KHAI THÁC MỐI LIÊN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ THỰC TIỄN KHI DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH


PHẠM ĐÌNH LINH GIANG

KHAI THÁC MỐI LIÊN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ
THỰC TIỄN KHI DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP
TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGHỆ AN - 2014


2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH


PHẠM ĐÌNH LINH GIANG

KHAI THÁC MỐI LIÊN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ
THỰC TIỄN KHI DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP
TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học

TS. NGUYỄN CHIẾN THẮNG

NGHỆ AN - 2014


3

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn
TS.NGUYỄN CHIẾN THẮNG đã giúp đỡ và hướng dẫn tận tình để tôi
hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn: Phòng Đào tạo sau đại học Trường
Đại Học Vinh và các Thầy Cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học 20
chuyên ngành Lý luận và PPDH Bộ môn Toán.
Cảm ơn gia đình, bạn bè và trường THPT Giồng Ông Tố đã giúp đỡ,
động viên tôi trong quá trình học tập.
Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không thể tránh khỏi những
thiếu sót, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý Thầy Cô và
bạn đọc.
Nghệ An, tháng 4 năm 2014
Tác giả

Phạm Đình Linh Giang

4

NHỮNG TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
Từ viết tắt
HS
GV
NXB
SGK
Tr
THPT
BTTT
HĐ

Từ đầy đủ
Học sinh
Giáo viên
Nhà xuất bản
Sách giáo khoa
Trang
Trung học phổ thông
Bài toán thực tiễn
Hoạt động

KT-KN

Kiến thức-Kĩ năng

TT

Thứ tự

SL

Số lượng

TB

Trung bình

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU

8


5

1. Lí do chọn đề tài............................................................................................8
2. Mục đích nghiên cứu.....................................................................................9
3. Nhiệm vụ nghiên cứu....................................................................................9
4. Giả thuyết khoa học.....................................................................................10
5. Đối tượng nghiên cứu..................................................................................10
6. Phương pháp nghiên cứu.............................................................................10
7. Đóng góp của luận văn................................................................................11
7.1. Về mặt lý luận11
7.2. Về mặt thực tiễn

11

8. Cấu trúc của luận văn..................................................................................11
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN

12

1.1. Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn

12

1.2. Sự cần thiết phải tăng cường ứng dụng toán học vào thực tiễn

13

1.3. Quá trình mô hình hóa toán học 17
1.4. Vài nét về sự ra đời của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

18

1.5. Vai trò của phương pháp tọa độ đối với các môn học 19
1.6. Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn được thể hiện qua chương
“Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”.
1.7. Kết luận chương 1

33

43

CHƯƠNG 2. KHẢO SÁT VÀ ĐÁNH GIÁ THỰC TRẠNG VIỆC KHAI
THÁC MỐI LIÊN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ THỰC TIỄN KHI DẠY HỌC

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Ở TRƯỜNG
THPT44
2.1. Khái quát về quá trình khảo sát thực trạng

44

2.2. Thực trạng việc khai thác mối liên liên hệ giữa toán học và thực tiễn khi
dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trường THPT hiện nay.
45


6

2.3. Nguyên nhân của thực trạng
2.4. Kết luận chương 2

57

60

CHƯƠNG 3. VẬN DỤNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ THỰC
TIỄN VÀO DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT
PHẲNG

62

3.1. Quy trình dạy học khái niệm, định lí toán học 62
3.2. Xây dựng một số giáo án dạy học chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng có vận dụng mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn 64
3.3. Kết luận chương 3

84

CHƯƠNG 4. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 86
4.1. Mục đíchthực nghiệm sư phạm
4.2. Tổ chức thực nghiệm

86

4.3. Nội dung thực nghiệm

86

4.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm
4.5. Kết luận chương 4

95

KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN 97
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC 102

99

86

91


7

8

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Từ xưa đến nay, Toán học phát sinh và phát triển do những nhu cầu
thực tế của đời sống con người. Chẳng hạn như những khái niệm toán học đầu
tiên về số được phát sinh do nhu cầu đếm và từ chỗ biết đếm, con người có
khái niệm đầu tiên về số tự nhiên;hay do nhu cầu đo đạc diện tích và thể tích,
đưa đến những kiến thức ban đầu về hình học,…
Trong nhà trường phổ thông, “nắm vững môn toán” có nghĩa là hiểu
thấu đáo khối lượng và phương pháp toán học, là có ý thức và kĩ năng vận
dụng những hiểu biết đó vào thực tiễn.Từ đó cho thấy sự kết hợp giữa lý luận
và thực tiễn vào dạy học toán là vô cùng quan trọng.Nó không chỉ là nguyên
tắc dạy học mà còn là qui luật cơ bản của việc dạy học và giáo dục của chúng
ta. Đồng chí Trường Chinh đã từng nói: “Dạy tốt…là khi giảng bài phải liên
hệ với thực tiễn, làm cho học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và có thể áp dụng điều
mình đã học vào công tác thực tiễn được…”.
Khi học toán, học sinh có thể sẽ đặt ra rất nhiều câu hỏi. Chẳng hạn
như: Vectơ có dùng để biểu diễn cho một đại lượng nào không? Các kiến thức
về đồ thị hàm số dùng để nghiên cứu lĩnh vực nào trong cuộc sống?Định lý
côsin có vai trò gì trong thực tiễn? Đường elip có trong thực tế không?...Nếu
các câu hỏi đều được giáo viên giải đáp trong quá trình truyền thụ tri thức đến
cho học sinh thì chẳng những các em hứng thú với bài học mà còn trang bị
cho học sinh kỹ năng tư duy ứng dụng và tư duy sáng tạo. Ngoài ra, vì toán
học luôn có quan hệ mật thiết với các môn học khác nên khi nắm vững được
mối liên hệ giữa lý luận và thực tiễn, học sinh sẽ dễ dàng vận dụng các kiến
thức đã biết vào thực tế , giúp cho quá trình học của các em thuận lợi hơn.
Một giáo viên dạy toán cần giúp học sinh thấy được mối quan hệ giữa

9

lý luận và thực tiễn, để từ lý thuyết, các em có thể vận dụng vào thực tế một
cách chính xác.Điều đó đòi hỏi người giáo viên phải nắm vững chuyên môn,
phải thấy được những ứng dụng thực tế của các kiến thức toán học. Giáo viên
phải giúp học sinh nhận ra được các lý thuyết toán học là gắn liền với thực
tiễn, gắn liền với đời sống.Từ đó sẽ giúp học sinh dễ dàng lĩnh hội, gây được
sự hứng thú, kích thích được hoạt động nhận thức của học sinh.
Chính vì những lý do trên chúng tôi đã chọn đề tài “Khai thác mối liên
hệ giữa toán học và thực tiễn khi dạy học chủ đề phương pháp tọa độ
trong mặt phẳng”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nhằm hiểu rõ hơnvề mối liên hệ giữa lý luận và thực tiễn trong các
kiến thức toán học.
Tìm ra những phương hướng vận dụng lý thuyết của việc đảm bảo tính
thống nhất giữa lý luận và thực tiễn vào dạy học môn toán ở trường THPT.
Nâng cao hiệu quả dạy học môn toán thông qua việc dạy thực nghiệm ở
trường phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được mục đích nghiên cứu trên chúng tôi hình thành các nhiệm
vụ sau:
Nghiên cứu làm sáng tỏ mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn khi dạy
học chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở chương trình hình học 10.
Nghiên cứu làm sáng tỏ sự cần thiết phải tăng cường ứng dụng toán
học vào thực tiễn và mối liên hệ không thể tách rời giữa toán học và thực tiễn.
Thực nghiệm sư phạm kiểm tra tính khả thi của việc khai thác mối liên
hệ giữa toán học và thực tiễn khi dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong
mặt phẳng ở trường THPT

10

4. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở bám sát vào chương trình và SGK hình học 10 hiện hành,
nếu GV giúp HSkhai thác được mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn trong
quá trình học môn toán nói chung và chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng nói riêng, GV sẽ giáo dục được thế giới quan duy vật biện chứng cho
HS, trang bị cho học sinh kĩ năng vận dụng các kiến thức đã học vào thực tế
cuộc sống.
5. Đối tượng nghiên cứu
Hoạt động dạy của GV và hoạt động học của HS trong chương trình
toán phổ thông qua việc dạy học chương phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số tài liệu, sách, báo về ứng dụng
của phương pháp tọa độ toán học trong thực tiễn. Định hướng đổi mới PPDH
Toán và các SGK và SBT Hình học 10 (cơ bản và nâng cao hiện hành), các
luận án, luận văn liên quan.
- Điều tra quan sát: Tiến hành tìm hiểu về việc dạy học chủ đề phương
pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trường phổ thông hiện nay, đặc biệt là Hình
học lớp 10 (chú trọng đối tượng HS khá giỏi). Dự giờ, quan sát việc dạy của
GV và việc học của HS THPT
- Thực nghiệm sư phạm: tiến hành dạy thực nghiệm một số tiết ở
trường THPT để xét tính khả thi, hiệu quả của đề tài.


11

7. Đóng góp của luận văn
7.1. Về mặt lý luận
Nghiên cứu và làm rõ mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn khi dạy
học chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
Đưa ra được những ứng dụng thực tiễn của toán học trong quá trình dạy
học.
Thông qua mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn, học sinh sẽ tìm thấy
hứng thú trong quá trình học tập, góp phần gợi động cơ tìm tòi, gợi tính sáng
tạo nơi học sinh.
7.2. Về mặt thực tiễn
Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho GV toán ở trường
THPT.
8. Cấu trúc của luận văn
Luận văn – ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo và Phụ
lục – gồm bốn chương:
Chương 1 – Cơ sở lý luận
Chương 2 – Khảo sát và đánh giá thực trạng việc khai thác mối liên hệ
giữa toán học và thực tiễn khi dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng ở trường THPT.
Chương 3 – Vận dụng mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn vào dạy
học chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
Chương 4 – Thực nghiệm sư phạm.


12

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn
Nghị quyết 14 của Bộ chính trị Ban chấp hành Trung ương Đảng cộng
sản Việt Nam đã chỉ ra phương hướng của việc cải cách nội dung giáo dục là:

chọn lọc có hệ thống những kiến thức cơ bản, hiện đại, sát với thực tế Việt
Nam, làm cho vốn văn hoá, khoa học và kĩ thuật được giảng dạy ở nhà trường
có tác dụng thật sự trong việc hình thành thế giới quan khoa học, phát triển tư
duy khoa học, phát triển năng lực hành động của học sinh, bồi dưỡng năng
lực thực hành, tính nhạy bén trong việc vận dụng kiến thức vào thực tế sản
xuất và xây dựng đất nước.
Tinh thần của Nghị quyết 14 đã được phản ánh đầy đủ, sâu sắc trong
nguyên lý giáo dục bao quát, xuyên suốt trong mọi hoạt động của nhà trường:
“học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn liền
với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục
xã hội”.
Trong giai đoạn hiện nay, chúng ta đang thực hiện mục tiêu giáo dục đã
được ghi đầy đủ và rõ ràng tại Luật giáo dục công bố năm 1998 như sau:
“Mục tiêu giáo dục là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện,
có đạo đức, sức khoẻ, thẫm mĩ và nghề nghiệp, trung thành với lý tưởng độc
lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội, hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm
chất và năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu xây dựng và bảo vệ Tổ
quốc”.
Khả năng vận dụng kiến thức lý thuyết đã lĩnh hội được vào thực tế là
một yêu cầu cơ bản, cần phải được hình thành và rèn luyện cho học sinh –
những người lao động mới trong tương lai. Đây cũng chính là một tiêu chuẩn


13

quan trọng để đánh giá chất lượng và hiệu quả của toàn bộ quá trình giáo dục
và đào tạo. Coi chất lượng giáo dục là sự tổng hòa của những kết quả giáo
dục – đào tạo toàn diện thể hiện trước tiên bằng những chỉ số đánh giá toàn
diện về phẩm chất và năng lực qua thi cử, trắc nghiệm, nhận xét, bình chọn
thường xuyên, nhưng cuối cùng và chủ yếu phải là cái tinh thần, mục đích,

động cơ ứng dụng toàn bộ năng lực có được vào thực tiễn sao cho phù hợp
với mục tiêu giáo dục cụ thể của từng môn học, cấp học, bậc học nói riêng và
mục tiêu giáo dục cuối cùng nói chung.
Chất lượng giáo dục con người khác với chất lượng sản phẩm hàng hoá
ở chỗ: chất lượng hàng hoá ghi trên nhãn hiệu luôn luôn được đảm bảo chính
xác không thay đổi trong giới hạn sử dụng, còn chất lượng giáo dục ghi trên
văn bằng, chứng chỉ không đảm bảo chắc chắn đúng như vậy, chỉ khi được sử
dụng trong thực tiễn mới biết chính xác tốt, xấu đến đâu. Điều đó đã chứng tỏ
được thực tiễn là thước đo duy nhất , chính xác đối với mọi lý thuyết.
Chủ tịch Hồ Chí Minh đã nhấn mạnh tầm quan trọng của lý luận để
tránh “thực tiễn mù quáng”, “nhắm mắt mà đi”, đồng thời nhấn mạnh tính
mục đích của lý luận: “lý luận cốt để áp dụng vào công việc thực tế, lý luận
mà không áp dụng vào thực tế là lý luận suông”. Người đồng thời nhấn mạnh
tầm quan trọng của thực tiễn nói chung và trong quan hệ với lý luận nói riêng:
“song song với việc nhấn mạnh sự quan trọng của học tập lý luận, chúng ta
phải luôn nhấn mạnh nguyên tắc lý luận phải liên hệ với thực tiễn”.
1.2. Sự cần thiết phải tăng cường ứng dụng toán học vào thực tiễn
Trong mọi thời kì lịch sử của cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật, toán
học luôn được coi là công cụ đắc lực không thể thiếu được. Trong bối cảnh
của cuộc cách mạng công nghệ thông tin hiện nay, vai trò công cụ nền tảng
của toán học được đánh giá và xác nhận lại một cách khách quan, toán học đã


14

trở thành công cụ chủ yếu của nhiều khoa học, đang biến thành một lực lượng
sản xuất trực tiếp của xã hội.
Đất nước ta đang trên đường công nghiệp hóa, hiện đại hóa rất cần và
sau này còn cần nhiều hơn nữa, đội ngũ những người lao động có khả năng
ứng dụng những kiến thức toán học lĩnh hội được ở nhà trường vào hoạt động

nghề nghiệp cũng như vào cuộc sống của mình.
Rèn luyện, nâng cao năng lực toán học là một trong những mục tiêu
chủ yếu của việc giảng dạy toán ở trường phổ thông. Đây không phải là yêu
cầu của riêng môn toán, song điều đó được nhấn mạnh trong việc giảng dạy
toán, bởi vì trước hết, do vai trò ứng dụng của toán học trong các lĩnh vực của
đời sống xã hội, vai trò công cụ của toán học đối với sự phát triển của nhiều
ngành khoa học, công nghệ, của các ngành kinh tế quốc doanh,…đã thực sự
được thừa nhận như một chìa khóa của sự phát triển.
Để đáp ứng được những thách thức của xã hội chúng ta, việc dạy học ở
nhà trường chủ yếu và trước hết, ngoài khía cạnh “kiến thức đơn thuần” là
phải tập trung cố gắng dạy cho học sinh biết sử dụng kiến thức của mình vào
những tình huống có ý nghĩa, biết vận dụng lý thuyết đã học được vào thực tế
cuộc sống. Điều này được nhắc đến trong định hướng 4 của Marzano: sử
dụng kiến thức có hiệu quả. Marzano khẳng định: việc sử dụng kiến thức hiệu
quả thể hiện ở chỗ trong những hoàn cảnh cụ thể, học sinh có khả năng đưa ra
những quyết định phù hợp, khả năng điều tra xác định đặc tính của sự vật,
điều tra vấn đề này đã xảy ra như thế nào và tại sao nó xảy ra, đồng thời có
khả năng dự đoán được cái sẽ xảy ra. Không chỉ điều tra, học sinh còn có khả
năng kiểm chứng bằng thực nghiệm, có năng lực giải quyết vấn đề và năng
lực phát minh, giáo viên phải tạo cho học sinh những cơ hội để áp dụng kiến
thức đã học vào thực tế một cách hiệu quả.
Khi dạy học, giáo viên cần phải nêu các tình huống thực tế cho học


15

sinh tìm hướng giải quyết, điều này giúp học sinh thấy được mối liên hệ giữa
lý thuyết và thực tiễn, đồng thời tăng hứng thú học tập của học sinh.
Trong dạy học lấy học sinh làm trung tâm, người ta cho rằng hệ thống
kiến thức chưa đủ để đáp ứng mục tiêu cho cuộc sống.Cần chú trọng các kĩ

năng thực hành, vận dụng các kiến thức lý thuyết, năng lực phát hiện và giải
quyết những vấn đề thực tiễn.
Chúng ta thấy rằng, số đông học sinh học kém là do ở những học sinh
này học mà không hiểu điều mình học, không ứng dụng được kiến thức khi
làm bài tập nói chi tới việc ứng dụng vào thực tế. Những học sinh này chỉ có
các kiến thức sách vở do “nhồi nhét”, do “học vẹt” mà có, học mà không hiểu,
không ứng dụng được. Chỉ có tay nghề cao của giáo viên mới chữa trị được
chứng bệnh này trong chiếm lĩnh văn hóa ở người học. Việc giải quyết đúng
đắn quan hệ giữa lý luận và thực tiễn, giữa học và hành, với các biện pháp bồi
dưỡng cho học sinh ý thức học tập trong thực tế cuộc sống, ý thức vận dụng
kiến thức vào giải quyết các vấn đề thực tế, coi trọng củng cố kiến thức, kĩ
năng mà học sinh đã thu nhận được là những yếu tố đánh giá trình độ tay
nghề của giáo viên.
Ngày nay toán học không đơn giản chỉ là “phục vụ viên” của các khoa
học có ứng dụng toán học, mà đã thật sự trở thành một công cụ nghiên cứu
được sử dụng thường xuyên và nhiều khi là công cụ duy nhất có hiệu lực. Sự
toán học hóa kiến thức khoa học giúp hiểu đúng đắn hơn tự nhiên và xã hội,
góp phần thúc đẩy nhanh tiến bộ khoa học kĩ thuật.
Những mô hình toán học đưa ra, khá tổng quát và đủ rõ ràng để nghiên
cứu thực tiễn quanh ta. Nói cách khác, toán học là khoa học trừu tượng, song
lại trở thành công cụ nhận thức thế giới một cách mạnh mẽ, bởi vì chỗ mạnh
của toán học chính là khả năng trừu tượng hóa, khái quát hóa cao độ.Những
quan hệ và cấu trúc tổng quát được nghiên cứu trong toán học, phần lớn được


16

trừu tượng hóa từ các đối tượng của thực tế khách quan, là những quan hệ và
cấu trúc khá phổ biến trong thực tế khách quan. Vai trò quan trọng của toán
học gắn liền với tính trừu tượng và khái quát của nó. Trong dạy học toán ở

nhà trường phổ thông, “việc tăng cường khả năng cho học sinh vận dụng kiến
thức lý thuyết vào việc giải toán hay giải quyết các nhiệm vụ thực tiễn là biện
pháp phù hợp với qui luật về sự kết hợp biện chứng giữa cái cụ thể và cái trừu
tượng”(Đavưđốp – 1973).
Tính chất cầu nối giữa khoa học toán học và thực tiễn công nghệ, sản
xuất và đời sống đã khiến cho kiến thức và kĩ năng ứng dụng toán học có vị
trí quan trọng trong vốn tri thức cần thiết phải tích lũy của người lao động
nhằm thích ứng kịp thời với tốc độ tiến bộ như vũ bão của khoa học công
nghệ và nền sản xuất hiện đại.
Việc làm cho học sinh nắm vững hệ thống kiến thức và phương pháp
toán học cơ bản, phổ thông, theo quan điểm hiện đại và tinh thần của giáo dục
kĩ thuật tổng hợp và có khả năng vận dụng được những kiến thức và phương
pháp toán học vào kĩ thuật lao động, quản lý kinh tế, vào việc học các môn
học khác(như vật lý, hóa học, sinh học,…)là một nhiệm vụ rất quan trọng vì
chỉ có trên cơ sở nắm vững và vận dụng được kiến thức, phương pháp toán
học mới có điều kiện rèn luyện các mặt khác. Chủ tịch Hồ Chí Minh đã dạy:
“cần đảm bảo cho học sinh những tri thức phổ thông, chắc chắn, thiết thực,
thích hợp với nhu cầu về tiền đồ xây dựng nước nhà…”. Đặc biệt là trong giai
đoạn hiện nay, công cuộc cách mạng khoa học và kĩ thuật ở nước ta đòi hỏi số
lượng ngày càng đông thanh niên có khả năng làm chủ và giỏi tay nghề để
mau chóng xây dựng đất nước. Muốn vậy, học sinh không những phải nắm
vững hệ thống kiến thức và phương pháp toán học mà còn phải có năng lực
vận dụng những điều đã học vào thực tiễn.


17

1.3. Quá trình mô hình hóa toán học
Tính xác đáng của việc tăng cường ứng dụng và mô hình hóa toán học
đã được chấp nhận một cách rộng rãi. Chẳng hạn, chương trình lớn PISA của

OECD (Organisation for Economic Co-operation and Development) về so
sánh quốc tế nhấn mạnh đến việc phát triển năng lực của học sinh để sử dụng
toán học trong cuộc sống hiện tại và tương lai của họ làm mục đích của giáo
dục toán học. Điều này có nghĩa là học sinh cần hiểu được vai trò của toán
học trong cuộc sống hàng ngày, trong môi trường của chúng tavà đối với khoa
học ([22, tr.219]). Mục tiêu này phù hợp với quan điểm vận dụng mối liên hệ
giữa toán học và thực tiễn trong dạy học toán.
Quá trình mô hình hóa được chỉ ra dưới đây ([21, tr.227]):
Toán học hóa

Mô hình thế giới thực

Mô hình toán học

Các suy xét toán học

Lý tưởng hóa

Tình huống thực tế

Thế giới thực

Sự thể hiện

Các kết quả toán học

Sự xác nhận

Toán học

Hình . Quá trình mô hình hóa (theo Kaiser, 1995, tr.68 và Blum, 1996, tr.18)

Một tình huống thực tế của thế giới thực là điểm khởi đầu của quá trình
này. Đầu tiên, tình huống này được lý tưởng hóa, tức là được đơn giản hóa


18

hoặc cấu trúc lại để được một mô hình thế giới thực. Sau đó, mô hình thế giới
thực này được toán học hóa, tức là được “dịch” sang ngôn ngữ toán học để đi
đến một mô hình toán học của tình huống ban đầu. Các suy xét toán học trong
suốt quá trình mô hình hóa toán học tạo ra các kết quả toán học, các kết quả
này phải được thể hiện lại trong tình huống thực tế ban đầu. Tính chính xác
của các kết quả phải được kiểm tra, tức là được xác nhận. Trong trường hợp
một lời giải bài toán không thỏa mãn, điều này xảy ra khá trường xuyên trong
thực tế, thì quá trình này được lặp lại.
1.4. Vài nét về sự ra đời của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Sau công nguyên, vào thời kì đầu của thiên niên kỷ thứ nhất, toán học
đã bị thảm họa nên hình học cũng bị kìm hãm phát triển nặng nề cho đến thế
kỉ XVI.
Sự hưng thịnh mới của toán học phải mãi đến thế kỷ XVII mới bắt đầu
ở Châu Âu và tại đây các công trình của nhà toán học, nhà triết học Pháp
Descartes (31.3.1596 - 11.2.1650)đã ảnh hưởng đáng kể đến sự phát triển của
hình học.
Tác phẩm nổi tiếng của Descartes Luận về phương pháp ra đời năm
1637. Trong tác phẩm này, ngoài đặc trưng tổng quát của phương pháp khảo
sát khoa học tự nhiên, còn có những phần riêng ứng dụng phương pháp này
vào quang học, khí tượng học và toán học. Phần cuối này có tên là Hình học
và đối với chúng ta nó là phần đáng chú ý hơn cả. Đưa vào đại lượng biến
thiên và sử dụng tọa độ vuông góc là cơ sở trong toàn bộ tập Hình học của

Descartes ([16, tr.144]).
Descartes là nhà toán học đầu tiên của nhân loại đưa ra phương pháp
xác định tọa độ một điểm bằng một hệ trục vuông góc.Đây là ý nghĩ sản sinh
ra hình học giải tích, một phương pháp nghiên cứu hình học mới kết hợp giữa


19

hình học và đại số. Hơn nữa, hình học giải tích của Descartes còn có giá trị
nguyên tắc trong việc cải tổ toán học và giá trị làm cho tác phẩm này trở
thành kinh điển([16, tr.147]).

1.5. Vai trò của phương pháp tọa độ đối với các môn học
1.5.1. Đối với toán học
Phương pháp tọa độ có ứng dụng quan trọng trong việc giải hàng loạt
các bài toán khác của toán học sơ cấp như: chứng minh bất đẳng thức, giải
phương trình và bất phương trình, giải các bài toán hình học phẳng và hình
học tổ hợp. Điều đó được thể hiện qua một số bài toán cụ thể sau đây:
Bài toán 1: Cho x, y,z tùy ý. Chứng minh:
Giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức sau:
(1)
Trong mặt phẳng tọa độ xét 3 điểm:
A, B, C
Khi đó dễ thấy: (1) CA  AB � CB

(2)

Vì (2) hiển nhiên đúng do đó (1) đúng.
Vậy: , với x, y, z tùy ý.

Bài toán 2: Giải hệ phương trình:
Giải
Xét ,  i  1;1997
Khi đó, ta có: ,  i  1;1997
(1)


20

Theo phép cộng tọa độ của vectơ tổng, ta có:
=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: =

(3)

Đẳng thức (3) chứng tỏ rằng các vectơ cùng phương, cùng chiều, hơn
nữa các vectơ này cùng độ dài nên ta suy ra:
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất:
Bài toán 3: Cho A, B cố định. Tìm quỹ tích của điểm M sao cho :
2MA2 – 3MB2 = 5AB2
Giải

uuu
r 3 uuu
r

uuu
r
uuu

r ur
OA  .OB
2.
OA

3.
OB

O
2
Gọi O là điểm thỏa mãn hệ thức:
, tức là:

Giả sử AB  a . Lập hệ trục tọa độ Oxy nhận O làm gốc tọa độ, chiều
dương của trục hoành hướng từ A đến B. Trên hệ trục tọa độ đó, ta có tọa độ
các điểm là:

A  3a;0  B  2a;0 
,

Giả sử

M  x; y 

. Khi đó:

2MA2  3MB 2  5 AB 2

(1)
Từ (1) suy ra quỹ tích cần tìm là đường tròn tâm 0, bán kính R=AB.

y
M
-a
A(-3a; 0) B(-2a; 0)

O

x


21

2
Bài toán 4: Cho họ đường cong y  x  2mx  m  2
2
Gọi M là tập các giá trị của m, mà parabol y  x  2mx  m  2 cắt trục

hoành tại hai điểm phân biệt A, B.
Chứng minh rằng: Với mọi m �M , hai điểm di động A, B luôn liên hợp
điều hòa với hai điểm cố định C, D.
Giải
2
Parabol y  x  2mx  m  2 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khi và

chỉ khi phương trình:
x 2  2mx  m  2  0

(1)

có hai nghiệm phân biệt.

2
Tức là:  '  m  m  2  0 �  m  1 � m  2 

Vậy:

M   �; 1 � 2; �

, rõ ràng tập M có vô hạn phần tử.

Trên trục 0x, gọi tọa độ của hai điểm cố định
Tọa độ của A, B lần lượt là

C  c;0  , D  d ;0 

A  x1;0  B  x2 ;0 
,
với x1, x2là nghiệm của

phương trình (1).
Do A, B liên hợp điều hòa với C, D nên theo hệ thức cơ bản ta có:

 x1  x2   c  d   2  x1.x2  cd  , m �M
Theo định lý Viet thì :

�x1  x2  2m
�
�x1 x2   m  2

Vậy phương trình (2) có dạng:

(2)


22

2m  c  d   2  m  2  cd   , m �M
� m  c  d  1  cd  2 , m �M

(3)

Do M là tập vô hạn nên từ phương trình (3) suy ra :
hoặc
Vậy hai điểm cố định cần tìm luôn liên hợp điều hòa với A, B là các
điểm C, D nằm trên trục hoành có tọa độ là

C  2;0 

và

D  1;0 

2
y
 

x
– 6x  5
m

3

Hình vẽ ứng với
:

1.5.2. Đối với Vật lý học
Vật lý có mối liên hệ với các môn học khác, đặc biệt là môn Toán.Nếu
không có toán học thì vật lý không thể tiến xa được, bởi vì vật lý học không
chỉ giải quyết định tính các vấn đề mà còn phải tính toán định lượng. Những
vấn đề vật lý thông qua việc sử dụng toán học sẽ được rõ ràng hơn, tường


23

minh hơn nếu ta biết thêm vào những hình ảnh minh họa. Những hình ảnh ấy
được thể hiện thông qua việc sử dụng đồ thị các hàm số để biểu diễn các trạng
thái, các đại lượng trong vật lý.
Trong việc giải để tìm nghiệm của các bài toán vật lý phức tạp, đồ thị
giúp người nghiên cứu có thể quan sát kết quả một cách trực quan, có những
nhận xét đúng và hiểu rõ ý nghĩa vật lý của kết quả bài toán. Việc sử dụng đồ
thị có ba ứng dụng to lớn nhất:
- Dùng để minh họa một vấn đề hay mối liên quan giữa các đại lượng
vật lý trong một trạng thái, một quá trình,…Các ví dụ cho ứng dụng này được
đề cập trong các bài toán về động học, dao động cơ học, truyền sóng, truyền
nhiệt, điện học, vật lý nguyên tử hạt nhân,…bằng cách thể hiện kết quả của
chúng qua đồ thị và rút ra ý nghĩa vật lý.
- Dùng để giải quyết vấn đề: thông qua đồ thị ta có thể tìm được mối
liên quan của các đại lượng từ đó suy ra kết quả bài toán. Các ví dụ cho ứng
dụng này được thể hiện trong các bài toán về chuyển động, nhiệt, điện học,…
- Đồ thị là phương tiện hỗ trợ phát hiện vấn đề mới: vấn đề này thường
được dùng trong vật lý thực nghiệm, từ kết quả đồ thị, người nghiên cứu có
thể suy ra một định luật, một lý thuyết mới về vật lý. Các ví dụ thể hiện là

hiện tượng quang điện, bức xạ vật đen tuyệt đối,…
Dựa vào tính trực quan của đồ thị để giải ra kết quả của một số bài toán
trong các phần: cơ học, nhiệt học, điện học trong vật lý được đơn giản và
nhanh chóng hơn.
1.5.2.1. Cơ học
Bài toán 1: Giữa hai bến sông A và B cách nhau 20 km theo đường
thẳng có một đoàn canô phục vụ chở khách liên tục chuyển động đều với vận
tốc như sau: 20 km/h khi xuôi dòng từ A đến B, 10 km/h khi ngược dòng từ B
về A. Ở mỗi bến cứ cách 20 phút lại có một canô xuất phát, khi đến bến kia


24

canô đó nghỉ 20 phút rồi quay về.
Tính số canô cần thiết phục vụ cho đoạn sông đó.
Một canô đi từ A đến B sẽ gặp trên đường bao nhiêu canô chạy ngược
chiều và khi đi từ B về A sẽ gặp bao nhiêu canô?
Giải bài toán bằng phương pháp đồ thị.
x(km)

20
B

A
O

C D

1

F

2

3 E

t(s)

Chọn gốc tọa độ là bến A (AO). Chiều dương là chiều đi từ A đến B.
Gốc thời gian là lúc một canô đi từ A đến B.
Các đường thẳng song song hướng lên biểu diễn chuyển động của các
canô đi từ A đến B và bằng OC, cách đều nhau 20 phút.
Các đường thẳng song song hướng xuống biểu diễn chuyển động của
các canô đi từ B đến A và bằng DE, cách đều nhau 20 phút.
Thời gian để một canô đi và về biểu diễn bằng đoạn OE trên trục thời
gian. Số canô cần thiết là số canô phải xuất phát từ bến A trong khoảng thời
gian đó. Có tất cả 10 khoảng 20 phút trong đoạn OE. Vậy số canô cần thiết là
N = 10 + 1 = 11 canô.
Xét đồ thị đi và về của một canô: DEF.


25

Giao điểm của đồ thị này với các đoạn thẳng song song hướng lên cho
biết số canô mà một canô đi từ B về A sẽ gặp dọc đường: ta thấy số canô đó là
8.
Giao điểm của đồ thị này với các đoạn thẳng song song hướng xuống
cho biết số canô mà một canô đi từ A đến B sẽ gặp dọc đường: ta thấy số canô
đó cũng là 8.
Ý nghĩa

Đây là bài toán vật lý đòi hỏi sử dụng phương pháp đồ thị để giải. Quả
thực sử dụng đồ thị tọa độ và thời gian để giải bài toán này rất nhanh chóng,
tiện lợi, dễ hiểu. Nó chẳng những giúp chúng ta hình dung một cách trực quan
được chuyển động qua lại của canô giữa hai bến sông A và B mà còn xác định
chính xác số canô cần thiết phục vụ cho đoạn sông đó, số canô mà một canô
đi từ A đến B và khi đi từ B về A sẽ gặp trên đường.
Bài toán này có ứng dụng rất thiết thực trong đời sống sinh hoạt hằng
ngày, cụ thể ở việc bố trí số phà để phục vụ sự đi lại của hành khách khi đi
qua các con sông lớn đỡ tốn thời gian.
Bài toán 2: Hai ô tô cùng xuất phát từ Hà Nội đi Vinh, chiếc thứ nhất
chạy với vận tốc trung bình 60 km/h, chiếc thứ hai chạy với vận tốc 70 km/h.
Sau 1 giờ 30 phút chiếc thứ hai dừng lại nghỉ 30 phút rồi tiếp tục chạy với vận
tốc như trước. Coi các ô tô chạy trên một đường thẳng.
Bằng phương pháp đồ thị hãy cho biết sau bao lâu thì xe thứ hai đuổi
kịp xe
đầu và khi đó hai xe cách Hà Nội bao xa?
x(km)

210

105

O

0.5

1.0

1.5

2.0

3.5

t(h)