NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN THUỘC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

PHÙNG ĐỨC CƯỜNG

NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
QUA DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG
THỰC TIỄN THUỘC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2015


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

PHÙNG ĐỨC CƯỜNG

NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
QUA DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG

THỰC TIỄN THUỘC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Nguyễn Hữu Châu

HÀ NỘI – 2015


LỜI CẢM ƠN
Luận văn tốt nghiệp với đề tài: “Nâng cao năng lực giải quyết vấn đề
cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học các bài toán có nội dung thực
tiễn thuộc chủ đề Tổ hợp và xác suất” được hoàn thành tại trường Đại học
Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội. Có được bản luận văn này, tác giả xin
bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến tập thể các giảng viên, cán bộ
trường Đại học Giáo dục, đặc biệt là GS.TS Nguyễn Hữu Châu, người đã trực
tiếp hướng dẫn, dìu dắt, giúp đỡ tác giả với những chỉ dẫn khoa học quý giá
trong suốt quá trình triển khai, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin gửi tới Ban Giám hiệu, tập thể cán bộ, giáo viên trường THPT
Giao Thủy tỉnh Nam Định lời cảm tạ sâu sắc vì đã tạo mọi điều kiện thuận lợi
giúp đỡ tác giả thu thập số liệu cũng như những tài liệu nghiên cứu cần thiết
liên quan tới đề tài này.
Xin ghi nhận công sức và những đóng góp quý báu và nhiệt tình của
các học viên lớp cao học Lý luận và Phương pháp dạy học (bộ môn Toán),
khóa 8 trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội đã đóng góp ý
kiến và giúp đỡ tác giả triển khai, điều tra thu thập số liệu.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã quan tâm, động

viên, khích lệ để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của mình.
Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng bản luận văn này cũng không tránh
khỏi những thiếu sót cần góp ý, sửa chữa. Tác giả rất mong nhận được những
ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô giáo, các đồng nghiệp và độc
giả,…để luận văn này hoàn thiện.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 11 năm 2014
Tác giả luận văn

Phùng Đức Cường
i


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Chữ viết tắt

Chữ viết đầy đủ

ĐC

đối chứng

ĐHSP

Đại học Sư phạm

GS.

giáo sư

GV

giáo viên

HS

học sinh

HTDH

hình thức dạy học

MTCT

máy tính cầm tay

Nxb

Nhà xuất bản

PPDH

phương pháp dạy học

PTDH

phương tiện dạy học

PTSKH

phó tiến sĩ khoa học

SGK

sách giáo khoa

THCS

trung học cơ sở

THPT

trung học phổ thông

TN

thực nghiệm

TS.

tiến sĩ

ii

MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn ..................................................................................................... i
Danh mục các chữ viết tắt .............................................................................. ii
Mục lục ......................................................................................................... iii
Danh mục các bảng ....................................................................................... vi
Danh mục các hình,, biểu đồ ........................................................................ vii
MỞ ĐẦU .........................................................................................................
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................... 6
1.1. Vấn đề và dạy học giải quyết vấn đề........................................................ 6
1.1.1. Vấn đề là gì?......................................................................................... 6
1.1.2. Quá trình giải quyết vấn đề trong dạy học Toán ................................... 8
1.1.3. Năng lực giải quyết vấn đề ................................................................... 9
1.1.4. Dạy học giải quyết vấn đề................................................................... 17
1.2. Bài toán có nội dung thực tiễn ............................................................... 21
1.2.1. Bài toán, bài toán có nội dung thực tiễn .............................................. 21
1.2.2. Đặc điểm của bài toán có nội dung thực tiễn ...................................... 21
1.2.3. Quy trình giải bài toán thực ................................................................ 22
1.2.4. Thiết kế và dạy học bài toán có nội dung thực tiễn ............................. 35
1.2.5. Mối liên hệ giữa dạy học bài toán thực và sự nâng cao năng lực giải
quyết vấn đề ................................................................................................. 36
1.3. Thực trạng dạy học giải quyết vấn đề, day học các bài toán có nội dung
thực tiễn và dạy học chủ đề Tổ hợp và xác suất ở trường THPT Giao Thủy
tỉnh Nam Định.............................................................................................. 37
1.3.1. Thực trạng dạy học giải quyết vấn đề ................................................. 37
1.3.2. Thực trạng dạy học các bài toán thực.................................................. 41
1.3.3. Thực trạng dạy học chủ đề Tổ hợp và xác suất ................................... 43
1.4. Kết luận chương 1 ................................................................................. 45

iii


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi
CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG VÀ ĐỀ XUẤT MỘT SỐ BIỆN PHÁP NÂNG
CAO NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH TRUNG
HỌC PHỔ THÔNG QUA DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG
THỰC TIỄN THUỘC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT....................... 46
2.1. Các căn cứ để xây dựng biện pháp......................................................... 46
2.1.1. Căn cứ vào cơ sở lí luận ..................................................................... 46
2.1.2. Căn cứ vào mục tiêu của chương trình ................................................ 46
2.1.3. Căn cứ vào điều kiện thực tiễn............................................................ 46
2.1.4. Căn cứ vào tính khả thi ....................................................................... 46
2.2 Một số biện pháp nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trung
học phổ thông qua dạy học các bài toán có nội dung thực tiễn thuộc chủ đề Tổ
hợp và xác suất ............................................................................................. 47
2.2.1. Biện pháp 1: Thiết kế bài giảng chứa đựng các bài toán có nội dung
thực tiễn nhằm tạo động cơ hứng thú cho học sinh khám phá bài toán ......... 47
2.2.2. Biện pháp 2: Tăng cường dạy học từ các bài toán thực có lời giải sai
lầm hoặc chưa đầy đủ ................................................................................... 60
2.2.3. Biện pháp 3: Tổ chức cho học sinh đánh giá kết quả, đánh giá quá trình
giải toán thực và mở rộng khai thác ý nghĩa bài toán thực ............................ 68
2.3. Kết luận chương 2 ................................................................................. 73

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .............................................. 74
3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm ........................................ 74
3.1.1. Mục đích thực nghiệm ........................................................................ 74
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm ....................................................................... 74
3.2. Đối tượng, nội dung và kế hoạch thực nghiệm sư phạm ........................ 74
3.2.1. Đối tượng thực nghiệm ....................................................................... 74
3.2.2. Nội dung và kế hoạch thực nghiệm..................................................... 74
3.2.3. Giáo án thực nghiệm........................................................................... 75
3.2.4. Đề kiểm tra, đánh giá học sinh............................................................ 89
3.3. Tổ chức triển khai thực nghiệm sư phạm ............................................... 91
iv


3.4. Đánh giá thực nghiệm sư phạm ............................................................. 92
3.4.1. Kết quả bài kiểm tra, đánh giá học sinh .............................................. 92
3.4.2. Phân tích số liệu và kết luận sư phạm ................................................. 92
3.5 Kết luận chương 3 .................................................................................. 93
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ............................................................. 95
PHỤ LỤC.................................................................................................... 98

v


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

DANH MỤC CÁC BẢNG
TT

Tên bảng

Trang

Bảng 1.1. Bảng các mức độ dạy học giải quyết vấn đề ................................. 19
Bảng 1.2. Bảng thống kê mức độ và hiệu quả sử dụng các cách dạy học
giải quyết vấn đề ........................................................................... 38
Bảng 1.3. Bảng thông kê các khó khăn khi dạy học giải quyết vấn đề .......... 39
Bảng 1.4. Bảng thông kê các mức độ hoạt động của học sinh trong một
giờ học Toán ................................................................................. 40
Bảng 1.5. Bảng thông kê mức độ các hoạt động mong muốn của học sinh
trong một giờ học Toán ................................................................. 40
Bảng 1.6. Bảng thống kê mức độ dạy học toán thực .................................... 41
Bảng 1.7. Bảng thông kê mức độ ứng dụng môn Toán của học sinh............. 42
Bảng 1.8. Bảng thống kê mức độ cần thiết ứng dụng môn Toán trong thực tiễn .... 42
Bảng 1.9. Bảng thống kê phương pháp chủ yếu dạy học chủ đề Tổ hợp và
xác suất ......................................................................................... 44
Bảng 1.10. Bảng thống kê đánh giá mức độ của học sinh sau khi học chủ
đề Tổ hợp và xác suất .................................................................... 44
Bảng 2.1. Bảng cơ cấu giải thưởng của trò chơi bốc bi có thưởng ................ 54
Bảng 2.2. Bảng tần số trong phép thử tìm gần đúng số  ............................. 55
Bảng 2.3. Bảng phân bố xác suất điểm bắn súng của hai xạ thủ ................... 60
Bảng 2.4. Bảng thống kê tỉ lệ các bài toán được tổ chức cho học sinh đánh
giá và khai thác ............................................................................. 68
Bảng 3.1. Bảng nội dung và kế hoạch thực nghiệm ...................................... 75
Bảng 3.2. Bảng cơ cấu giải thưởng của trò chơi bốc bi có thưởng ................ 86
Bảng 3.3. Bảng ma trận đề kiểm tra, đánh giá học sinh ................................ 89

Bảng 3.4. Bảng thống kê kết quả kiểm tra, đánh giá học sinh các lớp 11B1
và 11B2 ......................................................................................... 92
Bảng 3.5. Bảng thống kê kết quả kiểm tra, đánh giá học sinh các lớp 11B5
và 11B6 ......................................................................................... 92
Bảng 3.6. Bảng tỉ lệ phần trăm các mức độ của bài kiểm tra ........................ 92

vi


DANH MỤC CÁC HÌNH, BIỂU ĐỒ
TT

Tên bảng

Trang

Hình 1.1. Giải thi đấu bóng bàn .................................................................... 30
Hình 1.2. Máy nghe nhạc MP3 ..................................................................... 31
Hình 2.1. Bài toán 3 quả lê và 2 quả cam ..................................................... 49
Hình 2.2. Bài toán hàng rào .......................................................................... 51
Hình 2.3. Bài toán 3 đôi khiêu vũ ................................................................. 52
Hình 2.4. Tính gần đúng số  bằng xác suất thực nghiệm ............................ 57
Hình 2.5. Một biển số xe mô đăng kí tại thành phố Hà Nội .......................... 59
Hình 2.6. Bàn quay xổ số ............................................................................. 60
Hình 2.7. Hai con súc sắc ............................................................................. 63
Biểu đồ 3.1. Biểu đồ hình cột điểm số của các lớp ....................................... 93

vii

Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong bất cứ một xã hội nào thì giáo dục cũng luôn đóng vai trò quan
trọng. Mục tiêu giáo dục bao giờ cũng gắn liền với mục tiêu phát triển xã hội.
Công cuộc đổi mới và phát triển đất nước theo hướng công nghiệp hóa – hiện
đại hóa đòi hỏi nền giáo dục đào tạo ra những con người có đủ năng lực, trình
độ, phẩm chất đạo đức và khả năng sáng tạo, làm chủ được vấn đề và giải
quyết được vấn đề trước mắt cũng như lâu dài không những của bản thân mà
còn của cộng đồng.
Luật Giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam ban hành
năm 2005 đã chỉ rõ: “Hoạt động giáo dục phải được thực hiện theo nguyên lý
học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn liền
với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục
xã hội” (Chương 1, điều 3, khoản 2).
“Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động,
tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả
năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”(Chương 1, điều 5,
khoản 2).
Trong những năm gần đây, bên cạnh những thành tựu, kết quả đã đạt
được thì ngành giáo dục còn đó những hạn chế, yếu kém. Nội dung, chương
trình, phương pháp giáo dục còn lạc hậu, chậm đổi mới, chậm hiện đại hóa,
thiếu tính thực tiễn, chưa gắn chặt với đời sống xã hội và lao động nghề
nghiệp; chưa phát huy tính sáng tạo, năng lực thực hành của học sinh. Dưới

áp lực của phương thức thi cử, tình trạng nhồi nhét kiến thức vẫn còn xảy ra.
Thầy trò làm việc theo lề lối giáo điều, sách vở, coi nhẹ thực hành dẫn đến
học sinh chưa phát huy được các năng lực của mình…
Đứng trước những bất cập này, công cuộc đổi mới giáo dục ắt phải diễn
ra. Đề án: “Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu
cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định
1


hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế” theo Nghị quyết TW8 khóa
XI đã chỉ rõ: “Xác định mục tiêu giáo dục con người vừa đáp ứng yêu cầu xã
hội vừa phát triển cao nhất tiềm năng của mỗi cá nhân. Phát triển năng lực
và phẩm chất người học, hài hòa đức, trí, thể, mỹ thay vì chỉ chú trọng trang
bị kiến thức; kết hợp hài hòa dạy người, dạy chữ và dạy nghề”.
Như vậy việc dạy học gắn lý luận với thực tiễn là xu hướng tất yếu.
Thực tiễn không những là cơ sơ để khẳng định nhận thức chân lý, mà còn
là động lực và mục đích của nhận thức vì nhận thức xuất phát từ thực tiễn
rồi cuối cùng trả về thực tiễn. Điều này hoàn toàn phù hợp với quan điểm
của triết học Mác - Lênin. Việc hình thành và phát triển các năng lực cho
học sinh phải gắn các hoạt động trí tuệ với khả năng giải quyết các tình
huống của cuộc sống và nghề nghiệp. Do vậy không thể tách rời giữa dạy
lý thuyết và hướng dẫn thực hành.
Đặc thù của Toán học là nghiên cứu về lượng, cấu trúc, hình thể, các
mối quan hệ cũng như sự thay đổi của các sự vật hiện tượng. Sự phát triển của
Toán học gắn liền với các hiện tượng tự nhiên bên cạnh nhu cầu nhận thức
của con người để cải tạo thế giới. Có thể nói Toán học xuất phát và gắn chặt
với thực tiễn, do vậy cần có sự đánh giá đúng vai trò của các bài toán có nội
dung thực tiễn trong dạy học Toán trung học phổ thông.
Hơn nữa, chương Tổ hợp và xác suất thuộc môn Đại số và Giải tích 11
nâng cao là mảng kiến thức có một vai trò quan trọng trong chương trình

Toán trung học phổ thông. Nội dung của chương hầu hết xuất phát từ nhu cầu
nhận thức trong thực tiễn. Kiến thức của chương giải quyết được khá nhiều
vấn đề trong đời sống hàng ngày. Đó là điều kiện thuận lợi nhằm nâng cao
năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh.
Xuất phát từ thực tế trên và điều kiện nghiên cứu của bản thân, tác giả
chọn đề tài: “Nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trung học
phổ thông qua dạy học các bài toán có nội dung thực tiễn thuộc chủ đề Tổ
hợp và xác suất” làm luận văn thạc sỹ.
2


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi
2. Mục đích nghiên cứu
Phân tích mối liên hệ giữa dạy học các bài toán có nội dung thực tiễn
trong chương Tổ hợp và xác suất và năng lực giải quyết vấn đề của học sinh,
từ đó đề xuất một số biện pháp nhằm nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho
học sinh trung học phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận của đề tài. Trong phần này, đề tài sẽ hệ
thống hóa cơ sở lý luận về dạy học giải quyết vấn đề, về bài toán có nội dung
thực tiễn và mối liên hệ giữa chúng.
- Đánh giá thực trạng về dạy học các bài toán có nội dung thực tiễn và
phân tích các yếu tố ảnh hưởng đến năng lực giải quyết vấn đề của học sinh
trung học phổ thông.

- Đề xuất các giải pháp nhằm nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho
học sinh trung học phổ thông.
- Xây dựng một số giáo án thực nghiệm, tiến hành thực nghiệm nhằm
đánh giá tính khả thi của các biện pháp trên.
4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
4.1. Khách thể nghiên cứu
Là học sinh lớp 11, bậc trung học phổ thông.
4.2. Đối tượng nghiên cứu
Là năng lực giải quyết vấn đề và các biện pháp nhằm nâng cao năng
lực giải quyết vấn đề cho học sinh trung học phổ thông.
5. Vấn đề nghiên cứu
Dạy học các bài toán có nội dung thực tiễn trong chương Tổ hợp và xác
suất như thế nào để có thể nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh
trung học phổ thông?
6. Giả thuyết khoa học
Vận dụng các biện pháp dạy học các bài toán có nội dung thực tiễn
trong chương Tổ hợp và xác suất sẽ nâng cao được năng lực giải quyết vấn đề
cho học sinh trung học phổ thông.
3


7. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu
7.1. Giới hạn và phạm vi về nội dung
Đề tài này nghiên cứu về mối quan hệ giữa dạy học các bài toán có nội
dung thực tiễn và việc nâng cao năng lực giải quyết vấn đề của học sinh trung
học phổ thông trong chương Tổ hợp và xác suất thuộc môn Đại số và giải tích
11 nâng cao.
7.2. Giới hạn và phạm vi về thời gian
Các nghiên cứu và số liệu khảo sát của đề tài này được tiến hành trong
học kỳ II năm học 2013 – 2014 và học kỳ I năm học 2014 – 2015 (từ tháng 01

năm 2014 đến tháng 12 năm 2014).
7.3. Giới hạn và phạm vi về khách thể nghiên cứu
Tiến hành trên học sinh khối 11 trường Trung học phổ thông Giao
Thủy, tỉnh Nam Định.
8. Mẫu khảo sát
Mẫu khảo sát của đề tài này được thực hiện trên học sinh các lớp 11B1,
11B2, 11B5 và 11B6 niên khóa 2012 – 2015 trường Trung học phổ thông
Giao Thủy, tỉnh Nam Định.
9. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Sưu tầm, đọc tài liệu tham khảo,
nghiên cứu các văn bản liên quan đến các vấn đề của đề tài này.
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, điều tra - khảo sát bằng
phiếu hỏi, thực nghiệm sư phạm, tổng kết kinh nghiệm, tham vấn chuyên gia.
- Phương pháp xử lý thông tin: Định lượng, định tính, thống kê và phân
tích thống kê.
10. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo và phụ
lục, luận văn dự kiến được trình bày theo ba chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
4


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi
Chương 2: Xây dựng và đề xuất một số biện pháp nâng cao năng lực

giải quyết vấn đề cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học các bài toán
có nội dung thực tiễn trong chương Tổ hợp và xác suất
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

5


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Vấn đề và dạy học giải quyết vấn đề
1.1.1. Vấn đề là gì?
Trong cuộc sống hàng ngày chúng ta thường gặp những hiện tượng,
những tình huống, những câu hỏi mà ta vẫn gọi là vấn đề.
Ví dụ như vấn đề giải quyết công ăn việc làm cho người thất nghiệp,
vấn đề làm thế nào để nâng cao chất lượng trong một giờ dạy ở bậc THPT…
Vậy vấn đề là gì? Theo từ điển Tiếng Việt thì vấn đề là điều cần được
xem xét, nghiên cứu, giải quyết [11, tr. 1140], như vậy nghĩa của nó rất rộng.
Trong khuôn khổ luận văn này khái niệm vấn đề được đặt trong khuôn khổ
quá trình dạy học nói chung và dạy học môn Toán nói riêng. Có rất nhiều
quan điểm về vấn đề trong dạy học. Sau đây chúng ta cùng phân tích một vài
quan điểm đó.
Vấn đề (Problem) là một tình huống đặt ra cho một cá nhân hay một
nhóm cá nhân có nhu cầu giải quyết mà đôi khi đối mặt với tình huống này họ
không thấy ngay con đường dẫn tới lời giải và phương pháp giải không vượt
quá xa khả năng của họ.
Một tình huống được gọi là vấn đề khi và chỉ khi nó thỏa mãn ba điều
kiện sau:
Một là có nhu cầu giải quyết.
Hai là không có sẵn lời giải.
Ba là không vượt quá khả năng của người học [2].

Vấn đề là một câu hỏi nảy ra hay được đặt ra cho chủ thể mà chủ thể
chưa biết lời giải và phải tìm tòi lời giải một cách sáng tạo, nhưng chủ thể đã
có sẵn một vài phương tiện ban đầu để sử dụng thích hợp vào việc tìm tòi lời
giải đó [9, tr. 22].
Chủ thể ở đây được hiểu là người học.
6


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi
Một bài toán được gọi là vấn đề nếu chủ thể chưa biết một thuật giải
nào đó có thể áp dụng để tìm ra phần tử chưa biết của bài toán đó [6, tr. 185].
Qua phân tích một số quan điểm trên, chúng tôi thấy các khái niệm có
thể trình bày khác nhau nhưng đều có chung các đặc điểm là học sinh có nhu
cầu và có khả năng giải quyết nhưng chưa thể làm được ngay. Do vậy chúng
tôi đề xuất khái niệm vấn đề như sau:
Vấn đề là những câu hỏi hay nhiệm vụ đặt ra mà việc giải quyết chúng
chưa có quy luật cũng như những tri thức, kỹ năng sẵn có chưa đủ để giải
quyết mà còn khó khăn, cản trở cần vượt qua.
Các đặc điểm của vấn đề trong dạy học:
Vấn đề mang tính triết học, vì mỗi vấn đề đều chứa đựng những mâu
thuẫn giữa nhiệm vụ của học sinh và những kinh nghiệm, kiến thức, kĩ năng
sẵn có của họ. Giải quyết các mâu thuẫn trên chính là con đường phát triển
nhận thức cho học sinh.
Vấn đề mang tính tâm lí học, vì tư duy tích cực chỉ nảy sinh khi có nhu

cầu, tức là đứng trước những khó khăn về nhận thức. Rubeistein cho rằng:
“Tư duy sáng tạo luôn bắt đầu bằng tình huống có vấn đề” [7, tr. 115].
Vấn đề mang tính giáo dục, vì vấn đề phải vừa sức với học sinh. Nó
phù hợp với nguyên tắc tự giác và tích cực của học sinh trong các hoạt động.
Hơn nữa nó còn khêu gợi sự ham muốn tìm tòi khám phá, qua đó học sinh
được học cách khám phá, giải quyết những vấn đề một cách khoa học. Đồng
thời, góp phần bồi dưỡng cho học sinh phát triển năng lực, trí tuệ và những
đức tính cần thiết của người lao động sáng tạo như tính chủ động, tích cực,
cần cù vượt khó, tính có kế hoạch và tự kiểm tra, đánh giá quá trình.
Phát hiện vấn đề là chủ thể nhận ra cái mình chưa biết trước đó và
mong muốn được biết.
Giải quyết vấn đề là thiết lập những phương pháp, sử dụng các công cụ
như kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo…để vượt qua những khó khăn trở ngại đã
được đặt ra.
7


1.1.2. Quá trình giải quyết vấn đề trong dạy học Toán
Quá trình giải quyết vấn đề là một chuỗi các thao tác thể hiện ở sơ
đồ sau:
Sơ đồ 1.1. Quá trình giải quyết vấn đề trong dạy học môn Toán
Tìm hiểu bài toán, phát hiện vấn đề

Khám phá

Chọn phương pháp và chiến lược

Giải

Đánh giá kết quả, phát triển bài toán

Tìm hiểu bài toán, phát hiện vấn đề là khâu xem xét những yếu tố nào
đã biết, cần tìm yếu tố nào hay chứng tỏ một điều gì.
Khám phá bài toán là khâu tìm những mối liên hệ giữa những cái đã
biết và cái phải tìm, liên tưởng tới những tri thức đã học, những bài toán có
liên quan. Từ đó sử dụng các phương pháp, kĩ thuật như suy luận hướng đích,
quy lạ về quen, tương tự hóa…
Chọn phương pháp và chiến lược giải bài toán là sự kế thừa các thao
tác trong khâu khám phá. Tất cả các thao tác này sẽ dẫn đến sự hình thành
một hay nhiều hướng giải quyết và học sinh chọn một giải pháp khả thi và
hiệu quả nhất.
Đánh giá kết quả, mở rộng bài toán là khâu học sinh cần kiểm tra các
phép toán, các suy luận có lí, đồng thời đề xuất những vấn đề mới phát sinh
nhờ sự xem xét tương tự, lật ngược vấn đề, khái quát hóa…Có thể coi đây là
khâu cuối cùng của quy trình cũ và là sự khởi đầu của một quy trình mới.
8


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi
Như vậy giải quyết vấn đề là một quy trình mà các bước đã được sắp
xếp theo trình tự nhất định.
1.1.3. Năng lực giải quyết vấn đề
1.1.3.1. Năng lực
Trong lịch sử nghiên cứu có rất nhiều quan niệm về năng lực dẫn đến
cách tiếp cận và nghiên cứu cũng có sự khác biệt.

Theo quan điểm của trường phái di truyền học ở phương Tây cuối thế
kỉ 19 đầu thế kỉ 20 thì năng lực phụ thuộc tuyệt đối vào tính bẩm sinh di
truyền của gen mà không phụ thuộc vào điều kiện xã hội cũng như các hoạt
động hàng ngày của con người. Theo phái tâm lí học hành vi thì năng lực của
con người là sự thích nghi về mặt sinh vật đối với môi trường sống. Sau này
một số người theo quan điểm xã hội học cho rằng năng lực được quyết định
bởi môi trường xã hội. Nhìn chung các cách tiếp cận và nghiên cứu trên bước
đầu cho chúng ta một số kết quả đáng ghi nhận. Tuy nhiên mặt hạn chế là họ
cho rằng năng lực là một lượng bất biến, khó có thể thay đổi theo sự phát triển
về mặt sinh học của con người và ít phụ thuộc vào môi trường xã hội.
Các nhà tâm lí học Mácxit và Xô viết khi nghiên cứu về năng lực lại
cho rằng năng lực là tổng hòa của hai yếu tố. Yếu tố thứ nhất là đặc điểm tâm
lí của cá nhân còn yếu tố thứ hai là kết quả của một hoạt động nào đó. CácMác cho rằng: “Sự khác nhau giữa năng lực của cá nhân thể hiện qua sự
phân công lao động và kết quả lao động”[C. Mac, Bản thảo kinh tế triết học
năm 1884, NXB Sự thật, Hà Nội, 1962, Tr. 167]. Còn Angel cho rằng: “Lao
động sáng tạo ra con người”[1, tr. 641].
Như vậy theo quan điểm này thì năng lực không những phụ thuộc vào
yếu tố bẩm sinh, bản năng mà năng lực còn hình thành và phát triển khi con
người tham gia các hoạt động học tập để làm tiền đề cho các hoạt động xã
hội. Năng lực là một lượng có thể biến đổi thông qua hoạt động.
Theo Rubinstein năng lực là điều kiện cho hoạt động có ích của con
người. Năng lực là toàn bộ những thuộc tính tâm lí làm cho con người thích
hợp với một hoạt động có ích lợi xã hội nhất định [17, tr. 12].
9


Ở nước ta, các công trình nghiên cứu về năng lực đều nhấn mạnh đến
tính có ích của hoạt động.
Theo từ điển tiếng Việt, năng lực là khả năng, điều kiện chủ quan có
sẵn để thực hiện một hoạt động nào đó [14. tr.23].

Năng lực là khả năng thực hiện có trách nhiệm và hiệu quả các hành
động, giải quyết các nhiệm vụ, vấn đề trong các tình huống khác nhau thuộc
các lĩnh vực nghề nghệp, xã hội hay cá nhân trên cơ sở hiểu biết, kĩ năng, kĩ
xảo và kinh nghiệm cũng như sự sẵn sàng hành động [3, tr. 68].
Năng lực là tổ hợp các đặc điểm tâm lý của một con người. Tổ hợp này
vận hành theo một mục đích nhất định và tạo ra kết quả của một hoạt động
nào đấy. [5, tr. 145].
Qua phân tích một số quan điểm trên, chúng tôi cho rằng năng lực là
tổ hợp các đặc điểm tâm lí của một con người được vận hành vào một hoạt
động nào đó và đảm bảo hoạt động đó có kết quả tốt.
1.1.3.2. Các mức độ của năng lực
Năng lực có thể chia là ba mức độ.
Mức độ thứ nhất là năng lực cơ bản. Đó là khả năng của một cá nhân ở
một thời điểm nào đó có thể hoàn thành một nhiệm vụ nào đó mà nhiều người
khác có cùng điều kiện hoàn cảnh cũng có thể thực hiện được. Ví dụ như một
học sinh lớp 11 phát hiện ra sự khác nhau giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân,
đồng thời trong lớp cũng có nhiều học sinh phát hiện ra điều này thì ta có thể
xem học sinh đó có năng lực cơ bản.
Mức độ thứ hai là tài năng. Đó là khả năng của cá nhân có thể hoàn
thành một nhiệm vụ nào đó một cách sáng tạo nhưng vẫn nằm trong khuôn
khổ hoặc không vượt quá xa những thành tựu của xã hội tại thời điểm đó. Ví
dụ một học sinh lớp 6 có thể tự giải được bài toán của học sinh lớp 9 có thể
coi là một tài năng Toán học. Kì thủ Nguyễn Ngọc Trường Sơn là tài năng về
cờ vua, các học sinh tham dự các kì thi Olympic Quốc tế cũng có thể coi là
những tài năng…
10


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho

kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi
Mức độ cao nhất của năng lực là thiên tài. Đó là một năng lực đặc biệt
mà kết quả của sự hoạt động vượt xa thành tựu của xã hội và mang ý nghĩa
lịch sử đối với loài người. Ví dụ như Niu-tơn, Anh-xtanh, Mô-za… là những
thiên tài trong lĩnh vực của họ.
1.1.3.3. Hai loại năng lực
Năng lực có thể chia thành hai loại là năng lực chung và năng lực
chuyên môn.
Năng lực chung là khả năng sử dụng các công cụ như ngôn ngữ, tri
thức, kĩ năng một cách chủ động để hoàn thành một nhiệm vụ ở một lĩnh vực
nào đó và cũng có thể hoàn thành nhiệm ở một lĩnh vực khác.
Năng lực chuyên môn là khả năng hoạt động đạt kết quả cao trong
một lĩnh vực nào đó như năng lực toán học, hội họa, âm nhạc, thể thao,
quản lí xã hội…
Hai loại năng lực này luôn tồn tại và bổ sung, hỗ trợ nhau. Năng lực
chung là tiền đề cho năng lực chuyên môn và ngược lại năng lực chuyên môn
phát triển kéo theo năng lực chung.
Do khi nói đến năng lực ta thường đặt trong một hoạt động cụ thể nào
đó nên năng lực chuyên môn thường được quan tâm hơn. Tuy nhiên chúng ta
cũng cần chú ý là không tách rời hai loại năng lực này.
1.1.3.4. Mối quan hệ giữa năng lực với kiến thức, kĩ năng, thái độ
Một năng lực là tổ hợp đo lường được các kiến thức, kĩ năng và thái độ
mà một người cần vận dụng để thực hiện một nhiệm vụ trong một bối cảnh
thực và có nhiều biến động. Để thực hiện một nhiệm vụ, một công việc có thể
đòi hỏi nhiều năng lực khác nhau. Vì năng lực được thể hiện thông qua việc
thực hiện nhiệm vụ nên người học cần chuyển hóa những kiến thức, kĩ năng,

thái độ có được vào giải quyết những tình huống mới và xảy ra trong môi
trường mới.
Như vậy, có thể nói kiến thức là cơ sở để hình thành năng lực, là nguồn
lực để người học tìm được các giải pháp tối ưu để thực hiện nhiệm vụ hoặc có
cách ứng xử phù hợp trong bối cảnh phức tạp. Khả năng đáp ứng phù hợp với
11


bối cảnh thực là đặc trưng quan trọng của năng lực, tuy nhiên, khả năng đó có
được lại dựa trên sự đồng hóa và sử dụng có cân nhắc những kiến thức, kĩ
năng cần thiết trong từng hoàn cảnh cụ thể.
Những kiến thức là cơ sở để hình thành và rèn luyện năng lực là những
kiến thức mà người học phải năng động, tự kiến tạo, huy động được. Việc
hình thành và rèn luyện năng lực được diễn ra theo hình xoáy trôn ốc, trong
đó các năng lực có trước được sử dụng để tạo kiến thức mới; và đến lượt
mình, kiến thức mới lại đặt cơ sở để hình thành những năng lực mới.
Kĩ năng theo nghĩa hẹp là những thao tác, những cách thức thực hành,
vận dụng kiến thức, kinh nghiệm đã có để thực hiện một hoạt động nào đó
trong một môi trường quen thuộc. Kĩ năng hiểu theo nghĩa rộng, bao hàm
những kiến thức, những hiểu biết và trải nghiệm, …giúp cá nhân có thể thích
ứng khi hoàn cảnh thay đổi.
Kiến thức, kĩ năng là cơ sở cần thiết để hình thành năng lực trong một
lĩnh vực hoạt động nào đó. Không thể có năng lực về Toán nếu không có kiến
thức và được thực hành, luyện tập trong những dạng bài toán khác nhau. Tuy
nhiên, nếu chỉ có kiến thức, kĩ năng trong một lĩnh vực nào đó thì chưa chắc
đã được coi là có năng lực, mà còn cần đến việc sử dụng hiệu quả các nguồn
kiến thức, kĩ năng cùng với thái độ, giá trị, trách nhiệm bản thân để thực hiện
thành công các nhiệm vụ và giải quyết các vấn đề phát sinh trong thực tiễn
khi điều kiện và bối cảnh thay đổi [19, tr. 28].
1.1.3.5. Năng lực Toán học

Theo nhiều tác giả, trong đó có Nguyễn Hữu Châu: “Năng lực Toán
học là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của kiến thức Toán trong cuộc
sống; khả năng vận dụng tư duy Toán học để giải quyết các vấn đề của thực
tiễn đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt; khả
năng phân tích, suy luận, lập luận khái quát hóa, trao đổi thông tin một
cách hiệu quả thông qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề Toán
học trong các tình huống, hoàn cảnh khác nhau…” .
12


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi
Như vậy năng lực Toán là những đặc điểm tâm lí của người học trong
hoạt động Toán học. Khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của Toán học trong
đời sống giúp họ hiểu rõ các khái niệm, các định lí và mối quan hệ giữa
chúng, tạo động cơ húng thứ trong học tập… đồng thời cũng giúp họ nhận
thức nhiệm vụ học tập môn Toán. Khả năng vận dụng giúp họ hình thành kĩ
năng, kĩ xảo. Khả năng phân tích, suy luận, lập luận, trao đổi thông tin giúp
họ hình thành và phát triển tư duy để giải quyết các tình huống không những
trong Toán học mà còn trong cuộc sống hàng ngày.
1.1.3.6. Cấu trúc của năng lực Toán học
Cũng theo Nguyễn Hữu Châu, năng lực Toán học được cấu tạo bởi
những năng lực thành phần theo sơ đồ dưới đây.
Sơ đồ 1.2. Cấu trúc của năng lực Toán học

Tư duy
và suy luận
Sử dụng
phương tiện
hỗ trợ

Sử dụng kí hiệu,
ngôn ngữ,
phép toán

Lập luận

NĂNG
LỰC
TOÁN
HỌC

Biểu diễn

Diễn đạt

Mô hình hóa

Đặt và giải
quyết vấn đề

Mỗi tổ hợp các năng lực thành phần này cấu tạo nên năng lực Toán học
của mỗi cá nhân [2].
Các năng lực thành phần trên tồn tại không tách rời nhau, chúng có mối
liên hệ mật thiết, hỗ trợ, bổ sung cho nhau và tạo thành một thể thống nhất.

13


Chẳng hạn tư duy và suy luận là tiền đề của lập luận hay diễn đạt, muốn có
năng lực giải quyết vấn đề học sinh cần phải biết mô hình hóa hay sử dụng kí
hiệu ngôn ngữ, phép toán…
A. V. Krutexki nhìn nhận năng lực Toán học dưới góc độ thu thập và
xử lí thông tin đã phân chia năng lực Toán học gồm 4 thành tố căn bản là:
a) Thu nhận thông tin Toán học. Gồm có:
Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu Toán học.
Năng lực nắm bắt cấu trúc hình thức của bài toán.
b) Năng lực chế biến thông tin Toán học. Gồm có:
Năng lực tư duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số và hình dạng không
gian, hệ thống kí hiệu số và dấu, năng lực tư duy bằng các kí hiệu Toán học.
Năng lực khái quát nhanh và rộng các đối tượng và mối quan hệ giữa
các đối tượng.
Năng lực tối ưu hóa quá trình suy luận và hệ thống các phép toán tương
ứng. Tư duy bằng cấu trúc thu gọn.
Tính linh hoạt trong quá trình tư duy.
Năng lực sửa sai lại nhanh và dễ dàng trong quá trình từ tư duy thuận
sang chiều ngược lại.
c) Năng lực lưu trữ thông tin Toán học. Gồm có:
Năng lực trí nhớ khái quát về hệ thống Toán học.
Năng lực trí nhớ về đặc điểm bài toán, phân loại bài toán.
Năng lực trí nhớ về sơ đồ suy luận chứng minh, phương pháp giải toán.
Nắm vững nguyên tắc, đường lối giải toán.
d) Khuynh hướng Toán học của trí tuệ.
Là thành phần tổng hợp khái quát [8, tr. 168].
Cũng có thể phân chia cấu trúc năng lực Toán học theo hai nhóm sau đây:
Nhóm các năng lực trí tuệ chung. Bao gồm:

Năng lực hệ thống hóa và trừu tượng hóa Toán học.
Năng lực sử dụng hệ thống tín hiệu và những cái trừu tượng.
Năng lực suy luận lôgic hợp lý, tuần tự.
14


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi
Năng lực khái quát hóa Toán học và tri giác tình huống.
Năng lực phân tích cấu trúc Toán học, tái phối hợp các yếu tố của nó.
Tính linh hoạt của quá trình tư duy.
Năng lực hệ thống hóa các thông tin Toán học.
Năng lực ghi nhớ lôgic và sử dụng nhanh chóng các thông tin đã ghi nhớ.
Năng lực diễn đạt chính xác ý nghĩa Toán học
* Tất cả những năng lực này không chỉ vận dụng đối với các đối tượng
Toán học.
Nhóm các năng lực trí tuệ đặc thù. Bao gồm:
Năng lực tưởng tượng không gian.
Năng lực biểu diễn trực quan các quan hệ phụ thuộc trừu tượng.
Năng lực tư duy sâu sắc và cặn kẽ trong các hoạt động Toán.
Năng lực trực giác Toán học.
Những năng lực theo cấu trúc ở trên mới dừng lại ở nghĩa hẹp. Trong
thực tế, năng lực cần được hiểu theo nghĩa rộng có thể bao gồm các nhóm
thành phần như cảm xúc, ý chí và thể chất [15, tr. 30].
Trong cuốn Các vấn đề giảng dạy Đại số, E. L Thorndike đã xác định

bảy thành tố của năng lực đại số gồm:
Hiểu và thiết lập các công thức.
Biểu diễn các tương quan số lượng thành hình dạng công thức.
Thiết lập các phương trình biểu diễn các quan hệ số lượng đã cho.
Giải các phương trình.
Thực hiện các phép toán biến đổi đại số đồng nhất.
Biểu diễn bằng đồ thị sự phụ thuộc hàm của hai đại lượng [16, tr. 18].
Trên đây là một số cấu trúc của năng lực Toán học. Tùy theo điều kiện,
hoàn cảnh mà chúng ta có thể sử dụng một cấu trúc nào đó để nghiên cứu.
1.1.3.7. Năng lực giải quyết vấn đề
Qua các phân tích ở trên, năng lực không mang tính chung chung mà
khi nói về năng lực ta thường nói đến năng lực thuộc một hoạt động cụ thể
15


nào đó. Chẳng hạn năng lực học tập, nghiên cứu Toán học, năng lực biểu
diễn, diễn đạt…
Từ những nghiên cứu trên, chúng tôi đề xuất rằng: Năng lực giải quyết
vấn đề là một bộ phận của năng lực Toán học, là một tổ hợp các đặc điểm tâm
lí thể hiện ở việc sử dụng tri thức, kĩ năng, kinh nghiệm, tư duy và các hoạt
động khác nhằm giải quyết mâu thuẫn nhận thức.
Cũng có thể hiểu năng lực giải quyết vấn đề là khả năng vận dụng kiến
thức, kĩ năng, kinh nghiệm để giải quyết một vấn đề trong học tập cũng như
trong thực tiễn.
Vì giải quyết vấn đề là một quá trình từ phát hiện, khám phá, đề ra
chiến lược giải, giải và kiểm tra, đánh giá, nhìn lại, mở rộng bài toán nên năng
lực giải quyết vấn đề cũng có những năng lực thành phần tương ứng. Chúng
tôi xin đưa ra các nhóm năng lực sau:
a) Nhóm năng lực phát hiện và khám phá vấn đề. Gồm có:
+ Năng lực phát hiện mâu thuẫn, nhận ra dấu hiệu bản chất tình huống,

nhận ra mối quan hệ về mặt Toán học của các đối tượng.
+ Năng lực Toán học hóa tình huống bằng ngôn ngữ, kí hiệu Toán học.
+ Năng lực liên tưởng đến một sự vật, hiện tượng nào đó có liên quan
đến vấn đề mà mình đang tìm cách giải quyết.
+ Năng lực chuyển đổi các mối quan hệ giữa các đối tượng trong giả
thiết và kết luận sang các mối quan hệ Toán học và các phép toán.
b) Nhóm năng lực giải quyết bài toán đã được mô hình hóa Toán học.
Gồm có:
+ Năng lực sử dụng ngôn ngữ, kí hiệu, hình vẽ.
+ Năng lực suy luận có lí và chứng minh.
+ Năng lực tính toán.
+ Năng lực hệ thống hóa vấn đề.
c) Nhóm năng lực kiểm tra, đánh giá quá trình giải quyết vấn đề. Gồm có:
+ Năng lực phát hiện sai lầm.
+ Năng lực sửa chữa sai lầm.
16