TÌM HIỂU NỘI DUNG PHÉP QUAY TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÁI NGUYÊN
KHOA TOÁN
------

BÀI TIỂU LUẬN
Chủ đề 3:

TÌM HIỂU NỘI DUNG PHÉP QUAY TRONG
CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG

GVHD:

TS. Trần Việt Cường

Học phần:

Dạy học hình học

Lớp:

NO2

Nhóm SV thực hiện: 1. Bùi Thúy Hiền
2. Đoàn Thị Hoa
3. Nguyễn Thị Liên
4. Dương Lan Phương
5. Nguyễn Thị Ngọc Tú

Thái Nguyên, tháng 10, năm 2018

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 3
NỘI DUNG ........................................................................................................... 5
I. KIẾN THỨC VỀ PHÉP QUAY Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG ...................................... 5
1. Định nghĩa ................................................................................................ 5
2. Tính chất của phép quay .......................................................................... 5
3. Biểu thức tọa độ của phép quay .............................................................. 6
II. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP QUAY TRONG TRƯỜNG PHỔ THÔNG ................... 8
1. Dạng 1: Xác định ảnh của một hình qua phép quay ............................. 8
2. Dạng 2: Sử dụng phép quay để giải bài toán dựng hình ..................... 12
3. Dạng 3: Sử dụng phép quay để giải các bài toán tập hợp điểm .......... 16
4. Dạng 4: Sử dụng phép quay để giải bài toán hình ............................... 19
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 22

Trang 2


MỞ ĐẦU
Hình học là môn khoa học suy diễn, đòi hỏi người đọc phải có sự tư duy khả
năng tưởng tượng tốt. Cách đây khoảng mười hai năm về trước thì các phép biến
hình chưa có trong môn toán ở trường học phổ thông. Đến khoản năm 2000 thì
các phép biến hình được đưa vào môn toán trong phổ thông. Trong chương trình
dạy và học toán ở phổ thông, phép biến hình, và các phép dời hình trong mặt
phẳng thường được lựa chọn để giải nhiều dạng toán khác nhau. Hiện nay, nội
dung phép biến hình trong hình học phẳng và trong hình không gian chiếm tỉ trọng
không nhỏ của nội dung môn toán và nội dung phép biến hình trong mặt phẳng
được đưa vào chương trình Hình học 11. Bên cạnh đó, các tài liệu tham khảo về
phép biến hình không nêu rõ phương pháp ứng dụng chúng để giải toán. Do đó,
học sinh chưa hiểu rõ và không vận dụng được một cách có hiệu quả.

Phép biến hình nói chung và phép quay nói riêng có vai trò hết sức quan
trọng trong nội bộ môn toán cũng như trong tri thức khoa học. Có vai trò là công
cụ giải toán ở rường phổ thông. Nội dung của phép quay có liên hệ mật thiết với
nhiều dạng hoạt động trong đó tập trung vào các hoạt động toán học và hoạt động
trí tuệ cho học sinh. Nếu giáo viên thiết kế và tổ chức dạy học nội dung phép quay
theo hướng tăng cường hoạt động học tập của học sinh thì chất lượng dạy và học
nội dung phép quay được nâng lên và có nhiều cơ hội để bồi dưỡng năng lực trí
tuệ cho học sinh.
Việc ứng dụng phép quay vào việc giải toán ở trường phổ thông có một ý
nghĩa quan trọng:
• Nó giúp học sinh rèn luyện kĩ năng, thao tác tư duy, phương pháp suy luận
và khả năng sáng tạo, từ đó liên hệ các phép biến hình trong giải toán hình học
với các phương pháp sử dụng ở cấp trung học phổ thông.

Trang 3


• Việc lựa chọn các công cụ thích hợp cho mỗi loại bài toán là một việc làm
cần thiết, giúp tiết kiệm thời gian và công sức để giải toán một cách tối ưu nhất.
Đồng thời, nó cũng giúp cho giáo viên tự nâng cao trình độ chuyên môn của mình.
Bài tiểu luận nhóm này chúng em sẽ tập trung nghiên cứu sâu về nội dung,
các bài toán và ứng dụng của phép quay vào việc giải toán hình học cấp trung học
phổ thông.

Trang 4


NỘI DUNG
I. Kiến thức về phép quay ở trường phổ thông
1. Định nghĩa

Cho điểm 𝑂 và góc lượng giác α. Phép biến hình biến
𝑂 thì chính nó, biến mỗi điểm M khác 𝑂 thành điểm 𝑀’
sao cho 𝑂𝑀′ = 𝑂𝑀 và góc lượng giác (𝑂𝑀; 𝑂𝑀′ ) bằng
𝛼 được gọi là phép quay tâm O góc 𝛼.
Phép quay tâm 𝑂 góc 𝛼 thường được kí hiệu là 𝑄(𝑂,𝛼) .
Điểm 𝑂 được gọi là tâm quay, 𝛼 được gọi là góc quay.
𝑂𝑀′ = 𝑂𝑀
𝑄(𝑂,𝛼) (𝑀) = 𝑀′  {
(𝑂𝑀, 𝑂𝑀′ ) = 𝛼
* Nhận xét:
 Phép quay hoàn toàn xác định khi biết tâm quay (điểm cố định) và góc quay
(góc không đổi)
 Chiều dương của phép quay trùng với chiều dương của đường tròn lượng giác.
 Phép quay tâm 𝑂 góc quay 𝛼 = (2𝑘 + 1)𝜋 với 𝑘 nguyên, chính là phép đối
xứng tâm 𝑂.
 Phép quay tâm 𝑂 góc quay 𝛼 = 2𝑘𝜋 với 𝑘 nguyên, chính là phép đồng nhất.
2. Tính chất của phép quay
 Định lí: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì (Phép quay
là phép dời hình).
 Hệ quả:
+ Biến một đường thẳng thành đường thẳng;
+ Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng đã cho;
Trang 5


+ Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho;
+ Biến một đường trong thành đường tròn có cùng bán kính.
 Chú ý: Giả sử phép quay tâm I góc 𝛼 biến
đường thẳng 𝑑 thành đường thẳng 𝑑′. Khi đó
- Nếu 0 < 𝛼 ≤

- Nếu

𝜋
2

𝜋
2

thì góc giữa 𝑑 và 𝑑′ bằng 𝛼;

< 𝛼 < 𝜋 thì góc giữa 𝑑 và 𝑑 ′ bằng

𝜋 − 𝛼.
3. Biểu thức tọa độ của phép quay
 Trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦, cho điểm
𝑀(𝑥; 𝑦) và góc lương giác 𝜑:
-

Đặt

𝑂𝑀 = 𝑟

và

góc

lượng

giác

(𝑂𝑥; 𝑂𝑀) = 𝛼
𝑥 = 𝑟 cos 𝛼
Khi đó tọa độ điểm 𝑀(𝑥; 𝑦): { 𝑦 = 𝑟 sin 𝛼
- Giả sử 𝑀′ (𝑥 ′ ; 𝑦 ′ ) = 𝑄(𝑂;𝜑) (𝑀)
{

𝑂𝑀′ = 𝑟
(𝑂𝑥, 𝑂𝑀′ ) = 𝛼 + 𝜑

𝑥′ = 𝑟 cos(𝛼 + 𝜑)
Khi đó tọa độ điểm 𝑀′(𝑥′; 𝑦′): {
𝑦′ = 𝑟 sin(𝛼 + 𝜑)
𝑥 ′ = 𝑟(cos 𝛼 cos 𝜑 − sin 𝛼 sin 𝜑) = 𝑥 cos 𝜑 − 𝑦 sin 𝜑
𝑦 ′ = 𝑟(sin 𝛼 cos 𝜑 + cos 𝛼 sin 𝜑) = 𝑥 sin 𝜑 + 𝑦 cos 𝜑

{

Vậy trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦, phép quay tâm 𝑂(0; 0) góc quay 𝜑 biến điểm
𝑀(𝑥; 𝑦) thành điểm 𝑀′(𝑥 ′ ; 𝑦 ′ ) có biểu thức tọa độ là:
𝑥 ′ = 𝑥 cos 𝜑 − 𝑦 sin 𝜑
𝑦 ′ = 𝑥 sin 𝜑 + 𝑦 cos 𝜑
Trang 6


 Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, phép quay tâm 𝐼(𝑎; 𝑏) góc quay 𝜑 biến điểm 𝑀(𝑥; 𝑦)
thành điểm 𝑀′(𝑥 ′ ; 𝑦 ′ ) có biểu thức tọa độ là:
𝑥 ′ = 𝑎 + (𝑥 − 𝑎) cos 𝜑 − (𝑦 − 𝑏) sin 𝜑
𝑦 ′ = 𝑏 + (𝑥 − 𝑎) sin 𝜑 + (𝑦 − 𝑏) cos 𝜑

 Các trường hợp đặc biệt của phép quay tâm O góc quay 𝜑:

Góc quay 𝝋

Tọa độ điểm 𝑴′(𝒙′ ; 𝒚′ )

Ghi chú

90

 x '  x cos90  y sin 90
x '   y


 y '  x sin 90  y sin 90
y'  x

OM '  OM

90

 x '  x cos(90)  y sin(90)
x '  y


 y '  x sin( 90)  y sin( 90)
 y '  x

OM '  OM

0

 x '  x cos 0  y sin 0
x '  x


 y '  x sin 0  y sin 0
y'  y

Phép đồng nhất

180

 x '  x cos180  y sin180
x '  x


 y '  x sin180  y sin180
y'  y

Phép đối xứng tâm O

- 180

 x '  x cos(180)  y sin(180)
x '  x


 y '  x sin(180)  y sin(180)
y'  y

Phép đối xứng tâm O

Trang 7


II. Các dạng toán về phép quay trong trường phổ thông
1. Dạng 1: Xác định ảnh của một hình qua phép quay
a. Phương pháp
Sử dụng định nghĩa, biểu thức tọa độ và các tính chất của phép quay.
b. Bài tập vận dụng
Bài toán 1: Cho hình vuông ABCD tâm O. Tìm ảnh của đường thẳng BC qua
phép quay tâm O góc 900.
Lời giải
Ta có:
OD = OC và góc(OC,OD) = 90o
OC = OB và góc(OB,OC) = 90o
Khi đó phép quay 𝑄(𝑂,90°) biến điểm C thành
điểm D, biến điểm B thành điểm C
Vậy ảnh của đường thẳng BC qua phép quay
𝑄(𝑂,90°) là đường thẳng CD.
Bài tập 2: Cho hình vuông 𝐴𝐵𝐶𝐷 tâm 𝑂. 𝑀 là trung điểm của 𝐴𝐵, 𝑁 là trung
điểm của 𝑂𝐴. Tìm ảnh của tam giác 𝐴𝑀𝑁 qua phép quay tâm 𝑂 góc quay 90°.
Lời giải:
Phép quay tâm O góc quay 90o biến A thành D ,
biến M thành M ' là trung điểm của AD , biến N
thành N ' là trung điểm của OD .
Do đó nó biến tam giác AMN thành tam giác
DM ' N ' .

Trang 8

Bài tập 3: Tìm ảnh của điểm 𝐴(3; −2) qua phép quay tâm 𝑂 là gốc tọa độ,
góc quay là

4

Lời giải
Gọi 𝐴′(𝑥 ′ ; 𝑦 ′ ) là ảnh của điểm A qua phép quay 𝑄(𝑂;𝜋) . Khi đó ta có:
4

x ' x cos

y sin

x ' 3 cos

y ' x sin

y cos

y ' 3 sin

x ' 3.

2
2.
2

y ' 3.

2
2

Vậy 𝐴′ có tọa độ là

2
2

x'

2
2

y'

2
;
2

5 2
.
2

2.

4
4

( 2) sin
( 2) cos

4
4

2
2
5 2
2

Bài tập 4 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình: 2𝑥 −
3𝑦 + 6 = 0 . Viết phương trình đường thẳng 𝑑′ là ảnh của đường thẳng 𝑑 qua
phép quay tâm O góc quay

90o .

Phương pháp:
1. Dựa vào biểu thức tọa độ của phép quay.
2. Lấy 2 điểm thuộc đường thẳng 𝑑 , tìm ảnh của 2 điểm này qua phép quay
và viết phương trình đưởng thẳng đi qua 2 điểm này.
Lời giải
 Cách 1:

Trang 9


- Gọi 𝑀(𝑥; 𝑦) là điểm bất kì thuộc đường thẳng 𝑑. 𝑀′(𝑥 ′ ; 𝑦 ′ ) là ảnh của điểm
𝑀 qua phép quay tâm 𝑂 góc quay−90°. Khi đó 𝑀′ sẽ thuộc đường thẳng 𝑑′.
Theo biểu thức tọa độ của phép quay tâm O góc quay −90° ta có:

x'

x cos

y sin

x'

x cos( 90o )

y sin( 90o )

y'

x sin

y cos

y'

x sin( 90o )

y cos( 90o )

x'

y

y'

x

x

y'

y

x'

Thay 𝑥 = −𝑦 và 𝑦 = 𝑥 vào phương trình đường thẳng 𝑑 ta được:
2( y ') 3 x ' 6

0

3x ' 2 y ' 6

0

Vậy phương trình đường thẳng 𝑑′ là : 3x

2y

6

0

 Cách 2:
- Bước 1: Lấy 2 điểm bất kì 𝑀 và 𝑁 thuộc đường thẳng 𝑑 có tọa độ là 𝑀(0; 2)
và 𝑁(−3; 0).
- Bước 2: Tìm ảnh của hai điểm 𝑀 và 𝑁 qua phép quay tâm 𝑂 góc quay −90°.
Giả sử là 𝑀′(𝑥1 ; 𝑦1 ) và 𝑁′(𝑥2 ; 𝑦2 ).

Tọa độ của điểm 𝑀′ là :

x1

0 cos( 90o ) 2 sin( 90o )

x1

2

y1

0 sin( 90o )

y1

0

2 cos( 90o )

Vậy tọa độ của 𝑀′ là (2; 0)
Tượng tự ta có 𝑁′ có tọa độ là (0; 3).
- Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d ' đi qua hai điểm M ' và N '
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−2; 3)
Ta có vecto 𝑀′𝑁′
Vecto pháp tuyến của đường thẳng 𝑑′ là 𝑛⃗ = (3; 2)

Trang 10

Đường thẳng 𝑑 có phương trình là : 3(𝑥 − 2) + 2(𝑦 − 0) = 0

3𝑥 + 2𝑦 −

6=0
Vậy phương trình đường thẳng 𝑑′ là 3𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0
Bài tập 5: Cho 𝐼(2; 1) và đường thẳng 𝑑: 2𝑥 + 3𝑦 + 4 = 0. Tìm ảnh của 𝑑
qua 𝑄(𝐼;45°)
Lời giải
Lấy hai điểm 𝑀(−2; 0) và 𝑁(1; −2) thuộc 𝑑.
Gọi 𝑀′(𝑥1 ; 𝑦1 ) và 𝑁′(𝑥2 ; 𝑦2 ) là ảnh của 𝑀, 𝑁 qua phép quay 𝑄(𝐼;45°)
Theo biểu thức tọa độ của phép quay ta có:
o

x1

2

( 2

2) cos 45

y2

1

( 2

2)sin 45o

3 2
;1
2

Vậy M '(2
M 'N '

(0 1)sin 45

o

(0 1) cos 45o

x1

2

y1

1

5 2
) . Tượng tự ta có N '(2
2

3 2
2
5 2
2
2;1

2 2) . Suy ra

5 2 2
;
2
2

Gọi 𝑑 ′ = 𝑄(𝐼;45°) (𝑑) thì 𝑑′ có vecto chỉ phương là 𝑢
⃗ = (5; 1). Do đo ta có
vecto pháp tuyến 𝑛⃗ = (−1; 5).
Khi đó đường thẳng 𝑑′ có phương trình là :
x

2

2

5 y 1 2 2

0

x

5y

10 2

Vậy ảnh của đường thẳng d là d ' : x 5 y 10 2 3

3

0

0

Trang 11


2. Dạng 2: Sử dụng phép quay để giải bài toán dựng hình
a. Phương pháp
Để dựng một điểm M ta tìm cách xác định nó như là ảnh của một điểm đã biết
qua một phép quay, hoặc xem M như là giao của một đường cố định với ảnh của
một đường đã biết qua một phép quay.
b. Bài tập vận dụng
Bài toán 1: Cho điểm 𝐴 và hai đường thẳng 𝑑1 ; 𝑑2
Dựng tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông cân tại 𝐴 sao cho 𝐵 ∈ 𝑑1 , 𝐶 ∈ 𝑑2 .
Lời giải:
Phân tích:
Giả sử đã dựng được tam giác 𝐴𝐵𝐶
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
̂
Ta có thể giả sử: (𝐴𝐵,
𝐴𝐶) = 90°
Khi đó Q (A;− 900) (𝐶) = 𝐵,
mà 𝐶 ∈ 𝑑2 nên 𝐵 ∈ 𝑑2′ với d′2 = Q (A;− 900) (𝑑2 ).
Ta lại có B ∈ d1 nên B= d1∩ d′2 .
Dựng hình:
- Dựng đường thẳng d′2 là ảnh của d2 qua Q (A;− 900) .
- Dựng giao điểm B= d1∩ d′2 .

- Dựng đường thẳng qua A vuông góc với AB cắt d2 tại C.
Suy ra tam giác ABC là tam giác cần dựng.
Chứng minh:

Trang 12


̂ = 900. Do đó tam
Từ cách dựng suy ra Q (A; 900 ) (𝐵) = 𝐶 nên 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 và 𝐵𝐴𝐶
giác ABC vuông cân tại A.
Biện luận:
- Nếu d1,d2 không vuông góc thì có một nghiệm hình.
- Nếu d1⏊d2 và A nằm trên đường phân giác của một trong các góc tạo bởi d1,d2
thì có vô số nghiệm hình.
- Nếu d1⏊d2 và A không nằm trên đường phân giác của một trong các góc tạo
bởi d1, d2 thì bài toán vô nghiệm hình.

Bài toán 2: Cho tam giác ABC có (𝐴𝐵,̂
𝐴𝐶) = 𝛼 ( 00< 𝛼< 900) và một điểm M
nằm trên cạnh AB. Dựng trên các đường thẳng CB, CA các điểm N,P sao cho
𝑀𝑁 = 𝑀𝑃 và đường tròn (𝐴𝑀𝑃) tiếp xúc với MN.
Lời giải:
Phân tích:
Giả sử đã dựng được các điểm 𝑁, 𝑃 sao cho 𝑁 ∈
𝐵𝐶, 𝑃 ∈ 𝐴𝐶 sao cho 𝑀𝑁 = 𝑀𝑃 và đường tròn
( 𝐴𝑀𝑃) tiếp xúc với 𝑀𝑁. Khi đó do MN tiếp xúc với
̂ = 𝐴̂ = 𝛼. Từ đó ta có
đường tròn (𝐴𝑀𝑃) nên 𝑃𝑀𝑁
(MP,̂
MN) =− α.

Ta lại có 𝑀𝑃 = 𝑀𝑁 nên 𝑄(𝑀; −𝛼) (𝑃) = 𝑁.
Giả sử: 𝑂 = 𝑄(𝑀; −𝛼) (𝐴) và 𝐼 = 𝑂𝑁 ∩ 𝐴𝐶.
̂ = (ON,̂
̂ = BAC
̂ suy ra
Theo tính chất phép quay ta có: NIC
AP) = α. Do đó NIC
𝐼𝑁//𝐴𝐵.
Dựng hình:
- Dựng điểm : 𝑂 = 𝑄(𝑀; −𝛼) (𝐴).
Trang 13


- Dựng đường thẳng qua O song song với AB cắt BC tại N.
̂ = α.
- Dựng tia MP cắt AC tại P sao cho NMP
Như vậy các điểm N,P là các điểm cần dựng.
Chứng minh:
̂ =MON
̂ = α. Suy ra PMN
̂ = α. Khi đó đường tròn
̂ = MAP
Vì 𝑂𝑁//𝐴𝐵 nên AMO
(AMN) tiếp xúc với MN.
Ta có 𝑄(𝑀; −𝛼) : 𝑀𝑃 → 𝑀𝑁 nên 𝑀𝑃 = 𝑀𝑁.
Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình duy nhất.
Bài tập 3. Cho hai đường thẳng song song a và b. Với một điểm C không nằm
trên hai đường thẳng đó, hãy tìm trên a,b lần lượt hai điểm A, B sao cho ABC là
tam giác đểu.
Lời giải.

Giả sử ta đã dựng được tam giác đều ABC thỏa mãn các điều kiện của bài toán.
+ Với phép quay 𝑄(𝐶;𝜋) ta có điểm A biến thành điểm B, khi đó đường thẳng
3

𝑎 biến thành đường thẳng 𝑎′ cũng đi qua B.

Từ đó ta suy ra các dựng sau đây:

Trang 14


- Dựng đường thẳng 𝑎′ là ảnh của 𝑎 qua phép quay 𝑄(𝐶;𝜋) bằng cách kẻ 𝐶𝐻 ⊥
3

𝑎 tại H, tìm ảnh 𝐻′ của 𝐻 qua phép quay đó rỗi vẽ 𝑎′ ⊥ 𝐶𝐻′ tại 𝐻′.
- Gọi B là giao điểm của 𝑎′ với 𝑏 và lấy điểm A là tạo ảnh của B trong phép
quay nới trên ta có A nằm trên a. Ta sẽ chứng minh được 𝐴𝐵𝐶 là tam giác đều
cần dựng.
+ Với phép quay 𝑄(𝐶;−𝜋) ta có thêm một vị trí mới của tam giác ABC cần dựng.
3

Hai tam giác này đối xứng với nhau qua trục CH.
Chú ý: Nếu hai đường thẳng a,b cho trước cắt nhau và điểm C không nằm trên
hai đường thẳng đó, ta cũng có bài toán tương tự như bài toán trên đây (Có thể
xảy ra trường hợp đường thẳng 𝑎′ không cắt 𝑏 (𝑎′ ∥ 𝑏), khi đó bài toán không có
lời giải.)
̂ = 𝛼 và một điểm m thuộc miền
Bài tập 4. Cho một góc nhọn định hướng 𝑦𝑂𝑥
trong của góc đó. Hãy dững đường tròn tâm M cắ các cạnh Ox, Oy theo các dây
AB và CD sao cho 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝑚 cho trước.

Lời giải.
⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗
Phân tích: Gọi 𝛼 = (𝑂𝑦
𝑂𝑥 ). Giả sử ta đã dựng được đường tròn tâm M cắt
Ox và Oy thao các dây AB và CD thỏa mãn điều kiện 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝑚.
Ta quay dây CD trong phép quay tâm M với góc quay 𝛼 ta sẽ có vị trí mới của
CD và 𝐶′𝐷′ ∥ 𝐴𝐵.
Do đó đoạn thẳng nối trung điểm của đoạn 𝐴𝐶′ và đoạn 𝐵𝐷′ là 𝑃𝑄 =
𝑚
2

𝐴𝐵+𝐶𝐷
2

=

. Đường thẳng 𝑃𝑄 cắt đường trung trực của đoạn 𝐴𝐵 và 𝐶’𝐷’ là 𝐻′𝐼 tại R là trung

điểm của đoạn 𝑃𝑄. Ta có 𝑅𝑃 = 𝑅𝑄 =

𝑃𝑄
2

𝑚

= .
4

Trang 15

Dựng hình:
- Quay cạnh Oy một góc 𝛼 với phép quay tâm M góc quay 𝛼, đườngt hằng này
song song với 𝑂𝑥.
- Vẽ qua M đường thẳng vuông góc với Ox tại H và dường thằng song song với
Ox.
- Từ trung điểm R của đoạn 𝐻𝐼′ ta vẽ đường thẳng song song với 𝑂𝑥 và trên
𝑚

đường thẳng này về hai phía của R ta lấy 𝑅𝑃 = 𝑅𝑄 = . Từ Q vẽ đường vuông
4

góc với MQ tại Q, đường này cắt Ox tại B.
- Vẽ đường tròn bán kính MB tâm M ta được đường tròn cần dựng thỏa mãn
các yêu cầu của bài toán.
3. Dạng 3: Sử dụng phép quay để giải các bài toán tập hợp điểm (Bài toán
quỹ tích)
a. Phương pháp
Xem cần điểm cần dựng là giao của một đường thẳng có sẵn và ảnh của một
đường khác qua phép quay Q (I; α) nào đó.
Để tìm tập hợp điểm M ′ ta đi tìm tập hợp điểm M mà Q (I; α) nào đó biến điểm
M thành điểm M ′ , khi đó nếu 𝑀 ∈ (𝐻) thì 𝑀′ ∈ (𝐻′ ) = 𝑄(𝐼; 𝛼) (𝐻).

Trang 16


b. Bài tập vận dụng
Bài toán 1: Cho đường thẳng 𝑑 và một điểm 𝐺 không nằm trên 𝑑. Với mỗi
điểm 𝐴 nằm trên 𝑑 ta dựng tam giác đều 𝐴𝐵𝐶 có tâm 𝐺. Tìm quỹ tích các điểm
𝐵, 𝐶 khi 𝐴 di động trên 𝑑.

Lời giải:
Do tam giác 𝐴𝐵𝐶 đều và có tâm 𝐺 nên phép
quay tâm 𝐺 góc quay 1200 biến 𝐴 thành 𝐵 hoặc C
và phép quay tâm 𝐺 góc quay 2400 biến 𝐴 thành 𝐵
hoặc 𝐶 .
Mà 𝐴 ∈ 𝑑 nên 𝐵, 𝐶 thuộc các đường thẳng là
ảnh của d trong hai phép quay nói trên.
Vậy quỹ tích các điểm B,C là các đường thẳng
ảnh của d trong hai phép quay tâm G góc quay 1200 và 2400.

Bài toán 2: Cho tam giác đều 𝐴𝐵𝐶. Tìm tập hợp điểm 𝑀 nằm trong tam giác 𝐴𝐵𝐶
sao cho 𝑀𝐴2 + 𝑀𝐵2 = 𝑀𝐶 2 .
Lời giải:
+) Xét phép quay Q (B; −600) thì A biến thành C, giả sử điểm M biến thành M ′ .
Khi đó 𝑀𝐴 = 𝑀′ 𝐶; 𝑀𝐵 = 𝑀 𝑀′nên
𝑀𝐴2 + 𝑀𝐵2 = 𝑀𝐶 2 𝑀′ 𝐶 2 + 𝑀𝑀 ′2 = 𝑀𝐶 2
′ C = 150°.
̂
do đó tam giác 𝑀’𝑀𝐶 vuông tại 𝑀’ suy ra BM

Lại có 𝐴𝑀 = 𝐶𝑀’; 𝐵𝑀 = 𝐵𝑀’ 𝑣à 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶
Suy ra 𝛥𝐴𝑀𝐵 = 𝛥𝐶𝑀’𝐵 (𝑐 − 𝑐 − 𝑐)
′ 𝐵 = 150°.
̂ = 𝐶𝑀
̂
Do đó 𝐴𝑀𝐵

Trang 17

Vậy M thuộc cung chứa góc 1500 với dây cung AB nằm trong tam giác ABC.
̂ = 1500
+) Đảo lại lấy điểm M thuộc cung 𝐴𝐵
trong tam giác ABC, gọi M ′ = Q (B; −600 ) (M).
′ B nên CM
′ B= 1500.
̂ → CM
̂
̂
Do Q (B; −600 ) : AMB
′ M= 600
̂
Mặt khác tam giác BMM’ đều nên BM
′ M= 1500 -600 =900 vì vậy Δ M’MC vuông
̂
=> CM

tại M ′ .
 M ′ B 2 + M ′ C 2 = MC 2
Mà 𝑀𝐴 = 𝑀′ 𝐶 ; 𝑀𝐵 = 𝑀𝑀′ => MA2 + MB 2 = MC 2 .
Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là cung AB= 1500 trong tam giác
ABC nhận AB làm dây cung.
Bài tập 3. Cho một điểm M chuyển động trên một nữa đường tròn tâm O bán
kính 𝐴𝐵 = 2𝑅. Dựng ra ngoài tam giác 𝐴𝑀𝐵 một hình vuông 𝑀𝐵𝐶𝐷. Hãy tìm
quỹ tính của đỉnh C khi M vạch ra nửa đường tròn trên.
Trên tia 𝐵𝑥 vuông góc với AB tại B và nằm cùng phía với nửa đường tròn, ta
lấy điểm 𝑂′ sao cho 𝐵𝑂′ = 𝐵𝑂. Chứng minh 𝑂𝑀 ⊥ 𝑂′𝐶.
Lời giải.
𝜋
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗

Theo giải thiết ta có 𝐵𝑀 = 𝐵𝐶 và (𝐵𝑀
𝐵𝐶 ) = − + 2𝑘𝜋.
2

𝜋

Với phép quay tâm B góc quay 𝛼 = − ta có C là ảnh của M. Do đó khi diểm
2

M vạch nửa đường tròn đường kính 𝐴′𝐵 với 𝐴′ là ảnh của A trong phép quay
𝑄(𝐵;−𝜋) nói trên. Ta chứng minh được đó là quỹ tích cần tìm.
2

Trang 18


Nửa đường tròn này là ảnh của nửa đường tròn đường kính AB đã cho qua phép
quay 𝑄(𝐵;−𝜋) . Qua phép quay 𝑄(𝐵;−𝜋) điểm M biến thành điểm C, điểm O biến
2

2

thành 𝑂′ nên ta suy ra 𝑂𝑀 ⊥ 𝑂′𝐶′.
4. Dạng 4: Sử dụng phép quay để giải bài toán hình
a. Phương pháp
Chọn tâm quay và góc quay thích hợp rồi sử dụng tính chất của phép quay.
b. Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Cho 2 điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶, điểm 𝐵 nằm giữa hai điểm 𝐴 và 𝐶. Dựng về một
phía của đường thẳng AC các tam giác đều 𝐴𝐵𝐸 và 𝐵𝐶𝐹.
a) Chứng minh rằng 𝐴𝐹 = 𝐴𝐶 và góc giữa hai đường thẳng 𝐴𝐹 và 𝐸𝐶 bằng

60°.
b) Gọi 𝑀 và 𝑁 lần lượt là trung điểm của 𝐴𝐹 và 𝐸𝐶, chứng minh tam giác 𝐵𝑀𝑁
đều.
Lời giải
a) Gọi 𝑄(𝐵;60°) là phép quay tâm 𝐵 góc quay 60°. 𝑄(𝐵;60°) biến các điểm 𝐸, 𝐶
lần lượt thành các điểm 𝐴, 𝐹 nên nó biến đoạn thẳng 𝐸𝐶 thành đoạn thẳng 𝐴𝐹.
Do dó 𝐴𝐹 = 𝐸𝐶 và góc giữa hai đường thẳng 𝐴𝐹 và 𝐸𝐶 bằng 60°.
Trang 19


b) Phép quay 𝑄(𝐵;60°) cũng biến trung điểm 𝑁 của 𝐸𝐶 thành trung điểm 𝑀 của
̂
𝐴𝐹 nên 𝐵𝑁 = 𝐵𝑀 và (𝐵𝑁,
𝐵𝑀) = 60°.

Bài tập 2: Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶. Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông
𝐵𝐶𝐼𝐽, 𝐴𝐶𝑀𝑁, 𝐴𝐵𝐸𝐹 và gọi 𝑂, 𝑃, 𝑄 lần lượt là tâm đối xứng của chúng.
a) Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh rằng DOP là tam giác vuoog cân
đỉnh D.
b) Chứng minh AO vuông góc với PQ và 𝐴𝑂 = 𝑃𝑄.
Lời giải.
a) Phép quay tâm C góc 90° biến MB thành AI. Do đó MB bằng và vuông góc
với AI. DP song song và bằng nửa BM, DO song song và bằng nửa AI. Từ đó suy
ra DP bằng và vuông góc với DO.

Trang 20


b) Từ câu a) suy ra phép quay tâm D, góc 90ο biến O thành P, biến A thành Q.
Do đó OA bằng và vuông góc với PQ.

Bài tập 3. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, AC ta dựng ra phía ngoài các
hình vuông ABMN và ACPQ
a) Chứng minh 𝑁𝐶 ⊥ 𝐵𝑄 và 𝑁𝐶 = 𝐵𝑄
b) Gọi 𝑀′ là trung điểm của 𝐵𝐶, chứng minh 𝐴𝑀′ ⊥ 𝑄𝑁 và 𝐴𝑀′ =

𝐵𝑄
2

.

Lời giải.
a) Với phép quay 𝑄(𝐴;𝜋) ta biến điểm N thành điểm B, điểm C thành điểm Q.
2

Do đó đường thẳng NC biến thành đường thẳng BQ.

Gọi 𝐵1 là điểm đối xứng với B qua tâm A ta có 𝐴𝑀′ ∥ 𝐵1 𝐶 (Do 𝐴𝑀′ là đường
trung bình của tam giác 𝐵𝐶𝐵1 ). Qua phép quay 𝑄(𝐴;𝜋) biến điểm C thành điểm Q
2

và điểm 𝐵1 thành điểm N. Do đó đường thẳng 𝐶𝐵1 ⊥ 𝑄𝑁 và 𝐴𝑀′ ⊥ 𝑄𝑁.
Vì 𝑁𝐶 = 𝐶𝐵1 mà 𝑁𝐶 = 𝐵𝑄 nên 𝐶𝐵1 = 𝐵𝑄. Vì 𝐴𝑀′ =

𝐶𝐵1
2

nên 𝐴𝑀′ =

𝐵𝑄
2

.

Trang 21


KẾT LUẬN
Qua bài tiểu luận nhóm đã thu được một số kết quả sau:
- Biết cách xác định một hình qua phép quay dựa vào định nghĩa, tính chất và
biểu thức tọa độ của phép quay
- Sử dụng phép quay để giải các bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích, giải các
bài toán hình học.
Phép quay là một trong những phép biến hình cơ bản được vận dụng linh hoạt
trong việc giải các bài toán dựng hình, bài toán chứng minh, bài toán quỹ
tích,…Tuy nhiên việc vận dụng phép quay vào giải toán không phải là điều dễ
dàng, vì vậy nhóm đã đưa ra một số phương pháp giúp học sinh vận dụng phép
quay tốt hơn trong việc giải toán và qua đó thấy được ứng dụng của phép quay
trong bộ môn toán cũng như trong thực tiễn….
Bài tiểu luận còn nhiều thiếu sót mong thầy và các bạn có thêm ý kiến đóng
góp và bổ sung để bài tiểu luận của nhóm được hoàn thiện hơn.

Trang 22


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan
Văn Viện, Hình học 11, NXB Giáo dục 2014.
[2] Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Bài tập Hình học 11, NXB
Giáo dục 2014.
[3] Nguyễn Mông Hy, Các phép biến hình trong mặt phẳng, NXB Giáo dục 2004.

[4] />
Trang 23