Phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Banach (Luận án tiến sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————————————

TRẦN THỊ HƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TÌM NGHIỆM CỦA
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU
TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ HƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TÌM NGHIỆM CỦA
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU
TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Ngành: Toán Giải tích
Mã số: 9460102

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

1. PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy
2. GS.TS. Nguyễn Bường

THÁI NGUYÊN - 2018


i

Lời cam đoan

Các kết quả trình bày trong luận án là công trình nghiên cứu của tôi, được
hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy và GS.TS.
Nguyễn Bường. Các kết quả trình bày trong luận án là mới và chưa từng được
công bố trong các công trình của người khác.
Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan của mình.
Tác giả

Trần Thị Hương


ii

Lời cảm ơn

Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TS. Nguyễn Bường và PGS.TS.
Nguyễn Thị Thu Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy và Cô.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu, thông qua các bài giảng và seminar
tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và những ý kiến đóng góp quý
báu của GS.TSKH. Phạm Kỳ Anh, GS.TSKH. Lê Dũng Mưu, GS.TSKH. Đinh

Nho Hào, PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm, PGS.TS. Phạm Ngọc Anh, PGS.TS. Hà
Trần Phương, PGS.TS. Phạm Hiến Bằng, TS. Nguyễn Công Điều, TS. Vũ Mạnh
Xuân, TS. Bùi Thế Hùng, TS. Trương Minh Tuyên, TS. Nguyễn Đình Dũng và
TS. Lâm Thùy Dương. Từ đáy lòng mình tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc đến các Thầy và Cô.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Phòng Đào tạo
và Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi
điều kiện tốt nhất để tác giả có thể hoàn thành luận án của mình.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Bộ môn Giải tích, Khoa
Toán, Trường Đại học Sư phạm và các thầy cô giáo trong Khoa Khoa học Cơ
bản, Trường Cao đẳng Kinh tế - Kỹ thuật - Đại học Thái Nguyên cùng toàn
thể anh chị em nghiên cứu sinh ngành Toán Giải tích, bạn bè đồng nghiệp đã
luôn quan tâm, động viên, trao đổi và đóng góp những ý kiến quý báu cho tác
giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu, seminar và hoàn thành luận án.
Tác giả xin kính tặng những người thân yêu trong gia đình niềm vinh hạnh
to lớn này.


iii

Mục lục

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Danh sách các ký hiệu, chữ viết tắt

v

Danh sách các bảng

vii

Mở đầu
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Toán tử trong không gian Banach . . . . . . . . . . .
1.1.1. Không gian Banach phản xạ, lồi đều . . . . .
1.1.2. Toán tử trong không gian Banach . . . . . . .
1.2. Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh
1.2.1. Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . .

1

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

1.2.2. Phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Hệ phương trình toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1. Hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh và một
số bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Một số kết quả về phương pháp hiệu chỉnh hệ phương
trình toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

9
9
9
12
20
20

. 22
. 23
. 23
. 26

Chương 2. Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu trong
không gian Banach
31
2.1. Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . 32


iv

2.1.1. Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử thế năng . . . . . . . 32
2.1.2. Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử ngược đơn điệu mạnh 36
2.2. Tham số hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.1. Tham số hiệu chỉnh . . . .
2.2.2. Tốc độ hội tụ . . . . . . .
2.3. Ứng dụng và thử nghiệm số . . .
2.3.1. Bài toán tối ưu . . . . . .
2.3.2. Hệ phương trình tích phân

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

39
46

49
49
51

Chương 3. Xấp xỉ hữu hạn chiều và phương pháp hiệu chỉnh lặp
3.1. Xấp xỉ hữu hạn chiều và tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Xấp xỉ hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều . . . .
3.2. Phương pháp hiệu chỉnh lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55
55
55
60
62

3.2.1. Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.2. Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3. Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Kết luận và đề nghị

72

Danh mục các công trình liên quan đến luận án

74

Tài liệu tham khảo

75

v

Danh sách các ký hiệu, chữ viết tắt

R

tập hợp số thực

H

không gian Hilbert

E

không gian Banach

E∗

không gian đối ngẫu của E

SE

mặt cầu đơn vị của E

x∗ , x

giá trị của x∗ ∈ E ∗ tại x ∈ E

Gr(A)

đồ thị của toán tử A

D(A)

miền xác định của toán tử A

R(A)

miền ảnh của toán tử A

A−1

toán tử ngược của toán tử A

I

toán tử đồng nhất

c

không gian các dãy số hội tụ

c0

không gian các dãy số hội tụ về 0

C[a, b]

không gian các hàm liên tục trên đoạn [a, b]

lp , 1 ≤ p < ∞

không gian các dãy số khả tổng bậc p

l∞

không gian các dãy số bị chặn

Lp [a, b], 1 ≤ p < ∞

không gian các hàm khả tích bậc p trên đoạn [a, b]

L∞

không gian các hàm bị chặn

d(x, C)

khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C

∅

tập rỗng


vi

∀x

với mọi x

∃x

tồn tại x

xn → x0

dãy {xn } hội tụ mạnh về x0

xn

x0

dãy{xn }hội tụ yếu về x0

αm

0

dãy {αm } hội tụ giảm về 0

Fix(T )

tập điểm bất động của ánh xạ T

m

số bước lặp

vii

Danh sách bảng

2.1
2.2
2.3

Kết quả tính toán cho phương pháp hiệu chỉnh (2.5) . . . . . . . 51
Kết quả tính toán cho phương pháp hiệu chỉnh (2.10) . . . . . . . 51
Kết quả tính toán cho phương pháp hiệu chỉnh (2.10) với δ = 1/M 3 53

2.4

Kết quả tính toán cho phương pháp hiệu chỉnh (2.10) với δ = 1/M 6 53

3.1

Kết quả tính toán cho phương pháp (3.17) khi p = 1/15 và p = 1/19 69

3.2

Kết quả tính toán cho phương pháp (3.17) và phương pháp (2.11)
trong [78] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Kết quả tính toán cho phương pháp (3.17) và phương pháp (2.11)
trong [78] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.3

1

Mở đầu

Nhiều vấn đề của các lĩnh vực khoa học kỹ thuật cũng như kinh tế xã hội dẫn
đến bài toán tìm một đại lượng vật lý x ∈ E chưa biết từ bộ dữ kiện ban đầu
(f0 , f1 , . . . , fN ) ∈ F N +1 , N ≥ 0, ở đây E là không gian Banach, F = E ∗ -không
gian đối ngẫu của E, hoặc E là không gian Hilbert và F = E (xem [33]). Trên
thực tế, bộ dữ kiện (f0 , f1 , . . . , fN ) nhận được bằng việc đo đạc trực tiếp trên
các tham số và thường không được biết chính xác mà chỉ được cho xấp xỉ bởi
fiδ ∈ F thỏa mãn
fiδ − fi ≤ δi ,

i = 0, 1, . . . , N,

(0.1)

với δi > 0 là các sai số cho trước. Bài toán này được mô hình hóa toán học bởi
hệ phương trình
Ai (x) = fi ,

i = 0, 1, . . . , N,

(0.2)

ở đây Ai : D(Ai ) ⊂ E → F là các toán tử từ không gian Banach E vào không
gian Banach F và D(Ai ) là ký hiệu miền xác định của các toán tử Ai .
Nhiều bài toán thực tế khác, như bài toán khôi phục ảnh (xem [48]), bài toán

khôi phục tín hiệu (xem [35]), bài toán điều khiển tối ưu (xem [49]), một số mô
hình của bài toán kinh tế dẫn đến dạng bài toán bù (xem [41]), bài toán tìm
điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn (xem [66]), bài toán chấp
nhận lồi (xem [16]), bài toán cực trị không ràng buộc (xem [22]) cũng có mô
hình toán học dạng hệ phương trình toán tử (0.2) với Ai là các toán tử đơn điệu.
Như vậy, hệ phương trình toán tử đơn điệu thường gặp trong nhiều lĩnh vực.
Tuy nhiên, lớp bài toán này lại có một đặc điểm là nếu không có thêm điều
kiện đặc biệt đặt lên các toán tử Ai , chẳng hạn tính đơn điệu đều hoặc đơn điệu
mạnh, thì chúng thường là những bài toán đặt không chỉnh (xem [1, 8, 18] và
các tài liệu được trích dẫn trong đó).


2

Khái niệm bài toán đặt không chỉnh được nhà toán học Hadamard người
Pháp đưa ra vào năm 1932 khi nghiên cứu ảnh hưởng của bài toán giá trị biên
với phương trình vi phân. Ông là người đầu tiên chỉ ra những bài toán không
ổn định là "bài toán đặt không chỉnh" (xem [42] và wikipedia.org/wiki/Jacques
Hadamard). Trong một thời gian dài người ta cho rằng mọi bài toán đặt ra đều
giải được theo nghĩa bài toán luôn có nghiệm, nghiệm được xác định duy nhất
và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Nhưng thực tế chỉ ra quan
niệm đó là sai lầm. Trong tính toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn
xảy ra quá trình làm tròn số. Chính sự làm tròn số đó đã dẫn đến sự sai lệch
đáng kể về nghiệm, tức là một sự thay đổi nhỏ của các dữ kiện đầu vào có thể
dẫn đến sự sai khác rất lớn về nghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở lên vô
nghiệm hoặc vô định. Người ta nói đó là bài toán đặt không chỉnh. Những người
có công đặt nền móng cho lý thuyết bài toán đặt không chỉnh phải kể đến các
nhà toán học Tikhonov (xem [74, 75, 76]), Lavrentiev (xem [63]), Ivanov (xem
[50, 51]). Do tầm quan trọng của lý thuyết và ứng dụng của lớp bài toán này
mà nhiều nhà toán học trên thế giới đã đi sâu nghiên cứu các phương pháp giải

bài toán đặt không chỉnh, điển hình là Alber (xem [8, 10]), Bakushinskii (xem
[13, 14]), Baumeister (xem [18]), Engl (xem [38, 39, 40]) v.v . . . Các nhà toán
học Việt Nam đã có rất nhiều đóng góp cho việc xây dựng phương pháp giải bài
toán đặt không chỉnh như nhóm nghiên cứu của Phạm Kỳ Anh (xem [4, 5, 6]),
Nguyễn Bường và Nguyễn Thị Thu Thủy (xem [22, 24, 78]), Đinh Nho Hào (xem
[45, 46]), Nguyễn Đông Yên và Phạm Duy Khánh (xem [57, 72]) v.v . . .
Do tính không ổn định của bài toán đặt không chỉnh nên việc giải số gặp
nhiều khó khăn, đặc biệt, khi có sai số nhỏ trong dữ kiện đầu vào hoặc trong
quá trình giải số trên máy tính có thể dẫn đến sai lệch rất lớn về kết quả. Vì vậy,
một trong những hướng nghiên cứu bài toán đặt không chỉnh rất quan trọng đó
là việc xây dựng các phương pháp giải ổn định lớp bài toán này sao cho khi sai
số của các dữ kiện đầu vào càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ càng gần với nghiệm
chính xác của bài toán ban đầu.
Năm 1943, Tikhonov đưa ra phương pháp chọn (xem [74]), sau đó Ivanov đưa
ra phương pháp tựa nghiệm (xem [50]) để tìm nghiệm xấp xỉ cho phương trình
toán tử đặt không chỉnh
A(x) = f,

(0.3)

Lavrentiev (xem [63]) đề xuất phương pháp thay phương trình đang xét bởi


3

phương trình xấp xỉ giải được với mọi vế phải f và nghiệm phụ thuộc liên tục
vào vế phải
A(x) + αx = f,
(0.4)
trong trường hợp A là toán tử tuyến tính xác định không âm trong không gian

Hilbert H. Các phương pháp trên được xét khi thông tin về nghiệm chính xác
của bài toán (0.3) được bổ sung. Trong trường hợp tổng quát khi không biết
thêm thông tin về nghiệm chính xác của bài toán, Tikhonov (xem [75]) đã đưa
ra phương pháp hiệu chỉnh nổi tiếng mang tên ông, trên cơ sở xây dựng toán tử
hiệu chỉnh và xác định tham số mới đưa vào. Kể từ đó lý thuyết bài toán đặt
không chỉnh được phát triển hết sức sôi động và có mặt ở hầu hết các bài toán
thực tế. Nội dung của phương pháp là xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương
trình toán tử (0.3) trong không gian Hilbert thực H dựa trên việc tìm cực tiểu
của phiếm hàm Tikhonov
Fαγ,δ (x) := Aγ (x) − f δ

2

+ α x∗ − x 2 ,

(0.5)

trong đó α = α(γ, δ) > 0 là tham số hiệu chỉnh phụ thuộc vào γ và δ, (Aγ , f δ ) là
các đại lượng quan sát được xấp xỉ của (A, f ), x∗ là phần tử cho trước đóng vai
trò là tiêu chuẩn chọn. Trên cơ sở phương pháp này, người ta đã xây dựng nhiều
phương pháp số giải bài toán đặt không chỉnh (0.3) (xem [2, 12, 13, 14, 30, 40]).
Khi A là toán tử phi tuyến thì Aγ thường là phi tuyến, việc tìm phần tử cực
tiểu của phiếm hàm Tikhonov (0.5) sẽ gặp nhiều khó khăn vì hàm Fαγ,δ (x) nói
chung không lồi. Để khắc phục vấn đề này, năm 1966 Browder (xem [28]) đã
đưa ra một dạng khác của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov với A là toán tử
phi tuyến đơn điệu từ không gian Banach E vào E ∗ , đó là việc sử dụng phương
trình hiệu chỉnh
Aγ (x) + αM (x) = f δ ,

(0.6)

khi Aγ là toán tử đơn điệu hoặc Aγ ≡ A. Tư tưởng của phương pháp là sử dụng
toán tử M : E → E ∗ có tính chất hemi-liên tục và thỏa mãn
M (x) − M (y), x − y ≥ (d( x ) − d( y ))( x − y ),
ở đây d(t) là một hàm không âm, không giảm, d(t) → +∞ khi t → +∞ và
d(0) = 0. Các kỹ thuật hiệu chỉnh do Lavrentiev và Browder đề xuất đã được
ứng dụng rất nhiều để giải bài toán đặt không chỉnh với toán tử đơn điệu (xem
[1, 2, 8, 10, 13, 14, 19, 20, 21]). Trong đó phải kể đến việc sử dụng ánh xạ đối
ngẫu tổng quát J s , s ≥ 2 của không gian Banach E làm thành phần hiệu chỉnh


4

do ánh xạ này là một dạng của toán tử M (xem [17]). Bằng cách này, Alber
và Ryazantseva (xem [8, 9, 10]) đã nghiên cứu phương trình hiệu chỉnh cho bài
toán (0.3) ở dạng
Aγ (x) + αJ s (x − x∗ ) = f δ .

(0.7)

Việc chọn tham số hiệu chỉnh α = α(δ) thích hợp cho phương trình hiệu chỉnh
(0.7) khi Aγ ≡ A đã được nghiên cứu trong [70], ở đó α(δ) được chọn bởi nguyên
lý độ lệch cổ điển, tức là α(δ) được chọn từ hệ thức
A(xδα ) − f δ = Kδ p ,

K > 1,

0 < p ≤ 1,

(0.8)

ở đây xδα là nghiệm của phương trình (0.7). Năm 2004, Nguyễn Bường (xem [20])
đã nghiên cứu việc chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý độ lệch
suy rộng trên cơ sở giải phương trình
ρ(α) = α−q δ p ,

0 < p ≤ q,

ρ(α) = α xδα ,

(0.9)

cho phương trình toán tử (0.3) khi xét phương trình hiệu chỉnh (0.7) trong
trường hợp Aγ ≡ A. Với cách chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh thì sự hội tụ
của nghiệm hiệu chỉnh đến nghiệm chính xác x0 của bài toán (0.3) có thể chậm
tùy ý. Để đánh giá được tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh đến nghiệm chính
xác x0 của bài toán (0.3), nghĩa là đánh giá giá trị xδα − x0 , người ta thường
cần một số điều kiện bổ sung như: điều kiện nguồn (xem [39]), tức là tồn tại
ω ∈ H sao cho
x0 − x∗ = [A (x0 )]∗ ω,
(0.10)
ở đây [A (x0 )]∗ là toán tử đối ngẫu của A (x0 ) và điều kiện đạo hàm cấp hai của
toán tử A bị chặn địa phương (xem [13, 14]), hay đạo hàm cấp một của toán tử
A liên tục Lipschitz địa phương (xem [40, 73]). Điều kiện về tính Lipschitz địa
phương của đạo hàm cấp một hay tính bị chặn địa phương của đạo hàm cấp hai
còn được thay thế bởi điều kiện nón tiếp tuyến (xem [44, 54, 55]). Trong [12] các
tác giả cũng chỉ ra rằng điều kiện đạo hàm cấp hai bị chặn, hay điều kiện liên
tục Lipschitz của đạo hàm cấp một không chặt hơn điều kiện nón tiếp tuyến.
Một số phương pháp hiệu chỉnh lặp giải phương trình toán tử (0.3) là sự kết
hợp giữa kỹ thuật hiệu chỉnh của Lavrentiev (hoặc Browder) với các phương

pháp số truyền thống đã được Bakushinskii đề xuất (xem [13, 14] và các tài liệu
được trích dẫn trong đó). Chẳng hạn, phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không là
sự kết hợp giữa phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev với phương pháp lặp hiện


5

trong không gian Hilbert thực H
xm+1 = xm − βm A(xm ) − f + αm xm ,
ở đây, αm > 0 là dãy tham số hiệu chỉnh, βm > 0 là dãy tham số lặp. Sự hội
tụ của phương pháp được thiết lập trên cơ sở toán tử A thỏa mãn thêm một số
điều kiện bổ sung và cách lựa chọn các dãy tham số {αm } và {βm } thích hợp.
Luận án của chúng tôi nghiên cứu, đề xuất phương pháp hiệu chỉnh, đưa ra
cách chọn tham số hiệu chỉnh, đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh
và nghiệm hiệu chỉnh đã được xấp xỉ hữu hạn chiều, đề xuất phương pháp hiệu
chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử (0.2), một mở rộng của bài toán (0.3).
Để giải hệ phương trình toán tử (0.2), ta có thể đưa hệ này về một phương
trình toán tử dạng (0.3), ở đây
N

D(Ai ) =: D(A)

A := (A0 , A1 , . . . , AN ) :

→ (E ∗ )N +1 ,

(0.11)

i=1

và f = (f0 , f1 , . . . , fN ). Những phương pháp cơ bản được sử dụng để giải hệ
phương trình phi tuyến dạng này phải được kể đến là phương pháp kiểu hiệu
chỉnh lặp (xem [15, 40, 54, 55]) hoặc phương pháp kiểu hiệu chỉnh Tikhonov
(xem [40, 62, 69, 76]). Tuy nhiên, các phương pháp này sẽ trở nên kém hiệu quả
khi N lớn vì nó đã phá hủy cấu trúc đặc biệt của hệ (0.2) và kết quả trong một
phương trình yêu cầu bộ nhớ lớn để thực hiện các tính toán trung gian. Khi đó,
người ta sử dụng phương pháp lặp xoay vòng kiểu Landweber–Kaczmarz cho
mỗi phương trình riêng biệt trong (0.2) (xem [52, 56, 59, 65]). Việc luân phiên
giải từng phương trình của hệ chẳng những không làm tăng điều kiện đặt lên
từng toán tử mà còn đơn giản hóa việc tính toán. Một số cải biên của phương
pháp này đã được nghiên cứu để giải hệ phương trình phi tuyến trong không
gian Hilbert H (xem [18, 30, 31, 43]). Sự hội tụ, tốc độ hội tụ của phương pháp
lặp kiểu Landweber–Kaczmarz đòi hỏi ba giả thiết đặt lên tất cả các toán tử Ai
của hệ (0.2), bao gồm điều kiện khả vi Fréchet với các đạo hàm Fréchet giới nội
đều trong lân cận của nghiệm x0 của hệ và điều kiện nón tiếp tuyến địa phương
(xem [31]). Các điều kiện này tương đối chặt. Luận án của chúng tôi đã góp
phần làm nới lỏng các điều kiện đặt lên các toán tử của hệ (0.2) vừa đề cập ở
trên, cụ thể điều kiện khả vi Fréchet và điều kiện nón tiếp tuyến chỉ cần đặt lên
một toán tử của hệ (xem Định lý 2.6, Định lý 3.3).
Một hướng tiếp cận khác được Phạm Kỳ Anh và các đồng nghiệp đề xuất,
đó là các phương pháp hiệu chỉnh lặp song song giải hệ phương trình toán tử


6

đơn điệu (0.2) trong không gian Hilbert thực H với các toán tử ngược đơn điệu
mạnh (xem [3, 4, 6]). Các phương pháp này nhằm xây dựng các thuật toán mà
ở đó các bài toán thành phần có thể xử lý một cách đồng thời và độc lập, tức là
song song từ thuật toán. Trên thực tế khi xử lý các phương pháp tuần tự trên
máy tính song song, người ta có thể tăng hiệu quả bằng việc song song trên từng

bước tính toán. Cụ thể, tại mỗi bước của phương pháp, ta sẽ xử lý song song các
ma trận xấp xỉ hữu hạn chiều rời rạc của bài toán ban đầu. Luận án của chúng
tôi đề xuất một phương pháp hiệu chỉnh lặp trong không gian Hilbert, mà tại
mỗi bước của phương pháp ta có thể xử lý song song. Đồng thời điều kiện liên
tục Lipschitz chỉ cần đặt lên một toán tử của hệ khi nghiên cứu sự hội tụ của
phương pháp. Hơn nữa, chúng tôi đưa ra ví dụ so sánh hiệu quả đạt được so với
phương pháp đề xuất trước đó (xem Phương pháp (3.17), Định lý 3.4, Định lý
3.5, Ví dụ 3.1, Ví dụ 3.2).
Gần đây, Nguyễn Bường (xem [22]) đã đề xuất phương pháp hiệu chỉnh dạng
Browder–Tikhonov với các toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và thế năng bằng
việc kết hợp các phương trình hiệu chỉnh dạng (0.7) để hiệu chỉnh cho hệ phương
trình toán tử (0.2) trong trường hợp fi = 0 trên cơ sở xây dựng phương trình
phụ thuộc tham số
N

αµi Aγi (x) + αJ(x) = 0,
i=0

µ0 = 0 < µi < µi+1 < 1,

(0.12)

i = 1, 2, . . . , N − 1,

ở đây Aγi là các xấp xỉ của Ai , J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian
Banach E. Đồng thời, tác giả cũng đã cải biên kết quả (0.9) để đưa ra cách chọn
tham số hiệu chỉnh trên cơ sở giải phương trình
ρ(α) = α−q γ p ,

p, q > 0,

(0.13)

ở đây ρ(α) = α α0 + xγα , 0 < α0 < α và xγα là nghiệm của phương trình
hiệu chỉnh (0.12). Một số kết quả mở rộng của hướng nghiên cứu này được phát
triển trong [23, 24, 25, 26, 58, 78]. Các cải biên của phương pháp hiệu chỉnh
(0.12) được thiết lập chủ yếu trong không gian Hilbert và chưa đề cập tới bài
toán chọn tham số hiệu chỉnh trong không gian Banach. Trong trường hợp Ai là
các toán tử J-đơn điệu, liên tục Lipschitz, các tác giả trong [25] đã nghiên cứu
nguyên lý tựa độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh với điều kiện liên tục đặt lên N
toán tử của hệ (0.2). Luận án của chúng tôi đề xuất phương pháp hiệu chỉnh


7

hệ phương trình toán tử đơn điệu trong trường hợp có nhiễu vế phải mang tính
kế thừa của phương pháp (0.12), đồng thời đề xuất phương pháp hiệu chỉnh
trong trường hợp các toán tử của hệ không có tính thế năng và chỉ ra sự hội tụ
mạnh của phương pháp đề xuất (xem Phương pháp (2.5), Phương pháp (2.10),
Phương trình xấp xỉ hữu hạn chiều (3.1), Định lý 2.1, Định lý 2.2, Ví dụ 2.1, Ví
dụ 2.2, Định lý 3.1, Định lý 3.2). Chúng tôi cũng nghiên cứu cách chọn tham
số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch và nguyên lý tựa độ lệch suy rộng cho
phương trình hiệu chỉnh (2.5), (2.10) kết hợp việc nới lỏng các điều kiện đặt lên
các toán tử của hệ (0.2) trong không gian Banach (xem Định lý 2.3, Định lý 2.4,
Định lý 2.5).
Như vậy có thể khẳng định rằng, bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình
toán tử đặt không chỉnh đơn điệu đã và đang được các nhà toán học trong và
ngoài nước quan tâm nghiên cứu, nhằm xây dựng các phương pháp giải hữu
hiệu cho bài toán này. Tuy đã có rất nhiều kết quả quan trọng đạt được cho
việc nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình toán tử đặt không

chỉnh (0.2), song việc cải tiến các phương pháp nhằm gia tăng hiệu quả của nó
luôn là vấn đề thời sự và cấp thiết. Vì những lý do phân tích ở trên, chúng tôi
chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là "Phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm
của hệ phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Banach".
Mục đích chính của luận án nhằm nghiên cứu các phương pháp hiệu chỉnh
cho hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh (0.2) trong không gian Banach
trên cơ sở giải quyết các vấn đề sau:
1. Xây dựng phương pháp hiệu chỉnh mới hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử
đặt không chỉnh (0.2) trong không gian Banach. Nghiên cứu sự hội tụ và
đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh dựa trên việc chọn tham số
hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch và nguyên lý tựa độ lệch suy rộng.
2. Xây dựng xấp xỉ hữu hạn chiều cho phương trình hiệu chỉnh ở trên, nghiên
cứu tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều, đồng thời đề xuất
phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử (0.2).
3. Đưa ra ví dụ áp dụng và kết quả số mang tính chất minh họa cho phương
pháp đã đề xuất.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nội dung
của luận án được trình bày trong ba chương. Chương 1 giới thiệu và trình bày


8

các kiến thức bổ trợ phục vụ cho các chương sau của luận án. Các kết quả chính
của luận án nằm ở Chương 2 và Chương 3.
Chương 1 giới thiệu một số đặc trưng hình học của không gian Banach, toán
tử đơn điệu, đơn điệu cực đại, ngược đơn điệu mạnh, toán tử liên tục Lipschitz,
toán tử bức và toán tử thế năng. Trình bày khái niệm về bài toán đặt không
chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh. Phần cuối của chương trình bày về hệ phương
trình toán tử đơn điệu và một số bài toán liên quan.
Chương 2 đề xuất phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder–Tikhonov giải hệ

phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh (0.2) trong trường hợp các toán
tử có tính chất thế năng hoặc ngược đơn điệu mạnh trong không gian Banach.
Chương này cũng đề xuất các quy tắc chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên
lý tựa độ lệch, nguyên lý tựa độ lệch suy rộng và đánh giá tốc độ hội tụ của
nghiệm hiệu chỉnh. Một số ứng dụng cho bài toán cực trị hay hệ phương trình
tích phân Fredholm tuyến tính loại một được trình bày ở cuối chương cùng một
số kết quả tính toán số mang tính chất minh họa cho các phương pháp đề xuất.
Chương 3 xây dựng xấp xỉ hữu hạn chiều cho nghiệm hiệu chỉnh của phương
pháp hiệu chỉnh đề xuất ở Chương 2, đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu
chỉnh khi đã được xấp xỉ hữu hạn chiều. Phương pháp hiệu chỉnh lặp được đưa
ra trong không gian Hilbert cùng một số kết quả tính toán thử nghiệm được
trình bày ở cuối chương.
Các kết quả của luận án đã được công bố trong các bài báo (1)–(4) trong
Danh mục các công trình của tác giả đã công bố có liên quan đến luận án và
được báo cáo tại:
• Seminar của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại
học Thái Nguyên các năm 2014, 2015, 2016 và 2017.
• Hội thảo quốc gia "Một số vấn đề chọn lọc về Công nghệ Thông tin và
Truyền thông" lần thứ 16, 14-15/11/2013, Đà Nẵng.
• Hội thảo "Bài toán cân bằng và điểm bất động: Lý thuyết và thuật toán",
25-29/08/2014, Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán.
• Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 14, 21-23/4/2016, Ba Vì,
Hà Nội.


9

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị, kết quả bổ trợ phục vụ cho
việc trình bày các kết quả chính ở Chương 2 và Chương 3. Cấu trúc của chương
gồm ba mục. Mục 1.1 trình bày khái niệm không gian Banach phản xạ, lồi đều;
toán tử đơn điệu trong không gian Banach và một số tính chất. Mục 1.2 giới
thiệu về bài toán đặt không chỉnh và một số phương pháp hiệu chỉnh. Mục 1.3
giới thiệu về hệ phương trình toán tử đơn điệu và một số bài toán liên quan,
các kết quả về hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu cũng được trình
bày trong mục này. Kiến thức của chương được tổng hợp từ các tài liệu [7], [10],
[33], [34], [36] và các tài liệu được tham chiếu trong đó.
1.1.
1.1.1.

Toán tử trong không gian Banach
Không gian Banach phản xạ, lồi đều

Xét không gian Banach thực E với không gian đối ngẫu E ∗ , cả hai có chuẩn
đều được ký hiệu là . , với mọi x ∈ E và x∗ ∈ E ∗ ta đặt x∗ , x := x∗ (x).
Định nghĩa 1.1 Không gian Banach E được gọi là phản xạ nếu với mọi phần
tử x∗∗ ∈ E ∗∗ , không gian liên hợp thứ hai của E, đều tồn tại phần tử x ∈ E
sao cho
x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) ∀x∗ ∈ E ∗ .
Ví dụ 1.1 (xem [7, trang 35])
(i) Không gian Rn , không gian Hilbert H, không gian lp và Lp [a, b], 1 < p < ∞
là các không gian phản xạ.
(ii) Các không gian l1 , l∞ , L1 [a, b], L∞ , c, c0 không phản xạ.
Định lý 1.1 (xem [7, Định lý 1.9.26]) Giả sử E là không gian Banach. Khi đó,
các mệnh đề sau là tương đương:
(i) E là không gian phản xạ;

10

(ii) Mọi dãy bị chặn trong E đều có dãy con hội tụ yếu.
Định nghĩa 1.2 (xem [7, Định nghĩa 2.1.1, 2.2.1]) Không gian Banach E được
gọi là
(i) lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ SE , ở đây SE := {x ∈ E : x = 1} là mặt cầu
đơn vị của không gian Banach E, x = y, thì
(1 − λ)x + λy < 1,

λ ∈ (0, 1);

(ii) lồi đều nếu với mọi 0 < ≤ 2, x ≤ 1, y ≤ 1 và x − y ≥
δ = δ( ) > 0 sao cho
x+y
< 1 − δ.
2

thì tồn tại

Ví dụ 1.2 (xem [7, Ví dụ 2.1.2, 2.1.3, 2.2.3])
(i) Không gian Rn , n ≥ 2 với chuẩn x
n

x

2

2

được xác định bởi

1/2

x2i

=

x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn ,

,

i=1

là không gian lồi chặt.
(ii) Không gian Rn , n ≥ 2 với chuẩn x
x

1

1

= |x1 | + |x2 | + . . . + |xn |,

xác định bởi
x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn ,

không phải là không gian lồi chặt.
(iii) Không gian lp , Lp [a, b] với 1 < p < ∞ là các không gian lồi đều.
(iv) Các không gian l1 , l∞ , L1 [a, b], c, c0 không lồi đều.
Mệnh đề 1.1 (xem [7, Mệnh đề 2.1.10]) Giả sử C là một tập con lồi đóng khác

rỗng của không gian Banach phản xạ và lồi chặt E. Khi đó, với mỗi x ∈ E tồn
tại duy nhất một điểm y ∈ C thỏa mãn
x − y = inf x − z .
z∈C

Chú ý 1.1 (xem [10, trang 14]) Điểm y ∈ C thỏa mãn Mệnh đề 1.1 được gọi là
xấp xỉ tốt nhất của x ∈ E.


11

Định nghĩa 1.3 (xem [10, Định nghĩa 1.1.37]) Không gian Banach phản xạ E
được gọi là có tính chất ES (Ephimov–Stechkin) nếu E lồi chặt và với mọi dãy
{xn } ⊂ E hội tụ yếu đến x ∈ E (xn
x), xn → x thì dãy {xn } hội tụ
mạnh đến x (xn → x).
Định lý 1.2 (xem [7, Định lý 2.2.4, 2.2.8, 2.2.13]) Không gian Banach lồi đều
là lồi chặt và phản xạ. Ngoài ra nó còn có tính chất ES.
Điều ngược lại của khẳng định thứ nhất của định lý trên chưa chắc đã đúng.
Ta có các ví dụ sau.
Ví dụ 1.3 (xem [7, Chú ý 2.2.5]) Không gian E = c0 với chuẩn . β , β > 0
được xác định bởi
∞

x

β

= x

c0

+β
i=1

xi
i

2

1/2

,

x = {xi } ∈ c0 ,

là không gian Banach lồi chặt nhưng không lồi đều.
Ví dụ 1.4 (xem [7, Chú ý 2.2.9]) Không gian Rn , n ≥ 2 với chuẩn . 1 được
xác định như trong Ví dụ 1.2(ii) là không gian Banach phản xạ nhưng không
lồi đều.
Định nghĩa 1.4 (xem [7, trang 91]) Chuẩn của không gian Banach E được gọi là
(i) khả vi Gâteaux tại điểm x0 ∈ SE nếu với mỗi y ∈ SE giới hạn
lim
t→0

tồn tại, ký hiệu là y,
x tại x = x0 ;

x0

x0 + ty − x0
t
và

x0 được gọi là đạo hàm Gâteaux của

(ii) khả vi Gâteaux nếu nó khả vi Gâteaux tại mọi điểm trên SE ;
(iii) khả vi Gâteaux đều nếu giới hạn trên đạt được đều với mọi x ∈ SE .
Ví dụ 1.5 (xem [7, Ví dụ 2.6.2]) Chuẩn của không gian Hilbert H khả vi
Gâteaux với
x = x/ x , x = 0. Thật vậy, với mỗi x = 0 của không gian
Hilbert H, ta có
x + ty 2 −
x + ty − x
lim
= lim
t→0
t→0 t( x + ty +
t
2t y, x + t2
= lim
t→0 t( x + ty +

x 2
x )
y 2
=
x )

y,

x
x

.


12

1.1.2.

Toán tử trong không gian Banach

Trong luận án này ta xét toán tử đơn trị A : E → E ∗ với miền xác định
D(A) := {x ∈ E | A(x) = ∅}, R(A) := {y ∈ E ∗ | ∃x ∈ D(A) : A(x) = y} là
miền giá trị và đồ thị là Gr(A) := {(x, y) ∈ E × E ∗ : x ∈ D(A), y = A(x)}.
Trong trường hợp toán tử A tuyến tính ta sẽ viết Ax thay cho A(x).
Khái niệm liên quan đến tính bán đóng hay demi-đóng của đồ thị được dùng
để chứng minh kết quả ở Mục 2.1 Chương 2 được trình bày trong định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.5 (xem [10, Định nghĩa 1.4.4])
(i) Tập hợp G ⊂ E×E ∗ được gọi là bán đóng hay demi-đóng nếu từ (xn , yn ) ∈ G
đồng thời xn → x và yn
y hoặc xn
x và yn → y khi n → ∞ thì suy ra
(x, y) ∈ G.
(ii) Toán tử A : E → E ∗ được gọi là demi-đóng nếu đồ thị của nó là tập
demi-đóng trong E × E ∗ .
Nhận xét 1.1 (xem [7, trang 45]) Định nghĩa 1.5 có thể phát biểu tương đương
như sau: Toán tử A : E → E ∗ được gọi là demi-đóng tại x ∈ D(A) nếu mọi dãy
{xn } ⊂ D(A) mà xn

x và A(xn ) → y ∈ E ∗ hoặc xn → x và A(xn )
y ∈ E∗
khi n → ∞ thì A(x) = y.
Sau đây là một số khái niệm về tính liên tục của toán tử A.
Định nghĩa 1.6 (xem [10, Định nghĩa 1.1.48]) Toán tử A : E → E ∗ được gọi là
(i) liên tục tại x ∈ D(A) nếu mọi dãy {xn } ⊂ D(A) và xn → x thì A(xn ) → A(x);
(ii) liên tục theo tia hay hemi-liên tục tại x ∈ D(A) nếu với mọi y ∈ E, tn ∈ R
sao cho x + tn y ∈ D(A) thì
A(x + tn y)

A(x) khi tn → 0+ ;

(iii) bán liên tục hay demi-liên tục tại x ∈ D(A) nếu với mọi dãy {xn } ⊂ D(A)
và xn → x khi n → ∞ thì Axn

Ax khi n → ∞;

(v) liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho với mọi x, y ∈ D(A)
ta có
A(x) − A(y) ≤ L x − y ;
(vi) hoàn toàn liên tục trên tập ω ⊂ D(A) nếu A liên tục và compact trên ω.


13

Nhận xét 1.2 (xem [10])
(i) Nếu toán tử A liên tục Lipschitz thì nó liên tục; nếu toán tử A liên tục thì
nó demi-liên tục; nếu toán tử A demi-liên tục thì nó hemi-liên tục. Các
chiều ngược lại có thể không đúng.
(ii) Nếu toán tử A liên tục Lipschitz với L = 1 thì A là toán tử không giãn; nếu

L ∈ [0, 1) thì A là toán tử co.
(iii) Nếu toán tử A là hoàn toàn liên tục trong không gian vô hạn chiều thì toán
tử ngược của nó nói chung không liên tục.
(vi) Nếu A là toán tử tuyến tính thì tính hoàn toàn liên tục và compact là
tương đương.
Tiếp theo là khái niệm về tính khả vi của toán tử A với tập xác định D(A)
là tập mở.
Định nghĩa 1.7 (xem [10, Định nghĩa 1.1.53, 1.1.54]) Toán tử A từ (D(A) ⊂ E)
vào E ∗ được gọi là
(i) khả vi Fréchet (khả vi mạnh) tại x ∈ D(A) nếu tồn tại toán tử tuyến tính
liên tục A (x) : E → E ∗ sao cho với mọi h ∈ E thỏa mãn x + h ∈ D(A)
ta có
A(x + h) − A(x) = A (x)h + r(x, h),
ở đây r(x, h) / h → 0 khi h → 0. Khi đó A (x) và A (x)h được gọi là
đạo hàm và vi phân Fréchet tương ứng của toán tử A tại x. Toán tử A được
gọi là khả vi Fréchet nếu nó khả vi Fréchet tại mọi x ∈ D(A);
(ii) khả vi Gâteaux (khả vi yếu) tại x ∈ D(A) nếu với mọi h ∈ E, t ∈ R thỏa
mãn x + th ∈ D(A), tồn tại giới hạn
A(x + th) − A(x)
= δA(x, h).
t→0
t

lim

Nếu tồn tại toán tử tuyến tính liên tục B : E → E ∗ sao cho δA(x, h) = Bh
thì A (x) := B được gọi là đạo hàm Gâteaux (đạo hàm yếu) của A tại x.
Nhận xét 1.3 (xem [10, Định lý 1.1.55]) Hiển nhiên toán tử khả vi Fréchet thì
khả vi Gâteaux và khi đó đạo hàm mạnh và yếu trùng nhau. Ngược lại nếu đạo
hàm Gâteaux tồn tại và liên tục trong lân cận của x ∈ D(A) thì đạo hàm yếu

trùng với đạo hàm mạnh tại x.


14

Sau đây là khái niệm về hàm nửa liên tục dưới và khả vi Gâteaux.
Định nghĩa 1.8 (xem [10, Định nghĩa 1.1.12]) Hàm ϕ : E → R ∪ {+∞} được
gọi là
(i) nửa liên tục dưới trên E nếu
lim inf ϕ(y) ≥ ϕ(x) ∀x ∈ E;
y→x

(ii) nửa liên tục dưới yếu trên E nếu với mọi dãy {xn } của E hội tụ yếu đến x
(xn

x) thì
lim inf ϕ(xn ) ≥ ϕ(x) ∀x ∈ E.
n→∞

Tính chất của hàm lồi khả vi Gâteaux được sử dụng để chứng minh các kết
quả trong Chương 2 sẽ được trình bày trong mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.2 (xem [37, Mệnh đề 2.2]) Giả sử ϕ và F : E → R ∪ {+∞} là các
hàm lồi chính thường, nửa liên tục dưới trên E và hàm ϕ khả vi Gâteaux với
đạo hàm Gâteaux là A. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương:
(i) x˜ là nghiệm của bài toán cực trị min{ϕ(x) + F (x)};
x∈E

(ii) A(˜
x), x − x˜ + F (x) − F (˜
x) ≥ 0 với mọi x ∈ E;

(iii) A(x), x − x˜ + F (x) − F (˜
x) ≥ 0 với mọi x ∈ E.
Khái niệm toán tử đơn điệu, đơn điệu cực đại và ngược đơn điệu mạnh được
giới thiệu trong định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.9 (xem [10, trang 5–12], [33, Chương 5, Chú ý 3.2]) Toán tử
A : E → E ∗ được gọi là
(i) đơn điệu nếu A(x) − A(y), x − y ≥ 0 với mọi x, y ∈ E; đơn điệu chặt nếu
dấu "=" của bất đẳng thức trên chỉ xảy ra khi x = y;
(ii) d-đơn điệu nếu tồn tại một hàm không âm d(t), không giảm với t ≥ 0,
d(0) = 0 và thỏa mãn tính chất
A(x) − A(y), x − y ≥ d( x ) − d( y )

x − y

∀x, y ∈ E;

(iii) đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm không âm δ(t), không giảm với t ≥ 0,
δ(0) = 0 và thỏa mãn tính chất
A(x) − A(y), x − y ≥ δ x − y

∀x, y ∈ E;


15

nếu δ(t) = λt2 , λ là hằng số dương, thì A được gọi là toán tử λ-đơn
điệu mạnh;
(iv) bức nếu
lim

x →+∞

A(x), x
= +∞ ∀x ∈ E;
x

(v) thế năng nếu A(x) là đạo hàm của phiếm hàm lồi ϕ(x), tức là A(x) = ϕ (x).
Nhận xét 1.4 (xem [10, Mệnh đề 1.3.5])
(i) Nếu A là toán tử đơn điệu thì A(x + u0 ) và A(x) + w0 cũng là các toán tử
đơn điệu, ở đây u0 ∈ E và w0 ∈ E ∗ là các phần tử cố định.
(ii) Nếu A, B là các toán tử đơn điệu thì A + B, λA với λ > 0 cũng là các toán
tử đơn điệu.
(iii) Nếu một trong hai toán tử đơn điệu A : E → E ∗ và B : E → E ∗ có ít nhất
một toán tử đơn điệu chặt thì A + B là toán tử đơn điệu chặt.
Đạo hàm Gâteaux của một hàm lồi có tính chất đơn điệu, đó là nội dung của
mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.3 (xem [37, Mệnh đề 5.5]) Cho ϕ : E → R ∪ {+∞} là một hàm
khả vi Gâteaux trên E. Khi đó, điều kiện cần và đủ để hàm ϕ lồi trên E là đạo
hàm Gâteaux ϕ của nó là một toán tử đơn điệu từ E vào E ∗ .
Khái niệm toán tử đơn điệu được trình bày trong Định nghĩa 1.9 còn được
mô tả dựa trên đồ thị như sau (xem [10, Định nghĩa 1.3.1, 1.4.1, 1.4.2]).
Định nghĩa 1.10 (xem [33, Chương 5, Định nghĩa 2.2, Chú ý 2.3], [10, Định
nghĩa 1.4.1]) Toán tử A được gọi là đơn điệu nếu
x∗ − y ∗ , x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ E, ∀x∗ ∈ A(x), ∀y ∗ ∈ A(y).
Đồ thị Gr(A) của toán tử A được gọi là tập đơn điệu trong không gian tích
E × E ∗ nếu bất đẳng thức trên được thỏa mãn với mọi (x, x∗ ), (y, y ∗ ) ∈ Gr(A).
Gr(A) được gọi là tập đơn điệu cực đại nếu Gr(A) không bị chứa thực sự trong
một tập đơn điệu nào khác trong E × E ∗ . Toán tử A được gọi là đơn điệu cực
đại nếu và chỉ nếu Gr(A) đơn điệu cực đại trong E × E ∗ .
Một ví dụ điển hình về toán tử đơn điệu cực đại là dưới vi phân của một

hàm lồi.


16

Định lý 1.3 (xem [10, Định lý 1.7.15], [61]) Cho E là không gian Banach phản
xạ thực, E ∗ là không gian đối ngẫu của E. Nếu ϕ : E → R ∪ {+∞} là một
phiếm hàm lồi chính thường, nửa liên tục dưới trên E, thì ánh xạ dưới vi phân
của hàm ϕ được ký hiệu là ∂ϕ và được định nghĩa bởi
∂ϕ = x∗ ∈ E ∗ : ϕ(y) − ϕ(x) ≥ x∗ , y − x

∀y ∈ E ,

là một toán tử đơn điệu cực đại từ E vào E ∗ .
Một toán tử đơn điệu hemi-liên tục xác định trên toàn không gian hoặc có
tính thế năng là toán tử đơn điệu cực đại.
Định lý 1.4 (xem [10, Định lý 1.4.6, Hệ quả 1.7.16])
(i) Nếu toán tử A : (D(A) = E) → E ∗ đơn điệu, hemi-liên tục thì A là toán tử
đơn điệu cực đại.
(ii) Nếu A : (D(A) = E) → E ∗ là toán tử đơn điệu và thế năng thì A là toán
tử đơn điệu cực đại.
Định lý 1.5 (xem [10, Định lý 1.8.3]) Nếu A, B là các toán tử đơn điệu cực đại
từ E vào E ∗ và D(A) ∩ D(B) = ∅ thì A + B cũng là toán tử đơn điệu cực đại.
Ta có một số tính chất của toán tử đơn điệu cực đại sau đây.
Bổ đề 1.1 (xem [10, Mệnh đề 1.4.3]) Toán tử đơn điệu A : E → E ∗ là đơn điệu
cực đại trên D(A) ⊂ E khi và chỉ khi từ bất đẳng thức
A(x) − f, x − x0 ≥ 0 ∀x ∈ D(A),
ta suy ra x0 ∈ D(A) và A(x0 ) = f .
Sau đây là một kết quả liên quan đến Bổ đề 1.1 cho trường hợp toán tử
hemi-liên tục.

Bổ đề 1.2 (xem [27], [60]) Cho E là một không gian Banach thực, E ∗ là không
gian đối ngẫu của E, f ∈ E ∗ và A : E → E ∗ là một toán tử hemi-liên tục. Khi
đó, nếu tồn tại x0 ∈ E thỏa mãn bất đẳng thức
A(x) − f, x − x0 ≥ 0 ∀x ∈ E,
thì A(x0 ) = f .
Nếu A là toán tử đơn điệu trên E thì điều kiện trên tương đương với
A(x0 ) − f, x − x0 ≥ 0 ∀x ∈ E.