Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 57-0151-0228

151

/; w
ww
.

bio

log

iez
en

tru

m.
at

THEORIE DER DERIVATIONEN.
ity
l

ibr
a

ry.

org

VON

DER SITZUNG AM

17.

OKTOBER

1889.)

fro

m

Th

eB
iod

ive

rsi
t

yH

IN

eri
tag

(VORGELEGT

eL

ibr
a

ry

htt

p:/

/w

ww
.bi
od

ive
rs

ANTON KKUG.

vielfachen Integrale einer gegebenen Function fiz)
ina

und

die DiifereutialquotieDteii

als

;O
rig

Der Gedanke,

lD

ow

nlo

ad

Einleitung.

doch

ist

Liouville der

der diesen Gedanken weiter verfolgte und eine diesbezügliche

erste,

e,

alt,

rid
g

sehr

MA
)

Specialfälle eines allgemeineren Ausdruckes F{z, n), der von zwei Variablen z und n abhängt, aufzufassen,
ist

Wenn

angewachsen.

die Literatur beträchtlich

log

ist

ich

mich nun

in

der vorliegenden Abhandlung mit

Zo
o

es

y(
Ca

mb

Theorie ausbildete. Seit dieser Zeit haben sich viele Mathematiker mit diesem Gegenstande beschäftigt, und

ive

derselben Frage befasse, ohne mich auf irgend einen der Vorgänger zu beziehen, sondern vielmehr wieder von

was

zu sagen

ist,

und wenn

ich

meiner Arbeit

of

ist,

Co

führungen noch nicht das gesagt

mp
a

rat

vorne beginne, die Theorie aufzubauen, so geschieht es, weil nach meiner Ansicht mit den bisherigen Aus-

so

es betreffs der Definition der Deiivation (wie der

Ausdruck F{z,

ti)

nach

se

ist

dieser Beziehung

und der functionentheorcti.schen Grundlage der Entwicklungen.

ist)

Riemann's

benützend, gehe ich davon aus,

der Derivatiou D"f{z)

= F{z,n)

die

ary

Einen Gedanken

Mu

benannt

the

Grünwald

of

Herrn

um

einen Fortschritt vindicire,

in

—
F{z,n)z=zF{z,n+l)
vZ

ard

Un

ive

rsi

ty,

Er

ns

tM

ay

rL

ibr

beiden Fundamentalforderungen aufzuerlegen

— v) =

f{z)dz'

V

ganz und positiv

Differentialquotienten werden, ist ohne Weiteres klar);
ed

+ v)

Dig

itis

(dass dann F(z,

by

the

Ha
rv

F{z,

die Deiivation noch nicht bestimmt ist,

dass

man

dann

zeigt sich, dass hiedurch

also noch eine Forderung stellen kann.

Für diese neue

Forderung wählte ich die Relation
D^D''f{z)
als dritte
sie

Fundamentaleigenschaft, und dann

ist

— D'"+''f{z)

die Derivation F(z, n)

vollkommen bestimmt und

ich konnte

durch das verallgemeinerte Cauchy'sche Integral ausdrücken. Ganz von selbst stellten sich die Bedingung


Anton Krug

152
der Deiivirbarkeit der Function

sowie der Begriff des Intervalls,

f{z),

und endlich die Bedingung

ein,

unter der die dritte Fundamentaleigeuscliaft besteht.

Die EinfacLheit und Natürlichkeit dieses Gedankenganges wird man nicht verkennen; es fragt sich jetzt
nur, ist die auf diesem Wege gefundene Derivation auch identisch mit der bisher behandelten? Diese Frage
zu bejahen; das zeigt die Darstellung

(^

ganz und positiv

V

a

ist

= oo,

/; w
ww
.

Liouville

findet (bei

Buchwaldt

bio

log

O""*"'

Grünwald

bei H.

und den Übrigen

ist

org

im Wesentlichen überall

beide Fälle zulässt).

ibr
a

ry

htt

p:/

/w

ww
.bi
od

ive
rs

ity
l

ibr
a

a endlich, während

J

ry.

die sich

"^ ^^'

r'C

^

iez
en

tru

m.
at

ist

eri
tag

eL

I.

ive

rsi
t

yH

Definition der Derivation mit endliclier unterer Grenze.

Th

Wir bilden von einer vorgelegten Function

eB
iod

1.

complexen Variabelen z successive die

Differential-

fro

m

f(z) der

a

rid
g

e,

MA
)

;O
rig

ina

lD

ow

nlo

ad

quotienten und vielfachen Integrale, dann haben wir die beiden Reihen

y(
Ca
log

F{z,l\
rat

ive

Zo
o

F(z,0),

Co

mp
a

Fiz-1),
die untere

F{z,2)

.

F{z-2)

.

.

.

.

F(^z,.)

.

F{z~.)

.

.

.

.

Grenze a der vielfachen Integrale endlich und sonst beliebig

sein,

um

soll

of

bezeichnen wollen. Dabei

a

mb

a

deren Glieder wir folgeweise mit

ist.

die Differentialquotienten

und vielfachen Integrale die specietlen Wcrtlie

sind,

of

Wir können dann sagen, dass

the

Mu

se

jedoch von der Beschaffenheit, dass die Function f(z) wirklieh zwischen den Grenzen a und z integrirbnr

rL

ibr

ary

welche die allgemeinere Function

ty,

ganze positive und negative n,

d. h. für

« =;

+v

annimmt. Diese allgemeinere Function

rsi

für

Er

ns

tM

ay

F{z,n)

genannt werden;

ard

f(^z)

Ha
rv

vorgelegten Function

Un

ive

eine Function der beiden von einander unabiiängigen complexen Variabelen z

und n

ist,

möge

welche

Derivation der

diesem Sinne sind also die Operationen des Differenzirens und

einer allgemeinen Operation,

die

wir dementsprechend das Deriviren nennen

the

Integrirens specielle Fälle

in

F(z,)t),

ist

nun zunächst zweckmässig, für das Differenziren und Integriren ein gemeinsames Zeichen einzuDig

Es

itis

ed

by

wollen.

führen; dazu benützen wir vor der

Hand das Zeichen
fi-'^(z)

D

mit beigesetztem Index, nämlich

= D'f{z)

p az)dz^ = D-'f(z)


153

TJieorie der Derivationen.

dann wird die analoge Bezeichnung

für das Deriviren lauten:

F{z,n)=D"f{z).
um, indem

anzeigen und rechter

Hand das

wir, wie gebräuchlich,

fertige Resultat

angeben, also

= F{z,n),

D"f(z)

nun von vornherein

leicht zu sehen,

unendlich viele Operationen D" geben wird,

dass es uuendh'ch viele Functionen F(z,n) und daher auch

welche für ganze, positive oder negative n die Differentialorg

quotienten und vielfachen Integrale liefern,

ibr
a

ry.

und unter diesen verschiedenen Functionen F{z,n) werden wir

im Folgenden eine möglichst einfache zu bestimmen suchen, und diese

allein mit

dem Namen

Derivation und

ww
.bi
od

die dazu gehörige Operation mit der Bezeichnung: deriviren belegen.

beliebigen

bei

n

bestehen lassen, es

ist

dies die

ibr
a

ry

die dieselbe bei allen ganzen n hat,

p:/

/w

nun diese Function F(^,«) durch einen analytischen Ausdruck bestimmen zu können, mlissen wir

eine Eigenschaft,

htt

Um

12, 1/9:= 3 etc.
bio

ist

/; w
ww
.

Es

log

=

der Sinn dieser Gleichung derselbe wie etwa der der Gleichungen 3.4

ity
l

ist

ive
rs

so

iez
en

tru

.

die auszuführende Operation linker Ilaud

m.
at

Stellen wir diese Gleichung

eri
tag

eL

Eigenschaft

= i^(>,±v-+-l),

yH

fV,±v-)

sofort aus

den Reihen

erkennt; und ihre Verallgemeinerung für beliebige n, welche zulässig
Th

man

1)

ist,

lautet:

ist,

ad

von n unabhängig

ow

nlo

da

fro

m

die

eB
iod

ive

rsi
t

8

8

lD

F{z,n):=F{z,n + l).
ina

2)

Zu dieser Gleichung, welche

e,

die folgenden gleichsam als Grenzgleichungen hinzu:
log

= D^'f{z)

3)

ive

Zo
o

F{z,±.)

Aus diesen Gleichungen

welche wir die Fundamcntalfordcrungen

3),

für die Derivation

nennen

of

nun

und

2)

F{z,ii]

bestimmt werden. Wir müssen zu diesem Zwecke vorerst jedoch, namentlich um die
um

soll

se

wollen,

mp
a

rat

die V ganz, mithin die rechten Seiten bekannt sind.
Co

wo

Bezug auf n aber eine Func-

rid
g

dann

treten

in

mb

ist,

Bezug auf z eine Differentialgleichung,

in

y(
Ca

tionalgleichung

MA
)

;O
rig

8

Form

zu bringen, eine Betrachtung über gewisse Curveninte-

the

Mu

rechte Seite der Gleichung 3) in eine andere

ay

rL

ibr

ary

of

grale einschalten.

gelteöden Formel von

Cauchy

bekanntlich der Integrationsweg
Dig

ist

itis

ed

by

the

Ha
rv

ard

Un

ive

v

rsi

In der für ganze positive

ty,

Er

ns

tM

2.

7v,

der complexen Variabelcn

/

eine beliebige Curve, die den

einmal im positiven Rinne umläuft und keine Ausnahmepunkte der Functidn fif) einschliesst.
Der analoge Ausdruck für
v an Stelle von v ist

—

Denkschriften der mathem.-Qaturw.

Gl.

LVII. Bd.

20

Punkt z


Anton Krug,

154

stimmte Form

die Variabele

liier

oo.O

um

an, und

man davon

nimmt J(c,— v)

so

die

unbe-

das zu vermeiden, definiren wir

= Lim

j(.,-v)

'^^^..;

'\

Sin-

i

f fm-^y^'-'^^t

•^^_

!

,(5=0)

Formel

die für beliebig kleine o geltende

org

man

ibr
a

ry.

so erhält

/; w
ww
.

bio

log

iez
en

tru

Subtrahirt

auf denselben Integrationsweg IC,

t

m.
at

man

Bezieht

ity
l

= Lim 1-^^'-=^/ m[(t-zy+~^-'-{t-zy-^]d
ww
.bi
od

ive

rs

j{z,-v)

rsi
t

w""

=

i

(i-..-)(2+y. !\.-iTS)

,[«')('-')''

^4^
I

(S=0)

ad
nlo

J

lD

•

ow

f^

A0('-~^)'-*^(^-^")^'-

;O
rig

•

MA
)

Integrationsweg' IC denken wir uns nun so entstanden, dass er von einem beliebigen Punkte
e,

Den

^

=

Jz-y)

6)

ina

oder einfach

fro

m

Th

•'(---')

yH

weiter
ive

ist

eB
iod

so

eri
tag

eL

ibr
a

ry

htt

p:/

/w

und berücksichtigt man die Gleichung

mb

rid
g

gehend den Punkt z einmal im positiven Sinne umläuft,

Zo
o

log

y(
Ca

wieder in a endigt. Der Anfangswerth der Function anter

—

ä)"'"~' l

dem
{a

—

Ausnahmepunkte von

Integralzeichen

ist

f{t)

aus-

ausschliesst

und

deinuach

z)

ive

f(a) {a

nlle

er

mp
a

rat

der Endwerth dagegen

/

beim Durchlaufen von

z

Mu

se

weil die Amplitude von

um

of

Co

f{a){a-zr-'[l{a-z)+2iK\,

v)

2

;r

gewachsen

ist.

Der Integrationsweg A'

ist

keine geschlossene Curve.

ary

nun den Ausdruck rechter Hand

in G)

auszuwerthen, ersetzen wir den Integratiousweg

A'^

durch

rL

ibr

Um

—

um

of

the

somit in der letzten Darstellung von J{z,

Ä'.

ns

aus der beliebigen geraden oder

krummen

Linie {az), die von a nach z führt, ohne durch einen Aus-

Er

1.

tM

ay

einen neuen Integrationsweg, der aus folgenden drei Theilen besteht:

dem

ty,

rsi

f(t)

zu gehen, noch einen solchen zu umwinden,
ive

nahmepunkt von

unendlich kleinen

um

z geschlagenen Kreis z^

aus

3.

aus der von z nach a zurückfülirenden Curve {zd).

ard

Ha
rv

itis

ed

by

the

ist

Dig

Dann

Un

2.

"0


155

Theorie der Derivcdionen.

Im zweiten

Integrale substituireu wir

i

—z =

den Radius des unendlich kleinen Kreises
Integral; kehrt

mau

pe''f

=

dt

,

wo

df,

ioe''^

f^ bis

um,

-^.]

'j<,

+ 2r

wäcbst und

p

verschwiadet dieses

p

so bleibt einfach

mit-.r^.2i..dt
m.
at

=

von

Für unendlich abnehmende

Zo darstellt.

ferner im dritten Integrale die Integriitionsrichtung

j^,-^

'^

[V(0(^-n'--'r//.

.

log

j-,1^

bio

=

-v)

J(^

iez
en

tru

oder endlich

/; w
ww
.

a

ibr
a

ry.

org

Man erkennt sofort, dass der rechter Hand auftretende Ausdruck nichts Anderes ist, als das vfache
Integral von f(z) genommen zwischen den Grenzen a und
Bezeichnet man dieses nach der früher gemachten
ive
rs

ity
l

;^.

/w

ww
.bi
od

Bemerkung mit

htt
ry

ibr
a

5)

eri
tag

eL

man wegen

p:/

a

so hat

Canchy'schen Formel

vollkommen analog

4)

eB
iod

eine Formel, die der

ive

rsi
t

yH

^(t-z)-' +1
ist.

Beide Formeln lassen sich zusammen-

ad

fro

m

Th

fassen in die folgende
'o^

'

nlo

'^^^~

2iK

ow

'l{t—z)±'+'

eine ganze positive Zahl bedeutet.

« des Integrationsweges

so ist der Wertli des Curveniutegrales

unabhängig, weil dann 7C eine geschlossene Curve

7v"

ist;

dagegen das untere Vorzeichen,

mb

den Grenzwerth

als

v

A",-

nicht

dem

mehr geschlossen

die beliebige Zahl

—

ist,

wenn man

(i'+'J)

l»ei

sich

unendlich

ive

o zustrebt.

vorstellt,

den v-ten Differentialquotienten von
of

um

genommen zwischen den Grenzen a und
se

Integral von f{z),

somit die Derivation D"f{z) oder F(s,n) für ganze positive und negative

dass F{z,-hv)

Mu

n derart bestimmt,

ist

Co

Zufolge der Gleichung 7)

mp
a

rat

abnehmendem

weil der Integrationsweg

a,

log

—

y(
Ca

abhängig vom Ausgangspunkte
die ganze negative Zahl

wie wir eben gesehen haben, der Werfh des Curvenintegrales

so ist,

Zo
o

gilt

rid
g

e,

vom Ausgangspunkte

Gilt das obere Vorzeichen,
;O
rig

V

MA
)

wo

ina

lD

y

z,

darstellt,

und F{z,—)/) das vfache

was wir

bei der

Forderung 3)

können wir unsere Fundamentalforderungen so aussprechen:

ty,

Er

Vermittelst der Gleichung 7)

ns

tM

ay

rL

ibr

ary

of

the

berücksichtigen wollen.

f(z)

ard

Un

ive

rsi

„Die Derivation F{z,h) muss der Functionalgleichung

= F{z,n-^1)

8)

the

Ha
rv

^^F{z,7i)

=+

by

ganze h

ed

für

v

die

Grenzbedingung

Dig

itis

genügen und

erfüllen."

Um

nun zum analytischen Ausdrucke für F(z,n) zu gelangen, wird es unsere nächste Aufgabe

Gleichung 8) zu integriren und das Integral der Bedingung 9) zu unterwerfen.

Da nun

sein,

die

8) gleichzeitig

20*


Änton Krug,

156

Weg, die vollständige Lösung von 8) direct zu finden,
sehr schwieriger sein; wir brauchen aber für unseren Zweck die vollständige Lösung gar nicht, da wir
ohnehin wieder speciaHsiren miissten, um auch die Gleichung ;i) zu befriedigen. Zudem werden wir von

Fimctional- und Differeutialgleiclmng'
ein
sie

einer dirccten

Lösung um

so wird der

ist,

so lieber absehen, als sich unser Ziel sehr leicht auf indirectem

Wege

erreichen lässt.

m.
at

Wir versuchen nämlich, ob und inwiefern der Ausdruck

iez
en
log

wie 4j und 5), unseren Gleichungen 8) und Ü) Geniige
ersichtlich;

8

^^

bio

leistet.

/; w
ww
.

ist,

ohne Weiteres

Üass

genügt aber auch der Gleichung 8), denn es

er

\\h + 2) f

t\t)dt

^.

^.

htt
ry
ibr
a

alle

ganzen n t=

yH

genügt dann ebenfalls der Gleichung 8) und hat die Eigenschaft, für

i^u

verschwinden.

somit die vollständige Lösung der beiden Gleichungen 8) und 9) einfach
rsi
t

ist

zt'^

eB

iod

ive

Es

wenn wir voraussetzen, duss

Die Differenz

eL

— J(z,n) = P{~,)i)

ist.

eri
tag

F{z,n)

darf,

/w

vorgenommen werden

Integralzeichen

der Integrationsvveg K. von der früher angegebenen Beschaftenlieit

p:/

dem

da die Differentiation unter

ww
.bi
od

ive
rs

ity
l

.

er die Gleichung

ist

org

ist

ry.

9) erfüllt,

ibr
a

der ebenso gebildet

tru

(t-zf

= Jiz, n) + l\z, n)
m

Th

F{z, n)

ow

__-^_^__+P(.,„^,

;O
rig

ina

= -^j^j

lD

F{z,n)

10)

nlo

ad

fro

oder wegen der Bedeutung von J(z,h)

rid
g

e,

MA
)

wobei P{z,n) den beiden Bedingungen

y(
Ca

mb

^^F{z,n)r^P{z,,i + l)
j

P{z,±v)

log

11)

=Q

ist.

mp
a

rat

zu genügen hat, sonst aber ganz willkürlich

ive

Zo
o

\

blos an den

Forderungen 8) und

9) fest-

Co

Wir haben somit augenscheinlich das Resultat: Solange wir

der analytische Ausdruck iür die Derivation durch die Gleichung 10) gegeben; derselbe enthält
of

ist

um

halten,

the

Mu

se

noch die Function P[z,)i), welche durch die Gleichungen 11)
ist

defiuirt

ist.

Man

dass es

sieht leicht ein,

daher der analytische Ausdruck für die Derivation

ary

of

unendlich viele solche Functionen F{z,h) gibt, und es

tM

ay

rL

ibr

noch keineswegs bestimmt.

ty,

Er

ns

4.

rsi

In der Gleichung 10)

aus rechter

Hand

ein Curvenintegral entgegen, das eine nähere Betrachtung

Un

ive

tritt

dies das Curvenintegral

ist

Ha
rv

ard

verdient, es

r,

,

ix«+i) r

mdt

Dig

itis

ed

by

the

19^

Zunächst bemerken wir, dass der Integrationsweg 7C, der vom Punkt n ausgehend eine Schlinge

den Punkt z bildet und wieder nach « zurückkehrt, ohne einen Ausnahmepunkt von
einzuschliessen

,

keine geschlossene Curve

und diese Function haben wir uns wegen
die

ist.

Denn

es ist ^ ein

f{t)

durchzulaufen oder

Ausnahmepunkt des Integranden

ihrer Vieldeutigkeit auf unendlich vielen

um

ßiemann'schen

sämmtlich im Punkte z (und im Unendlichen) zusammenhängen, ausgebreitet zu denken.

-

—

\„^i

Blättern,

Führen wir


Tlicon'e der Derivationen.

einen Vcizweigiuigssclinitt von z über a,

können

so

157

den Integrationsweg- K_

wii-

stets so

lüMgst seiner ganzen Aiisdeliuung- auf ein und demselben Blatte sich befindet und wir

Insoferne

ein beliebiges Blatt entscheiden.

negative Zahl

ist,

=

eine ganze positive oder

/;

etwa

dem

für dasjenige,

der Werth

e'''""'

=z

/(

Werth

sogleich der

für ein beliebiges Blatt

/(

=

/<

indem

hervorgeht,

multiplicirt.

Es

unter welchen Bedingungen für f(f) und

fragt sich aber weiter,

endlich

/; w
ww
.

bio

wenn man mit

bestimmte Blatt

für das

iez
en

dem Werthe

tru

m.

at

entspricht, so haben wir auf diese Vieldeutigkeit des Curvenintegralcs niclit weiter zu achten,

log

/«

wo

e-'''"=",

dessen Werth abhängt von der Wahl des Blattes, auf dem wir uns bei der Integration

befinden. Entscheiden wir uns ein für allemal für ein bestimmtes Blatt,

aus

für

das Curvenintegral unendlich vieldeutig; doch unterscheiden

ist

Werthe nur durch Factoren von der Form

sich seine sämuitlicheu

dass er

uälilen,

können uns dabei

dieses Curvenintegral überhaupt

>i

ry.

org

ist.

darf auch auf ihm längs seiner ganzen

kommen

des Integranden in Betracht; nach einem bekannten Satze

steht, zerlegen wir
f{t)

gewöhnlicher Punkt

/w

p:/

und zwar

in drei Theile,

diese drei Theile sein:

ist,

bildet, eine

zu sehen, wie es dann mit der Endlichkeit dieses Curvenintegralcs

den Integrationsweg A'

die Strecke ab,

7v,-

sollen,

wenn

b ein beliebiger endlicher,

im Allgemeinen nicht geradlinig zu sein braucht, aber keinen Ausnahmepunkt

die

nlo

beginnend den Punkt z einmal im positiven Sinne umläuft, keinen Aus-

fit) einschliesst

die Strecke b

ow

und

wieder endigt,

in b

lD

nahmepunkt von
3.

ad

durch- oder umlaufen darf,
die Schlinge K',, die in b

ina

2.

;O
rig

f\t)

u.

MA
)

von

fro

m

1.

Anfang und das Ende von

Th

aber für

Um

zulassen.

f{f')

daher dieses Curvenintegral endlich und zwar

ist

a, der den

yH

Singularität der Function

Werthe

eri
tag

Wir können sogar auch im Punkte

>i.

rsi
t

Werthe von

bei der Integration nur endliche
htt

es

ry

Länge, und

ibr
a

eine endliche

eL

wie wir annehmen können,

für alle

Ausdehnung kein

ww
.bi
od

ive
rs

ferner

der Ptinkt a der Voraussetzung nach im Endlichen liegt, so hat der Integrationswes',

ive

solcher liegen.

eiuschliessen,

f(f)

Da mm

eB
iod

Ausnahniepuukt von

ity
l

ibr
a

dieser Hinsicht erinnern wir an die Beschaffenheit des Integrationsweges IC. Derselbe darf keinen

In

AO'/^
J (^-2)« +

f

2iK

log

'

f{t)m

v{n+\)

,

{t-z)"+i

J

2 «n-e-

rat

Zusammenziehung des

ersten

mdt

}

"-"+'"'.]

Zo
o

'

ive

2in

(t—z)

i

und

dritten Integrales,

Co

oder, nach gehöriger

r(«-M) f
y(
Ca

_!'(«+

mp
a

r/. „N

mb

rid
g

e,

Mau bekommt dann

um

of

6

-

se

2iK

+

J^ {t-zy+'

'

i\-«),J (^-<)»+'

gewöhnlicher Punkt der Function
ary

ein

so

ist

das erste Integral wegen der Beschaffenheit

nach dem vorhin angewandten Satze

A''.

das zweite Integral verlangt

stets endlich;

tM

ay

des Integrationsweges

f{t) ist,

ibr

b

rL

Da

of

the

Mu

^^-'"^

Er

ns

jedoch zu seiner Endlichkeit die Bedingung
14)

ard

so

ist

dieses Integral endlich,

Wir haben somit den

J{z,ii) ist stets endlich,

ed

•näinllch f{t) in der

in

Bezug auf

Dig

itis

Der Punkt a kann nun

daher auch der Ausdruck

Umgebung von


so wie

13) kann also dann der Integrationsweg

wenn

f{f)

im Punkte a die Bedingung 14)

(t—ay, oder
in

ab von

(t

— ay[l(t —

welcher sich

t

a)]-'

ist,

u.

dgl, so

gegen a annähert;

ist

die Erfüllung der

im zweiten Integrale

a aus zuerst eine ganz beliebige Richtung nehmen,

gelangen; daraus folgt dann, dass in J{z,n) der Integrationsweg

ab entstanden

erfüllt."

f\t) ein Unstetigkeitspunkt von verscliiedcner Art sein. Verhält sich

Gleichung 14) unabhängig von der Richtung,

b z«

für alle «;

Satz:

by

„Das Curvenintegral

nach

und zwar

Ha
rv

J(z,n).

diese aber erfüllt,

the

Ist

Un

ive

rsi

ty,

Lim[(«-«)/-(0],^„j=O.

sowohl bei seinem Ausgange von a

als

A'.-,

in

um dann

aus welchem ja die Strecke

auch bei seiner Rückkehr gegen « ganz beliebig


Anton Krug,

158
orientirt sein

Mau kann

kaun.

solche Unstetigkeit im Punkte

das so ausdrücken:

Ist «

Ausnahmepuukt dieser Art

ein

(wir wollen eine

—

die Erfül-

Ausgange von a und

bei seiner

im Folgenden eine Unstetigkeit „erster Art" nennen), so kann

((

—

lung der Gleichung 14) vorausgesetzt

der Inlegrationsweg

Rückkehr ganz beliebige Richtungen haben und J{z,n)

bei seinem

/v'

immer endlich und von solchen Richtungen

ist

unabhängig.

dagegen

eine Singularität von einer anderen Art (Unstetigkeit „zweiter Art",

a

in

wie wir sagen

m.

at

Ist

der

Nähe von

bestimmte Richtung haben, wenn das Integral endlich sein

a eine

bio

in

für

welche 14)

erfüllt

im Punkte a das Curvenintegral J(z,n)

Soll bei einer Unstetigkeit zweiter Art

ive
rs

im Allgemeinen der Integrationsvveg K, im Punkte a eine Spitze bilden müssen,

die

ww
.bi
od

so wird

endlich sein,

a in der Richtung annähert, wie es die Gleichung 14) verlangt.

Da vermöge

der Gleichung 10) die Endlichkeit der Derivation F{z,n) in erster Linie von der Endlichkeit
p:/

/w

dem Punkte

htt

sich

also sagen:

ity
l

Man kann

daher wird dann

ibr
a

ry.

der Tangente in diesem Rückkehrpnnkte wird eben jene Annäherungsrichtung sein,
ist.

soll,

J(z,n) eine Curve sein müssen, die in a einen Rückkehrpunkt hat und die Richtung

/i, in

org

der Integrationsweg

/; w
ww
.

ah

log

iez
en

tru

wollen), so kann zwar die Gleichung 14) auch noch erfüllt sein, aber dann im Allgemeinen nur mehr für
gewisse Anuäiieruugsrichtungen von i gegen «; in 13) muss also im zweiten Integrale der Integrationsweg

dieses eben betrachteten Curvenintegrales J{z,n) abhängt,

Bedingung

eL

ibr
a

ry

so wollen wir die Gleichung 14) die

eB
iod

ive

rsi
t

yH

eri
tag

der Dcrivirbarkeit nennen.

nlo

ad

fro

m

Th

Der durch 10) gegebene Ausdruck für die Derivation ist theils unendlich vieldeutig, insofern er das
im vorigen Paragraphen betrachtete Curvenintegral enthält, theils ist er unbestimmt, insofern in ihm die noch
da

ina

MA
)

diese neue Forderung im Allgemeinen eine beliebige sein kann, so wird die
mb

Function P{z,n) auch verschieden ausfallen müssen; es

daher von der grössten Wichtigkeit, die neue

y(
Ca

ist

stellen, dass die Function P{z,n) so einfach
log

Zo
o

wie möglich

Ausdrücke
of

Co

mp
a

die beiden

rat

man

ive

folgendem Wege:
Vergleicht

= j)'

se

um

^{z,m,n)

i)'

m=

a

i)"'

F(z,n)

a

of

the

Mu

a

+ »)=j)"'^"f{z)

ibr

ary

Fiz,ni

ay

rL

a

ty,

Er

ns

tM

mit einander, so lässt sich zeigen, dass folgende Beziehung stattfindet

+ n),

Un

ive

rsi

<l>{z,±!x,n)^F{z,±iJ.

eine ganze positive Zahl
ard

fx

ist.

Denn

es ist erstens

*(.^,

+/.,«)

= j)^ F{z,n) = -^ F{z,ny,

nun

folgt aus 8)

Dig

itis

ed

by

the

Ha
rv

wenn

durch wiederholte Diiferentiation

j^F{z,>i)
daher

ist

daher wird die neue

e,

Da nun

P{z,n) zu bestimmen.

Forderung so zu

Curvenintegrale entspringende Vieldeutigkeit

noch zur Bestimmung der Derivation nöthig haben, den Zweck haben, die Function

die wir

rid
g

Forderung,

dem

keine Unbestimmtheit involvirt,

sie

;O
rig

können wir ganz unberücksichtigt lassen,

lD

ow

nicht näher bestimmte Function P(z,n) vorkommt. Die aus

= F{z,ix +

n),

auch
t>{z,

+ !x,n) = F{z,ix-hn).

ausfüllt.

Wir gelangen dazu auf


Theorie der Derivationen.
Ferner

ist

159

zweitens

= j)-'

,„ {z,-i,,n)

= T F(z, n) dz^

F{z, n)

15)

•-'

a

a

und man überzeugt

sich durch

pmalige

nach z

Differentiation

dass die Gleichung

leicht,

z

iez
en

tru

m.
at

= F(z,n—ix)

(F{s,7i)dz^

= F{z,—
n),

Dabei

allerdings nicht zu übersehen, dass das Integral

ist

ww
.bi
od

ive
rs

ist.

ity
l

womit die obige Beziehung bewiesen

ibr

a

ry.

il>{z,—iJ.,n)

/; w
ww
.

bio

die vorletzte Gleicliung gibt daher

org

stattfindet;

log

a

ffe"

htt

p:/

/w

J7«

eL

ibr
a

ry

zwar einen endlichen angebbaren Werth hat, wenn wir, was immer geschehen muss, die Function
eri
tag

dass aber daraus noch nicht die Endlichkeit des in 15)

Bedingung 14) unterwerfen,

Beschränkung
rsi
t
eB
iod

^ F(z, m +

ist,

im Allgemeinen

«).

man

lD

das einzusehen, entwickeln wir jeden dieser beiden Ausdrücke nach der Formel 10), dann hat
ina

Um

ow

nlo

ad

4> (z, m, n)

keine ganze Zahl
Th

m

wenn

ist,

m

und i^die vorige Bedeutung, so

fro

<t>

Inte-

werden

ive

darauf noch ausführlicher zurückkommen.

Haben

vorkommenden

untei liegen niüssen. AVir

yH

grales folgt; vielmehr wird darin die Grösse n einer gewissen

der

f(f)

;O
rig

zunächst

MA
)

= i)"'

F{z,n)

rid
g

e,

^h{z,m,>,)

(r(>^+i)r

-^

21.

f(t)dt
]

Formel 10)

etwas anderen Zeichen auch sehreiben

in

mp
a

lässt sich dieselbe

of

the

Mu

se

um

of

Co

Nun

rat

ive

\

J__(^=^)^+n^'«^(•

log

-

Zo
o

_

y(
Ca

mb

a

ary

Q{z,m) den beiden Bedingungen 11) zu genügen

hat.

Wendet man

diese

rL

ibr

worin danu selbstverstiindlich

resultirt

Er

ns

tM

ay

Gleichung auf die rechte Seite der verletzten Gleichung an, so

ty,

^^,.,„,,_i^(>»+i>i^(>'+i)r

du

r

f{t)d t

Ha
rv

ard

Un

ive

rsi

j

the

+

\\M+l) Cr{t^,n)da
2/;r

J^(m_2)'"+'

[

+*^^~'''"^

ed

by

]

nach 10) unmittelbar
itis

ist

Dig

Dagegen

„,

,

F{z,m + n)
woraus man
namentlich

sofort erkennt,
/-"

=

\\m + n + l)
^.^
^

[

J_

f(t)dt
(^i-^^^s+STT

„,

+ P(^,»^
+ n),
,

,„,
17)

dass diese beiden Ausdrücke im Allgeiueiuen verschieden sein können, da ja

und Q von einander und von f noch unabhängig

sind.


A ntoH Krug

IßO

Die neue, an die Derivatioii zu stellende Forderung sei nun

m

für beliebige

dasg die beiden Ausdrücke IG) und 17)

die,

einander gleich werden, dass also
(z,

<I>

m, n)

= F(z, m + n)

oder

D"m = i)"'^"m

h'"

a

a

j»^ —p.

bemerkten.

bio

wie wir schon für den spccielleu Fall

log

wobei wir jedoch darauf gefasst sind, dass « einer gewissen Bedingung wird unterliegen müssen,
/; w
ww

.

stattfinde,

iez
en

tru

a

m.
at

18)

org

Die Gleichung 18) ersetzen wir durch die mit ihr identische, nämlich

f

r(w + ]) C l\n,n)du
ry.

du

r

f{t)dt

ibr
a

+ l)r(»+l)

ww
.bi
od

ive
rs

ity
l

r(/H

/w

J (<_2)™+«+i+^<^^''"+"^'

Bestimmung

ibr
a

eL

eri

tag

wird sich

yH

lässt,

der sich auf gewisse Curvenintegrale bezieht, und mit Zuhilfenalime dessen wir
rsi
t

wichtigen Satz entwickeln,

können.

leicht erreichen

fro

m

Th

die fragliche

und Q bestimmt werden. Dass sich eine solche
gleich zeigen; zu diesem Zwecke müssen wir aber vorerst einen
ive

Bestimmung ausführen

P

nun die beiden Functionen

sollen

eB
iod

und aus dieser Gleichung

ry

htt

p:/

2iK

nlo
lD

ow

dem Ausdrucke

ina

In

ad

6.

;O
rig

r(«+i) f {t—a)pdt

,

rid
g

e,

MA
)

,

um dann

wieder

a zu endigen.

in

Mau kann

diesen lufegrationsweg ersetzen durch folgende

Zo
o

im positiven Sinne,

y(
Ca

mb

der Integratiousweg K, von der irüher angegebenen Beschatfenheit: er gehe von a aus. umlaufe z einmal
log

sei

2.

durch einen von

wo

rat

durch die geradlinige Strecke ah,

h beliebig ist,

mp
a

1.

ive

drei Theile:

Co

ausgehenden, z einmal im positiven Sinne umlaufenden Zug

7v'',,

der aufh wieder

um

of

h

durcli die geradlinige Strecke h a.
ary

ist

ibr

Dann

of

the

.3.

Mu

se

in h eudigt,

rL

r(«+i)

'i-

ay

- — 27^"J

{t—zy+'

"^

2i7t

Jjt—zy'+'

At—aydt

27;re-''"'+')"j

{f-z)"+'

rsi

ty,

Er

ns

tM

?{p,n)

"

r(«+i)

ru;-Hi) r {t—aydt

ij-aydt

ard

Un

ive

oder nach gehöriger Zusaramenziehung des ersten und letzten Integrales
Ha
rv

r(-M+i) f (t-aydt

,

1

'(

{t-aydt

by

the

20^

a

erste Integral ist für alle
Dig

Das

itis

ed

~

Wir haben somit den

Werthe von n und p endlich, das zweite jedoch nur, wenn

Satz:

Der Ausdruck:
'(^'")

ist stets

und nur endlich, wenn

real (/)

= ~2l^i ß-zY
(T=.V^

+ l)>0

ist.

real

Q>

+ 1)^>0

ist.


Theorie der Derivationen.

Man
f(t)^z{t

was über

hätte diesen Satz auch sofort ans dein,

gesagt wuide, folgern können;

—

u)''

der That

in

161

die Endlichkeit des

Ausdruckes J{z,n)

ja
ist

in

12)

wenn nämlich

wird, und dann gibt die Bedingung 14)

Lim [(<_«). (<-a)''l,,^^^=0

Qj4-1)>0.
Lässt mau in 20)

man

tru

um

log

überzeugt sich leicht, dass unter der Voraussetzung
bio

dann

bleibt

ity
l

ibr
a

ry.

org

real h-c;0 dieses Kreisintegral verschwindet, und

in einen unendlich kleinen
iez
en

nach z rücken, so kann man den Integrationsweg K'^

h

z geschlagenen Kreis zusammenschrumpfen lassen;

m.

at

real

/; w
ww
.

d. h.

ww
.bi
od

ive
rs

a

•

(-«)^-"
^

-U.-.1)>0.
J

21)J

^i:-

eL

^

alle

Hand

die Differentiation linker

ii

ive

rsi
t

dass sie aber auch für beliebige « gilt, erfährt

beiderseits beliebig oft nach z dififcrenzirt

und bedenkt, dass wegen der Endlichkeit

eB
iod

von f{p,n) für

«<0;

zunächst für den Fall real

gilt

wenn man

dem

unter

Integralzeichen

Th

leicht,

vorgenommen werden

darf.

m

Diese Gleichung

man

yH

eri

tag

^.

ry

= {{p—n+l)
^=^
,,fi^V
(t—zY+^

f

2tT:

ibr
a

Vij^

htt

p:/

/w

oder wegeu der ursprünglichen Bedeutung von f{p,n)

ina

lD

ow

nlo

ad

fro

Die so entstandene Gleichung 21) oder die folgende

;O
rig

l (t—HY+'^V(p—n + lV

'

V{m + 1)

ein

und integriren nach u im Punkte a beginnend längs der

mb

—

r-—-r

~.

Zo
o

A',-;

das gibt

i\/«+i) r(«+i) r

r (<— a)/'(;^_ r(w+i)r(/;+i) ['(«—«)/'-" rf«

du

Co

^ {^Ziref

mp
a

rat

ive

Curve

log

y(
Ca

multipliciren wir beiderseits
UCISUllS mit
lUll

rid
g

e,

MA
)

217:

(tt— s)"'+'| (i— m)"-+-»

~

2in\\f—n->rV)-^^^

(w— z)'"+'

'

Qj

— « + 1)>0,

so

the

real

kann man rechter Hand die Gleichung 21) anwenden,

wenn man

of

nun

ary

Ist

Mu

se

um

of

].

^y

ii

und

m

ersetzt;

man

erhält so zunächst

Er

+ 1)

/(

r(_p

ty,

—

— Ml— H + l)

'

^"

r(^

m — n + \y

jt—m — n
'

ard

anwendend, indem man
Ha
rv

hier wieder 21)

Un

ive

rsi

V{j>

ns

tM

ay

rL

ibr

daselbst^; und n beziehungsweise durch

ii

m+

durch

the

r {m + +
_
~ ~^2iK

1

ist schliesslich:

r

erhält

man

bei umgekehrter

Anordnung

{t—ay dt
'

Dig

somit

)

ersetzt,

l lt^f'+^^

itis

ed

by

;t

ii

r(w+l)r(» +l') r
{2iny

du

real(2?
DeDkachriften der mathem.-naturw.

Cl.

('

•!.,(«— ^)"'"^A-

LVU. Bd.

{t—aydt _r{m+n+l) C {t—ay dt
"~
J (<_^)"'+«+<
Wir:
(<—2)"+'

+ l)>0;

real(2J

— «+1) >0.
21


Anton Krug,

162
Durch diese

geführt.

Gleicliiing ist eiu gewisses Curvendüppelintegial auf ein einfaches Curveuiutegral zurück-

Man kann

wenn man

das Eesultat verallgemeinern,

eine ganz beliebige endliclie und eindeutige Function von
so, dass stets real

Qj+1)>0

mau dann

Setzt

bleibt.

^j ist

zur

^{p)dp

beiderseits mit

multiidicirt,

und über eine beliebige Curve

Abkürzung

Dig

itis

ed

by

the

Ha
rv

ard

Un

ive

rsi

ty,

Er

ns

tM

ay

rL

ibr

ary

of

the

Mu

se

um

of

Co

mp
a

rat

ive

Zo
o

log

y(
Ca

mb

rid
g

e,

MA
)

;O
rig

ina

lD

ow

nlo

ad

fro

m

Th

eB
iod

ive

rsi
t

yH

eri
tag

eL

ibr
a

ry

htt

p:/

/w

ww
.bi
od

ive
rs

ity
l

ibr
a

ry.

org

/; w
ww
.

bio

log

iez
en

tru

m.
at

22)

wo

integrirt,

i^(yj)

jedoch


163

Theorie der Derivationeu.

woraus durch Integration

Die lutegrationscoustantc

gleichung
diesen

oj

(»n

+

1

)

=

ll^i

Gleichung 28), so

in die

c nicht enthalten.

.Setzt

man

ist

— ^
v)

oj(»()e-

m

-= w

11)

+ «)

(>«

log

(f

=r

ry.

daraus folgt noch speciell für

+

org

P(z, m

Periodicität von oj(»m):

bio

und wegen der

ersetzt

/; w
ww
.

m + >i-i-v

durcli

=

'ji(ji)er.

man

die

P

gefundenen Werthe von

und Q

Gleichung 27) ein, so wird, wie ersichtlich

iu die

du
Ju=^^ ^ [" ^ "^ - "
e"

{

.

r

X

,

'•"'

/

M

^'"^] '•

wenn

yH

aber nur dann möglich,

ist

w

für jedes

Argument verschwindet.

Dann

ist

ive

rsi
t

Diese Gleichung

eri
tag

eL

ibr
a

*'"],

htt

,

'"

2i^

ry

r (?«+!)

p:/

/w

Trägt

ww
.bi
od

ive
rs

P(z,n)

ibr
a

wenn man m

ity
l

oiler,

iez
en

tru

P(z,m

nämlich der Functional-

periodisch sein,

nebst der Bedingung oj(Ü)=:0 genügen nnd darf

oj (?;;)

Werlh von Q{z,m)

muss nach

o>{iii)

m.
at

gefolgert wiril.

Th

= 0.

(?

ad

fro

m

P=

eB
iod

aber auch

Ausdruck

für die Derivation

ina

lD

ow

nlo

Jetzt liefert also die GleichuiiLj;- 10) folgenden analytischen

'')

dienen wird. Die beliebige complexe Grösse n

möge der

mb

als Basis
y(
Ca

welcher uns für die weiteren Eutwickehingcn

rid
g

e,

MA
)

;O
rig

-D/W-'W-J^C^)-^'
r/

mnss im Endliehen liegen und

/'(-:)

hat der

log

Index und « die untere Grenze der Derivatiou genannt werden,

ive

Zo
o

Bedingung 14) zu genügen, welche wir noch einmal anschreiben wollen

Lim[i7-a)/'(0],=.=0
Co

mp
a

rat

30)

um

gewonnenen Resultate noch einmal kurz zusammenfassen:
se

die

fiz) hat folgende drei

Fnudamentaleigenscbaften:

of

„Unsere Derivation Jj'

the

Mu

Wir wollen

of

(Bedingung der Derivirbarkeit.)

"^

ns

tM

ay

rL

ibr

ary

a

a

rsi

ty,

Er

a

ard

Un

ive

z

J

[

a

the

Ha
rv

a

by

jTJfm = t'^"m-^

III.

r^i»'l('-«)'-Y(0](,=„,=o

ed
itis

a

a

Dig

a

durch dieselben

ist sie

vollkommen bestimmt, und wird analytisch durch die Gleichung 20) ausgedrückt."

Die Eigenschaft
^a'-

jym=Z^m
2 z-'

21


Anton Krug,

164
d.

li.

die Eigenschaft der Derivation,

ganze positive Indices

für

aufgenommen worden, weil

nicbt mit unter die Fiindamentaleigenscbaften

man

Differenzirt

nämlieb

2v-mal nach

in II beiderseits

in Differentialquotienten

ist

H

ist:

Folge von

sie blos eine

I

und

man

so erhält

z,

überzugeben,

durch successivc Differentiation

a

a

a

ww
.bi
od

"^

ive
rs

ity
l

ibr
a

ry.

org

a

/; w
ww
.

bio

log

I

iez
en

andererseits folgt aber aus

tru

m.
at

a

m=

b"^"'

m-

a

Gleichung

;/

= — v,

man

so hat

fro

m

Th

in dieser letzten

eB
iod

man

Setzt

ive

rsi
t

a

eri
tag

i"

yH

^'^,

8

eL

ibr
a

ry

htt

p:/

/w

^.b'm = i"^'m

nlo

ad

^.b~'m = b'm>
a

woraus durch Vergleichung mit 32) unmittelbar

e,

MA
)

folgt

;O
rig

ina

lD

ow

a

die

Zo
o

Bemerkung

wesentlich,
rat

die

dass darin

sich unter 25),

n

nicht

gebunden

resp. 26) einstellte,

beliebig,

ist;

vi

ist

sondern

dagegen

an

die

angehängte

vollständig willkürlich.

Mu

se

um

of

Bedingung,

ist

mp
a

III

II entiialten.

Co

Für

und

I

ive

also ist diese Eigenschaft in

log

y(
Ca

mb

rid
g

b'm = i^,m;

ary

of

the

n.

tM

ay

rL

ibr

Entwicklung der wichtigsten hieher gehörigen Formeln.

ive

rsi

wir im vorigen Capitel die Definitionsgleichung 29) für unsere Derivation aufgestellt haben,
Un

Nachdem

Ha
rv

ard

vor Allem wünschenswerth, zu wissen, wie sich diese Derivation als Function von z betrachtet, in der

Umgebung

the

by

in 29)

wählen wir dann einen unendlich kleinen,

den Pnnkt a gehen muss. Setzen wir demnach, wenn
f

wo

(ßg

die

Grenzen
ist,

= z+

rc''?;

a

und

y„

+

2,-T.

In

um

z geschlagenen Kreis,

r der ßadiiis dieses Kreises

der natürlich

durch

ist,

^ z+re''f«] Q—a) = r(e'? — e'?»); dt = ire"fdo,

Amplitude des Anfangsradius

f^^

A',

das zu erfahren, halten wir den Punkt a fest und lassen z an ihn heianrücken. Als IntegrntionsDig

weg IC

welche den Anfangs- und Endpunkt des Integrationsweges

der unteren Grenze a verhält,

Um

ed

bildet.

itis

ist es

ty,

Er

ns

1.

Bezug auf

ist;

/\/)

dann haben wir nach f zu integriren und zwar zwischen den
ob n ein gewöhnlicher Punkt für /'(<)

werden wir unterscheiden

oder ein Unstetigkeitspunkt erster Art. (Vergl. Cap.

I,

Paragraph

,

4.)


165

Theorie der Derivationen.

Punkt für

a) a ist ein gewöliulicher

f{t).

Aus 29) hat man zunäcLst durch Einführung der genannten Substitutionen:
Vi,) j-i") r'^"+-"

Weil wir r unendlich abnehmen lassen, so können wir, da

Umgebung von

nnd ebenso

tru

a

Umgebung von c stetig ist,
man nun die noch übrige Integration nach

iez
en

log

/; w
ww
.

>-e'(?.i+'>

Lim

und

Tf

f(z)\

=

.,^/

,

Lim

^^"\ 1

[

33)

ive
rs

ity
l

r

org

unter Beachtung von

f aus, so ergibt sich nach einigen leichten Reductionen

bio

z—n =

ry.

der

der

in

statt f{z-\-re''^) kurz f{z) schreiben und vor das Integralzeichen stellen;

ibr
a

in

führt

fyt)

m.
at

2

Umgebung von

in der

a stetig

eL

eB
iod

Die Bedingung der Derivirbarkeit 30) gibt für

ist.

p

die

—

^^—rj^

multiplicirt,

rechter

Hand

für

z-n

den

de in

Integralzeichen die Variabcle ^ wie vorhin einführt:

^"

~

nach a rücken und bedenkt man, dass wegen der Stetigkeit von
of

man

/",(/)

im Punkte a der

um

Lässt

Co

mp
a

rat

ive

Zo
o

{z—a)"-''

und unter

mb

einsetzt

y(
Ca

re''^«+'^

log

Werth

rid
g

e,

MA
)

beiderseits mit

;O
rig

29\ wenn man

ina

also als erfüllt voraussetzen müssen.
findet jetzt aus

ad

ow

nlo

+ l)>0,
lD

real(23

Man

ive

= {t-aYf,(t)

Bedingung

was wir

eri
tag

man

fro

f^(t)

endlich bleibt.

m

wo

setzen kann,

ii

Th

f{t)

stets, d. h. iür alle

yH

a sei ein solcher Uustetigkeitspunkt von fit), dass

;B)

Hand

rsi
t

Diese Gleichung sagt ans^ dass der Grenzwerth linker

ibr
a

ry

htt

p:/

/w

ww
.bi
od

oder auch

of

the

Mu

se

Quotient

Lim

vf^{z+re''f)'\

4

f,iz)

l(r=0)

ay

jeden Werth von f der Einheit gleichkommt, so wird
Er

— Tf

l\

a

J

rsi

(z-aYf,

(z)
'

—

-

e-c-i'' (?..+-)

.

\,^

"'

'

(e-?-e'?«)''e-'"frf*,
o..

ard

Un

I

ty,

^^:—^

ive

Lim

ns

tM

für

rL

ibr

ary

L

ist

weiter

the

Ha
rv

und durch Ausvvcrthung dieses Integrales

.

Dig

itis

ed

by

-[^^^ ?(-")'«-)],„.,= ^^'

Schreibt

man

jetzt linker

Hand

statt

fAz) wieder

— fiz)

—-—
^

,

so hat

man

schliesslich


Anton Krug

166
wegen

real

Q;+1)>0

Hand

der Grenzwerth rechter

ist

Für

ebenfalls stets endlich.

=

^j

kommt man

auf

34) znrück.
a sei ein solcher Unstctigkeitspiinkt von

a stetig

Die Bedingung der Derivirbarkeit

ist.

real(;;

+ l) >0

durch eine ähnliche Rechnung wie vorhin, dass der Grenzwerth

findet

wieder

ry.

[7^:1^15 f(-'-«)'I'('-«'W^-)L.,
man

wieder/",

durch

{£)

aus, so

/'(c)

kann man nämlich schreiben
ww
.bi
od

drückt

stets endlich ist;

eri
tag

eL

ibr
a

ry

htt

p:/

/w

auch hier

ive
rs

ity
l

ibr
a

-^"[

org

/; w
ww
.

und man

lautet hier

m.
at

Umgebung von

der

tru

in

iez
en

{f)

log

/",

kann

setzen

= {t-ay[l(i-a)]^f,{i),

f{f)

wo wieder

man

dass

f(ß),

bio

•/)

dem

Ergebnisse, dass
rsi
t

yH

Die Gleichungen 34), 35) und 36) führen zu

ive

= ^£(.)

z-=a

endlich bleibt,

und

nlo

für

ad

wo E{z)

gesetzt werden kann,

fro

m

Th

i)"A.)

eB
iod

37)

wo

unter-

f\t) in a blos

von

e,

rid
g

mb

Beisi)ielen sehen,

nicht

dass die Gleichung 37) in den Fällen,

wo

a ein

mehr

gilt.

Zo
o

ist,

mag

jenen Fällen in der That keine so einfache Gleichung wie 37) besteht.

in

Wir werden auch später an einigen
Unstetigkeitspunkt zweiter Art

« ein

y(
Ca

und weil

ist

log

der ersten Art unstetig

solche Derivationen beschränken werden,
MA
)

Hand nur auf

;O
rig

ina

Die Betrachtung der Fälle, wo im Punkte « eine Unstetigkeit zweiter Art zugelassen wird,
bleiben, weil wir uns vor der

wenn

f(t) ist.

lD

ow

gewöhnlicher Punkt oder ein Unstetigkeitspunkt erster Art von

/.war gilt eine solche Gleichung,

rat

ive

Mit Hilfe von 37) lässt sich nun leicht die Frage beantworten, unter welchen Umständen die Derivatiou
mp
a

Function von z betrachtet, wieder derivirbar

als

jy f{z)

statt f{z)

ist.

Dazu gehört, wenn man

in 30) z statt

f

und

um

of

Co

jy f{z)

=0

Um[{^-a)]y'fm

ns

Nach 37) kann man dafür schreiben
rsi

ty,

Er

stattfindet.

tM

ay

rL

ibr

ary

of

the

Mu

se

dass

setzt,

Ha
rv

ard

Un

ive

Lim[(0-a)'-V(s)^(^)](_j = O

by

the

oder wegen der Endlichkeit von E(z) im Punkte a
[(s-a)'-"/-(2)]

,

=0.

Dig

itis

ed

Lim

Unter dieser Bedingung
dass die in 31)

von

TT f{z),

HI

ist

geforderte

also die

somit die Derivation 2)'Y(^'

Bedingung eben

Bedingung

nichts

Anderes

wieder derivirbar,
ist,

als die

und zugleich sehen

Bedingung

für die Endlichkeit der Doppelderivation J)l"

Jf fiz).

wir,

für die Derivirbarkeit


1G7

Theorie der Derivationen.

Wir

criuuciii uns zunächst,

das wir das Curveaintcgral für die Derivation der Finiction

(z

—

a)''

schon

ausgewertbet haben; man kann uämlicli nach 21) sofort hinschreiben:

•

(^-«y-"

+ l)>0

.•enl(;;

m.
at

'^'^^;|"^\^

t.

38)

tru

=

i^-ay

man daraus

Formel

die specielle

org

/; w
ww
.

erliält

bio

=

und für;)

log

iez
en

i)"

ibr
a
ity
l
ive
rs

nach (38) auch

ww
.bi

od

ist

in

dem

für unendlich

p — « keine ganze negative Zahl

Falle, dass

ist:

abnehmende

o

übergeht, so erhält

yH

daraus

)

ow

ina

eine ganze negative Zahl,

so gilt dieses Kesultat nicht mehr.

—^jj=:v

ganz und

positiv;

dann

Um

auch für diesen Fall die

ist

mb

rid
g

e,

betrefteude Formel zu entwickeln, sei n

;O

rig

—n

MA
)

Ist j)

Qj-|-1)>.0;;;^« keine ganze negative Zahl.
lD

real

nlo

ad

fro

m

Th

eB
iod

ive

mau

und zur Grenze

dividirt

o

rsi
t

und wenn man beiderseits durch

eri
tag

eL

ibr
a

ry

htt

p:/

/w

Weiter

''^

ry.

f « = r-(T^)-(^.-

h" iz-ayi{z-a) = i>'+^ (^_a).'/(.-«)
y(
Ca

= j)j)'' (^_«) ;/(._«)
a

a

Zo
o

log

a


ive

Wege

wie vorbin
rat

demselben

findet zunäcljst auf

bekanntlich

of

ist

d

1

(o

+ l)

)

(5="J

rsi

die Euler'sche Constante ist, nämlich

C

=

0-57721 56649

.

.

.

.
;

Ha
rv

ard

Un

ive

wo C

ty,

Er

ns

'

tM

ay

rL

ibr

ary

Nun

the

Mu

se

um

of

Co

mp
a

und man

ed

by

the

wir haben daher

Dig

itis

j)''{z-ayi{z-a)

= V{p + \)\C+l{z-a)^+V\p + i),
41)

a

realQj

und durch

v-

+ l)>0

malige Diffcrenziation nach z

j)"^'

(z—ayi{z-a)

= (—1)--' ^^''^^^P;^^)

real

0^

+ 1) > 0.

42)


Anton KiiKj,

168
man

SelhstverstäncUicli liättc

Dcfmitionsintegrales

können, nur

erlialten

2i/)

41) und 42) auch duicli directe Ausvvertlinng des

die Gleiclimigeu 40),
ist

Rechnung

die

in

p

38)

Bedingung

speciell der

^ n-^h —

eine ganze positive Zahl

m.
at

man

p

1,

muss, so ergibt

die kleiner als real n sein

ist,

sich,

da die rechte Seite ver-

bio

/(

beiderseits v-mal nach

tru

Unterwirft

wo

man

die Derivation von

und linker Hand die üitfereuziatiou unter dem Derivationszeichen vornimmt.

iez

en

ditferenzirt

log

p

Auch

nicht so einfach.

{2—a)i'[l {z—a)Y lässt sich aus der öleichung 38) vollständig entwickeln, indem

ry.

org

/; w
ww
.

schwindet:

ity
l

Werthe annehmen

ive

rs

also die

/<

= 0,1,2,

Multiplicirt

man nun

.V

.

ww
.bi
od

/;

— l,v<;realH,

+ l^rcal«

ist.

die vorstehende Gleichung mit einer beliebigen Constanten
htt

v

so ist

eL

und

Werthe von h,

rsi
t

yH

eri
tag

i\

sumniirt für alle zulässigen

ibr
a

ry

während

p:/

/w

Hier kann

ibr
a

a

dem

möge

Derivationszeichen stehende Function

mit '^(z,n) bezeichnet werden, also

m

Th

Die unter

eB
iod

ive

(2

fro

^{z,it)=Cg{3-ay'-^+Ci{z—a)"-- + c^(z—ay''-^+.

.

.

+c,(^— «)"-'-'

vorhergehende Gleichung

lD

lautet die

=

MA
)

jf^{z,n)

44)

;O
rig

ina

dann

ow

nlo

ad

43)

v

+ l^real/i>v^O.

definirte

möge complementäre Function genannt werden, und

Function ^{z,n)

y(
Ca

Die durch 43)

mb

rid

g

e,

a

ihre

dass •P(2,h) auch die einzige Function
ive

jetzt zeigen,

Zu diesem Zwecke suchen wir

Functionen, welche die Gleichung

of

Co

mp
a

alle

der die Eigenschaft 44) zukommt.

ist,

rat

Wir wollen

Zo
o

log

Eigenschaft wird durch die Gleichung 44) ausgediückt.

se

um

J)-^z,n)=0

the

Mu

a

of

eine ganze positive, sonst aber vorläufig noch beliebige Zahl, so

kann man

diese Gleichung

ary

v

ibr

befriedigen. Ist

a

(1

Un

folgt unmittelbar
Ha
rv

ard

und daraus

ive

rsi

ty,

Er

ns

tM

ay

rL

auch schreiben

'.J^(z,>f)^c,'

+ c^{z-a) + c^{z^af+

.

.

.+c[{z-a^,

a

die Constanten c

t^(^,«)

Dig

wo

itis

ed

by

the

J)

beliebig sind.

Da nun

die rechte Seite derivirbar

aus dieser Gleichung die Fundamentaleigenschaft III

a

ist,

so

kann man zur Bestimmung von

anwenden, nämlich:

a

= ir"^'''lcj+c/iz-a) + c^(z-a)'-^

.

.

.+c/(s-a)"],


160

Tlieorie der Derivationen.

(«

—

v)

^

12c'
1(2 + «— v)^

'

c

1(1 + «— v)^

^

1.2...V.C./,
•

•

die bisher beliebige ganze positive Zahl

wenn

'

bestimmt sich durch die Bemerkung, dass

v

— >

Ändert man noch die Constanten

ist.

v)

derivirbar sein

c',

so wird diese Gleichung

also bewiesen, dass die durch 43) deiinirte complemeutäre Function

ist

die der Gleichung 44) genügt.

ist,

'|'(^,m)

-^(zjn)

in

ibr
a

ry.

org

der That die einzige

real [n

r(»)

log

der Fall,

,

,

^^-"^"

bio

ist

+

/; w
ww
.

muss; dies

identisch mit 43). Hiemit

•

^

tru

I

\
^

m.
at

c

^^

Formeln 38) und 39) anwendet,

derivirt iiud dabei die

iez
en

und weuu man gliedweise

ive
rs

= f^{z) + 'i>,iz)+

.

.

.

+y.(s);

nach der Definitionsgleichung 29) zunächst:

eL

ist

eB
iod

ive

rsi
t

yH

eri
tag

dann

ibr
a

ry

f{z)

p:/

/w

sei

htt

Es

Zerlegungstheoreme entwickeln.

jetzt die

ww
.bi
od

Wir wollen

ity
l

3.

m
,,

fro

y.(0

f"

r(^^+2)

_^

n (0

f

.,

ad

_ r(«+i)

.

nlo

,v ,,

rp^+i)

f

^„it)dt

.

;O
rig

ist

Summe

+ fi+

Oi

+?/. als auch die einzelneu Functionen y,,^^

.

.

.

fi,

ive

derivirbar sind.

auch für eine unendliche Reihe, wenn der Integrationsweg K, ganz innerhalb ihres
mp
a

Convergenzbereiches

rat

gilt

of

Co

liegt.

Ein specieller Fall von 45)

auch die Gleichung

ist

the

Mu

se

um

Der Satz 45)

•

log

dass sowohl die

Zo
o

vorausgesetzt,

y(
Ca

mb

rid
g

e,

MA
)

mithin

ina

lD

ow

T,'^

Th

oder auch

46)

'^"~^'

ay

nach Formel 39) derivirt wurde.
tM

c

mau

Er

aus der Definitionsgleichnng 29) für
ive

rsi

ty,

Ferner erhält

ns

wobei die Constante

rL

ibr

ary

of

f S<^-^^(^)ä=iXl=^--^"-f
= c.f{z)

ard

Un

f{z)

the

Ha
rv

unmittelbar

by

j)^c.^{z)

47)

Für die Function

Dig

itis

ed

= c.ifa

a

f{z)

= fi{z).fi{z)

gibt die Definitionsgleichung zunächst

^„
a
Denkschriften der mathem.-naturw.

Gl.

LVII. Bd.

r(«+i) f
Ä,

fi(t)f^{t ) ^^
^

/

22


An ton Krug,

170
und

hier köuneii verschiedene Entwickliiugcn Platz greifen.

innerhalb eines

um

z geschlagenen Kreises, der den

Punkt a

der Functionen y, etwa

Ist eine

y,

einschliesst, so lässt sie sich in die

synectisch

Taylor'sche

m.
at

Reihe entwickeln, nämlich

OO

iez
en

tru

Die Substitution gibt nun

/; w
ww
.

bio

log

/-%

org

ü

ity
l

ibr
a

ry.

OO

2iK

ive
rs
ww
.bi
od

ist

aber

yH

vorletzte Gleichung gibt daher

y,

(.-)
.

?, (.)

= g) ?.

(^^)

.

ö

i" n (-) +

f[

i^ D"-'

f^

(^

+

Th

J9"

(2)

9"

(-i

i"~V. (-)

+

ina

annimmt, nach einiger Reduction, und wenn mau zum Schlüsse
MA
)

1

e,

f^ schreibt:

y(
Ca

-

p(^_„) (^_ß)«

log

JJ n^)

I

n—l

n

n—2

1

1-2

"

'
i

ive

Zo
o

*-^;

mb

rid
g

statt

=1

(p^(z)

;O
rig

Aus 48) wird, wenn man

lD

innerhalb dessen f^(t) convergirt.

ist,

f

der Mittelpunkt eines a unischliessenden Convergenzkreises

als s

giltig,

nlo

solange

ist

ow

und diese Entwicklung

ad

fro

m

48)

eB
iod

ive

rsi
t

und die

eri
tag

eL

ibr
a

ry

htt

p:/

/w

Nun

{t—zy->'+^

^.

Diese Entwicklung der Derivation

rat

Co

ist.

of

Nimmt mau in
erhält man eben

dass z der Mittelpunkt eines

mp
a

n unischliessenden Convergenzkreises

=

f

.z)

und f^{z)

= (^—

«)''>

^^

realQj

+ l)>0

sein muss,

se

um

48) etwas allgemeiner f^{z)
Mu

so leicht

rL

ibr

= p(^i-,-^- (-«)'-" \f{^ + ^-.^T^rr-n- + ä; -»Vi)o;-.-H2

)

^^

4-

ns

tM

ay

50) j) iz-.c^.,iz)

ary

of

the

so

somit an die Bedingung geknüpft,

ist

(f{t)

rsi

ty,

Er

auch hier muss z der Mittelpunkt eines « unischliessenden Convergenzkreises sein, innerhalb dessen
Un

ive

synectisch bleibt.

y,

und


innerhalb des erwähnten Kreises synectisch, so kann

Ha
rv

ard

Sind beide Functionen

setzen

OO

,.(o..(o=gs ''->'"r;;y-^-<''

-

Dig

itis

ed

by

the

OO

man

und die Entwicklung des Curveuintegrales

gibt
OO

OO

(n\ In

—

h

/i-4

Die Derivation eines Productes zweier Functionen

lässt sich also

dann

in eine

Doppelsummc entwickeln.

Tlieoric der Derirationen.

Ist

von den beiden Functionen

und

w,

etwa

f^ eine,

\-i

um

y,, synectiscli innerliallj eines

a geschlagenen

und z einscblicsscnden Kreises, so lässt sie sich in die Taylor'.sche Reihe

?.(o=?i(«)+^%;(«)+^^?;'(«)+
und man

.

dann

erhält

bio

log

iez
en

tru

m.
at

eniwiciieln,

.

.

^-^ i' (.- ayf,(z)

Die Derivation rechter Hand

ww
.bi
od

ive
rs

ity
l

\:

ry.

=

f, (z)

.

ibr
a

.. (.)

J)"

org

/; w
ww
.

oder auch

nach 50) weiter entwickeln, wenn »^(O innerhalh eines
geschlagenen und a einschliesseuden Kreises synectisch hloibt; dann wird nämlich

um

z

=

und

1

= f(z)

'j^(~)

yH

rsi
t

ive

man daraus

erhält

Th

speciellen Falle <ä^{z)

(2;— a)«-*-^-

die

^=.f{z) auf die

's/^{s)

Gleichung führt

Eulwicklung 49), während der

ad

und

ina

= r(i^,(^|«")+S(---'')+(d^(---")'+
;O
rig

«=)

j.

^^)

rid
g

e,

MA
)

f

lD

ow

nlo

Fall 'j^(z)=:l

fro

m

Im

1)

eB
iod

^ ^ \\h-\-k—n +

eri
tag

eL

ibr
a

ry

htt

p:/

/w

lässt sich

Functionen

beiile

mau

und

53,

muss. Diese Entwick-

y^ syucctisch innerhalb eines

um

a gescldagenen und c einschlies-

die Taylor'sche Entwicklung
00

00

of

Co

mp
a

rat

senden Kreises, so dass

log

Sind endlich

f{t) sein

y(
Ca

gleichsam das Gegenstück zu 49).

Zo
o

ist

ive

lung 53)

mb

worin also a der Mittelpunkt eines z cinschliessendeu Convergenzkreises für

um

= 2i 2!,

—

h! ki

of

the

Mu

se

?i (0 • ?2 (0

ary

man

ibr

auf die Formel geführt:

ty,

Er

ns

tM

ay

rL

benutzen kann, so wird

rsi

^-iL-ir{h+k—H+l)

{z—a}"-''^''

ard

Un

ive

„

Ha
rv

welche das Gegenstück zu 51) abgibt.
Gleichungen dieser Art führen zu interessanten Relationen,
by

the

wie das folgende Beispiel

c'-

,

^~

l\—n)\z—af\n

,

r(l— »)

Entwickelt

nach den beiden Formeln 49) und 53), so erhält man beziehungsweise

itis

ed

die Derivation von

zeigt.

Dig

man nämlich

(«—«)'•

)

n—l

—
l-n

1

"*"

(z

m=^'

—

a)'^

(1— m) (2-«)

1-2

~"

'

')

^
22*


Anton Krug,

172
welche Gleiclmngen für jedes endliche

dann a

= 0,

f30

man

erhält

n{n — 1)(« —

1)

" («— l).l

1

z^

n{n—V){n

2)

Z^
"^

die rechten Seiten einander gleich, und

r

z^

z

n[n —

n

man

Setzt

gelten.

folgende Darstellung von

1

— 2)(« — 3)

Z^

~ {n—S) .1.2.3"^'

(«—2) .1.2

"

"

ausgenommen, dass w

iez
en

r(— w)

ist,

denn

es

wurde im

weggelassen.

org

/; w
ww
.

Zähler und Nenner der Factor

eine ganze positive Zahl
log

jedes n,

gilt für

bio

und diese Gleichung

tru

m.
at

n

und «

z, a

auf Doppelderivationen bezügliche Sätze entwickeln und zusammenstellen.

durch successive Differentiation

p:/

/w

Zunächst

jetzt alle

folgt aus 31) I

ww
.bi
od

Wir wollen

ive
rs

ity
l

ibr
a

ry.

4.

ibr
a

ry

= D"^"m,

welche Gleichung wir schreiben wollen

eri
tag

eL

8^ ,Dy(^

htt

3-'

ive

rsi
t

yH

:

eB
iod

i)'tm=b'^"m
an

55)

fro

m

Th

a

Hiebei

n eine beliebige und

ist

v

eine ganze

ow

nlo

ad

und im Vorhergehenden schon einige Male benutzt haben.

man durch

;O
rig

successive Benützung der Fundamentaleigenschaft 31) III:

MA
)

Desgleichen erhält

ina

lD

positive Zahl.

a

e,

P^if'

fi^)

= D^'^"'-^

a

a

mb

^"'-'^"^
•

m^

a

den Bedingungen
log

giltig ist unter

ive

Zo
o

welche Gleichung

•

•

•

a

y(
Ca

a

•

rid
g

b^'b'"-' if'-'

56)

Lim[(/-«)'-./'(0],_,= O;Lim[(/-«)'-".-.f(/,)],,_-O;.
mp
a

rat

i

o6a)l

...

Limf(f-«)'-".-''^

•

•

•

-'V,-. f(t)]
,,^„

.

.

- 0;

ist

Wir werden im folgenden Paragraphen die Darstellung der Derivation durch ein
kennen lernen; die Gleichung 56) enthält dann eine Reduction eines /(-fachen Integrales

noch beliebig.

se

«,,

of

bestimmtes Integral

the

Mu

nur

um

of

(

Co

'

.

findet.

ay

ist

die folgende Gleichung

Er

ns

tM

Ein specieller Fall von 56)

rL

ibr

ary

auf ein einfaches, welches Resultat sich im Wesentlichen schon bei Liouville

b~"i''m = mty,

l™[(#-«)'-"/-(^)](,=„,= o

ive

rsi

57)

a

diese Gleicliungen in der
Ha
rv

man

Form

Dig

itis

ed

by

the

Scbreibt

ard

Un

a

so

kann

b~''F{z,n)=fizl
a

dazu dienen, aus einer gegebenen Derivation F{z,n)

sie

^ J)" f(z)

die

Function f{z)

selbst

zu

a

finden, nur
d. h. es

muss n der Zusatzbedingung 57) genügen, oder was dasselbe

muss

Uxü[{t-a)F{t,n)\,^^-0

ist,

F{z,n) muss derivirbar sein,


Theorie der Derivationen.

Für den allg-cineincrcn Fall, dass aus einer nicht dcrivirbaren Derivntion F{z,n) die nrspiüng-

stattfinden.
liclie

173

Function fyz) hergeleitet werden

wo

soll,

also die Gleichung

= F{z,n)

]y'f{£)

58)

a

bestimme man zuerst eine ganze positive

ist,

Znlil

welclic die Gleiebung

v,

m.
at

nacb f{z) aufzulösen

59)

immer möglich, denn

Bedingung

diese

heisst in

anderen Zeichen

O,

V

besteht. Die .aufzulösende Gleichung 58)

ibr
a

die Ungleichung

ity
l

+ ^ real n'^-v
1

nun schreiben

sich

ry

htt

p:/

liisst

angenommen werden kann, dass

so

v

f{t.)

ive
rs

wegen der Derivirbarkeit von

ww
.bi
od

also

/w

wonach

ry.

org

Lim[(i-«)'-"+Y(0],=„,=

/; w
ww
.

bio

ist

log

Eine solche Bestimmung

erfüllt.

iez
en

tru

Lim[(«-«)'+=F(f,«)]„^„-0

Annahme nach

eL
yH

+ l)-malige

Integration bei beliebiger unterer Grenze
rsi
t

(v

—

nicht integrirbar

—

zwischen a und

z ist

F(z.h)

ive

durch

eB

iod

folgt

Th

der

daraus

eri
tag

a

lind

ibr
a

^i)"-'-v(.)=i^(.,,o,

m

^+'F(z,»)dz'+'+c, + c,{z-a) + c,(z-af+
fro

jf-'-'fiz)=

-c,(.-— rtY'.

.

we^en HD)

ist

MA
)

;O
rig

ina

denn es

Jetzt ist die rechte Seite derivirbarj

lD

ow

nlo

ad

j

=

0,

ßO)

=I)~"^'^'hFiz,n)dz'+^+-H~V>^)
j.

Co

m

Zo
o

log

57) auf die vorletzte füeichung gibt
ive

Anwendung von

rat

die

mp
a

und

y(
Ca

mb

rid
g

e,

Lim [(/-«) p+'i^(.~,«),L- + '],,^,„

> v,

I.),

Form

ist.

eines Doppelintegrales

schon

of

in

in

einer

Abhandlung von Abel vor

der sie zur Lösung einer dynamischen Aufgabe benutzt.
rL

(Grell e's Journal

kommt

the

Mu

complcmentiire Function
ary

-pizjn) die

Die Formel 57)

ibr

wobei

se

um

of

v+l ^realw

lautet:

Er

ns

tM

ay

Behufs einer weiteren Entwicklung gehen wir von der Gleiclning 13) aus, welche

ive

rsi

ty,

1
_r(».+i) C f{t)dt
f(t)dt
} fit) dt
J^(t—zY+'~' 2iK •|.,ji;—0)"+''^r(—?j)J («—*)"+''

r(7i+i) C

b ein

gewöbnlicber Punkt für

f{t) ist.

Wir scbreiben

diese Gleicbung zunächst in der

Dig

itis

ed

by

the

und worin

Ha
rv

ard

Un

217:

a

und bebandeln

die rechter

Hand vorkommende

D

Derivation

'^-'^

2 in

J,(f—zy+i'

Form


Anton Krug,

17

Wir schlagen um z einen Convergenzkveis von

A%

desselben und nehmen ihn als Integrationsweg

= 2-4-Äe'?;

t

h

und

B

Rarlins

Dann haben wir zu

an.

= z + Be"^';

dt

verlegen

,

b in die

Peripherie

setzen

= iBe'rdf,

'j/,+2;r zu iutegriren

Es wird dann

ist.

bio

= z—b

ww
.bi
od

ive
rs

ity
l

ibr
a

ry.

org

7ie'(?i+"'

/; w
ww
.

Eine partielle Integration gibt weiter unter Beachtung von

log

iez
en

tru

m.
at

so dass nach f zwischen den Grenzen f^

dem

mit

f{t)

ibr
a

ry

htt

p:/

/w

oder, wie ein Blick auf die vorhergehende Gleichung lehrt

eri
tag

ist,

dass die untere Grenze
rsi
t

Man kann

aber leicht verallgemeinern. Drückt

ive

sie

man nämlich

l>

im Convergenzkreise

die beiden hier

vorkommenden

eB
iod

von

/(/) liegt.

yH

welche Gleichungen zunächst nur für den Fall bewiesen

eL

b

ow

nlo

ad

fro

m

Th

Derivationen

MA
)

;O
rig

ina

lD

nach Gl) durch die Derivationen

rid
g

^

m^i_ _
~

•

log

(

/)"-'

Zo
o

i_

n' H-J
ff.,

y(
Ca

mb

mau

r(-;OJ {t-zY+'

r

ive

aus, SO erhält

a

e,

a

m

1

v{i—n)(z—by'

a

endlich voraussetzen, weil im Gegenfalle f'{z) nicht derivirbar wäre; thun wir das,
of

f{(i)

se

um

Wir müssen nun

Co

mp
a

rat

a

rnt)ru
r(i-'OJ if-^Y

i_

ff.,
'~
'

Mu

so gibt
Integration
des Integrales rechter
eine partielle
"
°
'

Hand und

unter Beachtung von

—

(1— «)

=—

1

'(—'*)

ns

tM

ay

rL

ibr

ary

of

the

I

n

Die obige Gleichung

somit auch für solclie untere Grenzen,

die ausserhalb des Convergenzkreises

rsi

ty,

Er

gilt

Un

ive

liegen.

zufolge der Fundamentaleigenschaft 31) III
by

ist

Dig

itis

ed

Es

herleiten:
the

Weise sehr einfach

Grün wähl

Ha
rv

ard

Diese wichtige Gleichung, die sich zuerst bei Herrn A.

a

wenn f(z)

derivirbar

ist.

V

a.

Wegen
J)-'f'(z)= ff(z)dz

= f{z)-fia)

findet,

lässt sich

auch auf folgende


Denvationen.

Tlieorie der

175

kuiiu uuiu dafür sclircibcu

a

und weuu mau die Constatite
Setzen wir

f{a),

nach 39)

f(
/"(")?•

['{"))

a

a

•

mau

derivirt, erhält

uumittelbar 62).

Ü'~*K") endh'ch voraus,

so

gibt

eine

Anwendung

v-malige

der

log

/; w
ww
.

f

org

^^

^''

)

man

Gleichung

in dieser

«+v

durch

/(

und /''(:) durch

^'

/(;), so

kann mau

sie

auch schreiben

p:/

/w

ww
.bi
od

Ersetzt

ive
rs

ity
l

'

'
'

ry.

r(v-K) (^-a)"-' +

V(;6--n) {z~ay--'

bio

\\2—n){z-ay-'

ibr
a

i^ '^^>- r{l—a)\2-ay'

iez
en

tru

m.
at

Gleichung 62)

••'

htt

^^^

V(l-u-.) (z-ay-^'

ry

r(2-n-y)

iz-a)"+'-^

/

i)"
a

rsi
t
eB
iod

ive

zeigt sie, dass die Derivationen

tm

"II*'

b"^"
a

m = tt m
a

a

mau

in ()2j die

lD

sind.

ganze positive Zahl

ina

Lässt

uueucilicli

v

;O
rig

im Allgemeinen von einander verschieden

ow

nlo

a

Th

Form

m

dieser

fro

in

ad

und

"*;

)

yH

r(— h)'(^— a)''+"

eri
tag

eL

ibr

a

rr^^^~.

wachsen, so

niuss, damit die entstehende unend-

e,

MA
)

liche Reihe couvergirc, « als Mittelpunkt eines, z umschliessendcu, Couvergenzkreises von
ti

und

z

ist

/"()!)

angenommen

auch

y(
Ca

mb

rid
g

werden; man erhält dann genau die Reihe 53), und unter dieser Bedingung für

=0,

rat

ive

Zo
o

log

Limri)"-V<%)]
wenn

sie couvergirt.

Darstellung der Derivation

zur

of

niiu

ary

Wir gehen

the

Mu

se

um

of

Co

mp
a

weil ja der Rest der Reihe verschwinden muss,

ist

h

ein

ein

bestimmtes Integral

gewöhnlicher Punkt der Function

über,

wozu wir

die

/(/)

und wenn wir ihn

so verschwindet dieser

Grenzwerth, wenn

ay

rL

ibr

Gleichung 61) benützen werden. Daselbst

diircli

ty,

Er

ns

tM

nach z rücken lassen, so wird

rsi

ive

r f{f)dt
= Li.„[i,V(.)],.^^„^p^.f^.
1

i,.«.)
die Gleichung 33^,
Ha
rv

lulltet

wenn mau

h statt

schreibt

Lim [B'fi^^^^^

= ,(iL„V Li» [(-^)-Y(^)],.,.

Dig

itis

ed

by

the

Nun

ard

Un

a

Da nun, wie erwähnt,
real

«<0

angenommen

b ein

gewöhnlicher Punkt für

/\/) ist,

wird; dann gibt die vorletzte Gleichung