Giáo án ôn thi THPT quốc gia Toán Chủ đề 3 tích phân

Chủ đề 3: TÍCH PHÂN
I. Mục tiêu
1. Về kiến thức:
- Ôn tập định nghĩa, các tính chất của tích phân.
- Ôn tập các phương pháp tính tích phân
2. Về kĩ năng
- Nhận biết và vận dụng thành thạo công thức định nghĩa và tính chất của tích
phân.
- Nhận biết và tính được tích phân của hàm hợp là hàm bậc nhất.
- Sử dụng thành thạo máy tính cầm tay trong việc tính tích phân dạng đơn giản
II. Các dạng toán cơ bản
- Sử dụng công thức định nghĩa tích phân
- Sử dụng công thức tính chất của tích phân
- Tính tích phân hàm hợp là hàm bậc nhất
- Tính tích phân đơn giản
II. Thời gian: 3 tiết
IV. Tiến trình thực hiện
Tiết 1
I. Lý thuyết:
b

- Định nghĩa tích phân:

∫ f ( x )dx = F ( x )

b
a

= F ( b) − F ( a)

a

- Các tính chất:

b

b

a

a

Tc 1: ∫ kf ( x) dx = k ∫ f ( x) dx
b

Tc 2:

b

b

∫ [f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx
a

a

a

b

c

b

a

a

c

Tc 3: ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx

(a < c < b )

II. Bài tập:
b

Dạng 1: Sử dụng công thức:

∫ f ( x )dx = F ( x )

b
a

= F ( b) − F ( a)

a

Bài tự luận:
Câu 1. Cho hàm số f(x) liên tục trên R, F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết
5

F(2)= -1; F(5) = 0. Tính I = ∫ f ( x)dx .
2

Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục trên R, F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết
2

F(0)= 2; F(2) = 4. Tính I = ∫ f ( x)dx .
0

Câu 3. Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn [0;3], f(0) = 2 và f(3) = 7 . Tính


3

I = ∫ f ' ( x ) dx .
0

Câu 4. Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn [-1;2], f(-1) = 3 và f(2) = -4 . Tính
2

I=

∫ f '( x)dx .

−1

Chú ý : f(x) là một nguyên hàm của f'(x)
- GV gọi HS đứng tại chỗ làm câu 1 sau đó gọi một HS khác lên bảng làm câu 2
Tương tự đối với câu 3 và 4

Bài trắc nghiệm:
Câu 1. Cho hàm số f(x) liên tục trên R, F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết
3

F(-1)= 2; F(3) = 5. Tính I =

∫ f ( x)dx .

−1

A. I = 4
B. I = -3
C. I = 7
D. I = 3
Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục trên R, F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết
3

F(3) = 1; F(-2) = 7 . Tính I =

∫ f ( x)dx .

−2

A. I = 6
B. I = 5
C. I = -6
D. I = 8
Câu 3. Cho hàm số f(x) liên tục trên R, F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết
9

∫ f ( x)dx = 9 và F(0) = 3. Tính F(9)
0

A. F(9) = -6

B. F(9) = 6

C. F(9) = 12

D. F(9) = -12

Câu 4. (Đề thử nghiệm lần 2 BGD- 2017)Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên đoạn
2

[ 1; 2] , f (1) =1 và f (2) = 2 . Tính I = ∫ f '( x)dx .
1

B. I= −1

A.I=1

D. I =

C.I=3

7
2

Câu 5. Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn [0;3], f(0) = 2 và f(3) = −7 . Tính
3

I = ∫ f ' ( x ) dx .
0

A. 3
B. -9
C. −5
D. 9
- Cho HS làm việc độc lập và GV gọi bất kì một vài HS đứng tại chỗ trả lời và giải
thích kết quả.
Dạng 2: Sử dụng công thức:

b

b

a

a

∫ kf ( x) dx = k ∫ f ( x) dx
b

b

b

a

a

a

∫ [f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx
Bài tự luận
3

Câu 1. Cho

∫

−2

3

f ( x)dx = 4. Tính:

a/ ∫ 2 f ( x)dx
−2

3

;

b/

∫ −3 f ( x)dx

−2

5

Câu 2. Cho

∫
1

5

5

∫ [ 3 f ( x) + 4 g ( x)] dx

f ( x)dx = −2; ∫ g ( x)dx = 3. Tính a/ I =
1

1

5

∫ [ 2 f ( x) − 5 g ( x) + 3] dx

b/ I=

1

- Câu 1 gọi HS đứng tại chố trả lời
- Câu 2 gọi HS lên bảng trình bày một cách đơn giản. VD câu a: I = 3.(-2)+4.3 = 6
Bài trắc nghiệm:

3

Câu 1. Cho

∫

3

f ( x)dx = 2. Tính:

I=

0

0

A. I = 2
2

Câu 2. Cho

∫

−1

B. I = 8

D. I = -2

f ( x)dx = 2; ∫ g ( x)dx = 5. Tính I =

−1

3

B. I = 17

C. I = 4

∫ f ( x)dx = 4; ∫ g ( x)dx = 2. Tính
1

∫ [ f ( x) + 3g ( x)] dx

−1
3

I=

1

B. I = 0

2

D. I = 3

3

A. I = -1
Câu 4. Cho

C. I = -8

2

A. I = 7
Câu 3. Cho

∫ −4 f ( x)dx

∫ [ 2 f ( x) − 5 g ( x) + 1] dx
1

C. I = 2

D. I = -2

b

b

b

a

a

a

∫ f ( x ) dx = 3; ∫ 3 f ( x ) − 5 g ( x )  dx = 4 . Tính ∫ g ( x)dx

13
C. 0
D.1
5
- Cho HS làm việc độc lập hoặc theo cặp. Gọi 1 vài HS bất kì trả lời đáp án và giải
thích kết quả.
A.-1

B.

Dạng 3: Sử dụng công thức:

b

c

b

a

a

c

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx; a < c < b

Bài tự luận:
2

Câu 1. Cho

∫
1

3

Câu 2. Cho

∫

−2

5

f ( x)dx = 3; ∫ f ( x)dx = 1 . Tính:
2

6

f ( x)dx = 1; ∫ f ( x)dx = 5 . Tính:
−2

5

∫ f ( x)dx
1

6

∫ f ( x)dx
3

- Gọi HS đứng tại chố đọc kết quả. Có thể cho thêm 1 vài VD tương tự.
- GV nên biểu diễn các đoạn lấy tích phân trên trục số để HS dễ hình dung
Bài trắc nghiệm:
Câu 1. Cho

0

3

3

−2

0

−2

∫ f ( x)dx = −1; ∫ f ( x)dx = 4 . Tính: I = ∫ f ( x)dx

A. I = 5

B. I = 3

C. I = -1

D. I = 4

3

Câu 2. Cho

∫
0

A. - a - b
Câu 3. Cho

2

2

0

B. b - a

C. a + b

D. a - b

d

d

b

a

b

a

∫ f ( x ) dx = 5; ∫ f ( x ) dx = 2; a < d < b thì ∫ f ( x ) dx bằng

A.-2
Câu 4. Cho

3

f ( x)dx = a; ∫ f ( x)dx = b .Khi đó ∫ f ( x)dx bằng

B. 8

C. 0

D.3

2

5

5

5

1

1

2

2

∫ f ( x ) dx = −4; ∫ f ( x ) dx = 6; ∫ g ( x ) dx = 8 .Khi đó ∫ 4 f ( x ) − g ( x )  dx

bằng
A.12
Tiết 2
1. Bài cũ:

B. 48

C. 0

Câu 1. Cho f ( 2 ) = 2, f ( 3) = 5 . Tính

D.32

3

∫ f ' ( x ) dx
2

5

Câu 2. Cho

5

∫ f ( x ) dx = −4; ∫ g ( x ) dx = 3 . Tính ∫ 4 f ( x ) − g ( x )  dx
2
1

Câu 3. Cho

2

2

4

4

∫ f ( x ) dx = 2; ∫ f ( x ) dx = 3 . Tính ∫ f ( x ) dx

−2
1

Câu 4. Cho

5

3

−2
3

0

1

1

∫ f ( x ) dx = −1; ∫ f ( x ) dx = 5 . Tính ∫ f ( x ) dx
0

- Cho HS làm và GV gọi một vài HS bất kỳ đọc kết quả và giải thích.
2. Bài mới
Dạng 4: Sử dụng công thức hàm hợp
I. Lý thuyết:
n

- Công thức:
- Chú ý: Nếu

1

∫ f (ax + b)dx = a F (ax + b) |

m
n

v

m

u

n
m

; F(x) là một nguyên hàm của f(x)
1

∫ f ( x)dx = A ⇒∫ f (ax + b)dx = a . A

; với m = au+b, n=av+b

II. Bài tập:
Bài tự luận:
Câu 1. Cho
Câu 2. Cho

4

2

0
8

0
1

−2

−1

∫ f ( x ) dx = 4 . Tính ∫ f ( 2 x ) dx
∫ f ( x ) dx = 3 . Tính ∫ f ( 5x + 3) dx

- Gọi HS đứng tại chỗ trả lời, chú ý đến hệ số a trong biểu thức cần tính


- GV có thể ra một số câu tương tự và gọi HS bất kì trả lời nhanh
Bài trắc nghiệm
4

Câu 1.(Đề thử nghiệm lần 2 BGD- 2017)Cho

∫
0

A. I=32

B.I=8

2

f ( x )dx = 16 . Tính I = ∫ f (2 x)dx
0

C.I=16

2018

1009

0

0

D. I=4

∫ f ( x ) .dx = 8 . Khi đó ∫ f ( 2 x ) .dx bằng

Câu 2. Cho
A.62

B. 8

C. 16
D. 4
x
Câu 3. Cho ∫ f ( x ) .dx = 4 . Khi đó ∫ f  ÷.dx bằng
2
−1
−2
A.8
B. 2
C. 4
D. 16
2

Câu 4. Cho

4

4

0

0

−2

∫ f ( x ) .dx = 8 . Khi đó ∫ f ( −2 x ) .dx bằng

A.16
Câu 5. Cho
A.

B. -16
2

2

1

B. 1
2

A.

∫
4
3

C. 9

f ( x ) .dx = 3 . Tính

3

∫
1

1
3

Câu 7. Cho

D. 4

∫ f ( x ) .dx = 3 . Tính ∫ f ( 3x − 1) .dx

1
3

Câu 6. Cho

C. - 4

5

D. 3

1


f  x + 1÷.dx
3


B. 1

C. 9

4

0

1

−1

D. 3

∫ f ( x ) .dx = 6 . Khi đó ∫ f ( −3x + 1) .dx bằng

A.-2

B. 2

C. - 18

D. 18

- Chú ý: Câu 3,4 và Câu 7 HS dễ mắc sai lầm

x
1
1
Câu 3 : f ( ) = f ( x) ⇒ a =
2
2
2

Câu 4,7 GV nêu chú ý: nếu hệ số a < 0 kết quả đổi dấu do phải đổi cận
Tiết 3
6

1. Bài cũ: Cho

∫ f ( x ) .dx = k

2

. a/ Tính

1

∫ f ( 5 x − 4 ) .dx theo k
1

1

b/ Tính

∫ f ( −2 x + 4 ) .dx theo k

−2

2. Bài mới:


b

Dạng 5: Tính

∫ f ( x)dx , với a, b cho trước
a

Bài trắc nghiệm:
e

dx
I
=
∫
Câu 1. Tính tích phân:
.
1 x
e

A. I = 0

B. I = 1

C. I = 2

π

D. I = −2

3
Câu 2. Tính tích phân: I = ∫ cos x.sin xdx .
0

1
A. I = − π 4
4

B. I = −π

4

1
4

C. I = 0

D. I = −

e2 − 1
C. I =
4

e2 + 1
D. I =

4

1
C. I =
4

e2 + 1
D. I =
4

e

Câu 3. Tính tích phân I = ∫ x ln xdx
1

1
A. I =
2

e −2
B.
2
2

1

2 2x
Câu 4. Tính tích phân I = ∫ x e dx
0

e −1
A. I =
4
2

2

e
B.
4

1

2
Câu 5. Tính tích phân I = ∫ x ln ( 1 + x ) dx
0

A. I = ln 2 −

1
2

B. I = ln 2 −

1
4

1
2

D. I = − ln 2 +

C. I = ln 2 + 1

D. I = ln 3 + 1

C. I = 0

D. I = 3

C. I = ln 2 +

2

1
dx
2
x
−
1
1
B. I = ln 3 − 1

Câu 6. Tính tích phân I = ∫
A. I = ln 2 − 1

π
2

dx

.
2
π sin x

Câu 7. Tính tích phân: I = ∫
4

A. I = 1

B. I = −1

e

Câu 8. Đổi biến u = ln x thì tích phân

1 − ln x
dx thành:
x2
1

∫

0

A.

0

∫ ( 1 − u ) du

B.

∫ ( 1 − u ) e du

D.

1
0

C.

u

1

∫(1− u) e

−u

du

1
0

∫ ( 1 − u )e
1

2u

du

1
2


1

Câu 9. Đổi biến x = 2sin t , tích phân

∫
0

π
6

π
6

A. dt
∫

B. tdt
∫

0

C.

0

dx

thành:

4 − x2
π
6

π
3

dt
t
0

∫

D. dt
∫
0

π
2

Câu 10. Đổi biến u = s inx thì tích phân sin 4 x cos xdx thành:
∫
0

π
2

1

A. ∫ u 4 1 − u 2 du

1

C. ∫ u 4 du

B. u 4 du
∫

0

0

0

π
2

D. u 3 1 − u 2 du
∫
0

- GV hướng dẫn HS bấm máy tính rồi kiểm tra các kết quả.
Chú ý: Đối với hàm lượng giác, cận tính bằng đơn vị radian, trước khi tính cần đưa
về chế độ R bằng cách bấm: SHIFT MODE 4
Củng cố: Phát phiếu kiểm tra 15' cho HS
Câu 1. Xét hàm số F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên [a;b] . Khẳng định

nào sau đây đúng?
b

A.

b

∫ f ( x)dx = F (a) − F (b)

B. ∫ F ( x)dx = f (b) − f (a )

a

a

b

C.

b

∫ f ( x)dx = F (b) − F (a)

D. ∫ F ( x) dx = f (a ) − f (b)

a

a

Câu 2. Mệnh đề nào sai

b

b

a

a

A. ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx ; Với k là hằng số
B.

b

b

b

a

a

a

∫ [ kf ( x) + h g( x)] dx = k ∫ f ( x)dx + h ∫ g ( x)dx ; Với k, h là các hằng số

b
b

C. ∫ [ kf ( x) + h g( x) ] dx = (k + h)  ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x )dx  ; Với k, h là các hằng số
a

a
a

b

D.

c

b

b

a

c

a

∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx , với a < c < b

Câu 3. Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn [-1;3], f(-1) = 2 và f(3) = 5 . Tính
3

∫ f ( x)dx .

−1

A. 3

B. 7

C. 10

D. -3


3

Câu 4. Cho

∫

−1

3

2

2

−1

f ( x)dx = a; ∫ f ( x)dx = b . Khi đó ∫ f ( x)dx bằng

A. -a - b

B. b - a

6

Câu 5. Cho

∫ f ( x ) dx = 7 . Tính
3

C. a + b

D. a - b

6

I = ∫  x 2 − f ( x )  dx .
3

A. I = 7 .

B. I = 56 .
C. I = 42 .
D. I = 18 .
2
dx
Câu 6. Câu 21: Tính tích phân I = ∫
2x − 1
1
A. I = ln 2 − 1
B. I = ln 3 − 1
C. I = ln 2 + 1
D. I = ln 3 + 1
π

2

dx
.
2
π sin x

Câu 7. Tính tích phân: I = ∫
4

A. I = 1

C. I = 0

B. I = −1

D. I = 3

1

Câu 8. Tính tích phân: I = ∫ x 1 − xdx
0

A. I =

2
15

B. I =

4
15

C. I =

6
15

D. I =

8
15

π
2

Cho I = sin 2 x cos xdx và u = sin x . Mệnh đề nào dưới đây
∫

Câu 9.

0

đúng?
1

A. I = ∫ u du .
2

0

1

B. I = 2∫ udu .
0

0

C. I = − ∫ u du .
2

−1

1

2
D. I = − ∫ u du .
0