Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 95-0391-0460

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ÜBER DIE GRUNDLAGEN DER STATISTISCHEN
MECHANIK
VON

ARTHUR SZARVASSI
MIT

VORGELEGT

Es

leidet

TEXTFIGUREN

5

DER SITZUNG AM

IN

MÄRZ

7.

1918

daß gegenwärtig molekulartheoretische Untersuchungen einer sicheren

keinen Zweifel,

Grundlage entbehren. Der Satz von der gleichen Verteilung der Energie auf die Freiheitsgrade
den die statistische Mechanik gefordert

partition of energy),

scheint

hat,

gesetzt

Stelle

Forscher

Wurzel

seine

wird,

enthält,

bestrickend

so

dem Umstände

in

hat,

großen

ihre

Grundannahme. Überdies

allzukühne

beseitigt

Erfolge

ihn

verwerfen,

nicht

ohne

mögen, doch eine

Grundlagen

der

Wäre

das erstere der

muß; denn
hat.

die

mir,

daß

ein

Schon
den

sie

Fehler,
ist.

gelangt, welche man
die

dem Abzählen

im

aus

als

ist:

dem

Aber zu

1

die stetigen

Man

und

Dinge

als

mißlungen

gelten,

hat, als logisch

greifen

bedient

mathematisches

ihr

statistische

die

Veränderungen

dta

setzt

the

Bedeutung

— dxdydz

65,

integriert,

die Zahl

average

713.

Denkschriften der mathem.-naturw, Klasse,

einer stetig

über

ist

Band,

kinetische

Lage der

gegenwärtige schwierige

die

prinzipieller

On Boltzmann's Theorem on
p.

gleichartiger

erst in

er

Grundlegung der Disziplin ansehen kann.

Yolumelemente

ansieht. Dies aber heißt:

II,

so dürften

Fall,

Hilfs-

Mechanik mehr und

durch eine gewisse Supposition das Problem auf ein Gebiet hinüber-

f(x,y,z)doi dargestellt wird und daß man

vol.

den Grund-

wenn er Aussicht auf Erfolg haben soll, tief
Methode, deren sich die statistische Mechanik

MaxweH's und Boltzmann's

die klassischen Schriften

daß

der

liegt in

sich mit

welches ihm wesensfremd

herausgewachsen

darin,

Klärungsversuch

ganzen Zahlen. Auf diese einfache Wahrheit hat

methodischen

muß

Systeme, welche zu seinen Voraussetzungen gehört

Wurzel des Übels

mehr vergessen. Vielmehr hat

geleitet,

welches

ist.

Die Statistik befaßt

mittel sind die

viele

für

welche auch jene der

Mechanik,

statistischen

Quantentheorie sind, zugleich aufzugeben. Der bisherige Beweis des Satzes

Es scheint

Anwendungen

diesen Fällen an dessen

daß wir nicht wissen, ob der Aquipartitionssatz aus

die

seitdem die Existenz ergodischer

unmöglich erwiesen

in

das logische Unbehagen nicht,

sie

lagen der statistischen Mechanik denknotwendig folgt oder nicht.

wir

sein

wichtigen

in

auf Widerspruch mit der Erfahrung zu stoßen. Die Quantenhypothese, die

(equi-

enthaltene

indem man

Gastheorie

statistischen

der großen Arbeit

Er besteht

1

ausgedehnten Menge.

rein

Zahl

von Molekülen
stetige

in

of

energy

in

a

der

Funktion von

der Moleküle weder endlich noch

distribution

MaxweH's

formal gesprochen

/"

als

enthalten

Mechanik

9ystem of matorial points;

Form
x,

v.

:

abzählbar
Soient,

papers,


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N zat

.1

begangenen Vernachlässigung

,1er

Berechnungen

den

in

kinetischen

der

unehmen,

unendlt

unendh.

unschuldig

als

-

müßige

nicht eine

\rt

Subtilität

»rliegende

dahei

versöhnen

und

auch

weil sich

nicht,

Daß

wenn man bedenkt, daß

eine

Bedenken

ein

es ein Irrtum

an die Existenz ergodischer Gassysteme

bescheidenen Versuch

einen

als

zu

miteinander

.

es

ist

jedem Volumelement

in

zugleich

ich

ansehen,

kann

will,

Mechanik

statistische

der letzteren von

das Unsterbliche

metho-

die

Wenn man

der Planck'schen Quantentheorie.

Wesen

entliche

der Ansatz

geübte Ge-

nicht abbilden läßt.

erkennt man,

ist,

sich

Vermeidung dieses Fehlers erblicke

prinzipiellen

Arbeit

er

Menge

Maxwell und Boltzmann

mlicher Art war, welcher

Bedeutung und

aber

dargestellt:

Zahl von Einzeldingen auf eine stetige

jedem

bei

sichtbaren Schaden

auch noch

Moleküle nicht nur im ganzen, sondern

pflogen*

uru

ohne

einer komi-

nicht

Offenbar hatte

abschätzt.

Gastheorie

und

naheliegend

wenn man

gefährlich wird die Unterschiebung,

schen

So

Punktmenge jene

diskreten

einer endlichen

Dichte

man

de- Continuums.

Mächtigkeit

die

ihr

gibt

unc

r a

sterb-

ihrer

lichen Hülle

Im

und

len

handelt

üblich

Systemen

deelle

Dingen

-inen

Bewegung

immer

I

Luftben

gelingt

es,

ohne

ahlungs
unter

Zugn

an

sich

Annahme

zu

der

einfachen

der allgemeinen

st..

Planck

i

wichtigste

in

Mechanik

nehmen, wenn

ich

Mechanik

Frucht

ich

einordnet.

daß mir dies

Ergebnissen:

Voraussetzung

wird

so

abgeleitet;

ein

Wärme

den

von dem

fester

Körper

von

einem

nachfolgenden Überlegungen

der

einem

neuen

glaube

dem

Ich

um

nicht bloß

interessanteste und,

in

auf

Weise gelungen

der Energie

spezifischen

die vielleicht

lantentheorie jetzt

indem

hoffe,

Einstein'schen
der

Anwendung

schaffen:

gewonnenen

einigen

aber keinen Widerder

zufriedenstellender

in

Temperaturabhängigkeit

ndpunkt aus betrachtet,

philosopl

sonst Integrale auf-

besteht,

quantenhafter Emission

mit der Krfahrung stimmt. Aber als

d

wo

zum Zwecke

der statistischen

die

ing
für die

zu linden,

es nötig,

resamtheiten

1

handelt, zeigt
Sl

-

schlichtem Abzählen

mit

die statistischen Gesetze der Gesamtheit.

idenhypothese

d

Planck

war

Natürlich

I

.» bei der hier versuchten

mehr

in

.

im besonderen

physikalischen

rleichverteilungssatz der Energien wirklich

thermische

>

von

hat es also

dies

als

besonderen Fällen durch Integrale approximiert werden;

durch ihre

mehr mit der Krfahrung aulv

ich

man

Dementsprechend erscheinen,

tun.'-'

nur

illustriert

Nunmet]

durch

zu

welche

eil

I

der Verteilung

Statistik

die

ihrem Phasenraume;

in

Summen,

bloß

d.

und

um

sich

Meng>.

endlichen

einer

Mechanik anders aufzubauen,

der Versuch gemacht, die statistische

seinem Wirkungselement

Lichte

erscheint,

glücklichen Funde
eine

ganz

andere

tut

Untersuchungen
•

im zweiten Teil

In

die

im eisten

ist

rem formal und ohne physikalischen
ssen; vlieser Teil

bei

dritte

gibt

einige

stellt

Inhalt;

a

Anwendungen.
lue

nden,

ein

energetisch

abgeschlotu
en bei konsl

•

•

Wesentliche

mgen

an diesem

der

Mechanik

Jei

Physi

sieh eigentlich auf die


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statistischen Mechanik.

Grundlagen der

393

Teil.

I.

i.

Es

ein Kollektivgegenstand

sei

von

N Punkten

gegeben, welche

Fläche begrenzten Teil des Raumes irgendwie angeordnet sind.

man nur ein Koordinatensystem zu
anzugeben. Man wünscht dies aber nicht zu

brauchte

zum

tun,

die

Man nimmt

sich also den

Anordnung zu beschreiben,

Koordinaten

weil

Beispiel

durch bloßes Abzählen die »Dichte«, mit der die Punkte an
verteilt sind, rinden.

diese

drei

Methode jede Übersicht verloren ginge; sondern man

dieser

bei

und

legen

einem von einer geschlossenen

in

Um

die

Zahl

groß

so

daß

ist,

vorgehen,

d.

h.

den verschiedenen Stellen des Raumes

dieselben

ist,

N

»statistisch«

will

Grenzfall zum Muster, wenn

jedem noch so kleinen Raumteil unendlich groß

eines jeden Punktes

also

die Zahl der

überall

dicht

Punkte

in

und man

liegen

wirklich exakt von einer »Verteilungsdichte« an jeder Raumstelle sprechen kann. In unserem Falle läßt
sich diese

Methode nur

einer

in

Weise anwenden: man

gegebenen begrenzten Raum

den

teilt

irgendeine Zahl n gleicher »Zellen« und gibt an, wie viele Punkte in jeder Zelle liegen. Die

dieser Zahlen gibt uns ein Bild von der Verteilung der Punkte mit einer Genauigkeit,

der Zahl der Zellen

und jener der Punkte abhängt. Ein ähnlicher Vorgang

man

jeder statistischen Zusammenstellung ein. So ordnet
die

Falle

»Raum«

der

ist

verteilen sind
die

und

»Elemente«

läßt,

man

gibt

die

sind.

es

nun nur auf

welches Element gerade

die Zahl der

besteht

+

1

also

von

Rekruten

Wir wollen

ist

leicht

Die Zahl

in

»Punkte« zu

als

Zukunft

die

zu berechnen.

n—

1

der Zahl

Punkte

numeriert

denken

der Elemente,

können,

jeder Zelle, hingegen nicht darauf

in

vor-

ankommt

so kann die betrachtete Verteilung in vielen

dieser
1

der Angabe

in

bis

Elemente

einer bestimmten Zelle liegt,

in

Arten hergestellt werden.

dieselbe Verteilung ergeben,

sich in der X

die

der Verteilung nennen.

Da

verschiedenen

jedes Intervall hineinfallen. In diesem

welchem

»Zellen« haben die Größe eines Zentimeters.

den einzelnen Zellen, die wir uns etwa

in

handen

ganz von

die

ja bei der Herstellung

man das Argument etwa nach ganzen

in

der eindimensionale der Körperlänge, in

Die Angabe einer bestimmten Verteilung

welche

Rekruten

an, wieviel

Angabe

B. bei der Herstellung einer Rekrutentafel

z.

Rekruten nach dem Argument der Körperlänge und, indem

Zentimetern fortschreiten

tritt

in

Anordnungen von Elementen, welche

Nennt man

x\ die

Zahl

der

Elemente,

alle

welche

ten Zelle befinden, so beträgt die gesuchte Zahl

Nl

Es

ist

klar,

daß bei

der

Untersuchung einer großen

häufiger vorfinden wird, welcher eine

der Elemente entspricht.
d. h.

Die Zahl

für die Häufigkeit ihres

größere Zahl

z ist

also ein

z

von

Maß

Zahl

dieser
die

für

von Verteilungen
Verteilung

günstigen

»Wahrscheinlichkeit«

Vorkommens. Wir wollen den Ausdruck

für z in

eine

solche sich

Anordnungen

einer Verteilung,

bekannter Weise mittels

der Stirling'schen Formel
lim

r!

= \J'l%r
'

umwandeln, um den
1

S.

z.

B.

e

Teil des Ausdrucks, der bei konstanten N,

Boltzmunn, Vorlesungen

über Gastheorie,

I.

§ 6.

u

die Verteilung bestimmt, zu weiterer


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•wcndung

Zu diesem Zwecke sei nunmehr vorausgesetzt, daü jede- \,. also
für den angestrebten Genauigkeitsgrad
art, dau man

lälen.

h<

V eine

lurchy -~

neben

unier die

SU

v
,.

(fL

vernachlässigt werden kann,

x,

durcl

zt

£

und

i

'.

durch

'

Es wird dann

A

=A
.1-1

'l

/

st

,:

1

natürlich
i

Kuh'

n

\,

die

Verhältniszahl

;

ein,

«...

daü

und

W

IV,

Ig IV,

bildung \
,)er

kei

^

tugrunde, nämlich
lern rein
dl ' ch «

;

Kentnr

tnnlierer.

r

;en

den

bei

wie jeder Wahrscheinlich-

dem
>,en

urK<

alle

Verteilum

jetzt beschäftigt, selbstv»

Anwendungen,

Wir können

die

Punktes im Räume stellt ein Ereigi
Punkte gänzlich unabhi
ist Wäre dies nämlich
herstellen.

anstellen,

h

»Z

die

Einern

•

wenn

hon

K<

irgendwelche drei unabh.r

«n

uns

priori

ischer Zustände sind.

i

nicht

cin

daß a

späteren physikalischen

Blben Üherl<
lern

die,

geometrischen Problem, das

durchaus nicht mehr

inten

d*

liegt,

'

der

eines

betrachtete

Punktes

\\\

m Raune

m

dcr

drei

einer bestimmten

also

nicht

Eine bestimmte

eränderhehe bedeuten.
•,:

Kaum

unab hi

Zuordnung

der


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Grundlagen der statistischen Mechanik.

N Elemente
mann

zu

N

herausgegriffenen Wertetripeln

aber weiter

ist

Raum von

einen

man

daß

sind,

vier Veränderlichen

Raumteil abgegrenzt wird,

der

bei

sei

Fälle

Elemente einzuordnen

als

daß

nur,

ist

Raum von

bestimmter
ist. Wir wollen

ein

Einordnung der Elemente zu vollziehen

die

sollen

Wesentlich

könnte.

anstellen

welchem

in

Zwei besonders wichtige

Es

welchem Gasmoleküle

in

dieselben ebensogut für die zweidimensionale Ebene, wie für

den folgenden Untersuchungen einen allgemeinen

1.

Boltz-

hat

daß die angestellten rein formalen Überlegungen auch von der Dimension

klar,

Raumes unabhängig

des

So

bekannter Weise den »Geschwindigkeitsraum« benutzt, dessen Koordinaten die drei Kompo-

in

Es

unabhängigen Veränderlichen.

der

nenten des Vektors der Geschwindigkeit bedeuten,
sind.

395

r Dimensionen zugrunde legen.

unserem Verteilungsproblem herausgegriffen werden:

bei

Anordnung der Elemente im Zustandsraume keine andere Bedingung

Summe

geschrieben, als die selbstverständliche, daß die

Elemente

aller

stets

A

r

sein

muß

vor-

oder

K=n— 1

£
x=o
In

«*

=

I)

1.

diesem Falle unterliegt von vornherein auch die Einteilung des Raumes

in

Zellen gar keiner

Einschränkung, also im besonderen keiner hinsichtlich der Form derselben. Wollen wir

von

die Verteilung

N

Punkten

in

zum

Beispiel

einem von einem Kreise eingeschlossenen Stück der Ebene studieren,

so können wir die Kreisfläche ebensowohl

in

n flächengleiche Sektoren teilen, welche

uns

als Zellen

dienen sollen, wie in n gleiche Ringflächen; beide Zellenteilungen sind gleich gut.
2.

Es

sei

die Verteilung

der Bedingung

außer

worfen: Es sei eine Funktion H(£l5

£2

.

von folgender Eigenschaft: Bildet man
Elemente

liegen, so soll stets

—

Funktionswerte denselben Wert
nicht ansetzen.

dinaten jedes

Denn

E

das

.

I)

noch

.£,.)

heißt

ergeben.

Elementes

.

.

.

ir

des Zustandsraumes gegeben

jene Stellen des Raumes, an denen

alle

der Elemente

Form können wir nun

In dieser

sondern

gegeben,

£2

jeder Verteilung

bei

nur

die

Konsequenz

Funktion

werfen, also

und

H (£ v

so tun,

die genannte

dieser

£.,...£,,)

die

als

ob

allen

Elemente

einer Zelle besitzt,

der X ten

Elementen

Zelle

in

der

Bedingung
Koor-

die

sei

die

einziges Individuum.

die verschiedenen Werte,

einen

derselbe

Bedingung daher folgendermaßen ansetzen: Es
x

Summe

die

der Elemente in jeder Zelle;

Zahl

Behandlungsweise werden wir auch

für die

die

freilich

rohere Art der Betrachtung macht gleichsam aus allen Elementen einer Zelle ein
In logischer

—

Überlegungen sind uns nicht

infolge der statistischen Natur unserer

einzelnen

£v

Funktionswerte für

die

Bedingung folgender Art unter-

einer

der r Koordinaten

einzigen

welche

Wert zusammen-

Funktionswert

E>._

,

zugehörte

für jede Verteilung

= »-i

\

.rx

E

)v

=E

x=o
oder

V

N
X

K>.

ist

ein

Mittelwert

aller

muß

Ex=E.

II)

=

Funktionswerte

H,

angegeben

dieser

definiert wird,

keiten

dieser Definition folgt später (siehe §

natürlich

n> x

welche

in

der

Zelle

vorkommen.

In

welcher Weise

werden; eine Erörterung über verschiedene Möglich-

4).

Es ist aber klar, daß diese Formulierung zur Voraussetzung hat, daß man wirklich mit demselben Grad von Genauigkeit, welcher der ganzen statistischen Berechnungsweise innewohnt, die
verschiedenen Funktionswerte innerhalb einer Zelle durch
kann, daß also

in

einen einzigen Mittelwert

der Zelle nicht Punkte mit allzu verschiedenen

Funktionswerten

K>.

ersel

vorkommen;

dies


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..

S

en,

N

von

möglichen Verteilungen

die

unter der Bedingung, daß

B

Massenpunkte

:.:...;,)-

II

W

welcher

In

I

nun

die

unserem

in

3t

Kreisfläche

in

der Zelleneinteilung.

klar.

m

Massenpunkten der gleichen Masse
gehenden Achse

;,/,;;

Falle die

inner-

dasselbe Trägheitmoment

jede Verteilung

T bezüglich einer durch den Mittelpunkt normal zur Ebene
linaten eines

der Konstruktion

in

zunächst an einem einfachen Beispiele

.1

nme

der Freiheit

ränkung

aentlich«

aber bodeutel

va sst,

/

aufweise.

Sind

also

Funktion

4

zu

Zellen

teilen,

damit

Bedingung

die

der

in

lli
H

körn

,„

Massenpunkte

diesem

Zelle

deren

bedeutet,

dieser Forderung

Trägheitsmomente

Die

einzig

alle

sicherlich

vom

Werte

mögliche Zelleneinteilung

konzentrischer Kreise, und

werden

autgestellt

zwar deshalb,

nicht.

kleinstist

viel-

weil

sich

Vermehrung der Zellen zahl und Zahl der Masseneiner Zelle einer bestimmten Grenze nähern
Trägheitsmoment
7",

eben kein anderes,

momentes der Kreisfläche mit

Man

,c "
l

.breitender

i

punk tc das mittlere
'hlem ist
würde
bein zu

'/.-+-

entspräche

Kreissektoren

in

vereinigt waren,

die in flichengleiche Kreisringe vermittelst

in

/.

/

zum größtmöglichen autweisen würden.

glichen bis

nur

Einteilung

inte

mehr

—

eitsmoment eines Punktes der

mittlet

in jeder Zelle

1

V

\

als

das bei der gewöhnlichen Berechnung des Trägheits-

bestimmten Integrals auftretende, die geeigneten Integrations-

H'lfe eines

finden.

allgemein eine Zelleneinteilung, welche die Aufstellung dl
ermöglicht, nur erreicht wird durch Konstruktion der Hyperflächenschar

erkennt sogleich,

•ingung

II)

dafl

ii

eile

:

:

f

konst.

.

wird begrenzt durch zwei benachbarte Flächen

Ettdung.

;

•ührten Beispiel

Itrisch

die

dieser

Schar,

einlacher Fall liegt vor.

-

b

Berandung des Raumes

Fläche der Schar

selbst eine

noch

eventuell

wenn

—

wie

in

durch

dem eben

ist.

3.

Wir

stellen

uns

nui

iblem, jene Verteilung der
einlichst«

beiden
I

F.s

ng

I)

lie

wir im

wird

die

besteht

Bei

Elemente zu linden, welche

am häufigsten

Lösung dieses Problems müssen wir jedoch

hen unterschieden haben, gesondert behandeln.

\

Verteilung

Das

vier

heifit,

gesucht,

für

man suche
\

welch

jene Zahlen w,

ir, Ig

V

ii

,

,.

Maximum

n
.

für

ist.

wenn

gleichzeitig

welche

- Minimum

=

i

folgenden zwei Gleichungen für die Variationen

mg:

Tbl

dji urica!

die

1

8 »r,

Ihtor? of «ose»

die


1 1

1 1

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statistischen Mechanik.

Grundlagen der
Diese beiden Gleichungen werden

man

die zweite mit

eine einzige

in

zusammengezogen, indem

einem noch unbestimmten Faktor % multipliziert und zur ersten addiert:
x

= «—

V
x

Aus

bekannter Weise

in

397

welche

dieser Gleichung,

w +

(lg

+ x)

1

x

8 n>\

= 0.

=o
Werte der hwx bestehen

für beliebige

lgw x +l+x

=

=

(X

oder

w — e~
x

<

0, 1,

soll,

mit Notwendigkeit

folgt

2...n— 1)

1+x
),

also konstant.

Der Wert der Konstanten

aus

folgt

nämlich

I),

—
1

wx —

•

1)'

n
2.

sind.

Man

Das

wenn

finde die häufigste Verteilung,

gleichzeitig

X

wx

Wx

lg

und

II)

zu

erfüllen

>.

V

= Minimum

=

X

= »—

X

Wx

=

1

N

,

= «—

WxEx=

'Y

X=

die 8w>,

1)

= n—X

\

Für

Bedingungen

die

Wx zu bestimmen aus

es sind die

heißt,

E.

X =

gibt dies die drei Gleichungen
X

= m— 1

V
x

X

Wx +

(lg

1) 8

Wx =

= «—

0,

=o

x

und wenn man

die zweite

und zur ersten

addiert, erhält

und

X=h— 1

V

8

wx =

y

0,

=o

x

E>, 8

wx

= 0;

=o

mit den unbestimmten Konstanten

dritte respektive

%,

multipliziert

\i

man
\=n— 1

y
x

wx

(lg

+ +x+
1

|x

E>.) 8

w = 0,
x

=o

das heißt
lg

Führt

ein,

man

Wx+

1

+x+

(xE).

= 0.

also die Konstante

so wird

wx —

a e~^i

Die noch unbekannten Konstanten

a,

(X

=

0, 1,

sind aus

(jl

x

I)

2.

und

.

.n— 1).

II),

2)

das heißt aus den beiden Gleichungen

= II— l

V

a

x

e-^y

—

3)

1

=o

X=M-1

V

Na
X

zu bestimmen. Aus diesen Gleichungen
die

Funktion

II (£,,

$.,...$,-)

oder,

sind

E x e-' lK x=E

h

=n
nun

was dasselbe

freilich
ist,

F>,

a und
als

\i

nicht

Funktion

explizit

des

darzustellen,

Index

\

nicht

wenn

spe/.iell


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Lösung

die

allgemeinen

im

bem<

zu

noch

2)

nicht

die

Bedingung

Min im Sinne der statistischen Natur des Problems
len

len
II

nunmehr auf

Werte- Nnn

anze Zahl substituiert zu denken.

di

Problem näher eingehen, indem wir die Gestalt der Funktion

d

quadratische Form

definite

positiv

,-ine

der Veränderlichen

j

lieh

2
len

•

:

ii

die

Konstanten

5

.

+...

+

IIa)

.

den betrachteten Raumteil umschließende Fläche

har
ii

un>.

.

:

»nst

:

he

!

peziell

!

-...+.;
Nun

je

Wir

zu wählen volumgleiche

Räume,

zwei aufeinander folgenden Hyperellipsoidflächen

+...+C

5

liegen.

als Zellen

sind nach den Auseinandersetzungen des § 2

hen

üb)

2Cn.

der

n

lei

Fläche

£= konst.

eingeschlossenen

IIb)

Raum

in

u

schalenförmige Teile,

indem wir die u-\ Hyperflächen

h...+cf
en und haben nun

dingung

die

ufeinanderfolgendcn

Flächen
iale

welche

I

in

Schar

der

1,2...«-1)

>

(

berechnen

.">)

wir

zu

unterwerfen,

daß

liegenden Ellipsoidschalen
als

Differenz

der \'olumina

alle

zwischen

dasselbe
der

irgend

Volum habenn

beiden Ellipsoide,

den Flächen

und

timmung des Rauminhaltes des

ersten Hllipsoids haben wir das

Inte.

ffi
zu

'

intes

Dirichl

'

und hat den Wert

!

I

\

ngeschlossenen Raumes

r(n

,

;

-fache


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Grundlagen der statistischen Mechanik.

39Ö

Volum

Die von den beiden Flächen eingeschlossene hyperellipsoidische Schale hat also das
*

(9 tcYI 2

=

a,_,

Y

„,

1+

r

C.... Cr)7J(,
(<7,

i

l

Alle diese Schalen sollen den gleichen Rauminhalt haben; daher bestehen die Gleichungen:

_ q/2 _ q/ _ q/2 _ Cf — ... = Cf — Ct*

q/,

Drücken wir

Q

alle

2

durch das

q = -q;
n
/2

Nun

ist

gemeinsam

Ex_

Derselbe

Schale.

berechnet werden

man

j

werden

(£

v

£,.

bestimmt,

nicht

Wert von Ex_i

E>,_!

Auf jeden

Fall

Elementen

= Cl_i

nach

ist

in

X-ten Schale

der

gesagt

ist,

oder

Ex_i

= Q,

H

der Funktion

oder

wie

dieser

Einfachheit

an

einer

»Mittelwert«

vor

aus:

allen

beiden

der

die

Mittel, also

Ex_j

=

1

/ 2 (Cx_i

+ Cx).

6)
(X

= 0,

2...*— 1),

1,

7)

nach der getroffenen Wahl einen der drei Werte

%\ je

=

ax
oder

ofc

ax

oder

haben wird. Der erste Fall
mit H(o,

allen

nicht

als

dem Werte

gleich

Ex = aX M-^C«

o,.

.

.o)

Fall findet

ist

X 2 /'-

Sa)

= (X+l)»/T

=—

(X 2 /''+ (X

+

Cn dem Werte
,

weder das eine noch das andere

H

in

als

E>,

E
daß

dadurch,

der

ersten

(innersten)

der Wert E„_,

an der Berandung, übereinstimmt;
Mitte

die

jedem der

dieser Stelle

Definitionen noch unendlich viele andere möglich sind,
ist

8

f< )

er hält

statt,

Wahl zwischen demselben wollen wir an
7)

r

1

zweite

der

ist;

der Funktion

Die Verteilung wird natürlich im allgemeinen

Durch Gleichung

8&)

dadurch ausgezeichnet, daß der Wert

übereinstimmt, also null

(äußersten) Zelle mit

Eine

der

.£ y ),

.

begrenzenden Schalen oder gleich deren arithmetischem

entweder

wo

6)

-

Drei Berechnungsweisen zeichnen sich durch ihre

soll.

setze nämlich den

Zelle

aus, so erhalten wir also

also ein Mittelwert der Funktionswerte aller Punkte innerhalb dieser

insolange

also

ist

soll,

.

/2

H

Wert der Funktion

jener

zugeteilt

Cn

bekannt anzunehmende

als

x

ist

drei

noch

zwischen

Fälle

nicht

etwas

den

Zelle

der

letzten

beim

dritten

beiden

verschieden

treffen. 1

c)

anderen.
ausfallen.

Daß außer diesen

klar.

Funktion des Index X bestimmt.

5.

Der im vorigen Paragraphen

betrachtete

führt

Spezialfall

problem des § 3 zu folgender Verteilung (siehe Gleichung

wobei sich die Konstanten

a,

\x

V
x

'

c

das

zweite

Maximum-

2):

Na Cn

n

7

;!

V
x=n

6.

Denkschriften der mathem.-naturw. Klasse, 95. Bund.

«>.!"'»"

2/r

=

10)

1

=o
>,=

Siehe §§ 20, 22, auch

für

aus den Gleichungen bestimmen:

a

i

nunmehr

_j!_

I

*x

"x

<•
'

•"

'"" "

''

-E

II)


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S:

.1

und

.

ang

nur

!)„,

Spezialfall

Für

r:-2

./

je

Gleichungen

letzten

=2

Bloß für r

'glich.

ist

bei

beliebiger

wird die Aufgabe verhältnismäßig einfach.

wollen wir also zunächst abtun.

lauten die Gleichungen

und

10

nach der Definition von

—AE

v.

durch

S)

wenn man abkürzungsweise

11),

—
:.

beiden

den

aus

;..

va

1

= n-i

X

V

*

entu

e

o

8

>),

—

7

=

>

i

Il3g-|
N

V

'

=

-,.-'

oder
>.

= »-i

V

a

\

;

o

n-1

y

1

x+i)^+»=

i

—
—

i

1

= »-l

X

X

<

./

4

,

*

V

1

+ l-ri.

nun
M

i

V

1-7-

n

>

1

V

— 7"

1

Y

1

V

T= \/7

i-v'

11- -7

ferner
.1

y

-117"

'

+

(»- -1)7 n

0-7)'

i

1

y

.1

und

1

— 1«7

-1)7'

••

in

n

"

1

-

jedem der

drei

Falle im

man

7"

neben

=

1

I

daß

ven

11

1

eine

'

>l

=

,;

1

-7

berechnen.

und man
'

1.

•
•

Prinzip explizit
Fall,

1

+

(1-1

n

Bnich

+

(1-

y
_
1

+ (h

1

Die Berechnung

groüe Zahl
erhält

i>t.

wird

Da nämlich

im ersten Falle

<*,

7

=\)


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Grundlagen der statistischen Mechanik.

4<>1

demnach

oder

,i=-£-lg(l+<2]

—+Su_.

a—

ws
Für

cr.x

=X+

1

(2.

Fall) hat

a

man

die

—— =

Gleichungen

öC,,»-1

-

1

13a)

C,

,

1-7

(1-7) 2

daher

s— Qm- 1
und
"

a=
Endlich im dritten Falle

[a?.

=

X

lgfl-^|

12»)

Cn

us — C„

13Z>)

.

-\

2

l

aV5=i,

«-i

/.r:,

N /r(i

;

1-7

+ 7) =

,

;

2(l-7) 2

daher
.

_

n

2

S

-C>~

1

2

ms

i,t

12 c)

2
9
&

MS

C

<~-n

6.

Bei beliebiger Dimensionszahl r

und

1

1)

auftretenden

Summen

Im ersten

Fall

genügt

glieder rasch klein werden.

zur

expliziten

Berechnung von a und

\x

die

in

10)

näherungsweise durch Aggregate von verhältnismäßig wenigen Gliedern
zwei Extremfällen:

darstellen können. Dies gelingt in

groß oder besonders klein

muß man

wenn

die

Größe ]i.C„n~"r

entweder

besonders

ist.

es,

von

den

Summen

die

ersten Glieder

zu

nehmen,

da

die

Summen-

Nennt man
o
\l

CitU-'r

=S,

so sind

V

»'<*>.—

e~-

tf-s«o(i+e-s(<*i-«i))

+ e -s(»3-<^+ ..

.)

14)


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und

V

_
ier

dur

+

,

mit hinreichender .Annäherung darstellbar. Kür die durch 8

und

von
hcra

15)

Summe

der letzten

in

erscheint dann statt

->.„,

bene Definition
'«

als

Faktor

a,

t

en.

Im

zweiten

Zahl

kleine

eine

Falle,

Summe

mation der

geeignete

Summenformel

Teilung die sogenannte Euler'sche

annüherun^

das

ist

ist.

'.

Instrument

die

für

welche von der Approxi-

durch ein Integral ausgeht:
2

4-

/;

I

+

.+/'/'-

.

dx +

1

.-1,(7" {b)—f[ ai)

+

A..lnf'(h—f.ai)

+

.

.

.+

|

+
b =. a

+

,//-"

.4,.«

«))+

i

r?«,,

ii It

und das Kestglied
:

+ (,ln

^ + A + 6A)+.

+./"-'

0<6<
effizienten
Je

mit

.1,.

wachsendem Index rasch

4,=

-

durch

sind

...

.1.

ab;

es

.+/(*")(*—A

+ 6A)]

1.

Zahlen

Bernoulli'sche

ausdrückbar

nehme

und

ist

-

.1

.

.

4 = 0,

.

/4

4

=—

-

720

12

und
,

In

der

Anwendung

Indem man

für

at>

erhält

lt.

auf under

eine

man

;ll

drei

—

'

>!iede

=

0,

=

A=

1,

2

.

.

zu setzen.

1

durch

ebenen

Darstellungen

als

Funktior

mme

für die

bezeichnet.

a

ist

Ableitungen der Punktion i,
','...

X

für

nach *

Reihe

Die

wird

je

mit

ar*„

r[...

und

deren Werte

an

einer Stelle

dem angestrebten Genauigkeitsgrade

nach

bei

ab

sondere Vereinfachung ergibt sich noch,
.nführt,

daß u eine

wenn man wieder wie im vorigen Paragraphen,
« neben der Einheit
ist,
so daß man
<

Man kann dann schreiben

V

"*«

"
I

'

./.-.],<•

ler

i

letzt

+

.!

+...;

..

mg

unendlich gesetzt

worden


a

,

1

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statistischen Mechanik.

Grundlagen der

Summe

Die andere

403

kann unter Einführung derselben Voraussetzung

analoger Weise angenähert

in

werden:

= »-l

X

V

a>

e~ s v-

=

o.

die in

16)

und

man durch Einsetzen

der

Summen

Gleichungen, aus denen

Es

ist

klar,

an der Stelle

x—

e~ sax dx—A t a e~ s

x

vorkommenden

17)

in

man a und

daß man

—sa

a!Q

)

e- s a »

+

.

.

17)

.

von

s berechnet, so erhält

Annäherung

mit beliebiger

transzendente

giltige

nur anwenden kann, wenn die Ableitungen

16), 17)

endlich bleiben. Dieser Forderung entspricht aber nur die Definition 8

X

Summe

= 11— 1

Definitionen

tritt

8

ein,

a),

8

-"*

«0

a[,

wenn

b),

8

c)

10),

1

1)

r

.

.

In

ist.

-S a\
>

=

an der Stelle

.

welche

b),

teilen:

Summenformel anwenden;
a!{

a"...

= M—

-f.

X

die Euler'sche

bleibenden Ableitungen

Ein besonderer Fall

zwei Teile

in

=o

x

und auf den zweiten Teil

e~

o!x ,

mathematischer Hinsicht ausgezeichnet

X

—

sa-X

der

(1

auch n bestimmen kann.

also

s,

Formeln

die

zwei

11)

10),

jedem anderen Falle muß man natürlich die

welche

—A

Integrale als Funktionen

also vor allen anderen durch besondere Einfachheit in

stets endlich

«

J°

xtfo

Hat man

(

#=

eine große Zahl

man zugrunde

legt

—

kommen dann

nur die

vor.

1

ist.

dieser

in

In

diesem Falle

selbst

für

ist

—

gleichgiltig

sehr große Werte

von

X

nahezu

Dann

erhalten die Gleichungen

Annäherung

mit großer

=

ane -v-cn
C„

Aus diesen lassen sich zwar a und
Bestimmung der Verteilung nicht mehr

also

=—
N

—a

W\

10 A)

i

UA)

dehn aus

nötig,

Form

mehr gesondert berechnen. Dies

nicht

\i.

die

e~<'-

ist

aber auch zur

9) folgt

c"
,

nach 10 A)

=—

wi

9-4)

n
identisch mit

1).

Verteilung jener,

Das

heißt bei

welche

ohne

hoher Dimensionszahl des Zustandsraumes
die

Bedingung

n

l

man erhält denselben Wert
denselben Anteil von E zugeteilt

,

N

7)

sie

wird

sich

die

gleichförmig und un-

und IIA) aber

folgt

7A)

;

wenn man von

wie

für E>,,

Aus

£»...£,.).

=C = —

E
das heißt,

vorhanden wäre;

II)

abhängig von der gegebenen Funktion H(£ t

nähert

vornherein

allen

Elementen

hätte.

Sinngemäß nennt man den Ausdruck
X

Nv
wo

fx den Wert einer Funktion /(£„
wert der Funktion f im Räume Q,

=n

Z

£.,...£,)

X

'

l

Xifi=
in

der

=

ii

i

Z mß

X+

'

lten Zelle bedeutet, den statistischen Mittel-

So besagt Bedingung

11),

daß

der

Mittelwert

der

Punktion


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Sza

.1

vai

r

I
II

m

;

Kaut

len

'.'

haben

Wert

Uisdruck IIa) der Funktion

;

echnung

2U

hyperellr.

in

sehnet

len.

die

Bedingung

zwei;

rieh

Wir haben

Verteilungszahl

für sich

n-,

.

/,

daß

innerhalb

einer Zelle

E,...Sr) in IIa) gehörige Zellen-

II

und
auch

mit Hilfe

auch

derselben

der Berechnung

bei

zu

wählen,

Wert der Funktion

genannte Einteilung

die

eine bestimmte Zellen-

ist,

konstant betrachtet werden können.

als

erkannt

der

Mittel-

berechnen.

g

:

hat,

erfüllen

wir jetzt

zweitens

durch

wird genügt

:

eine Zelleneinteilung

also

(',;;

so

daß

innerhalb

konstant

Der

ist.

Hyperellipsoidschalen.

in

die

des Mittei-

der

durch eine Einteilung vermittels! Hyperebenen der Schar
-:

:;'

enen

senkrecht

gle;.

sie

kOfl

Unsere Einteilung

zur g.-Achse.

heifit,

is

Hilfe der

zu

Schalen

ie

Densalben Umstand haben

II

auseinandergesetzt

Berechnung des Mittelwertes von

die zur

che

ein:

einer Zelle

'_'

§

betreuende Funktionswert

ler

Verteilt:

in

Setzung

4

ersten

wie

.

welche

,g.

Weise wollen wir nun den

gleicher

In

soll.

aus

muli bestehen

den

muü

diesen beiden Einteilungen

Räumen, welche aus der ersten

mit

Hyperellipsoide
-I-

.

nnenen Einteilung durch

.

.

-4-

.

,

i

;;

=

ki uist.

zweite mittels der Hyperebenen

die

mst
•

ierten herausgeschnitten

werden. Die

durch einen ebenen Schnitt, der die
eintcilu:

man

Fig.

gibt

sind jetzt

die Zellen

K if.

Fall

des

dreidimensionalen Raumes

im

allgemeinen

V

die

Zellen-

auf jene,

bis

K

K
^0 N ^
A
^
y
j
\V X
A^
^
y

enthält,

ringförmig

1.

B

/

den

für

und eine andere Koordinatenachse

;

erkennt,

1

—

—-

~l

i.

n
Jg

v. *

—

1

ii

J

t:

fT p

alten,

und

mit also in
t,

ihre

jeder

Zahl
Zelle

ei

noch

dag
\

sondern

immer

viele

der

ursprünglichen

Elemente

liegen,

Einteilung,

genügt

es

jetzt


1

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Grundlagen der
Eine Zelle
£x-

Achse

ist

enthalten,

welche

die

von einer Ellipsoidfläche und einer Ebene. Die Ellipsoidflächen gehören der Schar
c2 6|

+

Ebenen, welche senkrecht zur

.

.

+ cAl = 2G,

.

(X

=

2.

1,

.

.*)

Schar

die Ellipsoide berühren, der

£X -Achse

i,= ±.

Z

^.

2

V
Wegen

405

begrenzt von zwei Ellipsoidflächen und zwei Ebenen, nur die Zellen,

q 6f +
an, die

statistischen Mechanik.

V.= l,2...n)

(

c%

der Symmetrie genügt es offenbar, die Verhältnisse auf der positiven Seite

der

| y.-Achse

zu untersuchen.

Man

l*=>/^
V

liegen,

n

gebildet

Hyperebenen

erkennt, daß die Zahl der Zellen, welche zwischen den

—

\i

Für

beträgt.

diese

alle

S*-

W

?(
V

/

V

c*

Wert der Funktion

der

ist

und

c*

c^ti,

+
—
Hyperellipsoide
gebildet durch die n
c
+ c + +cr il = 2 G. (X = +

werden

soll,

Schicht werden

als konstant,

und zwar beispielsweise

Q, +

C,,.

1

deren

statistischer

Mittelwert

anzunehmen. Die Zellen dieser

\x

x

Wir nennen nun

i\

.

2 ۤ

befinden, die zwischen den

|i

.

von Elementen, welche sich

die Zahl

asj^

.

[x

1,

+

2

.

.

.

«)

der betrachteten Schicht

in jener Zelle

mit den Konstanten

beiden Hyperellipsoidflächen

C>.

und Q. +

liegt,

und

Schicht

den

1

setzen

»,,
dabei

muß

Wert

bei

stets X

^

;x

Zu dem gesuchten

sein.

>.

= -;

Mittelwert

= h— i

y
=

).

>.

W),,,. (c,i

+

r,,.

+

i)

=z

+

(Cy.

dann

trägt

betrachtete

= ii— i

y

c,,+i)
X

p.

die

=

w,,,,.;

(i

und der ganze Mittelwert beträgt also
11=11 — 1

M= V
|i

Die Zahlen

Nwi=Xi

«/xn

hängen aber

die Zahl der

ist

den Konstanten

C>,

und

in

Elemente

G, +1

N w-

Kil

;

=

ist

x\ fl

£
).

der

in
•=.

C„ +] )

= ii—
=

«v

18)

(J.

Weise mit den Verteilungszahlen W\ zusammen. Denn

Schale

aber

ist

zwischen den beiden Hyperellipsoidflächen

die

Zahl

der

Elemente

Hyperebenen mit den Konstanten

C, t

in

einem

und

Cjl+

i

Teile
liegt.

mit

dieser

Voraus-

aber die Verteilung innerhalb der ganzen Schale als konstant anzunehmen. Folglich

verhalten sich die Zahlen

,t>.

,,.

und

Volumina. Nennen wir also das
dieser Schale

l+

()

einfacher

Schale, nämlich jenem, der zwischen den

setzungsgemäß

X

(f,

X\

und daher auch

Volum

die Zahlen

der ganzen Schale

&

)v ,

/f>,„.

und W\ wie

die

zugehörigen

das Volum der Zelle aber, welche aus

von den beiden genannten Hyperebenen herausgeschnitten wird,

£}>,,,.,

so

ist

11

8.

Berechnen wir das Volum

&>.,,..

Diese Rechnung läßt sich folgendermaßen führen: Die Hyperebene


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.

:

[yperellipsoiden

+ ... + cr $ =
en Schnitt derFig.
UIKj

/.

,,

die

Segmente mit

.

hnitten werden; wir erhalten

Hyperebene

inten

SO den Teil

autstützt Schließlich

<

erhaltenen Teile der Schal

ments einer Hyperellips

e

mit

',

s

Hfleren

\

der

N,

..;

:

ius

i]

die

S

-h

|

.

der Fig.

in

t

mit

des
der

ist

.

CDE C~

\

'n-

^

',

-S/Crt

••

den Ellipsoiden Kugeln, also

O

CDEO — OCE

\

aus

dem

Fllipsoidsektor ein Kugel-

sin f

.

i

»dimens

irs

hat d

Raumes

lautet

n

Wert

/:.

-

I

das Volum

der Hyperebene

von

Transformation

:

I

aul" die

irkoordinaten ein durch den Ansatz'

inmehr führen

ilumelemeni

sich

und zwar rechnen wir das Volum des Segments

Sektors und eines Kegels

Zur Berechnung machen wir zunächst

Räume

s

schnung von
-

.

welcher

Va

als

welches

(

12,,

dann das gesuchte Volum der Zelle Q

hnitten wird, 50

S

nnen etwa mit

Schale

vier

Nennen wir

Q

Konstanten

der

ist

Uf der positiven Seite d

daß im

N

Hyperebene

/A

I

ttimmun

.

i

ci >s

-;

•/?«,•

rals.

Ii

kann man

im dreidimensionalen i<»ume

'irnd

p
B

'

«
kn*Jo*

CD E

Volumina beider Segmente, so erhalten wir den

DM

der

1

Ebene mit Ali,

welcher sich nach der positiven Seite der ;»-Achse hin auf die genannte Hyperund
G
aufstützt. Machen wir das Analoge mit dt:n beiden Segmenten (in der Fi-ur L
Q

:ie

,.^ll

sind die

1

Bilden wir die Differenz der

//

-''


*

-

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örimdiagen der statistischen Mechanik.

Nun

ist

der Schnitt der Kugel

+

K]i

+ .-..+ij»=2a

Tji

Ebene

mit der

die

4o7

Kugelfläche niedrigerer Pimension

+

f(\

oder

r&

+

.

.

.

+ rg_, + ^ + +
i

•

•

•

+$ ~ 2

(Gl— Cy

Polarkoordinaten

in

Demnach

ist

bezug auf

in

von

p

v/2

bis

Q

in

,

bezug auf

_y +

von arc cos

1

.

/l

.

— _

bis

g

V

—
2

zu integrieren, während der Rest des Integrals

\

die Oberfläche

\

/

COS r-3 f/ + 2.

.

'f x

_ 2 d &-,.+., ä'£ K + ?,.

— — dimensionalen

Einheitskugel im r

einer

.cos

r

Raum

1

.d'f v._.>

.

bedeutet,

identisch

also

ist

mit

r—l

(r—\)

2

tu

-i

2

Obwohl man

M

wertes

bereits

hier

hinsichtlich der r

das für uns allein Wesentliche,

Achsen

Sa....

Si,

erkennt,

S»-,

nämlich

die

soll

die

Symmetrie des

Mittel-

Rechnung der Deutlichkeit wegen

doch etwas ausgeführt werden.

Das Volum des Sektors

ist

_

r- 1

-2

r_1

r

i

+

f — 1\

J
^arc

•'"
Jo

cos v //,1—
.

V

COS''

p

cn
-J-

>i %

+ l Jrj

d'£.,_

+i

—

CX

sA-t
2

(r-l)Tc

(2

0)^1

.

v/1
1

+L

—

dx.
.v-

T

Mit Hilfe der Rekursionsformel
<*
/.
V "^

.

1

*'-'-

ä*
V'l-.t*

1

herleiten.

Wie man

diesem

ä

= - J- .fs.fi- sr+
Cj
r— 2.A
r-2Vß

'- 3 r

dem im

sogleich erkennt,

§

4 verwendeten für das Volum eines Ellipsoids im r-dimensionalen

das Volum

ist

^=
v/ 1 -**

l

Mail kann diesen Ausdruck leicht aus

aus

_ Qt
1_

/,

VV

r-3

einer Kugel

vom

Radius

R

im r

—

1

-dimensionalen

Kaum
Raum

TT

1+
andrerseits

wenn do

liil.it

ein

sich dieses

Volum

Oberflächenelement,

darstellen

die

in

der

I

/

Oberfläche

^

ff'

';

Form
{/

*dpdo~

der Kugel

ist.

0,

Durch Vergleich

beider

ausdrücke ergibt

obenstehende Ausdruck.
Denkschriften der iimtliem.-iiaturw. Klasse,

9f>.

lianJ.

50

sich

für

der


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1

*

r-l

'

,

i

.

'

—

arc sin

für gerades

v

\ c

!

*

1_

für

'

ungerade^

I

und

dei

Klamm.
en hieran,
,ut

dem

im zweiten

1.

einen

I

i

an die Berechni

U

daß

.

Dieser

u\m.,.u

auf

in

l

wird

xu integrieren

p

i^t

r,

Glieder hat

ebenso

von

p

berechnet

= Obis

wie

der

^
\,

sin ;

daher den v

'

i

—
I•,/•;,,_

;

'

?

'

I

-

_

'

j-

''''

:

r(n

•>

7=\ \

\

•

„bigen rar

.,,„,

ahmten wir dann durch

das

Volum de* Sektors

Multiplikation

«MW.

mil

mmerJ w

"•

1

I

!

1

i

+
\

<

I

,

.

4-

i

\

i

•.

h


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Grundlagen der

Indem man

man auch

sogleich die Ausdrücke

QXfl Damit

der Zelle

Eigenschaft
.

.

.

cr)~i

;

S>. + lj|t ,

X,

5>.,

entsprechend X

ja

a +

und

1

w>.

(l

Der Ausdruck

hervorheben.

für

vor, so

Q>,

+

5>.

1>

,

und nach

+

1

1

-+-

respektive

1,

für

M

% =:

1,

2.

außer

enthält

21)

auch

daß der Mittelwert

M den

Faktor gar

r,

Faktor

.

mehr

nicht

M überhaupt

enthält.

In

Dem-

.nicht ein.

die £X -Achse in keiner Weise ausgezeichnet; wir hätten
wenn wir den Mittelwert eines anderen Summanden in dem Ausgesucht hätten. Also ist der Mittelwert eines jeden c, g für alle

g2

...£

und

.)
;

ist

den r-ten

beträgt

er

man

Mittel-

22)

.

rN
daß das Segment

fließt,

r Achsen des Hyperellipsoids denselben Inhalt hat. Auf die zweidimensionale
Teilt

des

K

erkennt, daß dieser Satz aus der geometrischen Tatsache

lautet der Satz so:

Teil

somit

M—2

und

nur
Q., Cv

kommt aber

Größen

den

Derselbe

Q),^ multipliziert.

Dieser Mittelwert kann daher sofort angegeben werden:

alle

gewonnen.

.r derselbe.

.

wertes von 2H(£i,

Man

M

gesuchte Mittelwert

18) der

erhalten,

druck IIa für H(?j, ßg... g,.)

Werte

erhält

schreibt,

1

diesem Ausdruck

in

denselben Wert

+

jj,

und aus diesen nach 20) das Volum

anderer Weise aber treten die Größen c v c 2 ...c r in den Ausdruck für

nach erscheint

409

'

der so erhaltenen Ausdrücke näher einzulassen, wollen wir nur eine

mit diesem Faktor erscheint also

dem Ausdruck

in

Form

die spezielle

derselben

statt

aber auch nach 19)

ist

.

Ohne uns auf
(q c2
auch

diesem Ausdruck

in

statistischen Mechanik.

die große

und

die

kleine

Halbachse

für

5>.,,

Ebene angewendet,

einer Ellipse im selben Verhältnis

zieht durch die beiden Teilungspunkte je eine auf der betreffenden

Achse

senkrechte Sehne,

so

werden durch beide Sehnen inhaltsgleiche Segmente abgeschnitten.

9.

Ehe zur Anwendung der vorstehenden Überlegungen auf
lischer

die statistische

Behandlung physika-

Erscheinungen geschritten wird, möge noch eine Bemerkung über die Wahl der Zellenzahl n

Platz finden.

Während es nämlich in der Natur des statistischen Verteilungsproblems gelegen ist, daß der
Raum ß, in welchem die Verteilung vorzunehmen ist, sowie die Zahl N der zu verteilenden Elemente
als

gegebene Größen anzusehen

gedacht wird, nicht der

Methode

erst geschaffen

sind, ist dies mit der Zahl der Zellen, in

Die Zelleneinteilung

Fall.

worden und

ist

zum Zwecke

welche der

Raum

eingeteilt

der Durchführbarkeit der statistischen

vollkommen

die Zahl der Zellen ist daher zunächst

willkürlich.

Zwei Umstände sind es jedoch, welche diese Willkür hinterdrein beschränken.
Der

erste ist die

Verwendung der

Stirling'schen Formel. Bekanntlich

Grenzübergang zu einer unendlich großen Zahl von Elementen. Da wir es
Zahl solcher zu tun haben, werden wir bei
kleiner sein wird, je größer die Zahl der
die Zahl der in einer Zelle befindlichen

diese hinreichend groß sei,

um

die

Anwendung

Elemente

in einer Zelle

Gesamtzahl

Anwendung

der Formel

befindlichen Elemente nicht unter einen

der

Elemente

gewissen untern

A

r

vorgeschrieben

Grenzwert

die

ist,

ermöglichen.

//

wir

Dies

um

voraussetzen,

daß

gewissen Grenzwert herabgehen;

der Zellen nicht über

genauer

darf die Zahl
oder,

nicht

einer Zelle

einen

so
auf

bedeutet,

Größe des Fehlers zu, so

darf das Volum

so

sinken, also die Zahl

zu

im

erst

Formel

Stirling'sche

Elemente angewendet haben, mußten

gesagt, folgendes: Lassen wir höchstens eine bestimmte

diese strenge

nur mit einer endlichen

der Formel einen Fehler begehen, der

Indem wir nun

ist.

gilt

stets

der

da die

unter einen

gewissen

oberen

Grenzwert steigen.

Der zweite Umstand, welcher die Willkürlichkeit von
spezielleren Verteilungsproblem auf,
In

diesem Falle wird nämlich

H(£j, £,...£,.) zugeschrieben,

allen

zum

bei

welchem

T

A einschränkt,

» oder

die Verteilung

Elementen innerhalb einer

der

Zelle

tritt

nur

bei

dem

Bedingung 10 unterworfen

derselbe

Won

Ex

der

ist.

Funktion

Beispiel das arithmetische Mittel der Kunktionswerte an den (.hon

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.

>

I

= konst

II

|

em ente

man

begeht

rfahren

lt

Funlrtio

die

larf
h.

bei
!

für

mnn

I

:en

di

klein

festzulegen

unter

das Volum

gewissen

oder

für

einen

gewissen

einer Zelle nicht

untern Grenzwert

das Volum

einer

Zelle

Einteilung zu wählen,

also nahe, eine

liegt

Größe de-

die

über

darf

der Zellen

Maximai-

e

wie

einen

so

verschiedenen

eine
ist.

nicht

pro Zelle

um

dieser Fehler
mit

bei

von Kehlern gleichzeitig, das heifit der Gesamtfehler möglichst klein ist.
man bei vorgegebenem ii und .V zu einer ganz bestimmten Zellengrö

Optimum. Natürlich muü vortu

fehler n

Es

ist.

wieder

also

der Kiemente

Zahl

die

wie nach unten beschränkt
S

N

Zahl N nicht

Mixe steigen, die

Spielraum

Kiemente

der

Gesamtzahl

fester

man
genau

noch

orher

Zahl

daß

klar,

ist

statisti-

genommen,

strenge

mehr Kiemente

SO

Läßt

rden.

Es

zu.

um

weil

wird,

denn

einen Fehler,

aber

Funktionswert

ein

Durch dieses der

angehören.

zu machen

beizulegen

.

den Gesamt-

welcher exakte Sinn der Forderung,

n,
ist.

Teil.

II.

10.

Indem wir nunmehr darangehen,

einungen anzuwenden, haben wir es
;

ernsten und gewichtig

auf physikalische

unsere wichtigste Aufgabe anzusehen, die wenigen,

als

auf welchen

Aussetzungen,

Überlegungen

formalen

rein

bisherigen

die

Überlegungen

jene

beruhen,

uns

klar

vor Augen zu führen.

von A physikalische

genstand

Angabe der Werte von

jeden derselben werde dur<

dieselben

alle
1

in

physikalisch

scheiden. Tragen wir den
in

r

nur durch

cht

Wertkomplex
im

<

ein.

dieser

i

einer

bestimmten

enden Phasenpunkte

ihn-

und auf

»ie

im

-

unterscheid

i

nicht

Syste

die

d

ein

in

einem

einer Verteilung

wählen

die A'

solche

statistische

annehmen kann.

Unter-

Dies

der

aber

den übrigen

Zu-tandsvariabeln.

Molekül eines Gases der Reihe nach

chwindigkeiten annehmen,

v<

laufen

einem

oder

\\

iellen

kann

Punkt

in

Phasenpunkl

eines

individualisierbar und von

hes

:cl

eine

System

als

selbstverständliche Voraussetzung

verschiedene Zustände

etwa bloß durch

ume und

Kür

ein

unter-

Systeme

als.,

Kiemente

die

der

-

der Lage

Wir können

-

Abschnitts anwenden.

tem der Reihe nach

nur möglich, wenn ein bestimm;

repräsentiert

Veränderung

als
n

ein ur

eine

welche

Phasenpunkte«,

und

benötigen

System

ein jede-

für

Punkte, die

'/.

die

uedener Verteilungen

daß

N

des Zustande--

der Zustandsveränderlichen

Ein jeder Punkt

«Phase«;

mdsveränderung des zugeh

bedeutet er

Zahlenwerte

Zustandsvariabeln

sd erhalten wir
liefen.

ümmten Zustand,

zur Beschreibung

die

eines

Veränderlichen beschrieben. Die Systeme seien

;

Veränderlichen

Zustand

Der

geben.

also verschiedene Zu-

lenheit dieser Zustände immer als dasselbe

wenn
mar

>

'

""

"'cht

ich

mit

einer

eküle numeriert denke."

i

bestimmten
«Ol

I

Zahl

.V

momentanen Zu«.unJc

W

von Svstemen

feststen«!


1

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Grundlagen der

Mechanik.

statistischen

41

erfüllt von einer Raumgesamtheit von Systemen; auf
Untersuchungen des vorigen Abschnittes anwenden. Sie

wird aber offensichtlich nicht erfüllt von einer Zeitgesamtheit von Systemen, das heißt von
der Gesamtheit aller Zustände, welche ein physikalisches System der Reihe nach durchläuft; eine

zu

tun.

Diese Bedingung wird beispielsweise

eine solche

können wir

also die statistischen

solche kann also auch nicht unmittelbar Gegenstand eines Verteilungsproblems sein. Gerade diese von
der klassischen

Mechanik bevorzugte Gesamtheit

statistischen

N physikalischen

Wollen wir nun eine Raumgesamtheit von
unterwerfen und auf diese die im vorigen

Abschnitt

Phasenpunkte

liegen. Die eine besteht

zu

— 1-dimensionale

angeben

Fläche

vom

Inhalt

falls

hätte die im vorigen Abschnitt bentuzte Einteilung

ß abgrenzt und innerhalb deren

die

Unabhängigkeit
aller

die

des

zusammen

ist.

mit der Frage nach

und

scher Methoden in der Physik

schen Mechanik. Dies

Raumes

wie

statuiert,

eine

in

bestimmte

schon

im

§

Andern-

liegen.

Zahl n von

hervorgehoben

1

Lage eines Phasenpunktes im Zustandsraume

übrigen Punkte unabhängiges Ereignis

weite: sie hängt innig

bestimmten Raumteil

der Elemente der Verteilung, also der physikalischen Systeme, voneinander

hinsichtlich ihres Zustandes, so daß

Lagen

welche einen

lasse,

genannten Punkte bei jeder Verteilung

Zellen keinen faßbaren Sinn. Die andere Voraussetzung
die

Systeme darstellenden

einem begrenzten Teil des r-dimensionalen Raumes vor sich gehen muß; daß sich

in

also eine geschlossene r

ist,

Überlegungen

statistischen

welche jenen Überlegungen not-

erfüllen,

daß die Verteilung der die

darin,

ausgeschlossen. 1

hier

Systemen verschiedenen Verteilungen

auseinandergesetzten

anwenden, so haben wir noch zwei Voraussetzungen

wendig zugrunde

demnach

bleibt

Die

von

ein

Forderung nun hat die größte Trag-

letzte

dem Zweck wie nach

der Erlaubtheit

statisti-

das wesentliche Fundament für den Aufbau der

sie liefert

den

statisti-

auseinandergesetzt werden.

soll hier

11.

Indem

die

Elemente der Verteilung

»physikalische Systeme«

als

charakterisiert

sind,

aus-

soll

gedrückt werden, daß die r Variabein, welche den Zustand eines jeden solchen bestimmen, gesetzmäßig als

Funktionen

der Zeit definiert

Um

sind.

den

Auseinandersetzungen größere

folgenden

und

Klarheit

Bestimmtheit zu geben, wollen wir annehmen, daß diese Gesetze die Form von r Differentialgleichungen

Ordnung mit der

erster

Zeit

als

/

unabhängigen Variabein haben

gemeingültigkeit unserer Untersuchung

System

die

Untersuchung nicht
großen Zahl

die

der

mit

Geschwindigkeit,

wäre

das heißt,

Zustandsraume bekannt, so würde man auch

allzu

daß

die

gibt
die

wird.

derselben

—

sondern

als

jeder Zelle zu Anfang

großen Zahl

der

späteren

Verteilung der

r

A Punkte auf

die Zellen des

einem nur zu Anfang gegeben

ist,

ist

Dies hindert nicht, daß

man

Kaumgesamtheit abbildet. Ein

indirekt

Heispiel

—

der

Punkte

auf die

Durch

der Zeit.

die

diese

Ist

berechenbar?

des

Wanderung

Änderung der

Wenn

denn,

wegen der
Zellen

es

ist,

wenn man

die

sie

Zustandsraumes für alle Zeiten berechnen kann, wofern

damit auch

teilung erledigt. Die statistische Schlußweise

Man erkennt nun sogleich, daß dem
voneinander vollständig unabhängig

im

Zeiten kennnen,

bekannt anzusehen

Punkte

als

im Sinne unserer statistischen

dann hat offenbar die statistische Betrachtungsweise keine Berechtigung mehr;

eine

jedes

des Phasenpunktes

im allgemeinen ändern.

die Verteilung

Verteilung übersehbar, das heißt trotz der

allen

ist

Anfangsverteilung

die
in

Anfangslage

Nun

Anfangslage eines jeden Phasenpunktes

der Punkte im Zustandsraum wird sich

1

der Allfür

die r Zustandsveränderlichen

Bahn desselben zu

durchlaufen

sie

Zustandsraumes, also die Zahl der Punkte

sie

hierdurch

Geschwindigkeit nach Größe und Richtung an, mit welcher der Phasenpunkt im Zustands-

Funktionen der Zeit und der Anfangswerte;

die

ohne

Abbruch geschähe. Diese Gleichungen geben

ein

raum fortwandert. Die Integration der r Differentialgleichungen

sowie

—

kann

wirklich so

sind.

die

dann

Denn

ist,

in

Frage nach

der Häufikeit

irgendeiner Ver-

nur entweder überflüssig oder

wenn

die

V

falsch

physikalischen Systeme

diesem Falle üben

sie

aufeinander keinerlei

auch eine solche Zeitgesamtheit statistisch untersuchen kann, indem man

für eine solche

Abbildung siehe im §

18,

sein.

sie

auf


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arva

S

i

haben

.

Zeit

Funktioi

Funktionen

hungen

im allgemeinen

iner

un,:

—

rleichungen, welche die r Zustands-

<

bestimmen, genau dieselbe Form;
unterscheiden

der Zeit

sich einzig

haben

Phasenpunkte

aller

[ahnen

r

die

analytisch

r-parametrigen Schar an.

die expii-

und

allein

dieselben

diesem Falle

In

lalit

en Verteilung jede spatere berechnen.

Wir wollen
V Fadenpendel

vor

mit

,^.

illustrieren.

einfaches Beispiel

ein

welche

Schwere
n wir

durch

che

d

in

Schwingung

einem

In

Räume

seien

Bezeichnen wir

versetzt werden.

den momentanen Ausschlagswinkel eines Pendels mit

£

und

ahkürzur

leichung eines der Pendel

so

-ii

durch die beiden Gleichungen

£

ems

tnentane

genügen

m

für

Funktionen der Zeit

denselben

ist

= 0.

durch die beiden Variabein

Gleichungen

zwei

definiert:

Die

i,

i\

bestimmt und

Darstellung

explizite

von

di

t

;.

(

lautet:

welche durch

5,
lit

abgegr«.

darin, die verschiedenen
,e

ch vereinfacht,

wenn wir

hinsichtlich

die

An

dingungen bestimmt werden. Das

möglichen Verteilungen der
ihrer Häufigkeit

variable statt

a

ir=i,

s

;,

zu

i]

.Y

Pendel

untersuchen.

die

statisti-

einem bestimmt

in

wird

Die Ausführung

Veränderlichen

-J3L
v

einführen und die

in

der

ene studieren.

\

ucht werden, welcher

um

ilso

I

plituden
1

um

einem

Ein

Punkt

e

I

Verteilung

in

den Koordinatenursprung mit
die
in

obere Grenze

i

dem
dem

Teile

der

Kadi

der bei den schwingenden

den

momenl

mal

dem Radius

ileichunj

.//
s,

nd

i

Gleichungen ein-

senpunkl

Da nun

im den

en
nkte mit

I

Krei

vindigk«
Ine relativ.

inem
cht.

die

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Grundlagen der statistischen Mechanik.

413

zum

Verteilung der Punkte in der Kreisebene für eine bestimmte Zelleneinteilung erfährt. So
ändert sich eine ursprünglich

durch

Verteilung

gleichförmige

wenn man

nicht; ferner ändert sich eine beliebige Verteilung nicht,

Punkte

der

Beispiel

überhaupt

als Zellen konzentrische,

um

den

Eine statistische Häufigkeitsuntersuchung hat unter solchen

Ursprung beschriebene Kreisringe wählt.

Umständen keinen

Bewegung

die

Berechnung der Verteilungsänderung aus den

Platz; ihre Stelle hat die wirkliche

Bewegungsgleichungen der Phasenpunkte eingenommen.
Dies

nur dann

gilt

nicht,

wenn

r

große

eine

lösenden Gleichungen zu groß geworden

Dann

ist.

zelnen System nicht mehr zu überblicken. Dieses

Einführung der statistischen Betrachtungsweise
direkten

Lösung des Problems

das

ist,

nämlich einzig und

ist

erforderlichen Gleichungen zu groß

um

wenn

heißt,

Zahl

die

der

eben schon der Ablauf der Vorgänge im

ist

ist,

ein-

Grund und Motiv zur

allein

um

aufzuschreiben

sie

zu

Vorgängen: daß die Zahl der zur

bei physikalischen

daß die Dauer keines Menschenlebens hinreicht,
zität

Zahl

benutzt werden zu können;

und zu

und

lesen,

Kapa-

die

keines Menschengeistes, sämtliche Lösungen zu behalten, zu fassen und physikalisch zu deuten.

Lassen wir also den singulären

einzelne System der Gesamtheit

daß schon das

Fall,

unüberblickbar

Gesamtheit von physikalischen Systemen,
welche dauernd und vollständig unabhängig von einander sind, läßt sich die Methode
der statistischen Mechanik nicht anwenden.
kompliziert

ist,

so erkennen wir: auf eine

beiseite,

12.

Es hat den Anschein,
gasse geraten wären.
seitige

Unabhängigkeit

macht

die

als

ob wir an dieser Stelle unserer Untersuchung

haben

Einerseits

Elemente

der

Unabhängigkeit

gegenseitige

Verteilungsproblems

statistischen

Statistik

letzten Satzes

im vorigen Paragraphen

sollen die

zu unterwerfen? Aber

Was

liegt

damit gemeint

ist

Zusammenstoß

vor,

erfolgt

Voraussetzung

Systeme
es

ist

auf den Worten

ist

Mechanik

kurzer Zeiten

sehr

vor.

Dieses entsteht

aufeinander

starke

Hierbei wird der Bewegungszustand

Phasenpunkt eines
raumes,

in

erst

Kräfte

—

der er sich gerade befindet,

dadurch, daß je

der

durch

heraus-

also

so

man

so viele

verschiedene Gleichungen

heuer große Zahl. Jetzt
selben zugrunde

der Moleküle

wenn
des

ist

also die

in

beteiligten

in

eine

als

Methode

zwei Zusammenstößen

man am

besten an
stellt

ein

wenn nicht gerade
Wäre dies aber

Abhängigkeit

gegenseitiger

Moleküle

wesentlich

aus

der Zelle

andere hineingeworfen.

Zusammenstöße
gestattet,

ja

die

unabhängig von den

geändert;

der

des Zustands-

Diese durch die
aber xon

ist

erfolgen,

also

eine

mögliche.

wenn nur

übrigen

stehen.

einer

bei der letzteren

einzig

liegende Unabhängigkeitspostulat wird dabei nicht verletzt,

zwischen

sie

auch kein Problem der

läge

Berechnung ausschließt; denn

aufzulösen,

statistische

als

ausführt.

Zusammenstöße bewirkte Änderung der Zustandsverteilung unter den Molekülen
Kompliziertheit, die jede Möglichkeit der direkten

der Tat

In

sein,

zwei oder mehrere Moleküle während

den Zusammenstoß

und

den

Der Ton des

Jedes Molekül

das heißt

anderen Molekülen

ausüben,

jeden

eines

solchen Moleküles wird

erkennt

ist,

eines idealen Gases.

strenge für alle Zeiten der Fall, gäbe es also keine Zusammenstöße,
statistischen

eines

Systeme

unabhängig voneinander

welches seine Bewegung im allgemeinen
allen

Elemente

physikalische

beständig und überhaupt.

sind, aber nicht

unabhängig von

aber

„dauernd und vollständig".

insofern

gegen-

die

andrerseits

nur eine scheinbare.

und welches der Kern der ganzen Frage

—

gehabt;

ungeeignet,

diese

also möglich,

die Schwierigkeit

klassischen Beispiel der Gesamtheit der Moleküle

mechanisches System
ein

wie

Systeme der Gesamtheit nur so lange und

Elemente der statistischen Verteilung

dem

zur

physikalischer

zu werden;

Methoden der

Überlegungen des ersten Teiles

statistischen

die

der Verteilung

schlimme Sack-

in eine

die

Molekülen

hätte

unge-

Das

der-

Bewegung
erfolgt

und

in der Beschreibung dieser Bewegung durch r Gleichungen die ganze Definition
Moleküls als mechanischen Systems besteht. Die Zusammenstöße sind in diesen


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5

.1

nicht enthalt.

n

Anwendung

die

Mechanik

n

unl

werden

m
mu u

mc

den

Überlegungen

den Zustand eines

dem Unabhängigkeitspostulat Genüge

leisten.

welche

-l.

Rechnung gezogen werden. Außer ihnen

in

durch welchen immer wieder für sehr kurze Zeit irgend eines oder

,

und eine wesentliche Änderung seines ZuStandes

igkeit verliert

;

der eine

un

.

physikalischer Hinsicht vollständig definiert und die durch

in

.

r

die

1

Die Gleichungen, welche

können.

spielen nur

sie

nicht,

Gesamtheiten, welche

alle

für

müssen

flnieren,

ermöglicht

erst

.atistik

im vorbildlich

die

Vorgang gar

als physikalischer

n

Störung

zufällige

bekannt zu sein;

nicht

.

Ko:

i

ihren

p

.

in

n:

Funktion

Während

unst'

sind,

haben

sie

nur ein

erkannt:

amtheit

hen Mechanik
Methodik hat auch
Wirkung

dur

-cheinungen

ändert

Methode

sich

nicht

Zustand

ihr

im

allgemeinen
Ich

Stellen.

Wir haben

zu nennen.

quasi-regulär«

physika-

gehorchen aber

sie

Zustandsvariabeln

die

physikalischer Systeme

quasi-regulärer,

Gegenstück. Die Erscheinungen, welche

ihr ontologisclu-s

u.

definiert,

physikalischen
seine

die statistische

in

-ein.

Zahl

iOen

der

mit

tun und

genannten Zeitpunkten singulare

den

in

Eigenschaft

in Objekt de;

wäre

Momenten

diesen

In

nicht.

vorhandene Verteilung

hat

er

seh unabhängig voneinander

Hingen

Definitiv

ihn

die

nichts zu

liegt,

notwendig und ohne

I

nentenweise

zugrunde

echnung

-

ändert

darstellt,

von Teilphänomenen
nur

resultieren

dgl.,

zustande
dann,

kommen

wenn

die

sollen,

..

beschriebenen

Iren Ablaufs der Teilerscheinungen wirklich vorhanden sind. Sobald
-:

de

hnen

und daher

M

der Sl

.'.istik

nicht

us.

Eine

noch

liefern,

keii

ir

v.

wenn keine

anwendbar

bleibt

ist,

auch

die

durch

die

umherschwirrender Moleküle

so große Zahl

Zusammenstöße vorkämen;

man könnte

an

konstatieren.

13.
ist

welch

klar

irhanden

eine andere

geworden, daß
teme auf
ilung der

I

durch, daß

immer irgend

unkte wandern dabei
tolgt

ein

zufälligen Störungen«

die

den Wertebereich

es sind,

der Zustandsvariabeln

Phasenpunkte im Zustandsraume än<

Punkt au- seiner Zelle heraus- und

eine

in

und Form im

allge-

aber mit Notwendigkeit, daß durch jene ganz andere

Wan-

in

Zickzacklinien,

igleichungen

derer

ausführen

und welche w ährend

'unkte nicht aus ihren Zellen herausgeführt werden.

nen

verlaufen
lirift

dem-

für die

:.

ein

System

die

physikalische Unabhängig-

konstanter Enei

En
flei

lergestellt

hu

traehtung

•*•

ta

"*»*-

.Jen,

K.hrncn der .llgcm.inr

t

em

dauernd bewahr;, dafür sorgt die an den

durch welche
!'..i!

innerhalb

Konstruktion der Zelieneinteilung.

Statuiert

ht

anz

des
I

s in gulären

wird
eine

d<

Kurve


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415

Grundlagen der statistischen Mechanik.

Da

konstanter Energie.

Komponente
dann

wenn

erfüllt,

Bahnen

diese

welche

besitzen,

von Flächen

Zellen

die

eine Zelle nicht verlassen sollen,

so

auf der benachbarten Zellwand senkrecht

ihre

Dies

durch Flächen konstanter Energie (Energieflächen)
Form der Zellen bestimmt.

Zelleneinteilung
Hierdurch

ist

die

Tangente

keine

dann und nur

ist

wenn

begrenzt werden,

Energie

konstanter

darf

steht.

also

hergestellt

die

wird.

14.

Angenommen

nun,

es

gegeben und es handle

von physikalischen Systemen

eine Gesamtheit

sei

der

Art

den

an

welche

statistische Gesetzmäßigkeiten aufzusuchen,

sich darum,

warmen Körpern beobachteten Gesetzen

betrachteten

mit

Thermodynamik in Analogie gebracht werden können,
dann ist die erste Frage, die zu beantworten ist, diese: Welche räumliche und zeitliche Komplexe
von Phasen in der Gesamtheit sind die Elemente der Beobachtung? Das heißt, welche Größen in der
Gesamtheit können

als

Moleküls

einzelnen

Diesen kann

Größe.

Der Zustand

»beobachtbar« gelten?
Gasmodells,

eines

man

aufgefaßt

Dies

thermischen Erscheinungen

zum

Größe,

Beispiel

sprechen.

tragen vielmehr

alle

Durchschnittswert,

sowohl

aller

Methode der Messung

Temperaturmeßinstrument würde

keine

der Temperatur

um

sehr vielen Molekülen

von Phasen

einer Reihe

der

sobald

man

die

hat als

Temperatur

einer

Mit

bestimmten,

auch

gilt

im Molekül,

zu
ist

können,

die

in

sondern

und kein

beobachtbar zu gelten
folgen

erst

der

feinste Lötstelle eines

Ähnliches

ist.

ist

dieser Auffassung

etwa der Atomschwingungen

Schwankungen

die

an einer Stelle eines Gases

ist.

Berührung

in

die

nicht

einem bestimmten

in

der nach einer

zu reduzieren

die

sehen,

und der beobachtete Wert

bei

solche

von dem Werte

Sinn,

Raumes

des

Übereinstimmung, da selbst die

in

Beziehung: nicht die momentane Phase

nur der zeitliche Durchschnittswert

zeitlicher Hinsicht;

Moleküle,

auf einen bestimmten Raumpunkt

Thermoelementes noch immer mit

ist

unsere Zwecke

für

Mengen

heißt

unmittelbaren

Umkreise

einem gewissen

in

in

an einem bestimmten Punkte

Zu dem beobachtbaren Werte

Moleküle

natürlich die praktische

zeitlicher

räumlicher wie

in

gewonnen aus den Zuständen

formulierenden Regel

auffassen

statistisch

statistisch auffaßt, hat es keinen

der Temperatur,

Zeitmoment zu

müßte

es könnte,

des

Beispiel

ausgeschlossen zu gelten haben, denn es handelt sich ja

als

gilt

einem bestimmten Zeitmoment,

in

statistische Auffassung der Erscheinungen und
Einzelelemente derselben.

zum

des einzelnen Systems,

wenn man

beobachten und

nicht

Beobachtungsmethode

betreffende

der

auch

nur

annähernd ro rasch aufeinanderfolgten wie die Zusammenstöße zwischen den Molekülen.
Hier erhebt sich nun

mentale Frage:

Wert

eine interessante

Gibt es eine untere Grenze

und

für die

für

die Zahl

thermischen Größe bestimmt?

einer beobachtbaren

ganze

ist

und

»Temperatur«, »Entropie«

u.

die
dgl.

suchungsmethoden immer mehr
mit deren Hilfe

nehmen könnte,

Nun

freilich

ist

man

nicht

nach

unten

im

aufhören, einen Sinn zu haben?

verfeinert,

offenbar

funda-

Zusammenwirken den

der Natur gesetzte Grenze,

Wesen

überschreiten

Methode

deren

Gibt es eine von

welche unabhängig von der Feinheit der Beobachtungsmethoden,
tungsweise gelegen

statistische

der Systeme,

der statistischen Betrach-

darf,

ohne

Denken wir uns

daß Begriffe wie

also unsere Unter-

denken wir uns etwa Temperaturmeßinstrumente konstruiert,

man Temperaturdifferenzen an zwei Kaumstellen von molekularer Distanz noch wahrbei welchen Distanzen würde das, was man beobachtete, noch »Temperatur« sein?
klar,

daß

wie wir

die Frage,

sie

gestellt

haben,

noch

schlecht

formuliert

ist.

Die

Mindestzahl der Einzelsysteme, welche zu einem beobachtbaren Werte beitragen, wird sicherlich nicht
ein

für allemal

bestimmt

Systeme, auch von

kommt

es aber

der

sein,

sondern

von Nebenumständen, wie

speziellen Natur

auch nicht

an,

der

zu ermittelnden

sondern auf die

zum

Beispiel

der

Auf

sie

Zustände oder Phasen,

in

thermischen Größe

kleinste Zahl verschiedener

der Gesamtzahl

abhängen.

denen sich die Finzclsysteme befinden oder genauer gesagt, auf den kleinsten Phasenbereich oder das

kleinste

Volumen des Phasenraumes.

Präziser gestellt lautet also die Frage:

thermische Größen als statistische Mittelwerte der un
kalischer

Systeme aufgefaßt werden

Denkschriften der mathem.-naturw. Klasse,

sollen,
9f>.

Hand.

gibt

es

Wenn beobachtbare

beobachtbaren Phasen einer Gesamtheit physi
dann ein a priori vorgeschriebenes Mini-,-