Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 51-1-0001-0022

at
bio
log
iez

en
tru
m.

ZUR

rar
y.o
rg/

;w

ww
.

THEORIE DER LINEAREN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN.
D

r

G.

ww
.bi
od
ive

rsi
t

ylib

VON

ESCHERICH,

v.

VORGELEGT

DER SITZUNG AM

15.

MAI 1885

Appell

ad

fro

m

Th

eB

iod

ive

rsi

ty

IN

He

rita

ge

Lib

rar

yh

ttp

://w

CORRESPONDIRENPEM MITGLIEDS DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN.

ohne Beweis einen Satz über ganze Func-

Tast zur selben

Zeit als Herr

tionen, gebildet

aus den particulären Integralen einer homogenen linearen Differentialgleichung veröffent-

nlo

ina

lD

ow

'

Bedeutung haben, wie

Potenzsummen

;O

in

der Theorie der symmetrischen Functionen der Wurzeln einer

in

Appell

geführt, der sich als die

einer selbstverständ-

gy

Unkehrung

lineare Gleichungen beschränkt darstellt.

Von den

grössere Aufmerksamkeit zugewandt:

die der Satz zulässt, habe ich nur einer

vielen

Den Deter-

mp
a

rat

Anwendungen,

homogene

nicht allein auf

den folgenden Blättern zeige,

Zo

Bemerkung und

ive

lichen

in

(C

geradezu von selbst auf den Satz des Herrn

ich

am

bri

Von diesen Determinanten wird man, wie
olo

algebraischen Gleichung.

dg

e,

die

der Theorie der linearen Differentialgleichung dieselbe
rig

erwähnte ich 2 gewisse Determinanten, welche

MA
)

lichte,

den Coinptes reudus

iu

Co

minanten, welche die nothwendige und hinreichende Bedingung ausdrücken, damit eine nach den Elementen

homogenen linearen Differentialgleichung ganze Function

se
u

m

of

eines Fundamentalsystems particulärer Integrale einer
Mu

mit constanten Coefficieuten Null oder einer ganzen Function der Unabhängigen gleich

ist.

Die Wichtigkeit

ist

von selbst klar

of

the

derselben für die Frage nach den algebraisch integrirbaren linearen Differentialgleichungen
ary

bei den linearen Differentialgleichungen der dritten

Ordnung

in volles Licht gesetzt.

ay
rL

ibr

und wurde von Fuchs

3

Formen weiter

Er
ns
tM

Einer späteren Gelegenheit behalte ich es vor, die hier gegebeuen Grundlinien der Theorie dieser

ive

rsi
t

y,

auszuführen.

rva

rd

Un

I.

als

the

Ha

Die nachfolgenden Entwickelungen beruhen auf einer Bemerkung, die sich in zwei früheren Arbeiten

Dig

zeigte sich, dass:

itis
ed

by

unmittelbare Consequenz der Formeln für die Resultante zweier linearen Differentialgleichungen ergab.

1.

wenn yi; yt -..yK

linear

unabhängige particuläre Integrale der Differentialgleichung

yW + a, yC»—
XC

1

Comptes rendus, Bd.

-

Denkschriften dieser Akademie, Bd.

3

Acta mathematica, Bd.

+

und XCI.

II.

Denkschriften der mathem.-naturw.

*)

Cl.

LI. Bd.

XLVI

und XLVII.

.

. .

+ a„y =

U

Es


.

G.
.sind,

Esclt
v.

jede der Matrix

v nr

[

;

Grades

m.
at
org

gilt für

nach dem Coefficienten a und

jede der Matrix

ry.

das Nämliche

in eine

darstellt.

>j?

1

i/r

';

i

y,

•

f)

-y-

;

i

angehörige Determinante («

Grades, wenn

-f l)ten

iod
ive
rsi
ty

He
ri

y^i;yS+i

tag
eL

ibr
ary

htt

p:/

;

/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

ibr
a

2.

"'''"'

Product aus e~J

als ein

deren Differentialquotienten ganze Function sich

yn
bio

wten

u

/; w
ww
.

entnommenen Determinante

// 2

en
tru

y^; u'r

]

log
iez

yP; y'r'

y2

//,,

.

!.'/

C»-0

rom

c«

•

«„//

linearunabhängige Integrale der linearen

i

+

ff

nlo
a

df

y

f

//,

Th
eB

Differentialgleichung:

Bemerkung und

die auch etwas verborgenere Bildung der der Determinante

ganzen Function sollen zunächst unabhängig vom Begriffe der Resultante zweier linearen
MA
); O

äquivalenten

rig

ina

Diese, übrigens naheliegende

lD

ow

sind.

dg

e,

Differentialgleichungen hergeleitet werden. Beide ergeben sich aus der Betrachtung gewisser allgemeinerer

y(
Ca

mb
ri

Determinanten, die durch Specialisirung der in ihnen enthalteneu Grössen eine sehr weitgehende Verwendung
eZ
oo
log

gestatten.

Functionen der Variablen

seien

bs ...b„

y,

ij" ...

y',

und mit diesen Grössen sollen

of

,

durch das folgende System von Gleichungen zusammenhängen:

....c„

m

x2

us
eu

as,,

•

+ cii„x„ + b =
x

a,,x,+a

'21
22'x,+
M
2
1

.

•

+«!»«» + &,

=

a*iz, +ff„ 2 .'',

+

-"„,.'„

+b —
n

Un

ive

rsi

ty,

Er

ns

tM

ay
r

Lib

rar

yo

f th

eM

n andere:

Co
mp
ara
tiv

Die Grössen b t

II.

der Variabein y,
Ha

>/,,

soll

y'l ...

y', ij" ...

gehe

by

über

the

y,,

Es

in (b k) t

und

nun zunächst der Werth der Determinante
Dig

i

tis

ed

1.

by

systems

rva

rd

dessen Determinante -=fcff u a M .--a„„ nicht verschwinde. Durch die Substitution eines bestimmten Werth-

2>.=

(•'^Jmj (^'2 )"'

bestimmt werden.

5

•

•

\

X ',J''

infolge dessen

xk

in (#*),.


Zur Theorie der
Setzt
in

A

man

lniLl,.,.,

der Kürze halber

= S±tf u «M

A

3

linearen Diffeventialglächungen.

.

und bezeichnet die Subdeterrninante des Elementes a iik

..«„„

so folgt aus (1)
«

— Ax =b A u +b
i

l

i

A +.
2i

=y

.+(>„A ni

.

b^A

{ji

=i

D

von x{ in

.Substitution dieses Wertlies

man:

erhält

IH

p=.

p=l

0=)

r,=

y,(6 P)iA,

.

(— 1)'"

p=(

He

rita

ge

Lib

rar

yh

ttp

://w

Dm =

ww
.bi
od
ive

rsi
t

ylib

p

;w

Y(b \A^

rar
y.o
rg/

Yib^A^

ww
.

bio
log
iez

Durch

en
tru
m.

at

P

ty

p=l

die b

,

zuvörderst der

(

m

Th

man

unterwerfen:

+a

||

„2

y"'- 21

r

+

.

.

+a

.

ina

,,2/('"-

p,

m_ r y'
rig

p

;O

=a

+ a^ m y + a

p

=2

j
x=i

ar ,xfH

-x

+a

f

bri
am

a,

=

für jedes

p,

geht durch die Einsetzung des Werthes

Determinante D„, über in

u (m— X)

i',i/i

)

Mu

V

\ a
,,
A
„(m— X)
p.i.-a.p,«jifi
'

\
•

•

X=l

X=1 p=i

the

n

m

V a~

,

A

p,

X-».

af"

Ut

p=

n

of

7»

m

i
,
a p,X^p,

X=l p=l

se
u

ZV»

of

Co

mp
a

rat

ive

für b die obige

(C

behandelnden Falle

hier zunächst zu

gy

dem

sind.

Zo

In

unabhängig

olo

die a von den y

11

;

ay
rL

ibr

ary

^vA.'jr 2Z

X=i p=l

m-X)

ap
'

Up '^

X=i p=l

-

•

22

(

"''"< y!

m -X)

X=i p=l

Un

ive

rsi
t

y,

Er
ns
tM

(-1)"

Ha

rva

rd

,(«—X)

X=l p=l

itis
ed

by

the

X=l p=

Diese Determinante nun
Dig

wo

dg

e,

MA
)

6p

lD

ow

nlo

ad

Annahme

von dieser Formel aus zu dem hier gesteckten Ziele zu gelangen, muss
fro

Um

eB

iod

ive

rsi

l

stellt

sich als Product der beiden

//,"-'

(-1)"

Ausdrücke dar:


'

G.

Escherich.

v.

n

n

"

p=i

p=i

(-=1

n

n

n

\=i A-

h

a

p,

'

^_,

;

.

A

:-

a

'.•

p.

2

•

•

^

2_,

p>

*

ap
'

=i

P

p=(

p=l

/; w
ww
.

bio

log
iez

en
tru

m.
at

P

ibr
a

ry.

org

p=l

t

-"Mi

;

A-. yi,

•

•

.

.

.

A

n> it

A„ ti

3i

iod
ive
rsi
ty

He
ri

A

Ai,>„,\

tag

eL

ibr
ary

htt

Ai^

)

ist:

p:/

A\,i

/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

von denen die letztere Determinante wieder das Product der beiden Matrices

i

,

«n,

!

lD
ow

nlo
a

df

rom

Th
eB

«n

«„,,

«2,

MA
); O

rig

ina

«i,

Jede Determinante aus der ersten dieser beiden Matrices

aber eine Determinante der Adjunctcn der

ist

niultiplicirt mit A'"

_l
.

Abgesehen von

mb
ri

dg

e,

Elemente von A und daher gleich ihrer adjungirten Determinante in A

eZ
oo
log

y(

Ca

diesem Factor ist also das Product der beiden Matrices gleich einer Determinante »ten Grades, die aus

'•


",2

us
eu

m

of

Co
mp
ara
tiv

»11

ftn, 2

,

•

den Colonnen mit den Indices

in

rar

wenn

».

,

i

t

.

.

.

i,„

a mit

a.

vertauscht und dann

/,

=

1,

i

t

=2

.

.

<„,

=m

Lib

hervorgeht,

yo

f th

eM

«h!

ns

tM

ay
r

gesetzt wird. Diese Determinante mit

V^,,.-,,^

.'/

!>,„.

rva

dann

Man

erhält also

den Werth von

Dm

auch aus dem Ausdrucke

by

the

Ha

niultiplicirt, gibt

rd

Un

ive

rsi

ty,

Er

(-1)"

Dig
i

tis

ed

•

S±.'/, -'

•

!/.;

plicirt,

in

der Matrix die

i

v

i

t

"„

;

;

«ii

« 2I

;

«ts

«i„

;

«22

Ä2,,

j

^h,

.'/«.

flnl

wenn man

«in

»

«n,

(

';i/i

5

*»i

~

...ij& Colonne unterdrückt und dieselbe mit einer Potenz von

deren Exponent die Zahl der noth wendigen Vertauschungen angibt,

unveränderter Aufeinanderfolge zu den u ersten der Matrix zu machen.

um

(

—

1) niulti-

die übrigen «-Colonnen in


Zur
2.

TJieoric der linearen Differentialgleichungen.

In ähnlicher Weise lässt sich unter den frühereu Voraussetzungen auch die allgemeinere Determinante

berechnen
(»"-pj

K)

3

5

KX

•

•

»Sr^

'>

yjj-p*+*>

5

{

•

•

yi

-Pm)

en
tru
m.

at

D,„

,

ßj...ßi, ,3+1

eine Pernmtation von

••,3,,,

2...;»

1,

Man

ist.

erhält zunächst

ww
.

ß,

K P.

ylib

rar
y.o
rg/

;w

wo

bio
log
iez

(»<-ß„,

n

y Xa
=

•

=

1

>A -'

'-

_X)
')

i'"

yir w

y 2"~^+ i]

://w

•

Pl

{

ttp

y ^« uMPi ^-°

1

yh

1)*

He

rita

ge

Lib

rar

D,

—

V

ww
.bi
od
ive

K=\ p=l

in

_

rsi
t

^^P.»,-),»!

X=t p=i

ive

X=l

!

m

;

a
•

lD

m
y\

l

ina

r

{

;O

rig

y

ow

nlo

beiden Ausdrücke dar:

bri

dg

e,

MA
)

(-1)''

(C

am

^r

itis
ed

by

the

Ha

rva

rd

Un

ive

rsi
t

y,

Er
ns

tM

ay
rL

ibr

ary

of

the

Mu

se
u

m

of

Co

mp
a

rat

ive

Zo

olo

gy

y;r";

Dig

fc+i!

.

das Product zweier Determinauteu auffassen und
fro

als

ad

Diese Determinante lässt sich

;.=

X)

.

«("'"

>';

.«

Th

p=t

).=1

als das Product der

rsi

ty

X Z a ^^r ;^+

•

iod

"•

f

eB

z J« ,»4,t

ri

•

-y\

I),„ stellt

sieh

bienach


G.

Escherich.

v.

mit jener, die aus

% +t

entst eht. Berücksichtigt

hb+f-%,

,

log
iez

durch Unterdrückung der Zeilen mit den Indices

en
tru

m.
at

«i„

in

A

so ersieht man, dass die Determinante

ist,

/fcten

und

wieder,

ihrer adjungirten

Grades aus

»8»1

•

•

(l„

gewonnen wird, indem man

He
ri

Dieser Ausdruck mit
iod
ive
rsi
ty

ersetzt.

c.

tag
eL

hierin die Zeilen mit den Indices i^, tp,...tp

der eben festgestellten Matrix der

-"^-*
//,

.

nlo
a

D

])

df

dann das gesuchte

dem Ausdruck

m auch aus

tis

ed

by

the

Ha

rva

rd

Un

ive

rsi

ty,

Er

ns

tM

ay
r

Lib

rar

yo

f th

eM

us
eu

m

of

Co
mp
ara
tiv

eZ
oo
log

y(
Ca

mb
ri

dg

e,

MA

); O

rig

ina

lD
ow

erhält somit

Dig
i

Man

rom

Th
eB

(-iy
multiplicirt, gibt

htt

i

ibr
ary

«In

p:/

/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

ibr
a

ry.

org

Determinante

man nun

/; w
ww
.

bio

dass jede, der ersten Matrix entnommene Determinante gleich einem Producte aus A'^"

1

y*

bezüglich durch die

1, 2... Ate

Zeile


Zur
2.

Weise

In ganz derselben

= 0,

Voraussetzung, a p

Determinante (»a-f

Theorie der linearen Differentialgleichungen.

für jedes

l) ten

Nur wird man

fallen lässt.

p,

Untersuchung führen, auch wenn man die frühere

sich offenbar die

liisst

7

diesem Falle von der Bestimmung einer

in

Grades ausgehen müssen und gelangt dann zu dem Resultate:

Jede der Matrix
(xi ) l

;

at

(x l ) l

"l/i

zn

)

-^21

?

|

'*?/>

bio
log
iez
ww
.
;w

Ä 2i
22

«2m

•

a2

j

*±ytf

>/,.,+

ii

5

a „.

"„„

:

«n,

!

1

a «,i

i

.

.

« um

.

rar

1

**n

j

herausgehobenen gleichstelligen Colonuen unterdrückt,
He

deren Exponent die Zahl der Vcrtauschungen angibt, welche

multiplicirt,

rsi
ive

die übrigbleibenden Colonnen in unveränderter Aufeinanderfolge
iod

um

— 1)

den n ersten der Matrix

zu

eB

nöthig sind,

(

rita

in dessen Matrix die mit den aus der ersten

und ihn mit einer Potenz von

ty

wenn man

ge

Lib

«n,

yh

ttp

://w

j

•//.+>

•

dem Ausdrucke

gleich

ist

ifctPifctP

;

rar
y.o
rg/

entnommenen Determinante (w-|-l)ten Grades

(Om+i

.

.

ylib

.

rsi
t

(xt ) m+l

;

ww
.bi
od
ive

foVf,

en
tru
m.

(•»-Ol

'

erledigt sich unmittelbar der in I gestellte Vorwurf.
fro

dieser Sätze

lD

ow

nlo

ad

Vermöge

m

Th

zu machen.

Es wurde nun angenommen yit

.

.

Fundamentalsystem particulärer Integrale der linearen

ein

sei

ym

.

i

e,

ij

MA
)

;O

rig

ina

III.

+ Om-iy' + a„,y — 0.

(C

+ a y(m-V +

.

.

.

olo

t

gy

y'"''

am

bri

dg

homogenen Differentialgleichung

etwa

;x

k,

hängen die Derivirten des y nach

so

x

von höherer

')+

+u
+a .-

.

.

.

v

of

.

-+-«.._,

'/"
.//

n

,,,)i<"'

m

.

i

.„.

,// -"

+

«,,._,._,„._.,,/.

.!//"-'>

+

y

i,k-ty

=

ay
rL

ibr

ary

of

the

ij-

.

se
u

)

Mu

+ ai^yb-- +

Co

mp
a

Ordnung mit denen niedrigerer Ordnung durch das Gleichungssystem zusammen:
1

ii"

= m+

rat

;

Zo

u>?« und

ganze positive Zahl

(m — l)ten

ive

Ist die

als der

"

a,„y

+«i

Er
ns
tM

.'/

rsi
t

y,

wo

hierin (X) einen Differentiationsindex bedeutet.
the

wurde und

1

Von

ihren

Dig

itis
ed

by

gesetzt

Ha

rva

rd

Un

ive


mannigfachen Anwendungen

ich

will

hier

um

erwähnen, dass ans ihnen sich sofort der Werth des

Quotienten ergibt:

_
s

wo

die oberen Indices gauzzahlige positive

Wurzeln y ,y i ...y M
1

sind.

±

j1 Jt
//Vi/2

•

•

•

r'-

1

Exponenten bedeuten, ausgedrückt durch die

C'oefficienten der Gleichung, deren


G.

8

Escherich.

v.

Form des iu II, 1 behandelten, wenn man die Derivirten des y von
% und die anderen Derivirten, y eingescblossen, als die y betrachtet.
diesem speciellem Gleichungssysteme 1 und man bat somit den Satz:

Dieses Gleichungssystem hat aber die
höherer als der (m

—

Die Determinante A

Ordnung

l)ten
ist in

als die

Jede der Matrix

r

•

•

y'i

6

i]

;

y,

;

y,

m.
at

yf~

;

l)

{

en
tru

y

;

(2)

[x

= m + k,

tis

ed

by

the

Ha

rva

rd

Un

ive

rsi

ty,

Er

ns

tM

ay
r

Lib

rar

yo

f th

eM

us
eu

m

of

Co
mp
ara
tiv

eZ
oo

log

y(
Ca

mb
ri

dg

e,

MA
); O

rig

ina

lD
ow

nlo
a

df

rom

Th

eB

iod
ive
rsi
ty

He
ri

tag
eL

ibr
ary

htt

p:/

//,"'-"

Dig
i

org

wenn

ist,

ry.

Grades

w« tei1

y»; y»

J Hl

'

gleich
ibr
a

entnommene Determinante

Ul

/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

'

/; w
ww
.

bio

log
iez

vP
yf

dem Producte

aus


Zur Theorie
dem Ausdrucke

v

uk](h~

2]
«.:-,.,"

-.-,,^-,.

•

•}

•

bio
log
iez

-

at

gleich

en
tru
m.

ist

der linearen Differentialgleichungen.

i-—

z—

i

ylib

*

rar
y.o
rg/

;w

ww
.

und hieraus ergibt
sich
ö'

"i

;

—

"

(i

*

die Determinante rechts durch Permutation der

i

...

/,

,

/,

yh
rar
Lib
ge

man, dass

ersieht

Die Determinante höchstens vom Grade k

rita

Aus dieser Formel

den Coefficienten der Gleichung und deren Differentialty

He

in

3.

da im Ausdrucke für a hS bei jedem «/ die

m
l,

constant

v ist,

so

ist in

fro

+

des unteren und Derivationsindex, das sogenannte

jedem Gliede der Determinante
ad

i

Summen

die

Summe

der Gewichte ihrer

nlo

Gewicht desselben

vorkommt,

in ihr

iod

höchstens die &ten Derivirte der Coefficienten

eB

2.

ive

rsi

ist,

Th

1.

.:—>...

aus ihrem llauptgliede entsteht und hiebei alle a

;

mit negativem unterem Index Null zu setzen sind.

quotienten

,i'

rsi
t

—n

ww
.bi
od
ive

ii

ttp

wo

—

://w

i

rig

ina

lD

ow

einzelnen Factoren, das Gewicht des Gliedes selbst, dieselbe Constante, und zwar gleich

— fc=2i— 5fc(i+n.
;O

.

.

(C

am

bri

dg

e,

.

MA
)

v,_l— 2—

ive

Zo

olo

gy

IV.

+

of

4- ",// ,—,)

-

m

"

•

.

+

«,,.-i.y'

+ a,„y =

Mu

se
u

//

Co

mp
a

rat

Hat man eine ganze Function / der Coefficienten einer homogenen linearen Differentialgleichung

f,

indem man jeden Coefficienten durch

of

lässt sich

the

und der Derivirten derselben, so

ibr

-

=

'

darstellt, so

Er
ns
tM

Potenz von Asich

ay
rL

i/

ary

!/,„ ausdrückt, in eine ganze Function
//,,
z
mit einer Potenz von A
2±y[m~ y(£'~ ~ !/.„ umsetzen.

mentalsystems:

ändert sich

Fnur um

F

die

Da

also

F

gleich

einem Producte aus f in eine

eine Potenz der Substitutionsdeterminante,

ive

rsi
t

y,

von dem angenommenen Fundamentalsysteme zu einem anderen übergeht. Somit

ist

1'

Fundamentalsystems und

rva

Ha

soll

nun untersucht werden, ob diese Bedingung auch hinreichend
the

Es

in ihr

ausdrücken lasse durch das Product einer Potenz vonA in eine ganze Function der a und ihrer

by

Derivirten.

wenn man

diese Eigenschaft von

rd

Un

eine nothwendige Bedingung, damit sich eine ganze Function der Elemente eines
ihrer Derivirten

Elemente eines Funda-

dieser Integrale und ihrer Derivirten, multiplicirt

ist

und hiebei der

in III betrachteten
Dig

von Determinanten der

itis
ed

geschlagen worden, den die oben gemachten Bemerkungen von selbst andeuten, nämlich

Form

aufzulösen.

Auf

diese

F in

Weg

ein-

ein Aggregal

Weise wird mau zu dem folgenden

Satze geführt:

Wenn

eine in den Elementen eines

Fundamentalsystcms einer linearen Differential-

gleichung und deren Derivirten ganze Function heim Übergange von diesem Fundamenta 1systeme zu einem anderen bloss um einen constanten Factor sich ändert, so lässt sie sich

ausdrücken durch das Product einer Potenz der Determinante dieses Fun da mental Systems
Denkschriften der mathem.-naturw.

Cl.

LI.

Ed.

2


J

:

10
in

G.

Escherieh.

v.

eine nach den Coe'fficienten der Differentialgleichung und ihren Derivirten ganze

Function.

'

Mit den Elementen y v

y.l

,.ym eines

-

Fundamentalsystems der Gleichung

mögen

(1)

die

Elemente uv u2

.

.

.

um

zusammenhängen
"i

=
+ <£y«

"

=

+c

+4s/t+

V\

ii/>«

•

+o-

•

ibr
a

ry.

•

org

««=cTyi+«?Ä+

/; w
ww
.

bio

\

log
iez

c

en
tru

m.
at

eines anderen durch die Gleichungen

...u,„; u' ,u'. ...u'„...it^,
z

u.^'

...it]'

l

du

ilu

htt

du{

1

de".

dF

*"£°

tfwW

dclh

Dimension,

tag
eL

de)

dF

—+
de*

p:/

ist

dF duk

dF(u)

s

ibr
ary

welche kurz mit F(u) bezeichnet werde, so

ganze Function der (wr) teu

/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

nun /'eine nach u^ u 2

Ist

Th
eB

iod
ive
rsi
ty

He
ri

und daher wegen

rom

h=i

_y
df

)

lD
ow

ii

nlo
a

(1F(

'

—

dF

i

dwT'Jl

i

MA
); O

ist

e,

Somit

rig

ina

dc\

man nun

mb
ri
y(
Ca

,/,•„,

.

(l\F

_

'

///;'v//;'

dnWduW

.

;/,>

•

•

dulW

.

.

Gleichung die hv hz ...h m und belässt bei jeder geraden Anzahl von Verman dasselbe bei jeder ungeraden

in dieser

Co
mp
ara
tiv

Permutirt

.

.

X

eZ
oo
log

(lr]'' de':'

1

dg

d-'F(u)

tauschungen den sämmtlichen Gliedern ihr ursprüngliches Zeichen, während

Anzahl von Vertauschungen

das entgegengesetzte verwandelt, so gibt die Addition aller auf diese Weise
m

of

in

f th

eM

us
eu

erhaltenen Gleichuna-en:
i&v

rar
Lib

dr^clc;:.

.d&im
ay
r

.

-

M

/',

=.

—
.=

/'

dn
M

=

dll'l'dH'l-l
*•
'

F
.

.

.

«/«('/J
'•

1

—

•

/

*i

Jk

"

>

"

'

''>,„

,„

Damit nun

Summe

links nicht verschwinde,

rsi

ty,

die

ive

angenommen werden;

in der

Summe

Un

schieden

Er

ns

tM

1

V

yo

dm F(u)

rechts sind bloss die Glieder von Null verschieden, in welchen

rva

rd

einander gleich sind: somit müssen sowohl die

h, als

auch die

Ä;

und

l

eine Folge der Zahlen

the

2...m bilden.

fest,

tis

mau

dass in der

Summe

Dig
i

Setzt

ed

by

1,

l

die h als auch die k unter einander ver-

Ha

keine zwei

müssen sowohl

die obige

1

Formen

links das Glied

j-,

.,
.

.

t

.

2

'

*

das positive Zeichen haben

soll,

so erhält

m

Formel die Gestalt

Appell, Comptes rendus,

t.

XC

und XCI. Mau kann die ganze Function auch

auffassen, woraus die Eiehtigkeit des Satzes sofort einleuchtet.

als eine Invariante eines

Systems linearer

Der nachfolgende, durch die obigeu Bemerkungen

von selbst sich darbietende Beweis hat mit dem Clebsch's über die sj'mbolische Darstellung der Invarianten (Journal für

Mathematik, Bd. 59) den Grundgedanken gemein.


Zur Theorie der

V
= ... =

/',

wo

e//,i'

=0

/'

du[ \<'<itt'>:f

v

.

.

,

Permutationen

alle Glieder

für

wten Classe ohne Wiederholung der Zahlen

zusammen, deren

p

/

k[, K...Ä', aus 1, 2... in

links

2. .« zu setzen. Fasst

1,

",,,

durch eine

erstreckt sich hierbei

werden können und rechts hat man

2... in gebildet

1,

y

.

mau

für

l[,

in dieser

/£.../'„

Summe

nur verschiedene Permutationen derselben Complexion darstellen, so erhält

l

den Coefficienten von

.y'y

•

rar
y.o

rg/

S±yptfV>.

;w

ww
.

man

die aus

r ..k'„„

//,, k'.

;',)

bio
log
iez

alle

alle Variationen zur

±y

",

Summe

gerade oder ungerade Anzahl von Vertauschuugen gewonnen wird. Die
über

du

.

nachdem

die positive oder negative Einheit bezeichnet je

/,-„

F

!

at

dc

#"

k

en
tru

m.

d">F(u)
'rfcf
11

linearen Differentialgleichungen.

rsi
t

ylib

den Ausdruck

dngVctagV

.

*#->'

.

yh

symbolisch auch durch die Determinante

rar

Summen man

rita

dF

dF

He

dF

ge

Lib

welche

ttp

://w

.

ww
.bi
od
ive

dm F

S*'„*..

'

ty

'

dup

duM

dF

lD

ow

nlo

ad

fro

m

'

eB

du^

'

iod

dF

dF

dF

ive

rsi

du
Th

du\ r '>

dF

dufm)>

;O

rig

ina

dF

duVJ

dg

e,

MA
)

dll^'v

darstellen kann.

(C

am

(/{, Vi-..!',,)

gy

erhält so für die rechte Seite der obigen Gleichung
Zo

olo

Man

bri

oder kürzer nach Cayley's Bezeichnungsweise mit

.

V 2

.

-t- //Ci)

»/'''•'

y'y,

Summe

dem angeschriebenen

aus

man

Gliede erhalten wird, indem
of

die

für

/',,

/'-...

Vm

alle

Combinationen

se
u

m

wo jetzt

Co

mp
a

1

ive

.

rat

Y,(l'l'

Mu

ohne Wiederholung zur wten Classe der Zahlen
k"

.

.

.

1,

eine zweite Folge der Zahlen
the

Ti[,

setzt.

k",

2...?«, so erhält

1,

man

durch Wiederholung dieser

of

Bezeichnet

2...n

ay
rL

ibr

ary

Überlegungen

.

l.'

d? m

Er
ns
tM

.

.

m e/;", );"...

.

.

F

>.'

f/r'l''

.

.

'"«

f/(''''«(/c'"i

.

.

.

de 4

ive

rsi
t

y,

A«4',i's

Ha

rva

rd

Un

£""'

k'

dieselben Werthe anzunehmen, als nach der vorhergehenden

und V und das Product der beiden Symbole

Weise zu berechnen. In der

Summe

demselben unteren Index vertauscht
gleich sind,

l"

itis
ed

die

Dig

Angabe bezüglich

und

by

the

In diesem Ausdrucke haben die &"

zusammen,

so erhält

;

links ändert sich
fasst

man

als

(/',,

f
l

t

man nun alle die
deren Summe

l"-.-l")

...l'm) (l",

nun der Differentialquotient

nicht,

Differentialquotienten, die

.

.

.*'„**»,*",•

:

*Oi

de:

.

de^„dc\"<

.

.

bekannter

dem oben angeschriebeneu

,/•'- /•'

{S(ee lVt

ist in

wenn man zwei k mit

de

'•


:

12

G.

Der
aus

des Differentialquotieuten

Coe'fficient

die

ist

Summe

der von einander verschiedenen Ternie, die

wenn man darin die k mit demselben unteren Iudex auf
Die obige Gleichung nimmt nunmehr die Gestalt an,

dem angeschriebenen

Arten vertauscht.

Escherich,

r.

v>_
dc\
de;

££

"...
.

_,,„.

de
'/c mder.
mdc\

.

.

.

>

d&

.

mau

möglichen

J
'

m

alle

"*

//,,

£

und U'v

/."

nur die Prodncte der Permutationen von
bio

und

für die 1/

/; w
ww
.

...k'„

k'.

Summe

Differentialquotienten der linken

beizubehalten sind, die sich uicht etwa bloss durch Vertauschungen von & mit dem-

/,'/.../.''

org

wo im

log
iez

en
tru

m.
at

I

Gliede erhält,

....

/.,',

v

2\S(e#

ebenfalls Permutationen der Zahlen

..],

k;,.

.

ibr
a

//''

ek

.

r

/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

V" ...

/.'/'.

d "" l "

jOl
.

.

'

.

dc-j'i

.

]

dc\>

.

.

2...m, so ergibt sich

1,

.

.di

.

rechts

haben die einzelnen Gruppen der

Bedeutung und die Invariante (Vt

l' ... l'

m)

%

(l"l%-.-l'£)

symbolischen Darstellung gewonnen; für die

••y^«

mit demselben oberen Index die früher angegebene

l

iod
ive
rsi
ty

Summe

-±.'//''

tag
eL

i

(7j/£...

l

r

)

wird in bekannter Weise aus dieser ihrer

sind alle von einander verschiedenen Producte aus je r C'oinTh
eB

In der

Sdby'f' ••//;"

1

i^zb///'' ....v„'>

z\(l[...li, M/i'.../fi...i/-.../

He
ri

=

ibr
ary

htt

aej

'

p:/

Bezeichnen nun

ry.

selben unteren Index von einander unterscheiden.

l

2...n zu setzen. Links bezeichnet jede Gruppe

1,

df

rom

binationen ohne Wiederholung zur j«ten C'lassc der Zahlen

Summiruug

aller

von einander verschiedenen Terme erhalten, die sich aus
MA
); O

rig

ina

quotienten wird durch

lD
ow

nlo
a

der k mit demselben oberen Iudex eine Permutation von 1,2...»/; der Coe'fficient des obigen Differential-

<',..

,-,.,'.•,.

.t" m

•

<•,-.

.

dg

e,

.

mb

ri

möglichen Vertauschungen der k mit demselben unteren Index ergeben; die

dem angeschriebenen

man

Gruppe auf

die k jeder

selbst wird

möglichen Weisen per-

alle

eZ
oo
log

ii „,

.

in

.

l

.

u fi

.

.

einander übergeführt werden können.

Formel

Differentialquotient in der obigen

(»»»•)*«
(

Co
mp
ara
tiv

Der

of

unteren Index

...

Gliede gewonnen, indem

Summe

von diesen Gliedern aber nur jene beibehält, die nicht durch Vertauschungen von k mit demselben

mutirr,

kW

.

von der (w?r)ten Dimension
m

aus

n

y(
Ca

alle

sei,

ist

wegen der Voraussetzung, dass F(u) nach den

eine absolute Zahl. Ist nun

us
eu

durch

... y,„;

>/[..

y'„,
;

y["

]

•y

i

")
\

f th

eM

von der Beschaffenheit, dass

F\yx

= CF(y)

Lib

rar

yo

F(u)

bloss von

den

abhängt, die darin bis zur (jwr)ten Dimension ansteigen müssen, so
ay
r

/

c

ist

Er

ns

tM

wo

ty,

ri.

.

.

ive

rsi

F(jt)2[S(eir. ...,.•

*t '.

.

.,;

(

)]

.

.

.

(IC

.n

.

.

.

Cfcji

de:,-

.

.

.

flfC*

M

|

j

rva

rd

Un

dC\ ':lr,-

Ha

= i-;i/!.../',h/7.../"i...(/

.../ji:± //i

',

...//j'..

...Xi/zv'...^;;,)],

Summen

angegebene Gestalt haben und der Differentialquotient von

die früher

tis

die

Dig
i

wo

ed

by

the

1

ganze

Coe'fficient

von F(y) eine absolute Zahl

F(y)
Dies

ist

also die

ist.

Bezeichnet

man denselben etwa

= »i2[(/'i...Zi )...(^...^S±y^..^'->...S±yl'» >...s^L

Form,

gebracht werden kann, wenn

—

mit

/

,

und daher auch der
so ergibt sich

,

I

in

welche jede nach

sie bei

//,

... y,„;

...y["K..i/"'>

>

}.

ganze Function der («r) teu Dimension

Vertauschung eines Fundamentalsystems mit einem anderen sieh bloss

um


Zur Theorie der

linearen Differentialgleichungen.

1

«inen constanten Factor ändert. Der Wertli des letzteren ergibt sich gleichfalls aus dieser Gleichung: er

wo

C= 2-4- eleu

..

.

c

1

"

ist

3

C'

}

die Substitutionsdeterminante bezeichnet.

m

Es hat nunmehr auch keine Schwierigkeit, den Wcrth von

der obigen Formel zu bestimmen. Es

in

ist

nämlich

'

die hier auftretende

...i/r''

Summe

r/r,''

„

...(/(•'".» ...(/(•''

.dc^mde;"'

.

.

:s '"

„-«*,'

.. (/<•'„

.

at

dc i "m..,dc'\'

dieselbe wie oben

en
tru
m.

..<lc'>«( /(•;"'...

Somit ergibt sich

ist.

bio
log
iez

wo

.

ww
.

in eine

durch ein Product aus

analoger Weise auch die Elemente

in

ist.

yh

den y

r.,

>?,,,

... r„,

eines Fundamentalsystems

Lib

F ausser

(III)

nach den Coefficienteu der Differentialgleichung und ihren Differentialquotienten

ganze Function ausdrücken, womit die aufgestellte Behauptung bewiesen
2) Enthielte

rsi
t

nun nach

lässt sich

ww
.bi
od
ive

vorkommende Determinante

der Formel (1)

://w

in

sind.

ttp

Jede

S'+yMIyf«-!].,, ym

ylib

Bedeutung der Summen aus den vorhergehenden Entwicklungen klar

die

rar

wo

rar
y.o
rg/

;w

1

~

Iy

-'-

'

f.

-4-

ff

i

r

'

-'-

r

ff

"

—

O

ty

-J- ff

'

r,,

...

t

r,M «M...

iod

...

ganze Function

r,';'

Übergange von einem Fundamentalsysteme zu einem anderen

eB

v^

bloss

(;io) tcn

Grades, die sich beim

einen constanten Factor ändert, so zeigt

F durch

das Product aus

na«h den Coefficienteu der beidenDifferentialgleichungen und ihren Differentialquotienten ganze Function
MA
)

in eine

;O

rig

ina

lD

ow

nlo

ad

die Fortsetzung der eben auseinandergesetzten Überlegungen, dass

um

Th

nach den Grössen r/p

m

JF eine

fro

und wäre

ive

rsi

r

He

rita

ge

einer anderen Differentialgleichung:

dg
bri

Formel erhält man nämlich

am

Stelle der

Co

mp
a

rat

ive

Zo

olo

gy

(C

An

e,

sich ausdrücken lässt.

se
u

m

of

-±y^...^...-±y/."...y::;,)i;±,;'. ...vv.-.^iv;;,'...,

ary

of

the

Mu

wo die Bedeutung der einzelnen Zeichen nach dem Vorhergehenden keiner Erläuterung bedarf. Jede in der
Summe rechts vorkommende Determinante lässt sich nun nach III durch ein Product aus der Determinante der
ay
rL

ibr

Elemente des betreffenden Fundamentalsystems

in eine

nach den Coefficienten der zugehörigen Differential-

Er
ns
tM

gleichung und ihren Differentialquotienten ganze Function ausdrücken.

welche die Elemente der Fundamentalsysteme mehrerer Differentialgleichungen eingehen.
ive

in

vielen

und wichtigen Anwendungen, welche der eben entwickelte Satz
Dig

Von den

itis
ed

by

the

Ha

rva

rd

Un

ausdehnen lassen,

rsi

t

y,

Es braucht wohl nicht weiter ausgeführt zu werden, dass und wie sich diese Betrachtungen auf Functionen

zulässt,

'

will ich hier nur

eine behandeln, die für spätere Untersuchungen von Wichtigkeit sein wird: die Herleitung der

notwendigen

und hinreichenden Bedingungen, unter denen eine ganze Function der Elemente eines Fundamentalsystems
einer homogenen lineareu Differentialgleichung identisch Null oder gleich einer ganzen Function der

1

Appell, Comptes

rendus, Bd. XCI.


G.

14
Unabhängigen

Escherich.

r.

Diese Bedingung ergibt sich aus

ist.

änderlichen in einer linearen Verbindung stehen,

dem bekannten Satze, dass mehrere Functionen einer Verwenn deren Determinante verschwindet. Damit also die

Elemente eines Fuudamentalsystems einer homogenen linearen Differentialgleichung eine Gleichung bestimmten
Grades mit constanfen Coefficienten bilden, ist es nothwendig und hinreichend, dass die Determinante der
einzelnen Glieder dieser Gleichung verschwinde. Lässt sich nun zeigen, dass diese Determinante beim Über-

en
tru

m.
at

gange von dem angenommenen zu einem anderen Fundamentalsysteme sich nur um einen constanten Factor
ändert so kann ihr Verschwinden nach IV durch eine Relation zwischen den Coefficienten der Differentialauf diesen Fall auch der allgemeinere zurückführen, dass

sich

lässt

Differentiation

bio

Durch wiederholte

/; w
ww
.

ist.

log
iez

gleichung ausgedrückt werden, welcher Ausdruck dann die gesuchte hinreichende und notwendige Bedingung

der Unabhängigen gleich sein

ibr
a

ry.

soll.

homogene ganze Relation

Differentialgleichung eine

Gleichung

hieflir gibt die

einfachsten Falle beginnen

/.")

fr'ih

-Vi
He
ri

•

>'

;

(.y'r'.'/ 2

;

brr'yJ")

(y'i)'

•

•

(!l'0">

•

df

=

(

+
,ft

!

"2

;

=

'''.'/,

-^<-C'.'/ 2

MA
); O

rig

».

lD
ow

nlo
a

man nun
ina

Setzt

•

rom

(yj)w

Th
eB

iod
ive
rsi
ty

'.'/'; »'

tag
eL

ibr
ary

htt

und hinreichende Bedingnni;-

dem

den Elementen y v y% eines Fundamentalsystems einer homogenen linearen
»ten Grades mit constanten Coefficienten. Die nothwendige

es bestehe zwischen

und annehmen,

/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

die soeben angedeuteten Untersuchungen durchzuführen, will ich mit

p:/

Um

org

eine ganze Function der Elemente eines Fundamentnlsysteins mit constanten Coefficienten einer ganzen Function

dg

e,

so geht diese Determinante durch zeilenweise Multiplication mit
mb
ri

/

V
Vü

i

-w

l

eZ

oo
log

y(
Ca

,

Co
mp
ara
tiv

,,./

GW-

c;K"-'<4'

»-S

c'"-' c"

,./,."

,."-

t""

us

eu

m

of

,JU

eM

in

yo

f th

über

,,-\

"T

Lib

rar

"1
;

or

1

(«»)'

*^)'

rsi

ty,

Er

ns

tM

ay
r

(«y

:

(ttf-'j/g)«

l

wjj

|W

w.

z.

b.

w.

Ha

die Determinante C, wie sich aus
the

Dass

rva

rd

Un

ive

(w»)W

—

dem allgemeinen Satze in IV, 1 ergibt, die |»(w + l) Potenz

ersieht mau auch unmittelbar, wenn man sie zeilenweise

c"c',) ist,

tis

Dig
i

multiplicirt mit

ed

by

der Substitutionsdeterminante

{c\c"

...(-!)»<"
„„_,

(-1)

hi(n+t)

c

,

(_!)
.-i>'

^

((yu-g"jcv)^—^
3

(-1)* irr
)«
iCr'X(-1)'
1

ej

3

^^

-'

— (»)(»).. -Ol)
;

(-1)»^C?

.(— 1

1"
(

|'

c;


Zur Theorie
dann

man

erhält

der linearen Differentialgleichungen.

15

als Product:

(4«?-«?4>";

ur^-(i

[
'

=

C2

i

-

(?)©

bio
log
iez

en
tru
m.

at

(—1)

«)

+

/

"(':<-

-cJ cJ)»C»

l

rar
y.o
rg/

= (-i:

;w

ww
.

"

um

C

in

zeigt,

ww
.bi
od
ive

das obere Zeichen zu nehmen

ist.

und hinreichende Bedingung zn erhalten,

die nothwendigc

Lib

In ganz derselben Weise verfährt man,

«)

://w

wie die Entwickelung des Diagonalgliedcs

+

ttp

aber,

»(«

I

yh

wo

±««f—

rar

c=

rsi
t

ylib

Daher

dem

He

»ten

Grades zn einander stehen.

ive

rsi

Falle einer linearen Differentialgleichung der

III.

Ordnung

erläutern

iod

Ich will diese Behauptung an

homogenen Verbindung

in einer

ty

Elemente eines Fundamentalsystems derselben

rita

ge

welche zwischen den Coefficienten einer homogenen linearen Differentialgleichung stattfinden muss, damit die

,

,

(«
1

2

ad

nlo

der Determinante der Glieder,

:i

nach Unterdrückung des Polynomialcoefficienten ergeben.

V'

ina

Y

+y +y

ow

Entwickelung von

bezeichnet, so zeigt sich, dass beim
rig

Wird diese Determinante mit

Übergänge vom Fnndamentalsystcme

e,

+ 4& + 4^3

+ c"ih +4'y
dg

=

bri

«2

C [V\

am

—

'''•/.

3

(C

"i

MA
)

;O

™

ive

Zo

olo

gy

Ux-'Jv'Ji

dem Verschwinden

für die Existenz einer solchen Gleichung besteht in

die sich aus der

lD

Bedingung

fro

m

Th

i

eB

und zu diesem Behüte mit y y 2 y3 die Elemente eines Fundamentalsystems derselben bezeichnen, die
aneinander durch eine homogene Gleichung «ten Grades mit constanten Coefficienten gebunden seien. Die

Cder n

U aus

mp
a

Determinante

,

w2

,

u 3 sich nur

indem mau

Y,

Co

erhält nämlich die

{

um

einen constanten Factor unterscheidet

letztere mit einer

Determinante

I) multiplicirt, die

of

Mau

rat

dieselbe von der entsprechenden Determinante

0,

+
ibr

Entwickelung von
Er
ns
tM

ay

rL

die der zweiten Zeile ergibt die

ary

of

the

Mu

se
u

m

folgendermassen gebildet wird. DieEleinente der crstenZeile sind der Reihe nach die Glieder der Entwickelung von

-fq-K;

i

"-'(,<

+ 4+<

,i

ive

einem Elemente

die Glieder zu
Un

wenn man hievon immer

rsi
t

y,

i'-,

vereinigt, die für

2)ten Zeile aus

die Elemente der

"• s-

f-

(4+4+0".

itis
ed

-:-

man

Dig

die der («

c„

the

Weise aus

by

Zeile in derselben

(«i+^+«s)"~ (4 +4 +4')'
1

die der (n

-!-

/

/

3)ten aus

(

e,

-:-

fs

-:-

c

3

r—*

{

(<

-;-

,{

+d

)

.

c*+

<>[

+

,_[[

i

die der (w-t-4)ten aus
(e, •:- c

z

+c

3

i'-

::

i/

+ +
<'

2

<"'
)

('1'-:-

4'+ 4')

—

c[

Ha

rva

rd

darüberstehende Element der ersten Zeile übergehen. So fortfahrend, erhält

tf.

f,,

c.
(//-:-

l)tcu


.

G.

16

Man

Escherich.

v.

Elemente der Zeilen von

erhält also die

indem man

I),

Combinationen mit Wiederholung de»

alle

Grössen

zur «ten Classe nnd aus den Gliedern der Entwickelung jeder einzelnen Complexion in der angegebenen Weise

Summe

log

iez

einen Ausdruck haben, welcher ans der Complexion der

welche die Elemente der Zeile
'"\'-':
{

"\'Jv

'"'' '"'/"

r

''';'•

(ci+c;+wird,

lieferte, erhalten

wenn man

darin für ei

cl

:

binationen mit Wiederholung zur «ten Classe von u t « 2

,

y

U

Folglich stellen die Elemente der ersten Zeile von

setzt.

"'J:\

D

in

+ Ci+%),

org

(Ct

bio

zur

mit den gleichstelligen Elementen

/; w
ww

.

D

irgend einer Zeile in

Y multiplicirt

in

en
tru

Elemente der ersten Zeile

klar, dass die

ry.

nun

ibr
a

ist

/w
ww
.bi
od

ive
rsi
tyl

Es

m.
at

die Elemente einer Zeile bildet.

,

c

l

z

die

:

r

2

y i:

c

3

:

r^y. v

sämmtlichen

.

.

Com

u 3 dar und die Elemente jeder anderen Zeile werden

,

ist

U—

ibr
ary

htt

p:/

durch Differentiation der Elemente der vorangehenden Zeile erhalten: somit

Y

die Determinante

beim Übergänge vom Fundamentalsysfemc
iod
ive
rsi
ty

Da nun

He
ri

tag
eL

Y.D.

//,,

einen constanten Factor sich ändert, so lässt sich auf sie der Satz IV anwenden.
gleich der-

'-

— —— —

Th
eB

D

-

roten/,

y.A

zu u v

v ut

u.

Nach demselben

ist,

bloss

um

nebenbei

von SiCjCjc", was sich auch, wie beim

df

rom

bemerkt, die Determinante

v

y.

ina

man wird

so zur Erkcnntniss geführt, dass die Determinante, deren
rig

und.

dass die vorhergehende, für den Fall n»=j3 gegebene Entwickelung sich verallgemeinern lässt

ist klar,

nothwendige Bedingung ausdrückt, damit

Verschwinden die hinreichende und

MA
); O

Es

lD
ow

nlo
a

früheren Falle einer linearen homogenen Differentialgleichung der Iffcu Ordnung, unmittelbar nachweisen Hesse.

Elemente yl ,yi ...ym eines Fundamentalsystcms einer linearen
homogenen Differentialgleichung eine homogene Relation «ten Grades mit constanten Coelficienten erfüllen,
einen constanten Factor ändert beim Übergange von y v
y(
Ca

um

y.l ...y„,

zu einem anderen Fundamental

eZ
oo
log

sich bloss

mb
ri

dg

e,

die

-

Systeme. Auf diese Determinante findet daher der Satz IV Anwendung, und somit lässt sich die erwähnte
Co
mp
ara
tiv

Bedingung durch eine Relation zwischen den Coefficienlen der Differentialgleichung und deren
quotienten ausdrücken.

Y

eben angegebene und mit CTdie analog aus den Elementen w„ » 2 ...»„ eines

die

us
eu

m

mit

of

mau

Bezeichnet

2)

Differential-

anderen Fundamentalsystcms gebildete Determinante, so

nach dem Vorhergehenden

f th

eM

ist

n

=U

'

nach (IV,
1) die Potenz
v

ns

I>„

Er

wo

tM

ay
r

Lib

rar

yo

YD

'

rsi

Y

rd

die analog aus

Ha

YK und

——

-

der Substitutionsdeterminante

ist.

Diese Gleichung bleibt

Y statt jedes

Elementes der ersten Zeile seine Ate Derivirte

um k vermehrt

U entstandene

U,.,

so

wird.

ist

Nennt man

die hiedurch aus

setzt,

wodurch

Y erhaltene Deter-

also

ed

by

the

minante

in

der Derivationsindex
rva

jeder Zeile von

man

Un

ive

nun offenbar bestehen, wenn
in

'—,

W»!

ty,

'

tis

U,

=D

n

Y,

Dig
i

'

Die Determinante

Yk kann

daher wieder nach (IV,

1)

umgeformt werden und

ihr

Verschwinden somit

durch eine Relation zwischen den Coefficienten der Differentialgleichung und ihren Derivirten ausgedrückt
werden.

Yk =

ist

aber die nothwendige und hinreichende Bedingung, damit eine homogene Function »ten

—

l)ten Grades der
Grades zwischen y v yi ...ym mit constanten Coefficienten einer ganzen Function (k
Unabhängigen gleich sei, und dieser Bedingung ist also die gewonnene Relation zwischen den Coefficienten

äquivalent.

Zur Theorie der

Grades der Elemente yv yt ...ym eines Fundameutalsystemes veres hinreichend und nothwendig, dass die Determinante verschwinde, deren Elemente die einzelnen

Glieder der Entwickelang von

+y +

(y,

.

.

z

lassung der Polynomialcoefficienten sind.

D

n,

n

-+-

.

.

.

.

Elemente sind geordnet zu «-Quadraten, deren Diagonalen n

D

^\...D der von
x

Es

(2) bilden.

und längs derselben der Reihe nach die

sind

also

ist

rsi
t

diesem Falle aus, dass eine ganze

in

y i .--y m mit constanteu Coefficienten gleich

//,,

ttp

ganzen Function der Unabhängigen

den eben verwendeten Functionen,

Y, statt es aus

drückt aber

Function »ten Grades der Elemente dieses Fundanientalsystems
ist.

yh

einer

ylib

wenn man

Y=

Derivirten bildet. Die Gleichung

ww
.bi
od
ive

fcten

://w

Diese Gleichung bleibt nun offenbar erhalten,

rar
y.o
rg/

V—BY.
aus ihren

'

.

at

erhalten. Ihre von Null verschiedenen

D D

.

Elementen der Subsfitutionsdeterminante zusammengesetzten Deter-

an einander stossende Stücke der Hauptdiagonale von

Determinanten

.

2

eines anderen Fundamentalsystems gebildete mit U, so wird diese aus jener durch

Multiplicafion mit der folgenden aus den

minante

(
,

en
tru
m.

...u„,

1

+y +

n

bio
log
iez

Elementen u ,h z

_1
+ y,„) nach Weg(y, -+- yt +
ym)"
Bezeichnet man diese Determinante mit Y und die analog aus den

+ y„)

.

ww
.

ist

;w

schwinde,

1 7

«ten

Damit eine ganze Function

3)

linearen Differentialgleichungen.

ge

Lib

rar

Wegenderoben bewiesenen Eigenschaft lässt sich in beiden Fällen auf die Determinante Y der Satz
anwenden, und man gelangt so zu dem Ergebnisse:
Die nothwendige und hinreichende Bedingung, damit eine ganze Function der
Elemente eines Fundamentalsystems einer linearen Differentialgleichung gleich Null
oder einer ganzen Function der Unabhängigen ist, lässt sich durch eine Relation
zwischen den Coefficienten der Differentialgleichung und ihren Derivirten mittelst IV, 1
ausdrücken.
ow

nlo

ad

fro

m

Th

eB

iod

ive

rsi

ty

He

rita

(IV. 1)

Y

lD

haben die Elemente jeder Zeile denselben Derivationsindex,
ina

4) In der vorhergehenden Determinante

;O

rig

Beziehung

es ist jedoch klar, dass die

Fdie

in

Derivationsindices irgend welcher Zeilen verändert und in J7die analogen
am

wenn man

(C

bestehen bleibt,

bri

dg

e,

MA
)

U=DY

Veränderungen vornimmt. Also auch auf die so gebildeten Determinanten

IV Anwendung.

VI.

m

of

Co

mp
a

rat

ive

Zo

olo

gy

findet der Satz

in V,

2 erwähnten,

the

der Formel III einige Vereinfachungen, die zunächst bemerkt werden mögen.
of

Anwendung

Mu

se
u

Die Besonderheit der im Vorhergehenden besprochenen Determinanten, zumal der
gestattet bei

die oberen Indices Derivationszeiger bedeuten

und

IL

—

m(m -f-1)

.

.

(m-hn

— 1)

Ha
by

the

ist.

man

Dig

itis
ed

Diese Determinante erhält

wo

.

,t

rva

rd

Un

ive

rsi
t

y,

wo

Er
ns
tM

ay
rL

ibr

ary

Die in Rede stehenden Determinanten haben die Form

&£,

/^...ä^-j

eine Folge

zunächst aus der Entwicklung von

(rö*''(yrW'
der Zahlen k

,

•

•

•

($,)*v-i

k ...k^-t bezeichnen,
t

wenn man

möglichen Weisen permutirt und je nachdem diese Permutation aus k

1

in ein

,

Ä-,

darin die

...Ä-„.-i

VQ

,

&{...&£._! anfalle

durch eine gerade oder

Zu demselben Ergebniss gelangt man durch Anwendung des La Place'schen Determinantensatzes, indem

Aggregat von Producten aus Determinanten der

Denkschriften der malhem.-naturw.

Gl.

LI.

Bd.

in (2)

behandelten Form

auflöst.

3

hiebei

Y


G-

18

Escherich.

v.

dem

ungerade Anzahl von Vertauschungen gewonnen wird, den durch dieselbe erhaltenen Ausdruck mit

Um

positiven oder negativen Vorzeichen zu den anderen addirt.

man

Productes zu berechnen, gebraucht

i

Pi \...p m

l

\

m.
at

Pl

die einzelnen Differeutialquotienten des obigen

Formel

die symbolische

.

.

+ pm =

.

jö.

bio

%

log
iez

+p +

Pl

en
tru

wo

dass in der Entwickelung des obigen Productes die

jedem Gliede gleich

ry.
l

+£

.

.

.

|Jl

_t

ist.

fe£

Anwendung der Formel

1

•

+ +
fc|

•

.

Ä-

.

H

+

.

.

.

._ (

= l + ^—
•

=

&£.

/JL&H-|jüt(^t

also die

= + !fx(fJi—

+2ZM

.

.

iod
ive
rsi
ty

.

fAfc

bei

es,

m

gegebenem
rom

Diese Gleichung ermöglicht

/',,

V% ...Vm

.

.

.

{\ 1$

l(

.

.

.ffl

und n die

X),

litterale

Form des Ausdruckes

herzu-

nlo
a

lD
ow

dessen numerische Coefficienten dann, ähnlich wie bei den symmetrischen Functionen der Wurzeln

Weise bestimmt werden können.

Y lässt

dem

sich nach

wiederholt citirten Satze umsetzen in

e,

Die Determinante

rig

ina

einer Gleichung, auf verschiedene
2)

1),

df

ist.

—

MA
); O

stellen,

+ 2Z" +

Th
eB

2Z'

=—
m

so ist

IV auf den vorliegenden Fall haben

die Gleichung zu befriedigen

r

1,

p:/

=Ä+

fc,

He
ri

in

k,

htt

=.

k

ibr
ary

wie in V:

tag
eL

Ist speciell,

wo

der Derivationsindices der

ibr
a

+

k -i-k

Bei

Summe
/; w
ww
.

folgt,

/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

y v yt ...ym

in

org

Hieraus

dg

Y=MA F(a
A

F eine

«2

.

a«

.

.

.)

.

Fundamentalsystems

die Determinante des
eZ
oo
log

il/eiue reine Zahl,

,

ij

v

der Differentialgleichung und

y^.-.y,,,

ganze Function ihrer Coefficienten und deren Differentialquotienten bedeuten.
Co

mp
ara
tiv

wo

1

y(
Ca

mb
ri

r

Vom Baue

dieser ganzen

Function lässt sich nun leicht eine wesentliche Eigenschaft ermitteln.

Y analoge

Determinante [Y] für die Differentialgleichung, die aus
of

bilde die der

us

eu

m

Man

eM

d

f th

d"'y

dar

dx

1

dy

ii

'

"-'1

'

_

dx

hierin

x

•=. pt;

ay
r

wenn man

setzt,

£ eiue neue Variable und

wo

p

eine beliebige Constante bezeichnen.

ns

tM

hervorgeht,

Lib

rar

yo

'

—

d">

ij

,

i/"'-

1

dy

«

Ha

rva

rd

Un

ive

rsi

ty,

Er

Stellt

ist

ed

by

the

diese Gleichung dar, so

Dig
i

tis

Ax

wo

die eckige

Klammer

anzeigt, dass in

ci\

für

=p

x pE
:

l

[ax),

gesetzt wurde.

Für die Differentialquotienten des A\ nach f erhält man aus
d'cii

dg
dg

_P

~

.

d'ax

dx<

dx''

.

_


Zur Theorie der
Nun

linearen Differentialgleichungen.

li)

ist

=s

;r]

:

d£*»


rf^'V—

i

v
= />-'^±

SA'

= &„-»-&, +

...

+ V-«

ferner

ist;

rar
y.o
rg/

;w

ww

.

bio
log
iez

wo

en
tru
m.

at

S*

.

.

.

4*>

.

.

=p°F( ai

)

.

ai

,

.

.

a, n

.

ttp

Am

.

.

yh

.

.

.

.

a«

.

.

.

)

rar

F(A V A t

://w

ww
.bi
od
ive

rsi
t

ylib

Somit erhält man, da

rita

ge

Lib

wo
.

+ Äv-i — j m (m — 1)

•

iod

ive

rsi

ty

.

He

K + />',+

'+

!

-P'"a

(j)

x

a['))

.

.

.]

ad

*t

fro

i(

P

nlo

>

= p°F(a v a

.

a,„

.

.

.

.

a«

.

.

.

.

)

eine willkürliche Grösse

so

ist,

F(a v

ist

Entwickelung links gleich, deren jedes mit^ J

a i ...a m ...a\

i>

jenem Aggregat von Gliedern

... )

MA
)

mmp

Da

;O

rig

ina

t

ow

i

lD

F[P a

m

Th

eB

gesetzt wurde. Es ist also

in

der

ganze Function

a

.

.

ajjO

.

.

.

)

x

:

p

at

.

. .

:

•

in

jedem
Zo

Factor

ihrer Glieder heraustritt,

ive

a$ pff^ «^

als

Nennt man daher, wie

setzt.

•

in III,

i

+1

wenn man

derselben für

das Gewicht von oM und die

der Gewichte der einzelnen Factoren eines Productes dessen Gewicht, so hat

Co

in

man den

Satz:

of

Summe

p

rat

a :pa v a 2

%

a

mp
a

hat also die Eigenschaft, dass

olo

gy

.

(C

F(a lf at

am

bri

dg

e,

multiplicirt erscheint. Die

l

a2

,

aj^...)

...

haben das nämliche Gewicht, und zwar

Mu

se
u

m

Die Glieder der obigen ganzen Function F(a

of

the

beträgt dasselbe

ibr

ary

=k + +
= k +k +
= — so
Ä:,

.

&,

Er
ns
tM

=

y,

= 0,

1 .../1(J ._i

rsi
t

k

1,

p.

.

ll>0

ist

l

\ixn(in

1)

1)

das Gewicht

— !)— pi{m —

1)].

by

the

Ha

rva

rd

Un

ive

Ist speciell

.

t

—^m{m —
—

+ kp-i —

+ kv,_

.

ay
rL

a

Dig

itis
ed

TU.

Ich will

nun die vorangehenden allgemeinen Auseinandersetzungen auf einige specielle Fälle an-

wenden.
1)

Es

sei

zunächst

m

= 2 und n eine beliebige ganze positive
1

sii/i'Q/r ^)'zunächst die Formel IV angewandt werden.

•

Zahl. Es soll nun auf die Determinante



)

20

G.

müssen

in VI, 1

++
*;j

l'l—l'l—

für

alle

v

Werthe von

bis -^

1

oder

.

X;

= 0;

X;+'

=

.

.34

= 1;

li

+1

.

—

.

.

=

.

=

X;

log
iez

.

1

=11,-0

——

zu setzen sind, je

nachdem

r gerade oder

ungerade

ist.

Die Formel

/w
ww
.bi
od
ive
rsi
tyl

wo

.

bio

=

l'l

aus dieser

en
tru

X:

/; w
ww
.

=

X',

man

m.
at

mit demselben oberen Index einander gleich sein dürfen, so erhält

X

Werthe der zulässigen

org

keine zwei

als

und X" der Bedingung genügen

.+^ = l»(» + l) = r.

.

.

X'

ry.

Da nun
Gleichung

Formel auftretenden

die in dieser

ibr
a

Nach der Bemerkung

Escherich.

v.

A

die Bedeutung des

kann man

klar

A

Statt

ist.

aus seiner durch die Formel gegebenen Definition zu berechnen,
tag
eL

wo

ibr
ary

htt

p:/

ergibt somit

auch vermöge der obigen Gleichung durch specielle Annahmen des y und y2 bestimmen.
Zu diesem Behufe wähle man etwa
He
ri

es

rom

Th
eB

iod
ive
rsi
ty

t

....

(m— !)!»»!(«,—«,)'• er («»+

lD
ow

yt y

i

.

.

(j#w

»>"

ist

y(
Ca

daher

mb
ri

dg

e,

MA
); O

=1!2!.

ina

s±fite-

rig

nlo
a

df

Für diese Werthe wird

eZ
oo
log

A

=

V.2\

of

si^Cyr'y«)'

•

m\

.

•

.™!(2/ 1

.

(^)

•

w

^-^) H

"

+

'

)

f th

eM

us
eu

m

= 1121.

.

.

Co
mp
ara
tiv

und

Zu demselben Ergebnisse wäre man auch durch

Bemerkung

tM

•

•

•

(rt)

w = CS±y,ri)

ty,

Er

ns

Srtyrter'&y
rsi

dieselbe Bedeutung wie vorher besitzt und
ive

»•

Un

wo

Nach IV

ist.

F

•

•

•

eine in den Coefficienten av a z und deren Differential-

Daher muss

.F eine Constante sein,

deren Werth

A

sich wie

Ha

lässt.

=


= 3, n =. 2 und k = 0, also die Determinante
the

m

a

*K

Dig
i

tis

ed

sei

vom Gewichte

,

by

vorher ermitteln

Es

gelangt.

rva

rd

quotienten ganze Function

2)

Nummer

2) der vorigen

rar

yo

die

Lib

nämlich

ay
r

ist

vorgelegt.

In diesem Falle

Formel erforderlichen

X

ist

fj.

— 6; r = 4;

|iu(ja

— = 15
1)

und man

aus der Gleichung
X',\

+l'(\

+X'( +X?

+X£

+X£

+XH

4-Xf)

+1'A +X*

+Xf

+X*

= i5.

erhält

daher die für Anwendung der


Zur
Somit

ist

21

Theorie der linearen Differenticilgleichungen.

Summe

die obige Determinante gleich der

folgender sechs Determinantennroducte, jedes multi-

mit einem numerischen Coefficienten:

plicirt

(2±yy ^»GE±yy j^)(S±y ^y«);
t

± y,^\2 ± y y^V

S

1

en
tru
m.

at

i

bio
log
iez

Die numerischen Coefficienten können entweder durch die Formel oder ähnlich wie vorher, durch specielle
der y v y z y 3 berechnet werden, welche sechs zwischen den Coefficienten unabhängige Gleichungen

Annahmen

,

nach

einem Producte von der Form

III gleich

F

eine ganze Function der «,, a 2

= 3 besitzt.

ihrer Differentialquotienten

Somit hat

F die

F=

+ Wg o, « + w

ist,

Form:

deren jedes Glied nach VI, 2

a3

3

+ ?«

4

ms o, o, + m6 a^

o" 4-

rar

2

Lib

l

ge

?n a\

yh

ttp

das Gewicht a

und

a3

,

://w

wo

ww
.bi
od
ive

rsi
t

ylib

ist

rar
y.o
rg/

D

Die obige Determinante

;w

ww
.

liefern.

rita

wo die ot numerische Coefficienten bedeuten, die am einfachsten
Annahmen berechnet werden. Man erhält auf diese Weise

D

durch specielle

iod

ive

rsi

ty

He

aus der Gleichung für

eB

F= — 8-2^ + 8-90,0^ — 8-27a + 4-9a — 4-27o' — 4- 9a?.
3

Th

a'

2

1

fro

m

nun

+ iOjOij+Oj — Jo,o' — io' + Jo'/=:0
ow

t

(1)

z

lD

^of

nlo

ad

Ist

1

;O

rig

ina

so verschwindet die Determinante
MA
)

(y^,

dg

e,

^±y\(y^)'(fj'

olo

gy

(C

am

bri

welche die nothwendige und hinreichende Bedingung ausdrückt, damit zwischen y v yt , y3 eine homogene
quadratische Relation^mit constanten Coefficienten besteht, also eine Gleichung von der Form:

Zo

+ 2c i22/^2 + Ciiy\ + 2ci32/l^3 + 2c23^3 +
'

mp
a

rat

ive

C ll2/l

in die Relation

the

z 3 weil sie aus y v y v y 3 durch eine lineare Substitution mit nicht verschwindender Determinante
,

of

wo z v zv

Mu

se
u

m

of

Co

Durch eine lineare Substitution kann man aber dieselbe immer überführen

ay
rL

—

v^. Nach dem Vorhergehenden

lässt sich

man nun

sowohl die Determinante von

t?

v

zt

vj,v;

2,

=

>jj,

zz

= r?v

so

»?*:

ive

rsi
t

y,

Er
ns
tM

wird z3

ibr

ary

erhalten werden, ebenfalls die Elemente eines Fundamentalsystems sind. Setzt

;

(W

;

«y

und

vj

2

vj

2

durch Differentiation irgend welcher Zeilen entstandene, durch die Determinante von
by

ihr

itis
ed

auch jede aus

und durch die Coefficienten der Differentialgleichung der Uten Ordnung ausdrücken, für welche
Dig

als

und

the

Ha

rva

rd

Un

(*D'

die

Elemente eines Fnndamentalsystems

Stellen also* z i

sind.

=

i)\,

z%

=

??i;,

23

=

*;, >j

a

vj,

ij,

die Elemente

eines Fundamentalsystems der Gleichung
y»i

+ «y +

dar, so lassen sich a
v a v a 3 durch die Coefficienten der

n"

=

h y' + o3
(

(2)

Gleichung

— 6,v/ + V

•

•

•

(3)


22

G.

ausdrücken, welche

Escherich. Zur Theorie der linearen

v.

und

tj,

ij

Man

zu Elementen eines Fundamentalsystems bat.

g

= 36,;

at

üi

= ^ + 46,-26»;

a3

= 2(b'—2b b
l

findet

i ),

sich ergibt:

~ — \a
«3 = a +
bt

t

'i

s

== i(« 2

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aber die früher erhaltene (1); die beiden anderen ergeben, dass

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Differentialgleichungen.

zwischen den Coefficienten der Gleichung (2) zeigt somit an, dass die Elemente eines

(1)

Fundamentalsystems derselben bezüglich gleich sind

Ordnung

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wo

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sind. 1

und n t die Elemente eines Fundamental-

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