Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 47-1-0243-0275

tru

m.
at

243

/; w
ww
.

bio

log

iez
en

TÄFELN ZUR BERECHNUNG DER MONDESFINSTERNISSE
OPPOLZER,

ive
rs

T.

ity
l

TH.

ibr
a

ry.

org

VON

/w

ww
.bi
od

WIEKLICHEM MITGLIEDE DER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTKN.

DER SITZUNG AM

APRIL

12.

1883.

Bemerkungen
&"

Abfassung der vorliegenden Tafeln lag die Absiebt

mit einem

MA
)

wurde der

e,

erforderliclie
rid
g

ermitteln; hierbei

auch solche, welche

Rechnungsmechanismus so einfach

numerischen Operationen weniger gewandt

sind, mit

y(
Ca

in

Arbeits-

adäquaten

gestaltet, dass

den hier gebotenen Hilfsmitteln

in die

Lage kommen.

bekannt, dass die Hauptphasen einer Mondesfinsterniss nur mit einem sehr massigen Grade der
rat

ive

ist

fast

Zo
o

log

Rechnung ohne .Schwierigkeit und weitere Vorkenntnisse durchzuführen
Es

Minimum von

Hauptumstände einer Mondesfinsterniss mit einer der Genauigkeit der Beobacbtung

Annäberung zu

die

vor,

;O
rig

der

mb

Bei

leistung die

ina

lD

ow

nlo

Einleitende

I.

ad

fro

m

Th

eB
iod

ive

rsi
t

IN

yH

VORGELEGT

eri
tag

eL

ibr
a

ry

htt

p:/

{ithoqz. Sa(>Min.^

(STJ^it 8

mp
a

Genauigkeit beobachtet werden können und Fehler von wenigen Zeitminuten bei der Auffassung des Phänosind

und dass die Grösse des auf den Mond

of

Co

mens besonders mit dem unbewaffneten Auge immerbin möglieh
dies gewöhnlich der Fall

um

wenn man, wie

ist,

dieselbe in Zwölftheilen des scheinbaren

Mu

se

projicirten Erdschattens,

Monddurchmessers ausdruckt und einen solchen Theil

wohl kaum auf

•

2 Zoll

fixirt

the

als Zoll bezeichnet,

für die Zeitangabe der grössten

Phase die

dritte

wer-

Decimale

ary

of

den kann. In Rücksicht auf diese Umstände wurde

einer Zeitminute gleichwerthig)

als letzte .Stelle

tM

Grössenangabe aber der Zehntheil eines Zolles gewählt, was umsomehr
ns

für die bezügliche

ay

rL

ibr

des Tages (0'7 Einheiten der dritten Decimale sind

genommen,

Anwendung

der vorliegenden Tafeln hauptsächlich für chronologische

rsi

ty,

Er

reichend betrachtet werden kann, da die

mit-

als aus-

That irrelevanten Beschränkungen gelang
ard

in der

Ha
rv

Durch diese

man

in

es die

nothwendigen Rechnungsoperationen

etwa drei Minuten ohne Schwierigkeit die Hauptumstände einer Mondesfinsterniss

the

so abzukürzen, dass

ist.

Un

ive

Forschungen in Aussicht genommen

Entscheidung ob die betreffende Phase der Finsterniss
itis

für einen

Dauer der

Partialität

gegebenen Ort sichtbar

ist)

eventuell

mit Hilfe

Dig

Totalität,

ed

by

(wahre Greeuwicher Zeit der grössten Phase, Grötse der grössten Phase,

der folgenden Tafeln zu bestimmen in der Lage

ist.

Der zweite Abschnitt berichtet über die Construction der Tafeln,
Zahlennachweise; über die Anwendung der Tafeln gibt der

dritte

nur den Gebrauch der Tafeln kennen lernen wollen, ohne sich

merksame Durchsicht des

dritten Abschnittes zu

empfehlen

bietet also die für dieselben nöthigen

Abschnitt Aufschluss, weshalb jenen, welche

um

deren Entstehung zu bekümmern, die auf-

ist.

31*


:

:

244

Th.

Opijolzer.

V.

Construction der Tafeln.

II.

Ausdrücke zur Berecliuung der wahren Zeit der grössten Phase.
iez
en

Verwendung komnaenden Zahlenwertlic dienten mir

um

log

bio

man

in der genannten Publication dasjenige Zeitintervall vor, welches

in Einheiten des mittleren

mittlere Zeit der wahren Sj'zj'gie zu

die

org

zur Zeit einer mittleren .Syzygie addireu muss,

die in den Syzygien-

XVI, Leipzig 1881) von mir publieirten Ausdrücke;
/; w

ww
.

in

tafeln (Publication der astronomischen Gesellscliaft

wahre

ry.

Als AnsgaDgspuukt für die

tru

m.
at

1.

grössten Phase

t

stellt

Sonnentages

finden.

Für die

vorliegenden

Zwecke

sonach zu

noch die aus der Zeitgleichung und aus der Reduction auf die Mitte der Phase entstehenden

ity
l

zu finden, es sind

ive
rs

Correctionen hinzuzufügen.

—Z

nach der Bezeichnung der Syzygientafeln

und

findet sich

nach denselben,

p:/

ist

/w

Die erste Correction

htt

halbe Einheit der vierten Decimale des Tages betragen, mitnimmt, wie iolgt:

alle Glieder, die eine

—0

•

0014t

sin g' -4-0
t sin

0004 t^ sin g' —0- 0001

sin 2g'

2L'— 0-000148

sin 4L'.

In diesem Ausdrucke

ive

rsi
t

-hO 006864 sin2L'-t-0- 0008

•

eL

r/'

eri
tag

sin

•

•

yH

A TV = -H-0 0024 r^ —0 0053

ibr

a

ry

nenn mau

ibr
a

Zeit der

ww
.bi
od

t

aber erwünscht sofort die

ist es

den Zeitraum zwischen der Epoche der Mondtafeln (1800-0) und jener der
eB
iod

stellt t

Anomalie der Sonne,

die mittlere

L

t

wird positiv vor, negativ nach der

ihre mittlere

Länge; weiter

ist

aber nach den

ad

g' ist

fro

Tafelepoche gezählt,

m

Th

vorgelegten Syzygie in Einheiten von 10.000 julianischen Jahren vor;

ow

nlo

Syzygientafeln

(/

lD

ina

Anomalie des Mondes bezeichnet;

die mittlere

MA
)

wobei

= ^'-l-279°30'17" — 616813"T-+-2°lsin(/-i-0°5Tsin(/'— 0°4sinry,
;O
rig

L'

e,

Werthe von A Tz, entwickelt nach Potenzen von

diesen Ausdruck für L'
in

y(
Ca

log

Ar^=:-)-0- 0024 t*— 0-0050

sin

(/'-t-0-

0001 cos

^'

-0-0013Tsin

t

(/

ive

rat

mp
a

O0U3

Co

sin3r/'

—0

•

0001 cos 3(/' —0 0001

of

-

cos

2(/'

T sin 3(/'

4/— 0- 0011t sin 4/ -1-0- 0014r cos

4jr'.

kann mit dem Werthe

erste Glied

T^ der Cyclentafeln der Syzygientafel vereinigt werden, die übrigen

welches hier in Decimalgraden ausgedrückt durch

g',

ibr

dem Argumente

rL

Glieder mit

ary

of

Das

the

Mu

se

um

-0-0001sin4r/'— 0-0001

dem obigen

sein:

— 0-00G6sin2(/'— 0-0022cos2(/'-0-0142Tsin2(/' -hO •0386t cos

—

in

den periodischen Gliedern nur die

so wird die aus der Zeitgleichung entstehende Correction von

t,

Zo
o

ersten Potenzen von

man

und berücksichtigt

mb

rid
g

x

substituirt

Argument mit

Ifeicht

sofort nur die für die Opposition geltenden

rsi

kommen, wenn man

ive

tafeln

vereinigen lassen.

ty,

Er

ns

enthaltenen von demselben Argumente abhängigen Gliedern

g' in

Nach Ausweis

Betracht

kommen,

Ha
rv

gebenen Weise genähert, berücksichtigt, ausserdem die Constante 0-1683 hiuzulügt,

t

für

in der daselbst ange-

t-h^Tz

die folgenden

abhängigen Glieder in Betracht
the

I

in

der Syzygien-

by

vom Argumente

soll

Ausdrücke benützt und die dort mit *

ard

Un

bezeichneten kleineu Glieder, so weit dieselben für das Argument

bezeichnet werden

werden, welche Glieder sich mit den

II) tabulirt

tM

ay

(die Syzygientafeln bezeichnen dieses

I

itis

ed

= H-0- 1683 -1-0-1697 sin h-0 -0001 cos h-0 0424 t sin
— 0-0044sin2^'-0-0022cos2(/'

r/'

-

g'

Dig

21

—

-

0003

sin

3(/'

—0

-

0001 cos 3(/' —0 0001
-

T sin 3^^'

— 0-0001 siu4f/'— 0-0001 cos4(/'—0- 0011t sin 4^' h-0 -0014t cos 4/.
Die von t freien Glieder sind
neten Columne mit

dem Argumente

in der mit

Argument

I tibersehriebenen Tafel in der ersten mit Ti bezeich-

I tabulirt

und zwar

in Einheiten der dritten

Decimale angesetzt, die mit t


:

:

Tafeln zur Berechnung der Mondesfinsternisse.

245

zu multiplicirenden Glieder sind in derselben Einheit in der zweiten Subcolumne eingetragen. Die

Ausdrucke hinzugefügte Constante bewirkt, dass die von

vom Argumente

Die

abhängigen Glieder

soll,

in

unabhängigen Glieder

t

stets additiv erscheinen.

welches hier in Decimalgrade umgesetzt durch Argument


wenn man

sind nach Ausweis der Syzygieutafelu,

t

II

•

cos


•

4078

sin(/ -)-0

0162

•

sin 2(j

Diese Werthe sind in der mit Tu bezeichneten Columne der mit Argument

;

hierbei

Argument

ist als

/; w
ww
.

Tm

sin (2^'-i-2t«j') findet sich in der

tabulirt in Einheiten der dritten

Decimale des

Grltnden gewählt:

III aus später ersichtlichen

= 2(/'-h2o/— 6-34-H44-00;

Zahlen

Decimalgrade zu denken; die Tafel selbst

als

ry

letzteren

ist

berechnet nach:

yH

welchem Ausdrucke das

dem Argumente

der vierten Decimale in

ive

rsi
t

erste Glied die hinzugefügte Constante darstellt.

die kleineren von

abhängigen Glieder, die im 5l:^ximum nur zwei Einheiten

Sl

eB
iod

man

betragen können, weg, so sind die übrigen in

t

Th

Lässt

(UI— 37-66'),

—

—

t

auftretenden Argumente zu Folge der

m

in

sin

eri
tag

0058 -H 0-01 04

_H

eL

ibr
a

und sind die

htt

p:/

III

org

0-0104

-i-

ry.

näudich

ibr
a

t,

mit Argument III überschriebenen Tafel in der Columne

Tages angesetzt

überschriebenen Tafel tabulirt

ity
l

2tW abhängige Glied in

-+-

sinSj?.

ive
rs

2y'

0005

ww
.bi
od

Das vom Argumente

11

des Tages angesetzt.

in Einheiten der dritten Deciiuale

•

/w

und

—0

m.
at

—0

tru

0004 -t-0 0001

•

iez
en

-0

4082

log

-t-0

bio

=

bezeichnet werden

die für die Opposition geltenden

Ausdrücke benützt und die Constante U-4082 hinzufügt:

Tu

dem obigen

lD

ow

nlo

ad

fro

Syzygieutafeln y y', (j-^g', 2(j (j', 2
wenn das Argument von 10

ina

;O
rig

Uberschriebene Tafel gibt in Einheiten der dritten Decimale des Tages mit
horizontalen Argumente

II

dem

den folgenden Ausdruck (die zugefugte Constante

ist

verticalen

Argumente

I,

0-0137):

mb

= -t-0-0137 -h0-0074sin((/—5»')—0-0002 sin(2(7—^')
y(
Ca

Tiii

rid
g

e,

dem

MA
)

7'i

zu 10 Dccimalgraden vorschreitet, fast gar keine Interpolation nöthig wird. Die mit

—0-0051

mit AI' die Koduction der Zeit von der wahren Conjnnctiou auf die Mitte der Phase und
rat

man

mp
a

Bezeichnet

ive

Zo
o

log

sm(y-i-g') -1-0-0006 sin(2(/-t-^').

T

bezeichneten Bogen, so findet sich leicht mit den dortselbst gege-

benen Ausdrücken (pag.

[50]

c.)

Mu

se

um

1.

of

Co

nennt P' den in den Syzygieutafeln mit

—30 sin 2iV,

the

Ar=-t-/;sinP'

|

\

Klammer stehende Ausdruck kann

bei der Kleinheit von

tM

ay

in der

rL

Der

ibr

ary

of

IL

man

erhält

A T Maximalwerth etwa 0-009) mit
(

dann mit den numerischen Werthen der Syzy-

Er

ns

seinem Mittel werthe in Rechnung gezogen werden;

:

AT =

ive

rsi

ty,

gieutafeln (die überstrichenen Zahlen sind logarithmisch zu verstehen)
sin P',

AT^ 7-880^j

sin P',

wenn P' im

ersten oder vierten Quadranten

man

b

= 2P',

by

Setzt

so hat

man

wenn P' im zweiten oder

allgemein,

wenn

bei der

dritten Quadi-anten

Berechnung von

b,

eventuell bei

2P'

die Peri-

ed

liegt.

the

Ha
rv

ard

Un

InSSO p

itis

Abzug gebracht
Dig

pherie in

wird, ohne die beschränkenden Zusätze:

AT=1„8S0 psin^b
Da

yZ) bei

einem ekliptischen Vollmonde den Betrag von 14 Dccimalgraden niemals überschreiten wird,

p aber nach den Syzygieutafeln, wenn
genommen werden, der Ausdruck

für

^

die einzig merklichen

= 5-2153—0-3324cos^

-t-

vom Argumente g abhängigen

0-0002 cos 2g

Glieder mit-


:

-

246

Th.

allein

2J

kann man

man

beschränken, da

t

begehen wird

AT=
man

um

weiter,

auf die Mitnahme des ersten constanten

hierbei nur in den extremsten Fällen einen Fehler von etwas

einer halben Einheit der dritten Decimale in

Setzt

AT

Berechnung von

sich bei der

-0-0396

man

;

sin 4-

mehr

als

hat daher mit hinreichender Annäherung:

6.

m.
at

Gliedes in

so

später durchaus continuirliche Tafeln zu erhalten

tru

kommt,

Oppolzer.

V.

iez
en

in Betracht

:

Ausdruck der Werth 44

ist,

so findet sich der

org

nach der Formel

.

ry.

AT

vermehrte Werth von

Decimalgrades verstanden

in Einheiten des

ibr
a

um 0-0090

letzteren

=

-+-

0090 -0 0396

•

sin

-

P— 22).

(i-

ww
.bi
od

Tp

ity
l

welchem

ive
rs

in

/; w
ww
.

bio

log

P = 6-t-44,

man

wahre

die in

Zeit der grössten Phase

T nach

der Formel

T=

eB
iod

ive

die

yH

man

den vorstehenden Ausdrücken aufgenommenen constanten
rsi
t

um

der mittleren Conjunction, vermindert

mit T,a die mittlere Zeit

eri
tag

eL

der grössten Phase erforderlichen periodischen Glieder aufgeführt. Bezeichnet

Glieder, so berechnet

Berechnung der wahren Zeit

alle für die

ry

und hiermit sind

ibr
a

tirenden Werthe in Einheiten der dritten Decimale

htt

p:/

/w

Die mit „Argument P" tiberschriebene Tafel enthält in der Columne Tp die aus diesem Ausdrucke resul-

+ ri+ ri,+ Tm-^ Tp^ t?.
nlo

der zugelegten Constanten beträgt nach

entsprechender Stelle

Abzug

zu bringen

ist.

um 0-6100 Tage

Werthe T, und Tp

;

T, findet sich

vermindert die
in

den C'yclen-

Conjunctionen oder Oppositionen in Betracht zieht, in den Periodentafeln für

nachdem man

e,

Tp, je

6050 Tage, welche Correction an

MA
)

;O
rig

mittlere Zeit der mittleren Syzygien durch die Addition der

tafeln,

-

Die Syzygientafeln geben
ina

in

dem obigen

ow

Summe

lD

Die

ad

fro

m

Th

r„.

der

Correction

weitere

aufgenommenen Cyclentafel

hier

Zo
o

ohne

Opposition

log

y(
Ca

mb

rid
g

Neumonde oder Vollmonde, von welcher die letztere allein für die ^erliegenden Tafeln in Betracht kommt;
vermehrt man die Werthe der Cyclentaieln der Syzygientafeln, damit die erste möglicherweise ekliptische

schliesslich

man jene

um

um

kann,

wegen des

die in den Syzygientafeln als berechtigt nachgewiesenen

W^erthe, welche

in

der hier aufgeführten Cyclentafel als T,

die Werthe T^, welche in der Periodentafel Aufnahme gefunden haben, sind
Mu

se

eingetragen sich vorfinden;

ver-

ary

Betrag 14-7653 Tage; es

ist

P

dar,

sonach:

ay

rL

ibr

um den

und

of

the

für die möglicherweise ekliptischen Oppositionen aus der Vollmondtafel der Syzygientafeln entlehnt

rnindert

um

ersten

um

empirischen Correctionen, so erhält

Co

0024

und

of

ATz um

Gliedes in

t*

mp
a

rat

ive

14 •7663 Tage, ferner wegen des Unterschiedes der Constanten

werden

entlehnt

0- 00.^0 Tage, weiter

=r

-t-

T

Un

ive

rsi

ty,

Er

ns

tM

T

Bildung des Argumentes P.

oben für

P die

Relation

:

the

ist

P=

^,H_44

Dig

itis

ed

by

Es

Ha
rv

ard

3.

angegeben worden, hierbei

stellt h

den doppelten eventuell

um

die Peripherie verminderten

Bogen von

welche letztere Grösse in den Syzygientafeln, allerdings in Sexagesimalgraden ausgedrückt, mit
ist.

Da

es

genügt bei

der Argumente

(j,y'

P die
und

erste

Decimale des Decimalgrades

2^'-t-2rjy,

um

als letzte Stelle

eine genügende Annälierung zu

bezeichnet

mitzunehmen, so bedarf man nur

eriialten;

man

findet daher aus

Syzygientafeln mit Rücksicht darauf, dass dort für P' der Sexagesimalgrad als Einheit

Werthe, zu denen ich die hier beigefügten Constanten hinzugelegt habe:

P

gilt, die

den

folgenden


)

:

,

:

Tafeln zur Berechnung der Mondesfinsternisse.

Argument

-h 5-07 h-5-07 sin

I,

rs.^n

n,

„

m,

Summe

1-07

-0-92

sin

-(-1-25 t sin
^,-v..

2^'

H- 0-03

g

— 0-25

,

-H 0-20-1- 0-288 sin

„

Pn

„

„

„

II.

„

Pm

„

„

„

III.

tru

iez
en

um

würden sonach

yermindert, es

log

Tafel

Abzug zu bringen

die

Werthe dieser

Werth der ersten ekliptischeu Opposition (195°o35) und ausserdem
den Übergang auf

22222

zu machen, welches den doppelten Bogen von

6

und vermehrt dieses Product um

.

ive
rs

man den Werth

so erhält

.

P zu

um

erhalten

welcher in der anliegenden Cyclentafel aufgenommen wurde;

III,.,

ww
.bi
od

44 Decimalgrade,

.

org

um

in Decimalgraden darstellt, dieses Resultat mit

die

ry.

hierzu den

ibr

a

man

/; w
ww
.

095 Sexagesimalgrade vermehrt werden müssen, um den Unterschied der Constanten zu berück-

•

addirt

empirischen Correctionen und multiplicirt,

F

sin 2(/

um 2°948

I.

bio

Die Cyclentafel der Syzygientafeln gibt P'

t

.
a
Argument
*

in Tafel:

l

der zugefügten Constanten beträgt 6-34 Decimalgrade, die gehörigen Orts in

sind.

sichtigen;

,

2(/'

2 w')

(2
m^,

d
Columne Pi

(/'

^

z sin

ity
l

Die

-t-

sm

m.
at

„


o

•

-)-0-U6

247

Änderungen dieses

htt

bestimmt durch:
ry

III

= ni,^-in,,

eri
tag

iii

und das Argument

Argument

es ist sonach das

;

ibr
a

III-

eL

Columne

in der

P durch:

zwei Columnen, von welchen die zweite das Säcularglied gibt, dasselbe

auf diesen Umstand

wird

fro

ist

aber bei der Berechnung von

P

zu berück-

Rechnungsmechanismus Rücksicht

der Auseinandersetzung des

bei

ow

sichtigen;

übergangen werden,

III

ad

kann bei der Bildung des Argumentes

m

Th

III^

nlo

Die Periodentafel gibt für

eB
iod

ive

rsi
t

P=ni-+-Pi + Pu + Pm.

yH

Argumentes

p:/

/w

die Periodentafel gibt für die innerhalb eines Cycliis stattfindenden Mondesfinsternisse die

Bestimuniug der Grösse der Finsterniss.

man

hat

c.)

1.

zur

Berechnung der Grösse

Zollen die Formel

6? in

y(
Ca

(pag. [50]

mb

Nach den Syzygientafeln

rid
g

e,

3.

MA
)

;O
rig

ina

lD

genommen werden.

G=
ive

ist

= 1-3421, c = 1-5682—«;
S = ± ^ sin P" sin N.
rat

wobei zu setzen

Zo
o

log

p(a-6'),

ibr

ary

of

siniV stets positive Grössen sind, so kann

ist.

Der

in


ist

unter der

Er

um 218

— pS=

sin iV seinen Mittelwerth

u',,

der Syzygientafeln:

I-Ol cos g'

Einheiten,

über welche anderweitig verfügt werden wird, mit

(
nehmend
p

g')

-+-

-i 6
p sin iV.|j sin

—
welchem Ausdruck durch

findet sich zunächst,

ty,

rsi

ive

Un

the

Ha
rv

ard

—

der mit g]^ überschriebenen Tafel

Dig

Für log

dem VorAnnahme des

— 0-07 cos 2g — 0-01 cos — 0-02 cos 2g' 0-10 cos {g-^g'),

3-99 cos g

itis

11 in

-+-

ed

by

welcher Ausdruck, vermindert

und

Werth

Zolles als Einheit nimmt, mit Benützung des Werthes

= -h 223-3

pa

I

auftretende numerische

den sogenannten Vergrösserungsfactor des Schattens berechnet. Es

wenn man den Zehntheil des

Argumente

gefunden wird; da p und

tM

für

stets positiv

die Regel so ausdrücken, dass das Vorzeichen

ns

Werthes 1-025

man auch

ay

rL

zeichen von P' ent.sprechend zu wählen

in

S

letzteren Ausdrucke ist das Doppelzeichen so zu wählen, dass
the

Im

Mu

se

um

of

Co

mp
a

log p

=

o

aufgenommen

siniV".^

(9-9979), erhält

ist.

sin(^P

man

dem

AVeiter wird:

— 22).

also:

S = 1„3400^ sin (iP— 22)

die Einführung von

P

p den oben (pag. 245) gegebenen Werth, so erhält

bereits das

man

Doppelzeichen berücksichtigt

ist.

Setzt

man

für

zunächst bei Mitnahme des ersten constanten Gliedes


Th.

248

Oppolzer.

v.

Dach Hinzufligung der Constante von 202 Einheiten die in der Tafel „Argument P" mit Gp überschriehenen
Werthe dieselben sind für die Grenzwerthe stellenweise negativ, man hat daher bei dieser Tafel das Vorzei;

dem

horizontalen Argumente

Abzug gebrachten 218 Einheiten

G

P

verticalen

aufgeführt; wie

man

Ein-

1(3

oben

sieht, sind die

in

erwähnten Constanten wieder berücksichtigt, es findet sich sonach

„

=

/-tll

/'T

,rU

-H

(jTp -I- üri

Crp.

für das

org

ry.

kleiner als

—42

ibr
a

Gp niemals

so darf

werden, es

P der Werth 16-G, die obere 71-4. Meist wird es sich
wenn P die angegebene Grenze überschreitet; man wird

ist

niemals grösser

sonach die untere Grenze

schon bei den ersten Zahlen der Rech-

Argument

in

solchen Fällen die Rechnung abbre-

Rechnung genommene Epoche

nicht möglich

liegt

ry

htt

ist;

immerhin möglich, dass man
ibr
a

es

ist

G

eines negativen Werthes von

erst

aber

am

P

sehr nahe

Schlüsse der

eL

an diesen Grenzen noch innerhalb derselben, so

sich von der Unmöglichkeit des Eintrittes einer
yH

eri
tag

chen, da eine Finsterniss für die in

Rechnung durch das Auftreten

p:/

/w

nung zeigen,

Gr

der beiden Glieder G\ und
ity
l

42 Einheiten werden kann,

als

Summe

da die

eintritt;

ive
rs

Rechnung gezogene Opposition

negativ, so folgt daraus, dass keine Finsterniss für die

ww
.bi
od

in

G

drei Tafelwerthe

Wird nach der Addition dieser

/; w
ww
.

bio

Cr

tru

der grössten Phase nach der Formel:

iez
en

die Grösse

dem

mit

II,

durcii die

um

log

heiten, mit

abhängigen Glieder sind in der Tafel GJ, vermehrt

cf

m.
at

chen zu berücksichtigen; die übrigen von

eB
iod

ive

rsi
t

Finsterniss überzeugt.

Bcrechming der Dauer der Finsterniss.
m
fro

M die halbe Dauer der

mit

Partialität oder Totalität,
ad

man

so findet sieh mit Beibehaltung der

AL

nlo

Bezeichnet

Th

4.

und

kleine

c?

lD

ow

Bezeichnungsweise der Syzygientafeln die Änderung der halben Dauer "äAf, wenn log
;O
rig

ina

Änderungen erfahren, durch:

BlogAiv

At

Mod

MA
)

3A^

1

e,

8(7

1-1- cos

'l'

A cos g begangen

log

AL

log

8

Bestimmung der halben

es wird sonach in der

werden, hierbei

stellt

A

ist

abgeleitet wird,
cosf/, für "da

demnach

die halbe

Dauer der

Partialität

um

und

aber -1-0-018

Mu

um etwa

3'"

können

irren

es

;

cosr/,

mit den mittleren Werlhen von log

se

bei totalen

the

die halbe

of

(7

bei dei

Totalität in Einheiten der

scheint für die hier

in

partiellen Verfinsternngen

Aussicht

um

etwa

genommenen Zwecke

ary

und

ist

Zeit der Partialität oder Totalität höchstens ein Fehler von

man daher aus der Grösse der Finsterniss G
Dauer, so wird man in den extremsten Fällen bei

Stunde dar. Berechnet

G

das Hauptglied -1-0-032

of

3""

Für

Zo

o

= 3Ä zu setzen.

dass die Zeit At aus der Grösse
ive

8(>

Annahme gemacht,

rat

Differentiation

die

mp
a

ist

Co

Hierbei

y(
Ca

mb

rid
g

a

G

allein als

G'",

diese

Argument

ay

rL

ibr

Annäherung hinreichend zu sein, weshalb in der diesbezüglichen Tafel (halbe Dauer)

AL

Un

Tafel für den halben Tagbogtm und Bestinmuing der Declination des Schattencentrums
ist

nach der Formel coa
the

Dieselbe

Ha
rv

ard

5.

ive

rsi

ty,

Er

ns

tM

benutzt wurde.

ed

by

Abschnitte das weitere mitgetheilt.

reichend mit

Dig

itis

Declination des Schattencentrums

dem Argumente:

o

t

= —tc/f tgo

berechnet, über ihre Verwendung

Die Declination der Sonne wird durch Verkehrung des Vorzeichens die

Jahrestag, die Tafel für ö zu berechnen; die durch die

für

ist,

im folgenden

geben; da für diese Angabe eine rohe Annäherung genügt, so war es aus-

der Ekliptik bewirkten Änderungen sind sehr gering, so dass

Jahrestag allein ausreichend

ist

o.

für

Bewegungen der Schiefe

den gregorianischen Kalender das Argument:

beim julianischen Kalender kommt aber die Jahreszahl

diesen eine Tafel mit doppeltem Eingange nöthig wurde, wobei

deren Kopfzahl der vorgelegten Jahreszahl zunächst

liegt.

in Betracht,

weshalb

es genügt, jene Vertical-Columne zu wählen,

249

Tafchi zur Berechnung der Mondesfinsternisse.

Tafel für die Tagesbrnchtlieile.

6.

Phase durch die vorliegenden Tafeln

erhält die Tageszeit der grössten

in Decimaltheilen des Tages,

Argument

gewünschte Transformation. Das Schattencentrum

sofort die

M'ird offenbar sehr

nahe im Moment

Länge von Greenwich durch

einen Meridian cnlminiren, dessen östliche

für'

bezeichnet

/

und der bestimmt

durch:

ist

/; w
ww
.

soll,

180°— 360°Xrf,

welchem Ausdrucke

ity
l

und S sehr nahe

Länge und

die

ive
rs

östliche Greenwichet

die gefundenen Tagesbruchtheile darstellt; es sind sonach X

r/

im Moment der grössten Phase das

die Polhöhe jenes Ortes, für welchen sich

ww
.bi
od

in

ibr
a

ry.

;i==

org

werden

bio

log

der grössteu Phase

m.
at

aber die entsprechenden Stunden und Minuten kennen, so gibt die Tafel für die Tagesbruchtheile
tru

als

Man
man

iez
en

will

yH

Geburt

(X)

die astrono-

ist

Th

Christi

Längen

m
fro

man entweder zu einem gegebenen Datum die näheren
man hat für eine grössere oder kleinere Reihe von
ad

der vorliegenden Tafeln wird

nlo

Anwendung

Zeit zu verstehen, die

Zählung der Jahre vor

mische Zählweise massgebend.
Bei der

wahrer

rsi
t

sind die Zeitangaben in

östlich positiv, westlich negativ gezählt. Bei der

ive

wich durchaus massgebend, und zwar
werden

Zeitangaben und geographischen Längen der Meridian von Green-

für die

ist

eB
iod

In den folgenden Tafeln

eri
tag

eL

ibr

a

ni. Gebrauch der Tafeln.

ry

htt

p:/

/w

Schattencentrum im Zenith beiludet.

lD

ow

LTmstände einer Mondesfinsterniss zu berechnen haben, oder
ina

Jahren die stattfindenden Moudesfinsternisse zu untersuchen. Es
;O
rig

soll

zunächst der erstere Fall allein in Betracht

MA

)

gezogen werden und nur schliesslich auf die nur wenig veränderte Rechnungsanlage

Schräm

rid
g

dem gegebenen Datum

zu bestimmen haben;

entspricht,

XLV.

herausgegebenen Hilfstafeln für Chronologie (im
mp
a

rat

der kais. Akad. d. Wiss.) die vorzüglichsten Dienste leisten;

255 angeführten Tafeln,
Co

gegeben, so werden die auf

hierbei

wird

man den

werden

die von

aber das

Datum

von

die ebenfalls

julianisch oder gregorianisch

Schräm

coustruirt

wurden und

of

p.

ist

so

Bd. der Denkschr. der math.-naturw. Cl.

ive

R.

einer Zeitrechnung für die Mondesfinsterniss gegeben,

Zo
o

julianischen Tag, welcher

mb

Datum nach irgend

y(
Ca

das

log

Ist

den letzteren hin-

e,

gewiesen werden.

für

Mu

D

gegeben, so sucht

man

the

soll,

Ist

nun der julianische Tag des

in der Cyclentafel (p. 256,

jene Zeile heraus, in welcher die nächst niedere Tageszahl zu finden
of

T,.

bezeichnet werden

ist

und schreibt

II,,

und

ary

der Columne

se

um

der vorliegenden Tafel beigegeben sind, hierzu verwendet werden können.
fraglichen Datums, der mit

ay

man nun
tM

geht

Columne T- finden

Er

in der

t,

I,.,

III^

heraus. Mit

wo sich dieselbe bis auf mindestens
muss, wenn überhaupt dem vorgelegten julianischen Tage eine

Periodentafel

in die

gleich-

(p.

257) ein,

rsi

ty,

2-2 Tage genau

T!,

ns

D—

rL

ibr

Zahl die auf derselben Horizontallinie befindlichen Werthe von

zeitig nebst dieser

der Differenz

257) in

Un

ive

Mondesfinsterniss entsprechen soll; findet sich nun eine solche Tageszahl innerhalb der gestellten Genauig-

Ha
rv

ard

keitsgrenzen, so geben die in der

Columne

so weit

F

man

der Periodentafel angeführten Werthe sofort eine Angabe, wie
diess aus den mittleren Verhältnissen beurtheilen kann;

der folgenden Weise zu verstehen:

itis

ed

by

ist in

Dig

Bezeichnung selbst

ist,

the

beschaffen eine Finsterniss

t

!

t?

eine

totale

Finsterniss

ist

sicher

die


,

Th.

250
Argumente die Peripherie
Zahlen

400 Theile

in

Oppolzer.

V.

gcthcilt gedacht

Angabe

Zeitgrenze für das Eintreten der grössteu Phase, die

jenen Fällen, bei denen die Suninie der

in allen

ist,

und Perioden-Tafel 400 überschreitet, dieseZahl

der C'yclen-

Abzug zu bringen. T^-hll

in

selbst

ist

gibt eine untere

Tagen der julianischen Periode und

in

diese Multiplication vorerst unterlassen und die
iez
en

Man wird

log

zu den Zahlen der Hauptcolumnen zu addiren wären.

tru

m.
at

deren Decimaltheileu (3 Decimalen sind angesetzt) verstanden. Die Columuen III^ und T^ enthalten jede eine
weitere Subcolumne, welche Zahlen enthält, die in Einheiten der letzten Decimale angesetzt, mit t multiplicirt,

Beispiel erläutert werden, doch wird hier noch nicht die

ein

org

der zweckmässigsten Weise vorgeführt werden. Hierüber wird

in

ry.

Anordnung und Durchführung der Rechnung

/; w
ww
.

sollen die bisherigen Vorschriften durch

Es

bio

Säcularglieder unter die diesbezüglichen Argumente setzen.

ive
rs

ity
l

ibr
a

das weiter nuten aufgeführte Schema Auft-chluss geben, welches nach den vorbereitenden Bemerkungen und

Nach Ptolemäus

eine Mondesfinsterniss stattgefunden, die für Babylon

71!» Sept. 1.

/w

p:/

in julianische

eL

ibr
a

ry

ergibt nach pag. 13:

Tage

Datums

des Mondes begonnen hat. Die Verwandlung dieses

dem Aufgange

htt

kurze Zeit nach

—

hat im Jahre

ww
.bi
od

Beispielen leicht verständlich sein wird.

(—800)

Jahr 81 Sept.

(Jahrestafel

29 830

yH

-t-

Monatstag)

Tag der

Finsterniss

1458 687

addirt, bei

den

ad

nlo

welche Zahl sich

man

hat also, indem

in

Summen

;

es

ist

sonach

257) unter Nr. 38 vor-

und die Säcularglieder nur

hinschreilit

setzt,

ohne

rid
g
mb

=

89-5,

II,

=160-5,

I,

=217-6,

II,

=224-7,

I

=3071

II

=385-2

III,

rat

mp
a

=

72-3

=1452

T,

,

III

=

62-3-4-2

278-554

= 6 408-138-h10
= 1458 686-692-hIO.

HI, =390-0-4-2, T,

ive

Zo
o

log

y(
Ca

I.

T,,,

Mu

se

lehrt

dass aber auch diese nach den mittleren Verhältnissen nicht mit Sicherheit erwartet
the

partielle,

of

wohl aber eine

durch die Bezeichnung^?, dass für dieses Datum keine totale Finsterniss möglich
um

F

Die Columne
ist,

of

Co

= 0-25

fortlässt

(p.

-5.^14

e,

sie mit t zu multipliciren:

T

1452 278

und Perioden-Tafeln unter einander

die betreifenden Zeilen der C'yclen

der Argumente eventuell 400-0

ist:

in der Perioden- Tafel

lD

man

ow

= 64()8-446,

256, 257)

(p.

der That sehr nahe

ina

2',

findet;

der Cyclentafel

in

;O
rig

D

niedere Tageszahl

nächst

MA
)

Die

fro

m

Th

julianischer

eB
iod

ive

rsi
t

1.

1428 857

eri
tag

Jahrhunderttafel

entlehnt

aus der Tafel

,

Argument

I" (p. 258, 259), die

zwei Subcolumnen, die erstere gibt den Hauptwerth und zwar für

Er

ty,

Decimale des Tages, für

P

in

Un

ive

den ersteren Werthen zu verbinden wären;

man

71

und Pi;

in Einheiten der

r multiplicirt mit

wird bei der Rechnung dieselben ohne vorerst die Multiplica-

Die Tafel „Argument II"

(p.

260, 261) gibt mit

dem

diesbezüglichen Argumente

Ha
rv

ard

tion auszuführen, ansetzen.

Werthe

T

Decimalgraden, die zweite die Säcularglieder, die mit

rsi

dritten

man nun

ay

rL

I

zerfällt in

ns

jede Columne

ibr

dem Argument

tM

Mit

ary

werden kann.

the

die Werthe Tn^-Pn, ohne dass mehr ein Säcularglied auftritt; die Einheiten sind in der Tafel dieselben, wie in
ed

by

der vorausgehenden; die Tafel „Argument III" gibt Tui in Einheiten der dritten Decimale des Tages,
Dig

itis

Einheiten desZehnteldecimalgrades. Bezeichnet
tafeln entstehen, mit

man

mit III^ und T*

Pi und Ti die Säcularglieder, die man aus der Tafel „Argument

Werth des Argumentes

P

berechnet nach:

P= m + Pi^Pu + Pm +
und ein Näherungswerth der Zeit der grössten Phase wird
7'„

-^ Ti

+ Tu +

2'iu

r

sich

+r

!

{imVF'*}
ergeben aus:
2'^ -4-

Pm

in

die Säcularglieder, die aus den Perioden-

2f

.

I

I" erhält, so wird der


:

251

Tafeln zur Berechnung der Mondesfinsternisse.

Summe

Zur Durclifiihrung der Multiplication der
Säcularglieder"

(p.

der Säcularglieder wird die „Multiplicationstafel für die
Bei derselben

262, 263) gute Dienste leisten.

das Vorzeichen zu bestimmen.

Säcularglieder haben alle Werthe stets das positive Vor-

Ausnahme der

Mit

aber uacli den Zeichen der Factoren

ist

zeichen.

Man

weiter das Beispiel fortsetzend und die zuletzt

also

gewonnenen Zahlen

Tm und

für

III

m.
at

erhält

111= 62-3

Multiplicationstafel

Tni=

=

—17

-66)

Arg.O- 25 und

iez
en

log

bio

1

Pii

Pui=
—10)

(0-25 und

ni,«=^-2
Pi«=

— 12

/; w
ww
.

Pi

•

0-3

-3,

= 1458

P =63-5.

687 183
•

P ausserhalb

einem gegebenen Falle

der Grenzen 16-6 und 71-4 liegen, so würde
ibr
a

in

man

daraus

eL

Würde

ry

htt

p:/

/w

Näherungswerth für T„

ww
.bi
od

ive
rs

(

10

ri«=-76

org

-

= 62-3
= 0-0
= 2

TJ=^-+-10,

ibr
a

„

= 307-1
= 385 2

ity
l

11

„

„

1

ry.

= 1458 686-692,
2
Ti =
496
Tu =

r,„

Argum.

Tafel:

tru

wiederholend:

in

Verbindung mit den

bereits

bekannten Argumenten

rsi
t

der wahren

zur genauen Ermittlung

nun

dient

yH

P

gewonnene Argument

der grössten Phase und der Grösse der Finsterniss.
ive

so

ist.

Zeit

I

und

II

Die Tafel

eB
iod

Das

eri
tag

schliessen, dass unter den gegebenen Umständen keine Finsterniss möglich

für die Grösse

Gp

man Gp
nlo

des Zehntelzolles. Findet

positiv, so ist mit Sicherheit eine Finsterniss

ow

in Einheiten

ad

fro

m

(p.

Th

264) gibt mit diesem Argumente innerhalb der für eine Finsterniss möglichen Grenzen die
Reductiou auf die Mitte der Phase Tp in Einheiten der dritten Decimale des Tages und einen Näherungswerth

„Argument P'

ina

lD

zu erwarten, findet sich aber dasselbe negativ, so wird nur dann eine Finsterniss eintreten,
als der negative

Die Tafel Ti"
letzte Correction

von

ist,

Summe

Werth von Gp\ bei der numedagegen wenn es negativ

ist,

rid
g

dem

265) gibt mit

(p.

mb

vorsetzen.

y(
Ca

—

verticalen

welche mit Ti" bezeichnet werden

T,

und dem horizontalen Argumente II die
meist wird es genügen, für beide Argumente die

Argumente

log

das Zeichen

es positiv

die

e,

Rechnung wird man Gp ohne Vorzeichen ansetzen, wenn

Zo
o

rischen

ist,

MA
)

;O
rig

der beiden folgenden stets additiven Correctionen grösser

wenn

soll;

I

rat

ive

nächste Zehnerzahl zu nehmen und ohne weitere Interpolation den betreffenden Werth der Tafel zu entlehnen;
mp
a

of

hat also für das Beispiel

se

um

Man

jenen Fällen, bei denen die Differenzen 2 Einheiten betragen, genauer vorzugehen.

sein, in

Co

doch wird es gut

Mu

2;=

1458

687-183

the

Tafel, Arg. P = 63 -5
= 307 = 385)

Ti"
T = 1458
ibr

(I

ary

of

3

,

25

II

687-211

Er

ns

tM

ay

rL

„

Tafel &i"

ty,

ist.

ive

rsi

ermittelt

die Grösse der Finsterniss zu erhalten, bedarf der Näherungswerth
Un

Um

wahre Greenwicher Zeit der grössten Phase

(p.

ard

die

266) gibt mit

Ha

rv

womit

dem

verticalen

Argument

I

Gp

zweier Correctionen; die

und dem horizontalen Argument

II,

wobei es wieder

itis

ed

by

the

meist genügen wird, für die Argumente die nächst liegenden Zehnerwerthe zu nehmen, die erste Correction,
die Tafel Gp^ ($. 267) mit dem verticalen Argument P, wofür man stets den nächstliegenden vollen DeciDig

malgrad wählen kann und dem horizontalen Argument
sind in Zehutelzollen angesetzt; die Grösse

G

II die zweite

und

letzte Correction;

beide Correctionen

der Finsterniss findet sich also nach:

G= Op-+-G^-\-Gp^^;
mau wird nach

der

Summiruug

die letzte Decimale durch einen

Decimalpuukt abtrennen,

um

die Grösse in

Zollen, der allgemein üblichen Einheit, zu erhalten.

32*


:

;

252

Th.
Findet sich

keine Finsterniss

tritt

6r<:12

ein, ist

0,

so wird die Finstemiss nur partiell,

so ist die Finsterniss total.

Die Fortsetzung- des Beispieles

gibt:

=
öl" =

II

,

Gp"= 27
G =6-3 Zoll.

11

Umstände der

Eechnung abgeschlossen, doch

sind noch

Finsterniss anzugeben. Zunächst wird

man

ive
rs

ity
l

der Finsterniss in eine allgemein übliche Aera, wofür sich der julianische Kalender empfiehlt,

auf p. -55 bereits angeführt, da aber zu

ist

Eückblättern in den Tafeln nöthig wäre, so

man von dem
wird man leicht

/w

Tage der

mit der Jahrestafel erhalten;

ry

htt

p:/

Finsterniss die nächst niedere für das Jahrhundert geltende Zahl, so

Datum

Datum wird

dieses

als

Argument

für die

„a-Tafel"

eL

das zugehörige

ein

diese Tafel auf p. 2G8 wiederholt. Subtrahirt

ibr
a

julianischen

ist

Bestimmung

dieser

ww
.bi
od

umsetzen; die hiefür uöthige Tafel

yH

in

der Tafel

rsi
t

— 27.!)

ive

unmittelbar die wahre Greenwicher Zeit der grössten Phase und X die

Länge (wenn das negative Zeichen

eingesetzt

so

ist,

Ortes,

für

kann man

die zugehörige Zahl

als westliche

den das Schattencentrum bei der geographischen

Totalität.

findet sich also

UhS

-

(— 800) = 29830,

857

I42.S

Jahr 81, September

1

— 719 (astronomisch)

September
y(
Ca

Datum

Zo
o

log

es ist also das

mb

rid
g

687

nlo

ow

und

Partialität

dem Argumente G

lD

Dauer der

Für das obige Beispiel

274) überschriebene Tafel gibt mit

(p.

ina

die halbe

Die mit „Halbe Dauer"

steht.

;O
rig

im Zenith

MA
)

ö

e,

Breite

ad

fro

Länge bezeichnen) von Greenwich desjenigen

eB
iod

270

(p.

Die Tagesbruchtheile geben

Th

„Tagesbruchtheile =(^"
östliche

findet.

o

eri
tag

269) dienen, in welcher sich mit diesem Argumente als verticales Argument und mit der nächstliegenden

Jahrhuudertzahl die Declination des Schattencentrums

m

(p.

der Haupttlieil der

ibr
a

Datum

das

ist

die weitereu

org

um

einige weitere Operationen nöthig,

ry.

T und G

Mit der Ermittlung der Grössen

/; w
ww
.

bio

„

9
tru

(1

„

27

(?p

m.
at

P= 63-5,
= 307 = 385)
Gi^
Gp«(P= 63, = 385)

Tafel Arg.

iez
en

G:>12-0,

negativ, so

log

ist

G

Oppolzer.

V.

— 800): = — 12°.
o

ive

Mit diesem Argumente gibt die 8 Tafel (Columne

1.

Ä^104°

Länge

die geographische

Co

Zeit,

of

wicher

mp
a

rat

Die Tagesbruchtheile (0-211) geben in der Tagesbruchtheiltafel für die Tageszeit 5"

17'"; für die

G = G-3

von Greenwich; die Grösse

halbe Dauer der Totalität

wahre Greengibt für die

wegen 6r<12 keine Angabe zu

ist

Mu

se

um

halbe Zeitdauer der Partialität

1''

östlich

4'"

the

machen.
ary

of

Hiermit sind alle Zahlen zur näheren Beurtheilung der Umstände einer Mondesfinsterniss mit einem hin-

ay

rL

ibr

reichenden Grade der Annäherung ermittelt; es würde aber nicht zweckmässig sein, in der oben angegebenen

Weise die Ileclinung

ns

tM

selbst durchzuführen, besonders

mau
Er

In diesem Falle wird

wenn man mehrfache

derartige

sich Keclinuugsschemas vorbereiten lassen,

die

Rechnungen zu machen

zweckmässig

in der aus

dem

rsi

ty,

hat.

Un

ive

Folgenden ersichtlichen Weise anzulegen sind; ich habe

ist;

by

Dig

itis

Benützung eines solchen Schemas die
drei

Schema

Minuten zu berechnen

iu

angesetzt, iu

das eine Schema die Zahlen der obigen Rechnung

welchem an der

Stelle der

Zahlen die Bedeutung

im Zusammenhalt mit den vorausgehenden Erläuterungen bedarf wohl

Schema keiner nähereu Erklärung.
ed

dieses

gemacht

ersichtlich

the

derselben

Ha
rv

ard

eingetragen, und daneben ein zweites

in

Man

der Lage

ist.

man iu
kommenden Werthe

wird sich leicht überzeugen, dass

für eiue Mondesfinsterniss in Betracht

der That
leicht

mit

binnen


ed

itis

Dig

by

the

ard

Ha
rv
ive

Un
rsi
ty,
Er
ay

tM

ns
ary

ibr

rL
of
the

um

se

Mu
of
ive

rat

mp
a

Co

e,

rid
g

mb

y(
Ca

log

Zo
o

lD

ina

;O
rig

MA
)

ad

nlo

ow
m

fro

rsi
t

ive

eB
iod

Th

ry

ibr
a

eL

eri
tag

yH

htt

p:/

ive
rs

ww
.bi
od

/w

ity
l

ry.

ibr

a

m.
at

tru

iez
en

log

bio

/; w
ww
.

org

Tafeln zur Beirchnung der Mondesfinsternisse.
%h'6

307-1


Th.

254

Phase der Finsterniss sichtbar, wenn H::>h

die

„

„

man

ist,

H
„

„

.

indem man das Vorzeichen von

in diese Tafel ein,

^ positiv

annimmt

d verkehrt.

Rechnung

da

die halbe

Dauer der Verfinsterung vermehrt, im

Graden ausgedrückt

X in

ist,

muss

so

die halbe

Dauer

in

letzteren Falle

demselben Masse

bio

zieht;

m.
at

um

im ersteren Fall

/

tru

können wenn man nur
in

wird auch tür den Beginn oder das Ende der Finsterniss benützt werden

aufgestellte Regel

iez
en

hier

log

und das von

vermindert

unsichtbar,

„

„

Sollte w negativ sein, so geht

Die

Oppolzer.

V.

ibr
a

nun entschieden werden, ob die obige Finsterniss für Babylon, für welchen Ort man ^
annehmen kann, sichtbar ist; bildet man der obigen Regel entsprechend h, so findet sich:

= + 32°,

ity
l

soll

ive
rs

/=44°

= 104°— 44° = 60° =

/

/(.

lässigt) statt;

man

ry

ibr
a

eri
tag

275)

H=S2%

Finsterniss noch sichtbar

und

findet

yH

Anfang der
rsi
t

stimmt diese Angabe gut mit der Überlieferung des Ptolemaeus. Für das Ende

sieht,

H>h,

ebenfalls

(p.

es ist

die Finsterniss ihrem

demnach

ganzen Verlaufe nach

Babylon sichtbar

für

fro

findet

man

also ist der

Tagbogen

die hall)e Zeitdauer der Partialität in

Aufgange des Schattencentrums (Parallaxe und Refraction sind vernach-

Minuten nach dem
wie

= 79°,

um

ive

=12

etwa 3°

so findet sich ä

eB
iod

Graden (P17°'^19°),

X

eL

H>h,

da

man

die Finsterniss sichtbar; vermehrt

Th

sonach

gibt die Tafel für den halben

m

ist

htt

y= -i-32°, ^ = - 12°

Mit den Argumenten

es

p:/

/w

X—

ww
.bi
od

Es

ry.

org

/; w
ww
.

ausgedrückt werden; für letztere Grösse geben aber die Zahlen der vorstehenden Tafel Stunden und Zeitminuteu dieselben in Zeitminuten angesetzt und durch 4 dividirt geben sofort die geforderte Reduction.

ow

lD

/= 16°

dessen Länge

ihre Sichtbarkeit für einen Ort ermitteln, dessen geogra-

betragen würde, so wäre für diesen Ort:
ina

= -t-48°,

Bezug auf

;O
rig

phische Breite y

dieselbe Finsterniss in

H

MA
)

Würde man

nlo

ad

gewesen.

107

„

88

„

das Ende

69

the

Ha
rv

ard

Un

ive

rsi

ty,

Er

ns

tM

ay

rL

ibr

ary

of

the

Mu

se

um

of

Co

mp
a

rat

ive

Zo
o

„

by
ed
itis
Dig

mb

log

die Mitte

i

y(
Ca

Für den Anfang der Finsterniss
„

rid
g

e,

h

j

'

76*

;

es

ist

also der

Anfang unsichtbar, weil h

die Mitte

„

„

das Ende

sichtbar,

„

>H

h>II
//

<. H.


ed

itis

Dig

by

the

ard

Ha
rv
ive

Un
rsi
ty,
Er

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of
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um

se

Mu
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mp
a

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mb

y(
Ca

log

Zo
o

lD

ina

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)

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nlo

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m

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t

ive

eB
iod

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tag

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ity
l

ry.

ibr
a

m.
at

tru

iez
en

log

bio

/; w
ww
.

org

Tafeln zur Berechnung der Mondesfnsternisse.

Jahrhundert-Tafel.

255

Jahres-Tafel.

•luliJuiisfliP'"


ed

itis

Dig

by

the

ard

Ha
rv
ive

Un

rsi
ty,
Er
ay

tM

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ary

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um

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Ca

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m.
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tru

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log

bio

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.

org

'256

Th.

llc

V.

Oppolzer.

Cyclentafel.

lllc


ed

itis

Dig

by

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ard

Ha
rv
ive

Un
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ty,
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ity
l

ry.

ibr
a

m.
at

tru

iez

en

log

bio

/; w
ww
.

org

Tctfeln

Cyclentafel

zur Berechnung der Mondesfinsternisse.

(Sdiluss).

257

Periodentafel.


3

Oppolzer.

Argument

5-8
5-9
ö-o

"

+

9-0 -h 10

+ 11
+ 10
+ 10
+ 9
+

9-1

+

9-3
9'4
9'4

91
9-2
9'2
9'3

+ 10
+ 10
+ 10

9
10

189

II

194

+40
+40
+39

12

196
199
201

+ 39
+ 39
+ 38

O-o

204

206
209

+38

6-3

+37

64 + 3

06
Ü7

211
214
216

+ 37
+ 3Ö

6-5
6-6
6-7

+4
+4
+4

u8

09
70

315
310
3'7

9-0 -hl
9-0
1
9-6

6-8
Ö-8
6-9

+4
+4

71

319
320

9

72
73

321

9" 7

5

74

5

.75

5

76

323
324
325

240
243
245

+30

7-4

+28

7-5

7-6

+28
+27

35

247
249
252

36
37
38

254
256
259

39

233
235
23S

30
32
33

79

+6
+6

7-8
7-9
8-0

+7
+7

261 +23
22
263
265 -1-22

8-0

+

+21

8-2
8-3

44

80

+ö

+19

7

ibr
a

eL

339
12
338
33S 4-12

+

I

eri
tag

rsi
t

1

1

m

335
335
334

12

333
332

fro

118
119

ad
nlo
ow
lD

+
+1
+

;O
rig

7

337

337
33"

ive

+

eB
iod

9-5

MA
)
1

122
I

331

124
125
126

330
330
329

127

128
129

328
326
325

130
132

324
323
322

"33
134

320
3'9

35

3

136
137
138

31Ü
315

313

139
140
141

312
310
309

142
143
144

307
305
304

rid
g

log

y(
Ca

mb

9-8
9-8

9-8

99
9"9

82

331

9 '9

9-9
lO'O

+
+
+

332
333
334

3

lO'O

3

100

3

lO'O

+ 12
+ 12
+ 12
+ 12
+ 12

3

100

-t-12

335
33Ö

3

lO-

I

+ 12

3

lO'

I

89
90

I

8-2

9'

336
337
338

10-

81 +8

Un

ard

7

by

8-4

+8
+8
+8

lo-

yH

329
330

92

94

338
339
339

93

46
47

274
276
278

8-4
8'5

8-5

+8
+9
+9

95
96
97

339
340
340

48
49
50

280 +17
282 -i-ib
284 -1-15

8-6
8-7
8-7

+9
+9
+9

98
99
100

340
340
340

45

12

Th

81

83
84
85

7

+7

ed

+ 20

I

IIb

334 ^-

itis

267

270
272

hio

"5

86
87
88

Dig

42
43

33^1

1

+
+

lO'
10'

+

I

10"
1010-

+
+
+
1

+ 12

I

+ 12

1+

I

I

4 10' I
4 10' I

4 lO'I

+
5

+ 12
+ 12
+ 12

I

the

41

+

1

lo-

ry

+6

Ha
rv

40

1

e,

78

+
+

+24

+

9-8

320
327
32S

77

5

7-6
7-7
7-8

+ 26
+ 25
+ 24

+ 9
MO

1

ive

34

+ 29

340
339

131

ay

31

109

HO

+

Zo
o

+30

7-2
7-3
7-4

27
28
29

+

ive

+ 32
+ 32
+ 31

71
71

rat

231

7-0

5

mp

a

+34
+33

lO'

+ 12

1

+ 12
+ 12
+ 12
+ 12
+ 12

I

+ 12

lo-

Co

226
228

340
340

340

9 5

9-7

of

24

+
+
+
+
+

106
107
108

113
114

+

um

+34

ü

i-

se

224

+ 10

9'4

7

Mu

23

-I-

the

+ 35

of

221

ary

219

22

8

+

3'

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+ 30
+ 35

8

+

310
312

t>5

+ 38 04 +3

21

25
26

Ü4

rL

19

300
307
309

'>3

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i8

Ö-2

02

ns

17

6-1

302
304

61

Er

lö

59

öo

ty,

15

)-2

+2
+2
+2
+3
+3

rsi

13
14

191

I

m.
at

295
297
299

1

I

lO'

tru

5Ö
57
58

+
+2

293

lo-

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en

5-0

5-ü
5-7

184
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1

341
341
341

103
104
105

153
154
155

28Ü
284
282

+45
+4Ö

lO'

I

lO'

I

IC

I

+ 12
+ 12
+12

+1
+12

I
1

15Ö
157
158

280

+ 46

278
276

+47
+48

i

Ij

+ 14

lO'

+ 12
lO'O + 12
100 + 12
100 + 12
lO'O + 12
100 + 12
99 12
9-9 + 12
lO'

159
160

274

+48

271

+ 49

IUI

209

+ 49

162
1O3
164

2Ö4

+ 50
+ 50

2Ö2

+

lös
lüö
IÜ7

260
257

+5>

108
lÖQ
170

252
250
247

171

245
242
240

I

-1

+ 14
+ 5 9'9 + 12
+ IO 99 + 12
+ 10 99 + 12
+ 17 9-8 + 12
+ iS 9-8 + 12
4-19 9-8 + 11
+ 19 9'7 +
+ 20 9 +
9'7 +
+ 22 9-6 -M
+23 9-ü +

9-0 +
+ 24 95 +
+25 9-5 +
7

174

1

175

1
1

1
1

+ 2Ö

+27

+ 28
+ 29
+ 30

9-5

9'4
9-4
9'3

+ 11
+ 10
+ 10

93 +10

+31
+31

9-2

+ IO

92 + 10
+10
+10

+32

9-2

+ 33

9-1

+36
+37

90

8-9

+

'45
146
147

302 +38
300 -t-3S
298 +39

8'9
8-8
8-8

148
149
150

296 +40
294 + 41
292 )-42

8-7
8'6
8-6

+
+

+
+

+ 34 91 + 10
+35 9-0 + 10

+

+

172
173

1

1

-t-23

+43

+ 43

log

+40
+40
+40

181

+

+ 13 8-9 + 10
+ 12 90 + 10

291

bio

290

292
290
2S8

ry.

53
54
55

ibr
a

+1
+1

1

+ 42

151
152

150

+ 12
+ 12

ity
l

5-3
5-4
5-5

lo-

+ 12

ive
rs

174 +40
17Ö +40
179 -t-40

I

5

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.bi
od

52

I

lO'

340
340
341

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+

lO'

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51

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50

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171

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5-2
5-2

o

+40
+40

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+ 40

I.

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ww
.

V.

org

Th.

258

Iö6
169

J

1
I

9
9
9

9
9

9
9

207

255

+ 44

5'

+52

+ 52
+ 53

+ 53
+ 53

+ 53
+ 53
+ 54


ed

itis

Dig

by

the

ard

Ha
rv
ive

Un
rsi
ty,
Er
ay

tM

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ibr
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m.
at

tru

iez
en

log

bio

/; w
ww
.

org

Tafeln zur Berechnung
de?'

Mondesfinsfernisse.

Argument
I,

I


260

Th.

V.

Oppolzer.

Argument II.

n

50
51

I

'O

52

391

I

'O

53

385
379

I

'O

54

I

"O

55

136

tru

1

'i

iez
en

•

I

62
63
64

o
320
3>4 0-9

309 0-9

65
66
67

303
9
297 0-9
291 0-9

68
69

28Ö 0-9
280
9
274 0-9

71

org
ry.
ibr
a
ive
rs
/w

338

332
326

p:/

61

eL

ibr
a

ry

htt

60

eri
tag

12

eB
iod
ad
nlo

70

77
78

30

80

32

236 0-8
230 0-8
225

33
34
35

220 0-8
214 0-8
209 0-8

83

36
37

204 0-8
199 0-8
194 0-8

86
87

«9
90

41

188 0-8
183 0-8
178 0-7

42
43
44

174 0-7
169 0-7
164 0-7

45

47

159 0-7
154 0-7
150 0-7

96
97

49
50

145 0-7
140 0-7
136 0-7

99
100

75

mp
a

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76

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79

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84
85
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rsi
ive
Un

91

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46

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39

40

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38

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31

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247 0-9
241 0-8

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27
28
29

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263 09
258 09

74

25
26

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72
73

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21

22
23

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20

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19

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14

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349
343

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361

ity
l

56
57
58

373
367

9
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.

bio

I

log

40S
402
39Ö

m.
at

11

92
93

94
95


Tafeln zur Berechnung der Mondesfinsternisse.

Argument

261

Argument

II.

III.

811

tru

306

307
308

iez
en

814
813 1-9
812 19

log

303
304
305

bio

8iS|2-o
814 2'0

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ww
.

302

org

8151 2'0

301

ity
l
ive
rs
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ibr
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p:/

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807 19
806 1-9
804 1-9

315
31Ö
317

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Tafeln zur Berechnung der Mondesfinsternisse.

263

die Säeularglieder


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264
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Tafeln zur Berechnung der Mondesfinsfernisse.

265


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266
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Oppolzer.


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(

Tafeln zur Berechnung der Mondesfinsternisse.

267

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