + 3y)3

6
4
2 2
3
Yêu cầu HS thảo luận nhóm, sau đó đại = 8x + 36x y + 54x y + 27y .
3
diện một nhóm lên bảng trình bày
1
9
27
1

b.  x − 3  = x3 - x2 +
x - 27.
- GV theo dõi các nhóm thảo luận
8
4
2
2



Yêu cầu các nhóm nhận xét
Bài 2. Chứng minh đẳng thức
1. Chứng minh: a3+b3+c3 = (a+b+c)



c. 27x3 + 1 = (3x)3 + 13
= (3x + 1) (9x2 - 3x + 1)

như thế nào

d. 8x3 - y3
= (2x)3 - y3
= (2x - y) [(2x)2 + 2xy + y2]
= (2x - y) (4x2 + 2xy + y2).
Các nhóm khác nhận xét

Ta dùng cách biến đổi VP về VT

2. Chứng minh đẳng thức

(a2+b2+c2 - ab - bc - ca )+ 3abc
? Bài toán chứng minh đẳng thức ta làm

- GV hướng dẫn HS biến đổi VT bằng
cách nhân đa thức với đa thức và thu gọn -HS trả lời
số hạng đồng dạng
Chú ý: Nếu a+b+c = 0 thì
3

3

3

a +b +c = 3abc

- Một HS đứng tại chỗ biến đổi
VP = ………. = VT

Nếu a2+b2+c2 - ab - bc - ca = 0
hay a =b =c thì a3+b3+c3 = 3abc
b. AD: Viết (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3 dưới
dạng tích.
GVHD : Đặt a= x-y, b= y-z ,c= z-x

HS theo dõi GV phân tích để đưa ra kết
quả .
HS tính : a+ b+ c =
x-y+ y-z + z-x = 0
Vậy: (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3=
3(x-y)(y-z)(z-x)

Tính a+ b+ c
4. Củng cố,hướng dẫn:
GV: Hệ thống lại nội dung kiến thức đã thực hiện.

7

Buổi 4 : ÔN TẬP HÌNH BÌNH HÀNH - HÌNH CHỮ NHẬT
I. Mục tiêu cần đạt:
1. Kiến thức: Học sinh nắm vững hơn định nghĩa hình bình hành – HCN. Tính chất
và dấu hiệu nhận biết hình bình hành – HCN.
2. Kĩ năng: Học sịnh dựa vào tính chất và dấu hiệu nhận biết để vẽ được dạng của
một hình bình hành- HCN. Biết chứng minh một tứ giác là hình bình hành- HCN
3. Thái độ: Có ý thức liên hệ giữa hình thang cân với hình bình hành- HCN.
II. Chuẩn bị: GV: Thước thẳng, compa
III. Tiến trình bài giảng:
1. Ổn định tổ chức:
2. Kiểm trabài cũ:
HS1: Phát biểu định nghĩa về hình thang, hình thang vuông, hình thang cân,
HBH, HCN?
HS2: Nêu các tính chất của hình thang, của hình thang cân, HBH, HCN?
3. Bài mới:
Hoạt động của thầy và trò
Hoạt động1: Lý thuyết
GV: Yêu cầu học sinh nhắc lại định
nghĩa,định lí hình bình hành .
HS: Thực hiện theo yêu cầu của giáo viên.
GV: Chuẩn lại nội dung.
+ Định nghĩa và tính chất hình chữ nhật

Nội dung
I. Lý thuyết:
*Định nghĩa:
Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối
song song.
*Định lí:
+Trong hình bình hành:

a. Các cạnh đối bằng nhau.
b. Các góc đối bằng nhau.
c. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm
mỗi đường.
*Định nghĩa hình chữ nhật:
Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.
0
µ µ µ µ
A=B=C=D=90

Hoạt động2: Bài tập
HS: Nêu nội dung bài 47(sgk/93)
GV: Vẽ hình 72 lên bảng.

Tính chất hình chữ nhật:
Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng
nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi
đường.
II. Bài tập:
Bài 47(sgk/93):
A
1

HS: Quan sát hình, thấy ngay tứ giác.
AHCK có đặc điểm gì?
(AH // CK vì cùng vuông góc với BD)
- Cần chỉ ra tiếp điều gì, để có thể khẳng

B

H

K

1
D
GT

C
ABCD là hình bình hành
AH ⊥ DB, CK ⊥ DB
8


OH = OK

định AHCK là hình bình hành?
KL
Ta cần (Cần c/m AH = BK). ntn?

a) AHCK là hình bình hành.
b) A; O : C thẳng hàng

Chứng minh:
GV: Yêu cầu học sinh thực hiện theo nhóm a)Theo đầu bài ta có:
AH ⊥ DB
bàn.
CK ⊥ DB ⇒AH // CK (1)
HS: Thực hiện theo yêu cầu của giáo viên.
Xét ∆ AHD và ∆ CKB có :

H = K = 900
AD = CB ( tính chất hình bình hành)
GV: Gọi đại diện nhóm lên bảng làm.
∠ D1 = ∠ B1 (so le trong của AD // BC)
HS: Nhóm khác nêu nhận xét.
⇒ ∆ AHD = ∆ CKB (cạnh huyền góc nhọn)
GV: Sửa sai nếu có.
HS: Hoàn thiện vào vở.

⇒AH = CK ( Hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1), (2) ⇒AHCK là hình bình hành.
b)- O là trung điểm của HK mà AHCK là
hình bình hành ( Theo chứng minh câu a).

⇒ O cũng là trung điểm của đường chéo
AC (theo tính chất hình bình hành)
⇒A; O ;C thẳng hàng.
GV: Yêu cầu học sinh nêu nội dung bài
Bài 48(sgk/93):
48(sgk/93).
GT Tứ giác ABCD
AE = EB ;
HS: Thực hiện theo yêu cầu của giáo viên.
BF = FC
CG = GD ;
GV: Vẽ hình lên bảng và ghi giả thiết – kết
luận của bài toán.
DH = HA
HS: Thực hiện theo yêu cầu của giáo viên.
*F EG H là hình gì?

HS: Trả lời
GV: H,E là trung điểm của AD ; AB. Vậy
có kết luận gì về đoạn thẳng HE?
*Tương tự đối với đoạn thẳng GF?
GV: Yêu cầu học sinh thực hiện theo nhóm
bàn.

KL Tứ giác E FGH
là hình gì ?
Vì sao?
Chứng minh:
Theo đàu bài:
H ; E ; F ; G lần lượt là trung điểm của AD;
AB; CB ; CD ⇒ đoạn thẳng HE là đường
trung bình của ∆ ADB.
Đoạn thẳng FG là đường trung bình của
∆ DBC.
⇒ HE // DB và HE =

1
DB
2

9


HS: Thực hiện và cử đại diện lên bảng thực

GF // DB và GF =

1
DB
2

hiện.

⇒ HE // GF ( // DB ) và HE = GF

GV: Nhận xét sửa sai nếu có.
Bài 64(sgk/100):

(=

DB
)
2

⇒ Tứ giác FEHG là hình bình hành.

HS: Nêu nội dung bài 64.
GV: Để tứ giác EFGH là hình chữ nhật
Thì tứ giác phải có những tính chất gì?

Bài 64(sgk/100):

HS: Trả lời.

Cho hình
thang
GV: Yêu cầu học sinh hoạt động theo

GT ABCD Các tia
nhóm bàn.
cácgóc
HS: Thực hiện theo yêu cầu của giáo viên. A,B,C,D
cắt nhau
GV: Gọi đại diện nhóm lên bảng thực hiện.
như hình vẽ.
HS: Nhóm khác nêu nhận xét.
KL
CMR:
Chứng
minh:
GV: Sửa sai nếu có.
Tửự giaực EFGH coự 3 goực vuoõng neõn
Bài 63(sgk/100):
laứ HCN
EFGH laứ HBH (EF //= AC)
HS: Nêu nội dung bài 63.
AC ⊥ BD , EF // AC
=>EF ⊥ BD, EH // BD =>EF ⊥ EH
GV: Gọi một học sinh lên bảng thực hiện.
Vaọy EFGH laứ HCN
HS: Dưới lớp cùng làm và đưa ra nx.
Bài 63(sgk/100):
GV: Chuẩn lại kiến thức.
Ve ừtheõm
BH ⊥ DC ( H ∈ DC )

=>Tửự giaực ABHD
laứ HCN

=>AB = DH = 10 cm
=>CH = DC – DH
= 15 – 10 = 5 cm Vaọy x = 12
4. Củng cố,hướng dẫn:
GV: Hệ thống lại nội dung kiến thức đã thực hiện.
HS: Nhắc lại nội dung định nghĩa , định lý hình bình hành.
5. Hướng dẫn học ở nhà.
- Học kỹ định nghĩa,định lý hình bình hành.
- Xem lại các bài học đã chữa.

10


Buổi 5 : ÔN TẬP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I- Mục tiêu cần đạt:
1. Kiến thức + HS hiểu thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử.
+ HS được củng cố cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương
pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử.
2. Kĩ năng - HS biết vận dụng một cách linh hoạt các phương pháp phân tích đa
thức thành nhân tử đã học vào việc giải loại toán phân tích đa thức thành nhân tử.
3. Thái độ: -Rèn tính cẩn thận, chính xác khi tính toán.
II- Chuẩn bị: GV: Phấn màu máy tính bỏ túi.
III- Tiến trình bài giảng:
1. Ổn định tổ chức:
2. Kiểm tra bài cũ:
3. Bài mới:
Câu hỏi 1 : Thế nào là phân tích một đa thức thành nhân tử?
TRẢ LỜI: Phân tích một đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một
tích của những đơn thức và đa thức khác.
Câu hỏi 2: Trong các cách biến đổi đa thức sau đây, cách nào là phân tích đa thức

thành nhân tử? Tại sao những cách biến đổi còn lại không phải là phân tích đa thức
thành nhân tử?
2x2 + 5x − 3 = x(2x + 5) − 3
(1)



3
x

2x2 + 5x − 3 = x  2 x + 5 − 

(2)

5
3

2x2 + 5x − 3 = 2  x 2 + x − 

(3)

2x2 + 5x − 3 = (2x −1)(x + 3)

(4)





2

1
2

2

2x2 + 5x − 3 = 2  x −  (x + 3)

(5)

Lời giải : Ba cách biến đổi (3), (4), (5) là phân tích đa thức thành nhân tử. Cách
biến đổi (1) không phải là phân tích đa thức thành nhân tử vì đa thức chưa được
biến đổi thành một tích của những đơn thức và đa thức khác. Cách biến đổi (2)
cũng không phải là phân tích đa thức thành nhân tử vì đa thức đượ biến đổi thành
một tích của một đơn thức và một biểu thức không phải là đa thức.
Câu hỏi : Những phương pháp nào thường dùng để phân tích đa thức thành nhân
tử?
TRẢ LỜI: Ba phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử là:
Phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp dùng hằng đẳng thức và phương
pháp nhóm nhiều hạng tử.
1. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG
Câu hỏi : Nội dung cơ bản của phương pháp đặt nhân tử chung là gì? Phương pháp
này dựa trên tính chất nào của phép toán về đa thức? Có thể nêu ra một công thức
đơn giản cho phương pháp này hay không?
TRẢ LỜI: Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó
biểu diễn được thành một tích của nhân tử chung đó với một đa thức khác.
11


Phương pháp này dựa trên tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng các

đa thức.
MỘT CÔNG THỨC ĐƠN GIẢN CHO PP NÀY LÀ: AB + AC = A(B + C)
Bài 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 3x2 + 12xy ; b) 5x(y + 1) − 2(y + 1) ; c) 14x2(3y − 2) + 35x(3y − 2) +28y(2 −
3y)
TRẢ LỜI:
a)
3x2 + 12xy = 3x. x + 3x . 4y = 3x(x + 4y)
b)
5x(y + 1) − 2(y + 1) = (y + 1) (5x − 2)
c)
14x2(3y − 2) + 35x(3y − 2) +28y(2 − 3y) = 14x2(3y−2) + 35x(3y−2) − 28y(3y
−2)
= (3y −2) (14x2 + 35x − 28y).
Bài 2
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a, 5x – 20y ; b, 5x( x – 1 ) – 3x( x – 1 ) ; c, x( x + y ) – 5x – 5y.
TRẢ LỜI:
a, 5x – 20y = 5 ( x – 4y ) ;
b, 5x ( x – 1 ) – 3x ( x – 1 ) = x ( x – 1 ) ( 5 – 2 )
= 3x ( x – 1 )
c, x ( x + y ) – 5x – 5y = x( x+ y ) – ( 5x + 5y )
= x( x + y ) – 5 ( x + y ).
=(x+y)(x–5)
Bài3
Tình giá trị của các biểu thức sau:
a, x2 + xy + x tại x = 77 và y = 22 ;
b, x( x – y ) +y( y – x ) tại x = 53 và x = 3;
Trả lời:
a, x2 + xy + x = x ( x + y + 1 ) = 77 ( 77 + 22 + 1 ) = 77 . 100 = 7700.

b,x( x – y ) +y ( y – x ) = x ( x – y ) - y( x – y )
=(x–y)(x–y)
= ( x – y )2
Thay x = 53 , y = 3 ta có ( x – y )2 = ( 53 – 3 )2 = 2500
Bài 4
Chứng minh rằng: n2( n + 1 ) + 2n( n + 1 ) luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n
Bài giải.
Ta có
n2( n + 1 ) + 2n( n + 1 ) = n ( n + 1 )( n + 2 ) M6 vớ mọi n ∈ Z. (Vì đây là
tích của 3 số nguyên liên tiếp V)
BÀI TẬP TỰ GIẢI:
Bài 1. 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
a, 3x ( x – a ) + 4a ( a – x ) .
12


b, 2x ( x + 1 ) – x – 1
c, x2 ( y2 + z ) + y3 + yz
d, 3x2 ( x + 1 ) – 5x ( x + 1 )2 + 4 ( x + 1 )
Bài 1. 2 . Đánh dấu x vào câu trả lời đúng nhất
KHI RÚT GỌN BIỂU THỨC: ( x – 1 ) ( x2 + x + 1 ) – x ( x – 1 )( x + 1 )
Các bạn Tuấn, Bình, Hương thực hiện như sau:
TUẤN: ( x – 1 ) ( x2 + x + 1 ) – x ( x – 1 )( x + 1 )
= x 3 – 1 - x ( x 2 – 1 ) = x 3 – 1 - x3 + x = x – 1 .
BÌNH: ( x – 1 ) ( x2 + x + 1 ) – x ( x – 1 )( x + 1 )
= x 3 + x 2 + x – x 2 – x – 1 – ( x2 – x ) ( x + 1 )
= x3 – 1 – ( x3 + x2 –x2 – x ) = x3 – 1 – x3 + x = x – 1
HƯƠNG: ( x – 1 ) ( x2 + x + 1 ) – x ( x – 1 )( x + 1 )
2
= ( x – 1 )  x + x + 1 – x ( x + 1 ) 

= ( x – 1 ) ( x2 + x + 1 – x 2 – x )
=(x–1). 1=x–1
Bạn nào thực hiện đúng:
A.
Tuấn
C.
Hương
B.
Bình
D.
Cả ba bạn
2 . PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC
CÂU HỎI: Nội dung cơ bản của phương pháp dùng hằng đẳng thức là gì?
TRẢ LỜI: Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức nào đó thì có thể dùng hằng
đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành một tích các đa thức
Bài 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x2 − 4x + 4 ;
b) 8x3 + 27y3
;
c) 9x2 − (x −y)2
TRẢ LỜI:
a)
x2 − 4x + 4 = (x −2)2
b)
8x3 + 27y3 = (2x)3 + (3y)3 = (2x + 3y) [(2x)2 −(2x)(3y) + (3y)2]
= (2x + 3y) (4x2 − 6xy + 9y2)
c)
9x2 − (x −y)2 = (3x)2 − (x −y)2 = [ 3x − (x −y)] [3x + (x − y)]
= (3x −x + y) (3x + x −y) = (2x + y) (4x − y)

Bài 2
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a, 9x2 + 6xy + y2 ; b, 4x2 – 25 ; c, x6 – y6 ; d, ( 3x + 1 )2 – (x +1 )2
trả lời:
a, 9x2 + 6xy + y2 = ( 3x )2 + 2 . 3x. y + y2
= ( 3x + y )2
b, 4x2 – 25 = (2x )2 – 52 = ( 2x – 5 )( 2x + 5 ).

13


c, x6 – y6 = ( x2 )3 – ( y2 )3 = ( x2 – y2 ) ( x4 + x2 y2 + y4 )
= ( x + y) ( x – y ) ( x4 + x2 y2 + y4 )
Bài 3
Tìm x, biết:
3
a, x – 0,25x = 0 ; b, x2 – 10x = - 25.
Trả lời:
a, x3 – 0,25x = 0 ⇔ x ( x2 – 0,25 ) = 0 ⇔ x ( x – 0,5)( x + 0,5 ) = 0
⇔ x=0
Hoặc x – 0,5 = 0 ⇔ x = 0,5.
Hoặc x + 0,5 = 0 ⇔ x = - 0,5.
b, x2 – 10x = - 25 ⇔ x2 – 10 x + 25 = 0
⇔ ( x – 5 )2 = 0.
⇔ x=5.
BÀI TẬP TỰ GIẢI:
Bài 1. 2: Phân tích thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức:
a, x2 + x + y2 + y + 2xy
b, - x2 + 5x + 2xy – 5y – y2
c, x2 – y2 + 2x + 1

d, x2 + 2xz – y2 + 2ty + z2 – t2

14


Buổi 6 : ÔN TẬP HÌNH THOI - HÌNH VUÔNG
I. Mục tiêu cần đạt:
1. Kiến thức: Học sinh nắm vững định nghĩa, tính chất của hình thoi,hình vuông, hai
tính chất đặc trưng của hình thoi (hai đường chéo vuông góc và là các đường phân
giác của góc hình thoi). Nắm được bốn dấu hiẹu nhận biết hình thoi.
2. Kĩ năng: Học sinh biết dựa vào hai tính chất đặc trưng để vẽ được hình thoi,
nhận biết được tứ giác là hình thoi qua các dấu hiệu của nó.
3. Thái độ : Có ý thức liên hệ với các hình đã
II- Chuẩn bị:
GV: Phấn màu máy tính bỏ túi.
HS: bảng phụ
III- Tiến trình bài giảng:
1. Ổn định tổ chức:
2. Kiểm tra bài cũ:
3. Bài mới:
Hoạt động của thầy và trò
Nội dung
Hoạt động1: Lý thuyết
I. Lý thuyết:
GV: Yêu cầu học sinh nhắc lại nội
*Định nghĩa hình thoi.
dung định nghĩa hình thoi,hình vuông. +Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng
nhau.
HS: Thực hiện theo yêu cầu của giáo
*Định lí hình thoi.

viên.
+Trong hình thoi.
GV: Hình thoi,hình vuông có đầy đủ
-Hai đường chéo vuông góc với nhau.
tính chất của những hình nào?
- Hai đường chéo là các đường phân giác
của các góc của hình thoi.
HS: Trả lời.
*Định nghĩa hình vuông.
+Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và
có bốn cạnh bằng nhau.
II. Bài tập:
Hoạt động2: Bài tập
Baứi taọp
Baứi taọp 84 (sgk/109):
A
84
GV: Nêu nội dung bài 84.
F
(sgk/109):
E
HS : Lắng nghe và hoạt động theo a) Tửự giaực
B
C
AEDF
nhóm bàn.
D
GV: Gọi đại diện nhóm lên bảng thực laứ HBH
(theo ủũnh nghúa)
hiên.

b) Khi D laứ giao ủieồm cuỷa tia phaõn
HS : Nhóm khác nêu nhận xét.
giaực AÂ vụựi caùnh BC, thỡ AEDF laứ
Baứi 87(sgk/110):
hỡnh thoi.
HS : Nêu nội dung bài 84.
c) ∆ABC vuoõng taùi A thỡ: hỡnh bỡnh
haứnh AEDF laứ hỡnh chửừ nhaọt.
GV: Yêu cầu cá nhân quan sát hình vẽ Baứi 87(sgk/110):
trong sách giáo khoa để tìm tập hợp
a) Taọp hụùp caực HCN laứ taọp hụùp con
các hình,giao của tập hợp.
cuỷa taọp hụùp caực HBH, Hỡnh thang.
HS : Thực hiện theo yêu cầu của giáo b) Taọp hụùp caực hỡnh thoi laứ taọp hụùp
viên và đưa ra câu trả lời.
con cuỷa taọp hụùp caực HBH, Hỡnh thang.
15


Baứi 89 (sgk/110):
µ = 900
Δ ABC có A
MB = MC
GT M và E đ/x qua D
DA = DB
a. CMR: E đ/x với
qua AB.
b. AEMC và
AEBM là hình gì?
KL c. BC = 4cm ;

CAEBM = ?
d. Δ ABC cóđ/k gì?
AEBM
*Muốnthì
chứng
minhlàEhv
đối xứng với M
qua AB ta cần chứng minh mấy yếu tố.
HS: Hai yếu tố DM = DE
ME ⊥ AB
*Muốn chứng minh ME ⊥ AB ta làm
ntn?
HS: Ta dựa vào tính chất đường trung
bình.
GV: Tứ giác AEMC là hình gì? vì
sao? tại sao?
HS: Thực hiện.

c) Giao cuỷa taọp hụùp caực HCN vaứ taọp
hụùp caực Hỡnh thoi laứ taọp hụùp caực
hỡnh vuoõng.
Baứi 89 (sgk/110):

a. Tacó: DM = DE (gt) (1) mặt khắc DM là
đường trung bình của Δ ABC nên DM//AC
mà AC ⊥ AB ⇒ DM ⊥ AB (2)
Từ (1) và (2) C E và M đ/x nhau qua AB.
b. Tứ giác AEMC là h. b. h vì;
DM =

1
AC ; DM // AC (CM câu a)
2

⇒ EM = AC ; EM //AC (vì EM = 2DM)

Vậy AEMC là h. b. h.
*AEBM là hình thoi vì.
AB và EM cắt nhau tại trung điểm mỗi
đường và AB ⊥ EM.
c. Chu vi của tứ giác AEBM là:

GV: Căn cứ vào hai đường chéo Ab và C = 4 . BM = 4 . BC
2
ME để kết luận AEBM là hình gì?
C = 2. BC = 8 cm
0
·
d. Để AEBM là hình vuông thì AMB=90
HS: Thực hiện.
⇒ AM ⊥ BC mặt khác AM là trung tuyến.
GV: Chu vi của hình thoi là tổng của 4 Vậy Δ ABC phải là hình vuông cân tại A
cạnh bằng nhau.
Học sinh vẽ hình
GV: Yêu cầu học sinh thực hiện.

- HS trình bày :
Ta có PQ là đường trung bình của ∆ BED
=> PQ = BD/2
Tương tự : MN = BD/2 ; NP = CE/2; MQ =

*Để AFBM là hình vuông thì hình thoi CE/2 mà BD = CE => PQ = MN = NP =
phải có một góc vuông M.
MQ => MNPQ là hình thoi.
b. ∠ QPN = ∠ BAC ( Góc có cạnh tương
Δ
Vậy ABC vuông phải thêm điều
ứng song song )
kiện gì?
Gọi MP cắt AB tại R
=> ∠ ARM = ∠ QPM ( đồng vị )
HS: Đó là Δ vuông cân.
MNPQ là hình thoi => PM là phân giác=>
∠ QPM = ∠ QPN/2
16


Bài 1. GV đưa đề bài và hình vẽ lên
bảng phụ
Trên cạnh AB, AC của tam giác ABC
lấy D, E sao cho BD=CE. Gọi M, N,
P, Q là trung điểm của BC,CD,DE,EB
a. Tứ giác MNPQ là hình gì, vì sao ?
b. Phân giác của góc A cắt BC tại F,
chứng minh PM//AF
c. QN cắt AB, AC tại I,K. Tam giác
AIK là tam giác gì? vì sao?
- GV hướng dẫn HS vẽ hình
- Sử dụng t/c đường trung bình của
tam giác và dấu hiệu tứ giác có 4 cạnh
bằng nhau để chỉ ra MNPQ là hình

thoi
- GV hướng dẫn HS chứng minh từng
ý của phần b.
. Sử dụng tam giác có đường phân
giác là đường cao là tam giác cân

=> ∠ ARM = ∠ QPM= ∠ QPN/2= ∠ BAC/2
Mặt khác AF là phân giác => ∠ BAF = ∠
BAC/2
Vậy ∠ ARM= ∠ BAF => AF//MR =>
MP//AF.
c. MNPQ là hình thoi => NQ ┴ MP
nhưng AF//MP=>NQ┴AF tức IK┴AF
∆AIK có AF là đường cao, là phân giác
=>∆AIK là tam giác cân.
A

R

D
P
E
I

Q

N

K

B
F M

C

4. Củng cố:
GV: Hệ thống lại nội dung kiến thức đã thực hiện.
HS: Nhắc lại định nghĩa,định lí của hình thoi và hình vuông.
5. Hướng dẫn học ở nhà.
- Xem lại các bài tập đã chữa.
- Học thuộc định nghĩa,định lí của hình thoi và hình vuông.

17


Buổi 7 : ÔN TẬP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
MỤC TIÊU :
Sau khi học xong chủ đề này, HS có khả năng:
−Biết thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử
−Hiểu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thường dùng.
−Vận dụng được các phương pháp đó để giải các bài toán về phân tích đa thức
thành nhân tử, tìm nghiệm của đa thức, chia đa thức, rút gọn phân thức
1. PHƯƠNG PHÁP NHÓM NHIỀU HẠNG TỬ.
Câu hỏi : Nội dung của phương pháp nhóm nhiều hạng tử là gì?
TRẢ LỜI: Nhóm nhiều hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt
được nhân tử chung hoặc dùng được hằng đẳng thức đáng nhớ .
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a)
x2 − 2xy + 5x − 10y ; b) x (2x − 3y) − 6y2 + 4xy ; c) 8x3 + 4x2 − y3 − y2
TRẢ LỜI:

a) x2 − 2xy + 5x − 10y = (x2 − 2xy) + (5x − 10y) = x(x − 2y) + 5(x − 2y)
= (x −2y) (x + 5)
b)
x (2x −3y) −6y2 + 4xy = x(2x −3y) + (4xy −6y2) = x(2x − 3y) + 2y(2x − 3y) =
= (2x −3y) (x + 2y)
c) 8x3 + 4x2 −y3 −y2 = (8x3 − y3) + (4x2 − y2) = (2x)3 −y3 + (2x)2 −y2
= (2x −y) [(2x)2 + (2x)y + y2] + (2x −y) (2x + y)
= (2x −y)(4x2+ 2xy + y2) + (2x −y) (2x +y)
= (2x −y (4x2 + 2xy + y2 + 2x + y)
Bài 2
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a,5x – 5y + ax – ay ;
b, a3 – a2x – ay + xy ;
c, xy( x + y ) +yz( y + z ) + xz( x + z ) + 2xyz;
Trả lời:
a,5x – 5y + ax – ay = (5x – 5y ) + ( ax – ay)
= 5( x – y ) + a ( x – y ).
= ( x – y ) ( 5 + a );
b, a3 – a2x – ay + xy = (a3 – a2x ) – ( ay - xy ) = a2 ( a – x ) – y ( a – x )
= ( a – x )(a2 – 1 )
= ( a – x )( a + 1 ) ( a – 1 )
c, xy( x + y ) +yz( y + z ) + xz( x + z ) + 2xyz
= xy ( x + y ) + xyz + yz ( y + z ) + xyz + xz ( x + z ) + xyz
=   xy ( x + y )  + xyz  +  yz ( y + z )  + xyz  +  xz ( x + z )  + xyz 
= xy ( x + y + z ) + yz ( x + y + z ) + xz ( x + y + z )

18


= ( x + y + z ) ( xy + yz + xz ).

Bài tập tự giải:
Bài 1. 3 . Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng cách nhóm hạng tử:
a, x4 – x3 – x + 1.
b, x2y + xy2 – x – y
c, ax2 + ay – bx2 – by
d, 8xy3 – 5xyz – 24y2 + 15z
2. PHÂN TÍCH BẰNG CÁCH PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP
Câu hỏi : Khi cần phân tích một đa thức thành nhân tử, chỉ được dùng riêng rẽ từng
phương pháp hay có thể dùng phối hợp các phương pháp đó?
TRẢ LỜI: Có thể và nên dùng phối hợp các phương pháp đã biết
Bài 1 :
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ:
3
2
a) a − a b − ab2 + b3 ; b) ab2c3 + 64ab2 ; c) 27x3y −a3b3y
TRẢ LỜI: :
a) a3 − a2b − ab2 + b3 = a2 (a − b) − b2 (a − b) = (a − b) (a2 −b2)
= (a −b)(a −b)(a + b) = (a − b)2(a + b)
b) ab2c3 + 64ab2 = ab2(c3 − 64) = ab2(c3 + 43) = ab2(c + 4)(c2 −4c + 16)
c) 27x3y − a3b3y = y(27 −a3b3) = y([33 −(ab)3]
= y(3 −ab) [32 + 3(ab) + (ab)2] = y(3 − ab) (9 + 3ab + a2b2)’
Bài 2
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a, x3 – x + 3x2 y + 3x y2 +y3 – y ;
b, 5 x2 – 10 xy + 5y2 – 20 z2
TRẢ LỜI:
a, x3 – x + 3x2 y + 3x y2 +y3 – y = ( x3 + 3x2 y + 3x y2 +y3 ) – ( x + y )
= ( x + y )3 – ( x + y )
2
= ( x + y ) ( x + y ) − 1

=(x+y)(x+y–1)(x+y+1)
2
2
2
b, 5 x – 10 xy + 5y – 20 z = 5 ( x2 – 2xy + y2 – 4z2 )
2
2
= 5 ( x – 2xy + y

)

– 4z 2 

= 5 ( x – y ) – 4z  = 5 ( x – y – 2z ) ( x – y + 2z )
3. PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ, THÊM BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ
Câu hỏi : Ngoài 3 phương pháp thường dùng nêu trên, có phương pháp nào khác
cũng được dùng để phân tích đa thức thành nhân tử không?
TRẢ LỜI: Còn có các phương pháp khác như: phương pháp tách một hạng tử
thành nhiều hạng tử, phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
Bài 1 : Phân tích thành nhân tử
2

2

19


a) 2x2 − 3x + 1
;
b) y4 + 64

Lời giải :
a)
2x2 − 3x + 1 = 2x2 − 2x −x + 1 = 2x(x − 1) − (x −1) = (x −1) (2x −1)
b)
y4 + 64 = y4 + 16y2 + 64 − 16y2 = (y2 + 8)2 −(4y)2
= (y2 + 8 − 4y) (y2 + 8 + 4y)
Bài 2 :
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a, x2 + 5x – 6 ; b, 2x2 + 3x – 5
TRẢ LỜI:
a, x2 + 5x – 6 = x2 – x + 6x – 6
= ( x2 – x ) + ( 6x – 6 )
=x(x–1)+6(x–1)
=(x–1)(x+6)
b, 2x2 + 3x – 5 = 2x2 – 2x + 5x – 5 = ( 2x2 – 2x ) + ( 5x – 5 )
= 2x ( x – 1 ) + 5 ( x – 1 )
= ( x – 1 ) ( 2x + 5 )
Bài 3
Tìm x, biết:
a, 5x ( x – 1 ) = x – 1 ; b, 2 ( x + 5 ) – x2 – 5x = 0
TRẢ LỜI:
a, 5x ( x – 1 ) = x – 1 ⇔ 5x ( x – 1 ) – ( x – 1 ) = 0
⇔ ( x – 1 ) ( 5x – 1 ) = 0
⇔ (x–1)=0 ⇔ x=1
Hoặc ( 5x – 1 ) = 0 ⇔ x = 1/5.
Bài tập tự giải:
Bài 5. 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử
a, x8 + x4 + 1
b, x8 + 3x4 + 4
4 . VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ ĐỂ LÀM CÁC

DẠNG TOÁN
CÂU HỎI: Việc phân tích đa thức thành nhân tử có thể có ích cho việc giải một số
loại toán nào?
TRẢ LỜI: Việc phân tích đa thức thành nhân tử có thể có ích cho việc giải các bài
toán về tìm nghiệm của đa thức, chia đa thức, rút gọn phân thức
Bài 1 : Giải các phương trình
a) 2(x + 3) −x(x + 3) = 0 ; b) x3 + 27 + (x + 3) (x −9) = 0 ; c) x2 + 5x = 6
TRẢ LỜI:
a) Vì 2 (x + 3) − x(x + 3) = (x + 3) (2 − x) nên phương trình đã cho trở thành
(x + 3)(2 −x) = 0. Do đó x + 3 = 0 ; 2 −x = 0, tức là x = −3 ; x = 2
phương trình có 2 nghiệm x1 = 2 ; x2 = −3
20


b) Ta có x3 + 27 + (x + 3)(x − 9) = (x + 3)(x2 −3x + 9) + (x + 3)(x − 9)
= (x + 3)(x2 − 3x + 9 + x −9) = (x + 3)(x2 − 2x) = x(x + 3)(x −2)
Do đó phương trình đã trở thành x (x + 3)(x − 2) = 0. Vì vậy x = 0 ; x + 3 = 0 ; x − 2
= 0 tức là phương trình có 3 nghiệm: x = 0 ; x = −3 ; x = 2
c)
Phương trình đã cho chuyển được thành x2 + 5x −6 = 0. Vì x2 + 5x −6 =
x2 − x + 6x − 6 = x(x − 1) + 6(x − 1) = (x − 1)(X + 6) nên phương trình đã cho trở
thành (x − 1)(x + 6) = 0. Do đó x −1 = 0 ; x + 6 = 0 tức là x = 1 ; x = −6
Bài 2 : Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia
thành nhân tử:
a) (x5 + x3 + x2 + 1) : (x3 + 1) ; b) (x2 − 5x + 6) : (x − 3) ; c) (x3 + x2 + 4): (x +2) Trả
lời:
a) Vì x5 + x3 + x2 + 1 = x3(x2 + 1) + x2 + 1 = (x2 + 1)(x3 + 1) nên
(x5 + x3 + x2 + 1) : (x3 + 1) = (x2 + 1)(x3 + 1) : (x3 + 1) = x2 + 1
b) Vì x2 − 5x + 6 = x2 −3x − 2x + 6 = x(x −3) −2(x − 3) = (x − 3)(x −2) nên
(x2 − 5x + 6) : (x −3) = (x −3)(x −2) : (x −3) = x −2

c) Ta có x3 + x2 + 4 = x3 + 2x2 −x2 + 4 = x2 (x + 2) −(x2 −4)
= x2 (x + 2) −(x − 2) (x + 2) = (x + 2)(x2 − x + 2)
Do đó (x3 + x2 + 4) : (x +2) = (x + 2)(x2 − x + 2) : (x + 2) = x2 − x + 2
Bài 3 : Rút gọn các phân thức
a)

( x − y (2 x − 3)
y 2 − xy

;

2 x 2 + xy − y 2
b) 2
2 x − 3 xy + y 2

2 x 2 − 3x + 1
; c) 2
x + x−2

TRẢ LỜI:
a)

( x − y (2 x − 3) ( x − y )(2 x − 3) ( x − y )(2 x − 3) 2 x − 3 3 − 2 x
=
=
=
=
y ( y − x)
− y( x − y)
−y

y
y 2 − xy

2
2
2 x 2 + xy − y 2
2 x + 2 xy − xy − y
2 x ( x + y ) − y ( x + y ) ( x + y )( 2 x − y ) ( x + y )
=
=
=
b) 2
2 =
2
2
2 x ( x − y ) − y ( x − y ) ( x − y )( 2 x − y ) ( x − y )
2 x − 3 xy + y
2 x − 2 xy − xy + y
2
2 x 2 − 3 x + 1 2 x − 2 x − x + 1 2 x( x − 1) − ( x − 1) ( x − 1)(2 x − 1) 2 x − 1
=
=
=
c) 2
= 2
.
x+2
x − x + 2 x − 2 x( x − 1) + 2( x − 1) ( x − 1)( x + 2)
x + x−2

BÀI TẬP NÂNG CAO.
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
x3 + 6x2 + 11x + 6
b, Hướng dẫn giải:
x3 + 6x2 + 11x + 6 = x3 + x2 + 5x2 + 5x + 6x + 6
= ( x3 + x2) + ( 5x2 + 5x ) + ( 6x + 6 )
= x2 ( x + 1 ) 5x ( x + 1 ) + 6 ( x + 1 )
= ( x + 1 ) ( x2+ 5x + 6 )
= ( x + 1 ) ( x2 + 2x + 3x + 6 )

21


2
= ( x + 1 )  ( x + 2x

)

+

(

3x + 6 ) 

= ( x + 1 )   x ( x + 2 ) + 3 ( x + 2 ) 
=(x+1)(x+2)(x+3)
Bài tập học sinh tự giải
BÀI 2: Tìm x biết:
a, x3 - 5x2 + 8x – 4 = 0;
b, (x2 + x ) ( x2 + x + 1 ) = 6

Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x3 + 6x2 + 13x – 42.

22


Buổi 8 : ÔN TẬP CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I- Mục tiêu cần đạt:
1. Kiến thức: Củng cố định nghĩa hai phân thức bằng nhau, tính chất cơ bản của
phân thức, qui tắc rut gọn phân thức, các phép toán về phân thức.
2. Kĩ năng: HS có kỹ năng vận dụng qui tắc rút gọn phân thức vào giải bài tập.
- Có kỹ năng vận dụng qui tắc đổi dấu.
3. Thái độ: Rèn luyện tư duy lô gíc ;lòng yêu thích bộ môn.
II. Chuẩn bị: GV: SGK+SBT +SGV.
III. Tiến trình bài giảng:
1. Ổn định tổ chức:
2. Kiểm trabài cũ:
HS1: Muốn rút gọn một phân thức ta làm thế nào?
HS2: Rút gọn phân thức sau:
3. Bài mới:
Hoạt động của thầy và trò
Hoạt động 1: Lý thuyết
GV: Yêu cầu học sinh nhắc lại định
nghĩa Hai phân thức bằng nhau.
GV: Phan thức có những tính chất
cơ bản nào?
GV: Để rút gọn phân thức ta làm
như thế nào
GV: Yêu cầu học sinh nhắc lại các
bước qui đồng mẫu thức nhiều phân

thức.

Hoạt động 2: Luyện tập
Bài11(sgk/40):
GV: Nêu nội dung bài 11sgk/40.
HS: Hoạt động theo nhóm bàn.

2 x2 + 2 x
x +1

Nội dung
I- Nhắc lại các kiến thức cơ bản
1. Đ/N hai phân thức bằng nhau
2. TC cơ bản của phân thức
3. Rút gọn phân thức
*Các bước qui đồng mẫu thức nhiều phân thức:
+Muốn qui đồng mẫu thức nhiều phân thức ta
có thể làm như sau.
- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm
mẫu thức chung.
- Tìm nhân tử phụ của mẫu thức.
- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân
tử phụ tương ứng.
II. Bài tập
Bài11(sgk/40):
12 x3 y 2 6 xy 2 .2 x 2 2 x 2
=
=
a.
18 xy 5 6 xy 2 .3 y 3 3 y 3

3

GV: Gọi học sinh đại diện nhóm lên
bảng thực hiện.
HS: Nhóm khác nhận xét bài làm
trên bảng.
GV: Kiểm tra đánh giá lời giải.
HS: Nêu cách làm ý b.
Bài112(sgk/40):
HS: Đọc yêu cầu của bài tập 12

15 x( x + 5)
5 x( x + 5).3( x + 5) 2
=
b.
20 x 2 ( x + 5)
5 x.( x + 5).4 x

3( x + 5) 2
4x

=

Bài112(sgk/40):
3 x 2 − 12 + 12 3( x 2 − 4 x + 4)
=
=
x4 − 8x
x ( x 3 − 8)

23


GV: Gọi một học sinh ên bảng làm
bài tập 12. a
HS: Dưới lớp nêu nhận xét.
GV: Gợi ý: tử và mẫu có nhân tử
chung không ?
+Sau khi đặt nhân tử chung xuất
hiện hằng đẳng thức nào ?
HS : Nêu cách làm ý b,về nhà tự
trình bày
Bài 10(SBT):
HS: Đọc nội dung bài 10 SBT.

3( x 2 − 4 x + 4)
3
=
x  x3 − ( 2) 


2
3( x − 2)
3( x − 2)
=
=
2
x( x − 2)( x + 2 + 4) x ( x 2 + 2 x + 4)
7 x 2 + 14 x + 7 7( x 2 + 2 x + 1)
=

b.
3 x 2 + 3x
3x ( x + 1)
7( x + 1) 2 7( x + 1)
=
=
3 x( x + 1)
3x

Bài 10(SBT):
CM đẳng thức sau:
x 2 y + 2 xy 2 + y 3 xy + y 2
=
a. Ta có vế trái bằng:
2 x 2 + xy − y 2
2x − y
y ( x 2 + 2 xy + y 2 )
y( x + y)2
= 2
2 x 2 + xy − y 2
2 x + 2 xy − xy − y 2

*Để chứng minh được đẳng thức
này ta làm thế nào?

y ( x + y)2
yx + y 2
=
= VP
=>ĐPCM

( x + y )(2 x − y ) 2 x − y

HS: Nêu cách làm. Trả lời các bước
thực hiện.

Bài19(sgk/43): Qui đồng mẫu thức.

GV: Cùng học sinh thực hiện.

MTC = x2-1

Bài19(sgk/43):
GV: Yêu cầu học sinh đọc nội dung
bài 19.
HS: Thực hiện theo yêu cầu của
giáo viên.
*Muốn tìm MTC ta làm như thế
nào?
HS: Trả lời.
GV: Yêu cầu học sinh hoạt động
theo nhóm bàn.
HS: Thực hiện theo yêu cầu của
giáo viên.
GV: Gọi đại diện nhóm lên bảng
thực hiện.
HS: Nhóm khác nêu nhận xét.
GV: Sửa sai nếu có.

b. x2 +1 vaứ

=

x4
x2 −1

( x 2 + 1)( x 2 − 1) x 4
= 2
x +1 =
x2 −1
x
3
x
;
c. 3
2
x − 3 x y + 3 xy 2 − y 3 y 2
2

−1
x4
;
−1 x2 −1
x
− xy

MTC = y(x - y)3
x3
x3
* 3
=

x − 3 x 2 y + 3 xy 2 − y 3 ( x − y )3
x3 . y
x3 y
=
( x − y )3 . y y ( x − y )3
x
x
−x
* 2
=
=
y − xy y ( y − x) y ( x − y )
=

=

− x( x − y ) 2
− x( x − y )2
=
y ( x − y )( x − y ) 2
y ( x − y )3

Bài25 (sgk/47):
a)

5
3
x
+
+ 3

2
2
2 x y 5 xy
y

=

25 y 2 + 6 xy + 10 x 3
10 x 2 y 3

Bài25 (sgk/47):

24


HS: Đọc thông tin bài 25.
*Muốn cộng các phân thức có mẫu
thức khác nhau ta làm như thế nào?
HS: Trả lời.
GV: Gọi hai học sinh lên bảng thực
hiện.
HS: Dưới lớp cùng làm và đửa ra
nhận xét bài làm của bạn.

3x + 5
25 − x
3x + 5
25 − x
+
=

+
2
x − 5 x 25 − 5 x x( x − 5) 5(5 − x)
3x + 5
x − 25 5(3x + 5) + x( x − 25)
=
+
=
x ( x − 5) 5( x − 5)
5 x( x − 5)

c)

=

15 x + 25 + x 2 − 25 x x 2 − 10 x + 25
=
5 x( x − 5)
5 x( x − 5)

( x − 5) 2
x−5
=
=
5 x( x − 5)
5x

Bài26(sgk/47):
Thời gian xúc 5000cm3đầu tiên là:
5000

(ngày). Phần việc còn lại là:
x

GV: Sửa sai nếu có.

11600 – 5000 = 6600 (m3)
Năng suất làm việc ở phần việc còn lại là: x +
25 ( m3/ngày)
Thời gian làm nốt phần việc còn lại là:

HS: Hoàn thiện vào vở.
Bài26(sgk/47):
GV: Nêu nội dung bài 26.

6600
(ngày).
x+25

HS: Lắng nghe và tóm tắt đầu bài.

Thời gian làm việc để hoàn thành công việc:
500 6600
+
(ngày)
x x+25

*Bài toán cho ta biết những gì ? Cần
Ta có:
tính những gì?

5000 6600 5000(x+25)+6600x
+
=
x
x+25
x(x+25)
HS: Trả lời.
11600x+125000
=
3
x(x+25)
*Gọi thời gian xúc 5000cm đầu tiên
5000 6600
là gì?
+
Với x = 250 biểu thức
có gia trị
x
x+25
HS: Trả lời.

bằng

GV: Yêu cầu học sinh các nhóm
hoạt động theo nhóm bàn.

5000 6600
+
= 44 (ngày)
250 250+25

HS: Thực hiện và cử đại diện nhóm
lên bảng làm.
GV: Nhận xét sửa sai nếu có.
HS: Hoàn thiện vào vở.
4. Củng cố:
GV: Hệ thống lại nội dung kiến thức của bài.
HS chọn câu trả lời đúng:

−4 x( x − 2)
20(2 − x)

= A. -x; B. -

x
x
; C. ; D. x+5
10
5

Đáp án: câu C
5. Hướng dẫn học ở nhà:
-Xem bài tập đã làm trên lớp
-Làm bài tập 13 SGK/40

25