Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 7-1-0197-0250

/; w
ww
.

bio

log
iez

en
tru

m.
at

197

/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

ibr
a

ry.

org

THEORIE DER SONNENFINSTERNISSE,
DER DllUHGÄNGE

tag
eL

ibr
ary

htt

p:/

DER UNTEREN PLANETEN VOR DER SONNE
GRUNERT,

Th
eB

VON

A.

J.

iod
ive
rsi
ty

He
ri

STERNBEDECKUNGEN FÜR EINEN GEGEBENEN ORT DER ERDE.

DER SITZUNG ÜER MATHEMATISCH

-

NATURWISSENSCHAKTLICHEN CI-ASSE
lD
ow

IN-

AIM

9.

JUM

MDCCCLIII.)

e,

MA
); O

rig

ina

(VORGELEGT

nlo
a

df

rom

CORRESPONDIRENDEM MITGLIEDE DER KAISERL. AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN.

y(
Ca

mb
ri

dg

Erstes Capitel.

of

m

se
u

xyz

von dem Mittelpunkte der Erde nach dem Frühlingspunkte

sei

ary

Axe der y werde so angenommen, dass man
ibr

ay

rL

sich,

ns
tM

rechten Winkel {xy^ hindurch zu

dem

um

um

Axe der y zu gelangen, nach

ihre

Axe bewegt; der

positive

rsi

ty,

der

gehe von dem Mittelpunkte der Erde nach ihrem Nordpole

hin.

rd

Un

x

ive

Axe der

Theil der

hin gerichtet;

von dem positiven Theile der Axe

positiven Theile der

Richtung hin bewegen muss, nach Avelcher die Erde sich

derselben

zu Grunde, dessen Anfangs-

Ebene des Erdäquators und der positive

the

sei die

Er

X durch den

Die Ebene der xij

ist.

of

x

der Axe der

positive Theil der

der

1-

legen im Folgenden ein reelitH'inkliges Coordinalensysteni der

punkt der Mittelpunkt der Erde
Theil

§

Mu

Wir

Co
mp
ara
tiv

eZ
oo
log

Vor häufige Betrachtungen').

Die Erde betrachten

rva

Ha

so dass,

wenn wir unter
the

,

Umdrehung

einer Ellipse

um

ihre

kleine

Axe entstandenes

dieser Voraussetzung den Halbmesser des Erdäquators

durch «, die

by

Sphäroid

wir als ein durch

Dig
i

tis

ed

halbe Erdaxe durch h bezeichnen, die Gleichung der Erdoberfläche

ist,

+ S

welche sich auf mannigfaltige Weise umgestalten

wollen,

')

o^

=

lässt,

<

wobei wir uns jedoch jetzt nicht auflialten

da diese Transformationen bekannt genug sind.

Sonnenfinsternisse, Planetendureligiinge und Slernbedeckungen sind

Namen „Bedeckungen"

bezeichnet worden.

in

der folgenden Abliandlung kurz

mit

dem

all,i;emeiiien


198
Sei nun

Grunert.

A.

J'

Punkt auf der Oberfläche der Erde , dessen geographische Breite ,

ein beliebiger

man

die

wohl auch zuweilen die geocentrische Breite dieses Punktes oder Ortes auf der Erdoberfläche zu nennen
bezeichnen

cp

und

,

auf der nördlichen oder südlichen

oder

als positiv

der Erdoberfläche

Fläifte

zu werden braucht, dass der absolute Werth von

dem Punkte

'^

niemals grösser als 90"

ist.

,

Stunden ausgedrückte

in

bio
/; w
ww
.

Graden ausgedrückte Winkel

Der von dem Mittelpunkte

ist off'enbar in völliger

Allgemeinheit

auf der Ebene der

den die nach der Projection des Ortes

1

.r^

ä

7^

von

dem Anfange der Coordinaten gezogene gerade

ibr
a

ry.

in

Dann

werden.

org

der

T bezeichnet

mag durch

nachdem der Ort

je

gezogene Erdhalbmesser werde durch r bezeichnet.

auf ihrer Oberfläche

Die einem behebigen, jedoch bestimmten absoluten Zeitmomente entsprechende,
Sternzeit des Ortes

,

wobei wohl kaum noch besonders bemerkt

liegt,

log
iez

der Erde nach

negativ betrachten wollen

als

m.
at

w ir durch

,

en
tru

pflegt

dem

positiven Theile der
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

Linie mit

Axe der x

einschliesst,

indem man diesen Winkel von dem positiven Theile der Axe der x an durch den rechten Winkel

Hieraus ergibt sich aber auf der Stelle mittelst einer ganz

zählt.

wenn X,Y,Z

einfachen geometrischen Betrachtung, dass,

T des

dem

Ortes

in

Rede stehenden absoluten Zeitmomente

welchem

,

auf der Erdober-

die Coordinaten des Ortes
die in

Stunden ausgedrückte Sternzeit

die wir allen

unseren Rechnungen zu Grunde

He
ri

fläche in

der

p:/

360"

bis

dem Obigen im Sinne der Bewegung

hin, also nach

htt

von

ihre Axe,

Axe der y

ibr
ary

positiven Theile der

tag
eL

um

Erde

dem

entspricht, bezeichnen, in völliger Allgemeinheit

=
ixY =
Z =

iod
ive
rsi
ty

hindurch nach

(.r^)

r cos

cos IST",

Th
eB

cp

r cos

rom

'p

lD
ow

nlo
a

df

r sin

IS T,

sin

cp

ina

ist.

rig
MA
); O

Bezeichnen wir den Ort, für welchen

Ephemeriden,

e,

die

A, und

Bewegung der Erde um

ihre

ganz leichte Betrachtung auf der

Axe von

m

se
u

die

Bezug auf den

Längen von dem Meridiane des Ortes

360"

bis

in

zählen, aber durch

L,

A

an im

so erhellet durch eine

immer entweder

Stelle, dass

=

15

T— L

3:

=

L

IS

3;

—

13

15

r = L

the

Mu

die

ary

of

oder

—

15 r,

ay

rL

ibr

360"

ns
tM

entweder

-f 15

3:

ive

rsi

ty,

Er

also

indem wir

,

demselben absoluten Zeitmomente, welchem

Graden ausgedrückte Länge des Ortes

in

of

Sinne der

Anfang der Längen

als

Co
mp
ara
tiv

A

Meridian des Ortes

durch %, die

die

entspricht, entsprechende, gleichfalls in Stunden aus-

des Ortes
eZ
oo
log

A

gedrückte Sternzeit des Ortes

y(
Ca

T

Stunden ausgedrückte Sternzeit

mb
ri

dg

zu legen beabsichtigen, berechnet sind, durch
in

2.

§.

15

r

cos

15

sin

15

=

+

L

15

3;—

360",

+
+

3;)

Ha

rva

rd

Un

oder

Dig
i

tis

ed

by

the

folglich in völliger Allgemeinheit

ist.

cos
sin

iL

iL

Daher sind nach dem vorhergehenden Paragraphen

luten Zeitmomente,
.4

r=
T=

entspricht, Avenn

welchem

man

die Sternzeit

Tdes

Ortes

15 %),
15

die Coordinaten

oder, was dasselbe

dieselben, statt wie vorher durch T, durch

=
^Y =
(Z =

[X
3)

9 cos (L
cos^ sin (L

r cos

-j-

r

f

V sin

'f.

X, Y, Z des Ortes

15
1

L

und

%'),

5 S),

X

ist, die

in

Sternzeit

ausdrückt:

Z

dem absodes Ortes


der

Tlicurie der Sonncufinslernhse,

HM»

etr.

Ditrc/iffiiiiffr

§. 3.

Führen wir

Gleichung:

,

so erhalten wir auf der Stelle die Gleichung

/; w
ww
.

bio

log
iez

der Erdoberfläche ein

m.
at

in die

auf der Erdoberlliiclie liegenden

en
tru

Ortes

X V.Z des

2) oder 3) der Coordinaten

Ausdrücke

die

aus der sieh

ist

org
ry.

+

6- cos p"

ibr
a

a- sin y

'•'

/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

Auch

77
y'

hiernach

V - "" - *' cos

Vl+ ^-^sin r

¥"-

ibr
ary

htt

i

p:/

erffiht.
'o'

nb

=

'

4)

t<\

—

n-

2

6-

«'^

^2

—

V''

iod
ive
rsi
ty

He
ri

.

tag
eL

wenn wir der Kürze wegen

also,

6)

y

—

e^ cos

y

(j)^

i

+

sin f^

E*

=

— e%
— e\

|/1

=

V

n

\

ina

ö

=

V

6

+

1

E-

auch
a

=

8) .

|/

1,'

—

—

e»

cos

e'^

|/

5p^

6

1/1

1

+

£"

sin 9*

Co
mp
ara
tiv

1

1

mb
ri

ist

y(

Ca

so

eZ
oo
log

ist,

dg

e,

fj

rig

also

= VT+?:

^
MA
); O

*

7)

lD
ow

Weil nach 3)

nlo
a

df

rom

i

Th
eB

setzen

Zur logarithmischen Rechnung lassen die vorhergehenden Ausdrücke von / sich auf verschiedene

ö

mittelst der
Mu

Hülfswinkel

the

Man berechne den

se
u

m

of

Arten bequem einrichten. Wir wollen jedoch nur auf die folgende Methode aufmerksam machen.

w

=

|^ lang

cp.

rL

ist

«^

iang

ö*

tang ^

öj

ty,

Er

ns
tM

ay

so

ibr

ary

of

9) tang

Formel

ive

rsi

also

+ ^ sin

9=

rva

rd

Un

cos 9'

=

cos

the

Ha

=^ COS

+

cp=

Cp

(fO.5

ed

by

COS ^ cos (5j

-|-

cp

sm

'^-

Cp

.5l/<

/rt??/)r

cT))

— ^)

öj

Dig
i

tis

cos

'"iLSL'.

und weil nun nach dem Obigen
r

«5

=

1/ «- sin w'
^
'

ist,

so

+

et

6- cos
,0.'^

„

.

o

cos 9- -(--rn-sin o"

ist
* (\-\

10) r

=

a

1 /

y
T

mittelst

\1/j

welcher Formel r

seiir leicht

cos

5)

j.^

COS 9 cos (oj

— yj

,

r-'

und bequem durch Logarithmen berechnet werden kann.


200

Grunert.

A.

J.

Über den HülFswinkel w, den wir immer absolut nicht grösser
nun aber noch

Wir wollen

dem Orte

die

uv annehmen,

Die Coordinaten des Punktes

Erdaxe.

V

diesem Systeme seien

in

du, r
1

-v

M,),

ill

vorstehende Gleichung nach

org

du^

a^

«r,

n

r,

rf",

I

6-

ni'i

Differentiirt

v.

man aber

die

Gleichung der Normale des Punktes

«''f i

h•u^

iod

ive
rsi
ty

die

der «

dem Systeme der «y

in

ist

also nach

dem Obigen

Nimmt man nun den

welcher die Projection des von dem Mittelpunkte der

lD
ow

Erde nach dem Orte

auf deren Oberfläche gezogenen Erdhalbmessers r auf der Ebene des
rig

ina

Äquators

MA
); O

den positiven Theil der Axe der u, den von dem Mittelpunkte der Erde nach ihrem Nordpole

den von dem Mittelpunkte der Erde nach dem Nordpole gehenden Theil

h.

d.

der Erdaxe,

mb
ri

dg

gezogenen Erdhalbmesser,

e,

ist, als

der Axe der u,

Tlieil

nlo
a

df

rom

Th
eB

und

ibr
a

ry.

w,

dem Systeme

in

man

so erhält

i',,

p:/

Gleichung der Normale des Punktes

I

ibr
ary

die

,

m=

+

(?r
entwickelt

Dann

/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

ausdrückenden Gleichung


htt

und

?<,

m,, t\.

Gleichung vorkommenden Differentialquotienten aus der die gegen-

tag
eL

Abhängigkeit von

in dieser

He
ri

seitige

Die

ist.

bio

=

l\

dl',

man den

Ebene eines

als

dessen Anfang der Mittelpunkt der Erde

nach den Principien der analytischen Geometrie

vorausgesetzt, dass

Zeichen

/; w
ww
.

ist

sei die

einerlei

der in Rede stehenden Meridianebene mit der Ebene des Erdäquators,

sei die Durchschnittslinie

ii

von

m.
at

Axe der

cp

auf der Erdoberflache entsprechende Meridianebene

rechtwinkeligen Coordinatensystems der

und die Axe der v

90", und mit

als

Bemerkung zu machen.

die folgende

en
tru

ist

log
iez

nehmen wollen,

den positiven Theil der Axe der v an, so
eZ
oo
log

y(
Ca

als

?

u, stets positiv ist,

offenbar

Allgemeinheit:

in völliger

= ^,
und

Vi mit

cp

oder tang

cp

immer

Vorzeichen

einerlei

Ferner ergibt sich aus der Gleichung

v

— =

pi

t\

(«

—

t«0

Mu

se
u

m

of

hat.

Co
mp
ara
tiv

wobei man zu beachten hat, dass

fang

ist

die, je

nachdem der Ort

in

der nörd-

of

the

nach den Principien der analytischen Geometrie, dass, wenn man
rL

ibr

ary

lichen oder südlichen Hälfte der Erdoberfläche liegt, als positiv oder negativ betrachtete Polhöhe desselben

durch (Co) bezeichnet,

Allgemeinheit

tcmg (cö)

d.

,

tung (co)

=

"- taug

es

aber nach dem Obigen

ist

rva
Ha

10

= ~ taug

tang

w

=

a,

the

tung

Dig

i

tis

ed

by

also

und

i.

Un

Nun

=^

rd

ist.

ive

rsi

ty,

Er

ns
tM

ay

in völliger

tolglich

der Ort

«o

in

=

(iö).

Daher

ist

der oben durch

Co

tung (co),

bezeichnete Hülfewinkel nichts weiter

der nördlichen oder südlichen Hälfte der Erdoberfläche liegt,

als

als die,

positiv oder

je nachden)
als

negativ

betrachtete Polliöhe des Ortes 0.
Ist

nun

die

Polhöhe

w

des Ortes

gegeben, so

findet

man dessen geographische

der Formel

11) tung

'-f

= ^ tang

Co,

Breite

cp

mittelst


Theorie der Souneufiiinlernitise, der Durclufilnge

entsprechenden l'^rdhalbmcsser r mittelst der Formel

und hierauf den dem Orte

1

*)

I

;•

=« V
T

dagegen

geographisclie Breite

cp

—

('jJ

-.
y)

gegeben

des Ortes

,

man

so findet

dessen Polhöhe

12) lang

w

= ^ tang

m.
at

Formel
cp,

en
tru

mittelst der

die

'1^
COS y cos

entsprechenden Erdhalbmesser r wieder mittelst der Formel

log
iez

und hierauf den dem Orte

bio

Ist

201

ele.

org

/; w
ww
.

1/

ibr
a

ry.

Weil bekanntlieh

Dig
i

tis

ed

by

the

Ha

rva

rd

Un

ive

rsi

ty,

Er

ns
tM

ay

rL

ibr

ary

of

the

Mu

se
u

m

of

Co
mp
ara
tiv

eZ
oo
log

y(
Ca

mb

ri

dg

e,

MA
); O

rig

ina

lD
ow

nlo
a

df

rom

Th
eB

iod
ive
rsi
ty

He
ri

tag
eL

ibr
ary

htt

p:/

/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

^=1

öi


ed

tis

by

the
rd

rva

Ha
ty,

rsi

ive

Un
Er
ns
tM
ary

ibr

rL

ay
of
the
m

se
u

Mu
of

e,

dg

mb
ri

y(
Ca

eZ
oo
log

Co
mp
ara
tiv

rom

df

nlo

a

lD
ow

ina

rig

MA
); O

iod
ive
rsi
ty

Th
eB

ibr
ary

tag
eL

He
ri

p:/

htt

m.
at

en
tru

log
iez

bio

/; w
ww
.

org

ry.

ibr
a

/w
ww
.bi
od
ive

rsi
tyl

Endlich

Dig
i

202
,

ist

J.

A.

Grunert.

auch:


Theorie der Son)ie»fi»sternisse, der Duvchijl'nuie

(3i=p
27)

=
=

<>^

'3

cos a

eo.s ö,

p ä/« a eos

ö,

°

•'*'"

P

203

efe.

demselben absoluten Zcitmonienic entsprecheadou Coordinaten dieses Wellkörpers, und die (»leicbungen

der von

dem

Mitlelpunkle der Krde nacli demselben gezogenen geraden Linie sind nach den Lehren der
m.

at

die

—

—

1.

1.

org

'•

•^'

30^

oder-

- _
~ y~^ _
—
ry.

--^
~ ^ — y~^ —
x-x —

r-9 — z-3

-^

ibr
a

20^
^''J

nach dem Weltkörper gezogenen geraden Linie sind dagegen

dem Orte

A-3E

-'

r-s)

Bezeichnen wir nun die Höhe des Weltkörpers an dem Orte

dem mehrerwähnten

in

weil nach §. S die Gleichung des Horizontes des Ortes
,

.

r—

Z - 3

iod
ive
rsi
ty

Y
«-

S)

,

I

z^'
6^

nlo
a

df

rom

Th

eB

=

sin h^

X—
Z—3

3E

la^-

He
ri

nach den Principien der analytischen Geometrie bekanntlich
\X_

bekanntlich

p:/

_

Zz

htt

Yy

absoluten

ibr
ary

ist,

Xx +
ist,

""-^

z-^-

tag
eL

Zeitmomente durch h, so

/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

Die Gleichungen der von

/; w
ww
.

bio

fL

log
iez

9Q-\

en
tru

analytischen Geometrie:

MA
); O

=
y(
Ca

mb
ri

dg

e,

sin h'

rig

ina

lD
ow

oder

oder, weil

eZ
oo
log

x^ + r^

^'

_

j

Co
mp
ara

tiv

,

ist:

,

_ X£ + rg _ Z3/"
6M

se
u

m

of

{

i

Mu

sin h~

+

(r-g))^ +

(z-ayj 1^^' +

^"

ibr

ary

of

the

j(x-3ey

3) gezogenen geraden

g)

Ebene des Horizontes des Punktes

Linie mit der

Er

nach dem Weltkörper (3£

ns
tM

ay

rL

Bezeichnen wir jetzt die Coordinaten des Durchschnittspunktes der von dem Mittelpunkte der Erde

so haben wir zur Bestimmung dieser Coordinaten nach
ty,

,

rsi

z

ive

durch X, y,

Ha

rva

rd

Un

X

Dig
i

tis

ed

by

the

erhalten aus denselben leicht:

dem Vorhergehenden

=

1;

die Gleichungen


204
ist

aber

in

Grinieri.

A.

J-

diesem Falle

+

X3i

Z3

rg)

negativ

,

also

^

62

'

/,2

_

+ Y§

JfA'

ZS

«?

—

=

-IT
0-

:.

a~

/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

ibr
a

ry.

org

sin n

Z3

r?)

1

bio

xt +

,

log
iez

diesem Falle nach dem Obigen offenbar

in

/; w
ww
.

man

positiv; folglich niuss

en
tru

m.
at

6"

setzen.

Haben ferner

z

und

3

so überlege man,

gleiche Vorzeichen,

dass in diesem Falle

der Weltkörper

htt

p:/

sich oflFenbar

'

+ / +

^^

bekanntlich

f

o

+
,

y

g)^

z

_
^ (^^+^
3£'

g)ä 4-

3^

+

dg
Co
mp
ara
tiv

^

«^

1

W

6M "^

+
'

m

of

-V

se
u

Mu
rL

ibr

ary

of

the

3

ns
tM

ay

Grösse

X3E

+

^"

6-

ive

rsi

ty,

Er

Z3

I'-ü)

«•

Ha

rva

rd

Un

nachdem

the

oder je nachdem

X3E

+

rg)

_

-Z3

tis

ed

by

_

^

^j

Dig
i

ist.

Also befindet sich der Weltkörper
über,

dem Horizonte des Ortes

0, d. h. es

in,

unter

ist

sin
je

6"

mb
ri

^ f ^ ^'=^'

wegen der Formel

weil im vorliegenden Falle

positiv ist, je

Z3)=
j

y(
Ca

ist

nachdem

d. h.

-t-

d-

\

U3E +

die

+

nlo
a
2

,

-\-

eZ
oo
log

so

x'
i'e

+

3-'

df

,

e,

X

lD
ow

Weil nun aber nach dem Obigen

ina

der Erde sind.

ist,

3£^

+

3'

Quadrate der Entfernungen des Punktes (xyz') und des Weltkörpers

rig

die

und

-^ z'

g)^

rom

x' -^

+

3e^

Th
eB

wo

=

^^

MA
); O

ist,

nachdem

je

,

tag
eL

befindet

He
ri

des Ortes

iod
ive
rsi
ty

dem Horizonte

unter

in,

ibr
ary

über,

nachdem
i

A

=<

0.

_ ^i±£^ _ ^ ^

^\

(3£ g)

3) ^on dem

Mittelpunkte

Theorie der Sonnenßusternisse, der Ditrehgiinge
isl

;

folglich

nach dem Obigen offenbar

ist

_ ^^ +

1

205

elc.

_ ?§

^''^

=

ain h

Viox-xy + (Y-^y + cz-ßy\ |^^' +

m.
at

dies

__ XX +

Z3

/; w
ww
.

bio

—

=

31) S?HÄ

_

Y9)

en
tru

man

log
iez

Hält

^|

sich, dass in völliger Allgemeinheit

mit dem Vorhergehenden zusammen, so ergibt

+ (F- 8))^ + (2-3)^1 j^ijr +
org

V{(x-3£)^

ry.

|;j

ibr
a
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

ist.

Bei der weiteren Entwickelung dieser Formel, so bemerkenswerth mir dieselbe auch in

Deziehungen zu sein scheint,

befindet, durch die

Bedingung, dass der Weltkörper sich im Horizonte des Ortes
p:/

die

- ^^^® -^ =0
a"

Z

ausgedrückt wird. Führt man für X, Y,

und

b"

ß

3£, g),

He
ri

1

dem Obigen bekannten Ausdrücke
iod
ive
rsi
ty

32)'

ihre aus

— 15

cos 8 f OS (a

T)

——

sin

cp

ein. so

=

siu 3

nlo
a

df

'f

rom

cos

'-

1

Th
eB

wird diese Gleichung

33)

tag
eL

Gleichung

ibr
ary

htt

machen, dass

mich jetzt nicht aufhalten, sondern

ich

will

mehreren

nur darauf aufmerksam

will

—

—^ cos

— L — 15

cos S cos (a

cp

2!)

cp

= 0,

sin 8

dafür im Obigen gefundenen Ausdrücke setzen kann. Nach 6) und 8)
cos 8 cos (a

'f

oder
öcos (a

—

T) Vi

"
a

e^

1/1

— L— läX) V — e*
1

B.

sin^

— e' cos

(f-

|/

1

— e- cos

(j)«

11

cos

^

1


cns

')

cos (a
Mu

.j-,

se
u

m

of

o

(ii

ist z.

sin o sin S

P

yi~e'cosf-

oder auch:

sin

P

e" cos f^

Co

mp
ara
tiv

cos f cos

P

1

—

1/1

a

•^

— IS

e,

cos

p

,

dg

alle

,^

Qf^ n

sin

mb
ri

„o^

—p

y(
Ca

nur noch für r

eZ
oo
log

wo man

MA
); O

rig

1

ina

34)

lD
ow

oder

— iST)1^i —

e-

sm

P_

— e-cosy*

y

«

1

y stn

— e-. y — e^eosf*
1

of

the

|,M

'^"^

?

-I

'-^

^'"^

'^

^'"^

ay

n

("

— ^ — iS S) Vi — e

|/l-c'^eo.

sin o

«

y'

S((i

\/i~e^.]/i-e^cosf~

ive

rsi

ty,

Er

ns
tM

o Q^

rL

ibr

ary

oder

rd

Un

§.8.

=

il:

-i-

ed

der Verticale des Punktes 0, so

et,

ist

,

y == ßi

+

ß

weil diese Verticale auf der

Ebene des Horizontes

Dig
i

tis

die Gleichungen

a;

by

the

Ha

rva

Sind

von 0, deren Gleichung bekanntlich

Xx + Yy
ist, in

dem Punkte

{XYZ)

Zz

+ 1^=^
,

senkrecht steht, nach den Lehren der analytischen Geometrie:

^- A-

- = ß--

also

h^-X

h-Y


206

Grunert.

A.

J.

und weil nun auch

X = AZ +

= BZ +

Y

a,

[i;

also

x—X =

y~ Y = B

Z),

(z

— Z)

=

-'-^

^- ^ =

(^-^'

'^z

*^'

(^-^)
bio

39)

en
tru

m.
at

so sind

;

log
iez

ist

A {z—

«2

und

diese Verticale

nach dem Weltkörper gezogene gerade Linie, deren Gleichungen

von

die

/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

gesuchten Gleichungen der Verticale des Ortes 0.

Durch
bekanntlich

p:/

- Z

—

tag

eL

+

N{z

=

Th
eB

M und N

erhalten wir aber mittelst des Obigen auf der Stelle
rom

Zur Bestimmung von

suchen.

— Z)

iod
ive
rsi
ty

— X+M{y—Y)

x

df

Gleichungen

=

nlo
a

b-X

+ d-ZN

b'Y3T

-^

lD
ow

die beiden

%

z

He
ri

Form

inuss,

"^

nun eine Ebene gelegt denken, und die Gleichung dieser Ebene, welche nothwendig

sind, wollen wir uns

haben

— Y
r-3)

y

^

htt

—X

x-s.

ibr
ary

x

die

z

ry.

y

6^

6- a:

ibr
a

^
die

org

/; w
ww
.

oder

0,

X— + (F— ©) J/ + (Z— 3) =
Z(Z — 3) — Z (X—

Y{Z—ß} — Z (F—
+
X (F— — F(X— —
F (Z — 3) — Z (F—
iV

0.

MA
); O

rig

ina

3e

Aus diesen beiden Gleichungen ergibt

oder
(«-

—

6')

XZ —

(d

—

Z3c

6=

e,

dg

3e)

mb
ri

6^

y(
Ca

g))

3e)

X3)

fi-

—

(A'g)

F3e)

—

(C

g))}

16-

«'

g))} iV

{(rr

— 6^

{(d

-

+

M=

{}?

—

YZ
}'Z—

6-)

—
Zg) —

(«' Zg)

b'

Yß)]

(«'

b'

F3)}

=

0.

=

0,
;

M = 0,
= 0:

.V

m

of

also

eZ
oo
log

//

sich

d-

Co
mp
ara
tiv

6'

(a-

~"

— 6-

ary
ibr
rL
ay

die Gleichung unserer

— 60
— \id — 60
[id

ive
Un

'

— 6-)

YZ

—

(a= Z>^

— 6- Yiii

Ebene
I'>^

rsi

ty,

41)

=

6- (A'>j)

(«-

ns
tM

ist

Er

Folglich

— (a Zi' — 6- X3)
YZ — (o= Z9 — 6^ 1'^)
— rjE)

A'Z

)

(a= — 6-)

of

the

Mu

se
u

_
~
jV =

A''^

—
—

(«' ^2)
(«'

//

^'
^'

— X)
iy — F)
— Z)

YS)] ix

XS)]

(Xg) —

F=e) (:

)

)

Ha

rva

rd

+

-^-^^

—
—

by

the

Die Gleichung der Ebene des Meridians des Punktes
ed
tis

43)

F

(.j-

Bezeichnen wir nun für den Punkt
des Weltkörpers durch

ü>,

Yx

(y

in

dem

in

=

0.

Rede stehenden absoluten Zeitmomente das Azimuth

und setzen der Kürze wegen

_

(

\

=

wie leicht erhellet:

— X^ =
— X) — X — 10

42)

Dig
i

oder

ist,

+

icr f FO

x{id
Y{ {d
[(«'^

- xz - id zx - d X3)!r
— 60 YZ — id Zg) -- F3)
- 60 z + 3] - (X3e + Fg)) zr
//)

6^

6^

er

\ \


Theorie der Somienfiiisfeniisse, der

)

_

^^'ä^^"'

_

Vi („'

+

- ^^ xz —
A'3)
zje ^
—
+ y') ow y^f
— xz —
—
— rz-^- z^ -

/;-)

(A'^

//'

+

+

r=)

''

(«-

//

^^^>^('
I

fr)

(«= ZJe

6-'

!(«=

i=)

(.r

/r

j

(.r

("'

(«'

f

^=

^'^

*'^

^

X3) p

r3)}%

(+ (6*(zs-r3ey

bio

)

,

,^

•>

44) f05

= —^

= —
Cr

>

.

stu

,

tt)~

ibr
a

ry.

to"

/; w
ww
.

nach den Lehren der analytischen Geometrie:

org

ist

oder

—

sin

(U^

=

,

r=) {(«^

- 6=)

z

+

b'~3}

^

"

-

tag
eL
He
ri
iod

ive
rsi
ty
Th
eB
rom
df
nlo
a
lD
ow
ina
rig
MA
); O
e,
dg
mb
ri
y(
Ca
eZ
oo
log
Co
mp
ara
tiv
of
m

se
u
Mu
the
of
ary
ibr
rL
ay
ns
tM
Er
ty,
rsi
ive
Un
rd
rva
Ha
the
by
ed
tis
Dig
i

—

— a- ixx +

*-

ibr
ary

4S)

+

j(X2

p:/

U)

htt

cos

/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

so

i

m.
at

1

en
tru

=

log
iez

G

2Ü7

Diirrfif/ihn/e etc.

r§)

zi
'-

-


208

Ebene des Meridians von ö, nach welcher

von dem Mittelpunkte der Erde nach dem Punkte
Richtung der Bewegung der Erde

um

man nun aber

Zählt

Axe

ihre

Azimuthe

die

von dem

stets

Bewegung der Erde um

an der Richtung der

m.
at

<

10

360°,

m

X^ —

mit

F3£

/; w
ww
.
ry.

org

so hat unter den

und es

also

ist

nach

iX^-Yü) V

=

io

iX'
ibr
ary

.

sin

htt

p:/

,

b*

+

+

r^)

«* Z'

tag
eL

...

47)

He
ri

^=

a>

Th
eB

sin

iod
ive
rsi
ty

48)

Weltkörper sich im Meridiane des Ortes
df

ina

rig

Gleichung

die

7"

5

p sin a cos o

.

y(
Ca

1

dg

cos

cp

mb
ri

r cos

(_L

-\-

1

S

2!)

p sin

.

Gleichung

cos o

o.

Co
mp
ara
tiv

die

9 cos

eZ
oo
log

oder
/ cos

se
u

31) cos

dass cos

of

ist,
ibr

verschwindet,

v cos

^
cp

sin

1

7"

5

sin (Z>

— 13 T) =
(a — L — 3

+

2^)

1

cp

.

1

p cos

3

S)

.

d. h.

nicht o

=

+

90"

5=0

p cos

a cos

ns
tM

sin

(a—

13

=

§) ein, so

,

=

.

cp

=

die obigen

±

90"

ist.

In sofern

Gleichungen:

=

T)

Er

32)

o

3f,

0,

werden

ist,

Fund

cos

oc

nicht verschwindet, d. h. dass nicht

ay

rL

ö nicht

cos

the

Mu

sin

ary

wobei vorausgesetzt worden

/•

sin (a

cos

m

tider

—

—

of

30)

nun auch cos

0, also nach den

Je

Gleichung die aus dem Obigen bekannten Ausdrücke von X,

MA
); O

man

in diese

e,

erhält

=

—r =

lD
ow

49) xg)
Führt man

u>

nlo
a

vorhergehenden Formeln

sein.

y u

befinden, so muss sin

rom

Soll der

i.

Da nun nach dem Obigen im

ungleiches Vorzeichen

stets

oder

d.

positiv.

Y3i positiv, im zweiten Falle dagegen diese Grösse negativ ist,

Allgemeinheit:

in völliger

w

negativ, im zweiten Falle dagegen sin

gemachten Voraussetzungen sin

45)

180":
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

—

Xg)

ersten Falle

<

CD

ibr
a

<
m

Axe

en
tru

<

180"

im ersten Falle sin

ihre

offenbar im ersten der beiden so eben unterschiedenen Fälle

ist

im zweiten der beiden unterschiedenen Fälle dagegen

also

Ebene des Äquators

die

log
iez

360°, so

bis

oder auf der entgegengesetzten Seite der Ebene des

folgt,

schneidenden Theile der Mittagslinie des Ortes

entgegen von

wenn man von der Projection der

sich bewegt,

gezogenen Linie auf der Ebene des Äquators an der

Meridians von

befindet.

man

hin

bio

Seite der

'

Grunert.

A.

J.

ive

rsi

ty,

oder
Un

33)

rva

rd

—-13
Ha

muss a

T'

oder a

—L—

13

the

d. h. es

sin (a

— L — 13

^T ein

3;)

positives

=

0,

oder negatives Vielfaches von

ed

by

was wir hier nicht weiter discutiren wollen, da überhaupt 32) oder 33)

Dig
i

tis

Ausdrücke dieser Bedingungsgleichungen

sind.

die einfachsten

180"

sein,

und allgemeinsten


Theorie der Sonnenfinsternisse , der Durrhyänge

209

etc.

Zweites fapitel.
Scheinbare Entfernung zweier Weilliörper von einander an einem gegel)enen Orte auf der Erdoberfläche

einem gegebenen absoluten Zeitmomente.
en
tru

m.
at

in

••

log
iez

§•

Einen beliebigen, aber gegebenen Ort auf der Enloberfläcbe wollen wir wieder durcb
im vorhergehenden

Capitel gebrauchten Bezeichnungen

org

auch jetzt beibehalten,

dass wir auch hier alle unsere Betrachtungen auf ein bestimmtes absolutes
ry.

für denselben

,

T

Zeitmoment, welchem die Sternzeiten

%

und

A

und

der Orte

ibr
a

alle

wobei sich von selbst versteht

entsprechen, beziehen.
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

und

/; w
ww
.

bio

bezeichnen

Zwei Weltkörper, deren Rectaseensioncn, Declinationen, Entfernungen von dem Mittelpunkte der

Erde und Entfernungen von dem Punkte

p:/

auf der Erdoberflache respective durch

und

htt

5,. Die Coordinaten des Punktes

r cos

cp

=

r sin

cp

auch

+

L

IS

sin

i^ T,

7^,

schreiben kann; und die demselben absoluten Zeitmomente entspre-

S:

rom

T'

13

tag
eL

Iy=

cos

cp

S

und

sind respective:

»S,

lD
ow

chenden Coordinaten der Weltkörper

df

lö

Rede stehenden

nlo
a

für

\^=p
(3

rig

sin a cos
«*"«

P

8,

MA
); O

=

S

e,

2)

B,

ina

(X == p cos a cos

•^)

\S)i

Oj,

y(
Ca

Pi **" ^1

Co
mp
ara
tiv

(3i

Pi

siti

cos 5,,

81.

=

se
u

(r cos

-|-

(r sin

16

—

p sin 6)',

cp

cos

15

cp

sin

13

cp

—

the

of

ns
tM

(/•

sin

p,

—

T
T—

p cos a cos 8)'
p sin a cos 8)"

cos ai cos 8,)"

p,

p, sin

cos 6,)'

ex,

siw 8,)';

rsi

ty,

Er

+

T—

cp

ibr

0" cos

—

sin

(r cos

-|-

rd

+

r^

p"

r^ {- p,^

— 2rp

—

[sin 8 s/m

2rp, [sin

+

cp

8, s/re cp -\-

by

|p,i'

=
=

rva

jpi'

Ha

.^

Un

ive

Rechnung

mittelst leichter

the

woraus man

IST'

cos

cp

Mu

+

=

pi»'

cp

m

(r cos

ary

-

rL

pi

of

nach den Principien der analytischen Geometrie:

ay

ist

cos «1 cos

p,

eZ
oo
log

=
=
=

(3ii

mb
ri

dg

und

Also

ed

oder wenn, indem 9, 6j zwei Hülfswinkel bezeichnen

,

^os 8 cos

cp

cos

cp

cos

8,

cos

(ot

cos (a,

—

13 T)],

— 13

7")}

der Kürze wegen

tis

{cos 8 = sin 8 sin
cos 8 cos
cos (a — 13
[cos 9, = siM
sin
+ cos cos cos (a, — 13 T)
= + p^-2rpcos9,
=
pf — 4rp, cos 9i

Dig
i

„,

cp

-|-

cp

cp

8,

gesetzt wird:

7^J,

cp

6,

r'

Jp'-^

(p,i

erhält.

Setzt

o,,

He
ri

r cos

[Z

wo man

in

a,,

iod
ive
rsi
ty

1)

dem

und

Capitel bekanntlich:

=

iX

in

ibr
ary

dem vorhergehenden

absoluten Zeitmomente sind nach

a, o, p, p'

Th
eB

S

bezeichnet werden sollen, seien

p,, p,'

r" -|-

man
7) si«

7t

= —V
P

Denkschriften der mathem.-natunv. Cl. VU. Bd.

,

sin

TT,

^ ~T
pj

27


'

210
:

den Ephemeriden die Entfernungen

in

Erde angegeben

sin

der beiden Weltkörper von

p, p,

Bestimmung von

sich zur

cos 8,.

ttj

r,

=

= (r)

sin (tu,)

(/•), Pi

welche wir durch

,

:

so

ist

*

*

'

jetzt

man nun

Bezeichnet

tu,

=

ibr
ary

—-

si« (tt),
^ simZi
^

(r)

dem Mittelpunkte der Erde und

die

—-

sin (tc,);

(»•)

berechnet werden müssen.

tu,

iod
ive
rsi
ty

Formeln

=

TT

tag
eL

9) sin

htt

p:/

nach dem Obigen

mittelst welcher

'

sin (ttj)

'

He
ri

folglich

sin (;r)

/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

also

dem Orte

die

auf deren Oberfläche

2p'pi' cos A'.

rom

und

diese Gleichung einführt:

p,' in

ina

p*

—

•

+ rp cos -f rp^ cos 0,
+ p" — Zrp cos 0) (r' +

(»''

p,'

—

2rp, fos 0,),

mb
ri
y(
Ca

—

sin

F

(1

+

cos A'

eZ
oo
log

11)

sin Uj

tl

Co
mp
ara
tiv

A

r'

V

cos A'

oder auch:

fOS

df

lD
ow

—

A

ppi cos

p,i'

durch

rig

—

10)

=

+

pi"

6) sich ergebenden Ausdrücke von

die aus

=

=

A

2pp, cos

MA
); O

wenn man

—

pi'

nlo
a

+

p"

e,

A'

otfenbar die Gleichung

dg

A und

man

so hat

,

Th
eB

entsprechenden scheinbaren Entfernungen der beiden Weltkörper S, 5, von einander respeetive

also,

Sind

(tc), (tu,),

ibr
a

p sin (tt)

angegeben

,

Mittelpunkte der

bio

den Halbmesser des Erdäquators durch (r) bezeichnen wollen

dem

unmittelbar der Formeln 7).

tt,

den Ephemeriden die sogenannten Aquatoreal-Horizontalparaliaxen

/; w
ww
.

in

—2

TC,^

cos 6.

TT

org

aber

man

sind, so bedient

2 sin

m.
at

sin

1

Wenn

—

sin TT

-|-

1

en
tru

=
tj.
+
{(—) =

\(^)

8)

log
iez

nach ß)

ist

ry.

so

Grunert.

A.

./.

-j-

sm

2 SM»

Sirt TT^

cos

tt,

4- s««

+

COS 0) (1

TT

ir

cos 0,

sin

2 SZ«

TT,^

TT,

COS 0,),

se
u

erhält aus dieser letzteren

Formel unmittelbar:

the

Mu

Man

m

of

an welche letztere Formel wir uns im Folgenden ausschliesslich halten wollen.

=

rL

auch

V

A + sin

cos

+

•

s'w

77

sin

f — 2 sin
>

a

•

;:

jt,

— sin

jt

cos Q^

Q^ /,
cos 0) (1 +

•

— sin

««»i ^r,"

cos

;r,

— o2 si«

^r^

ay

Formel auch

ein

bemerkenswerther Ausdruck für sin A'

ttj

^

•

ros 0,)

sin A'

=

^^ 1

—

mittelst der

Ha

rva

rd

Man kann jedoch, wie

es mir scheint, auf folgende Art kürzer zu diesem

dem Punkte

auf der Erdoberfläche nach

by

the

Die Gleichungen der von
tis

ed

geraden Linie sind
Dig
i

X

r

lässt

Formel

cos A''

Un

ive

rsi

ty,

Er

sich aus dieser

ableiten.

Q

•

etwas weitläufigen Rechnung, im Ganzen jedoch ohne Schwierigkeit,

mittelst einer
ns

tM

Wenn

(1

ibr

ary

of

12)^ COS A*

— r cos V cos IST

Ausdrucke gelangen.

dem Weltkörper 5 gezogenen


ed

tis

Dig
i

by

the
rd

rva

Ha
ty,

rsi

ive

Un
Er
ns
tM
ary

ibr

rL

ay
of
the
m

se
u

Mu
of

e,

dg

mb
ri

y(
Ca

eZ
oo
log

Co
mp
ara
tiv

rom

df

nlo
a

lD
ow

ina

rig

MA
); O

iod
ive
rsi
ty

Th
eB

ibr
ary

tag
eL

He
ri

p:/

htt

m.
at

en
tru

log
iez

bio

/; w
ww
.

org

ry.

ibr
a

/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

Theorie der
Soii»eiifi>i,iler)iisse.

jc

—
>•

der

cos o eos 15

fhire/if/taii/e e(r.

2

r

T

I


212

—

Tt

sin

7c,

^

—
—
—
—


sin

cos

5,

s«h o cos

s/m

cp

sin «j s?h o cos

szre 8,

«/??

cp

TT

sin «1 cos 8,

sin

tc,

sm

a cos 6) sin

(s^'m

TZ

sin

sin 8)

s/ra

IS

+

sjw a cos 8 s?H

(cos

TTj

(sin

-f-

(sin

—

cos

7C

si«

TT

cos

8,

8|

—

sin

tt,

sm

m.
at

en
tru

log
iez

cos 13 T")

cp

cos IS

cp

7^

8 cos 6,)

sm

cos a cos o)

tt,

IST"

8) cos

sm

cos a,

8,

8,

s/m 8 cos

a,

sin

cos
bio

sin

—

—
sm
—

ot,

sm

cp

— cos

s«rt 8,

cos

cp

cp

8 cos 8,)

•

-|-

X,"^

+

|j.i''

:=

1

4-,sm

71'

^

1

-|-

sin

7u^

==

I

^

1

+
+

sin

TT,^

s/h

TT,"

— 2 sm
— 2 sm
— 2 sm

—

2

tt

{sm

tt

cos 6,

8 sin
tag
eL

(jL!-

cp

+

^os 8 cos

-)-

cos

cp

cos (a

cp

cos (a,

—

IS

7^)}

He
ri

Xi- -(-

{sj«

tt,

sin

6,

cp

8,

cos

— IS 7)|

cos 6j.

s/y* TU,

df

rom

x,i

_j_

iod
ive
rsi
ty

/r

Th
eB

und

ibr
ary

htt

(cos a cos 8

—

cp

cos 8 sin

OL

(cos a cos 8

s/«

8|

cp

cp

6,

/; w
ww
.

sin

-\~

7^ cos

sin a, s?« 6 cos

8,

cos

(^cos a,

TT

—
^—

8,

7")

o,

(s?M

s?re tt,

IS T)

15

—

— sm

=

Pi'

8 s/w

—
—

org

•/.'

cp

ry.

—

/,'

a cos

(s«H

s/m a cos

-(-

fx'

(s?« a, cos Sj sin

sin

ibr
a

=

X,'

fi'

/w

ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

—

fjL|'

p:/

X'

Grunert.

A.

J.

TT

sin

TZi

cos 8 cos

8,

—

lD
ow

cp

cos

sin

sin (a,

—

cos 8 cos

a —

sin (

Ol

IS 7^

ot,),

sin

mb
ri
ex,

(sm a

Tt,

(sin

of

—

s/«

TT

Mu

se
u

m

(sin

6,

the

(cos

—

sin

TT,

-j-

cos o cos 6 sin

ns
tM

ay

rL

ibr

TT

cz,

6,

sm

(cos a cos 8 sin

—

8,

cos a, cos

TT

(sin

-|-

cos a

TT

s/w

6,

—

sin

cos 8 s/« 8,

sm

cp

—
—

tt,

—

sin

s?« 13

s«w

cp

1

3

7" cos

cp

cp

8 cos 8,

s/h 3, cos

s/« 8 cos

tt,

7^

13 7^

sin a cos 8) s/h

cos a, sin

—

3,

cp

cp

8 cos 8,

8) sin

sin a,

sin

0,

ty,

rsi
ive
Un
rd
rva
Ha

tt,

—

cos

o

cos

cp

cp

cos 13

cos

1

S 7^

8,

cos a cos 3) s/«

s/w 8) cos 13

7)

7"

cos

cp

cp

cos a, s/« 8 cos 8,;

by

the

(sin

—

sm
tt,

8,

sin

8,

sin 8 cos

«,

cos

s/h

=

ed

ist

Dig
i

tis

so

cp

— sm
— sm

8,

sm

— sm
—

cp

of
ary

=
Er

sm

cos 8

—

sin

6,

sin a, cos

TZ

4- s/« a cos 8

(Jf)

cos

s«M a cos 8 sin

-|-

=

(sin

y(
Ca

—

TT

eZ
oo
log

sin

Co

mp
ara
tiv

=

{^Li)

dg

e,

-|-

sin (a

cp

IS T)

^

ina

—

cos

rig

=

3) (A)

MA
); O

1

nlo
a

Setzen wir jetzt also der Kürze wegen:

14)' s/w A'
•

=

V-Ti
(1 +
T

=

Sin

ä—
— 2o sin
•

Tf'

(Aj- + (/.J- + (iü)^
3
A^ /^^
t: cos 0) (1 -f- sm ff,''
,

— 20-sin -,

Q
cos W,^

»•

Bestimmt man sin A' nach der schon oben angedeuteten Methode aus der Formel 12)

Formel
sin A'

so erhalt

ohne

man

=

V^i

einen anderen Ausdruck von sin A'

die zu denselben führende etwas weitläufige

,

—

cos

Al^

den ich auch für bemerkenswerth

Rechnung

mittelst der

niitzutheilen, hier

halte,

noch anführen

und daher,

will.

Theorie der Sonnenfinsternisse, der Durchgänge

etc.

'l 1

3

nämlich der Kürze wegen

=

(s/w

TT,

sin

TC 677/

+

sin A*

—2
—2
—2

—
—

TT

sin

sü«

TT,

sin

TZ

A) cos

TT

fos

A) cos

sin

sin 0,~

tz^

—
—

cos 0,)

sin -,'

-|-


A

cos

—

A

{cos

0"

.s/w

0,)

0)

«-OS

cos

cos 0,),

(sin

+

sin

s««

TT

s/h

TT,

4 sin

sjw

TT

tz

sin

sin

sin 0,

s«/

tt,

I

(A

tt,

p:/

0,)}

sin 0)'

0,) s/h

+

(A

I

0,) sin

1

—

ibr
ary

cos

I

0i)

—

+

—

(A

sm

ä

+

(A

0,

0,)

—

-[-

0,).

mb
ri

dg

e,

TT

0)}

{cos

TT,

i

sin

0,)|

cos

{cos 0,

TT,

Sin

cos

iod
ive
rsi
ty

2 sin

sin 0)'

tt,

tag
eL

— 2 sm
—
—2
bekannten Zerlegung
—
A —
18) J ^
—4
—
sm (A —

—4
—
(A —
{cos

sj«

sin 0,

tt

cos H,)'

htt

—
— (A —
— (A —
A —
(0 —

sin

;r,

He
ri

—

A

(sin

TC

oder nach einer

— 2 sin

Th
eB

J

tt,^

auch auf folgende Art ausdrücken

rom

7)

J

==

sin

df

Grösse

+

(1

nlo
a

1

die

— 2 sin k cos S)

si« n"

lD
ow

man

i'brigens kann

+

(i

ina

V

rig

'

/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

ist

MA
); O

so

ibr
a

ry.

7t,

0,

cos

A

cos

(co« 0,
sin

—

A

(cos

IT,

(co«

s/ra TT

<"05

sin u,

sin H'

t:,'

m.
at

2 (sin

sin

-|-

en
tru

—
—2
—2

sin 0,'

ir*

log
iez

sin A" -f sin

bio

=

,/

/; w
ww
.

5)

I

org

Sel/.t mnii

2.

Bezeichnen wir

dem Zeitmomente

in

eZ
oo
log

y(
Ca

§.

welchem

,

die Sternzeiten

S

Co
mp
ara
tiv

sprechen, die lineare Entfernung der beiden Weltkörper

Obigen

=

se
u

m

of

(p cos a cos S
(p s/« a cos S

-|-

(p sin 8
of

the

Mu

+

—

—
—

T

und

Z

der Orte

O

von einander diireh E, so

»S,

und

ist

.4

ent

nach dem

cos a, cos 8,)'

p,

p, S2« a,

cos 8,)^

p, s/w 8,)^,

ary

E'

und

ibr

man nach leichter Rechnung findet:
^*
p^ -(- Pi"
2 pp, {s/w

—

cos 8 cos

Er

+

ty,

ive
Un

+

p,ä

ist

cos (a

—

c/,)}.

aber

pp, cos

A,

rd

p'

—2

rva

folglich,

E'

=

o,

wenn man diese Formel mit der vorhergehenden vergleicht:
Ha

und

8 sin 8,

einer bekannten Formel der ebenen Trigonometrie
rsi

Nach

ns
tM

=

rL

wie

ay

also,

ed

Formel man

A

=

sin 8 sin

aus a, 8 und a,

8,
,

8,

-|-

cos o cos

berechnen

cos (a

8,

—

a,),

kann, bei welcher Rechnung man sich zur

Dig
i

tis

mittelst welcher

by

the

19) cos A

Erleichterung und Abkürzung bekannter Kunstgriffe bedienen kann

,

was einer weiteren Erläuterung hier

nicht bedarf.

§.

Wenn

wir jetzt in

und dem Punkte

dem

in

3.

Rede stehenden absoluten Zeitmomente

die

dem

Mittelpunkte der Erde

auf ihrer Oberfläche entsprechenden scheinbaren Halbmesser der beiden Gestirne S, S,

respective durch D,

Z>,

und

/>', />,',

bezeichnen, so

ist

offenbar


214
20) p

=

sin Z)

Grunert.

A.

J.

D\

sin

p*

=

p, sin i),

p/ sin

/),';

also nacli 6):

D

p'

«in Z),

p,*

sinDi^

p^

p**

— 2rp cos

_______

y r~ + p^- — arp, co«

<^

t»,

_

p,

^

~

^

.

+

(1

'

««'*

^'

—2

siu

TT

COS B) (1

+

S<«

TT

S?«

=

231 cos A'

**« ^i'

:

—2

sin -, ros 0,).

ibr

ary

^'"

^'

^'"

^ '^

st«

/>

Si«

i>,

(^OS

A

st« i3' sin D,^

, .

=

cos A*

A +

cos

sin n sin
rom

,_

Th
eB

oder

24)

tag
eL

nach 12):

ist

+

cos H,

htt

'

tt.

p:/

ü

D

sin

fOS 6,

:

— sin
:

sin

COH

TT,

W),

D,

sin

'-

—

jr,

s/«

tz

cos 6,

n^

cos

H

,

df

oder

.s/h TT

TT,

He
ri

Daher

D,

sin

iod
ive
rsi
ty

D

sin fl> sin

cos H,

tt

2 sjH

TT,^

folglich
si'w

bio

s«n

=

„*

.

/; w
ww
.

+

22)

s«w

org

r 1

Ti;"

ry.

sm

1

ibr

a

—^
—

+

r

/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

D
^ =

sin

sm

log
iez

oder nach 7);

\

m.
at

21)

+

r^

J/

en
tru

sin

— fl,') — eos(ö' +
nlo
a

cos(i>'

lD
ow

.,„-

fli')

-7

cos A'

rig

ina

4ö)^

^

"'"

^

sin

e,

t:^

D

ö,

sin

— st« k cos Q^ — sin

cos

ffj

B

f^T"+ sm

tt'

—

2 sin

cos

tz

H

eZ
oo
log

sin !>'

Co
mp
ara
tiv

Entfenuing p sich .dem Unendlichen, also

sm

TT

= —r
P

m

of

die

sin

dg

der Formel

in

t:

mb
ri

man

siti

y(
Ca

Lässt

A +

MA
); O

2

CO»

Mu

se
u

sich der Null nähern, so nähert sich das Verhältniss oder der Quotient
the
of
ary

also der

Weltkörper

iS ein

Fixstern, so

ns
tM

ay

rL

ibr

Wäre

üftenbar der Einheit.

D

sin

sin i>'

Er
ive

er

vorkäme,

Un

wo

rd

Überall,

zu setzen haben.

Dass man bei Fixsternen für

Ü

und

Z)' selbst

im-

diese scheinbaren Halbmesser als verschwindend zu betrachten hat, versteht sieh

ist

also bei Fixsternen

sin

D

=

immer

0, sin />'

=

und cos

I)

=

1

,

cos IV

=

1

Dig
i

tis

ed

by

von selbst, und es

the

Ha

rva

mer Null zu setzen oder

die Einheit

den Bruch

U^

rsi

ty,

für

D

sin
sin

würde man

Die obige Bemerkung, dass bei Fixsternen immer
sin

D

sin Z>'

zu setzen

ist, ist

allgemeinen Fall,

aber von Wichtigkeit, weil nur durch diese Bemerkung es möglich wird

wo

die scheinbaren

ist,

aus der für den

Halbmesser keines der beiden Weltkörper verschwinden, entwickel-

ten Formeln mit Leichtigkeit die Formeln abzuleiten, welche

den Weltkörper ein Fixstern

,

dem

Falle entsprechen

,

welches bekanntlich der Fall der Sternbedeckuugen

wenn
ist.

einer der bei-


Theorie der Sonnenfinslernisse

Wenn man

D

und daher auch

dass jedoch wie bei Fixsternen

der Durchgänge

,

verschwindend zu betrachten sich berechtigt halten darf, ohne

/)' als

man wegen der

verschwindet, so muss

tc

215

etc.

dem Obigen bekannten

aus

(Jleichung

ü

shi

V

sin

-\-

\

—2

TC'

H

cos

tc

en
tru

Bruch

D

sin

log
iez

für den

sin

m.

at

sin />'

/; w
ww
.

bio

sin />'

Überall die Grösse

finden können.

org

B

cos

tt

ibr
a

wendung

sin

B. bei den Vorübergängen der unteren Planeten vor der
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

Diese Bemerkung würde

—2

TC^

z.

Sonne An-

htt

p:/

setzen.

sin

ry.

rl +

ibr
ary

4-

§•

=

cos A'

26)

cos (i)'

offenbar in völliger Allgemeinheit

±

/>,*).

— DiV) — cos (C

+ />/)

— sin

28) fos (D

nach 23) und 26)

+ D.)
-^

=

ü

sin

-^— (cos
sin />,

sin

A

A

tc,

—

+

sin

+

sin

;r

sin

s/«

tc

sin

D

cos

ir,

'

W

tc

sin

cos 0,
sin

— si»

^r^

—

cos

—

tc,

s?»

D,

;r

,

stn

tc,

— siw

fc>,

_,

cos ö,

tt

6

cos
»->

cos

itj

—

sin

tt,

tfo.s

H),

|

i^

(

^^

'

+

30) cos A

sin

+

tc,

—

s2m

tc

sin

cos 9,

D

—

S2«

tc,

cos

sin D, cot D* cot

6

/>,*

i

rsi

dieser, wie ich glaube, sehr

D\
Ha
the

by
ed
tis
Dig
i

31)

)

Isin Z),'

aus denen sogleich
\cos

32)

'

die

dem Orte

ganz eliminiren, so hat man zuvörderst nach 22)

i),'

rva

rd

den scheinbaren Halbmesser

bemerkenswerthen Gleichung

^

)

ty,

Er

—

i),

ive

man aus

sin

D sin

sin

Un

Will

tc

rL

ibr

leicht findet:

ay

man

ns
tM

oder, wie

ary

of

the

Mu

TC

m

s/w

se
u

+

of

oder

29) cos A

— sin

2sinDsiuD^

dg

cos

eZ
oo
log

ist

.

2>,')

Co
mp
ara
tiv

Auch

fliO

mb

ri

cos (/>'

y(
Ca

T
±

cos(D^

e,

oder, wie leicht erhellen wird:

„,

cos 0,

t:

MA
); O

ttj

rig

sin n sin

ina

D sin D,

2 sin

A +

cos

lD
ow

nlo
a

df

cos fJ'

Th
eB

25)

rom

also nach

ist

iod
ive
rsi
ty

oberen, den letzteren die unteren Zeichen entsprechen lässt,

He
ri

tag
eL

Für äussere und innere Berührungen der beiden Weltkörper, indem man immer den ersteren die

D'

=

V^

die

entsprechen-

Formeln:

Grunert.

J' A.

216

sin Z>i

+

—

D sin Z>,

—

tc^

— sm

ttj

—

cos Öj

tt

Z sin n cos ö) (cos

s«w

+

Z>,^

cos

tt,

sm

/

tc,^

—2

sw?

tu,

cos 6,))

/; w
ww
.

bio

sin

sin

tc

en
tru

+ 8in
V(co8 D^ + «iw

34) cos A

m.
at

Gleichung 30) auch auf folgende Art ausdrücken:

die

log
iez

Daher kann man

folgt.

Ü\

Nach 31)

+

(1
ist

sin

TC^

Bezug auf

so wie ganz eben so in

Also

bis

nach dem Obigen

sin

/>,.

tag
eL

—2

tz

—
cos 0)j

2 COS 0)'

TT

•

•

.

,

auf Glieder der ersten Ordnung genau

—

2 sin
ttj

si're

—

TT,^

0)

cos

tt

=

'

1

+

s'"

cos ©j)

tt,

sin

und sin

ir

=

'

^

cos 0,

Ordnung genau:

bis auf Glieder der ersten

2 sin

Bezug auf

in

sin

'

{sin

t:

(«Mi

df

+

(1

tt

Th
eB

sin

««'« TC'

I

sin D,

'

cos 0,)

sin

-j-

1

1

+

0)

t'OS

tt,

nlo
a

Bezug auf

2

=

'

lD
ow

folglich in

cos Q^

tz

ina

und

i

sin

6)

cos

tc

sin

aber

(s/rt TT

ä Sitl TU

sin

rig

^1

sin -,^

ist

—2

TT^

-[-

MA
); O

sin

(1

—2
—2

+

1

sin

tt,

cos 0i.

bis auf Glieder der ersten

tZi

Ordnung genau

= (1 + sin cos 0) sin D,
cos 0,) sin
hin Dl = (1 + sin

D*
——;- = + sin - cos „
sm ü
e,

+

(1

sin tt

He
ri

Nach dem binomischen Lehrsatze

+

rom

sin Z)j'

(!

p:/

=
^

/>'

ist:

htt

denen man leicht auf folgende Art gelangen kann.
sin

/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

D^ auch zweckmässige Näheningsformeln zu haben, zu

ibr
ary

Berechnung von

sein, zur

iod
ive
rsi
ty

Es wird gut

ibr
a

ry.

org

3.

§.

tc

mb
ri

dg

isin i)'

33)

,

-

y(
Ca

,

eZ
oo
log

oder

Co
mp
ara
tiv

sin

sin

.

Z),

ttj

.

1

D^^

— —;—

^

+

.

,

1

.

Sin

,_>

TT,

COS 0,;

m

of

;

,

se
u

folglich

D^

— sin D

ary

of

the

Mu

sin

— sin D

D^*

^.

.

sm

-— sin

TT

TT,

COS

tt.

cos 0,;

i.

2 «i«

— fl')
i(D
!_1

ive
Un
rd

+

2)')
i

2 si« I (g, -i>.') cos| (Z>, + Z>,')

Ha

rva

!J^

sjn />

=
=

— sm

TC

__ sm

TT,

.

cos

^
,

cos 0,.

1

the

Si» i>j

by

ist

Dig
i

tis

ed

Nun

cos A (fl

;-^'

rsi

ty,

Er

d.

ns

tM

ay

rL

ibr

«in

=

D

-^

D'

D,

+

A'

also
i

(Z)

J(/),

+
+

folglich

cos
cos

I
i

(Z>
(Z>,

+
+

/)')
Z>,')

=
=

— iD — D'),
= 2 A — (A — A')5
= --!(/> —
= />,— l(A — A');
—
+ sm D

—
D^
+
=

2

Z>')

Ü

/>'),

i>

/>,')

cos

D

cos

cos

Z>,

cos

k

h

(Z>

/>')

(Z),

Z>,')

sin

sin

I

(Z)

sin

\

(Z),

— D')
—

,

Z>/).


Theorie der Sonnenfinsternisse, der Durchgänge

sin

D

cos

Z),

67«

Z>,

demselben Grade der Genauigkeit

(D

sin

i

sin

h (/),

— D')

—

cos
cos

i),')

+ />')
(/>! + i>,')
{D

i

k

nach dem Obigen näherungsweise:

2

(D

k

s/rt ä (Z),

2

\sin

i (Z),

Z),') cot Z>,

—
—

(Z)

welche Formeln zur Berechnung von

Z)')

—

:

also

(sm

—

/),');

1

cos

sin

(Z),

k

cos

i),')

cos

tt

si«

= —
= —

Z)')

sin

k

Z),')

und Z?/ aus

Z>'

sin

sin

cot

(D

k

Z),.

,

ry.

2 sin

sin

m.
at

/),')

D +

en
tru

(i),

— D'),
(ö, —
+
= sink {D — D') D,
—
=
D = —
Ö
^ —

cos

log
iez

i

=
=

i>')

bio

cos

+
+

ist

/; w
ww
.

{D

so

org

1

sind,

Ordnung genau

sin

2

cos 0, fang

tt,

;

G fang D,

cos

tc

cos Ö,

tt,

ibr
a

ist

cos

sehr nahe kouuncnde Grössen

der Null

/>,')

diese Grössen bis auf Glieder der ersten

D

und

Z),

Z),

sehr bequem sind,

in

sofern

man

sich die

tag
eL

Daher

Bezug auf

in

—

{l)^

\

/w
ww
.bi
od

ive
rsi
tyl

näherungsweise, und zwar

folglich mit

und

jD')

p:/

—

{D

htt

\

ibr
ary

Weil nun

217

etc.

iod
ive
rsi
ty

He
ri

obigen Vernachlässigungen gestatten darf.

=
A =
-

37) COS
oder weil nach 22) bekanntlich

—si«
—J^i
7-rsm D\

zu setzen, und die Forme)

\/~\
K 1

;

3

:

-,

S171

rom

2) wird also

in

diesem Falle

;ri

—

cof^

TT

'•

Vi

2 Sin

'

COS ö.<

TT,'

dg

e,

-f-

1

df

;r,a

|/ 1

—

=

— sin r^ cos
— 2 sin
+ sin
A

cos

nlo
a

sin

ist

lD
ow

so

,

ina

ein Fixstern ist

rig

iS

MA
); O

Wenn

Th
eB

§.6.

=

(cos

'

.

eZ
oo
log

38) cos A'

y(
Ca

mb
ri

ist:

Co
mp
ara
tiv

oder

—

s?/i TT,

cos

H

=

A

—

41)

cos

A

—

Mu

cos

siti TT,

the

40)

se
u

m

diesem Falle offenbar A'

ist in

cos 6)

tt,

-:

,

.

^,', also

cos

=

sin Z>, co^ Z>,'

cos

—

sin

of

Für eine Berührung

sin

S^M jW

=

of

o9) cos A

—

A

sin

tt,

ns
tM

ay

rL

ibr

ary

oder

Er

Weil nach 33)

V

j

cos

Dj*

+

«in

TT,^

co^ Z>,'

— 2 sin

tTj

=

0.

cos 0,

43)

cos

rd

Aus 34) ergibt
lich ist,

ausserdem sin

rva

—
A —
A

tt,

cos

—V

TT,

cos

=

Ha

cos

oder

sin

the

42)

Gleichung 41) auch auf folgende Art ausdrücken:
cos

Z>,'^

-|-

sin

Tt,'

—

2 s«h

tt,

cos H,

K cos

Z),"

-f-

sin

it,''

—

2 s/w

tt,

cos 0i.

s««

sich diese Gleichung unmittelbar,
Z)

=

by

die

ed

man

tis

so kann

Dig
i

ist,

Un

ive

rsi

ty,

^

Z>,

=

0, cos

D =

Denkschriften der mathein. -naturw. IM. VII. Bd.

1

wenn man

sin

-

=

und, wie es hier erforder-

setzt.

28

^jS

A. Grilliert.

J-

Drittes Capitel.
der

Daislelliiiig

Allgeiiieiiie

Erscheinungen einer Bedeckung für einen

der

Berechiiuiig

gegebenen

Ort

en
tru

m.
at

auf der Erdolierfläche').

bio

log
iez

I-

§•

kommt

Dies vorausgesetzt,

es nun zunächst darauf an, die Zeiten des

4-

sinD

sin

sin i>,

—

p:/

htt

ibr
ary

(cos D'

r

dem

in

ir,

sin
sin

-f-

wo

Falle,

t:

He
ri

sin

D^

sin /), cot

cos 6/

Tt,

cot

—2

,

D^)

Th
eB

D

—

cos Sj

tt"

sin

sin

30)

cos

7t,

sin

0) (cos Di\

cos

tt

In

Q

+

sin

tc,^

—2

sin

der eine der beiden Weltkörper, nämlich S, ein Fixstern

tt,

cos 8,)

ist,

j

die Gleichung

cos

A —

sin

8

cos

TT,

8

—

B^

+

cos

e,

dg

TT,

sin D^ cot

42)

—V

^_

i>,'

=

^

cos

—

««m tz^

2 sin

cos 8,

ir,

am zweckmässigsten

genügen. Jedenfalls wird es bei diesen Rechnungen
Co
mp
ara
tiv

tritt,

§. 6, Nr.

II,

sin

mb
ri

oder die Gleichung (Cap.

—

A

cos

y(
Ca

41)

§. 6, Nr.

II,

eZ
oo
log

(Cap.

MA
); O

rig

an deren Stelle

sin

::

34)

4, Nr.

—

cos 8j

tc

rom

+

sin

sin

§. 4, Nr.

ina

A

ros

—

—
D^ —

tt,

il,

df

D

-f sin
II, •§.

sin

tt

nlo
a

sin

-j-

lD
ow

A

tag
eL

dem Obigen bekannten Gleichung (Cap.

die Zeiten bestimmt, welche der aus

oder der Gleichung (Cap.

der beiden Weltkörper, so

aus gesehen werden, und lassen sich also nur dadurch ermitteln, dass man

wie dieselben von dem Orte

eon

Anfang der Längen, und

Anfanges und Endes der Bedeckung

äusseren Berührungen

Diese Zeiten sind aber die Zeiten der

zu bestimmen.

als

ibr
a

gegeben.

cp

iod
ive
rsi
ty

seine geographische Breite

welchen die Ephemeriden berechnet sind,

fiir

/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

auf den Meridian des Ortes A,

ry.

org

/; w
ww
.

Der gegebene Ort auf der Erdoberfläche, für welchen die Erscheinungen einer Bedeckung berechnet
werden sollen, sei wieder U. Da dieser Ort als gegeben betrachtet wird, so sind seine Länge L in Beziehung

=

sein, die Sternzeit 2^ des

Ortes

se
u

m

Obigen

=
=
8, =

A

Mu

the

of

-|- cos o

^

^

sin

§1 si7i cp

cos

cos

d cos

cos

6,

-|-

cos


cos

—
(a — L — 15
— L — ö J)

cos (a

ö,

cp

a,),

2:),

cos (a,

1

ay

cos

sin 8 sin

o,

ary

cos

sin 3 sin

ibr

cos

rL

folge im

of

A, für welchen die Ephemeriden berechnet sind, zur unbekannten Grösse zu wählen, und man wird demzu-

Er

ns
tM

ferner

,

=

sin

V

1

+

sin

t:^

D

— 2 sin

ir

cos

6

'

Un

ive

rsi

ty,

sin 1)

rd

sin fl|

V

1

+

sin

jr,^

— 2 sin

'

ttj

cos Ö,

the

Ha

rva

sin i)/

ed

by

oder näherungsweise

Dig
i

tis

sin

sin

2

l

—
= —
(Dl — -D/) = —
(D

/>*)

a

sin

r.

I

sin

tt,

cos

8

tanff

D

cos 8, tant/

i>,

setzen.

Da
ot.a,

')

:

Die

da

die obigen

0,0,;

in

Tr,T:,

:

Gleichungen

U, D, von

S!

in

Bezug auf

Z

abhängen, so

als
ist

unbekannte Grösse transcendcnt

sie nicht

unbedingt zu dem

und

die

Grössen

natürlich die Auflösung dieser Gleichungen nur durch

§. 8. aufgclöslon Aul'salicn uns der Tlieorii' der Bedcclcungcn
in

sind,

fiir

die

Erde üherhaiipt sind nur

diesem Capilel behandelten Gegenstande geluircn, so wichtig

sie

^'an?,

kurz behandell worden,

auch an sieh

sind.

Theorie der SonnenfiitMeruisae. der

man

successive Aiiiiähcrung'cn möglich; iniless wird

%

Zeit

immer schon so nahe kennen, dass

genau zu

ert'iillen,

wenn

möglich

Hat man aber

ist.

der Kürze wegen

hier,

Zustande der Astronomie die

bei tiem gegeiivvärtigeii

es nie grosse Schwierigkeiten haben kann, die obigen Gleichungen

dies überliaupt

was wir

bestimmen,

leicht 7' zu

219

Jhn-ehf/iiiifje etc.

gefunden, so

2!

blos auf Cap.

2 verweisend, nicht weiter

§.

I,

immer auch

es

ist

ergeben, ob die Erfüllung der obigen Gleichungen möglich

en
tru

oder nicht.

ist

bio

2

so zu bestimmen, dass die obigen Gleichungen

dem

.'J

%

Werthe von

man

so würde

wenig spätere

org

dem

zu kennen, für einen derselben ermitteln, ob er
für eine ein

man

Austritte entsprechen. Wollte

%

Zeit als

beide

aber, ohne schon

Eintritte oder

dem

Austritte entspricht,

nach den im vorhergehenden Capitel entwickelten

Entfernung A' der beiden Weltkörper für den Ort 0, so wie auch ihre scheinbaren

die scheinbare

htt

Formeln

% dem

Eintritte, das grössere

werden,

gefunden, so wird natürlich immer das

p:/

kleinere

erfüllt

/; w
ww
.

%

und hat man zwei dieser Bedingung genügende Werthe von

ry.

aber möglich gewesen, die Zeit

Ist es

oder nicht, wird sich immer daraus von selbst

eintritt

log
iez

Bedeckung

eine

ibr
a

an dem Orte

/w
ww
.bi
od
ive
rsi

tyl

Ob überhaupt

m.
at

erläutern wollen.

indem die Zeit

Falle

dem

dem

im ersten Falle otl'eubar

Austritte oder

A'

/>'

+

dem Anfange

Eintritte oder

dem Ende der Bedeckung

>

tag
eL

oder

/>,'

entspricht.

D^'

der Bedeckung, im zweiten

der eine der beiden Weltkörper, nämlich S, ein Fixstern, so verschwindet

/)',

und

rom

Ist

%

+

Th
eB

ist,

/>'

He
ri

<

A'

ibr
ary

denselben Ort berechnen, und untersuchen, ob

/>', /),' für

iod
ive
rsi
ty

Halbmesser

beiden

in

diesem

nlo
a

df

obigen Bedingungen des Eintrittes oder Anfanges und des Austrittes oder Endes werden also

die

A>

>

/>/.

mb
ri

dg

e,

MA
); O

rig

Z>,',

ina

<

A'

lD
ow

Falle respective:

y(
Ca

Hat man auf die vorhergehende Weise die Zeiten des Anfanges und Endes der Bedeckung ermittelt,

ermitteln,

worüber aber im Allgemeinen ganz Dasselbe zu sagen
Co
mp
ara
tiv

Bedeckung zu

eZ
oo
log

so wird es zunächst ferner von Interesse sein, die Zeiten des Anfanges und des Endes

Paragraphen über die äusseren Berührungen gesagt worden

of

D

sin

ns
tM

ay
/>,

Er

TT

sin

ty,

—y

sin

-|-

(cos Ü'

-{-

rsi

sin

innere»

sin

ir"

tt,

—

siji

- cos

D

sin

siii tt

(:),

sin

—

Z>,

cos H,

sin

cot

—

cos 0)

tt,

/)'

sin

„

cot />,'(

cos

tt,

B
j

-

2 sin

tt

cos 0) (cos

-|-

Z),^

sin

tt,^

— 2 sin

tt,

cos H,

)i

Un

I)

A

ive

cos

TT,

ary

siti

ibr

—

oder

—
D^ —
—

the

sin

-s*» T^

-f-

rL

A

cos

sin

die

of

Mu

jetzt die Gleichungen

—

indem an deren Stelle jetzt

ist,

der im vorhergehenden Paragraphen zu erfüllenden Gleichungen

Stelle

die

m

,

und daher an

was im vorhergehenden

se
u

Berührungen

ist,

der ringförmigen

the

Gleichungen erfüllen lassen oder nicht,
by

In sofern sich diese

Ha

rva

rd

treten.

ist

die

%
^ dem

^

natürlich

dem Anfange, der grössere Werth von
Dig
i

Werth von

tis

ed

Hat man zwei den obigen Gleichungen genügende Werthe von

Wollte man aber, ohne schon beide Werthe von

%

Zeit als

%

die entsprechenden Werthe von A' und

bekannten Formeln berechnen, und untersuchen, ob

D^

—

/>/,

was man wohl festzuhalten
A'

<

/)'

so

/>', />,',

würde man

oder

für eine

rücksicht lieh des abs oluten
A'

,

ob er dem

ein wenig-

natürlich für den Ort 0, mittelst der

hat,

— A'

nicht.

Ende der ringförmigen Bedeckung.

zu kennen, für einen derselben ermitteln

Anfange oder dem Ende der ringförmigen Bedeckung entspricht,

spätere

Bedeckung ringförmig oder

gefunden, so entspricht der kleinere

>

/)'

—

Wer thes von

/>,'

28'


220
ist,

indem

%

die Zeit

Grüner

A.

J.

f.

im ersten Falle dem Anfange, im zweiten Falle dem Ende der ringförmigen Bedeckung

entspricht.

Bedeckungen gesprochen.

Absichtlich habe ich vorher blos von ringförmigen

Nach dem gewöhn-

lichen astronomischen Sprachgebrauche muss man aber eigentlich noch zwischen totalen und ringförmigen

Ob

,

wird sich immer leicht und sicher entscheiden lassen

m.
at

ist

wenn man

,

total

oder ringför-

Momente der inneren

für die
log
iez

mig

aber nach diesem Sprachgebrauche die Bedeckung
en
tru

Bedeckungen unterscheiden.

berechnet, und dieselben

Bezug auf den Ort

gehöriger, sich leicht von selbst ergebender Weise-

in

/; w
ww
.

in

bio

Berührungen, die wir vorher zu bestimmen gelernt haben, die scheinbaren Halbmesser der beiden Gestirne

ry.

org

mit einander vergleicht, was auch noch zur Bestimmung anderer Umstände einer Bedeckung dienen kann,

ibr
ary

Minimum

ein

Diese Zeit wird man erhalten, wenn man die-

wird.

iod
ive
rsi
ty

He
ri

selbe so bestimmt, dass der Bedingungsgleichung

wo

Th
eB

4^ =

nun darauf ankommt, diese Bedingungsgleichung für den praktischen Gebrauch

es

rom

genügt wird,

nlo
a

df

gehörig zu entwickeln.

TT

sin

ttj

lD
ow

—2
—

ina

"^^

sin

sin

—

cos 6i

tc

+

cos 6) (1

TT

MA
); O

A

cos

sin

-\-

*'«

die Gleichung

12)

sin

—

sin tt/

2 sin

ttj

cos 6,)

cos 6,

tt,

und dabei

differentiirt

mb
ri

'it

y(
Ca

welche, nach

dg

e,

=

^ (1 +

lA*

§. 1, Nr.

11,

rig

Zu dem Ende haben wir nach Cap.
cos

Entfernung der beiden Welt-

die scheinbare

tag
eL

körper von einander an dem Orte

wo

zu kennen,

htt

%

es jetzt ferner die Zeit

ist

p:/

3.

§.

Wichtig

/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

ibr
a

wie hier nicht weiter erläutert zu werden braucht.

—

A

eZ
oo
log

sin

-j-

sin

TT

—

tt,

r

sin

-

cos Sj

—

sin

cos 0)

tt,

Mu

sin

+

cos 9) (1

TT

—2

siti tTj"

sin

t:,

cos 6,))

of

aber

ist

—2

^^

•^"*

H~
ary

Nun

(^

r

~—

ibr

liefert.

rf^

the

cos

se
u

m

of

(^cos

Co
mp
ara
tiv

gesetzt, die Bedingungsgleichung

—

dX

A

=

sm

-j-

sin

TC

—

Sin

A -—

—

tc,

sin

cos

-)-

i^sin tTj

TT

COS

(sin

TC,

rsi

—

TT

sin

^

cos Ui)

cos u)

cos 6)

tt,

d n
—

—

rva

rd

Un

ive

+

—
—

cos Öj

tt

.dA

ty,

Er

ns
tM

ay

rL

{cos

sin

TT.

ö —-

sin

+

dX

sin

tt

'

stn Hi -r;^

dS

by

the

Ha

+

ed

und

tis

d

^

Dig
i

^F

,

sin

-{-

—

(1

+

si"

„
IT"

(1

+

sin

jr,-

(

\

(1
.

\

1+

-K^

—2

sin

.

2 s«M

Ji

— 2 sin

eos

0)

(

<

:rj

(sin

cos 0,)

<

Ttj

re

(sin

r.

—

Führt man dies

in die

Cl

+

*"'

''^

— 2 sin

TZ

cos

0)

(1

+

sin

n^

sin

.

0) -— +

;tj

re,

sin

,

sin a sin

dX

— 2 sin

ttj

.

sin

1-

dx

cos

f

V

—2

tt,'

— cos ©i) —

.

cos

sin

rfi^i

.

cos

(

rr,

+

cos 6) (1

tc

cos 6,)

obige Bedingungsgleichung ein, und setzt zugleich

cos 6,)

"l

^>

/

0,

—
dX
d&

'

}
>

).


Theorie der Sonnenfinsternisse, der Durchgänge

y

siH

f))

mau nach einigen Reductionen zur Ueslimniung von

+

+
+

A

+ sin

CO«

+

1

eosQ

COS

—

A cosQf

cos

+ sin

1

sin

sin

— st«

A

(cos

T!

e
sin

A

(cos

ffj

si»

— «in

sin 6,

+

1

—

— sin

—

ff,"

— sin

(1

7:^

sin 0,"

cos

tt

ff

rfn,

rf0

0)

'

cos
(1 — «i«

cos 0,)

ff,

cos 0,

ff,

!^

A

dX
d0,

dX

'

p:/

cos

—
dX

sin

+

— sin

A

(cos

ff

sin

+

(cos

ff,

A

tag
eL

ff,

— sin

sin

—

ff"

2 sin

sin
cos 0) —
— 2 si«
1 + sin

—

— sin

cos

ff

siji

ff,

(1

ff,

ff

cos

rf

ff, ^

dsinn,

sin 0,^

ff

d X

'

0)

rf

cos

'

rf

(1 — sin

ff

J

dcosQi

cos 0,)

ff,

dX

cos 0,

man auch

nur durch Näherung auflösen kann

diese Gleichungen

MA
); O

Dass

rig

ina

ff,

sin

d X

He
ri

ff,^

cos 0,)

tc

+

1

ff,

«i»

iod
ive
rsi
ty

+

1

Th
eB

+
+ sin

— cos A cos 0,

6

0-

sin

ff,

ff^

df

cos

A — cos
cos 0,) — sin
— 2 sin k cos &
cos 0,) ^ sin
(cos A — cos
— 2 si« cos 0,

(cos

ff

sin

rom

4- süi
i

nlo
a

— cos A cos

lD
ow

cos 0,

ibr
ary

htt

rf

d

dX

— sin

oder die Gleichung:
„

tt

cos 0,

ff

2 Si«

sin n, sin 0-

cos

it

cos 0) — sin

ff,

sin

—

)

•.

n-,

— 2 sin

ff^

cos 0,

cosQ cosBA

— 2 sin

cos 0,)

jr

+

1

ff,-

cos

— 2 sin

Sin K^

sin n^ (cosA

-}-

TT,

—

k (cos A

m.
at

cos

en
tru

—

—

cos 0,

log
iez

u

—
dA.

bio

COS

die Gleichung:

5;

/; w
ww
.

+

cos 0,)

ir,

org

a

cos

ir,

3 sin

ry.

67«

sin

—

TT,'-

ibr
a

=

—

iT]

71-

/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

SO orhiill

+

(l

— sin k cos 0,
sin n sin
— 2 «1« r cos (1 + Ä»i

A +

COS

AI

221

elc.

,

versteht sich von selbst.

man

die Differential-

mb
ri

dg

e,

Die meiste Bequemlichkeit scheint mir indess die zweite Gleichung darzubieten, indem
A

cos

d

S

rf

I

natürlich auch nur näherungsweise, wie dies bei diesem

sin

m

+
+
+

se
u

,

Mu

6

sin 8 sin o
sin

cp

the

cos

sin S, sin

cp

cos o cos

o,

cos ö cos

cp

cos (a

cos

o,

cos

cos

—

ay

•

sich die Zeit

1

^

2i)

bezieht, eben so wie aus diesen

Er

die Differentialquotienten

d sin

d%

d

ff

sin

ff,

d%

'

rva

rd

Un

ive

rsi

ty,

Ephemeriden

Grunde gelegten Ephemeriden, auf welche
ns
tM

mittelst der zu

unmittelbar

a,),

cos (a,

cp

ist,

(a — L — 15 X),
—L— 5

rL

ibr

cos 9,

=
=
=

of

A

ary

cos

'

Gegenstande nicht anders möglich

of

aus den bekannten Formeln

cos 0,

d%

'

Co
mp
ara
tiv

rf

'

d

cos

eZ
oo
log

d

y(
Ca

quotienten

tis

ed

by

the

Ha

berechnen kann.

Dig
i

§•

Von grosser Wichtigkeit, namentlich

für die

4-

Beobachtung der Bedeckungen,

ist

es nun ferner, die

Lage der scheinbaren Berührungspunkte der beiden Weltkörper im Räume zu kennen, um im Stande zu
sein

,

bei

den Beobachtungen im Voraus sein Augenmerk auf diese Punkte zu richten.

Ich werde daher

diesen Gegenstand im Folgenden mit aller Strenge zu erledigen suchen.
Alle Zeiten

und Elemente beziehen sich hier auf den iMoment einer Berührung

,

wobei wir natürlich

voraussetzen, dass diese Zeiten nach der im Vorhergehenden gegebenen Anleitung bestimmt worden seien.