Lớp 12 HÌNH học KHÔNG GIAN (GV huỳnh đức khánh) 55 cau hình học không gian từ đề thi năm 2018

Cõu 1 (Gv Hunh c Khỏnh)Cho hỡnh lng tr tam giỏc u cú cnh ỏy bng 2a v cú
cỏc mt bờn u l hỡnh vuụng. Th tớch khi lng tr ó cho bng
A. 3a 3 2.

B. 2a 3 3.

C.

2a 3 2
.
3

D.

2
ỡù
(2 a ) 3
ùù
S
=
= a 2 3 ắắ
đV = Sday .h = 2a 3 3. Chn B.
Li gii. T gi thit, ta cú ùớ day
4
ùù
ùùợh = 2a

2a 3 2
.
4

Cõu 2 (Gv Hunh c Khỏnh)Trong khụng gian,
cho hỡnh ch nht ABCD cú AB = 1 v AD = 2 . Gi
M , N ln lt l trung im ca AD v BC . Quay
hỡnh ch nht ú xung quanh trc MN , ta c mt
hỡnh tr
(tham kho hỡnh v bờn). Tớnh din tớch
ton phn S tp ca hỡnh tr ú.
A. Stp =

4p
.
3

B. Stp = 3p.

C. S tp = 4 p.

D. Stp = 6p.

Li gii. Din tớch xung quanh hỡnh tr: S xq = 2p MA.AB = 2p.
Din tớch hai ỏy ca ca hỡnh tr: Sd = 2 p.AM 2 = 2p.
Vy din tớch ton phn S tp ca hỡnh tr: S tp = S xq + Sd = 4 p. Chn C.
Cõu 3 (Gv Hunh c Khỏnh). Cho hỡnh lng tr ABC .A ' B ' C ' cú cỏc mt bờn u l hỡnh
vuụng cnh a. Gi D, E , F ln lt l trung im ca cỏc cnh BC , A ' C ', C ' B '. Khong cỏch
gia hai ng thng DE v AB ' bng
A.

a 2
.
3

B.

a 2
.
4

C.

a 3
.
4

Li gii. T gi thit suy ra lng tr ó cho l lng tr ng v hai mt ỏy
l nhng tam giỏc u cnh a.
K CH ^ AB ( H ẻ AB ) v DK ^ AB ( K ẻ AB ).
Ta chng minh c DK l on vuụng gúc chung ca DE v AB Â nờn
1
a 3
d ộở DE ; AB Âựỷ = DK = CH =
. Chn C.
2
4

D.

a 5
.
4

Câu 4. (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có cạnh đáy bằng 1,
cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60 0. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC ) bằng
A.

1
.
2

2
.
2

B.

C.

7
.
2



 và SO = OB.tan SBO
=
, ( ABCD ) = SB
, OB = SBO
Lời giải. Xác định 60 0 =SB

Gọi M là trung điểm BC , kẻ OK ^ SM . Khi đó d éëO,(SBC )ùû = OK .

SO.OM

Tam giác vuông SOM , có OK =

SO + OM
2

2

=

42
.
14

D.

42
.
14

6
.
2

Chọn D.

Câu 5 (Gv Huỳnh Đức Khánh). Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
cạnh bên SA = a và vuông góc với đáy. Côsin góc giữa đường thẳng SC và mặt (SBD ) bằng
1

3

A. .

B.

2
.
3

C.

5
.
3

D.


.
® SC
, (SBD ) = CSO
Lời giải. Chứng minh được BD ^ (SAC ) Þ (SBD ) ^ (CSO ) ¾¾

2 2
.
3

S

A

D

O
B

C

a 2
a 6
, SO =
, SC = a 3
2
2
2
2
2

 = SO + SC - OC = 2 2 . Chọn D.
¾¾
® cos SC
, (SBD ) = cos CSO
2.SO.SC
3

Ta tính được OC =

Câu 6. (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình bình hành
và có thể tích bằng 48. Gọi M , N lần lượt là điểm thuộc các cạnh AB, CD sao cho

MA = MB, NC = 2 ND . Tính thể tích V của khối chóp S .MBCN .
A. V = 8.
B. V = 20.
C. V = 28.
D. V = 40.
Lời giải. Gọi d là khoảng cách từ đỉnh A đến cạnh CD.
Diện tích hình bình hành S ABCD = AB.d .
S
Ta có S MBCN = S ABCD - SDAMN - SDADN

Vậy VS . MBCN .

1
1
1
1
= AB.d - AM .d - DN .d = AB.d - AB.d - AB.d
2
2
4
6
7
7
=
AB.d = S ABCD .
12
12
7
7
= VS . ABCD = .48 = 28. Chọn C.

12
12

A

D

N

M
C

Câu 7. (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật
với AB = a, BC = a 3. Cạnh bên SA = a và vuông góc với đáy ( ABCD ). Cosin của góc tạo bởi
giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SBC ) bằng

B


14
.
4
Li gii. cho gn ta chn a = 1.

A.

3
.
2

B.

C.

3
.
5

D.

22
.
5

Chn h trc ta Oxyz nh hỡnh v vi A O (0;0;0) v B (1;0;0), D (0; 3;0), S (0;0;1).
Suy ra C (1; 3;0).


ỡùSB = (1;0; -1)


ùù
ắắ
đ VTPT ca mt phng (SBC ) l ộờSB, BC ựỳ = 3;0; 3 = n.
Ta cú ớ
ở
ỷ
ùùBC = 0; 3;0
ùợ

ng thng BD cú VTCP l BD = -1; 3;0 .

n.BD
- 3
2
14


Khi ú sin BD,(SBC ) = =
=
ắắ
đ cos BD
, (SBC ) =
. Chn B.
4
4
6.2
n . BD

(

(

)

(

)

)

Cõu 8. (Gv Hunh c Khỏnh)Cho mt cu (S ) cú bỏn
kớnh R khụng i, hỡnh nún ( H ) bt kỡ ni tip mt cu (S )
(tham kho hỡnh v bờn). Th tớch khi nún ( H ) l V1 ; th
tớch phn cũn li l V2 . Giỏ tr ln nht ca
A.
C.

V1
V2

bng

76
.
32
32
.
76

B.
D.

81
.
32
32
.
81

4
3

Li gii. Th tớch mt cu l V = p R 3 .
Ta cú V2 = V -V1 ắắ
đ
Suy ra

V1
V2

V1
V1
1
=
=
.
V
V2 V -V1
-1
V1

ln nht khi

V
V1

nh nht ắắ
đV1 t giỏ tr ln nht.

Gi h, r ln lt l chiu cao v bỏn kớnh ỏy ca hỡnh nún ni tip mt cu.
Gi I , O ln lt l tõm ca ng trũn ỏy hỡnh nún v tõm ca mt cu.
Gi A l nh ca hỡnh nún. Xột thit din qua trc ca hỡnh nún nh hỡnh v bờn.
1
3

1
3

Ta cú r 2 = h.(2 R - h ) , khi ú V1 = h.pr 2 = ph 2 (2 R - h ).
ổ 4 R ữử 32 R 3
.
ữữ =
ứ
27

Xột hm f (h ) = h 2 (2 R - h ) trờn (0;2R ) ta c max
f (h ) = f ỗỗ
ỗố 3
(0;2 R )
1
3

1
3

Suy ra maxV1 = p.max f (h ) = p.

32 R 3 32p R 3
=

.
27
81


4
3

Khi ú V2 = V -V1 = p R 3 -

V
32
76
32
p R 3 = p R 3 ắắ
đ 1 = .
81
81
V2 76

Chn C.

Cỏch 2. t 0 Ê OI = x < R.
TH1. Chiu cao ca khi nún h = R + x v bỏn kớnh ỏy r 2 = R 2 - x 2 .
Theo BT Cụ si cho 3 s dng, ta cú
1
p
p ổ4R ử
32
2

V1 = ( R + x ).p.( R 2 - x 2 ) = (2 R - 2 x )( R + x ) Ê ỗỗ ữữữ =
p R3.
ỗ
ố
ứ
3
6
6 3
81
R
'' = '' xy ra 2 R - 2 x = R + x x = .
3
V
32
4
32
76
32
maxV1 =
p R 3 ắắ
đV2 = V -V1 = p R 3 - p R 3 = p R 3 ắắ
đ 1 = .
81
3
81
81
V2 76
3

Du

Vy

TH2. Chiu cao ca khi nún h = R - x . Lm tng t.
Cõu 9 (Gv Hunh c Khỏnh) Cho hỡnh chúp S .ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn
ti C . Gi H l trung im AB . Bit rng SH vuụng gúc vi mt phng ( ABC ) v
AB = SH = a. Tớnh cosin ca gúc a ta bi hai mt phng (SAB ) v (SAC ) .
1
3

B. cos a =

A. cos a = .

2
.
3

C. cos a =

3
.
3

2
3

D. cos a = .

Li gii. Ta cú SH ^ ( ABC ) ị SH ^ CH .
S

(1)
Tam giỏc ABC cõn ti C nờn CH ^ AB .
(2 )
T (1) v (2) , suy ra CH ^ (SAB ) .
BC ^ AC
Gi I l trung im AC ị HI BC ắắắ
ắ
đ HI ^ AC .
(3)
Mt khỏc AC ^ SH (do SH ^ ( ABC ) ).
(4 )
T (3) v (4 ) , suy ra AC ^ (SHI ) .
K
H
B
K HK ^ SI ( K ẻ SI ) .
(5)
T AC ^ (SHI ) ị AC ^ HK .
(6 )
I
T (5) v (6) , suy ra HK ^ (SAC ) .
C
ỡùHK ^ (SAC )
Vỡ ùớ
nờn gúc gia hai mt phng (SAC ) v (SAB ) bng gúc gia hai ng thng
ùùHC ^ (SAB )
ợ
HK v HC .
1
2

a
2

Xột tam giỏc CHK vuụng ti K , cú CH = AB = ;
=
Do ú cos CHK

HK
2
= .
CH
3

1
1
1
a
=
+
ị HK = .
2
2
2
3
HK
SH
HI

Chn D.

Cõu 10 (Gv Hunh c Khỏnh) Trong tt c cỏc hỡnh chúp t giỏc u cú d = 3 l
khong cỏch gia hai ng thng chộo nhau gm mt ng thng cha mt ng chộo
ca ỏy v ng thng cũn li cha mt cnh bờn hỡnh chúp. Th tớch nh nht Vmin ca khi
chúp l
A. Vmin = 3 .
B. Vmin = 9 .
C. Vmin = 9 3 .
D. Vmin = 27 .
Li gii. Xột hỡnh chúp t giỏc u S .ABCD , t AB = x , SO = h . Vi O l tõm ca hỡnh
vuụng ABCD ị SO ^ ( ABCD ) . Qua O k ng thng OH vuụng gúc vi SA vi H ẻ SA .
ỡBD ^ AC
ù
Ta cú ùớ
ị BD ^ (SAC ) ị BD ^ OH .

Suy

ù
ù
ợBD ^ SO
ra OH l on

vuụng gúc chung ca SA v BD .

A


Theo bi ra, ta cú d = d (SA, BD ) = OH ắắ
đ OH = 3 .

Tam giỏc SAO vuụng ti O , cú ng cao OH suy ra
1
1
1
1
1
2
=
=
+
= 2+ 2
2
2
2
3 OH
SO
OA
h
x

Li cú

1
1
2
1
1
1
= +
= + +

3 h2 x 2 h2 x 2 x 2
1
3

.

1 1
2
3

3 h 2 . x 4 hx 27 .
AM -GM

1
3

Vy VS . ABCD = .SO.S ABCD = .hx 2 9 ắắ
đVmin = 9. Chn B.
Cõu 11

(Gv Hunh c Khỏnh) Cho hỡnh lp phng
ABCD. A ÂB ÂC ÂD Â cú cnh a. Mt khi nún cú nh l tõm ca hỡnh
vuụng ABCD v ỏy l hỡnh trũn ni tip hỡnh vuụng A ÂB ÂC ÂD Â (tham
kho hỡnh v). Kt qu tớnh din tớch ton phn S tp ca khi nún ú cú
pa 2
b +c
4
A. bc = 5.
C. bc = 8.

dng

(

) vi b

v c l hai s nguyờn dng v b > 1 . Tớnh bc .
B. bc = 7.
D. bc = 15.

a
2
a2 5
a 2 pa 2
S tp = pr + pr 2 = p
+p =
4
4
4

Li gii. Ta cú bỏn kớnh hỡnh nún r = , ng cao h = a , ng sinh = r 2 + h 2 =
Din tớch ton phn

(

a 5
.
2

ỡùb = 5

5 + 1 ắắ
đ ùớ
ắắ
đ bc = 5. Chn A.
ùùợc = 1

)

Cõu 12 (Gv Hunh c Khỏnh) Cho hỡnh chúp S .ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh
a . Cnh bờn SA = a 3 v vuụng gúc vi mt ỏy ( ABC ) . Tớnh khong cỏch d t A n mt
phng (SBC ) .
A. d =

a 15
.
5

C. d =

B. d = a.

a 5
.
5

Li gii. Gi M l trung im BC , suy ra AM ^ BC v AM =
Gi K l hỡnh chiu ca A trờn SM , suy ra AK ^ SM .
ỡ
ù AM ^ BC
Ta cú ùớ

ị BC ^ (SAM ) ị BC ^ AK .

T

ù
ù
ợBC ^ SA
(1) v (2) , suy

(1)

a 3
.
2

SA. AM
SA + AM
2

2

=

3a
15

=

a 3
.

2

S

(2 )

K

ra AK ^ (SBC ) nờn d ộở A,(SBC )ựỷ = AK .

Trong DSAM , cú AK =

D. d =

C

A

a 15
.
5

M

a 15

B

Vy d ộở A,(SBC )ựỷ = AK =
. Chn A.

5
Cõu 13 (Gv Hunh c Khỏnh) Cho t din ABCD cú BD = 3 , hai tam giỏc ABD , BCD
cú din tớch ln lt l 6 v 10 . Bit th tớch ca t din ABCD bng 11 , s o gúc gia hai
mt phng ( ABD ) v ( BCD ) l
ổ 33 ử

ổ 11 ử

ổ 33 ử

ổ 11 ử

A. arcsin ỗỗỗ ữữữ .
B. arcsin ỗỗỗ ữữữ .
C. arccos ỗỗỗ ữữữ .
D. arccos ỗỗỗ ữữữ .
ố 40 ứ
ố 40 ứ
ố 40 ứ
ố 40 ứ
Li gii. Gi O l chõn ng vuụng gúc k t A n mt phng ( BCD ) , k OH ^ BD
( H ẻ BD ) .


ỹ
AO ^ BD ù
ù
ý ị BD ^ ( AOH ) ị BD ^ AH
OH ^ BD ù
ù

ỵ

ra (( ABD ),( BCD )) = AHO .

Ta cú
Suy

Ta cú AH =

.

3V
2SDABD
33
= 4 , AO = ABCD = .
BD
SDBCD
10

=
Khi ú ta tớnh c sin AHO

AO
33
=
AH
40

= arcsin ổỗ 33 ữữử . Chn A.
ắắ

đ AHO
ỗỗ ữ
ố 40 ứ

Cõu 14. (Gv Hunh c Khỏnh) Gi , h, R ln lt l di ng sinh, chiu cao v
bỏn kớnh ỏy ca hỡnh tr. ng thc no sau õu ỳng?
A. R 2 = h 2 + 2 .
B. h = .
C. 2 = h 2 + R 2 .
D. R = h.
Li gii. Chn B.
Cõu 15 (Gv Hunh c Khỏnh) Ngi ta ghộp 5 khi lp phng cnh a c khi
hp ch thp (tham kho hỡnh bờn di). Tớnh din tớch ton phn S tp ca khi ch thp ú.

A. Stp = 20a 2 .
B. S tp = 12a 2 .
C. Stp = 30a 2 .
D. Stp = 22a 2 .
Li gii. Din tớch mi mt ca mt hỡnh lp phng l a 2 .
Din tớch ton phn ca 5 khi lp phng l 5.6a 2 = 30a 2 .
Khi ghộp thnh khi hp ch thp, ó cú 4.2 = 8 mt ghộp vo phớa trong, do ú din tớch
ton phn cn tỡm l 30a 2 - 8a 2 = 22a 2 . Chn D.

Cõu 16 (Gv Hunh c Khỏnh). Cho
hỡnh hp ch nht ABCD.A ÂB ÂC ÂD Â cú
AB = 4 , AD = 5 , AA Â = 6 . Gi M , N , P
ln lt l trung im cỏc cnh A ÂD Â , C ÂD Â
v DD Â
(tham kho hỡnh v bờn). Cụsin
gúc gia hai mt phng ( AB ÂD Â) v ( MNP )

bng
A.
C.

181
.
469

B.

19
.
469

D.

120 13
.
469
60 61
.
469

D

A

C

B

P

D'

M

A'

N

B'
C'

Li gii. i vi nhng bi cng knh v tớnh toỏn rt phc tp
th ny thỡ nờn ta húa gii rt nhanh, khi phi mt nhiu
thi gian v t duy. Gn trc ta Oxyz nh hỡnh v bờn vi

z
D

A

C

B

A'

M

P

D'

y


 A ' (0;0;0), D (0;5;6), C ' (4;5;0)

¾¾
® n( DA ' C ') = (-30;24; -20).

 A (0;0;6), B ' (4;0;0), D ' (0;5;0)

¾¾
® n( AB ' D ') = (30;24;20).

Vì ( MNP )  ( DA ' C ') ® cos (( MNP ),( AB ¢D ¢)) = cos (( DA ' C '),( AB ¢D ¢))
=

-30.30 + 24.24 - 20.20
30 + 24 + 20
2

2

2

=

181
. Chọn A.
469

Câu 17 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho hình
lập phương ABCD.A ¢B ¢C ¢D ¢ có cạnh bằng a .
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, S là điểm
đối xứng với O qua CD ¢ (tham khảo hình
vẽ bên). Thể tích của khối đa diện
ABCDSA ¢B ¢C ¢D ¢ bằng
2a 3
.
3
7a 3
.
C.
6

A.

B.
D.

3a 3
.
2
4a 3
.
3

Lời giải. Ta có VABCDSA ¢B ¢C ¢D ¢ = VABCD. A ¢B ¢C ¢D ¢ +VS .CDD ' C ' .
a
2

Vì S là điểm đối xứng với O qua CD ¢ nên d(S ,(CDD ¢C ¢)) = d(O ,(CDD ¢C ¢)) = .
1
3

Do đó VS .CDD ¢C ¢ = d(S ,(CDD ¢C ¢)) .SCDD ¢C ¢ =
Vậy VABCDSA ¢B ¢C ¢D ¢ =
Câu 18.

a3
.
6

a3
7a 3
+ a3 =
. Chọn B.
6
6

(Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho hình thang ABCD

vuông tại A và B với AB = BC =

AD
=a.

2

Quay hình thang và

miền trong của nó quanh đường thẳng chứa cạnh BC . Tính thể
tích V của khối nón tròn xoay được tạo thành.
4 pa 3
.
3
5pa 3
7pa 3
.
.
C. V =
D. V =
3
3
Lời giải. Thể tích của trụ có đường cao AD , bán kính đáy BA
V1 = p BA 2 . AD = 2pa 3 .

A. V = pa 3 .

B. V =

Thể tích khối nón có đường cao IC , bán kính đáy ID là:
1
pa 3
V2 = p ID 2 .IC =
.
3

3
5pa 3
. Chọn C.
Vậy V = V1 -V2 =
3

là:


Câu 19 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại
B , AB = 3a , BC = 4 a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi giữa SC và đáy bằng
60 0 . Gọi M là trung điểm của AC , tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SM .
A. d = a 3.

C. d =

B. d = 5a 3.

5a
.
2

D. d =

S

10a 3
79





, ( ABC ) = SC
, AC = SCA
Lời giải. Xác định được 60 0 = SC

 = 5a 3.
và SA = AC .tan SCA
Gọi N là trung điểm BC , suy ra MN  AB .
Lấy điểm E đối xứng với N qua M , suy ra ABNE là hình chữ nhật.
Do đó d [ AB, SM ] = d éë AB,(SME )ùû = d éë A,(SME )ùû .

SA. AE

.

K
E
A

M

C
N

10a 3

B

=

. Chọn D.
Kẻ AK ^ SE . Khi đó d éë A,(SME )ùû = AK =
79
SA 2 + AE 2
Câu 20 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật
với AB = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC ) và
(SAD ) bằng
A. 30 0.
B. 450.
C. 60 0.
D. 90 0.

Lời giải. Nhắc lại cách xác định góc giữa hai mặt phẳng: '' Góc giữa hai mặt phẳng là góc
giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao Stuyến ''.
 Giao tuyến của (SBC ) và (SAD ) là Sx  AD  BC .

x

ì
ïSA ^ AD
 ïí
¾¾
® SA ^ Sx .



ï
ï
î AD  Sx
ì

AD ^ AB
ï
ADSx
ï
¾¾
® AD ^ (SAB ) ¾¾
® AD ^ SB ¾¾¾
® Sx ^ SB.
í
ï
AD
^
SA
ï
î

D

A

C

 = 450 (do tam giác SAB vuông cân). Chọn BB.
SBC ), (SAD ) = SB
, SA = BSA
Vậy (
Câu 21 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh
a , SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) ; góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABC ) bằng
60 0 . Gọi M là trung điểm của cạnh AB . Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SMC ) .

A. d =

a 39
.
13

a
C. d = a.
D. d = a 3.
2


 và SA = AB.tan SBA
 = a. 3 = a 3 .
60 0 = SB
, ( ABC ) = SB
, AB = SBA

B. d = .

Lời giải. Xác định được
Do M là trung điểm của cạnh AB nên d éë B,(SMC )ùû = d éë A,(SMC )ùû .
Kẻ AK ^ SM . Khi đó d éë A,(SMC )ùû = AK .
Tam giác vuông SAM , có AK =

SA. AM
SA 2 + AM 2

=

a 39
13

.

S

K
M

A

a 39

Vậy d éë B,(SMC )ùû = AK =
. Chọn A.
13

C

B


Cõu 22 (Gv Hunh c Khỏnh) Cho hỡnh lp phng cú
cnh bng 40 cm v mt hỡnh tr cú hai ỏy l hai hai hỡnh
trũn ni tip hai mt i in ca hỡnh lp phng (tham
kho hỡnh v bờn). Gi S1 , S2 ln lt l din tớch toỏn phn
ca hỡnh lp phng v din tớch ton phn ca hỡnh tr.
Tớnh S = S1 + S2 (cm 2 ) .

A. S = 4 (2400 + p ) .
B. S = 4 (2400 + 3p ) .
C. S = 2400 (4 + p ) .
D. S = 2400 (4 + 3p ) .
Li gii. Din tớch ton phn ca hỡnh lp phng l S1 = 6.40 2 = 9600 (cm 2 ).
Hỡnh tr cú bỏn kớnh ỏy l 20 cm v ng cao l 40 cm nờn din tớch ton phn ca hỡnh tr
l S2 = 2.p.20 2 + 2p.20.40 = 2400p (cm 2 ).
Vy S = S1 + S2 = 2400 (4 + p ) (cm 2 ). Chn C.
Cõu 23 (Gv Hunh c Khỏnh)Cho hỡnh lng tr ABC .A ÂB ÂC Â cú ỏy ABC l tam giỏc
vuụng ti A, AB = a, AC = a 3. Hỡnh chiu vuụng gúc ca A Â lờn mt phng ( ABC ) l trung
im H ca BC , A ÂH = a 5. Gi j l gúc gia hai ng thng A ÂB v B ÂC . Tớnh cos j.
A. cos j =
cos j =

7 3
.
48

3
.
2

B. cos j =

1
2

C. cos j = .

D.

7 3
.
24

Li gii.

ùỡNH //B ÂC
ắắ
đ (
A ÂB, B ÂC ) = (
HN , HK ) = j.
ùùợNK //A ÂB

Gi N , K l trung im ca BB Â, A ÂB Â ị ùớ

a 6
a 21
, NH = a 2, HK =
.
2
2
NK 2 + NH 2 - HK 2
7 3
=
. Chn D.
p dng nh lớ hm cosin ta suy ra cos j =
2.NH . NK
24
đ NK =

Ta tớnh c A ÂB = a 6, B ÂC = 2a 2 ắắ

ổ1

ử

Cỏch 2. Chn h trc ta Oxyz vi A O (0;0;0), B (1;00,) C (0; 3;0), A ' ỗỗỗ ; ; 5 ữữữữ.
ỗố 2 2
ứ




ổ3

3
ữử
; 5 ữữ.
ữứ
ỗố 2 2

đ B ' ỗỗỗ ;
T AB = A ' B ' ắắ

3




ổ1

Suy ra A ' B = ỗỗỗ ;ỗố 2

ửữ
3
; - 5 ữữ
ữứ
2



ổ 3 3
ữử
; - 5 ữữ.
ữứ
ỗố 2 2

v B ' C = ỗỗỗ- ;

Tớnh c cos j =

7 3
.
24

Cõu 24 (Gv Hunh c Khỏnh). Cho hỡnh chúp S .ABC cú tam giỏc SBC l tam giỏc
vuụng cõn ti S , SB = 2a v khong cỏch t A n mt phng (SBC ) bng 3a. Tớnh th tớch
V ca khi chúp S . ABC .
A. V = 2a 3 .
B. V = 4 a 3 .

C. V = 6a 3
D. V = 12a 3 .
Li gii. Ta chn (SBC ) lm mt ỏy ắắ
đ chiu cao khi chúp l d ộở A, (SBC )ựỷ = 3a.
1
2

Tam giỏc SBC vuụng cõn ti S nờn SDSBC = SB 2 = 2a 2 .
1
3

Vy th tớch khi chúp V = SDSBC .d ộở A,(SBC )ựỷ = 2a 3 . Chn A.
Cõu 25 (Gv Hunh c Khỏnh)Cho hỡnh chúp S .ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht vi
AB = a, AD = 2a. Cnh bờn SA vuụng gúc vi mt phng ỏy v cnh bờn SC to vi ỏy mt
gúc 60. Gi M , N l trung im cỏc cnh bờn SA v SB. Khong cỏch t im S n mt
phng ( DMN ) bng
A.

2a 465
.
31

B.

a 31

.

60

.
60 = SC , ( ABCD ) = SCA

C.

a 60
.
31

D.

Li gii. Xỏc nh c
Vỡ M l trung im SA nờn
d ộởS , ( DMN )ựỷ = d ộở A, ( DMN )ựỷ = d ộở A, (CDM )ựỷ .
K AK ^ DM v chng minh c AK ^ (CDM ) nờn
2a 465
.
31

31

.

S

M

N

d ộở A, (CDM )ựỷ = AK .

Trong tam giỏc vuụng MAD tớnh c AK =

2a 5

K
D

A

Chn A.

C

B

Cõu 26 (Gv Hunh c Khỏnh)Cho hỡnh chúp S .ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh
a . Cnh bờn SA = a 3 v vuụng gúc vi mt ỏy ( ABC ) . Gi j l gúc gia hai mt phng
(SBC ) v ( ABC ) . Mnh no sau õy ỳng?
A. j = 30 0.

B. sin j =

5
.
5

D. sin j =

C. j = 60 0.

Li gii. Gi M l trung im ca BC , suy ra AM ^ BC .
Ta cú

ỡ
AM ^ BC
ù
ù
ị BC ^ (SAM ) ị BC ^ SM
ớ
ù
ù
ợBC ^ SA

2 5
.
5

S

.

.
SBC ), ( ABC ) = (
SM , AM ) = SMA
Do ú (

Tam giỏc ABC u cnh a , suy ra trung tuyn AM =
=
Tam giỏc vuụng SAM , cú sin SMA

D.

a 3
.
2

SA
SA
2 5
=
=
.
2
2
SM
5
SA + AM

A

C

Chn

M
B

Cõu 27 (Gv Hunh c Khỏnh)Cho hỡnh chúp S .ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti
nh B, vi AC = 2a, BC = a. nh S cỏch u cỏc im A, B, C . Bit gúc gia ng thng

SB v mt phng ( ABC ) bng 60. Khong cỏch t trung im M ca SC n mt phng

(SAB ) bng
A.

a 39
.
13

3a 13
.
13
ca AC . nh S

B.

Li gii. Gi H l trung im
A, B, C ắắ
đ SH ^ ( ABC ).

C.

a 39
.
26

D.

a 13
.
26

cỏch u cỏc im


.
, ( ABC ) = SBH
Xỏc inh c 60 = SB
Ta cú MH SA ắắ
đ d ộở M , (SAB )ựỷ = d ộở H , (SAB )ựỷ .

đ HI ^ AB.
Gi I l trung im ca AB ắắ
K HK ^ SI ( K ẻ SI ) v chng minh c HK ^ (SAB ) nờn
d ộở H , (SAB )ựỷ = HK .

Trong tam giỏc vuụng SHI tớnh c HK =

a 39
.
13

Chn A.

Cõu 28 (Gv Hunh c Khỏnh)Cho hỡnh tr cú din tớch xung quanh bng 16pa 2 v
di ng sinh bng 2a. Tớnh bỏn kớnh r ca ng trũn ỏy ca hỡnh tr ó cho.
A. r = 4 a.
B. r = 6a .

C. r = 4 p .
D. r = 8a .

16pa 2
= 4 a. Chn A.
2p 2p.2a
Cõu 29 (Gv Hunh c Khỏnh)Cho khi chúp S .ABC cú SA vuụng gúc vi ỏy,
SA = 4, AB = 6, BC = 10 v CA = 8 . Tớnh th tớch V ca khi chúp S . ABC .
đr =
Li gii. Ta cú S xq = 2pr ắắ

A. V = 40.
Li
gii.

Tam

S xq

B. V = 192.
giỏc

AB 2 + AC 2 = 6 2 + 82 = 10 2 = BC 2
ắắ
đ tam

=

ABC ,

C. V = 32.
cú

1
2

đ SDABC = AB. AC = 24.
giỏc ABC vuụng ti A ắắ
1
3

Vy th tớch khi chúp VS . ABC = SDABC .SA = 32. Chn C.

D. V = 24.

S
B

A
C

Cõu 30 (Gv Hunh c Khỏnh)Cho hỡnh lng tr ng ABC .A ÂB ÂC Â cú AA Â = AB = AC = 1
= 120. Gi I l trung im cnh CC Â. Cụsin gúc gia hai mt phng ( ABC ) v
v BAC
( AB ÂI ) bng
A.

30
.
10

B.

70
.
10

C.

30
.
20

D.

370
.
20

Li gii.

.
đ (
ABC ), ( AB ÂI ) = IEC
Gi D = B ÂI ầ BC , k CE ^ AD , ta chng minh c AD ^ IE ắắ
Ta tớnh c BC = 3 ị CD = 3 , AD = BD 2 + BA 2 - 2 BD.BA.cos 30 = 7.


=
Ta có cos ADB

21
70
DB 2 + DA 2 - AB 2
9
 = 7 = CE ¾¾
Þ sin ADB
® CE =
Þ IE =
.
=
14 CD
14
14
2 DB.DA
2 21

=
Vậy cos (
( ABC ),( AB ¢I )) = cos IEC

CE
30
=
.
IE
10

Chọn A.

Câu 31 (Gv Huỳnh Đức Khánh). Cho hình hộp ABCD.A ¢B ¢C ¢D ¢ có thể tích bằng 12cm 3 .
Tính thể tích của tứ diện AB ¢CD ¢.
A. 2cm 3 .
B. 3cm 3 .
C. 4cm 3 .
D. 5cm 3 .
Lời giải. Gọi S là diện tích đáy của tứ giác ABCD và h là chiều cao của khối hộp.
Chia khối hộp ABCD.A ¢B ¢C ¢D ¢ thành khối tứ diện AB ¢CD ¢ và 4 khối chóp A.A ¢B ¢D ¢, C .B ¢C ¢D ¢ ,
B ¢.BAC , D ¢.DAC .

1
2

S
2

Mà SDA ¢B ¢D ¢ = SDB ¢C ¢D ¢ = SDBAC = SDDAC = S ABCD = .
Suy ra VA. A ¢B ¢D ¢ = VC . A ¢B ¢D ¢ = VB ¢.BAC = VD ¢. DAC =

Sh
.
6

Vậy VAB ¢CD ¢ = VABCD. A ¢B ¢C ¢D ¢ - (VA. A ¢B ¢D ¢ +VC .B ¢C ¢D ¢ +VB ¢.BAC +VD ¢. DAC ) = Sh - 4.

Sh Sh
=
= 4cm 3 .
6
3

Chọn C.

Câu 32

(Gv Huỳnh Đức Khánh)Một khối hộp chữ nhật có kích thước
4 cm ´ 4 cm ´ h cm chứa một quả cầu lớn và tám quả cầu nhỏ. Biết quả cầu lớn
có bán kính bằng R = 2 cm và quả cầu nhỏ có bán kính bằng r = 1cm ; các quả
cầu tiếp xúc nhau và tiếp xúc các mặt của hình hộp (như hình vẽ). Tìm h .
A. h = 2 (1 + 2 2 ) (cm ).
B. h = 2 (3 + 7 ) (cm ).
C. h = 2 (1 + 7 ) (cm ).

D. h = 8 (cm ).

Lời giải. Gọi tâm của quả cầu lớn là I . Tâm của 4 quả cầu nhỏ nằm bên dưới lần lượt là A ,
B, D, C .
Khi đó I .ABCD là hình chóp tứ giác đều và có độ dài các cạnh như hình vẽ bên dưới.

Ta có CD = r + r = 2cm và ID = R + r = 3cm.
® SO = 7 . Vậy h = 2 (1 + 7 ) (cm ). Chọn C.
Gọi O = AC Ç BD ¾¾


Câu 33 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại
A , AB = a, AC = a 3 . Tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính
khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SAC ) .
a 39
.
13

Gọi H là

A. d =

2a 39
.
13
SH ^ BC Þ SH ^ ( ABC ) .

D. d =

C. d =

B. d = a.

Lời giải.
trung điểm của BC , suy ra
Gọi K là trung điểm AC , suy ra HK ^ AC .
Kẻ HE ^ SK ( E Î SK ).

SH .HK

a 3
.
2

S

2a 39

=
.
Khi đó d éë B,(SAC )ùû = 2d éë H ,(SAC )ùû = 2 HE = 2.
13
SH 2 + HK 2
Chọn C.

E

B

A
K

H
C
Câu 34 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD
là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy ( ABCD ) . Gọi j là góc giữa SD và mặt phẳng ( ABCD ) . Mệnh đề
nào sau đây đúng?

A. cot j =

5
15

B. cot j =

.

15
.
5

D. cot j =

C. j = 30 0.

Lời giải. Gọi H là trung điểm AB , suy ra SH ^ AB
Þ SH ^ ( ABCD ) nên hình chiếu của SD trên ( ABCD ) là HD .

3
.
2

S


.
, ( ABCD ) = (
SD, HD ) = SDH
Do đó SD

● Tam giác SAB đều cạnh a nên SH =
● HD = AH 2 + AB 2 =

a 3
.
2

a 5
.
2

A

 = DH = 5 . Chọn A.
Tam giác vuông SHD , có cot SDH
SH
15

Câu 35 (Gv Huỳnh Đức
Khánh). Một thùng thư,
được thiết kế như hình vẽ
bên, phần phía trên là nữa
hình trụ. Thể tích của
thùng đựng thư là
A. 640 + 160p.
C. 640 + 40p.

D

H
C

B

B. 640 + 80p.
D. 320 + 80p.

Lời giải. Thể tích phần phía dưới là V1 = 4.4.40 = 640.
Thể tích phần bên trên là V2 = ´(2 2 p.40) = 80p. Vậy V = V1 +V2 = 640 + 80p. Chọn B.
1
2

Câu 36 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho hình lập phương ABCD.A ¢B ¢C ¢D ¢ có cạnh bằng a.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB,C ¢D ¢ bằng
A. a.
Lời giải.

B. a 2.

C. a 3.

D.

a 3
.
2


Ta có d ( AB,C ¢D ¢) = AD ¢ = a 2. Chọn B.
Câu 37 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa
diện?

A.
B.
C.
D.
Lời giải. Chọn C. Vì hình C vi phạm tính chất '' Mỗi cạnh của miền đa giác nào cũng là cạnh

chung của đúng hai miền đa giác '' .
Câu 38 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = -1 và x = 1;
thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ
x (-1 £ x £ 1) là một hình tròn có diện tích bằng 3p. Thể tích của vật thể bằng
A. 3p 2 .
B. 6p.
C. 6.
D. 2p.
1

Lời giải. Thể tích của vật thể: V = ò 3p dx = 6p. Chọn B.
Câu 39.

-1

(Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho hình chóp

S

S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAD

là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc
với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của
(tham khảo hình vẽ bên). Tính bán
BC và CD
kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN .
A. R =

a 37
.

6

5a 3
.
C. R =
12

B. R =

A

a 29
.
8

a 93
.
D. R =
12

B
M

D

N

C

Lời giải. Áp dụng công thức tìm nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R = x 2 + r 2

với
 r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
 x=

SO 2 - r 2
: S là đỉnh hình chóp, O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, h là chiều
2h

cao khối chóp.
Cụ thể vào bài toán:


S

A

B

H
O
D

N

M
C

1
2

1
4

ỏy l tam giỏc CMN vuụng ti C nờn r = MN = BD =
Chiu cao h = SH =

a 2
.
4

a 3
;
2

Tõm O ca ng trũn ngoi tip tam giỏc CMN l trung im MN ;
p dng cụng thc ng trung tuyn trong tam giỏc HMN tớnh c HO 2 =
Trong tam giỏc vuụng SHO cú SO 2 = SH 2 + HO 2 =

11a 2
.
8
ổa 2 ử

ổ 5a ử

2

2

SO 2 - r 2

5a
=
.
2h
4 3

5a 2
.
8

ữữ
ữữ + ỗỗ
. Chn D.
Vy R = x 2 + r 2 = ỗỗỗ
ữ =
12
ố 4 3 ữứữ ỗỗố 4 ứữ
Cõu 40 (Gv Hunh c Khỏnh)Cho t din ABCD, trờn cỏc cnh BC , BD, AC ln lt ly

Suy ra x =

a 93

3
2

cỏc im M , N , P sao cho BC = 3BM , BD = BN , AC = 2 AP . Mt phng ( MNP ) chia khi t
din ABCD thnh hai phn cú th tớch l V1 v V2 . T s
A.

26
.
13

B.

26
.
19

C.

V1
V2

cú giỏ tr bng

3
.
19

D.

Li gii. Li khuyờn cho giỏo viờn nờn cho hc sinh bit
nh lý Menelauyt lm trc nghim v phn ny cho
nhanh, vic chng minh nh lý cng hon ton n gin
(da vo Talet).
Chc chn ta cn tớnh t s

IB

IA

v

DR
.
DA

Theo Menelauyt, ta cú

D
R

N

I

ỡ
ỡ
PC IA MB
ù
ù IA
ù
. .
=1 ù
=2
ù
ù
ù PA IB MC
ù IB

ù
ù
ị
.
ớ
ớ
ù
ù
RD IA NB
RD 1
ù
ù
. .
=1 ù
=
ù
ù
ù
ù RA 4
ù RA IB ND
ợ
ợ
Suy ra M l trng tõm DCAI .
Ta cú VBMNAPR = VIAPR -VIBMN

V
4
1 2
26
26

= VABCD - . VABCD = VABCD ắắ
đ 1 = .
5
3 3
45
V2 19

15
.
19

B

C

M
P
A

Chn B.


4
VIAPR = VABCD
5



vì

ì
1
1
ï
ï
SDIBM = SIAP = S ABC
ï
ï
3
3
ï
.
í
ï
2
ï
d éë N , ( ABC )ùû = d éë D, ( ABC )ùû
ï
ï
3
ï
î

Câu 41.

ìSDIAP = S ABC
ï
ï
ï
.

í
4
ï
d éë R, ( ABC )ùû = d éë D, ( ABC )ùû
ï
ï
5
î



1 2
VIBMN = . VABCD
3 3

vì

(Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho hình chóp

S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên
SA = x và vuông góc với đáy ( ABCD ). Xác định x để hai

mặt phẳng (SBC ) và (SCD ) hợp với nhau góc 60°.
a
2
3a
x= .
2

A. x = .

B. x = a.

C.

D. x = 2a.

Lời giải. Để cho gọn ta chọn a = 1.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A º O (0;0;0) và B (1;0;0), D (0;1;0), S (0;0; x ) với x = SA > 0.
Suy ra C (1;1;0).
Ta có


ìï DC = (1;0;0)
ïï
¾¾
®
í 
ïïSC = (1,1, -x )
ïî

ìïBC = (0;1;0)
ïï
¾¾
®
í 
ïïSB = (1,0, -x )
ïî

 



VTPT của mặt phẳng (SCD ) là éê DC , SC ùú = (0; x ;1) = n1 .
ë
û
 



VTPT của mặt phẳng (SBC ) là éê BC , SB ùú = ( x ;0;-1) = n2 .
ë
û

Từ giả thiết bài toán, ta có

 
n1 .n2
-1
1
cos 60 0 =   Û = 2
Û x 2 = 1 ¾¾
® x = 1 = a.
2 x +1
n1 . n2

Chọn B.

Cõu 42 (Gv Hunh c Khỏnh)Cho hỡnh chúp S .ABC cú
ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B, AB = a. Cnh bờn SA
vuụng gúc vi mt phng ỏy, gúc to bi hai mt phng
(tham kho hỡnh v bờn).
( ABC ) v (SBC ) bng 60
Khong cỏch gia hai ng thng AB v SC bng
a 2
.
2
a 3
a 3
.
C.
D.
.
2
3
.
ABC ), (SBC ) = SBA
Li gii. Xỏc nh c 60 = (

A. a.

B.

Khi ú ta tớnh c SA = AB.tan 60 = a 3
đ AB (SCD ) nờn
Trong mt phng ( ABC ) ly im D sao cho ABCD l hỡnh ch nht ắắ
d [ AB, SC ] = d ộở AB, (SCD )ựỷ = d ộở A, (SCD )ựỷ .
K AH ^ SD ( H ẻ SD ).

(1)
ỡCD ^ AD
ù
Ta cú ùớ
ị CD ^ AH . (2)

T

ù
ù
ợCD ^ SA
(1),(2) suy ra AH ^ (SCD )

nờn d ộở A,(SCD )ựỷ = AH .

Xột tam giỏc vuụng SAD cú AH =
Vy d [ AB, SC ] =

SA. AD
SA + AD
2

2

=

SA.BC
SA + BC
2

2

=

a 3
.
2

a 3
. Chn C.
2

Cõu 43 (Gv Hunh c Khỏnh)Cho hỡnh chúp S .ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a, SA
vuụng gúc vi mt phng ỏy. Gi M l trung im ca CD, gúc gia SM v mt phng ỏy
bng 60. di cnh SA bng
a 3
.
2
Li gii. Ta cú SA ^ ( ABCD ) nờn AM l hỡnh chiu ca SM lờn ( ABCD ) .
= 60 .
Do ú gúc gia SM v ( ABCD ) l SMA

A. a 3.

B. a 15.

C.

D.

a 15
.
2

a 2 5a 2
a 5
=
ắắ
đ AM =
.
4
4
2
a 5
a 15
3=
. Chn
Xột tam giỏc SAM vuụng ti A, cú SA = AM .tan 60 =
2
2

Ta cú AM 2 = AD 2 + MD 2 = a 2 +

D.
Cõu 44 (Gv Hunh c Khỏnh)Cho hỡnh lp phng ABCD.A ÂB ÂC ÂD Â cú cnh bng 1.
Khong cỏch t im A n mt phng ( A ÂBD ) bng
A. 3.

B. 3.

C.

2
.
2

D.

3
.
3

Li gii. Xột hỡnh chúp AA ÂBD cú AA Â = AB = AD v ụi mt vuụng gúc vi nhau nờn
1

d ộởờ A, ( A ÂBD )ựỷỳ
2

=

1
1
1
+
+
= 3.
2
2
A ÂA
AB

AD 2


1

Vy d ộờở A,( A ÂBD )ựỷỳ = . Chn D.
3

Cõu 45 (Gv Hunh c Khỏnh)Mt khi nún v mt khi tr cú chiu cao v bỏn kớnh
ỏy u bng 1 . Tng th tớch ca khi nún v khi tr ú l
A.

2p
.
3

B.

4p
.
3

C.

10p
.
3

D. 4 p.
1

3

1
3

Li gii. Th tớch khi núi V1 = .p.12.1 = p. Th
tớch khi tr V2 = p.12.1 = p.
1
3

4
3

Tng th tớch V = p + p = p. Chn B.
Cõu 46 (Gv Hunh c Khỏnh)Hỡnh hp ng ỏy l hỡnh thoi cú bao nhiờu mt phng
i xng ?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Li gii.

Chn C.
Cõu 47 (Gv Hunh c Khỏnh)Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hỡnh lng tr
tam giỏc u ABC .A1 B1C1 cú A1 ( 3;-1;1), hai nh B,C thuc trc Oz v AA1 = 1, ( C khụng


trựng O ). Bit u = (a; b;2) l mt vộc t ch phng ca ng thng A1C . Tớnh T = a 2 + b 2 .
A. T = 4.
B. T = 5.

C. T = 9.
D. T = 16.
đ I (0;0;1).
Li gii. Gi I l trung im ca BC ắắ
Do DABC u ị AI ^ BC , m BC ^ AA1 ị BC ^ ( AA1 I ) ị BC ^ A1 I
ắắ
đ I l hỡnh chiu vuụng gúc ca A1 trờn Oz .
đ AI = A1 I 2 - AA12 = 3.
Ta cú d ( A1 ,Oz ) = A1 I = 2 ắắ
2 AI
BC
Suy ra CI =
= 3 =1
2
2
Vỡ C ẻ Oz nờn gi C (0;0; c )

(do tam giỏc ABC u)

vi c ạ 0 .
ộ c = 0 (loaùi )
ờ

2
T IC = 1 ị (c -1) = 1 ờ

Chn VTCP ca A1C l


đ C (0;0;2) ắắ

đ A1C = - 3;1;1 .

(

ởc = 2

đT = a 2 + b 2 = 16.
u -2 3;2;2 ắắ

(

)

)

Chn D.


Câu 48 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Xét một hình trụ nội tiếp
trong hình nón như hình bên, trong đó S là đỉnh hình nón,
O là tâm đường tròn mặt đáy. Các đoạn AB, CD lần lượt là
đường kính của đường tròn đáy của hình nón và hình trụ.
Biết AC , BD cắt nhau tại điểm M Î SO, tỉ số thể tích của
hình trụ và hình nón là
A.
C.

4
.
9

Tính tỉ số

SM
.
SO

7
.
9
4
.
5

B.
D.

2
.
3
5
.
6

Lời giải. Gọi I là trung điểm DC .

ì
ïID = t = OA
SI
ID

IM
=
=
¾¾
®ï
.
í
ï
SO OA MO
ï
îIO = (1 - t )SO
p.t 2OA 2 .(1 - t )SO 4
2
Theo giả thiết ta có
= ¾¾
®t = .
1
9
3
p.OA 2 .SO
3
SI
IM
2
SM
4
Suy ra
=
= ¾¾
®

= . Chọn C.
SO MO 3
SO
5

Đặt t =

Câu 49

(Gv Huỳnh Đức Khánh). Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và
OA = 1, OB = 2, OC = 3. Tan của góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng ( ABC ) bằng
A.

6
.
7

B.

13
.
6

Lời giải. Kẻ OH ^ BC ( H Î BC ) , ta chứng minh được

.
¾¾
® OA
, ( ABC ) = OAH

Ta có OH =

OB.OC
OB + OC
2

2

=

6 13
.
13
(OAH ) ^ ( ABC )

C.

D.

6 7
.
7

6 13
.
13

=
Vậy tan (
OA, ( ABC )) = tan OAH

OH
6 13
=
.
OA
13

Chọn C.

Câu 50 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho hình chóp S .ABCD
 = 60°. Cạnh bên SD
có đáy là hình thoi cạnh bằng a, ABC
vuông góc với đáy ( ABCD ) và (SAB ) ^ (SBC ) (tham khảo
hình vẽ). Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD
bằng
A.

a 2
.
4

B.

a 42
.
7

C.

a 42
.
14

D.

a 42
.
21

Lời giải. Để cho gọn ta chọn a = 2.

S

B

A

D

C


S

z

B

A

D

C

y

x

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với O (0;0;0) và C (1;0;0), B (0; 3;0), S (0;- 3; x ) với
x = SD > 0.

Suy ra A (-1;0;0) và D (0;- 3;0).


ì
ï
SA = -1; 3; -x
 

ï
Ta có ïí 
¾¾
® VTPT của mặt phẳng (SAB ) là éêSA, AB ùú = x 3; -x ; -2 3 = n1 .
ë
û
ï
AB = 1; 3;0
ï
ï

î

ì
ï
SB = 0;2 3; -x
 

ï
ï
¾¾
® VTPT của mặt phẳng (SBC ) là éêSB, BC ùú = -x 3; -x ; -2 3 = n2 .
í 
ë
û
ï
BC = 1; - 3;0
ï
ï
î
 
Từ giả thiết bài toán, ta có n1 .n2 = 0 Û x 2 = 6 ¾¾
® x = 6.

ïìïSA = -1; 3; - 6
  
ïï
éSA, DB ù . AB


ê

úû
ï
42 2 42 a 42
¾¾
® d [SA, BD ] = ë  
=
=
=
. Chọn C.
Khi đó ïí AB = 1; 3;0

ïï
é
ù
7
14
14
SA
,
DB


êë
úû
ïï
ïïî DB = 0;2 3;0

(
(
(

(

)

)

)

(
(
(

)

(

)

(

)

)

Câu 51 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho khối
chóp tứ giác đều S .ABCD, có đáy ABCD là hình
vuông cạnh bằng a, tâm O ; cạnh bên bằng
a 3. Gọi M là trung điểm của CD, H là điểm
đối xứng của O qua SM (tham khảo hình vẽ
bên). Thể tích khối đa diện ABCDSH bằng

A.

a 3 10
.
12

B.

a 3 10
.
18

C.

a 3 10
.
24

D.

5a 3 10
.
24

Lời giải. Khối đa diện ABCDSH được chia thành hai khối chóp S .ABCD và H .SCD.
1
3

1
a 3 10

SB 2 - OB 2 .S ABCD =
.
3
6
xứng của O qua SM nên d éëO,(SCD )ùû = d éë H ,(SCD )ùû

 VS . ABCD = SO.S ABCD =
 Vì H là điểm đối

1
a 3 10
¾¾
®VHSCD = VOSCD = VS . ABCD =
.
4
24

Vậy thể tích khối đa diện cần tính bằng VS . ABCD +VH .SCD =

5a 3 10
. Chọn D.
24

)

)


Cõu 52 (Gv Hunh c Khỏnh) Cho hỡnh lng tr tam giỏc u ABC .A ÂB ÂC Â cú tt c cỏc
cnh bng a. Gi M , N ln lt l trung im cỏc cnh AB, B ÂC Â. Cụsin gúc gia hai ng

thng MN v AC bng
1
3

A. .

B.

2
.
3

C.

5
.
3

D.

5
.
5

Li gii. Gi H l trung im ca BC , suy ra MH AC
.
ắắ
đ (
MN , AC ) = (
MN , MH ) = NMH

1
2

a
2
MH
5
Vy cos (
MN , AC ) =
=
. Chn D.
MN
5

đ MN =
Ta cú MH = AC = , NH = BB ' = a ắắ

a 5
.
2

Cõu 53

(Gv Hunh c Khỏnh). Cho lng tr ng
ABC . A ÂB ÂC Â cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti A, AB = a,
AC = a 3 v BB ÂC ÂC l hỡnh vuụng. Khong cỏch gia hai
ng thng AA Â v BC Â l
a 3
.
2

C. a.

3a 2
.
4
D. a 3.

A.
Li

gii.

Suy

ra

B.
Gi

l

H

hỡnh

chiu

ca

vuụng

gúc

chung

ỡ
AH ^ BC
ù
ù
ị AH ^ ( BB ÂC ÂC ) ị AH ^ BC Â.
ớ
ù
ù
ợ AH ^ BB Â

AH

d ộở AA Â, BC Âựỷ = AH =

l

on

AB.CA
AB + AC
2

2

=

a 3
.
2

A

ca

lờn

BC .

AA Â v

Ta

BC Â

cú

nờn

Chn A.

Cõu 54. (Gv Hunh c Khỏnh) Cho t din ABCD cú th tớch bng 12 v G l trng
tõm ca tam giỏc BCD. Tớnh th tớch V ca khi chúp A.GBC .
A. V = 3.
B. V = 4.
C. V = 5.

D. V = 6.
1
3

Li gii. Vỡ G l trng tõm ca tam giỏc BCD nờn SDGBC = SDDBC .
1
3

1
3

Suy ra VA.GBC = VABCD = .12 = 4. Chn B.
Cõu 55 (Gv Hunh c Khỏnh). Hỡnh nún cú gúc nh bng 60 v chiu cao bng 3.
di ng sinh ca hỡnh nún bng
A. 2.
B. 3.
C. 2 2.
D. 2 3.
Li gii. ng sinh hỡnh nún: =

h
=2.
ổ 60 ửữ
ỗ
ữ
cos ỗ
ỗố 2 ữữứ

Chn A.