Giải đề thi cơ học môi trường liên tục
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (299.52 KB, 17 trang )
north saint
CƠ học môi trường liên tục
Đề số 01
Câu 1(7,5 điểm): Trạng thái ứng suất của môi trường cho bởi tenxơ
2x1x 3
ij 0,5x 22
0,5x 2
1
0,5x 22
2x1x 2
0,5x 32
0,5x12
0,5x 32 kN / cm 2
2x 2 x 3
Biết môđun đàn hồi E = 2.104kN/cm2; hệ số Poát xông = 0,25.
Yêu cầu:
1. Biểu diễn ứng suất tại K(-2; 1; 2)
8 0,5 2
Tương ứng với K(-2; 1; 2) thay vào ta có ten-xơ ứng suất T 0,5 4 2 kN / cm 2
2
2
4
2. Xác định ten-xơ biến dạng tại điểm K
Dựa trên các phương trình về vật lý ta có
35
north saint
CƠ học môi trường liên tục
1
1
11 22 33
8 0,254 4 4.104
4
E
2.10
1
1
22 22 11 33
4 0,258 4 1,5.104
4
E
2.10
1
1
33 33 11 22
4 0,258 4 3,5.104
E
2.10 4
1 .2 0,51 0,25.2
12 12
0,625.104
4
2E
2.10
1 .2 2 1 0,25.2
13 13
2,5.104
4
2E
2.10
1 .2 2 1 0,25.2
23 23
2,5.104
4
2E
2.10
11
4 0,625 2,5
Từ đó ta có ten-xơ biến dạng tại K là T 0,625 1,5 2,5 .104
2,5
2,5
3,5
3. Xác định giá trị biến dạng chính thứ nhất và phương của nó tại điểm K
Thay vì tính trên ten-xơ biến dạng của bài toán ta đi tính biến dạng chính của ten-xơ sau
4 0,625 2,5
T ' 0,625 1,5 2,5
2,5
2,5
3,5
Ta có biến dạng chính là nghiệm của phương trình 3 - J 1 2 + J 2 - J 3 = 0
Xác định 3 bất biến
J1 11 22 33 4 1,5 3,5 2
J2
4 0,625 4 2,5 1,5 2,5
5,6094 20,25 11,5 26,1406
0,625 1,5 2,5 3,5
2,5 3,5
4 0,625 2,5
J 3 0,625 1,5 2,5 61,8203
2,5
2,5 3,5
1 5,2401
3
2
Thay vào phương trình ta có + 2 - 26, 1406 - 61, 8203 = 0 2 2, 4768
3 4,7632
5,2401.104
1
4
Vậy biến dạng chính của bài toán là
2 2,4768.10
3 4,7632.104
Phương chính của biến dạng chính thứ nhất 1 5,2401.104
36
north saint
CƠ học môi trường liên tục
11 1 .l 12 .m 13 .n 0
.l .m .n 0 thay số vào ta có
22 1
21
23
2
2
2
l m n 1
9,2401.l 0,625.m 2,5.n 0
l 0,2975.n
l 0,2975.n
0,625.l 6,7401.m 2,5.n 0
m 0,3985.n m 0,3985.n
2
2
2
2
l m n 1
1,2473n
1
n 0,8954
l 0,2664
l 0,2664
Vây phương chính là: m 0,3568 ;m 0,3568
n 0,8954
n 0,8954
4. Tính biến dạng dài tại K theo phương v
5
3
7
e1
e2
e3
21
21
21
5 3
7
Cosin chỉ phương véc tơ v là l, m,n
;
;
21 21 21
v 11.l 2 22 .m 2 33 .n 2 2 12 .l.m 23 .m.n 31.n.l
5
9
7
3 5
3 7
35
1,3091.104
10 . 4. 1,5. 3,5. 2 0,625.
2,5.
2,5.
21
21
21
21
21
21
4
Câu 2(2,5 điểm): Cho đập có mặt cắt ngang như hình vẽ. Giả sử hàm của ứng suất
x, y ax3 bxy2 cx 2 y dy3
Bỏ qua trọng lượng riêng của đập;
= const; a, b, c, d là các hằng số
Yêu cầu:
1. Viết các biểu thức tính ứng suất xx , yy , xy
Ta có xx
2
2
2
2bx
6dy;
6ax
2cy;
2cx 2by
yy
xy
y 2
x 2
xy
37
north saint
CƠ học môi trường liên tục
2. Viết điều kiện biên
Điều kiện biên tĩnh học trên cạnh OA
l cos 0,766
Cosin chỉ phương
m sin 0,643
J* q.sin 0,643y
1x
Lực mặt
*
J1y q.cos 0,766 y
Ta có tan
x
x y tan 0,839y
y
Phương trình điều kiện cho OA
xx . l xy .m J*x1 2bx 6dy.0,766 2cx 2by.0,643 0,643y
*
.l .m J
2cx 2by.0,766 6ax 2cy.0,643 0,766 y
yy
y1
xy
2,571b 1,079c 4,596d 0,643
3,858a 1,532b 2,571c 0,766
Điều kiện biên tĩnh học trên cạnh OB
l cos 0,766
Cosin chỉ phương
m sin 0,643
J* y.cos 0,766 y
2x
Lực mặt
*
J 2y y.sin 0,643y
Ta có tan
x
x y tan 0,839y
y
Phương trình điều kiện cho OB
*
xx . l xy .m J x2 2bx 6dy.0,766 2cx 2by.0,643 0,766 y
*
.l
.m
J
yy
y2
2cx 2by.0,766 6ax 2cy.0,643 0,643y
xy
6,52.104 b 1,079c 4,596d 0,766
4
3,237a 1,532b 6,52.10 c 0,643
38
north saint
CƠ học môi trường liên tục
Đề số 02
Câu 1(7,5 điểm): Trạng thái biến dạng của môi trường cho bởi tenxơ
x 32
ij x1x 2
x x
1 3
x1x 2
x12
x 2x3
x1x 3
x 2 x 3 .104
x 22
Biết môđun đàn hồi E = 2.104kN/cm2; hệ số Poát xông = 0,25.
Yêu cầu:
1. Xác định ten-xơ ứng suất tại K(2; -2; 1)
1 4 2
Tương ứng với K(2; -2; 1) thay vào ta có ten-xơ biến dạng T 4 4 2 .104
2 2 4
Ta có hằng số đàn hồi độc lập
E.
2.10 4.0,25
E
2.10 4
4
0,8.10 ;v G
0,8.10 4
(1 )(1- 2 ) (1 0,25)(1- 0,5)
2(1 ) 2.(1 0,25)
Độ biến đổi thể tích 11 22 33 1 4 4.104 9.104
11 . 2.v.11 0,8.9 2.0,8.1 8,8kN / cm 2
22 . 2.v. 22 0,8.9 2.0,8.4 13,6kN / cm 2
33 . 2.v. 33 0,8.9 2.0,8.4 13,6kN / cm 2
12 v.12 0,8.4 3,2kN / cm 2
23 v. 23 0,8.2 1,6kN / cm 2
31 v. 31 0,8.2 1,6kN / cm 2
8,8 3,2 1,6
Vậy ta có ten-xơ biến dạng tại K là T 3,2 13,6 1,6 kN / cm 2
1,6 1,6 13,6
39
north saint
CƠ học môi trường liên tục
2. Biểu diễn ứng suất trên phân tố
3. Xác định giá trị ứng suất chính thứ nhất và phương của nó tại điểm K
Ta có ứng suất chính là nghiệm của phương trình 3 - I 12 + I 2 - I 3 = 0
Xác định 3 bất biến
I1 11 22 33 8,8 13,6 13,6 36kN / cm 2
I2
8,8
3,2
3,2
13,6
8,8
3,2
8,8
1,6
1,6 13,6
13,6
1,6
1,6 13,6
109,44 117,12 182,4 408,96kN 2 / cm 4
1,6
I 3 3,2 13,6 1,6 1447, 42kN 3 / cm 6
1,6 1,6 13,6
1 16,71kN / cm 2
Thay vào phương trình ta có 3 - 362 + 408, 96 - 1447, 42 = 0 2 12,18kN / cm 2
2
3 7,11kN / cm
16,71kN / cm 2
1
2
Vậy ứng suất chính của bài toán là
2 12,18kN / cm
3 7,11kN / cm 2
Phương chính của ứng suất chính thứ nhất 1 16,71kN / cm 2
11 1 .l 12 .m 13 .n 0
.l .m .n 0
22
1
23
21
2
2
2
l m n 1
40
north saint
CƠ học môi trường liên tục
l 0,6911.n
l 0,6911.n
7,91.l 3,2.m 1,6.n 0
3,2.l 3,11.m 1,6.n 0
m 1,2256.n m 1,2256.n
2
2
l m 2 n 2 1
2,9797n
1
n 0,3356
l 0,2319
l 0,2319
Vây phương chính là: m 0,4113 ;m 0, 4113
n 0,3356
n 0,3356
4. Tính ứng suất toàn phần tại K trên mặt phẳng có pháp tuyến
v
5
2
7
e1
e2
e3
14
14
14
5 2
7
Cosin chỉ phương véc tơ v là l,m,n
;
;
14 14 14
Thành phần ứng suất theo các phương
1
. 8,8. 5 3,2. 2 1,6. 7 7,60kN / cm 2
14
1
p 22 12 .l 22 .m 32 .n
. 3,2. 5 13,6. 2 1,6. 7 8,18kN / cm 2
14
1
p 33 13 .l 23 .m 33 .n
. 1,6. 5 1,6. 2 13,6. 7 11,18kN / cm 2
14
p11 11.l 21.m 31.n
2
2
2
ứng suất toàn phần tại K trên mặt phẳng p n p11
p 22
p 33
15,80kN / cm 2
Câu 2(2,5 điểm): Cho đập có mặt cắt ngang như hình vẽ. Giả sử hàm của ứng suất
x, y ax3 bxy2 cx 2 y dy3
Bỏ qua trọng lượng riêng của đập;
= const; a, b, c, d là các hằng số
Yêu cầu:
1. Viết các biểu thức tính ứng suất xx , yy , xy
Ta có xx
2
2
2
2bx
6dy;
6ax
2cy;
2cx 2by
yy
xy
y 2
x 2
xy
41
north saint
CƠ học môi trường liên tục
2. Viết điều kiện biên
Điều kiện biên tĩnh học trên cạnh OA
l cos 0,866
Cosin chỉ phương
m sin 0,5
J* q.sin 0,5y
1x
Lực mặt
*
J1y q.cos 0,866 y
Ta có tan
x
x y tan 0,577y
y
Phương trình điều kiện cho OA
xx .l xy . m J*x1
2bx 6dy.0,866 2cx 2by.0,5 0,5y
.l .m J*
xy
yy
y1
2cx 2by.0,866 6ax 2cy.0,5 0,866 y
1,999b 0,577c 5,196d 0,5
1,731a 1,732b 1,999c 0,866
Điều kiện biên tĩnh học trên cạnh OB
l cos 0,766
Cosin chỉ phương
m sin 0,643
J* 0
2x
Lực mặt
*
J 2y y
Ta có tan
x
x y tan 0,839y
y
Phương trình điều kiện cho OB
.l . m J*
2bx 6dy.0,766 2cx 2by.0,643 0
xy
x2
xx
.l .m J*
2cx 2by.0,766 6ax 2cy.0,643 y
xy
yy
y2
2,571b 1,286c 4,596d 0
1,079a 1,532b 2,571c
42
north saint
CƠ học môi trường liên tục
đề số 03
Câu 1(7,5 điểm): Trạng thái ứng suất của môi trường cho bởi tenxơ
2x x
0,5x12 x 22 0
1 2
2x1x 2
0 kN / cm 2
ij 0,5x12 x 22
2
0
0
3x 3
Biết môđun đàn hồi E = 2.104kN/cm2; hệ số Poát xông = 0,25.
Yêu cầu:
1. Biểu diễn ứng suất tại K(2; -1; -2)
4 2,5 0
Tương ứng với K(2; -1; -2) thay vào ta có ten-xơ ứng suất T 2,5 4 0 kN / cm 2
0
0
12
2. Xác định ten-xơ biến dạng tại điểm K
Dựa trên các phương trình về vật lý ta có
43
north saint
CƠ học môi trường liên tục
1
1
11 22 33
4 0,254 12 3.104
4
E
2.10
1
1
22 22 11 33
4 0,254 12 3.104
4
E
2.10
1
1
33 33 11 22
12 0,254 4 7.104
E
2.10 4
1 .2 2,51 0,25.2
12 12
3,125.104
4
2E
2.10
1 .2 0 1 0,25.2
13 13
0
2E
2.10 4
1 .2 0 1 0,25.2
23 23
0
2E
2.10 4
11
3 3,125 0
Từ đó ta có ten-xơ biến dạng tại K là T 3,125 3 0 .104
0
0
7
3. Xác định giá trị biến dạng chính thứ nhất và phương của nó tại điểm K
Thay vì tính trên ten-xơ biến dạng của bài toán ta đi tính biến dạng chính của ten-xơ sau
3 3,125 0
T ' 3,125 3 0
0
0
7
Ta có biến dạng chính là nghiệm của phương trình 3 - J 1 2 + J 2 - J 3 = 0
Xác định 3 bất biến
J1 11 22 33 3 3 7 1
J2
3 3,125 3 0 3 0
0,765625 21 21 42,765625
3,125 3
0 7
0 7
3 3,125 0
J 3 3,125 3 0 5,359375
0
0
7
1 7
3
2
Thay vào phương trình ta có - - 42,765625 + 5,359375 = 0 2 0,125
3 6,125
7.104
1
4
Vậy biến dạng chính của bài toán là
2 0,125.10
3 6,125.104
Phương chính của biến dạng chính thứ nhất 1 7.104
44
north saint
CƠ học môi trường liên tục
11 1 .l 12 .m 13 .n 0
.l .m .n 0 thay số vào ta có
22 1
21
23
2
2
2
l m n 1
10.l 3,125.m 0 0
l0
l0
3,125.l 10.m 0 0
m 0 m 0
2
2
2
2
l m n 1
n
1
n 1
l 0
l 0
Vây phương chính là: m 0 ;m 0
n 1
n 1
4. Tính biến dạng dài tại K theo phương v
6
2
3
e1
e2
e3
17
17
17
6
2 3
Cosin chỉ phương véc tơ v là l,m, n
;
;
17 17 17
v 11.l 2 22 .m 2 33 .n 2 2 12 .l.m 23 .m.n 31.n.l
6
2
9
12
10 . 3. 3. 7. 2 3,125.
0 0 3,5677.104
17
17
17
17
4
Câu 2(2,5 điểm): Cho đập có mặt cắt ngang như hình vẽ. Giả sử hàm của ứng suất
x, y ax3 bxy2 cx 2 y dy3
Bỏ qua trọng lượng riêng của đập;
= const; a, b, c, d là các hằng số
Yêu cầu:
1. Viết các biểu thức tính ứng suất xx , yy , xy
Ta có xx
2
2
2
2bx
6dy;
6ax
2cy;
2cx 2by
yy
xy
y 2
x 2
xy
45
north saint
CƠ học môi trường liên tục
2. Viết điều kiện biên
Điều kiện biên tĩnh học trên cạnh OA
l cos 0,866
Cosin chỉ phương
m sin 0,5
J* y
1x
Lực mặt
*
J1y 0
Ta có tan
x
x y tan 0,577y
y
Phương trình điều kiện cho OA
xx .l xy . m J*x1
2bx 6dy.0,866 2cx 2by.0,5 y
.l .m J*
xy
yy
y1
2cx 2by.0,866 6ax 2cy.0,5 0
1,999b 0,577c 5,196d
1,731a 1,732b 1,999c 0
Điều kiện biên tĩnh học trên cạnh OB
l cos 0,707
Cosin chỉ phương
m sin 0,707
q
J*2x .sin 0,354 y
2
Lực mặt
q
J*2y .cos 0,354 y
2
Ta có tan
x
x y tan y
y
Phương trình điều kiện cho OB
xx .l xy . m J*x2 2bx 6dy.0,707 2cx 2by.0,707 0,354 y
*
.l .m J
2cx 2by.0,707 6ax 2cy.0,707 0,354 y
yy
y2
xy
2,828b 1, 414c 4,242d 0,354
4,242a 1, 414b 2,828c 0,354
46
north saint
CƠ học môi trường liên tục
Đề số 04
Câu 1(7,5 điểm): Trạng thái biến dạng của môi trường cho bởi tenxơ
3x 3x12
ij 0,5x 32
0,5x 3
1
0,5x 32
3x1x 22
0,5x 33
0,5x13
0,5x 33 .104
3x 2 x 32
Biết môđun đàn hồi E = 2.104kN/cm2; hệ số Poát xông = 0,25.
Yêu cầu:
1. Xác định ten-xơ ứng suất tại K(-1; 2; -1)
3
4
0,5
Tương ứng với K(-1; 2; -1) thay vào ta có ten-xơ biến dạng T 4
12 0,5 .104
0,5 0,5
6
Ta có hằng số đàn hồi độc lập
E.
2.10 4.0,25
E
2.10 4
4
0,8.10 ;v G
0,8.10 4
(1 )(1- 2 ) (1 0,25)(1- 0,5)
2(1 ) 2.(1 0,25)
Độ biến đổi thể tích 11 22 33 3 12 6.104 9.104
11 . 2.v.11 0,8.9 2.0,8.3 12kN / cm 2
22 . 2.v. 22 0,8.9 2.0,8.12 26, 4kN / cm 2
33 . 2.v. 33 0,8.9 2.0,8.6 2, 4kN / cm 2
12 v.12 0,8.4 3,2kN / cm 2
23 v. 23 0,8.0,5 0,4kN / cm 2
31 v. 31 0,8.0,5 0, 4kN / cm 2
12
3,2
0,4
Vậy ta có ten-xơ biến dạng tại K là T 3,2 26, 4 0,4 kN / cm 2
0,4 0,4
2,
4
47
north saint
CƠ học môi trường liên tục
2. Biểu diễn ứng suất trên phân tố
3. Xác định giá trị ứng suất chính thứ nhất và phương của nó tại điểm K
Ta có ứng suất chính là nghiệm của phương trình 3 - I 12 + I 2 - I 3 = 0
Xác định 3 bất biến
I1 11 22 33 12 26, 4 2,4 36kN / cm 2
I2
12
3,2
3,2
26,4
12
3,2
12
0, 4
0,4
2, 4
26,4 0, 4
0,4
2, 4
306,56 28,96 63,52 214,08kN 2 / cm 4
0,4
I 3 3,2 26,4 0,4 742,912kN 3 / cm 6
0, 4 0, 4
2,4
1 2, 42kN / cm 2
Thay vào phương trình ta có 3 362 214,08 - 742,912 0 2 11,34kN / cm 2
2
3 27,08kN / cm
2,42kN / cm 2
1
2
Vậy ứng suất chính của bài toán là
2 11,34kN / cm
3 27,08kN / cm 2
Phương chính của ứng suất chính thứ nhất 1 2,42kN / cm 2
11 1 .l 12 .m 13 .n 0
.l .m .n 0
22 1
21
23
2
2
2
l m n 1
48
north saint
CƠ học môi trường liên tục
l 0,0316.n
l 0,0316.n
14,42.l 3,2.m 0, 4.n 0
3,2.l 28,82.m 0, 4.n 0
m 0,0174.n m 0,0174.n
2
2
l m 2 n 2 1
1,0013n
1
n 0,9994
l 0,0316
l 0,0316
Vây phương chính là: m 0,0174 ;m 0,0174
n 0,9994
n 0,9994
4. Tính ứng suất toàn phần tại K trên mặt phẳng có pháp tuyến
v
5
7
7
e1
e2
e3
19
19
19
5 7 7
Cosin chỉ phương véc tơ v là l, m,n
;
;
19 19
19
Thành phần ứng suất theo các phương
1
. 12. 5 3,2. 7 0,4. 7 7,86kN / cm 2
19
1
p 22 12 .l 22 .m 32 .n
. 3,2. 5 26,4. 7 0,4. 7 17,91kN / cm 2
19
1
p 33 13 .l 23 .m 33 .n
. 0,4. 5 0,4. 7 2,4. 7 1,42kN / cm 2
19
p11 11.l 21.m 31.n
2
2
2
ứng suất toàn phần tại K trên mặt phẳng p n p11
p 22
p 33
19,61kN / cm 2
Câu 2(2,5 điểm): Cho đập có mặt cắt ngang như hình vẽ. Giả sử hàm của ứng suất
x, y ax3 bxy2 cx 2 y dy3
Bỏ qua trọng lượng riêng của đập;
= const; a, b, c, d là các hằng số
Yêu cầu:
49
north saint
CƠ học môi trường liên tục
1. Viết các biểu thức tính ứng suất xx , yy , xy
Ta có xx
2
2
2
2bx
6dy;
6ax
2cy;
2cx 2by
yy
xy
y 2
x 2
xy
2. Viết điều kiện biên
Điều kiện biên tĩnh học trên cạnh OA
l cos 1
Cosin chỉ phương
m sin 0
J* y
1x
Lực mặt
*
J1y 0
Ta có x 0
Phương trình điều kiện cho OA
. l . m J*
2bx 6dy.1 0 y
xy
x1
xx
.l .m J*
2cx 2by.1 0 0
xy
yy
y1
6d
b 0
Điều kiện biên tĩnh học trên cạnh OB
l cos 0,819
Cosin chỉ phương
m sin 0,574
J* y.cos 0,819y
2x
Lực mặt
*
J 2y y.sin 0,574 y
Ta có tan
x
x y tan 0,700y
y
Phương trình điều kiện cho OB
.l .m J*
2bx 6dy.0,819 2cx 2by.0,574 0,819 y
xy
x2
xx
*
.l .m J
yy
y2
2cx 2by.0,819 6ax 2cy.0,574 0,574 y
xy
2,2946b 0,8036c 4,914d 0,819
0,8036a 1,638b 2,2946c 0,574
50
north saint
CƠ học môi trường liên tục
Lời giải được thực hiện bởi K.S Nguyễn Văn Bắc. Mọi ý kiến đóng góp xin vui lòng gửi về địa
chỉ Email: or Twitter: @northsaint93 or gọi trực tiếp qua số điện thoại
0bac84de564. Các bạn có thể tham khảo tài liệu trên utc-vn.academia.edu/NORTHSAINT.
Trong đó:
b - il trong ngôn ngữ đại diện cho xứ sở kim chi
a - Sei trong ngôn ngữ đại diện cho quốc gia hình chiếc ủng
c - là nghiệm x của phương trình sau: x3 + 3367 = 2n (x, n nguyên dương)
d - là kết quả của phép tính sau: 4 .
Pytago
5
e - Tên bộ phim kinh dị của đạo diễn Roman Polanski phát hành năm 1999 trong đó có sự tham
gia của diễn viên Johnny Deep.
Grazie! Buona fortuna. NS!
51
