Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 1 tính đơn điệu và cực trị lê hoành phò file word copy
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.1 MB, 38 trang )
TÀI LIỆU RẤT DÀI (KHOẢNG 600 TRANG), GỒM 20 CHUYÊN ĐỀ NÊN
CHÚNG TƠI XIN TRÍCH DẪN MỘT PHẦN NỘI DUNG CỦA SÁCH NÀY.
HÃY DÙNG BẢN WORD ĐỂ CÓ TRỌN VEN BỘ TÀI LIỆU NÀY
Trang 1 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
CHUYÊN ĐỀ 1 - TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Định lý Lagrange: Cho f là một hàm liên tục trên a; b , có đạo hàm trên a; b . Lúc đó tồn tại c a; b để:
f b f a
f ' c hay f b f a b a f ' c
ba
Định lý Rolle: Cho f là một hàm liên tục trên a; b , có đạo hàm trên a; b và f a f b . Lúc đó tồn tại
c a; b để f ' c 0 .
Định lý Cauchy: Cho f và g là hai hàm liên tục trên a; b , có đạo hàm trên a; b và g ' x 0 tại mỗi
x a; b .
Lúc đó tồn tại c a; b để
f b f a f 'c
.
g b g a g 'c
Tính đơn điệu
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng a; b khi đó:
- Nếu f đồng biến trên a; b thì f ' x 0 với mọi x a; b .
- Nếu f nghịch biến trên a; b thì f ' x 0 với mọi x a; b .
- Nếu f ' x 0 với mọi x a; b và f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của a; b thì hàm số đồng
biến trên khoảng a; b .
- Nếu f ' x 0 với mọi x a; b và f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của a; b thì hàm số nghịch
biến trên khoảng a; b .
- Nếu f đồng biến trên khoảng a; b và liên tục trên a; b thì đồng biến trên a; b ; và liên tục trên a; b thì
đồng biến trên a; b ; liên tục trên a; b thì đồng biến trên a; b .
Trang 2 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
- Nếu f nghịch biến trên a; b và liên tục trên a; b thì nghịch biến trên a; b ; liên tục trên a; b thì nghịch
biến trên a; b ; liên tục trên a; b thì nghịch biến trên a; b .
- Nếu f ' x 0 với mọi x D thì hàm số f khơng đổi trên D.
Cực trị của hàm số
Cho hàm số f xác định trên tập hợp D và x0 D .
x0 được gọi là một điểm cực đại của f nếu tồn tại một khoảng a; b chứa điểm x0 sao cho a; b D và
f x f x0 , x a; b \ x0 .
x0 được gọi là một điểm cực tiểu của f nếu tồn tại một khoảng a; b chứa điểm x0 sao cho a; b D và
f x f x0 , x a; b \ x0 .
Bổ đề Fermat: Giả sử hàm số có đạo hàm trên a; b . Nếu f đạt cực trị tại điểm x0 a; b thì f ' x0 0 .
- Cho y f x liên tục trên khoảng a; b chứa x0 có đạo hàm trên các khoảng a; x0 và x0 ; b :
Nếu f ' x đổi dấu từ âm sang dương thì f đạt cực tiểu tại x0
Nếu f ' x đổi dấu từ dương sang âm thì f đạt cực đại tại x0
- Cho y f x có đạo hàm cấp hai trên khoảng a; b chứa x0
Nếu f ' x0 0 và f '' x0 0 thì f đạt cực tiểu tại x0
Nếu f ' x0 0 và f '' x0 0 thì f đạt cực đại tại x0
Ứng dụng vào phương trình
- Nếu hàm số f đơn điệu trên K thì phương trình f x 0 có tối đa 1 nghiệm. Nếu f a 0 , a thuộc K thì
x a là nghiệm duy nhất của phương trình f x 0 .
- Nếu f có đạo hàm cấp 2 khơng đổi dấu trên K thì f ' là hàm đơn điệu nên phương trình f x 0 có tối đa 2
nghiệm trên K. Nếu f a 0 và f b 0 với a b thì phương trình f x 0 chỉ có 2 nghiệm là x a
và x b .
Trang 3 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
- Nếu f là một hàm liên tục trên a; b , có đạo hàm trên a; b thì phương trình f ' x
nhất một nghiệm c a; b .
f b f a
có ít
ba
Đặc biệt, nếu f a f b 0 thì phương trình f ' x 0 có ít nhất một nghiệm c a; b hay giữa hai
nghiệm của f thì có ít nhất một nghiệm của đạo hàm f ' .
Chú ý:
1) Tung độ cực trị y f x tại x x0 :
Hàm đa thức: y q x . y ' r x y0 r x0
u x0 u ' x0
u x
y0
v x
v x0 v ' x0
Hàm hữu tỉ: y f x
Đặc biệt: Với hàm y f x bậc 3 có CĐ, CT và nếu y q x . y ' r x thì phương trình đường thẳng
qua CĐ, CT là y r x .
2) Số nghiệm của phương trình bậc 3: ax3 bx 2 cx d 0, a 0 .
Nếu f ' x 0, x hay f ' x 0, x thì f x 0 chỉ có 1 nghiệm.
Nếu f ' x 0 có 2 nghiệm phân biệt và:
Với yC Ð . yCT 0 : phương trình f x 0 chỉ có 1 nghiệm
Với yC Ð . yCT 0 : phương trình f x 0 có 2 nghiệm (1 đơn, 1 kép)
Với yC Ð . yCT 0 : phương trình f x 0 có 3 nghiệm phân biệt
2. CÁC BÀI TỐN
Bài tốn 1.1: Chứng minh các hàm số sau là hàm không đổi
a) f x cos 2 x cos 2 x
cos x cos x
3
3
b) f x 2 sin 2 x sin 2 a x 2cos a.cos x.cos a x
Hướng dẫn giải
a)
f ' x 2cos x sin x 2cos x sin x sin x cos x cos x.sin x
3
3
3
3
2
sin 2 x sin 2 x
3
sin 2 x
3
Trang 4 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
sin 2 x 2cos 2 x .sin
2
6
sin 2 x cos 2 x 0 , với mọi x.
2
Do đó f hằng trên R nên f x f 0 1
1 1 3
.
4 2 4
b) Đạo hàm theo biến x (a là hằng số).
f ' x 2sin x cos x 2cos a x sin a x 2cos a sin x cos a x cos x sin a x
2sin 2 x sin 2 x 2a 2cos a.sin 2 x a 0 .
Do đó f hằng trên R nên f x f 0 2 sin 2 a 2cos2 a sin 2 a .
Bài toán 1.2: Cho 2 đa thức P x và Q x thỏa mãn: P ' x Q ' x với mọi x và P 0 Q 0 . Chứng
minh: P x Q x .
Hướng dẫn giải
Xét hàm số f x P x Q x , D
Ta
có
f ' x P ' x Q ' x 0
theo
giả
thiết,
do
đó
f x
là
hàm
hằng
f x f 0 P 0 Q 0 0 với mọi x.
f x 0 P x Q x .
Bài toán 1.3: Chứng minh rằng:
a) arcsin x arccos x
b) 2arctan x arcsin
2
, x 1
2x
, x 1
1 x2
Hướng dẫn giải
a) Nếu x 1, x 1 thì đúng.
Nếu 1 x 1 thì xét hàm số f x arcsin x arccos x
f ' x
1
1 x2
1
0 f x C f
2 2
1 x2
1
b) Với x 1 , xét f x 2arctan x arcsin
2x
1 x2
Trang 5 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
nên
2 2x2
1 x2
2
2
2
Ta có f ' x
0 (vì x 1 )
2
2
2
1 x
1
x
1
x
2 2
1 x
2
1 x
2
Suy ra f x C f 1
2
4
Bài toán 1.4: Tính gọn arctan x arctan
4
.
1
với x 0 .
x
Hướng dẫn giải
Xét f x arctan x arctan
1
. D ;0 0;
x
Với x 0; thì f liên tục và có đạo hàm
1
1
x 2 1 1 0 nên f hằng trên 0;
f ' x
1 x2 1 x2 1 x2 1 x2
x2
Do đó f x f 1
4
4
2
.
Với x ;0 thì f liên tục và có đạo hàm f ' x 0 nên f hằng trên ;0 .
Do đó f x f 1
4
4
2
khi x 0
1 2
Vậy arctan x arctan
x
khi x 0
2
Bài tốn 1.5: Tìm số c trong định lý Lagrange:
a) y f x 2 x 2 x 4 trên 1;2
b) y f x arcsin x trên 0;1
Hướng dẫn giải
a) Hàm số y f x 2 x 2 x 4 liên tục trên 1;2 và có đạo hàm f ' x 4 x 1 , theo định lý
Lagrange thì tồn tại số c 1;2 sao cho:
Trang 6 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
f 2 f 1
63
1
f 'c
4c 1 4c 2 c .
2 1
3
2
b) Hàm số y f x arcsin x liên tục trên 0;1 và có đạo hàm f ' x
1
1 x2
, theo định lý Lagrange
thì tồn tại số c 0;1 sao cho:
0
f 1 f 0
1
2
f 'c
1 0
1
1 c2
1 c2
2
c2 1
2
. Chọn c 1
4
2
.
Bài toán 1.6: Xét chiều biến thiên của hàm số:
b) y
a) y x 4 2 x 2 5
1
x 4
2
Hướng dẫn giải
a) D
. Ta có y ' 4 x3 4 x 4 x x 2 1
x
Cho y ' 0 4 x x 2 1 0 x 0 hoặc x 1 .
BBT
−1
−
y'
0
0
+
0
1
−
0
+
y
Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ; 1 và 0;1 , đồng biến trên mỗi khoảng 1;0 và
1; .
b) D
\ 4 . Ta có y '
2
x 4
3
y ' 0 trên khoảng 4; nên y nghịch biến trên khoảng 4;
y ' 0 trên khoảng ;4 nên y đồng biến trên khoảng ;4
Bài toán 1.7: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
Trang 7 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
a) y
x3
b) y
x2 6
x 1
1 x
Hướng dẫn giải
a) Tập xác định D ; 6
Ta có: y '
2 x2 x2 9
x
2
6 x 6
2
6;
, y ' 0 x 3 .
BBT:
x
y'
6
−3
+
−
0
3
6
−
0
+
y
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ; 3 , 3; , nghịch biến trên các khoảng 3; 6 ;
b) D ;1 . Ta có y '
3 x
2 1 x
3
6;3 .
0, x 1.
b) y x sin x trên 0;2
a) y x cos2 x
Hướng dẫn giải
a) D
. Ta có y ' 1 2cos x sin x 1 sin 2 x
y ' 0 sin 2 x 1 x
Hàm
số
liên
tục
4
trên
k , k
mỗi
đoạn
4 k , 4 k 1
k ; k 1 nên đồng biến trên mỗi đoạn
4
4
Vậy hàm số đồng biến trên
và
y' 0
trên
mỗi
4 k ; 4 k 1 , k .
.
b) y ' 1 cos x . Ta có x 0;2 y ' 0 và y ' 0 x 0 hoặc x 2 .
Vì hàm số liên tục trên đoạn 0;2 nên hàm số đồng biến trên đoạn 0;2 .
Bài toán 1.9: Chứng minh các hàm số
Trang 8 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
khoảng
a) y cos 2 x 2 x 5 nghịch biến trên
b) y
sin x a
a b k ; k
sin x b
đơn điệu trên mỗi khoảng xác định.
Hướng dẫn giải
a) x1 , x2 , x1 x2 . Lấy hai số a, b sao cho a x1 x2 b .
Ta có: f ' x 2 sin 2 x 1 0 với mọi x a; b .
Vì f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của khoảng a; b nên hàm số f nghịch biến trên khoảng a; b
đpcm.
b) Điều kiện x b k
y'
k .
sin x b cos x a sin x a cos x b sin b a
sin 2 x b
sin 2 x b
Vì y ' liên tục tại mọi điểm x b k , và a b k nên y ' giữ nguyên một dấu trong mỗi khoảng xác
định đpcm.
Bài tốn 1.10: Tìm các giá trị của tham số để hàm số:
a) y m 3 x 2m 1 cos x nghịch biến trên
.
b) y x3 3x 2 mx m chỉ nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3.
Hướng dẫn giải
a) y ' m 3 2m 3 sin x
Hàm số y không là hàm hằng nên y nghịch biến trên
:
y ' 0, x m 3 2m 1 sin x 0, x
Đặt t sin x, 1 t 1 thì m 3 2m 1 sin x m 3 2m 1 t f t
Điều kiện tương đương: f t 0, t 1;1
m 4 0
2
f 1 0
4 m .
3
3m 2 0
f 1 0
b) D
, y ' 3x2 6 x m, ' 9 3m
Xét ' 0 thì y ' 0, x : Hàm luôn đồng biến (loại)
Xét ' 0 m 0 thì y ' 0 có 2 nghiệm x1 , x2 nên x1 x2 2, x1 x2
m
3
Trang 9 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
BBT:
x
y'
+
x2
x1
−
0
0
+
y
Theo đề bài: x2 x1 3 x2 x1 9 x12 x22 2 x1 x2 9
2
4
15
2
x2 x1 4 x1 x2 9 4 m 9 m (thỏa)
3
4
Bài toán 1.11: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) y x 2
2
x 3
b) y x x 2
3
Hướng dẫn giải
a) y ' 2 x 2 x 3 3 x 2
3
2
x 3
2
5x x 2 x 3
2
Ta có y ' 0 x 2 hoặc x 0 hoặc x 3
BBT
x
y'
−2
+
0
0
−
0
0
y
3
+
0
0
+
−108
Vậy điểm cực đại 2;0 và cực tiểu 0; 108
b) Hàm số y f x liên tục trên
x x 2
f x
x x 2
. Ta có:
khi x 0
khi x 0
Với x 0, f ' x 2 x 2; f ' x 0 x 1
Với x 0, f ' x 2 x 2 0
Trang 10 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
BBT
x
−1
y'
+
−
0
y
0
+
1
0
Vậy điểm CĐ 1;1 , CT 0;0 .
Bài tốn 1.12: Tìm cực trị của hàm số
a) y
x 1
x2 8
x3
b) y
x2 6
Hướng dẫn giải
a) D
. Ta có y '
x 2 8 2 x x 1
x 2 8
2
x2 2 x 8
x
2
8
2
y ' 0 x 4 hoặc x 2 .
BBT
x
−4
−
y'
y
0
0
+
0
b) Tập xác định D ; 6
3x 2 x 2 6
y'
−
1/4
−1/8
Hàm số đạt CĐ tại x 2 , yC Ð
2
0
1
1
, đạt CT tại x 4; yCT .
8
4
6;
x4
2
2
4
2
2
x 2 6 3x x 6 x 2 x x 9
3
3
x2 6
x2 6
x2 6
y ' 0 x 0 hoặc x 3 .
Trang 11 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
BBT
x
y'
6
−3
+
−
0
−
0
+
9 3
y
3
6
9 3
Hàm số đạt CĐ tại x 3; yC Ð 9 3 , đạt CT tại x 3; yCT 9 3 .
Bài toán 1.13: Tìm cực trị của hàm số
a) y x sin 2 x 2
b) y 3 2cos x cos 2 x
Hướng dẫn giải
a) D
, y ' 1 2cos 2 x
y ' 0 cos 2 x
1
x k , k , y '' 4sin 2 x .
2
6
k 4sin 2 3 0 nên hàm số đạt cực đại tại điểm
6
3
Ta có y ''
x
6
k , k , yC Ð
6
k
3
2.
2
k 4sin 2 3 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm:
3
6
Ta có y ''
x
6
k , k , yCT
6
k
3
2
2
b) y ' 2sin x 2sin 2 x 2sin x 1 2cos x :
sin x 0
2
2k , k
y' 0
x k hoặc x
1
cos x
3
2
.
y '' 2cos x 4cos 2 x
Ta có y '' k 2cos k 4cos 2k 2cos k 4 0 , với mọi k
, nên hàm số đã cho đạt cực tiểu
tại các điểm x k , yCT 2 2cos k bằng 0 khi k chẵn và bằng 4 khi k lẻ.
Trang 12 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
2
4
2
2
2k 2cos
4cos
6cos
3 0 nên hàm số đạt cực đại tại điểm:
3
3
3
3
2
9
x
2k , k , yC Ð .
3
2
Ta có y ''
Bài toán 1.14: Chứng minh hàm số
2 x khi x 0
a) f x
khơng có đạo hàm tại x 0 nhưng đạt cực trị tại điểm đó.
x
sin
khi
x
0
2
b) y f x x a x b x c , a c ln có cực đại và cực tiểu.
Hướng dẫn giải
a) Hàm số f xác định và liên tục trên
. Ta có
2 x khi x 0
1
nên lim f ' x 2 lim f ' x , do đó f khơng có đạo hàm tại x 0
f ' x 1
x
x 0
x 0
2
2 cos 2 khi x 0
và BBT trên khoảng ; .
x
y'
0
−
+
y
0
Vậy hàm số đạt cực đại tại x 0 và yC Ð y 0 0 .
b) D
. y ' x b x c x a x c x a x b .
3x2 2 a b c ab bc ca .
' a b c 3 ab bc ca a 2 b2 c 2 ab bc ca
2
1
2
2
2
a b b c c a 0 với a c .
2
Do đó y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt và đổi dấu 2 lần khi qua 2 nghiệm nên ln ln có một cực đại và một
cực tiểu.
Bài tốn 1.15: Tìm tham số thực sao cho hàm số
a)
f x x p
q
đạt cực đại tại điểm 2; 2 .
x 1
Trang 13 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
b)
f x
a sin x cos x 1
đạt cực trị tại 3 điểm thuộc
a cos x
9
0;
4
Hướng dẫn giải
a) Ta có f ' x 1
q
, với mọi x 1.
x 1
Nếu q 0 thì f ' x 0 với mọi x 1: loại.
Nếu q 0 thì phương trình: f ' x
x2 2 x 1 q
x 1
2
0 có hai nghiệm phân biệt x1 1 q và
x2 1 q .
BBT:
1 q
x
y'
+
0
1 q
−1
−
−
0
+
y
Hàm số đạt cực đại tại điểm 2; 2 khi và chỉ khi
1 q 2
q 1 q 1
f
2
2
p
1
p 1
b) Điều kiện x
2
k . Ta có y '
a sin x
, y ' 0 sin x a .
a cos 2 x
sin 2 x 2a sin x 1
y ''
a cos3 x
Với sin x a thì y ''
1
0 , do đó hàm số đạt cực trị tại 3 điểm thuộc khoảng
sin x cos x
9
sin x a có 3 nghiệm thuộc khoảng 0;
4
9
0;
4
2
3
\ ; 0a
2
2 2
Bài tốn 1.16: Tìm m để hàm số:
mx 2 2 4m x 4m 1
a) y
có 2 cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu.
x 1
Trang 14 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
x 2 2mx 2
b) y
có hai điểm cực trị A và B. Chứng minh đường thẳng AB song song với đường thẳng
x 1
2 x y 10 0 .
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện: x 1 .
Ta có y '
mx 2 2mx 3
x 1
2
, đặt g x mx 2 2mx 3 .
Đồ thị có 2 cực trị m 0, ' 0, g 1 0 m 3 hoặc m 0
Ta có x1 x2 2, x1 x2
3
nên yC Ð . yCT 0
m
2mx1 2 4m 2mx2 2 4m 0
4m2 x1 x2 2m 2 4m x1 x2 2 4m 0
2
1
2
12m 2m 2 4m 2 4m 0 4 20m 0 m .
5
b) ĐK: x 1 . Ta có y '
x 2 2 x 2m 2
x 1
2
Điều kiện có 2 cực trị A, B là ' 0 và g 1 0 .
3 2m 0 và 3 2m 0 m
3
. Ta có
2
A 1 3 2m ;2 2m 2 3 2m và B 1 3 2m ;2 2m 2 3 2m .
Hệ số góc của đường thẳng AB là: k
y x2 y x1 4 3 2m
2.
x2 x1
2 3 2m
Và 2 x y 10 0 y 2 x 10 nên hệ số góc bằng nhau đpcm.
Bài tốn 1.17: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đai, cực tiểu của đồ thị.
a) y x3 3mx 2 3 m2 1 x m3 3m
x 2 2mx 5m 4 m2
b) y
x2
Hướng dẫn giải
a) y ' 3x 2 6mx 3 m2 1 , ' 1 0, x nên đồ thị ln ln có CĐ và CT với hoành độ x1 , x2 .
Trang 15 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
1
3
Ta có: y x x
m
y ' x 2 x m
3
1
3
Do đó: y1 y x1 x1
1
3
và y2 y x2 x2
m
y ' x1 2 x1 m 2 x1 m
3
m
y ' x2 2 x2 m 2 x2 m
3
nên đường thẳng qua CĐ, CT là y 2 x m
m m2
x2
b) ĐK: x 2 . Ta có y x 2 m 1
nên
x 2 m m2
y ' 1
2
2
x 2
x 2
2
m m2
Điều kiện có CĐ và CT là m m2 0 0 m 1.
Gọi x1 , x2 là hồnh độ CĐ, CT thì x1 2 x2 . Ta có
y x1 x1 2 m 1
m m2
x 2 m 1 x1 2 2 x1 2m
x1 2 1
m m2
y x2 x2 2 m 1
x 2 m 1 x2 2 2 x2 2m
x2 2 2
Vậy phương trình đường thẳng qua CĐ và CT là y 2 x 2m
Bài toán 1.18:
a) Cho đồ thị của hàm số: y 3a 2 1 x3 b3 1 x 2 3c 2 x 4d có hai điểm cực trị là 1; 7 ; 2; 8 .
Hãy tính tổng M a 2 b2 c 2 d 2 .
b) Tìm a để đồ thị hàm số
x 1
y
3
x
a 1
có 3 cực trị và chứng minh 3 cực trị này thuộc một parabol cố
định.
Hướng dẫn giải
a) Đặt A 3a 2 1, B b3 1 , C 3c 2 , D 4d , thì hàm số đã cho là:
y Ax3 Bx2 Cx D
Ta có: y ' 3 Ax 2 2Bx C
Trang 16 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
y ' 1 0
3 A 2 B C 0
A 2
B 9
y ' 2 0
12 A 4 B C 0
Ta có:
y 1 7
A B C D 7
C 12
y 2 8
8 A 4 B 2C D 8
D 12
Nên được a 1, b 2, c 2, d 3 .
Vậy M a 2 b 2 c 2 d 2 12 22 22 32 18 .
b) Ta có y '
2 x3 3x 2 a
, x 0.
x2
y ' 0 2 x 3 3 x 2 a 0 a 2 x 3 3x 2 , x 0
Bằng cách xét hàm số g x 2 x3 3x 2 , x 0 và lập bảng biến thiên thì điều kiện hàm số cho có 3 cực trị
khi g x 0 có 3 nghiệm phân biệt khác 0 là 1 a 0 .
Từ tọa độ các điểm cực trị suy ra các điểm cực trị này nằm trên P :
y 3x 2 6 x 3 cố định.
Bài tốn 1.19: Giải các phương trình:
a)
x2 2 x 4 x2 2x 4 2
3 1
b) 2 x3 x 2 3 2 x3 3x 1 3x 1 3 x 2 2
Hướng dẫn giải
a) Xét hàm số f x
f ' x
x 2 2 x 4 x 2 2 x 4 trên
x 1
x2 2 x 4
Xét hàm số g t
t
t2 3
x 1
x2 2x 4
trên
nên hàm số g t đồng biến trên
x 1 x 1
x 1
x 1 3
2
nên hàm số f x đồng biến trên
x 1
x 1
, g 't
t
2
3
.
x 1
x 1
3
2
3 t 2 3
2
3
0
, do đó:
x 1
x 1 3
2
f ' x 0
, do đó:
Trang 17 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
x2 2x 4 x2 2x 4 2
3 1 f x f 2 x 2 .
Vậy nghiệm duy nhất x 2 .
b) PT 2 x3 3x 3 2 x3 3x 1 x 2 1 3 x 2 2
Xét hàm số: f t t 3 t 1 trên
1
, f 't 1
3
3
t 1
2
0 nên hàm số f t đồng biến trên
đó:
PT: f 2 x3 3x f x 2 1 2 x3 3x x 2 1
1
2 x3 x 2 3x 1 0 x 2 x 2 2 x 2 0
2
x
1 5
1
hay x
.
2
2
Bài toán 1.20: Giải các phương trình:
a) 9 x 2 54 x 72
1
1
2x 5 x 1
b) 4 2 x 1 x 2 x 1 x3 6 x 2 15 x 14
Hướng dẫn giải
5
2
1
1
2
3 x 1
2x 5
x 1
a) ĐK: x 1; , PT : 3 2 x 5
2
Xét f t 3t 2
f ' t 6t
1
với t 0 . Ta có:
t
1
0 nên f đồng biến trên 0;
t2
Phương trình: f 2 x 5 f x 1 2 x 5 x 1
4 x2 20 x 25 x2 2 x 1 3x2 18x 24 0
x2 6 x 8 0 x 2 hoặc x 4 (chọn)
Vậy nghiệm x 2 hoặc x 4
b) PT: 2 x 1 . 2 x 1 3 x 2 3x 6
2
3
2x 1 3 2x 1 x 2 3 x 2
3
3
Trang 18 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
, do
Xét hàm số f t t 3 3t , D
Ta có f ' t 3t 2 2 0 nên f đồng biến trên
.
PT: f 2 x 1 f x 2 2 x 1 x 2
x 2
x 2 0
(VN ) . Vậy S .
2
2
2
3
x
3
2
x
1
x
2
Bài toán 1.21: Giải các hệ phương trình:
7
5
7
5
5 x 7 x 5 y 7 y
a)
3
3
8
x
1
27 162 y
x 2 y 2 5; y 1
(1)
b)
2
y 1 x y 1 x y y 2 2 y (2)
Trang 19 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
Hướng dẫn giải
thì f ' t 35t 6 35t 4 0, t nên f đồng biến trên
a) Xét f t 5t 7 7t 5 , t
.
Do đó 5x7 7 x5 5x7 7 x 2 f x f y x y
3
3
Nên 8 x3 1 27 162 y 8 x3 1 162 x 27
Đặt u 2 x , phương trình: u 3 1 27 3u 1 u 3 1 3 3 3u 1
3
Lại đặt v 3 3u 1 v3 1 3u
3
u 3 1 3v
u 1 3v
3 3
Ta có hệ: 3
v 1 3u
u v 3 v u
3
u 3 1 3v
u 1 3v
2
2
u
v
u
vu
v
3
0
u v 0
Do đó u 3 1 3u hay 8x3 6 x 1 0
Xét x 1;1 nên đặt x cos t
PT: 2 4cos3 t 3cos t 1 cos t
1
2 k 2
t
,k
2
9
3
Trang 19 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
Từ đó có 3 giá trị của x và cũng chính là 3 nghiệm của phương trình bậc 3:
x cos
2
8
14
.
, x cos , x cos
9
9
9
Vậy nghiệm hệ x y cos
b)
2 y 1 x y
2
2
8
14
.
;cos ;cos
9
8
9
2
1 x y y 1 1
Với y 1: 3 x 1: không thỏa (1)
Với x y 0 3 y 1 x 1 ; không thỏa (1)
Với x y 0, y 1: 3
x y
x y
2
x y
1
y 1
2
1
y 1
1
1
y 1
x y
y 1
1
t
Xét hàm số f t t , D 0;
f 't 1
1
0, t D hàm số đồng biến trên D
t2
PT f x y f y 1 x y y 1
y 1
x 1 hay x 1 2 y
1 2 24
x
x
1
5
Khi x 1:
. Khi x 1 2 y :
y 2
y 2 24
5
Bài toán 1.22: Giải các hệ phương trình
x2 2x 1 2 y
a) y 2 2 y 1 2 z
z2 2z 1 2x
36 x 2 y 60 x 2 25 y 0
b) 36 y 2 z 60 y 2 25 z 0
36 z 2 x 60 z 2 25 x 0
Hướng dẫn giải
a) Ta có 2 y x 2 2 x 1 x 1 0 y 0 . Tương tự z, x 0 .
2
Trang 20 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
Đặt f t t 2 2t 1, t 0 thì f ' t 2 t 1 nên f đồng biến trên 1; và nghịch biến trên 0;1 .
f x g y
Đặt g t 2t , t 0 thì g ' t 2 0 nên g đồng biến trên 0; . Ta có hệ f y g z
f z g x
Giả sử x min x; y; z . Xét x y z .
- Nếu x 1 thì 1 x y z f x f y f z
g y g z g x y z x nên x y z .
Ta có PT: t 2 4t 1 0 chọn nghiệm: x y z 2 3
- Nếu 0 x 1 thì f 0 f x f 1 0 f x 1
nên 0 g y 1 0 y 1 f 0 f y f 1
0 f y 1 0 g z 1 0 z 1
Do đó x y z f x f y f z g y g z g x
y z x nên x y z .
Ta có PT t 2 4t 1 0 chọn nghiệm: x y z 2 2 .
Xét x z y thì cùng nhận được kết quả trên.
Vậy hệ có 2 nghiệm x y z 2 3, x y z 2 3 .
60 x 2
y 36 x 2 25
60 y 2
b) Hệ phương trình tương đương z
36 y 2 25
60 z 2
x
36 z 2 25
Từ hệ suy ra x, y, z không âm. Nếu x 0 thì y z 0 suy ra 0;0;0 là nghiệm của hệ phương trình.
60t 2
,t 0 .
Nếu x 0 thì y 0, z 0 . Xét hàm số f t
36t 2 25
f ' t 0, t 0 nên f đồng biến trên 0; .
Trang 21 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
60 x 2
y
36 x 2 25
60 y 2
Hệ phương trình được viết lại z
36 y 2 25
60 z 2
x
36 z 2 25
Từ tính đồng biến của f x suy ra x y z . Thay vào hệ phương trình ta được x 36 x 2 60 x 25 0 .
5
6
Chọn x 0; .
5 5 5
6 6 6
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là 0;0;0 ; ; ; .
Bài tốn 1.23: Giải các bất phương trình
a)
2 x3 3x2 6 x 16 2 3 4 x
b)
x2 2 x 3 x2 6 x 11 3 x x 1
Hướng dẫn giải
2 x3 3x 2 6 x 16 0
a) ĐK
2 x 4
4 x 0
Xét: f x 2 x3 3x 2 6 x 16 4 x
f ' x
6 x 2 x 1
2 2 x3 3x 2 6 x 1
1
0
2 4 x
Suy ra f x là hàm số đồng biến
Do đó BPT: f x f 1 x 1. Vậy S 1;4
x 1 0
1 x 3
3 x 0
b) Điều kiện:
BPT:
x2 2 x 3 x 1 x 2 6 x 11 3 x
x 1
2
2 x 1
x 3
2
2 3 x
Xét hàm số y f t t 2 2 t , D 0;
Trang 22 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
Đạo hàm: f ' x
t
t 2
2
1
2 t
0 nên f đồng biến trên 1;3 .
Do đó BPT f x 1 f 3 x x 1 3 x x 2 .
Vậy nghiệm của bất phương trình S 2;3 .
Bài tốn 1.24: Giải các bất phương trình
a)
3 x x2 2 x x2 1
b) 4
x
4
2
5
2x2 2 3 4x 7
2
Hướng dẫn giải
a) Đặt t x 2 x , BPT:
3 t 2 t 1, 3 t 2 .
Xét hàm số f t 3 t 2 t , 3 t 2 .
Với 3 t 2 thì f ' t
1
1
0 nên f đồng biến trên 3;2 .
2 3t 2 2t
Ta có f 1 2 1 1 nên bất phương trình:
f t f 1 t 1 x 2 x 1 0
1 5
1 5
x
.
2
2
2
3
5
b) ĐK: 0 x . PT 4 x 2 2 x 2 3 4 x 7
4
2
Với x 0 thì BPT khơng thỏa mãn. Với x
3
thì BPT thỏa mãn.
4
2
3
5
Với 0 x . Xét hàm số g x 4 x 2 2 x 2 2 3 4 x thì
4
2
4
4
5
g ' x 8x 8x 2 x2
4 x 4 x 2 3
0
3 4x
3 4x
2
3
4
1
2
1
2
nên g x nghịch biến trên 0; , mà g 7 nên bất phương trình g x g x
1
. Vậy tập
2
1 3
nghiệm S ; .
2 4
Bài tốn 1.25: Chứng minh phương trình:
Trang 23 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
x13 x6 3x4 3x2 1 0 có nghiệm duy nhất.
Hướng dẫn giải
Đặt f x x13 x6 3x 4 3x 2 1, D
Xét x 1 thì f x x6 x7 1 3x 2 x 2 1 1 0 : vơ nghiệm
Xét 0 x 1 thì f x x13 1 x 2
3
0 : vơ nghiệm
Xét x 0 thì f ' x 13x12 6 x5 12 x3 6 x
13x12 6 x x 1 0 nên f đồng biến
2
Trang 24 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
Bảng biến thiên:
x
0
y'
+
y
1
Nên f x 0 có nghiệm duy nhất x 0
Vậy phương trình cho có nghiệm duy nhất.
Bài tốn 1.26: Chứng minh hệ phương trình có nghiệm duy nhất:
x2 y3 y 2 y a
2
3
2
y z z z a
z 2 x3 x 2 x a
Hướng dẫn giải
Xét hàm f t t 3 t 2 t a có f ' t 3t 2 2t 1 0 do đó f t là hàm đồng biến. Hệ PT:
x2 f y
2
y f z
2
z f x
Không giảm tổng quát giả sử x lớn nhất trong 3 số.
- Xét x y z f x f y f z
z 2 x 2 y 2 . Nếu z 0 thì x y z 0
x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 f x f y f z x y z
Nếu x 0 0 x y z x 2 y 2 z 2 x y z
Nếu x 0 z . Khi đó y 2 f z f 0 a a 0
Lại có z 2 f x f 0 a z a
y2 f z f a a
2
a 1 0 : vơ lí.
- Xét x z y z 2 y 2 x 2
Tương tự như trên nếu y 0 hay x 0 ta suy ra x y z
Trang 25 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
