Hình học giải tích sưu tầm

AF
T

Michèle Audin

DR

HÌNH HỌC

Những người dịch: Sinh viên K58 CNTN (Nguyễn Tú Anh, Phùng
Lâm Bình, Phạm Minh Hoàng, Trần Minh Tâm, Nguyễn Thụy Trung,
Lê Quốc Tuấn), và Lê Minh Hà, Phó Đức Tài.
Dịch từ nguyên bản tiếng Pháp "Géométrie", bản in lần thứ hai, do
NXB EDP Sciences xuất bản năm 2006.


AF
T

Mục lục

I

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Hình học affine
I.1 Tiên đề về đường thẳng song song . . . . . . . . . . . . .
I.2 Không gian affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
6
6

Ánh xạ affine . . . . . . . . . . . . . .
Ba định lý cơ bản của hình học phẳng
Phụ lục: Tâm tỉ cự . . . . . . . . . . .
Phụ lục: Tính lồi . . . . . . . . . . . .
Phụ lục: Hệ tọa độ Đề-các . . . . . . .

.
.
.
.
.

13
24
26
28
30

II Hình học Euclid, lý thuyết chung
II.1 Không gian Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2 Cấu trúc của các phép đẳng cự . . . . . . . . . . . . . . .
II.3 Nhóm các đẳng cự tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . .

47
47
50

54

III Hình học Euclid trong mặt phẳng
III.1 Góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2 Phép đẳng cự và dời hình trong mặt phẳng
III.3 Phép đồng dạng trong mặt phẳng . . . . . .
III.4 Phép nghịch đảo và chùm đường tròn . . .

67
67
78
81
85

DR

I.3
I.4
I.5
I.6
I.7

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

V Hình học Euclid trong không gian
99
V.1 Các phép đẳng cự và dời hình trong không gian . . . . . 99
V.2 Tích véctơ, và tính diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


4

MỤC LỤC

V.3 Mặt cầu, tam giác cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
V.4 Đa diện, công thức Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
V.5 Đa diện đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
129
129
135
145
154
154
164
177

DR

AF
T

VIIConic và Quadric

VII.1Quadric và conic affine, lý thuyết chung . .
VII.2Phân loại và các tính chất của conic affine .
VII.3Quadric và conic xạ ảnh . . . . . . . . . . .
VII.4Phân loại xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . .
VII.5Nhắc lại về dạng toàn phương . . . . . . . .
VII.6Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Danh mục từ khóa . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.


AF
T

Chương I

Hình học affine

Một không gian affine là một tập hợp các điểm, nó chứa các đường
thẳng, mặt phẳng, và hình học affine1 thảo luận, chẳng hạn về các quan
hệ giữa các điểm và các đường thẳng đó (các điểm thẳng hàng, các đường
thẳng song song hay đồng qui...). Để định nghĩa các đối tượng này, có
thể:

• Phát biểu một danh sách các tiên đề, mô tả các tính chất liên

DR

thuộc2 , chẳng hạn như "qua hai điểm có thể kẻ được duy nhất một
đường thẳng". Đó là quan điểm của Euclide (và gần đây là Hilbert).
Ngay cả khi quá trình và bản thân các tiên đề có thể không được
phát biểu một cách tường minh thì đây là cách thức được sử dụng
trong trường trung học.

• Ta quyết định rằng điều quan trọng nhất là hai điểm xác định một

véctơ, và định nghĩa mọi thứ sử dụng đại số tuyến tính, tức là từ
các tiên đề của không gian véctơ.

Tôi đã quyết định sử dụng phương pháp thứ hai vì nó trừu tượng và gọn
gàng hơn, nhưng tất nhiên, lý do chính là vì tôi cho rằng đây là thời
điểm cần chứng tỏ cho sinh viên thấy các kiến thức đại số tuyến tính
mà họ được cung cấp cũng tỏ ra hữu ích.
1

Ở đây ta mới chỉ nói đến hình học affine "nguyên gốc", tức là chưa có các khái niệm về
khoảng cách, góc, tính vuông góc của hình học Euclid mà ta sẽ thảo luận trong các chương
tiếp theo.
2
incidence properties


6

I.1

Hình học affine

Tiên đề về đường thẳng song song

AF
T

Nhưng, để bắt đầu, ta sẽ nhắc lại một vài khía cạnh của phương pháp
thứ nhất. Đầu tiên, có các tiên đề của Euclide, xác lập các quan hệ giữa
các đối tượng, gọi là các "điểm", và các đối tượng khác, gọi là các "đường
thẳng". Ví dụ,
Tiên đề I.1.1. Qua hai điểm có thể kẻ được duy nhất một đường thẳng.

Các điểm nằm trên các đường thẳng, các đường thẳng bao gồm các
điểm. Đối với những gì ta quan tâm đến ở đây thì hai đường thẳng không
cắt nhau (hoặc trùng nhau) được gọi là song song (ký hiệu D D ). Và
có một tiên đề nổi tiếng, tiên đề thứ năm của Euclide, mà ta sẽ phát
biểu dưới đây (măc dù không hẳn là phát biểu của Euclide nhưng tương
đương với nó)
Tiên đề I.1.2. Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có duy nhất
một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Sở dĩ tiên đề thứ năm của Euclide trở nên nổi tiếng là vì sự phụ
thuộc của nó vào các tiên đề khác chính là nguồn gốc của các hình học
phi-Euclide. Một điểm thú vị là tiên đề thứ năm dẫn đến hệ quả:

DR

Mệnh đề I.1.3. Quan hệ "song song với" là một quan hệ tương đương
trong tập hợp các đường thẳng của mặt phẳng.

Chứng minh. Theo định nghĩa, nó có tính chất phản xạ và đối xứng. Ta

sẽ chứng minh rằng nó có tính chất bắc cầu. Giả sử ba đường thẳng
D, D , D thỏa mãn D D và D D , ta cần chứng minh rằng D và D
song song với nhau. Giả sử D ∩ D khác rỗng, lấy A ∈ D ∩ D . Đường
thẳng D qua A song song với D và với D , vì thế D = D nhờ tính duy
nhất mà tiên đề thứ năm đã khẳng định.

I.2

Không gian affine

Định nghĩa I.2.1. Một tập hợp E được trang bị một cấu trúc ( không
gian affine) bởi dữ liệu bao gồm một không gian véctơ E và một ánh xạ
Θ cho tương ứng với mỗi cặp điểm của E một véctơ của E .
−→
Θ : E × E → E; (A, B) → AB,


I.2 Không gian affine

7

sao cho
−→

(i) Với mỗi A ∈ E , ánh xạ ΘA : B → AB là một song ánh từ E vào E .
(ii) Với mọi điểm A, B, C ∈ E , quan hệ Chasles được thỏa mãn:

AF
T

−→ −→ −−→
AB = AC + CB.

Không gian véctơ E được gọi là không gian chỉ phương hay (không
gian) hướng của E . Các phần tử của E được gọi là các điểm, và số chiều
của không gian véctơ E được gọi là chiều của E .
Ví dụ I.2.2. (1) Với định nghĩa trên, tập rỗng là một không gian affine
(định hướng bởi không gian véctơ bất kỳ), ta xem nó không có chiều.

(2) Mọi không gian véctơ bất kỳ đều có một cấu trúc tự nhiên3 của một
không gian affine: ánh xạ Θ : E × E → E đơn giản là gán mỗi cặp
xếp thứ tự (u, v) với véctơ v − u.
(3) Nếu E1 và E2 là hai không gian affine định hướng bởi E1 và E2 ,
khi đó tích Đề các E1 × E2 là một không gian affine định hướng bởi
E1 × E2 : ánh xạ
Θ : (E1 × E2 ) × (E1 × E2 ) → E1 × E2

DR

gán mỗi cặp xếp thứ tự ((A1 , A2 ), (B1 , B2 )) với một cặp véctơ
−−−→ −−−→
(A1 B1 , A2 B2 ).

Tính chất

−→

−→

−→

−→

−−→

Từ quan hệ Chasles ta suy ra ngay lập tức AA = 0 và AB = −BA.

Luật hình bình hành

Luật hình bình hành phát biểu rằng hai đẳng thức AB = A B và
−−→
−−→
AA = BB là tương đương với nhau. Có thể chứng minh kết quả này
nhờ quan hệ Chasles. Khi một trong hai đẳng thức trên được thỏa mãn,
ta nói rằng AA BB là một hình bình hành.
3

Gọi là tự nhiên vì nó được định nghĩa bởi cấu trúc thô của không gian véctơ. Chính xác
hơn, nhưng ít "tự nhiên" hơn, có thể gọi nó là cấu trúc "chính tắc".


8

Hình học affine

Nhận xét I.2.3. Nếu A là một điểm trong không gian affine E và u là
một véctơ trong không gian E liên kết với nó thì tồn tại một điêm duy
−→
nhất B thỏa mãn AB = u, và đôi khi được viết là

AF
T

B = A + u.

Ký hiệu này nhất quán vì ta có

(A + u) + v = A + (u + v).

(đó là một trong những cách diễn đạt quan hệ Chasles). Bài tập I.63 sẽ
giải thích thêm về ký hiệu này.
Véc tơ hóa không gian affine

Một khi ta đã chọn một điểm A trong không gian affine E thì E có
thể được trang bị một cấu trúc không gian véctơ, ký hiệu là EA . Ánh xạ
−−→
ΘA : E → E , M → AM là một song ánh, và nó cho phép ta mang cấu
trúc không gian véctơ từ E sang E : Ta nói rằng M + N = Q nếu như
−−→ −−→ −→
AM + AN = AQ. Lưu ý rằng cấu trúc không gian véctơ định nghĩa như
trên rõ ràng phụ thuộc vào cách chọn điểm A. Điểm này trở thành véctơ
−→
không của không gian véctơ EA , vì AA = 0.

DR

Nhận xét I.2.4. Từ phân tích trên, ta kết luận rằng nếu không gian
véctơ E có cấu trúc tự nhiên của một không gian affine, không thể kết
luận rằng không gian affine E có cấu trúc tự nhiên của một không gian
véctơ.

Không gian affine con.

Một tập con F của E được gọi là một không gian affine con nếu nó là
tập rỗng, hoặc chứa một điểm A sao cho ΘA (F) là một không gian véctơ
con của E .
Dễ thấy rằng không gian véctơ con này không phụ thuộc vào cách
chọn điểm A. Cụ thể là

Mệnh đề I.2.5. Cho F là một không gian affine con của E . Tồn tại
một không gian con F của E sao cho với mọi B ∈ F , ΘB (F) = F . Không
gian con F là một không gian affine định hướng bởi F.


I.2 Không gian affine

9

Chứng minh. Xem Bài tập I.2.
−−→

Nhận xét I.2.6. Nếu M, N là hai điểm thuộc F thì M N ∈ F

AF
T

Ngược lại, ta có kết quả được suy ra từ định nghĩa sau đây.
Mệnh đề I.2.7. Cho F là một không gian véctơ con của E và A là một
điểm của E . Khi đó tồn tại duy nhất một không gian affine con định
hướng bởi F và đi qua điểm A.
Chứng minh. Nếu F là một không gian affine con đi qua A, định hướng

bởi F thì ΘA (F) = F và
−−→
F = {M ∈ E|AM ∈ F }.

Ngược lại, đẳng thức trên xác định một không gian affine con định hướng
bởi F và đi qua A.

Ví dụ I.2.8. (1) Một không gian affine 0 chiều bao gồm một điểm duy
nhất (vì sao?). Mọi điểm của một không gian affine E đều là một
không gian affine con. Ta nói một đường thẳng, tương ứng mặt
phẳng, là các không gian affine hoặc không gian affine con 1 chiều,
hoặc tương ứng 2 chiều.

DR

(2) Cho E và F là hai không gian véctơ, f : E → F là một ánh xạ tuyến
tính. Với mỗi v trong ảnh của f trong F , nghịch ảnh f −1 (v) là một
không gian affine con của E (ở đây, ta coi E là không gian affine
với cấu trúc affine tự nhiên) có không gian chỉ phương là hạt nhân
ker f của f .
Chứng minh. Xét v ∈ Imf , ta phải chứng minh rằng, với u trong
F = f −1 (v), ta có
Θu (f −1 (v)) = ker f.

Theo định nghĩa, Θu (x) = u − x. Nếu y ∈ ker f , với x = y + u ta có
f (x) = f (u) = v , vì vậy x ∈ F và do đó y = x − u = Θu (x) với x ∈ F
nào đó. Từ đó ker f ⊂ Θu (F).
Ngược lại, nếu y ∈ Θu (F), y = x − u với x ∈ F nào đó, khi đó
f (y) = 0.

10

Hình học affine

AF
T

Ví dụ, tập hợp các nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính, nếu
khác rỗng, lập thành một không gian affine con định hướng bởi tập
hợp các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết.
Phương trình n1 ai xi = b xác định một không gian affine con của
không gian véctơ Rn (hoặc Cn , hay Kn ).
(3) Tổng quát hơn, các không gian con affine của một không gian véctơ
E là các không gian con có dạng F + u0 , ở đó F là một không gian
véctơ con và u0 là một véctơ của E. Các không gian véctơ con là
các không gian affine con chứa 0.
Giao của các không gian affine con, không gian con sinh bởi một tập
con của E.

Mệnh đề I.2.9. Giao của một họ tùy ý các không gian affine con cũng
là một không gian affine con.

DR

Chứng minh. Giả sử (F)i , i ∈ I , là một họ các không gian affine con của
E và F là giao của chúng. Nếu giao đó là tập rỗng thì nó là một không
gian affine con. Nếu không, ta có thể chọn một điểm A trong đó. Với
mỗi i ∈ I thì ΘA (Fi ) là một không gian véctơ con Fi của hướng E của E .
Ký hiệu F là giao của tất cả các Fi . Đó là một không gian con và F

là không gian affine con đi qua A và định hướng bởi F : một điểm M ∈ E
nằm trong F nếu và chỉ nếu nó thuộc vào Fi với mỗi i, tức là nếu và chỉ
−−→
−−→
nếu AM ∈ Fi với mỗi i, do đó AM ∈ F .
Mệnh đề I.2.10. Cho S là một tập con của E . Giao của tất cả các không
gian affine con chứa S là không gian affine con nhỏ nhất chứa S.

Không gian này là không gian con căng bởi (hay còn gọi là sinh bởi)
S, ký hiệu là < S >. Ví dụ, nếu S = {A0 , . . . , Ak } là một tập hợp hữu
hạn thì < A0 , . . . , Ak > là không gian affine con chứa A0 và định hướng
−−−→
−−−→
bởi không gian véctơ căng bởi các véctơ A0 A1 , . . . , A0 Ak . Nói riêng, chiều
của nó không vượt quá k .
Định nghĩa I.2.11. Hệ (k + 1) điểm A0 , . . . , Ak được gọi là độc lập affine
nếu chiều của không gian < A0 , . . . , Ak > bằng k . Nếu k = dim E thì ta
nói (A0 , . . . , Ak ) là một khung affine 4 của E .
4

affine frame


I.2 Không gian affine

11

AF
T

Ví dụ, một khung affine của một đường thẳng gồm có hai điểm phân
biệt. Độc giả cần tự đảm bảo rằng mình biết cách chứng minh rằng qua
hai điểm có duy nhất một đường thẳng5 (Bài tập 1.3). Ba điểm là độc
lập nếu như chúng không nằm trên cùng một đường thẳng, và tổng quát
hơn, (k + 1) điểm là độc lập nếu và chỉ nếu không điểm nào nằm trong
không gian con căng bởi các điểm khác (Bài tập 1.9).
Nhận xét I.2.12. Một khung affine (A0 , . . . , Ak ) của một không gian E có
−−−→
−−−→
thể được xem là bao gồm một điểm gốc A0 và một cơ sở (A0 A1 , . . . , A0 Ak )
của không gian hướng của nó.
Ký hiệu

Ký hiệu < A, B > chỉ, nếu A và B là hai điểm phân biệt, đường thẳng
đi qua A và B. Ta cũng sẽ ký hiệu nó là AB. Ta cũng sẽ nhân dịp này
giới thiệu ký hiệu cho đoạn thẳng trong khong gian affine thực 6 . Nếu A
và B là hai điểm, tập hợp các điểm M của đường thẳng AB thỏa mãn
−−→
−→
AM = λAB , ở đó 0 ≤ λ ≤ 1, trong ngôn ngữ tự nhiên là đoạn thẳng AB,
và ta cũng sẽ ký hiệu là [AB] trong trường hợp có thể bị nhầm lẫn. Tôi
sẽ luôn viết "đường thẳng AB" hay "đoạn thẳng AB".
Vị trí tương đối giữa hai không gian affine con, sự song song

DR

Định nghĩa I.2.13. Hai không gian affine con F và G của E là song
song (ký hiệu F G đọc là F song song với G ) nếu chúng có cùng hướng.
Vì tính song song được định nghĩa bởi từ "cùng" nên đó là một quan
hệ tương đương.

Nhận xét I.2.14. Với định nghĩa này thì hai không gian có thể rời nhau
(tức là F ∩ G = ∅) mà không song song với nhau. Ví dụ, một đường thẳng
không bao giờ song song với một mặt phẳng. Mặt khác, trong một mặt
phẳng thì hai đường thẳng không giao nhau sẽ song song. Một số tác giả
sử dụng thuật ngữ song song yếu để chỉ tình huống có hai không gian
affine F và G mà hai không gian chỉ phương tương ứng thỏa mãn F ⊂ G.
5

Tính chất này, mà phương pháp tiên đề phát biểu như là một tiên đề thì ở đây là một
hệ quả của cấu trúc không gian véctơ.
6
vì sao?


12

Hình học affine

Tôi không thích lắm thuật ngữ này, vì tính chất song song yếu không
phải là một quan hệ tương đương (điều này có hiển nhiên không?).

AF
T

Ví dụ I.2.15. Nếu f : E → F là một ánh xạ tuyến tính thì mọi không
gian con f −1 (v) (ở đó v nằm trong ảnh của f ) đều song song với nahu
vì chúng đều có cùng hướng ker f .

Mệnh đề I.2.16. Nếu F song song với G thì F và G trùng nhau hoặc

rời nhau.

Chứng minh. Giả sử rằng F ∩ G khác rỗng. Gọi A là một điểm trong
giao của chúng. Hướng F của F và điểm A xác định duy nhất một không
gian affine con, theo Mệnh đề I.2.7. Vì thế, nếu F ∩ G khác rỗng, ta có
F = G.

Chú ý rằng "tiên đề về đường thẳng song song" cũng đúng trong
không gian affine
Mệnh đề I.2.17. (Tiên đề về đường thẳng song song) Qua một điểm
bất kỳ của một không gian affine có duy nhất một đường thẳng song song
với một đường thẳng đã cho.

DR

Chứng minh. Điểm A và hướng D của đường thẳng D xác định một
đường thẳng song song như sau:
−−→
D = {M ∈ E|AM ∈ D}.

Mệnh đề I.2.18. Cho F và G là hai không gian affine con của một
không gian affine E , có không gian định hướng tương ứng là F và G. Nếu
F + G = E thì mọi không gian con song song với E đều giao với F .
Mệnh đề trên được suy ra ngay lập tức từ bổ đề sau.

Bổ đề I.2.19. Cho F và G là hai không gian affine con của một không
gian affine E , có không gian định hướng tương ứng là F và G. A, B lần
lượt là hai điểm trong F, G . Khi đó không gian con F ∩ G khác rỗng nếu
−→
và chỉ nếu AB ∈ F + G.

I.3 Ánh xạ affine

13

Chứng minh Mệnh đề. Gọi A là một điểm của F và B là một điểm của
E . Ta phải chứng minh không gian affine con G đi qua B và song song
với G giao với F . Ta viết

AF
T

−→
AB ∈ E = F + G

và áp dụng bổ đề với F và G để suy ra kết luận.

Chứng minh Bổ đề. Nếu giao F ∩ G khác rỗng, ta có thể chọn một điểm
M , khi đó
−−→
−−→
AM = u ∈ F, BM = v ∈ G,

do đó

−→ −−→ −−→
AB = AM − BM ∈ F + G.

−→

Ngược lại, nếu véctơ AB thuộc F + G, ta viết

−→
AB = u − v với u ∈ F và v ∈ G.
−−→

Điểm M xác định bởi u = AM thuộc F và

−→
−−→
AB = u + M B

−−→

DR

vì vậy BM = v thuộc G, từ đó M thuộc G và suy ra M thuộc F ∩ G .

I.3

Ánh xạ affine

Các ánh xạ affine trong hình học affine đóng vai trò giống như ánh
xạ tuyến tính trong đại số tuyến tính.
Định nghĩa I.3.1. Cho E và F là hai không gian affine định hướng
tương ứng bởi E và F. Một ánh xạ ϕ : E → F được gọi là affine nếu như
tồn tại một điểm O trong E và một ánh xạ tuyến tính f : E → F thỏa
mãn
−−−−−−−→

−−→
f (OM ) = ϕ(O)ϕ(M )

∀M ∈ E.


14

Hình học affine

Nhận xét I.3.2. Ánh xạ tuyến tính f không phụ thuộc vào cách chọn
điểm O. Thât vậy, nếu O là một điểm khác thì ta có

AF
T

−−−−−−−→ −−−−−−−→ −−−−−−−→
ϕ(O) ϕ(M ) =ϕ(O) ϕ(O) + ϕ(O)ϕ(M )
−−−−−−−→ −−−−−−−→
= − ϕ(O)ϕ(O) + ϕ(O)ϕ(M )
−−→
−−→
= − f (OO ) + f (OM )
−−→ −−→
=f (OM − OO ) (vì f là ánh xạ tuyến tính)
−−→
=f (O M )

Vì ánh xạ tuyến tính f chỉ phụ thuộc vào ϕ, ta thu được một ánh xạ
từ tập hơp các ánh xạ affine vào tập hợp các ánh xạ tuyến tính. Tôi sẽ

−
−
ký hiệu →
ϕ cho ảnh của ϕ qua ánh xạ này (do đó, ở đây thì f = →
ϕ ).
Ta vừa chứng minh rằng, trong ký hiệu mới,
−−−−−−−→ →
−→
ϕ(A)ϕ(B) = −
ϕ (AB)

với mọi A, B ∈ E.

Tôi sẽ sử dụng cả các ánh xạ affine và ánh xạ tuyến tính. Để giúp cho
độc giả, tôi sẽ dùng các ký hiệu Latin f, g, ... cho các ánh xạ tuyến tính
và cá ký hiệu Hy Lạp ϕ, ψ... cho các ánh xạ affine. Trong mọi trường
hợp, tôi sẽ chỉ rõ ánh xạ loại nào đang được sử dụng.

DR

Nhận xét I.3.3. Cho ϕ là một ánh xạ từ không gian affine E vào không
gian affine F . O là một điểm của E . Véc tơ hóa E tại O và F tại ϕ(O).
Ta có các đẳng cấu tuyến tính
(Θ−1
O ) : E → EO

và Θϕ(O) : Fϕ(O) → F.

−
Xét ánh xạ hợp thành →

ϕ.
ϕ

E → EO −
→ Fϕ(O) → F.
u → M → ϕ(M ) → v.

−−−−−−−→
−−→
−
ở đó M và v được xác định bởi OM = u và v = ϕ(O)ϕ(M ). Ánh xạ →
ϕ
thỏa mãn
−−−−−−−→
−−→
ϕ(OM ) = ϕ(O)ϕ(M ).

−
Khi nói ánh xạ ϕ là affine thì cũng tương đương với phát biểu rằng →
ϕ
là tuyến tính, và điều này cũng tương đương với phát biểu rằng bản thân
ánh xạ ϕ là tuyến tính, nếu xem như là ánh xạ từ không gian véctơ EO
vào không gian véctơ Fϕ(O) .


I.3 Ánh xạ affine

15

Ví dụ I.3.4. (1) Ánh xạ hằng ánh xạ E vào một điểm là ánh xạ affine,

ánh xạ tuyến tính liên kết với nó là ánh xạ không.

AF
T

(2) Nếu E = F = R, các ánh xạ affine là các ánh xạ có dạng x → ax + b
(ánh xạ tuyến tính liên kết là x → ax).
(3) Tổng quát hơn, giả sử E và F là hai không gian véctơ, được trang
bị cấu trúc affine tự nhiên, một ánh xạ
ϕ: E → F

là affine nếu và chỉ nếu tồn tại một véctơ v0 của F và một ánh xạ
tuyến tính
f: E →F

thỏa mãn ϕ(u) = f (u) + v0 với mọi u trong E.
−−→

−−−−−−−→

−
Chứng minh. Chọn O = 0, quan hệ →
ϕ (OM ) = ϕ(O)ϕ(M ) được viết,
theo định nghĩa của cấu trúc affine của không gian véctơ F, thành
→
−
ϕ (u) = ϕ(u) − ϕ(O),

−
đó chính là quan hệ cần chứng minh, với v0 = ϕ(O) và f = →

ϕ.

DR

Như vậy, có thể nói các ánh xạ tuyến tính từ E vào F là các ánh
xạ affine mà ánh xạ véctơ không thành véctơ không.

(4) Giả sử E = F . Các ánh xạ affine mà ánh xạ tuyến tính liên kết là
ánh xạ đồng nhất IdE là các ánh xạ
−−−−−−−→

ϕ : E → E.

−→

thỏa mãn ϕ(A)ϕ(B) = AB với mọi A, B ∈ E . Từ luật hình bình
−−−−→ −−−−→
hành, ta có Aϕ(A) = Bϕ(B) với mọi A và B. Nói cách khác, véctơ
−−−−−→
M ϕ(M ) là một véctơ hằng u. Ta nói rằng ϕ là một phép tịnh tiến
theo phương véctơ u, và được ký hiệu là tu .

(5) Cho O là một điểm, λ là một vô hướng và ϕ là một ánh xạ xác định
−−−−−→
−−→
bởi Oϕ(M ) = λOM . Đó là một ánh xạ affine. Ánh xạ tuyến tính
liên kết là một phép nhân với hệ số λ. Điểm O được giữ cố định, ta
nói ϕ là phép vị tự tâm O với hệ số λ và ký hiệu là h(O, λ).

16

Hình học affine

Tác động lên các không gian con

Giống như (và bởi vì) sự kiện ảnh của một không gian véctơ con bởi
một ánh xạ tuyến tính cũng là một không gian véctơ con, ta có

AF
T

Mệnh đề I.3.5. Ảnh của một không gian affine con qua một ánh xạ
affine cũng là một không gian affine con.

Chứng minh. Xét ϕ : E → E là một ánh xạ affine. Gọi F ⊂ E là một
không gian affine con với hướng F . Nếu F là rỗng, ảnh của nó bởi ϕ là
rỗng và, đặc biệt, nó là một không gian affine con. Trái lại, gọi A là một
điểm của F . Rõ ràng ϕ(F) là không gian affine con của E định hướng
−
bởi →
ϕ (F) và đi qua ϕ(A).
Hệ quả I.3.6. Mọi ánh xạ affine ánh xạ ba điểm thẳng hàng thành ba
điểm thẳng hàng.
Với lý luận tương tự, cụ thể sử dụng kết quả tương tự của đại số
tuyến tính, ta có thể chứng minh mệnh đề sau

Mệnh đề I.3.7. Nghịch ảnh của một không gian con affine qua một ánh
xạ affine cũng là một không gian affine.
Việc chứng minh được dành cho bạn đọc xem như một bài tập.

DR

Tác động lên tâm tỉ cự7

Khi diễn đạt sang các khái niệm affine tính chất tuyến tính, người ta
thường giải thích là "các ánh xạ affine bảo toàn tâm tỉ cự" và chính xác
hơn là:
Mệnh đề I.3.8. Cho G là tâm tỉ cự của hệ (Ai , αi ). (ϕ, f ) là một
ánh xạ affine. Khi đó ϕ(G) là tâm tỉ cự của hệ (ϕ(Ai ), αi ). Ngược lại,
nếu ϕ ánh xạ tâm tỉ cự của hệ (A, B, α, 1 − α) thành tâm tỉ cự của hệ
(ϕ(A), ϕ(B), α, 1 − α) thì nó là một ánh xạ affine.
Chứng minh. Giả sử ϕ là một ánh xạ affine. Ta kí hiệu M là ảnh ϕ(M )
của M , ta có, với mọi điểm P của E ,
−−→
−−→
−−→
−−→
→
−
−
−
ϕ (α1 P A1 + · · · + αk P Ak ) = α1 →
ϕ (P A1 ) + · · · + αk →
ϕ (P Ak )
−−−→
−−−→
= α1 P A1 + · · · + αk P Ak .

7

Xem định nghĩa tâm tỉ cự ở Tiết 1.5


I.3 Ánh xạ affine

17

Nếu P là tâm tỉ cự của hệ (Ai , αi ) ta suy ra
−−−→
−−−→
α1 P A1 + · · · + αk P Ak = 0

AF
T

và P là tâm tỉ cự của hệ ảnh.
Ngược lại, giả sử G là tâm tỉ cự của hệ ((A, α), (B, 1 − α)). Với mọi
điểm O của E ta có
−→
−→
−−→
OG = αOA + (1 − α)OB.

Do G là tâm tỉ cự của ((A , α), (B , 1 − α)), với mọi ảnh O của O:
−−→
−−→
−−→
O G = αO A + (1 − α)O B .

Cố định O và ảnh O của nó qua ϕ, ta xác định một ánh xạ f bởi
−−→ −−−→
f (OM = O M ... và ta muốn chứng minh rằng f tuyến tính. Trước tiên
chú ý rằng bằng việc cho M = O, ta suy ra f (0) = 0. Khi đó
−−→
−−→
−→
−−→
−→ −−→
f (αOA + (1 − α)OB) = f (OG = O G = αO A + (1 − α)O B

và vì vậy với mọi α, A và B ,

−→
−−→
−→
−−→
f (αOA + (1 − α)OB) = αf (OA) + (1 − α)f (OB).
−→
Đặc biệt, nếu B = O, đặt u = OA,

DR

f (αu) = αf (u) + (1 − α)f (0) = αf (u).

Cuối cùng, nếu u và v là hai véctơ của E , ta xác định A và B sao cho
−→
−−→
u = OA và v = OB . Với α = 1/2, ta có8
1

f (u + v) = f
2

u+v
.
2

−−→

Nhưng (u + v)/2 = OM với M là trung điểm của AB , vì vậy
f

u+v
2

1 −−→
= OA +
2

1 −−→ 1
O B = (f (u) + f (v)).
2
2

Ta suy ra rằng

f (u + v) = f (u) + f (v).
−
Vậy f là tuyến tính và do đó ϕ là affine, với →
ϕ = f.

8

Ta giả thiết rằng đặc số của trường khác 2


18

Hình học affine

Với phát biểu trực tiếp (và dễ dàng) của Mệnh đề I.3.8, xét các tâm
tỉ cự của hai điểm với hệ số dương (trong trường hợp không gian affine
thực), ta suy ra

AF
T

Hệ quả I.3.9. Ảnh của một đoạn thẳng qua một ánh xạ affine cũng là
một đoạn thẳng.
Ánh xạ affine và khung affine

Giống như việc một ánh xạ tuyến tính được xác định bởi ảnh của các
véctơ trong một cơ sở, một ánh xạ affine được xác định hoàn toàn bởi
ảnh của một khung affine (khẳng định này dễ dàng được chứng minh,
xem bài tập I.22). Ta sẽ sử dụng thường xuyên một hệ quả sau đây của
tính chất này.
Mệnh đề I.3.10. Nếu một tự đồng cấu affine của một không gian affine
n chiều E giữ cố định (n + 1) điểm độc lập thì đó là ánh xạ đồng nhất.

Thí dụ, một ánh xạ affine từ măt phẳng vào chính nó có 3 điểm cố
định không thẳng hàng phải là ánh xạ đồng nhất, một ánh xạ affine có

hai điểm cố định (phân biệt) sẽ giữ cố định đường thẳng xác định bởi
hai điểm đó.

DR

Nhóm affine

Chúng ta bắt đầu bằng việc nghiên cứu hợp thành của hai ánh xạ
affine.

Mệnh đề I.3.11. Hợp thành ψ ◦ ϕ của hai ánh xạ affine ϕ : E → F và
ψ : F → G là một ánh xạ affine. Ánh xạ tuyến tính liên kết là hợp thành
−−−→ →
− −
của hai ánh xạ tuyến tính liên kết tương ứng (tức là ψ ◦ ϕ = ψ ◦ →
ϕ ).
Một ánh xạ affine ϕ là song ánh nếu và chỉ nếu ánh xạ tuyến tính
liên kết cũng vậy. Do đó, ϕ−1 cũng là một ánh xạ affine, và ánh xạ tuyến
−−→ − −1
−
tính liên kết với nó là ánh xạ nghịch đảo của →
ϕ (tức là ϕ−1 = →
ϕ ).

Chứng minh. Khẳng định về phép hợp thành là hiển nhiên. Với kí hiệu
đã rõ, ta có
−−−−−−−−→ →
− −−−→
→
− − −−→

ψ(P )ψ(M ) = ψ (P M ) = ψ ◦ →
ϕ (P M ).


I.3 Ánh xạ affine
19
−
Giả sử rằng →
ϕ là một song ánh tuyến tính. Với M thuộc F , ta tìm một
−−→ −−→
điểm P của E sao cho ϕ(P ) = M , điều này tương đương với O P = O M ,
−−→
−−→
−→
−→
−
−
hay là →
ϕ (OP ) = O M , hay OP = →
ϕ −1 (O M ), suy ra sự tồn tại và duy
nhất của P . Từ đó ánh xạ affine ϕ là một song ánh.

AF
T

Ngược lại, nếu ϕ là song ánh, xét một véctơ u của F , ta tìm véctơ
−
v thỏa mãn →
ϕ (v) = u. Cố định một điểm O và ảnh O của nó, cùng với
−−→

điểm M thỏa mãn O M = u. Do ϕ là song ánh, tồn tại duy nhất một
điểm P trong E sao cho M = ϕ(P ). Khi đó
−−−−−−−→ −−→
−→
→
−
ϕ (OP ) = ϕ(O)ϕ(P ) = O M = u

−→
−→
−
và OP là nghiệm duy nhất, do đó →
ϕ là song ánh. Hơn nữa, OP =
−−→
−
−
(→
ϕ )−1 (u), vì thế (→
ϕ )−1 = ϕ−1 .

Hệ quả I.3.12. Các song ánh affine từ E vào chính nó lập thành một
nhóm, gọi là nhóm affine GA(E ).
Mệnh đề I.3.13. Ánh xạ từ nhóm affine vào nhóm tuyến tính
GA(E) →
− GL(E)
−
ϕ→→
ϕ

DR

cho tương ứng một ánh xạ affine với ánh xạ tuyến tính liên kết, là một
toàn cấu nhóm, với hạt nhân là nhóm các phép tịnh tiến của E , đẳng cấu
với nhóm cộng của không gian véctơ E.

Chứng minh. Đây là kết quả trực tiếp của các kết quả trước. Hạt nhân
của nó gồm các ánh xạ liên kết với ánh xạ IdE , gọi là các phép tịnh tiến,
như ta đã đề cập. Rõ ràng nhóm các phép tịnh tiến đẳng cấu với nhóm
cộng của E : đây chỉ là một cách khác để nói tu ◦ tv = tu+v .
Điều duy nhất còn phải chứng minh là tính toàn ánh của đồng cấu.
Ta chứng minh một kết quả rõ ràng hơn, được phát biểu thành bổ đề
sau:
Bổ đề I.3.14. Cho O là một điểm nằm trong E . f là một tự đẳng cấu
tuyến tính của E. Tồn tại duy nhất một ánh xạ affine ϕ nhận f là ánh
−
xạ tuyến tính liên kết giữ cố định O (tức là f = →
ϕ và ϕ(O) = O).
Bổ đề này kết thúc chứng minh của Mệnh đề.


20

Hình học affine

Bổ đề I.3.15. Cho f : E → F là hai không gian véctơ. E, F là hai không
gian affine lần lượt được định hướng bởi E và F. Với mọi điểm O của E
và O’ của F , tồn tại duy nhất một ánh xạ affine

AF
T

ϕ: E → F

ánh xạ O vào O’ và nhận f là ánh xạ tuyến tính liên kết.

Phát biểu trên cung cấp cho ta thêm nhiều ví dụ về ánh xạ affine.
Nó cũng khẳng định rằng

Hệ quả I.3.16. Giả sử đã cho một điểm O của E , mọi ánh xạ affine ϕ
từ E vào chính nó đều có thể viết được một cách duy nhất dưới dạng
ϕ = tu ◦ ψ

ở đó ψ giữ cố định O.

Nhận xét I.3.17. Ta đã biết một tính chất tương đương nếu như véctơ
hóa E tại O (xem các ví dụ I.3.4).
Liên hợp của các phép tịnh tiến

Trong Hệ quả I.3.16, có thể thay thế cách viết

DR

ϕ = tu ◦ ψ

bởi ϕ = ψ ◦ tv .

Ánh xạ affine giữ cố định O và có cùng ánh xạ tuyến tính liên kết với
ϕ rõ ràng là như nhau trong cả hai cách viết. Tuy nhiên, các véctơ tịnh
tiến lại khác nhau. Ta có
tu = ψ ◦ tv ◦ ψ −1 ,

hai phép tịnh tiến đó liên hợp với nhau.

Mệnh đề I.3.18. Ánh xạ liên hợp ϕ ◦ tv ◦ ϕ−1 của một phép tịnh tiến
bởi một phần tử ϕ của nhóm affine GA(A) là phép tịnh tiến theo véctơ
→
−
ϕ (v).
Chứng minh. Gọi M là một điểm của E và giả sử M = tv (M ) là ảnh của
nó qua phép tịnh tiến. Ta có
−−−−−−−−→ →
−−−→
−
ϕ(M )ϕ(M ) = −
ϕ (M M ) = →
ϕ (v)


I.3 Ánh xạ affine

21

→
do đó ϕ(M ) = t−
ϕ (v) (ϕ(M )). Từ đó, với mọi điểm M của E ,
→
ϕ ◦ tv ◦ ϕ−1 (M ) = ϕ ◦ tv (M ) = ϕ(M ) = t−
ϕ (v) (M ),

AF

T

→
nghĩa là ϕ ◦ tv ◦ ϕ−1 = t−
ϕ (v) .

Ghi chú bổ sung về phép liên hợp

Mệnh đề trên có thể được đọc theo cách sau đây: khi một phép tịnh
tiến được lấy liên hợp (bởi một phép biến đổi affine), ta lại thu được
một phép tịnh tiến; hơn nữa, véctơ trong phép tịnh tiến mới được xây
dựng nhờ véctơ ban đầu và phép biến đổi được sử dụng để liên hợp, bởi
một công thức duy nhất có nghĩa. Đố là minh họa cho một "nguyên lý"
chung trong hình học mà chúng ta sẽ gặp khá nhiều trong cuốn sách
này, được phát biểu (khá chung chung) như sau.
Nguyên lý I.3.19. (Nguyên lý liên hợp) Cho τ là một phần tử của
một nhóm các phép biến đổi G,
• Liên hợp ϕ ◦ τ ◦ ϕ−1 của nó bởi một phần tử của G là một phần tử
"có cùng tính chất hình học" với τ ,

DR

• Các phần tử xác định theo cách "tự nhiên" này là, đối với liên hợp
ϕ ◦ τ ◦ ϕ−1 , các ảnh của τ bởi ϕ.

Đây không phải là một định lý mà là một nguyên tắc chung mà có
thể được diễn giải, tùy từng trường hợp cụ thể, thành một phát biểu
chính xác bằng cách thay thế các từ giữa các dấu trích dẫn bởi các đối
tượng cụ thể, chẳng hạn
• Phép tịnh tiến, véctơ tịnh tiến.

• đối xứng tâm, tâm, hay tổng quát hơn
• phép vị tự, tâm (xem Bài tập I.29),
• (Trong nhóm đối xứng) các phép thế sơ cấp, các phần tử hoán vị

lẫn nhau nhờ phép thế sơ cấp.


22

Hình học affine

Điểm bất động

AF
T

Độc giả đã có thể hiểu được (xem, nếu cần thiết, Chú ý I.3.3) rằng
ta có thể coi một ánh xạ affine từ E vào chính nó có (ít nhất) một điểm
bất động như là một ánh xạ tuyến tính từ véctơ hóa của E tại điểm đó
vào chính nó. Vì thế, một vấn đề thú vị được quan tâm là khi nào một
ánh xạ affine có điểm bất động.
Mệnh đề I.3.20. Cho ϕ là một phép biến đổi affine của E . Nó có duy
−
nhất một điểm bất động trong E nếu và chỉ nếu đẳng cấu →
ϕ không có
véctơ được giữ cố định nào khác ngoài 0.

Nhận xét I.3.21. Điều kiện trên có nghĩa là 1 không phải là một giá
−
trị riêng của →

ϕ.

Chứng minh. Nếu ϕ có một điểm bất động O, ta véctơ hóa E tại O và
thấy rằng các điểm bất động khác của ϕ tương ứng với các véctơ bất
−
động khác không của →
ϕ . Vì vậy O là điểm bất động duy nhất khi và chỉ
−
khi véctơ bất động duy nhất của →
ϕ là véctơ không.
→
−
Nếu ϕ không có véctơ bất động khác không (nói cách khác, nếu tự
đồng cấu này không có giá trị riêng là 1), ta tìm các điểm bất động của
ϕ. Xét một điểm O và O là ảnh của nó. Một điểm bất động M thỏa mãn
−−−−−→ −−→ −−→ −−→
−−→
→
−
ϕ (OM ) = O ϕ(M ) = O M = O O + OM ,

DR

tức là

−−→
−−→ −−→
→
−
ϕ (OM ) − OM = O O.

−
Theo giả thiết, →
ϕ −Id là đơn ánh. Do đây là đồng cấu của một không gian
−−→
−
hữu hạn chiều, nó cũng là một toàn cấu và phương trình →
ϕ (u) − u = O O
−−→
có một nghiệm duy nhất OM . Vì vậy ϕ có một điểm bất động.
−−→
−−→
−
Cuối cùng, nếu M và N là hai điểm bất động của ϕ, →
ϕ (M N ) = M N ,
−−→
vì thế M N = 0 và M = N . Do đó ϕ có một điểm bất động duy nhất.
Mệnh đề được chứng minh.

Dưới một số giả thiết bổ sung, ta có thể nói rõ hơn khi nào một ánh
xạ tuyến tính có giá trị riêng 1:
Mệnh đề I.3.22. Cho ϕ là một phép biến đổi affine của E . Giả sử không
gian véctơ E phân tích thành tổng trực tiếp
−
−
E = ker(→
ϕ − Id) ⊕ textIm(→
ϕ − Id).

I.3 Ánh xạ affine

23

Khi đó tồn tại duy nhất một véctơ v và tồn tại duy nhất một ánh xạ
affine ψ với một điểm bất động thỏa mãn
−
• →
ϕ (v) = v ,

AF
T

• ϕ = tv ◦ ψ .

Hơn nữa, tv và ψ giao hoán với nhau. Ánh xạ affine ϕ có một điểm bất
động nếu và chỉ nếu v = 0. Trong trường hợp đó, tập hơn các điểm bất
động của ϕ lập thành một không gian affine con, được định hướng bởi
−
không gian con riêng của véctơ bất động của →
ϕ.
Chứng minh. Ta bắt đầu với một điểm O của E và sử dụng phân tích
của E thành tổng trực tiếp để viết
−−−−→
−
−
Oϕ(O) = v + →
ϕ (z) − z, trong đó v thỏa mãn →
ϕ (v) = v.
−→

Xét điểm A được xác định bởi z = AO. Ta có

−−−−→ −→ −−−−→ −−−−−−→
−→
−
−
Aϕ(A) = AO + Oϕ(O) + ϕ(O)ϕ(A) = z + v + →
ϕ (z) − z + →
ϕ (OA) = v.

Ta đặt ψ = t−v ◦ ϕ. Ánh xạ affine mới này thỏa mãn
ψ(A) = t−v (ϕ(A)) = A

DR

và vì thế nó có điểm bất động. Ta còn có

→
→
ψ ◦ tv ◦ ψ −1 = t−
= t−
ϕ (v) = tv
ψ (v)

(sử dụng Mệnh đề I.3.18) do đó ψ và tv giao hoán với nhau. Ta sẽ chứng
minh tính duy nhất của cặp (v, ψ). Giả sử rằng
ϕ = tv ◦ ψ = tv ◦ ψ

trong đó hai ánh xạ ψ và ψ có các điểm bất động lần lượt là A và A , và

−−−−−→
−−−−→
−
v, v là hai véctơ bất động của →
ϕ . Khi đó Aϕ(A) = v và A ϕ(A ) = v , vì
thế
−−→
−−−−−−−→ −−−−−→
−−→
−−−−→
−
AA = Aϕ(A) + ϕ(A)ϕ(A ) + ϕ(A )A = v + →
ϕ (AA ) − v

và

−−→ →
−−→
AA − −
ϕ (AA ) = v − v .


24

Hình học affine

I.4

AF
T

−
−
Véctơ này thuộc vào ker(→
ϕ − IdE ) ∩ Im(→
ϕ − IdE ) = 0, do đó v = v và
ψ = ψ . Nếu v = 0, ta có ϕ = ψ do đó ϕ có một điểm bất động. Ngược
lại, nếu ϕ có một điểm bất động, ta coi nó là điểm O, và v = 0. Véctơ
hóa không gian affine E tại O, ta có thể thấy các điểm bất động của ϕ
−
tương ứng với các véctơ bất động của →
ϕ . Tập hợp các điểm bất động vì
thế là không gian affine con đi qua O định hướng bởi không gian véctơ
−
con các véctơ bất động của →
ϕ.

Ba định lý cơ bản của hình học phẳng

Chúng ta sẽ sử dụng các ánh xạ affine để chứng minh ba định lý
cổ điển của hình học phẳng, đó là các định lý của Thalès, Pappus và
Desargues. Ta sẽ làm việc việc trên một mặt phẳng affine.

Nhận xét I.4.1. (Ký hiệu.) Nếu A, B và C là ba điểm thẳng hàng và
u là một véctơ chỉ phương của đường thẳng xác định bởi ba đường thẳng
−→
đó. Ta có thể viết AB = λu, hoặc λ = AB , là "độ đo đại số" phụ thuộc
vào cách chọn u... Trong mọi trường hợp thì tỷ lệ AB/AC không phụ
thuộc vào u.
Định lý Thales

DR

Định lý I.4.2. Cho d, d , d là ba đường thẳng song song, phân biệt;
D1 , D2 là hai đường thẳng, đều không song song với d. Với i = 1, 2, đặt
Ai = Di ∩ d, Ai = Di ∩ d và Ai = Di ∩ d . Khi đó ta có
A1 A1
A1 A1

=

A2 A2
A2 A2

.

Ngược lại, nếu điểm B trên D1 thỏa mãn
A1 B
A1 A1

=

A2 A2
A2 A2

.

thì nó phải nằm trên d (và do đó B ≡ A1 ).
Chứng minh. Gọi π là phép chiếu lên D2 theo hướng d và giả sử p là
ánh xạ tuyến tính liên kết. Khi đó π biến A1 thành A2 ,... Hơn nữa,

I.4 Ba định lý cơ bản của hình học phẳng
25
−−−→
−−−→
−−−→
−−−→
nếu A1 A1 = λA1 A1 , ta có p(A1 A1 ) = λp(A1 A1 ) do p tuyến tính. Tức là
−−−→
−−−→
A2 A2 = λA2 A2 , đẳng thức chứng tỏ chiều thuận của định lý.

Chiều ngược lại là hệ quả của chiều thuận: ta có

−−→

AF
T

−−−→
−−−→ A2 A2 −−−→
A1 A1 = −−−→ A1 A1
A2 A2

−−−→

do đó A1 B = A1 A1 và do đó B = A1 .

Hệ quả I.4.3. Cho D1 , D2 là hai đường thẳng cắt nhau tại A, d và d là

hai đường thẳng song song, cắt Di tại Ai , Ai khác A. Khi đó
AA1
AA1

=

AA2
AA2

=

A1 A2
A1 A2

.

Chứng minh. Vẽ một đường thẳng song song với d và d qua A và áp
dụng định lý Thales, cho ta đẳng thức đầu tiên và cho biết phép vị tự
tâm A biến A1 thành A1 biến A2 thành A2 . Đẳng thức thứ hai được
chứng minh.

DR

Nhận xét I.4.4. Định lý Thales biểu lộ một sự kiện đơn giản là phép
chiếu cũng là một ánh xạ affine (Bài tập 1.17). Bây giờ ta sẽ sử dụng
các phép vị tự và phép tịnh tiến, và chính xác hơn là sự kiện hai phép
tịnh tiến, hay hai phép vị tự cùng tâm luôn giao hoán với nhau để chứng
minh Định lý Pappus.
Định lý Pappus

Định lý I.4.5. Cho A, B, C là ba điểm trên một đường thẳng D và
A , B , C là ba điểm nằm trên đường thẳng D khác với D. Nếu AB song
song với BA , BC song song với CB thì AC song song với CA .

Chứng minh. Trước tiên ta giả sử rằng D và D không song song với
nhau. Gọi O là giao điểm của chúng. Giả sử ϕ là phép vị tự tâm O biến
A thành B và ψ là phép vị tự biến B thành C .
Theo định lý Thales9 , ϕ biến B thành A và ψ biến C thành B . Do
đó ψ ◦ ϕ biến A thành C và ϕ ◦ ψ biến C thành A . Vì ϕ và ψ là các phép
9

Hoặc đơn giản là một phép vị tự tuyến tính biến một véctơ bất kì thành một véctơ cùng
phương.


26

Hình học affine

AF
T

vị tự cùng tâm, chúng giao hoán với nhau. Vì vậy có một phép vị tự tâm
O biến A thành C và C thành A , khi đó thì AC và CA song song với
nhau, theo định lý Thales.
Nếu D và D song song với nhau, ta có thể thay phép các phép vị tự
bởi phép tịnh tiến trong chứng minh trên.
Định lý Desargues

Ta sử dụng một lần nữa các phép vị tự và tịnh tiến cho Định lý

Desargues.
Định lý I.4.6. Cho ABC và A’B’C’ là hai tam giác không có đỉnh chung,
có các cạnh tương ứng song song với nhau. Khi đó các đường thẳng AA ,
BB và CC hoặc đồng qui, hoặc song song với nhau.

DR

Chứng minh. Nếu AA và BB cắt nhau tại O, phép vị tự ϕ tâm O biến
A thành A cũng biến B thành B (lại áp dụng Thales). Gọi λ là tỉ số vị
−−→
−−→
−→
−→
tự và đặt C = ϕ(C). Khi đó OC = λOC . Nhưng OA = λOA và vì thế
A C và AC song song với nhau. Ta có C nằm trên đường thẳng song
song với AC qua A , gọi là A C , nhưng nó cũng nằm trên đường thẳng
song song với BC đi qua B , gọi là B C . Vì thế C = C . Nhưng đương
nhiên do O, C và C thẳng hàng, CC đi qua O.
Nếu AA và BB song song với nhau, ta lập luận tương tự sử dụng
phép tịnh tiến.

Ta sẽ thấy một phiên bản khác của Định lý của Pappus và Desargues
trong bài tập 1.59 và 1.60. Nó làm hiển lộ bản chất và tính thống nhất
với Chương VII.

I.5

Phụ lục: Tâm tỉ cự

Trong phụ lục này, tôi sẽ nhắc lại một cách rất ngắn gọn về các ính

chất và định nghĩa liên quan đến tâm tỉ cự. Độc giả được đề nghị hoàn
thành nốt các chứng minh, bằng cách sử dụng nếu cần thiết các sách
giáo khoa phổ thông.
Nếu Ai là các điểm trong một không gian affine E và αi là các vô
hướng thì ta nói hệ ((A1 , α1 ), . . . , (Ak , αk )) là một hệ điểm có trọng.