HE TRUC TOA DOCO LOI GIAI CHI TIET

Chương 11

VECTO

Trang
1/11


CHUYÊN ĐỀ 5
TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
§4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
I.TRỤC TỌA ĐỘ:
1. Định nghĩa: Trục tọa độ (Trục , hay trục số ) là một đường thẳng trên đó ta đã xác định một điểm O và
r
r
một vectơ đơn vị i ( tức là i = 1)
r
i

Hình 1.30

r
r
Điểm O được gọi là gốc tọa độ , vec tơ i được gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ. Kí hiệu (O ; i ) hay
x 'Ox hoặc đơn giản là Ox
2. Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục:
ur
r
r
ur

+ Cho vec tơ u nằm trên trục (O ; i ) thì có số thực a sao cho u = a i với a Î R . Số a như thế được
uu
r
r
u
i
gọi là tọa độ của vectơ đối với trục (O ; )
r
uuur
ur
+ Cho điểm M nằm trên (O ; i ) thì có số m sao cho OM = mi . Số m như thế được gọi là tọa độ của
r
i
điểm M đối với trục (O ; )
uuur
Như vậy tọa độ điểm M là trọa độ vectơ OM
3. Độ dài đại số của vec tơ trên trục :
uuur
Cho hai điểm A, B nằm trên trục Ox thì tọa độ của vectơ AB kí hiệu là AB và gọi là độ dài đại số của
uuur
vectơ AB trên trục Ox
uuur
r
Như vậy AB = AB .i
Tính chất :
+ AB = - BA
uuur
uuu
r
+ AB = CD Û AB = CD

ur
+ " A;B;C Î (O ; i ) : AB + BC = AC
II. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1. Định nghĩa: Hệ trục tọa độ gồm hai trục vuông
rr
vectơ đơn vị lần lượt là i , j . Điểm O gọi là gốc tọa
hoành và Oy gọi là trục tung.
rr
Kí hiệu Oxy hay ( O; i , j )

góc Ox và Oy với hai
độ, Ox gọi là trục

Hình 1.31
2. Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ .
rr
r
r
r
+ Trong hệ trục tọa độ ( O; i , j ) nếu u = xi + yj thì
cặp số ( x; y ) được gọi
r
r
r
là tọa độ của vectơ u , kí hiệu là u = ( x; y ) hay u( x; y ) .
r
x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của vectơ u
rr
uuur
+ Trong hệ trục tọa độ ( O; i , j ) , tọa độ của vectơ OM gọi là tọa độ của điểm M, kí hiệu là M = ( x; y )

hay M ( x; y ) . x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của điểm M.
Nhận xét: (hình 1.31) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox và Oy thì
uuur
r
r uuur uuur
M ( x; y ) Û OM = xi + yj = OH +OK
uuur
r uuur
r
Như vậy OH = xi , OK = yj hay x = OH , y = OK
3. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác.
Trang
2/11


+ Cho A(xA ;yA ), B (xB ;yB ) và M là trung điểm AB. Tọa độ trung điểm M ( xM ; yM ) của đoạn thẳng
xA + xB
y + yB
, yM = A
2
2
+ Cho tam giác ABC có A(xA ;yA ), B (xB ;yB ), C ( xC ;yC ) . Tọa độ trọng tâm G ( xG ; yG ) của tam giác

AB là xM =

xA + xB + xC
y + yB + yC
và yG = A
3

2
4. Biểu thứ tọa độ của các phép toán vectơ.
r
ur
Cho u = (x;y) ; u ' = (x ';y ') và số thực k. Khi đó ta có :
r
ur
ìï x = x '
ïí
u
=
u
'
Û
1)
ïï y = y '
î
r r
2) u ± v = (x ± x ';y ± y ')
r
3) k.u = (kx;ky)
ABC là xG =

ur
r r
r
4) u' cùng phương u ( u ¹ 0 ) khi và chỉ khi có số k sao cho
uuur
5) Cho A(xA ;yA ), B (xB ;yB ) thì AB = ( xB - xA ; yB - yA )
Câu 1:

ìï x ' = kx
ïí
ïï y ' = ky
î

Trong mặt phẳng Oxy , cho A ( x A ; y A ) và B ( xB ; yB ) . Tọa độ trung điểm I của
đoạn thẳng AB là:
 x − x y − yB 
A. I  A B ; A
÷.
2 
 2

 x + x y + yB 
I A B; A
÷.
2 
 2
 x + x y + yB
C. I  A B ; A
3
 3

B.


÷.


D.

 x + y A xB + y B 
I A
;
÷.
2 
 2

Lời giải
Chọn B
Ta có: I là trung điểm của đoạn thẳng
x A + xB

x
=
I
uur uur
 xI − x A = x B − x I

2
AB ⇒ AI = IB ⇔ 
⇒
y
−
y
=
y
−
y

y
 I
A
B
I
 y = A + yB
 I
2
 x + x y + yB 
Vậy I  A B ; A
÷.
2 
 2
r
r
r r
Câu 2: Cho các vectơ u = ( u1 ; u2 ) , v = ( v1 ; v2 ) . Điều kiện để vectơ u = v là
u1 = u2
A. 
.
v1 = v2

u1 = −v1
B. 
.
u2 = −v2

u1 = v1
C. 
.

u2 = v2
Lời giải

u1 = v2
D. 
.
u2 = v1

Chọn C

Trang
3/11


r r
u1 = v1
Ta có: u = v ⇔ 
.
u2 = v2
uuu
r
Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy , cho A ( x A ; y A ) và B ( xB ; yB ) . Tọa độ của vectơ AB là
uuu
r
uuu
r
A. AB = ( y A − x A ; yB − xB ) .
B. AB = ( x A + xB ; y A + yB ) .
uuur
uuur

C. AB = ( x A − xB ; y A − yB ) .
D. AB = ( xB − x A ; y B − y A ) .
Lời giải
Chọn D
uuu
r
Theo công thức tọa độ vectơ AB = ( xB − x A ; yB − y A ) .

Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy , cho A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) và C ( xC ; yC ) . Tọa độ trọng tâm

G của tam giác ABC là:
 x − x + x y + yB + yC 
A. G  A B C ; A
÷.
3
3


 x + x + x y + yB + yC 
C. G  A B C ; A
÷.
3
3



 x + x + x y + yB + yC 
B. G  A B C ; A
÷.
3

2


 x + x + x y + yB + yC 
D. G  A B C ; A
÷.
2
3


Lời giải

Chọn C
uuu
r uuu
r uuur
uuur
Ta có: G là trọng tâm của tam giác ABC ⇒ OA + OB + OC = 3OG với O là điểm
bất kì.
Chọn O chính là gốc tọa độ O . Khi đó, ta có:
x +x +x

xG = A B C

uuu
r uuu
r uuur
uuur
x
+

x
+
x
=
3
x
 A B C

3
G
OA + OB + OC = 3OG ⇔ 
⇒
 y A + yB + yC = 3 yG
 y = y A + yB + yC
 G
3

 x + x + x y + yB + yC 
⇒ G A B C ; A
÷.
3
3


Câu 5: Mệnh đề nào sau đây đúng?
r
r
A. Hai vectơ u = ( 2; −1) và v = ( −1; 2 ) đối nhau.
r
r

B. Hai vectơ u = ( 2; −1) và v = ( −2; −1) đối nhau.
r
r
C. Hai vectơ u = ( 2; −1) và v = ( −2;1) đối nhau.
r
r
D. Hai vectơ u = ( 2; −1) và v = ( 2;1) đối nhau.
Lời giải
Chọn C
r
r
r
r
Ta có: u = ( 2; −1) = − ( −2;1) = −v ⇒ u và v đối nhau.
rr
r r
Câu 6: Trong hệ trục O; i; j , tọa độ của vec tơ i + j là:
A. ( −1;1) .

(

)

B. ( 1;0 ) .

C. ( 0;1) .
Lời giải

D. ( 1;1) .

Chọn D
r r
Ta có: i + j = ( 1;0 ) + ( 0;1) = ( 1;1) .

uuu
r
Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A ( 5; 2 ) , B ( 10;8 ) . Tọa độ của vec tơ AB là:
A. ( 2; 4 ) .
B. ( 5;6 ) .
C. ( 15;10 ) .
D. ( 50; 6 ) .

Lời giải
Chọn B

Trang
4/11


uuur
Ta có: AB = ( 10 − 5;8 − 2 ) = ( 5;6 ) .

Câu 8: Cho hai điểm A ( 1;0 ) và B ( 0; −2 ) . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:
1
1


1

A.  ; −1÷ .

B.  −1; ÷.
C.  ; −2 ÷ .
D. ( 1; −1) .
2
2


2

Lời giải
Chọn A
Ta có: Trung điểm của đoạn thẳng AB là:

 x + x y + yB   1 + 0 0 + (−2)   1

I = A B ; A
;
÷ =  ; −1 ÷ .
÷= 
2   2
2  2

 2
Câu 9: Cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ O , hai đỉnh A và B có tọa độ
là A ( −2; 2 ) ; B ( 3;5 ) . Tọa độ của đỉnh C là:
A. ( 1;7 ) .

B. ( −1; −7 ) .

C. ( −3; −5 ) .

Lời giải

D. ( 2; −2 ) .

Chọn B
x A + xB + xC
−2 + 3 + xC


0=
 xO =

 xC = −1

3
3
⇔
⇔
Ta có: 
.
 yC = −7
 y = y A + y B + yC
0 = 2 + 5 + yC
 O

3
3
r
Câu 10:
Vectơ a = ( −4;0 ) được phân tích theo hai vectơ đơn vị như thế nào?

r
r r
r
r r
r
r
r
r
A. a = −4i + j .
B. a = −i + 4 j .
C. a = −4 j .
D. a = −4i .
Lời giải
Chọn D
r
r
r r
r
Ta có: a = ( −4;0 ) ⇒ a = −4i + 0 j = −4i .
uuur
uuu
r
Câu 11:
Cho hai điểm A ( 1;0 ) và B ( 0; −2 ) .Tọa độ điểm D sao cho AD = −3 AB là:
A. ( 4; −6 ) .
B. ( 2;0 ) .
C. ( 0; 4 ) .
D. ( 4;6 ) .
Lời giải
Chọn D

uuur
uuu
r


 xD = 4
 xD − x A = −3 ( xB − x A )
 xD − 1 = −3 ( 0 − 1)
⇔
⇔
Ta có: AD = −3 AB ⇔ 
.
 yD = 6
 y D − y A = −3 ( y B − y A )
 y D − 0 = −3 ( −2 − 0 )


r
r
r
r
Câu 12:
Cho a = ( −5;0 ) , b = ( 4; x ) . Haivec tơ a và b cùng phương nếu số x là:
A. −5 .
B. 4 .
C. −1 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn D
r

r
r
r
Ta có: a và b cùng phương khi a = k .b ⇒ x = 0 .
r
r
r r
Câu 13:
Cho a = ( −1; 2 ) , b = ( 5; −7 ) . Tọa độ của vec tơ a − b là:
A. ( 6; −9 ) .

B. ( 4; −5 ) .

C. ( −6;9 ) .
Lời giải

D. ( −5; −14 ) .

Chọn C
r r
Ta có: a − b = ( −1 − 5; 2 + 7 ) = ( −6;9 ) .

uuur
Câu 14:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3, BC = 4 . Độ dài của vec tơ AC là:
A. 9.
B. 5.
C. 6.
D. 7.
Lời giải

Chọn B
uuur
Ta có: AC = AC = AB 2 + BC 2 = 32 + 42 = 5 .
Trang
5/11


uuu
r
Cho hai điểm A ( 1;0 ) và B ( 0; −2 ) . Vec tơ đối của vectơ AB có tọa độ là:
A. ( −1; 2 ) .
B. ( −1; −2 ) .
C. ( 1; 2 ) .
D. ( 1; −2 ) .
Lời giải
Chọn B
uuu
r
uuu
r
Ta có vectơ đối của AB là BA = ( 0 − 1; −2 − 0 ) = ( −1; −2 ) .
r
r
r r
Câu 16:
Cho a = ( 3; −4 ) , b = ( −1; 2 ) . Tọa độ của vec tơ a + b là:

Câu 15:

A. ( 2; −2 ) .

B. ( 4; −6 ) .

C. ( −3; −8 ) .
Lời giải

D. ( −4; 6 ) .

Chọn A
r r
Ta có: a + b = ( 3 + (−1);(−4) + 2 ) = ( 2; −2 ) .
Câu 17:
Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng?
r
r
A. Hai vec tơ u = ( 4; 2 ) và v = ( 8;3) cùng phương.
r
r
B. Hai vec tơ a = ( −5;0 ) và b = ( −4; 0 ) cùng hướng.
r
r
C. Hai vec tơ a = ( 6;3) và b = ( 2;1) ngượchướng.
r
u
r
D. Vec tơ c = ( 7;3) là vec tơ đối của d = ( −7;3) .
Lời giải
Chọn B
r 5r
r

r
Ta có: a = b suy ra a cùng hướng với b .
r4
r
r
r
r r
Câu 18:
Cho a = ( x; 2 ) , b = ( −5;1) , c = ( x;7 ) . Vec tơ c = 2a + 3b nếu:
A. x = 3 .
B. x = −15 .
C. x = 15 .
D. x = 5 .
Lời giải
Chọn C
r
r r
 x = 2 x + 3. ( −5 )
⇔ x = 15 .
Ta có: c = 2a + 3b ⇔ 
7 = 2.2 + 3.1
r
r
r
r
r
r r
Câu 19:
Cho a = (0,1) , b = (−1; 2) , c = (−3; −2) .Tọa độ của u = 3a + 2b − 4c :
A. ( 10; −15 ) .

B. ( 15;10 ) .
C. ( 10;15 ) .
D. ( −10;15 ) .
Lời giải
Chọn C
r
r
r r
Ta có: u = 3a + 2b − 4c = ( 3.0 + 2.( −1) − 4.(−3);3.1 + 2.2 − 4.( −2) ) = ( 10;15 ) .
uuur uuur uuur r
Câu 20:
Cho A ( 0;3) , B ( 4; 2 ) . Điểm D thỏa OD + 2 DA − 2 DB = 0 , tọa độ D là:
A. ( −3;3) .

B. ( 8; −2 ) .

C. ( −8; 2 ) .

 5
D.  2; ÷ .
 2

Lời giải
Chọn B
uuur uuur uuur r

 xD = 8
 x D − 0 + 2 ( 0 − xD ) − 2 ( 4 − xD ) = 0
⇔
Ta có: OD + 2 DA − 2 DB = 0 ⇔ 

.
 yD = −2

 yD − 0 + 2 ( 3 − yD ) − 2 ( 2 − yD ) = 0
Câu 21:
Tam giác ABC có C ( −2; −4 ) , trọng tâm G ( 0; 4 ) , trung điểm cạnh BC là

M ( 2;0 ) . Tọa độ A và B là:

A. A ( 4;12 ) , B ( 4;6 ) .

C. A ( −4;12 ) , B ( 6; 4 ) .

B. A ( −4; −12 ) , B ( 6; 4 ) .

D. A ( 4; −12 ) , B ( −6; 4 ) .
Lời giải
Trang
6/11


Chọn C
xB + ( −2)

 2 =
 xB = 6
2
⇔
⇒ B ( 6; 4 )
Ta có: M ( 2;0 ) là trung điểm BC nên 

 yB = 4
0 = yB + (−4)

2
x A + 6 + ( −2)

0 =
 x A = −4
3
G ( 0; 4 ) là trọng tâm tam giác ABC nên 
⇔
⇒ A ( −4;12 ) .
y
+
4
+
(
−
4)
y
=
12
 A
4 = A

3
r r r
r r r
Câu 22:
Cho a = 3i − 4 j và b = i − j . Tìm phát biểu sai:

r
uu
r
uu
r
r r
A. a = 5 .
B. b = 0 .
C. a − b = ( 2; −3) .
D. b = 2 .
Lời giải
Chọn B
r r r r
r
r r r
r
Ta có: a = 3i − 4 j ⇒ a ( 3; −4 ) , b = i − j ⇒ b ( 1; −1) ⇒ b = 2 .
Câu 23:

Cho A ( 1; 2 ) , B ( −2;6 ) . Điểm M trên trục Oy sao cho ba điểm A, B, M thẳng

hàng thì tọa độ điểm M là:
A. ( 0;10 ) .
B. ( 0; −10 ) .

C. ( 10;0 ) .
Lời giải

D. ( −10; 0 ) .

Chọn A
Ta có: M trên trục Oy ⇒ M ( 0; y )
uuu
r
uuuu
r
Ba điểm A, B, M thẳng hàng khi AB cùng phương với AM
uuu
r
uuuu
r
uuu
r
Ta có AB = ( −3; 4 ) , AM = ( −1; y − 2 ) . Do đó, AB cùng phương với
uuuu
r
−1 y − 2
AM ⇔
=
⇒ y = 10 . Vậy M ( 0;10 ) .
−3
4
Câu 24:
Cho 4 điểm A ( 1; −2 ) , B ( 0;3) , C ( −3; 4 ) , D ( −1;8 ) . Ba điểm nào trong 4 điểm đã
cho là thẳng hàng?
A. A, B, C .
B. B, C , D .

C. A, B, D .
Lời giải

D. A, C , D .

Chọn C
uuur
uuu
r
uuur
uuu
r
Ta có: AD ( −2;10 ) , AB ( −1;5 ) ⇒ AD = 2 AB ⇒ 3 điểm A, B, D thẳng hàng.
Câu 25:

Trong mặt phẳng Oxy , cho B ( 5; −4 ) , C ( 3;7 ) . Tọa độ của điểm E đối xứng

với C qua B là
A. E ( 1;18) .

B. E ( 7;15 ) .

C. E ( 7; −1) .
Lời giải

D. E ( 7; −15 ) .

Chọn D
Ta có: E đối xứng với C qua B ⇒ B là trung điểm đoạn thẳng EC
xE + 3

5 = 2

 xE = 7
⇔
⇒ E ( 7; −15 ) .
Do đó, ta có: 
 y E = −15
−4 = yE + 7

2
Câu 26:
Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A ( 1;3) , B ( 4; 0 ) . Tọa độ điểm M thỏa
uuuu
r uuu
r r
3 AM + AB = 0 là
A. M ( 4; 0 ) .
B. M ( 5;3) .
C. M ( 0; 4 ) .
D. M ( 0; −4 ) .
Lời giải
Trang
7/11


Chọn C
uuuu
r uuu
r r

 xM = 0
3 ( xM − 1) + ( 4 − 1) = 0

⇔
⇒ M ( 0; 4 ) .
Ta có: 3 AM + AB = 0 ⇔ 
 yM = 4

3 ( yM − 3) + ( 0 − 3) = 0
Câu 27:
Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A ( −3;3) , B ( 1; 4 ) , C ( 2; −5 ) . Tọa độ điểm
uuur uuur
uuuu
r
M thỏa mãn 2 MA − BC = 4CM là:
1 5
 1 5
1 5
5 1
A. M  ; ÷.
B. M  − ; − ÷ .
C. M  ; − ÷.
D. M  ; − ÷.
6 6
 6 6
6 6
6 6
Lời giải
Chọn C
1

uuur uuur
uuuu

r
 xM = 6
 2 ( −3 − xM ) − ( 2 − 1) = 4 ( xM − 2 )
1 5
⇔
⇒ M  ; − ÷.
Ta có: 2 MA − BC = 4CM ⇔ 
6 6
y = − 5
 2 ( 3 − yM ) − ( −5 − 4 ) = 4 ( yM + 5 )
M

6
Oxy
Câu 28:
Trong
mặt
phẳng
tọa
độ
cho
bốn
điểm

A ( 3; −2 ) , B ( 7;1) , C ( 0;1) , D ( −8; −5 ) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
uuur uuur
uuur uuur
A. AB, CD đối nhau.
B. AB, CD cùng phương nhưng ngược
hướng.

uuur uuur
C. AB, CD cùng phương cùng hướng.

D. A, B, C, D thẳng hàng.

Lời giải
Chọn B
uuur
uuur
uuur
uuur
Ta có: AB = ( 4;3) , CD = ( −8; −6 ) ⇒ CD = −2 AB .

Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A ( 1;3) , B ( 4;0 ) , C ( 2; −5 ) . Tọa độ điểm
uuur uuur uuuu
r r
M thỏa mãn MA + MB − 3MC = 0 là
A. M ( 1;18 ) .
B. M ( −1;18 ) .
C. M ( −18;1) .
D. M ( 1; −18 ) .
Lời giải
Chọn D
uuur uuur uuuu
r r

 xM = 1
( 1 − xM ) + ( 4 − xM ) − 3 ( 2 − xM ) = 0
⇔
Ta có: MA + MB − 3MC = 0 ⇔ 

.
 yM = −18

( 3 − yM ) + ( 0 − yM ) − 3 ( −5 − yM ) = 0

Câu 29:

Câu 30:

Trong mặt phẳng Oxy , cho A ( −2;0 ) , B ( 5; −4 ) , C ( −5;1) . Tọa độ điểm D để tứ

giác BCAD là hình bình hành là:
A. D ( −8; −5 ) .
B. D ( 8;5 ) .

C. D ( −8;5) .
Lời giải

D. D ( 8; −5 ) .

Chọn D
Ta có: tứ giác BCAD là hình bình hành khi
uuur uuur
−5 − 5 = −2 − xD
 xD = 8
BC = DA ⇔ 
⇔
.
1 + 4 = 0 − yD
 y D = −5

Câu 31:
Trong mặt phẳng Oxy , cho A ( 2; 4 ) , B ( −1; 4 ) , C ( −5;1) . Tọa độ điểm D để tứ

giác ABCD là hình bình hành là:
A. D ( −8;1) .
B. D ( 6; 7 ) .

C. D ( −2;1) .
Lời giải

D. D ( 8;1) .

Chọn C

Trang
8/11


Ta có: tứ giác ABCD là hình bình hành khi
uuu
r uuur
−1 − 2 = −5 − xD
 xD = −2
AB = DC ⇔ 
⇔
.
4 − 4 = 1 − y D
 yD = 1
Câu 32:
Trong mặt phẳng Oxy , gọi B ', B '' và B ''' lần lượt là điểm đối xứng của

B ( −2; 7 ) qua trục Ox , Oy và qua gốc tọa độ O . Tọa độ của các điểm B ', B '' và

B ''' là:
A. B ' ( −2; −7 ) , B" ( 2;7 ) và B"' ( 2; −7 ) .

C. B ' ( −2; −7 ) , B" ( 2; 7 ) và B"' ( −7; −2 ) .

B. B ' ( −7; 2 ) , B" ( 2; 7 ) và B"' ( 2; −7 ) .

D. B ' ( −2; −7 ) , B" ( 7; 2 ) và B"' ( 2; −7 ) .
Lời giải

Chọn A
Ta có: B ' đối xứng với B ( −2;7 ) qua trục Ox ⇒ B ' ( −2; −7 )

B '' đối xứng với B ( −2; 7 ) qua trục Oy ⇒ B '' ( 2;7 )
B ''' đối xứng với B ( −2; 7 ) qua gốc tọa độ O ⇒ B ''' ( 2; −7 ) .

Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A ( 0; 2 ) , B ( 1; 4 ) . Tìm tọa độ điểm M
uuuu
r
uuu
r
thỏa mãn AM = −2 AB là:
A. M ( −2; −2 ) .
B. M ( 1; −4 ) .
C. M ( 3;5 ) .
D. M ( 0; −2 ) .

Câu 33:

Lời giải
Chọn A
uuuu
r
uuu
r
 xM − 0 = −2 ( 1 − 0 )
 xM = −2
⇔
⇒ M ( −2; −2 ) .
Ta có: AM = −2 AB ⇔ 
 yM = −2
 yM − 2 = −2 ( 4 − 2 )
r
r
r r
r
Câu 34:
Cho a = ( −4, 1) và b = ( −3, − 2 ) . Tọa độ c = a − 2b là:
r
r
r
r
A. c = ( 1; − 3) .
B. c = ( 2;5 ) .
C. c = ( −7; −1) .
D. c = ( −10; −3) .
Lời giải

Chọn B
r r r
Ta có: c = a − 2b = ( −4 − 2.(−3);1 − 2.( −2) ) = ( 2;5 ) .
r
r
r r
Câu 35:
Cho a = (2016 2015;0), b = (4; x ) . Hai vectơ a, b cùng phương nếu
A. x = 504 .
B. x = 0 .
C. x = −504 .
D. x = 2017 .
Lời giải
Chọn B
r r
r
r
Ta có: a, b cùng phương ⇔ a = k .b ⇒ x = 0 .
r
uuu
r
7

Câu 36:
Trong mặt phẳng Oxy , Cho A  ; −3 ÷; B(−2;5) . Khi đó a = −4 AB = ?
2

r  −11 
r
r

r
;8 ÷.
A. a = ( 22; −32 ) .
B. a = ( 22;32 ) .
C. a = ( −22;32 ) .
D. a = 
 2

Lời giải
Chọn A
r
uuu
r
7


Ta có: a = −4 AB = −4  −2 − ;5 + 3 ÷ = ( 22; −32 ) .
2


r
r
r r
Câu 37:
Trong mặt phẳng Oxy , cho a = (m − 2; 2n + 1), b = ( 3; −2 ) . Nếu a = b thì
3
A. m = 5, n = −3 .
B. m = 5, n = − .
C. m = 5, n = −2 .
D. m = 5, n = 2 .

2
Lời giải
Trang
9/11


Chọn B

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

m = 5
r r
m − 2 = 3

⇔
Ta có: a = b ⇔ 
3.
 2 n + 1 = −2
 n = − 2
38:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A(2; −1) . Điểm B là điểm đối xứng của
A qua trục hoành. Tọa độ điểm B là:

A. B (2;1) .
B. B( −2; −1) .
C. B (1; 2) .
D. B (1; −2) .
Lời giải
Chọn A
Ta có: B là điểm đối xứng của A qua trục hoành ⇒ B ( 2;1) .
r
ur
r
39:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho a = (2;1), b = (3; 4), c = (7; 2) . Cho biết
r
r
r
c = m.a + n.b . Khi đó
22
−3
1
−3
22
−3
22
3
A. m = − ; n =
. B. m = ; n =
.
C. m = ; n =
. D. m = ; n = .
5

5
5
5
5
5
5
5
Lời giải
Chọn C
22

m=
r
r
r

7 = 2m + 3n

5
⇔
Ta có: c = m.a + n.b ⇔ 
.
 2 = m + 4n
n = − 3

5
r
r
r
r

40:
Cho các vectơ a = ( 4; −2 ) , b = ( −1; −1) , c = ( 2;5 ) . Phân tích vectơ b theo hai
r
r
vectơ a và c , ta được:
r
r 1r 1r
r
r
1r 1r
1r r
1r 1r
A. b = − a − c .
B. b = a − c .
C. b = − a − 4c .
D. b = − a + c .
8
4
8
4
2
8
4
Lời giải
Chọn A
1

m
=
−

r
r r
r
 −1 = 4 m + 2 n
1r 1r

8
⇔
Giả sử b = ma + nc ⇔ 
. Vậy b = − a − c .
8
4
 −1 = −2 m + 5n
n = − 1

4
r
r 
r
r uur r
1
41:
Cho a = ( x; 2), b =  −5; ÷, c = ( x;7 ) . Vectơ c = 4a − 3b nếu
3

A. x = 15 .
B. x = 3 .
C. x = −15 .
D. x = −5 .
Lời giải

Chọn D
 x = 4 x − 3.(−5)
r uur r

Ta có: c = 4a − 3b ⇔ 
1 ⇔ x = −5 .
7
=
4.2
−
3.

3
42:
Trong mặt phẳng Oxy , cho A ( m − 1; −1) , B ( 2; 2 − 2m ) , C ( m + 3;3 ) . Tìm giá trị m
để A, B, C là ba điểm thẳng hàng?
A. m = 2 .
B. m = 0 .

C. m = 3 .
Lời giải

D. m = 1 .

Chọn B
uuu
r
uuur
Ta có: AB = ( 3 − m;3 − 2m ) , AC = ( 4; 4 )
uuur

uuu
r
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB cùng phương với AC
Trang
10/11


3 − m 3 − 2m
=
⇔ m = 0.
4
4
Cho hai điểm M ( 8; −1) , N ( 3; 2 ) . Nếu P là điểm đối xứng với điểm M qua
⇔

Câu 43:

điểm N thì P có tọa độ là:
A. ( −2;5 ) .

B. ( 13; −3) .

C. ( 11; −1) .

 11 1 
D.  ; ÷ .
 2 2

Lời giải
Chọn A

Ta có: P là điểm đối xứng với điểm M qua điểm N nên N là trung điểm
đoạn thẳng PM
 8 + xP
3 = 2
 x P = −2
⇔
⇒ P ( −2;5 ) .
Do đó, ta có: 
(
−
1)
+
y
y
=
5
P
 P
2 =

2
Câu 44:
Cho tam giác ABC với A ( 3; −1) , B ( −4; 2 ) , C ( 4;3) . Tìm D để ABDC là hình
bình hành?
A. D ( 3;6 ) .

B. D ( −3;6 ) .

C. D ( 3; −6 ) .

D. D ( −3; −6 ) .

Lời giải
Chọn B
Ta có: ABDC là hình bình hành
uuu
r uuur
−4 − 3 = xD − 4
 xD = −3
⇔ AB = CD ⇔ 
⇔
⇒ D ( −3; 6 ) .
2
+
1
=
y
−
3
y
=
6

D
 D
Câu 45:
Cho K ( 1; −3) . Điểm A ∈ Ox, B ∈ Oy sao cho A là trung điểm KB . Tọa độ

điểm B là:
A. ( 0;3) .

1 
B.  ;0 ÷.
3 

C. ( 0; 2 ) .

D. ( 4; 2 ) .

Lời giải
Chọn A
Ta có: A ∈ Ox, B ∈ Oy ⇒ A ( x; 0 ) , B ( 0; y )
1+ 0

1
x
=


x =
2
⇔
2 .Vậy B ( 0;3) .
A là trung điểm KB ⇒ 
−
3
+
y
0 =
 y = 3


2
Câu 46:
Cho tam giác ABC với A ( 3;1) , B ( 4; 2 ) , C ( 4; −3) . Tìm D để ABCD là hình
bình hành?
A. D ( −3; 4 ) .

B. D ( −3; −4 ) .

C. D ( 3; −4 ) .

D. D ( 3; 4 ) .

Lời giải
Chọn B
Ta có: ABCD là hình bình hành
uuu
r uuur
 4 − 3 = 4 − xD
 xD = −3
⇔ AB = DC ⇔ 
⇔
⇒ D ( −3; −4 ) .
2 − 1 = −3 − yD
 yD = −4
Câu 47:
Cho M ( 2;0 ) , N ( 2; 2 ) , P ( −1;3) lần lượt là trung điểm các cạnh BC , CA, AB của

∆ABC . Tọa độ B là:
Trang

11/11


A. ( 1;1) .

B. ( −1; −1) .

C. ( −1;1) .
Lời giải

D. ( 1; −1) .

Chọn C

Ta có: BPNM là hình bình hành nên
 xB + xN = xP + xM
 x + 2 = 2 + ( −1)
 x = −1
⇔ B
⇔ B
.

 yB + 2 = 0 + 3
 yB = 1
 y B + y N = y P + yM
Câu 48:
Các điểm M ( 2;3) , N ( 0; −4 ) , P ( −1;6 ) lần lượt là trung điểm các cạnh BC ,

CA , AB của tam giác ABC . Tọa độ đỉnh A của tam giác là:
A. ( 1; −10 ) .

B. ( 1;5 ) .
C. ( −3; −1) .
D. ( −2; −7 ) .
Lời giải
Chọn C

Ta có: APMN là hình bình hành nên
 x A + xM = xP + xN
 x A + 2 = 0 + (−1)
 x A = −3
⇔
⇔
.

 y A + 3 = (−4) + 6
 y A = −1
 y A + yM = y P + y N
Câu 49:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác MNP có M ( 1; −1) , N ( 5; −3) và

P thuộc trục Oy ,trọng tâm G của tam giác nằm trên trục Ox .Toạ độ của
điểm P là
A. ( 0; 4 ) .
B. ( 2;0 ) .
C. ( 2; 4 ) .
D. ( 0; 2 ) .
Lời giải
Chọn A
Ta có: P thuộc trục Oy ⇒ P ( 0; y ) , G nằm trên trục Ox ⇒ G ( x; 0 )
1+ 5 + 0


 x =
x = 2
3
⇔
G là trọng tâm tam giác MNP nên ta có: 
y = 4
0 = ( −1) + (−3) + y

3
Vậy P ( 0; 4 ) .
Cho các điểm A ( −2;1) , B ( 4; 0 ) , C ( 2;3) . Tìm
uuuu
r uuur
uuu
r
CM + 3 AC = 2 AB
A. M ( 2; −5 ) .
B. M ( 5; −2 ) .
C. M ( −5; 2 ) .

Câu 50:

điểm

M

biết

rằng

D. M ( 2;5 ) .

Lời giải
Trang
12/11


Chọn A
uuuu
r uuur
uuu
r

 xM = 2
 xM − 2 + 3 ( 2 + 2 ) = 2 ( 4 + 2 )
⇔
⇒ M ( 2; −5 )
Ta có: CM + 3 AC = 2 AB ⇔ 
 yM = −5

 yM − 3 + 3 ( 3 − 1) = 2 ( 0 − 1)

Trang
13/11