De cuong on thi (1)

Buổi …… ngày ……………

Nguyễn Thanh Sơn – 0983.282.208

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC LỚP 11
Thời gian: ………………………
Họ tên học sinh: …………………………………………….. ………………………….
A. LÝ THUYẾT
I. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
1. CÔNG THỨC CỘNG

2. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb

cos2a = cos2a – sin2a

cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb

= 2cos2a –1

sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

= 1 – 2sin2a

sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb

sin2a = 2.sina.cosa

tan(a + b) =

tan2a =

tan(a - b) =
3. CÔNG THỨC HẠ BẬC cos2a =

1 + cos 2a
2

sin2a =
4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
cosa + cosb = 2.cos .cos
cosa - cosb = -2.sin .sin
sina + sinb = 2.sin .cos
sina - sinb = 2.cos .sin

tan a + tan b =
tan a − tan b =

sin(a + b)
cosacosb

sin(a − b)
cosacosb

5. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
cosa.cosb = [cos(a – b) + cos(a + b)]
sina.sinb = [cos(a – b) - cos(a + b)]

sin acosb=
cosasinb=

1
[ sin( a + b) + sin(a − b) ]
2

1
[ sin(a + b) − sin(a − b) ]
2

II. CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1. Phương trình sinx=a.( -1≤ a ≤ 1)

1


Buổi …… ngày ……………

Nguyễn Thanh Sơn – 0983.282.208

 x = arcsina+k2π
;k∈Z
 x = π − arcsina+k2π

sinx = a ⇔ 

 x = α +k2π
; k ∈ Z ( a = sinα)
 x = π − α +k2π

+sinx = sinα ⇔

sinx = 0 ⇔ x = kπ; k ∈ Z
sinx = 1 ⇔ x = + k2π; k ∈ Z
sinx = -1 ⇔ x = -+ k2π; k ∈ Z
2. Phương trình cosx=a.( -1≤ a ≤ 1)
 x = arccosa+k2π
;k∈Z
 x = −arccosa+k2π

cosx = a ⇔

 x = α +k2π
; k ∈ Z ( a = cosα)
 x = −α +k2π

+cosx = cosα ⇔ 

cosx = 0 ⇔ x = + kπ; k ∈ Z
cosx = 1 ⇔ x = k2π; k ∈ Z
cosx = -1 ⇔ x = π+ k2π; k ∈ Z
3. Phương trình tanx=a.
π

TXĐ: ¡ \  + kπ , k ∈ ¢ 
2



+ t anx=a ⇔ x=arctana+kπ ,k ∈ ¢

+ tanx=tanα ⇔ x=α +kπ ,k ∈ ¢

π
+ kπ , k ∈ ¢
4
π
tanx=-1 ⇔ x=- + kπ , k ∈ ¢
4
t anx=0 ⇔ x=kπ , k ∈ ¢
tanx=1 ⇔ x=

4. Phương trình cotx=a.
TXĐ: ¡ \ { kπ , k ∈ ¢}
+ co t x=a ⇔ x=arccota+kπ ,k ∈ ¢

+ cotx=cotα ⇔ x=α +kπ ,k ∈ ¢

π
+ kπ , k ∈ ¢
4
π
cotx=-1 ⇔ x=- + kπ , k ∈ ¢
4
π
co t x=0 ⇔ x= + kπ , k ∈ ¢
2
cotx=1 ⇔ x=

III. CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP.
1. Phương trình a.sinx+bcosx=c ( a 2 + b 2 ≠ 0 )

⇔

đặt:

a
a 2 + b2

s inx+

b
a 2 + b2

cosx=

c
a2 + b2

a

 cosα = 2
a + b2


b
sin α =
2

a + b2
2

Buổi …… ngày ……………

Nguyễn Thanh Sơn – 0983.282.208

phương trình trở thành: s inxcosα + cosx sin α =
⇔ sin( x + α ) =

c
a 2 + b2

c
a + b2
2

*Chú ý
+Phương trình có nghiệm khi c 2 ≤ a 2 + b 2
+Nếu a.b ≠ 0, c = 0 thì: a sin x + b cos x = 0 ⇔ tan x = −

b
a

2. Phương trình : asin 2 x + b s inxcosx+ccos 2 x = 0 (1)
+Nếu a = 0: b s inxcosx+ccos 2 x = 0
cosx=0

⇔ cosx(bsinx+ccosx)=0 ⇔ 
 bsinx+ccosx=0

+Nếu c = 0: asin 2 x + b s inxcosx=0

sinx=0

⇔ sinx(asinx+bcosx)=0 ⇔ 
asinx+bcosx=0

+Nếu a ≠ 0, c ≠ 0, cos x ≠ 0 : (1) ⇔ a

sin 2 x
s inxcosx
cos 2 x
+
b
+
c
=0
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x

⇔ a tan 2 x + b t anx+c=0
B. BÀI TẬP
Bài 1. Giải các phương trình

(

)

2sin x − 300 = 2

(

)

π
2π 


sin  2x + ÷ = cos  x − ÷
3
3 



(

)

sin x − 450 = cos2x

tan 2x − 150 − 1 = 0

π

sin  2x + ÷ = cos2x
3


tan 2x + cot 3x = 0

 2x + π 

2 2 sin 
÷= 2
 3 

π

2 3cos  3x + ÷− 3 = 0
3


π
 6π


tan  − 3x ÷.cot  2x + ÷ = 0
4
 5



π

tan  3x + ÷. ( cos2x − 1) = 0
2


π

tan  3x + ÷.cot ( 5x + 1) = 0
2


2π 

sin 2x = cos  x − ÷
3 

π

3 tan  2x + ÷ = −3
3

 3π

3cot  − x ÷+ 3 = 0
 2



π 
π


 cos  3x + 2 ÷+ 1÷.sin  x + 5 ÷ = 0

 



π


6cos  4x + ÷+ 3 3 = 0
5


π 1

cos  x − ÷ =
3 2


π
2π 


sin  3x + ÷− cos  x +
÷= 0
4
3 



Bài 2. Giải các phương trình (Dạng: at2 + bt + c = 0)

2sin 2 x + 3sinx − 5 = 0

6cos 2 x − cosx − 1 = 0
3

2cos 2 2x + cos2x = 0

Buổi …… ngày ……………

(

cot 2 2x + 3cot 2x + 2 = 0

tan 2 x +

tan x + cotx = 2

cosx + 3cos

Nguyễn Thanh Sơn – 0983.282.208

)

3 − 1 tan x − 3 = 0
x
+2=0
2

6cos 2 x + 5sinx − 7 = 0
cos2x + cosx + 1 = 0

Bài 3. Giải các phương trình

cos2x − 3cosx = 4cos 2
2cos 2 2x − 2

(

x
2

6sin 2 x − 2sin 2 2x = 5

)

6sin 2 3x − cos12x = 4

5 ( 1 + cos x ) = 2 + sin 4 x − cos 4 x

3 + 1 cos2x + 3 = 0

7cos x = 4cos3 x + 4sin 2x

4sin 3 x + 3 2 sin2x = 8sinx

4
+ t anx = 7
cos 2 x

cos 2x + sin 2 x − 2cos x + 1 = 0

sin 2x + 4sinx cos 2 x = 2sin x

3sin 2 2x + 7cos 2x − 3 = 0

Bài 4. Giải phương trình. (Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx)

2cos 2 x + 5sin x cos x + 6sin 2 x − 1 = 0

cos 2 x − 3 sin 2x = sin 2 x + 1 = 0

cos 2 x − sin x cos x − 2sin 2 x − 1 = 0

cos 2 x + 3 sin x cos x − 1 = 0

2 2 ( sinx + cos x ) cos x = 3 + 2cos 2 x

4sin 2 x + 3 3 sin 2x − 2cos 2 x = 4

3sin 2 x + 5cos 2 x − 2cos 2x − 4sin 2x = 0

3sin 2 x − 3 sin x cos x + 2cos 2 x = 2

tan x + cot x = 2 ( sin 2x + cos 2x )

3cos 4 x + 4sin 2 x cos 2 x + sin 4 x = 0

4cos3 x + 2sin 3 x − 3sin x = 0

cos3 x − 4sin 2 x − 3cos x sin 2 x + sin x = 0

cos3 x − sin 3 x = cos x + sin x

sin 2 x − 3sin x cos x + 1 = 0

cos3 x + sin x − 3sin 2 x cos x = 0

4sin 3 x + 3cos 2 x − 3sin x − sin 2 x cos x = 0
2cos3 x = sin 3x

(

)

2sin 2 x + 6sin x cos x + 2 1 + 3 cos 2 x − 5 − 3 = 0
Bài 5. Giải các phương trình.(Dạng: asinx + bcosx = c)

sin 3x − cos3x =

3
2

4sin x + cos x = 4

3sin 5x − 2cos5x = 3
sin 2x + cos 2x = 1

sin x ( 1 − sin x ) = cos x ( cos x − 1)
3 sin 3x − cos3x = 2

sin 2 x + sin 2x = 3cos 2 x

sin x + cos x = 2 2 sin x cos x
4

sin x − 3 cos x = 1

Buổi …… ngày ……………

Nguyễn Thanh Sơn – 0983.282.208

sin8x − cos6x = 3 ( sin 6x + cos8x )
Bài 6. Tìm nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho.

sin 2x = −

π
3

với −π < x < π
cos  x − ÷ =
3
2



1
với 0 < x < π
2

(

)

tan 2x − 150 = 1

cot 3x = −

với −1800 < x < 900

1
π
với − < x < 0
3
2

Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.

π

y = 2cos  x − ÷− 1
3


1
y = 5 + cos x sinx
2

π

y = 3 − cos  2x − ÷ + 2
4


y = 6 − 2cos3x

Bài 8. Tìm TXĐ

y=

1 − cosx
sin 2x

2π 

y = 6 − cot  3x +
÷
3 


y=

1 − cos3x
1 + cos3x

π

y = − tan  x − ÷
6


Bài 9. Giải các phương trình (Dạng đối xứng và phản đối xứng)

2 ( sin x + cos x ) + 6sin x cos x − 2 = 0

sin x + cos x − 4sin x cos x − 1 = 0

sin x cos x − 2 ( sin x + cos x ) + 1 = 0

6 ( sin x − cos x ) − 1 = sin x cos x

sin x − cos x = 2 6 sin x cos x

2 2 ( sin x − cos x ) = 3sin 2x

2sin 2x + 3 3 ( sin x + cos x ) + 8 = 0

sin x − 2sin 2x =

1
− cos x
2

Bài 10. Giải các phương trình

3
2
cos x + cos 2x + cos3x + cos 4x = 0

sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x =

cos11x.cos3x = cos17x cos9x

sin18x.cos13x = sin 9x.cos 4x

cos 2 x + cos 2 2x + cos 2 3x =

3
2

sin 3x − sin x + sin 2x = 0

5