- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 11
ham so luong giacphuong trinh luong giac
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (476.53 KB, 39 trang )
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo
dục”
Chương I:HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
PHẦN I: LÝ THUYẾT VÀ CÁC CÔNG THỨC
1/ Đường tròn lượng giác:
2/ Bảng giá trị lượng giác của một số cung
0
6
4
sin
0
1
2
2
2
2
cos
1
2
1
tan
0
cot
3
2
1
3
3
2
1
1
3
3
2
2
3
3
4
5
6
3
2
1
1
0
2
1
2
0
1
3
0
2
2
3
3
1
2
3
2
2
3
2
1
1
1
3
3
1
0
3/ Các cung có liên quan đặc biệt:
ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn
Trang 1
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo
dục”
�Bù nhau ( và
)
sin( ) sin
�Đối nhau ( và )
�Phụ nhau ( và
)
2
�
�
sin � � cos
�2
�
cos( ) cos
cos( ) cos
sin( ) sin
�
�
cos � � sin
�2
�
tan( ) tan
tan( ) tan
�
�
tan � � cot
�2
�
cot( ) cot
cot( ) cot
�
�
cot � � tan
�2
�
�Cung hơn kém k ( k Z ):
( và
2
�Cung hơn kém
2
)
�sin , k �2, �4,...
sin( k ) �
sin , k �1, �3,...
�
� �
sin �
� cos
� 2�
� cos , k �2, �4,...
cos( k ) �
cos , k �1, �3,...
�
� �
cos �
� sin
� 2�
tan( k ) tan , k Z
� �
tan �
� cot
� 2�
cot( k ) cot , k Z
� �
cot �
� tan
� 2�
4/ Công thức lượng giác cơ bản:
sin x
cos x
�sin 2 x cos 2 x 1
�tan x
1
� 2 1 tan 2 x
cos x
1
� 2 1 cot 2 x
sin x
Chú ý: tan x xác định với điều kiện: x
�cot x
cos x
sin x
�tan x.cot x 1 .
k , k Z
2
cot x xác định với điều kiện: x k , k Z .
5/ Công thức cộng:
ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn
Trang 2
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo
dục”
cos( x �y ) cos x cos y msin x sin y
sin( x �y) sin x cos y �cos x sin y
tan( x y )
6/ Công thức nhân đôi:
tan x tan y
tan x tan y
, tan( x y )
1 tan x.tan y
1 tan x tan y
sin 2 x 2sin x cos x
cos 2 x cos 2 x sin 2 x 2 cos 2 x 1 1 2sin 2 x
tan 2 x
2
7/ Công thức hạ bậc: cos x
2 tan x
1 tan 2 x
1 cos 2 x
1 cos 2 x
1 cos 2 x
2
2
; sin x
; tan x
2
2
1 cos 2 x
8/ Công thức biến tích thành tổng:
cos x cos y
1
cos( x y ) cos( x y )
2
sin x sin y
sin x cos y
1
cos( x y ) cos( x y)
2
1
sin( x y ) sin( x y)
2
9/ Công thức biến tổng thành tích:
�cos x cos y 2 cos
x y
x y
cos
2
2
�cos x cos y 2sin
x y
x y
sin
2
2
�sin x sin y 2sin
x y
x y
cos
2
2
�sin x sin y 2 cos
x y
x y
sin
2
2
�tan x �tan y
sin( x �y )
cos x cos y
�cot x �cot y
sin( y �x )
sin x sin y
10/ Các công thức khác:
ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn
Trang 3
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo
dục”
1
�1
�
� �
cos x � 2 sin �x �
Dựa vào CT cộng, ta có: sin x cos x 2 � sin x
2
� 4�
�2
�
Tương tự, ta có:
� �
� �
sin x cos x 2 sin �x � 2 cos �x �,
� 4�
� 4�
� �
� �
sin x cos x 2 sin �x � 2 cos �x �.
� 4�
� 4�
2.sin x.cos x
2 tan x
cos 2 x
Ta có: sin 2 x 2.sin x.cos x
, ( x k , k Z )
2
1
1 tan x
2
2
cos x
cos 2 x sin 2 x
2
1 tan 2 x
2
2
cos
x
cos 2 x cos x sin x
, ( x k , k Z )
2
1
1 tan x
2
2
cos x
Do đó, nếu đặt t tan
2t
1 t 2
2t
,
cos
, tan
thì sin
.
2
2
2
1 t
1 t
1 t2
Công thức nhân ba:
sin 3 x 3sin x 4sin 3 x ,
cos 3x 4cos3 x 3cos x .
C/m: sin 3 x sin x.cos 2 x cos x.sin 2 x
sin x. 1 2sin 2 x cos x.2sin x.cos x
sin x. 1 2sin 2 x 2sin x. 1 sin 2 x 3sin x 4sin 3 x
cos 3x cos x.cos 2 x sin x.sin 2 x
cos x. 2 cos 2 x 1 sin x.2sin x.cos x
cos x. 2cos 2 x 1 2cos x. 1 cos 2 x 4 cos3 x 3cos x
11/ Một số biến đổi thường gặp
Dựa vào các công thức lượng giác, ta có một số biến đổi cung, bậc, hàm như sau (trong đó có
những biến đổi rất đơn giản):
sin x.sin y cos x.cos y �sin x.sin y cos x my
�1 �tan x.tan y 1 �
cos x.cos y
cos x.cos y
cos x.cos y
ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn
Trang 4
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT
dục”
“Vì chất lượng thật trong giáo
cos x my
cos x.cos y sin x.sin y �cos x.cos y
1 �cot x.cot y 1 �
�
sin x.sin y
sin x.sin y
sin x.sin y
sin 2 x cos 2 x
cos 2 x
2 cot 2 x
.
1
sin x.cos x
sin 2 x
2
�tan x cot x
cos 2 x sin 2 x cos 2 x
2 cot 2 x
.
1
sin x.cos x
sin 2 x
2
cot x tan x
sin x cos x
1
2
.
cos x sin x sin x.cos x sin 2 x
�tan x cot x
(hoặc sin 2 x 2sin x.cos x
Do đó: sin 2 x
�sin 2 x
2sin x.cos x
2
).
2
2
sin x cos x tan x cot x
2
2 tan x
2 cot x
.
2
tan x cot x tan x 1 1 cot 2 x
1
1
1
1
2
1.
, cos x
. Suy ra:
2
2
2
1 cot x
1 tan x
1 cot x 1 tan 2 x
� sin x cos x 1 sin 2 x , sin x cos x 1 sin 2 x .
2
2
�sin 3 x cos3 x sin x cos x sin 2 x sin x.cos x cos 2 x
sin x cos x 1 sin x.cos x
sin 3 x cos3 x sin x cos x sin 2 x sin x.cos x cos 2 x
sin x cos x 1 sin x.cos x
2
1
�sin 4 x cos 4 x sin 2 x cos 2 x 2sin 2 x.cos 2 x 1 sin 2 2 x
2
sin 4 x cos 4 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x cos 2 x
�sin 6 x cos 6 x sin 2 x cos 2 x sin 4 x sin 2 x.cos 2 x cos 4 x
3
3
sin 2 x cos 2 x 3sin 2 x.cos 2 x
2
3
1 sin 2 2 x
4
sin 6 x cos6 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 4 x sin 2 x.cos 2 x cos 4 x
3
3
2
sin 2 x cos 2 x . �
�sin 2 x cos 2 x sin 2 x.cos2 x �
�
� 1 2 �
cos 2 x. �
1 sin 2 x �
� 4
�
ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn
Trang 5
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo
dục”
2
2
� 1 2 � 1
�sin 8 x cos8 x sin 4 x cos 4 x 2.sin 4 x.cos 4 x �
1 sin 2 x � .sin 4 2 x
� 2
� 8
� 1 2 �
sin 8 x cos8 x sin 4 x cos 4 x sin 4 x cos 4 x cos 2 x. �
1 sin 2 x �.
� 2
�
12/ Một số bất đẳng thức:
1 �sin x �1 , 1 �cos x �1 , x R .
1 �sin n x �1 , 1 �cos n x �1 , x R và n là số tự nhiên lẻ
0 �sin n x �1 , 0 �cos n x �1 , x R và n là số tự nhiên chẵn
2
0 �
sin�
x 1
sin 2 m x sin 2 n x , x R và m �n 0 .
Chủ đề 1:Các hàm số lượng giác
Vấn đề 1:Tập xác định-Tập giá trị
*Các hàm số lượng giác:
Hàm số sin: R R
x y f ( x) sin x
Hàm số cos: R R
x y f ( x) cos x
Hàm số tang: R \ k ; k Z R
2
x y f ( x) tan x
Hàm số cotang: R \ k ; k Z R
x y f ( x) cot x
*Tập xác định và tập giá trị:
Hàm số y=sinx có tập xác định là R;tập giá trị là [-1;1]
Hàm số y=cosx có tập xác định là R;tập giá trị là [-1;1]
Hàm số y=tanx có tập xác định là D= R \ k ; k Z ;tập giá trị là R
2
Hàm số y=cotx có tập xác định là D= R \ k ; k Z ;tập giá trị là R
Các ví dụ:
Ví dụ 1:Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:
1. y 3 sin x
1 cos x
2. y
sin x
3.y=
1 sin x
1 cos x
Ví dụ 2:Tìm tập xác định của các hàm số:
ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn
Trang 6
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo
dục”
1. y tan(2 x
)
3
2. y cot( x
)
6
4.y=tanx +cotx
Ví dụ 3:Tìm điều kiện xác định của các hàm số:
2. y
1. y cos x
1
3. y cot x
sin x cos x
Ví dụ 4:Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
1.y= 2 cos( x
)3
3
2.y= 3 2 cos x
Ví dụ 5:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
1.y= 1 sin( x 2 ) 1
2. y 4 sin x
3.y=4sin2x-4sinx+3
4.y=cos2x+2sinx+2
Bài tập tự luyện:
Bài 1:Tìm tập xác định của các hàm số:
2.y= cos(2 x
1.y=tan3x
)
4
3.y=
sin 2 x 1
1 cos 3 x
Bài 2:Tìm tập xác định của các hàm số sau:
1. y 2 cos x 1
2. y
12
sin x
3. y
1
sin x cos x
Bài 3:Tìm tập xác định của các hàm số sau:
1. y tan(2 x
)
3
2. y 3 tan 2 x 2 cot 3 x
3. y tan x
Bài 4:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
2. y 1 2 cos 5 x
1.y=3sin2x-5
3. y cos 2 x sin x 4
Bài 5:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
1. y 2 cos( x
) 1
3
2. y 4 3 cos 2 x
3. y cos 4 x sin 4 x
Bài 6 :Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
�2x �
a/ y sin�
�
�x 1�
b/ y sin x
d/ y 1 cos2 x
e/ y
� �
g/ y cot�x �
� 3�
h/ y
c/ y 2 sin x
� �
f/ y tan�x �
� 6�
1
sin x 1
sin x
cos(x )
i/ y =
1
tan x 1
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
� �
a/ y = 2sin�x � 1
� 4�
b/ y 2 cos x 1 3
ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn
Trang 7
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo
dục”
c/ y sin x
d/ y 4sin2 x 4sin x 3
e/ y cos2 x 2sin x 2
f/ y sin4 x 2cos2 x 1
g/ y = sinx + cosx
h/ y = 3sin2x cos2x
i/ y = sin x 3cos x 3
Vấn đề 2:TÍNH CHẤT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
*Tính chẵn-lẻ của hàm số lượng giác:
Hàm số y=sinx là hàm số lẻ trên D=R
Hàm số y=cosx là hàm số chẵn trên D=R
Hàm số y=tanx là hàm số lẻ trên D= R \ k ; k Z
2
Hàm số y=cotx là hàm số lẻ trên D= R \ k ; k Z
Chú ý:Các bước xét tính chẵn lẻ của hàm số y=f(x):
-Tìm tập xác định D
-Kiểm tra tính chất đối xứng x D x D (Nếu có x0 thuộc D mà –x0 không thuộc D thì hàm số không có
tính chẵn-lẻ)
-Tính f(-x) rồi so sánh với f(x):
Nếu f(-x)=f(x) x D thì f là hàm số chẵn.
Nếu f(-x)=-f(x) x D thì f là hàm số lẻ.
Nếu có x 0 D mà f ( x) f ( x) và f ( x) f ( x) thì hàm số không có tính chẵn-lẻ.
*Tính đơn điệu của các hàm số lương giác:
-Hàm số y=sinx đồng biến trên mỗi khoảng k 2 ; k 2 và nghịch biến trên mỗi khoảng
2
2
3
k 2 ; k Z
k 2 ;
2
2
-Hàm số y=cosx đồng biến trên mỗi khoảng k 2 ; k 2 và nghịch biến trên mỗi khoảng
k 2 ; k 2 ; k Z
-Hàm số y=tanx đồng biến trên mỗi khoảng k ; k
2
2
-Hàm số y=cotx nghịch biến trên mỗi khoảng k ; k
*Hàm số tuần hoàn:
Hàm số y=f(x) xác định trên tập hợp D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T 0 sao cho x D ta có:
x T D, x T D và f(x+T)=f(x).
ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn
Trang 8
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo
dục”
Nếu có số T dương nhỏ nhất thoả mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là một hàm số tuần hoàn với
chu kì T.
Các hàm số y=sinx,y=cosx là những hàm số tuần hoàn với chu kì T= 2
Các hàm số y=tanx,y=cotx là những hàm số tuần hoàn với chu kì T=
*Bài tập ví dụ:
Ví dụ 1:Xét tính chẵn-lẻ của mỗi hàm số sau:
1.y=-2sinx
3.y=sinx-cosx
4.y=sinx.cos2x+tanx
x
3
3. y tan x
4.y=tanx-sin2x
2. y sin x. cos 3 x
3. y sin x
4.y=x2+cosx
2.y=3sinx-2
Ví dụ 2:Xét tính chẵn-lẻ của mỗi hàm số sau:
1. y cos( x
)
4
2. y sin x sin
Ví dụ 3:Xét tính chẵn-lẻ của mỗi hàm số sau:
1. y sin x 1
Ví dụ 4:Lập bảng biến thiên của:
1.y=sinx trên đoạn ;
2. y=cosx trên đoạn ;
3. y=tanx trên khoảng ;
2 2
4. y=cotx trên khoảng 0;
Ví dụ 5:Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số:
1.y=sin2x
3.y= tan
2.y=cos(x-1)
x
3
Ví dụ 6:Xét sự đồng biến hay không đồng biến của các hàm số f(x)=sinx,g(x)=cosx,h(x)=tanx trên các khoảng:
3
K 1 ;
2
31 33
452 601
;
;
; K 2 ; ; K 3
; K 4
4
3
4
4 4
4
Ví dụ 7:Chứng minh với k Z ,x thuộc tập xác định thì hàm số:
1.f(x)= sin x. cos x
3
cos 2 x có tính chất f ( x k ) f ( x)
2
2. f ( x) A sin(x ) có tính chất f ( x k
2
) f ( x)
Ví dụ 8:Chứng minh các hàm số sau đây là tuần hoàn:
1.y=2sin2x
2.y= cos
x
1
3
3.y=2sin2x-3cosx+1 4.y=-tan3x
Ví dụ 9:Chứng minh hàm số:
1.y=cosx tuần hoàn và có chu kì T 2
2.y=tanx tuần hoàn và có chu kì T
Ví dụ 10:Chứng minh hàm số:
1.y= sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì T
2.y=cos(x2) không là hàm số tuần hoàn.
ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn
Trang 9
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo
dục”
Bài tập tự luyện :
Bài 1:Xét tính chẵn-lẻ của hàm số:
a/ y = sin2x
b/ y = 2sinx + 3
c/ y = sinx + cosx
d/ y = tanx + cotx
e/ y = sin4x
f/ y = sinx.cosx
g/ y =
sin x tan x
sin x cot x
h/ y =
cos3 x 1
sin3 x
i/ y = tan x
Bài 2:Tìm chu kỳ của hàm số:
a/ y sin2x
d/ y sin2x cos
b/ y cos
x
2
g/ y 2sin x. cos3x
x
3
c/ y sin2 x
3x
2x
sin
5
7
e/ y tan x cot3x
f/ y cos
h/ y cos2 4x
i/ y = tan(3x + 1)
ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn
Trang 10
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo
dục”
ĐỜ THỊ CỦA HÀM SỚ LƯỢNG GIÁC
1/ Vẽ đờ thị hàm số lượng giác:
–
Tìm tập xác định D.
–
Tìm chu kỳ T0 của hàm số.
–
Xác đònh tính chẵn – lẻ (nếu cần).
–
Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T0 ,có thể chọn:
x ��
0, T0 �
�
�hoặc
� T0 T0 �
x ��
, �.
� 2 2�
–
Vẽ đờ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ..
–
r
r
. 0.i về bên trái và phải và song song với
Suy ra đờ thị trên các đoạn còn lại theo phép tịnh tiến v kT
r
trục Ox (với i là vec-tơ đơn vị trên trục Ox).
2/ Một số phép biến đổi đờ thị:
a/ Từ đờ thị hàm số y = f(x), suy ra đờ thị hàm số y = f(x) + a bằng cách tịnh tiến đờ thị y = f(x) lên trên
trục hồnh a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến xuống phía dưới trục hồnh a đơn vị nếu a < 0.
b/ Từ đờ thị y = f(x), suy ra đờ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đờ thị y = f(x) qua trục hồnh.
�f (x), ne�
u f(x) �0
c/ Đờ thị y f (x) �
được suy ra thừ đờ thị y = f(x) bằng cách giữ ngun phần
-f(x), ne�
u f(x) <0
�
đờ thị y = f(x) ở phía trên trục hồnh và lấy đối xứng phần đờ thị y = f(x) nằm ở phía dưới trục hồnh
qua trục hồnh.
y
Ví dụ 1: Vẽ đờ thị hàm số y = f(x) = sinx.
–
Tập xác định: D = R.
–
1, 1�
.
Tập giá trị: �
�
�
–
Chu kỳ: T = 2.
–
0, 2 �
Bảng biến thiên trên đoạn �
�
�
y = sinx
1
3
2
0
2
2
3
2
5
2
x
–1
x0y
1
0
0
ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165
* thanhdat.edu.vn
–1
0
Trang 11
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo
dục”
–
r
r
Tịnh tiến theo vec-tơ v 2k .i ta được đồ thị y = sinx.
Nhận xét:
–
Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
–
� �
�
�
.
Hàm số đồng biến trên khoảng �0, �và nghịch biến trên khoảng � , �
� 2�
�2
�
y
Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cosx.
–
Tập xác định: D = R.
–
1, 1�
.
Tập giá trị: �
�
�
–
Chu kỳ: T = 2.
–
0, 2 �
Bảng biến thiên trên đoạn �
�
�:
3
2
y = cosx
1
0
2
2
3
2
5
2
x
–1
x0y
0
1
1
–1
0
–
r
r
Tịnh tiến theo vec-tơ v 2k .i ta được đồ thị y = cosx.
Nhận xét:
–
Đồ thị là hàm số chẵn nên nhận trục tung làm trục đối xứng.
–
Hàm số nghịch biến trên khoảng 0, và đồng biến trên khoảng , 2 .
Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = tanx.
–
�
�
Tập xác định: D = R \ � k , k �Z�
�2
–
Tập giá trị: R.
–
Giới hạn:
y = tanx
lim y �
x��
2
� x � : là tiệm cận đứng.
2
–
y
3
2
2
O
2
Chu kỳ: T = .
3
2
2
5
2
x
x0y
0
ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn
–
+
Trang 12
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo
dục”
–
� �
, �:
Bảng biến thiên trên �
� 2 2�
–
r
r
Tịnh tiến theo vec-tơ v k .i ta được đồ thị y = tanx.
Nhận xét:
–
Đồ thị là hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
–
Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định D.
Ví dụ 4: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cotx.
–
Tập xác định: D = R \ k , k �Z
–
Tập giá trị: R.
–
Giới hạn:
y = cotx
lim y �, lim y �
x� 0
y
2
x� x
3
2
O
2
2
2
x
Tiệm cận đứng: x = 0, x = .
–
Chu kỳ: T = .
–
0, �
Bảng biến thiên trên đoạn �
�
�:
x0y
0
+
–
–
r
r
Tịnh tiến theo vec-tơ v k .i ta được đồ thị y = cotx.
Nhận xét:
–
Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
–
Hàm số luôn giảm trên tập xác định D.
Ví dụ 5: Vẽ đồ thị y = – sinx.
–
Vẽ đồ thị y = sinx.
–
Từ đồ thị y = sinx, ta suy ra đồ thị y = –sinx bằng cách lấy đồi xứng qua Ox.
y
1
–2
3
2
2
O
y = –sinx
2
3
2
2
–1
ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389
- 3711165 * thanhdat.edu.vn
x
Trang 13
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo
dục”
Ví dụ 6: Vẽ đờ thị y = sinx
�
sin x, ne�
u sin x �0
y sin x �
-sin x, ne�
u sin x <0.
�
y
1
y = /sinx/
O
2
2
3
2
x
2
Ví dụ 7: Vẽ đờ thị hàm số y = 1 + cosx.
–
Vẽ đờ thị y = cosx.
–
Từ đồ thò y = cosx, ta suy ra đồ thò y 1 cos x bằng cách tònh tiến đồ thò y cos x lên
trục hoành 1 đơn vò.
–
0, 2 �
Bảng biến thiên trên đoạn �
�
�:
x0y = cosx1
0
–1
01y = 1 + cosx2
1
0
12
y
2
y = 1 + cosx
1
y = cosx
Ví dụ 8: Vẽ đờ thị y = sin2x.
2
O
2
3
2
x
–1
–
y = sin2x có chu kỳ T =
–
0, 2 �
Bảng biến thiên trên đoạn �
�
�:x2xy = sin2x
0
–1
01
0
ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn
Trang 14
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo
dục”
y
1
y = sin2x
2
O
4
4
2
3
2
5
4
x
–1
Ví dụ 9: Vẽ đồ thị y = cos2x.
–
y = cos2x có chu kỳ T =
–
0, 2 �
Bảng biến thiên trên đoạn �
�
�:
x2xy = cos2x
–1
01
0
–1
y
1
y = cos2x
2
4
O
4
3
4
2
x
–1
� �
Ví dụ 10: Vẽ đồ thị y sin�x �có chu kỳ T = 2.
� 4�
x–000
–1
ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn
Trang 15
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo
0
1
dục”
0
y
1
2/ 2
3
4
2
4
y = sin
O
2/ 2
4
3
4
2
5
4
3
2
7
4
x
–1
� �
Ví dụ 11: Vẽ đồ thị y cos�x �có chu kỳ T = 2.
� 4�
x–00
–1
� �
Ví dụ12: Vẽ đồ thị y sin x cos x 2sin�x �có chu kỳ T = 2.
4�
�
0
1
x–00–1010
0
–1
–1
0
1
1
ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165
* thanhdat.edu.vn
0
Trang 16
–1
1
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN1THI THÀNH ĐẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo
dục”
0
1
1
0
1
y
2
y=
1
3
4
2
4
O
4
2
3
4
2
5
4
3
2
x
7
4
–1
y
2
1
y=
3
4
2
O
4
4
2
3
2
5
4
3
2
x
7
4
� �
2cos�x �có chu kỳ T = 2.
� 4�
Ví dụ 13: Vẽ đồ thị y cos x sin x
x0cosx–1010–1sinx0–1010cosx – sinx–10110–1–1
1
0
1
1
0
1
1
y
y
2
2
3
4 2 4
o
1
y = cosx – sinx
1
4
2
3
4
5
4
x
3
4
2
4
o
y = cosx – sinx
4
2
3
4
5
4
x
1
ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn
2
Trang 17
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo
dục”
Ví dụ 14: Vẽ đồ thị y = tanx + cotx.
–
�
�
k. , k �Z�
Tập xác định: D R \ �
� 2
–
Chu kỳ T = .
x0tanx–101cotx 0–110y =
tanx + cotx
–
2
y
y = tanx + cotx
–+
4 3
3
2
2
+
2
3
4
6
6
O
4
3
2
x
–2
4 3
3
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Gọi M là GTNN và N là GTLN của hàm số y=4-3cos2x khi đó:
A.M+N=7
B.M+N=4
C.M+N=1
Câu 2. GTNN của hàm số y=sinx+cosx là
ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn
D.M+N=5
Trang 18
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo
dục”
A.0
B.
Câu 3. Tập giá trị của hàm số y=tanx-2 là
A.R
B.
Câu 4. GTLN của hàm số y=2cosx -3
A.-1
B.1
Câu 5. GTLN của hàm số y=
A.-2
C.
D.1
C. [-1,1]
D.[0;1]
C.2
D.-3
C. 2
D.
là
B.-1
Câu 6. GTNN của hàm số y=sinx+
là
A.0
B.C.2
2
Câu 7. GTNN của hàm số y = 2sin 2x-cos4x bằng -1 tại:
k
k
, k �Z
, k �Z
A. x
B. x
C. x k 3 , k �Z
3 2
2
2
Câu 8. GTLN của hàm số : y=
A.1
4
B.
C.1
D.3
C.
D.
C.3
D.-1
là:
B.
1
3
Câu 10. GTLN của hàm số
A.0
D. x k , k �Z
-2 là:
Câu 9. GTNN của hàm số y=
A.
D.
1
4
là
B.
Câu 11. GTLN của hàm số y 2sin( x 30 ) cos(x 30 ) 2 là:
A.-3
B.0
0
0
C.-2
D.-1
Câu 12. Gọi M là GTNN và N là GTLN của hàm số y=3-2cosx khi đó:
A. M+N=-2
B.M+N=1
C. M+N=6
Câu 13. GTNN của hàm số
A.-1
D. M+N=0
là:
B.-
C.3
D.1
Câu 14. Tập giá trị của hàm số y 3sin(2 x ) 2 là:
4
A. 1;5
B. 5;1
Câu 15. GTNN của hàm số y=1+
là
A.1
B.R
Câu 16. GTLN của hàm số y=2 cos2x +cos2x -1
A. ymax=4 tại x=k (k
)
C. ymax=4 tại x= x k (k �Z )
2
Câu 17. GTNN của hàm số
A.2
C. 1;1
D. 3; 2
C.2
D.không xác định
B. ymax=2 tại x=k
D. ymax=0 tại x=k (k
)
C.0
D.1
là:
B. 3
Câu 18.Tập xác định của hàm số y
1
là:
s inx
ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn
Trang 19
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo
dục”
A. D R \ k , k �Z
B. D R \ k 2 , k �Z
�
�
�
�
C. D R \ � k , k �Z �
D. D R \ � k 2 , k �Z �
�2
�2
�
�
Câu 19 Tập xác định D R \ � k , k �Z �là tập xác định của hàm số nào sau đây?
�2
B. y cos x
A. y s inx
C. y tan x
D. y cot x
Câu 20.Tập xác định D R là tập xác định của hàm số nào sau đây?
B. y cos x
A. y s inx
C. Cả A và B đều đúng
D. Cả A và B đều sai
2x 1
Câu 21 Hàm số y
xác định khi và chỉ khi:
cos x 1
A. x �k , k �Z
B. x �k 2 , k �Z
C. x � k , k �Z
D. x � k 2 , k �Z
2
2
Câu 22 Tìm đáp án đúng trong các câu sau:
3x s inx
3x s inx
A. Hàm số y
xác định khi và B. Hàm số y
xác định khi và chỉ
2 cos x 1
2 cos x 1
chỉ khi 3 x s inx �0
khi 3 x s inx = 0
3x s inx
3x s inx
C. Hàm số y
xác định khi và D. Hàm số y
xác định khi và chỉ
2 cos x 1
2 cos x 1
chỉ khi 2 cos x 1 �0
khi 2 cos x 1 0
x
Câu 23 Hàm số y
có tập xác định là:
2s inx 3
A. D R \ 0
B. D R \ 3
2
�
�
k 2 , k �Z �
D. D R \ � k 2 ,
3
�3
� 3�
C. D R \ � �
�2 �
Câu 24 Tìm GTLN và GTNN của hàm số y s inx 3 ?
A. max y 4; min y 2
B. max y 4; min y 2
C. max y 2; min y 4
D. max y 2; min y 4
Câu 25Tìm GTLN và GTNN của hàm số y cos x 2 ?
A. max y 3; min y 1
B. max y 3; min y 1
C. max y 3; min y 2
D. max y 3; min y 2
Câu 26. Cho hàm số y = sinx + cosx. Tập xác định của hàm số là:
A.R\ {1}
B.R*
C.R
Câu 27. Cho hàm số y =
D.R\ {}
1 cos x
.Tập xác định của hàm số là:
sin x 1
A. R \ {k / k Z}
B.{x / x = k2 ( k Z)}
D.R \ {/2 + k / k Z}
Câu 28. Cho 2 hàm số f(x) = sin4x và g(x) = tan|2x|, khi đó:
A. f là hs chẵn và g là hs lẻ.
B. f và g là 2 hs lẻ.
C. f là hàm số lẻ và g là hàm số chẵn
D.f và g là 2 hs chẵn.
� �
Câu 29. Cho hàm số y cot�x �. Tập xác định của hàm số là:
� 3�
A.R \ {-/3 + k / k Z}
C.R \ { + k / k Z}
B.R
ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn
Trang 20
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo
dục”
C.R \ {/3 + k / k Z}
D.R \ {2/3 + k / k Z}
� �
Câu 30. Cho hàm số y tan�x �. Tập xác định của hàm số là:
� 6�
A.R
B.R \ {/3 + k / k Z}
C.R \ {2/3 + k / k Z}
D.R \ {2/3 + k2 / k Z}
Câu 31. Cho hàm số y =
cos3 x 1
sin3 x
.Tập xác định của hàm số là:
A.R \ {k ( k Z)}
C.a và b đúng.
Câu 32. Cho hàm số y
B.R \ {/2 + k / k Z}
D.R \ { + k / k Z}
sin x
.Tập xác định của hàm số là:
cos(x )
A.R \ {/2 + k / k Z} B.R
C.R \ { + k / k Z} D.R \ {/4 + k / k Z}
Câu 33. Cho hàm số y = tanx + cotx.Tập xác định của hàm số là:
A.a và b đúng.
B.R \ {/2 + k ; k / k Z}
C.R \ {k/2 ( k Z)}
D.R \ { + k / k Z}
Câu 34. Cho hàm số y 2 sin x . Tập xác định của hàm số là:
A.(- ;
2]
B.[-
2;
2]
C.R
D. [ 2 ; + )
Câu 35. Cho hàm số y = sin x 4 .Tập xác định của hàm số là:
A.(- ; 4)
B.(- ; 4]
C.[4; + )
D.(4; + )
x
Câu 36. Cho hàm số y = sin
.Tập xác định của hàm số là:
2 x
A.(2; + )
B.(- ; 2]
C.R \ {2}
D.(- ; 2)
Câu 37. Cho 2 hàm số f(x) = sin2x và g(x) = cos2x.
A.f và g là 2 hs chẵn.
B. f và g là 2 hs lẻ.
C. f là hs chẵn và g là hs lẻ.
D. f là hs lẻ và g là hs chẵn.
Câu 38. Cho 2 hs f(x) = tan4x và g(x) = sin(x + /2). Khi đó:
A. f và g là 2 hs lẻ.
B. f là hs chẵn và g là hs lẻ.
C.f và g là 2 hs chẵn.
D. f là hs lẻ và g là hs chẵn.
Câu 39. Cho hàm số y = cos x2 4x 5 .Tập xác định của hàm số là:
A.(-5; 1)
Câu 40. Cho hàm số y
B.(- ; -5) U (1; + ) C.[- 5; 1]
1
. Tập xác định của hàm số là:
sin x 1
D.(- ; -5] U [1; + )
A.R \ {-/2 + k2 / k Z}
B.R \ {/2 + k2 / k Z}
C.R
�2x �
Câu 41. Cho hàm số y sin�
�.Tập xác định của hàm số là:
�x 1�
A.R \ {/4 + k / k Z} B.R \ {1}
C.R \ {/2 + k / k Z} D.R \ { + k / k Z}
1
Câu 42. Cho hàm số y =
. Tập xác định của hàm số là:
tan x 1
A.R
B.R \ {/2 + k / k Z}
C.R \ {/4 + k; /2 + k / k Z}
D.R \ {/4 + k / k Z}
Câu 43. Cho hàm số y = tanx + cotx.Tập xác định của hàm số là:
A.R \ {k/2 ( k Z)}
B.R \ {/2 + k ; k / k Z}
ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn
Trang 21
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo
dục”
D.R \ { + k / k Z}
C.a và b đúng.
Câu 44. Cho hàm số y 1 cos2 x .Tập xác định của hàm số là:
A.R \ { + k / k Z} B.R
C.R \ {/2 + k / k Z} D.R \ {/4 + k / k Z}
Câu 45. Cho hàm số y = 2sinx + 9. Hàm số này là:
A.Hàm số không chẵn khônglẻ
B. Hàm số lẻ và có tập xác định là R \ {k ( k Z)}
C.Hàm số chẵn
D.Hàm số lẻ
Chủ đề 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A.Lý thuyết:
1.Phương trình sinx=m
* m 1 :Phương trình vô nghiệm
* m 1 :phương trình có nghiệm.
Nếu là một nghiệm của phương trình,nghĩa là sin m thì:
x k 2
sin x m sin x sin
;k Z
x k 2
�
x k2
(k �Z)
a/ sin x sin � �
x k2
�
sin x a. �ie�
u kie�
n : 1 �a �1.
x arcsina k2
b/ sin x a � �
(k �Z)
�
x arcsina k2
�
c/ sinu sinv � sinu sin( v)
�
�
d/ sinu cosv � sinu sin� v�
�2 �
� �
v �
e/ sinu cosv � sinu sin�
� 2�
*Đặc biệt:
*sinx=1 x
k 2
2
*sinx=-1 x
k 2
2
*sinx=0 x k
2.Phương trình cosx=m.
* m 1 :Phương trình vô nghiệm
ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn
Trang 22
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo
dục”
* m 1 :phương trình có nghiệm.
Nếu là một nghiệm của phương trình,nghĩa là cos m thì:
x k 2
cos x m cos x cos
;k Z
x k 2
a/ cos x cos � x � k2 (k �Z)
b/
cos x a. �ie�
u kie�
n : 1 �a �1.
cos x a � x �arccosa k2 (k �Z)
c/ cosu cosv � cosu cos( v)
�
�
d/ cosu sinv � cosu cos� v�
�2 �
�
�
e/ cosu sin v � cosu cos� v�
�2 �
Đặt biệt:
*cosx=-1 x (2k 1)
*cosx=1 x k 2
*cosx=0 x
k
2
3.Phương trình tanx=m.
Điều kiện xác định là cosx 0
Phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.Nếu là một nghiệm của phương trình,nghĩa là:
tan =m thì:tanx=m x k
a/ tan x tan � x k (k �Z)
b/ tan x a � x arctana k (k �Z)
c/ tanu tanv � tanu tan( v)
�
�
d/ tanu cot v � tanu tan� v�
�2 �
�
�
e/ tanu cot v � tanu tan� v�
�2 �
Đặt biệt:tanx=0 x k
4.Phương trình cotx=m.
Điều kiện xác định là sinx 0
Phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.Nếu là một nghiệm của phương trình,nghĩa là:cot =m thì:
cotx=m x k
Đặt biệt:cotx=0 x
k
2
Bài 1:Giải các phương trình:
ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn
Trang 23
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo
dục”
� �
2x � 0
1) cos�
6�
�
� �
4x � 1
2) cos�
3�
�
�
�
3) cos� x� 1
�5
�
� �
3x � 0
4) sin�
3�
�
�x �
5) sin� � 1
�2 4 �
�
�
6) sin� 2x� 1
�6
�
7) sin 3x 1
1
2
8) cos x 150
2
2
�x �
3
9) sin� �
�2 3 � 2
�
� 1
10) cos� 2x�
�6
� 2
11) tan 2x 1 3
12) cot 3x 100
� �
3x � 1
13) tan�
6�
�
� �
2x � 1
14) cot�
3�
�
15) cos(2x + 250) =
3
3
2
2
Bài 2:Giải các phương trình:
1) sin 3x 1 sin x 2
� �
� �
2x �
2) cos�x � cos�
6�
� 3�
�
3) cos3x sin2x
0
4) sin x 120 cos2x 0
� �
� �
2x � cos�x � 0
5) cos�
3�
�
� 3�
� x �
6) sin3x sin� � 0
�4 2 �
� �
� �
3x � tan�x �
7) tan�
4�
�
� 6�
� �
� �
2x � cot�x �
8) cot �
4�
�
� 3�
9) tan 2x 1 cot x 0
2
10) cos x x 0
12) tan x 2x 3 tan2
2
11) sin x 2x 0
2
14) sin2 x
13) cot2 x 1
15) cos x
1
2
2� �
2
16) sin �x � cos x
4
�
�
1
2
Ví dụ 3:Tìm nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho:
a)sin2x=
1
vơí 0 x
2
b)cos(x-5)=
3
vơí x
2
Ví dụ 4.Giải các phương trình sau:
1.cos3x=sin2x
2.sin(x-1200)-cos2x=0
3.cos3x+cos2x-cosx-1=0
(Tuyển sinh khối D năm 2006)
Ví dụ 5:Giải các phương trình sau:
a)tan(2x-1)=
3
1
b)cot2x= cot( )
3
x
0
c) cot( 20 ) 3
4
ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn
Trang 24
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo
dục”
Giải:
3 tan(2 x 1) tan
a) tan(2x-1)=
1 k
2 x 1 k x
;k Z
3
3
2 6
2
1
1
1 k
;k Z
b) cot2x= cot( ) 2 x k x
3
3
6 2
x
x
0
0
0
0
0
c) cot( 20 ) 3 cot( 20 ) cot( 30 ) ... x 200 k 720 ; k Z
4
4
Ví dụ 6:Giải các phương trình sau:
a) cot 3 x tan
2
5
b) tan 2 x tan( x
)
4
c)2tan5x=1
Ví dụ 7:Tìm nghiêm của phương trình sau trên khoảng đã cho:
b)cot3x=
a)tan(2x-1500)=1 vơí -1800
1
3
vơí
x0
2
Ví dụ 8:Giải các phương trình sau:
a)tanx=cot2x
x
c)cotx+sin x(1+tanx. tan ) 4
2
b.tan(2x+300)+tan100=0
(Đại học khôí B năm 2006).
Ví dụ 9:T ìm tập xác định của các hàm số sau:
1. y
4. y
1 cos x
2 sin x 2
1
2 sin x 1
tan x
7. y
1 tan x
10. y tan x
2. y
sin( x 2)
cos 2 x cos x
3. y
5. y 1 cos x
8. y
sin x
2 cos x
3
6. y cos x
1
9. y
3 cot 2 x 1
11. y tan x cot x
sin x. cos x
tan 2 x 1
12. y
tan x 1
sin x 2 cos x 4
2
Ví dụ 10:Vơí giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm:
1. 2sin3x=m-1
2. mcosx-2=cosx+3m
3. 2cot(x+1)=3m-1
4. mtanx+2=m
5.cos(3x-1)x=m2-4m+3
6.msinx-3=(2m+1)sinx+m
Bài tập tự luyện:
Bài 1:Giải các phương trình sau:
a)sin2x=
3
2
c) cot( 4 x 2) 3
b)cos(2x+550)=
d) tan( x 15 0 )
2
2
3
3
Bài 2:Giải các phương trình:
ĐC: 727 TRẦN CAO VÂN – ĐN*ĐT: 0511.3759389 - 3711165 * thanhdat.edu.vn
Trang 25
