bio
log
iez
en
tru
m.
at
rar
y.o
rg/
;w
ww
.
ÜBEK DIE AUFLÖSUNG EINES SYSTEMES
htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t
ylib
VON
MEHREREN UNBESTIMMTEN GLEICHUNGEN
He
rita
g
eL
ibr
ary
DES ERSTEN GRADES IN GANZEN ZAHLEN.
Bio
IGNAZ HEGER.
rom
ow
nlo
ad
f
DEK SITZUNG DEK MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHEN CLASSE AM
24.
JULI
1856.
ge
,M
A)
;O
rig
ina
lD
IN
Th
e
Dk
VORGELEGT
div
ers
ity
Von
unbestimmten Analytik haben wohl
Anwendung
dies nicht
bisher im Allgemeinen nur eine sehr
Analysis gefunden; von
dem
pa
rat
kann
in der
ive
der
untergeordnete
mehr gesagt werden; dasselbe hat vielmehr
Co
m
± robleme
Zo
olo
gy
(
Ca
mb
rid
Vorbemerkung'.
vorliegenden Probleme jedoch
für die verschiedensten Gebiete
Anzahl aufführen. Hier mögen einige Beispiele genügen.
the
Fälle in grosser
Mu
se
um
of
der Analysis eine nicht geringe, nur bisher wenig beachtete Wichtigkeit. Es lassen sich solche
um
die
ibr
ary
of
In der Theorie der höheren Buchstabengleichungen handelt es sich sehr häufig
tM
B.
z.
auf die Auflösung eines Systemes von zwei Gleichungen des ersten
sich
rd
lässt
rva
und diese
Un
ive
rsi
ty,
Er
ns
kannten, wie
ay
rL
Auflösung eines Systemes von binomischen Gleichungen höheren Grades mit mehreren Unbe-
ed
by
the
Ha
Grades:
Genüge
leistenden
wobei
und
c
3j
gezogenen
^nrj
|,
rj,
i,j in
=
i
,
2)^+qyj=j
ganzen Zahlen zurückführen. In der That kann man
Werthe von x und
reelle
/
Dig
mit vier Unbekannten:
(/?)
m^
itis
iß)
1/
darstellen, in der
die
Form:
Zahlen bedeuten, die so zu wählen sind, dass die aus den Gleichungen
und^ ganze Werthe
erlangen. Solcher
Werthe
^,
t^
lassen sich unendlich viele
auffinden; allein für die beabsichtigte Auflösung der Gleichungen («) sind nur jene von Wichtigkeit, die
nicht
um
ganze Zahlen von einander
Jienksrhriften der matheni.-naturw. Gl.
XIV. Bd. Ahhandl.
v.
Nichtmitgl.
differiren
,
weil nur diesen
^,
:y
andere und
stets
«1
Ignaz Heger.
2
andere Werthe von x und y entsprechen. Um sich diese beschränkte Anzahl von Werthen
|. yj zu verschaffen, hat man mit der Auflösung des Systemes (/?) in ganzen Zahlen nach den
Unbekannten
beginnen und findet so drei specielle Auflösungen: erstens: die
i,j zu
|, ^,
unmittelbar ersichtliche:
^o,j =
i
zweitens:
o-.
sten ganzen, von Null verschiedenen Werth von
wennj
= o gesetzt wird,
j ^o, wo
y,
wo
die
i
Werthe:
0, 1, 2, 3,
.
.
/i
.
—
1,
ist.
Ertheilt
man nun
rar
y.o
rg/
;w
ww
.
—
Unbekannte fähig
ist,
den numerisch kleinsten ganzen, von
y
Null verschiedenen Werth bezeichnet, dessen ^ überhaupt fähig
nach der Grösse
den numerisch klein-
/i
bedeutet, dessen diese
i
=
und drittens: diej
die i^=n.
bio
log
iez
en
tru
m.
at
vier
der anderen J hingegen die:
der Reihe
0, 1, 2, 3. ...
und zwar in allen hier möglichen jiv Combinationen, sucht nun aus den Gleichungen (y9),
die sich dadurch in bestimmte verwandeln, die Werthe von 6 und ;y, und substituirt endlich
die gefundenen c, fj in die Gleichungen {y) so ergeben sieh alle von einander verschiedenen
Werthe für x und ?/, welche das vorliegende System («) erfüllen. Mehr als diese /iv Auflösun1,
htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t
ylib
V
;
div
ers
ity
He
rita
g
eL
ibr
ary
gen bestehen nicht.
Diese Methode, ein System von zwei binomischen Gleichungen aufzulösen, lässt sich auch
dann noch anwenden, wenn die Anzahl der Gleichungen und mit ihr jene der Unbekannten
vor.
ow
nlo
ad
f
Zahlen
rom
Th
e
Bio
grösser ausfällt, nur liegt dann statt der zwei Gleichungen [ß) ein System von mehreren unbestimmten Gleichungen mit der doppelten Anzahl von Unbekannten zur Auflösung in ganzen
rig
ina
lD
Eine andere Anwendung, die sieh von der Auflösung eines Systemes von mehreren unbestimmten Gleichungen des ersten Grades machen
Form mit Hülfe
des Summenzeichens, das
man dem
ge
,M
A)
;O
gliedriger Ausdrücke in symbolischer
der Darstellung viel-
lässt, findet sich bei
Ca
mb
rid
allgemeinen Gliede vorsetzt. Eine solche symbolische Darstellung von Polynomen erweist sich
und von der einfachsten Form
+
'
a.,x-
die bekannte
a^x'Y
/
-|-
-\-
= S\
La/ «j/ «2'
a^a.'^'a.r-.
'
.
.
.
.
.a;''.x'" + -'"+
+ "'''].
J
«r/
Mu
se
um
of
'
Co
m
a.x
pa
rat
ive
Polynomialformel
{a
4\
ist
Zo
olo
gy
(
sehr oft als vortheilhaft. Ein Beispiel dieser Art
Hier bezieht sich die Summirung auf die Buchstaben
o.,
//,,
a.,.
...«,.
und
ist
auf alle jene
rL
ibr
ary
of
the
ganzen und positiven Werthe dieser Grössen auszudehnen, welche die Gleichung:
= «-(-
«1
«o
-j-
-|-
....
-|-
«^
ns
tM
ay
;?.
Im gegenwärtigen
wäre auf
alle
Falle liegt nur eine einzige unbestimmte Gleichung vor, und sie
rsi
ty,
Er
erfüllen.
,
in
ganzen und positiven Zahlen aufzulösen
,
wenn man das
Un
ive
möglichen Weisen
Ha
rva
rd
symbolisch ausgedrückte Polynom entwickeln wollte.
So wie hier eine einzige, können
the
by
um
die
Ausdehnung der Summe
Dig
itis
ed
gleichungen auftreten,
dieser Polynomialformel der Coefficient
von
8\La/ «,.' a^,/
und die Summirung
ist
anderen Fällen zwei und mehrere Bedingungs-
in
.
.
.
x-'"
Ur.'
festzustellen.
So
z.
B.
ist
in
«"«,"'0./=.
"
hier auf alle jene ganzen
.a/'-l
J
.
und positiven Werthe von
o.,
«,,
o..,,.
auszudehnen, welche die zwei folgenden Bedingungsgleichungen gleichzeitig erfüllen:
=«
m=
n
-f «1
'/,
+
a,
4- 2 «.
eben
gegeben durch
-j-a.,
-j-
+.
3 «3 -|-
.
.
.
.
.
+
o.,
4- ra^.
.
.
«^
über die Auflösung
Formeln mit
Almliclio
Unzahl
in
sieh
e/'ues
Si/s(emes von mehrereu nubentivirnten Gleichungen
und mehreren ßedingungsgleidningen lassen
zweien
einer,
man begegnet
aulV.ählen;
3
etc.
den verseliicdenstcn Bereichen
in
iluien
der
Analysis.
das Gesagte dürfte zur
Genüge beweisen,
sind
demnach sehr zahlreich
und
,
dass gerade dieses Problem der unbestimmten Ana-
und jedenfalls
besitze,
öfter
viel
unbestimmten Probleme höheren Grades.
in
Anwendung
rar
y.o
rg/
;w
ww
.
als die
ist
Rede stehenden Problemes
unbedeutende Wichtigkeit
lytik eine nicht
komme,
Es
in
bio
log
iez
en
tru
m.
at
Die Anwendungen des
gewiss überraschend, dass gerade dieser Theil der Analytik bisher wenig gepflegt
ylib
wurde, und keine allgemeine und zweckentsprechende Auflösungsmethode für solche Systeme
htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t
von Gleichungen besteht.
Die allgemeine Auflösung einer einzelnen, unbestimmten Gleichung des ersten Grades
schon lange bekannt. Die hiezu dienliche Methode wurde zuerst von
dieses
und
eine andere Ableitungsweise für diese Eegel,
eL
ibr
ary
Zusammenhang
Lagrange
Euler
zeigte den
Problemes mit der Theorie der Kettenbrüche; zuletzt endlich wurde
Cauchy
eben derselbe Gegenstand noch von
auf eine gänzlich verschiedene Art behandelt,
von Wichtigkeit
ist.
Hiemit war gewissermassen die
Bio
die zunächst in theoretischer Hinsieht
He
rita
g
ist
div
ers
ity
ganzen Zahlen
angegeben; später gab
in
Th
e
Grundoperation für die unbestimmten Probleme des ersten Grades
festgestellt.
ow
nlo
ad
f
rom
Die Behandlung eines Systemes von mehreren unbestimmten Gleichungen des ersten Grades mit einer beliebig grossen Anzahl von Unbekannten
war aber,
einige specielle Fälle aus-
ge
,M
A)
;O
rig
ina
lD
genommen, nicht ei'ledigt; sondern bestand mehr oder weniger nur in blossem Probiren, aber
in keinem geregelten analytischen Verfahren. Der Weg, den man dabei einschlug, war stets
Nun
eignet
von
verschiedenen
diesen
all'
Behandlungsweisen
von
eines Systemes
Zo
olo
gy
(
sieh
Ca
mb
rid
den bekannten Auflösungsmethoden für bestimmte Gleichungen des ersten Grades nachgebildet.
Rang
einer analytischen Methode. Alle übrigen für bestimmte Systeme bestehenden
Co
m
auf den
pa
rat
ive
mehreren bestimmten Gleichungen des ersten Grades nur das Substitutionsverfahren für die
Auflösung eines Systemes von unbestimmten Gleichungen. Dieses allein hatte einen Anspruch
Mu
se
um
of
Auflösungsmethoden sind bei unbestimmten nicht anwendbar.
Wenn
the
leistet,
of
Anforderungen Genüge
ibr
ary
nicht allen
aber schon bei den Systemen bestimmter Gleichungen die Substitutionsmethode
Ein Beispiel dieser Art
ist
der von
um
Gramm er
oft
nämlich handelt es sich gar nicht
Ge-
die Aufstellung eines allgemeinen
gegebene Lehrsatz für
die
Auflösung
Un
setzes.
Sehr
numerische Berechnung, sondern
Er
die wirkliche
dar.
ns
tM
einem noch weit höheren Grade
ive
um
in
rsi
ty,
chungen
ay
rL
keit als ein Bedürfniss erscheinen; so stellt
und andere Methoden von grösserer Durchsichtigsich diese Mangelhaftigkeit bei unbestimmten Glei-
von mehreren bestimmten Gleichungen des ersten Gi'ades, überhaupt die so
fruchtbringende Lehre von der Determinante. Dieser Satz hat für die numerische Berechnung
by
the
Ha
rva
rd
eines Systemes
kommt
aber in den verschiedensten Gebieten der Analysis
itis
ed
nur eine sehr untergeordnete Rolle,
Anwendung und ist von
Dig
in
bei den
aus
ist
unbestreitbarer Wichtigkeit. Ein ähnliches Bedürfniss
stellt sich
auch
unbestimmten Problemen des ersten Grades heraus, und von diesem Gesichtspunkte
das in
Gauss
Rede stehende Problem
bis jetzt als ungelöst zu betrachten.
hat in seinem berühmten
Werke:
Disquisitiones
arithmeticae
pag.
26
— 30
Problem behandelt, nämlich die Auflösung eines Systemes von mehreren Congruenzen des ersten Grades mit einer gleich grossen Anzahl von Unbekannten und einem gemeinschaftlichen Modulus. Es gibt allerdings Fälle, in welchen ein System von unbestimmten
ein ähnliches
Gleichungen sich darauf zurückführen
lässt; allein dies ist
keineswegs allgemein der
Fall.
Die
4
Ignaz Heger.
daselbst ausgesprochene Behauptung:
„Simili modo^ ut in aequationibus
,
perspicitur, etiam hie
totidem congruentias liaheri dehere, quot sint incognitae determinandae^^ wird nicht erwiesen
und
That unrichtig. Es besteht im Gegentheile gar kein nothwendiger Zusammenhang
zwischen der Anzahl der Unbekannten und jener der Congruenzen, ohne dass dadurch das
Problem unmöglich würde. Eine einzige Congruenz kann genügen, um eine grosse Anzahl
in der
bio
log
iez
en
tru
m.
at
ist
rar
y.o
rg/
;w
ww
.
von Unbekannten zu bestimmen, und eine einzige Unbekannte kann mehrere verschiedene
Congruenzen gleichzeitig erfüllen. Widersprüche, denen man dabei gelegentlich begegnet und
die das Problem uumöglich machen, können sowohl bei einer einzigen Congruenz, wie bei
mehreren solchen vorkommen, gleichviel, wie gross die Anzahl der darin erscheinenden Unbe-
hängen von ganz anderen Umständen ab.
Trotzdem, dass die erwähnte Behauptung sich als nicht stichhältig erweist, ist dennoch der
von Gauss betretene Weg an das Bestehen der Gleichheit in der Anzahl der Congruenzen und
der Unbekannten, als einer unerlässliehen Bedingung gebunden, und es dürfte sehr schwer
kannten sein mag;
eL
ibr
ary
htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t
ylib
sie
anderen FäUe anzupassen, wo diese beiden Anzahlen ungleich
der bekannten Behandlungsweise eines Systemes bestimmter Gleichungen des
He
rita
g
halten, sein Verfahren für jene
sind, weil es
vollkommen nachgebildet ist.
der vorliegenden Abhandlung niedergelegte Methode
eben
Bio
gut
so
für
die
wie
einfachen,
Th
e
sich
für
rom
Die in
div
ers
ity
ersten Grades
ow
nlo
ad
f
Leser, welcher über die Hauptergebnisse dieser
wir
die
ist
ganz allgemein. Sie eignet
complicirtesten
Fälle.
Denjenigen
Abhandlung einen Überblick gewinnen
auf
will,
stehen mit der Lehre der
§.
ganz zu durchlesen, verweisen
gewonnenen
Sätze gewähren die grösste
Die
Zusammenhange.
Determinante in einem innigen
Durchsichtigkeit und erth eilen zugleich der numerischen Berechnung die grösstmögliche
rig
ina
lD
sie
Sie
Ca
mb
rid
ge
,M
A)
;O
ohne
17.
Zo
olo
gy
(
Einfachheit.
1.
Co
m
pa
rat
ive
§•
System von mehreren solchen vorliegt,
welche eine grössere Anzahl von Unbekannten in sich schliessen, als sie zu bestimmen im
Stande sind, und nun unter der Unzahl von Auflösungen, die ihnen entsprechen, jene hervorgehoben werden sollen, bei welchen alle Unbekannten ganze Zahlwerthe besitzen; so zerfällt
of
eine Gleichung des ersten Grades, oder ein
in folgende drei
ay
Aufgabe
Probleme:
tM
diese
rL
ibr
ary
of
the
Mu
se
um
Wenn
ns
Erstens: Es
angegeben werden
,
ob der vorgelegten Gleichung oder
dem gegebe-
rsi
ty,
Er
soll
the
Ha
rva
rd
Un
ive
nen Systeme durch ganze Werthe sämmtlicher Unbekannten Genüge geleistet werden könne.
Diese Frage, deren Beantwortung nur in Ja oder Nein bestehen kann, lässt sich noch in
einer allgemeineren Form, auf folgende Weise stellen: Es soll der kleinste mögliche Nenner
Dig
itis
ed
by
angegeben werden, der einer Gruppe von zusammengehörigen Werthen sämmtlicher Unbekannten eigen ist, wenn man sie in Bruchform auf einerlei Benennung bringt. Die Beantwortuno- dieser verallgemeinerten Frage besteht immer in der Angabe einer bestimmten ganzen
Zahl. Ist dieselbe zufällig Eins, so bestehen ganze Auflösungen, sonst aber nicht.
von den bestehenden Auflösungen in ganzen Zahlen eine einangeben, z. B. jene, bei der gewisse Unbekannte die numerisch kleinsten
Zweitens: Man
und specielle
Werthe besitzen.
Drittens: Es
zige
dargestellt werden.
soll
sollen alle bestehenden Auflösungen in
ganzen Zahlen durch eine Formel
(
über die Auflösung eines Systemes von mehreren unbestimmten Gleichungen
Über
die
allgemeine Form der Auflösung eines Systemes unbestimmter G
in ganzen Zahlen.
1
c i cli u n
ge
2bio
log
iez
en
tru
m.
at
§
5
etc.
rar
y.o
rg/
;w
ww
.
Ein System von n Gleichungen des ersten Grades mit einer überwiegenden Anzahl w?-]-^*
von Unbekannten lässt sich im Allgemeinen auf unendlich viele verschiedene Weisen erfüllen.
Dies findet nicht nur dann Statt, wenn die Werthe der Unbekannten keiner weiteren Bedin-
In beiden Fällen lassen sich
menfassen in eine Formel, in der
diese unendlich vielen Auflösungen des Systemes zusam-
all'
m
unabhängigen Grössen erscheinen. Nimmt
man
keine Rück-
ob die Genüge leistenden Werthe der Unbekannten ganze oder gebrochene
m
Unbekannte, die meist nach Willkür erwählt werden dürfen, die
He
rita
g
Zahlen sind; so können
eL
ibr
ary
sicht darauf,
htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t
ylib
gung unterliegen, als der, das vorgelegte System von Gleichungen zu erfüllen; sondern auch
wenn nur durch ganze Zahlwerthe der Unbekannten dem Systeme Genüge geleistet werden soll.
Rolle der unabhängigen Veränderlichen übernehmen, und die übrigen n Unbekannten sind
Th
e
Bio
div
ers
ity
dann vollkommen bestimmte lineare Functionen derselben. Hat man aber nur jene Auflösungen
im Auge, bei welchen sämmtliche Unbekannte ganze Zahlwerthe besitzen, falls dies überhaupt
Grundgrössen, deren Wahl willkürlich
man nun
Ertheilt
einer jeden dieser
bleibt, insofern
m
man
sie
auf ganze
Grundgrössen nach der Reihe
A)
Zahlen beschränkt.
rig
ina
lD
m
;O
Functionen von
ow
nlo
ad
f
rom
im Bereiche der Möglichkeit liegt, so kann im Allgemeinen keine der Unbekannten die Rolle
einer unabhängigen Grösse übernehmen; sie sind im Gegentheile alle bestimmt, als lineare
ge
,M
ganzen Zahlwerthe und zwar sowohl die positiven, so wie die negativen
;
alle
so liefern die bespro-
Zo
olo
gy
(
Ca
mb
rid
chenen linearen Ausdrücke der Reihe nach und gruppenweise die Werthe der Unbekannten in
ganzen Zahlen, welche das System von Gleichungen erfüllen. Diese allgemeine Form der
ive
Auflösungen in ganzen Zahlen bildet den Gegenstand der folgenden Untersuchungen.
Co
m
pa
rat
Wir betrachten das System:
+
+
lm+l^m+1
+•• +
Im+a'-^m+n ^=^
-m+1 ^'m+1
+•••+
"m+n'^m + n =^
3„.x-„, -\-
i,„+,x„,^,
+
+
3„,+„:r,„+„
n„,x„,
»,„+iX,„+i
+
+ «,„+„A',„+„ —
-^2 -^2
1», -^'m
•
•
•
of
^l"*^!
Is^S
Mu
se
um
12^2
the
+
of
+ •••• +
+
^3 ^3 T"
"T
+ -^m^m "T
Siar, + S^x, -f 83X3 +
+
ll^l
—
ns
Er
cCj
Xo
,
ive
mit den Unbekannten
+ WgX-ä +
-t-
rsi
ty,
«2X3
,
Un
-\-
.
.
.
.
a;,„_^„.
-I-
Die Symbole
1,
,
l,
,
I3
,
.
.
.
.
<»
»,„+„
bedeuten
rd
n,x^
tM
ay
rL
ibr
ary
(1)
''
bestimmte ganze Zahlen vorausgesetzt werden.
Ha
rva
die Coefficienten, die als
dieses
System durch ganze Werthe der Unbekannten
Dig
itis
ed
by
the
Es ist unmittelbar einleuchtend, dass
erfüllt werden könne. Die Werthe:
leisten
Genüge. Es
chungen
scheint, als
ob durch das gleich Null Setzen der zweiten Theile dieser Glei-
die Allgemeinheit der
Untersuchungen beeinträchtigt würde
;
allein
man
überzeugt
sich leicht vom Gegentheile. Das gleich Null Setzen der zweiten Theile gewährt den Vortheil,
dass man von der Voruntersuchung, ob ganze Auflösungen wirklich bestehen, oder nicht,
enthoben ist. Dem ersten Anscheine nach allgemeiner wäre die Betrachtung des Systemes von
n Gleichungen des ersten Grades mit m-\-n Unbekannten:
Ignaz Heger.
(2)
Oi^Cj
-|-
OjX.,
-|-
Og^Jg
?l,X,
+
??22-3
+
?«3-'^3
-|-
042;^
-j-
.
+ "4a^4 +
-|- C),„iC„, -\-
.
.
•
•
+ «»a^» +
l^^'m+l
T
«™+ia^„, + l
+
O^
•
•
•
•
H~
^,„+K^ni4.>,
=
^Ic
bio
log
iez
en
tru
m.
at
6
•
•
+ «,„+„*„,+,,=?*<.
+
o.,.T.j-j—
03CC3
-[-
04X4 -p
/ijCC] -|- n.2X.2 -\-
n^Xo^
-f-
^i^x^
numerisch kleinste
•
"r
.
.
.
-|- o„,
a'„-f- o„_|_i
;^„,.t,„ -|- w„,_|_i a;,„,^j -|-
•
•
"T
.
.
.
-j- -j ,„.)_„ 2?,„+„
.
.
x^,
div
ers
ity
^m+n^'m+„^ ^i^*
•
.
^=:
"J^-^'t
-|- 'n,n^n-^m-\->i^^
'^a-^'*
ccg,
auch zufällig der specielle
Bio
Xj.
^„,+„, x^ erfüllbar.
x^,
ganzen Werthen aufgelöst werden können, im
rom
Th
e
(2) in
dies eine Unmöglichkeit.
ist
Ja noch mehr,
ist
überhaupt
N der
von Null verschiedene Werth, den x^ bei der Auflösung des Systemes
,
eben diese Zahl
so ist
,
;O
ganzen Zahlen erhalten kann
dem Systeme
(2) anstatt
Ca
mb
rid
in
(2)
N der kleinste
Genüge
geleistet
(3)
mögliche Nenner der
werden kann. In der
der Unbekannten:
Zo
olo
gy
(
man
ge
,M
A)
gebrochenen Werthe, durch welche dem Systeme
That, substituirt
-j-
a;,„_|_i
He
rita
g
+ ...-)-
+
^M+l-^m+l
.
den verschiedenen ganzen Werthen von
all'
entgegengesetzten Falle aber
in
•
wird auch das System
vor, so
^m^m
•
durch ganze Werthe der Unbekannten
ist stets
Findet sich nun unter
Werth Eins
~r
ow
nlo
ad
f
denn dieses
-'-•l'^'l
ylib
OjCCi
"]~ •'-a'^'a "I
htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t
l2*'2
eL
ibr
ary
-f"
rig
ina
lD
(3)
ll^^l
rar
y.o
rg/
;w
ww
.
von dem es aber in Zweifel steht, ob es durch ganze Werthe sämmtlieher Unbekannten erfüllt
werden könne oder nicht. Nicht so aber verhält es sich bei dem früher erwähnten Systeme:
ive
x.
of
Co
m
pa
rat
andere
Mu
se
um
(^)
the
of
ay
Unterschiede, dass
tM
dem
,
jCa
,
;C3
,
;£.!
,
Er
^1
.
.
.
rsi
ty,
nung
ns
vor, mit
N ersetzt
;L',„
Brüchen mit dem
nach dem Wegschaffen des Nenners A^gei'adezu das System
so geht
rL
Nenner ^suchen;
so viel heisst, als die Auflösungen desselben in
ibr
ary
was mit anderen Worten
,
;L',„_,.,
it'i,
x-.j,
X3, x^
.... ^,„+„,
die
x^, a;„+i,
Unbekannte
er,,
.
.
.
x^_^^
(3) her-
durch die andere Bezeich-
aber durch den bestimmten Werth
itis
ed
by
the
Ha
rva
rd
Un
ive
kommt. Die Auflösung des Systemes (3) steht daher mit jener des anderen (2) im
innigsten Zusammenhange. Der numerisch kleinste und von Null verschiedene Werth von x,.
entscheidet über die Möglichkeit oder Unmöglichkeit, das System (2) in ganzen Zahlen aufzulösen, je nachdem derselbe gleich Eins, oder davon verschieden ist, und lehrt überhaupt den
Nenner der in Bruchform gesuchten Auflösungen kennen. Die
ganzen Zahl werthe der übrigen Unbekannten Xi, x.,, x«.... x;„^„ aber, welche dem speciellen
Werthe x,=^\ entsprechen, sind zugleich die ganzen Werthe der dem Systeme (2) Genüge
leistenden gleichnamigen Unbekannten jene dem kleinsten von Null und Eins verschiedenen
Werthe x,
zugehörigen aber sind die Zähler der dann nur in Bruchform (4) bestehenden
Werthe der" gleichnamigen Unbekannten in (2).
Hiedurch ist zur Genüge dargethan, dass mit der Auflösung des Systemes (1) trotz des
Dig
kleinsten gemeinschaftlichen
^N
speciellen Falles:
,
über die Auflösung eines Systemes
1,
mehreren unbestimmten Gleichungen
iion
= = = .... = =
3,
2,
»,
()
dor vollständigeu Allgemeinheit der Untersuchung keinerlei Eintrag geschieht.
Gestalt nach bestimmen.
....
:
'Vm-\-n
-
(1) sei. Wir werden nun noch die übrigen zu
Unbekannte von Null verschiedene ganze Werthe
Dass solche wirklich bestehen,
ylib
ganzen Zahlen des Systemes
ermitteln haben, bei welchen einige oder alle
lässt sich erweisen,
htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t
eine Auflösung in
Ifj
X'j
iCj
einen Ausdruck.
rar
y.o
rg/
;w
ww
.
Schon früher wurde bemerkt, dass
erhalten.
Wir wollen
Form der Auflösungen in ganzen Zahlen ermitteln,
ganzen Auflösungen, keine einzige ausgenommen, enthält, seiner allgemeinen
die allgemeine
der in sich alle
d. h.
bio
log
iez
en
tru
m.
at
nun
7
etc.
wie alsogleich geschehen
soll.
Um
aber den Beweis in der einfachsten Weise führen zu können, ohne uns in die Discussion ver-
Ausnahmen
Führung des Beweises keineswegs unmög-
einlassen zu müssen, die die
eL
ibr
ary
schiedener
machen, sondern nur seine Gestalt verändern; wollen wir von den Voraussetzungen ausgehen: erstens, dass das System (1) wirklich aus n von einander verschiedenen Gleichungen
div
ers
ity
He
rita
g
lich
Th
e
die n
Unbekannten:
5
•'^»1+2
)
durch dieselben bestimmt werden können, wenn
•
•
-^m+n
man
die übrigen entweder mit beliebigen Zahl;O
unabhängige Veränderliche betrachtet. Es
A)
als
•
ist
hinreichend bekannt, dass
ge
,M
werthen belegt, oder
.
rig
ina
lD
•^m+i
ow
nlo
ad
f
rom
und Addition hervorgehen könne, und zweitens, dass
Bio
bestehe, d. h. dass keine derselben aus den übrigen durch Multiplication mit gewissen Zahlen
gemachten Voraussetzungen nicht nothwendig immer erfüllt sind, und solche Ausnahmsfälle gar nicht zu den Seltenheiten gehören, wo unter den n Gleichungen eines gegebenen Systemes, zwei oder mehrere von den übrigen nicht wesentlich verschieden sind; ferner,
dass gewisse, der darin enthaltenen Unbekannten, in keinerlei Weise die Eolle der abhängigen
pa
rat
ive
Zo
olo
gy
(
Ca
mb
rid
diese zwei
Form
Co
m
Veränderlichen zu übernehmen im Stande sind; andererseits
ist es
aber auch einleuchtend, dass
Mu
se
um
the
stets
Genüge
of
Ordnen der Unbekannten,
leisten könne.
Bei der allgemeineren
Form
(2)
ibr
ary
des
bei der hier vorausgesetzten
of
der Gleichungen (1) diesen beiden Bedingungen, durch
Weglassen der von den übrigen nicht verschiedenen Gleichungen und durch ein entsprechen-
man
Er
ns
tM
ay
rL
könnte dies ganz allgemein nicht behauptet werden, weil hier ein Widersprechen der Gleichungen im Bereiche der Möglichkeit liegt; und solchergestalt gewahren wir einen neuen Vorzug
Bezug auf
die
Form
der Gleichungen
(1).
Un
ive
diesen Voraussetzungen lässt sich der Beweis, dass auch von Null verschiedene
rd
Nach
rsi
ty,
der hier getroffenen Wahl, in
by
the
Ha
rva
ganze Auflösungen des Systemes bestehen, ohne Schwierigkeit führen, so wie die allgemeine
Form der vollständigen Auflösung in ganzen Zahlen ableiten.
Dig
itis
ed
Man denke sich das System (1) auf bekannte Weise nach x,„^,, »;,„+.,, ••••««+„ aufgelöst,
x„, als unabhängige Veränderliche betrachindem man die überschüssigen Grössen a-, x,
,
,
Die Werthe dieser Unbekannten lassen sieh nach dem, was über Systeme linearer Gleichungen bekannt ist, darstellen in Bruchform. Der gemeinschaftliche Nenner aller dieser
Brüche ist eine bestimmte Zahl, die Zähler aber sind Polynome, welche die überschüssigen
tet.
Grössen
x,,
x.,, ... x,„
Allgemeinen sind
es
enthalten in linearer Form, aber kein constantes Glied besitzen. Also
Brüche von der Form:
im
Ignaz Heger.
8
ilfj, il£,
und ^sind bestimmte ganze Zahlen. Den früher gemachten Voraus^jedenfalls von Null verschieden, da ein Verschwinden dieser Grösse
-Mj,
il/,„
setzungen zufolge
ist
nur in jenen zwei Ausnahmsfällen vorkommen kann, wo entweder nicht
von einander verschieden sind, oder doch wenigstens die w Grössen a:;,„^.i,
,
Gleichungen
a?„,+2,
.
.
.
,
wenn man
In der That erfolgt dies sonder Zweifel,
bio
log
iez
en
tru
m.
at
«3
aller dieser
es
rar
y.o
rg/
;w
ww
.
Werthe
a-j, x.^,
m
nicht
a:,„^„
nun keinem Zweifel mehr, dass man die
x^^ von Null verschieden, ganz und dermassen wählen könne, dass die
Brüche, oder was dasselbe ist, jene von x,„j^^ x^,^^,
x,„_^„ ganz ausfallen.
durch dieselben bestimmt werden. Hier unterliegt
Grössen
alle
für x^,
x^-, ajg
,
.
.
.
a;,„
ganze Zahlen
setzt,
ylib
welche durch A^theilbar sind, und somit ist also erwiesen, dass das System (1) wirklich auch
a?^+„, und
durch von Null verschiedene ganze Zahlwerthe sämmtlicher Grössen cCj, »2, a^a
zwar auf unendlich viele
eine allgemeine Formel alle
erfüllt
.
werden könne. Wir wollen
.
jetzt
durch
eL
ibr
ary
Werthe
dass alle
Unbekannten, welche den unendlich vielen
einer
He
rita
g
lässt sich zeigen,
.
diese unendlich vielen verschiedenen Auflösungen darzustellen
versuchen.
Es
,
htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t
verschiedene Weisen
div
ers
ity
ganzen Auflösungen entsprechen, die Glieder einer arithmetischen Reihe bilden. Bezeichnen
Th
e
Bio
wir mit x den numerisch kleinsten und von Null verschiedenen Werth von CC], der unter allen
möglichen ganzen Auflösungen des vorliegenden Systemes vorkommt. Dass ein solcher wirk-
kann wohl nicht mehr bezweifelt werden, nachdem gerade früher erwiesen wurde,
dass von Null verschiedene Werthe der Unbekannten, also auch von a^j, den Gleichungen genügen. Die diesem kleinsten Werthe x-^ entsprechenden ganzen Werthe der Unbekannten, oder,
Falls deren wieder mehrere verschiedene bestehen, eine specielle Zusammenstellung solcher,
A)
;O
rig
ina
lD
ow
nlo
ad
f
rom
lich existirt,
oder davon verschieden sind, seien:
Null,
gleich
sie
ge
,M
ob
Ca
mb
rid
gleichgiltig,
Es ist nun eine unmittelbare Folge dass auch dann
Werthe mit einer völlig willkürlichen ganzen Zahl ^,, d. h.
a;,„
I
„.
,
die Producte
,
a^g
dieser
,
a;^
.
,
.
.
.
bestimmten
pa
rat
ive
Zo
olo
gy
(
111
iCg
x'2
,
Ci
1
I
.....
a?3 Ci
aj„,^„
CT]
Co
m
X] C]
demnach gleichfalls Null, d. h. diese Werthe erfüllen
Es bestehen demnach unzählig viele Werthe von x,,., die alle durch
und
sind
die
ibr
ary
?i
of
zuo-etretenen Factor
(1).
die
ay
rL
Gleichungen
the
Mu
se
um
of
den Gleichungen genügen werden. In der That unterscheiden sich die durch Substitution dieser
Werthe hervorgehenden Substitutionsresultate von jenen der früheren Werthe nur in dem hin-
Er
ns
tM
Formel
a?i
ive
rsi
ty,
(5)
Un
werden, unter
1
a;iCi
eine völlig willkürliche Zahl verstanden.
^1
Allein ausser diesen
rva
rd
vorgestellt
=
the
Ha
Werthen sind auch keine andern mehr möglich. Gesetzt nämlich, es bestünde noch ein
anderer ganzer Werth von x^ dem auch ganze Werthe der übrigen Unbekannten x\ x'j
der
der sich nicht in der Form (5) darstellen lässt mit andern Worten
'f'm+n entsprechen
,
,
.
.
.
,
,
,
Dig
itis
ed
by
,
durch
£Ci
nicht theilbar
ist;
so könnte
x',
nicht der kleinste mögliche
von Null verschiedene
Werth, so liegt derselbe
ganze Werth sein, dessen
offenbar zwischen zwei zunächst an einander liegenden Werthen der Formel (5) z. B,
x, fällig ist.
1
In der That
— —
1
sei
—
a;,e
und es
ist
offenbar:
—
U
—
— x-,?
1
I
1)
x, dieser
Über die AufllmuHj
abor
g'K'ii'lizeitig
.r,
der ganzer Wertli
Werth, dessen
.r,
—
.r,
luul
,
fähig
mchrcroi
Si/atemc^s roi/
eiiie.i
c zufolge
der liucarcii l'dnu der
wäre
folglich
uielit
.r,
was der früher gemachten
ist,
ein
Icicliiingcii
(
t^ondern
,
Gleichungen
int/n\s/ii)niife7i
— .r,c
x\
der kleinste unmerisehe
Es enthalten nämlich
eine wichtio-e Folgerung wollen wir hier ziehen.
III
Xy
.T.j
,
1
a'3
,
.
,
.
.
.^,„_(_„
.
a:,
die Zahlen:
rar
y.o
rg/
;w
ww
.
Noch
nicht darstellbar wäre.
['>]
Es folgt
einen Werth
Voi'aussetziing widerspräche.
bio
log
iez
en
tru
m.
at
der durch die Formel
i)
(uüiiige leisten-
hieraus, dass keine ganze Auflösung des Systemes (1) bestehen kiinne, in der
besitzt,
etc.
ylib
keinen von Eins verschiedenen Factor gemeinschaftlich, denn wäre ein solcher vorhanden, so
würden
für f
wei-d(Mi
können, ohne dass
ganzer Zahlen, auch Brüche mit eben diesem Factor im Nenner gesetzt
III
C|
^"2^1
7
I
?!
^'.i
1
•
,
•
•
•^',„-|.„Sl
•
eL
ibr
ary
-t'i
htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t
statt
,
aufhören, ganze Werthe zu sein und die Gleichungen zu erfüllen,
aber würde kleinere
a?,
He
rita
g
1
annehmen können, Avas zu dem schon früher erwähnten Widerspruch führen
würde, und demnach unstatthaft ist.
als
könne, so
div
ers
ity
Bio
auch hier bewiesen wurde, dass
gilt dies
keiner andern Form, als in der (5) voi'kommen
Th
e
x^ in
rom
Wenn
a*,
doch keineswegs von den übrigen Unbekannten
ow
nlo
ad
f
Werthe,
rig
ina
lD
selben hier gefundenen Werthe:
*
'
X^i;^
,
.
.
.
.
Bezug auf
die für die-
..
C|
.r„,_(_„
ge
,M
A)
,
;O
<
X.2<^\
in
im Gegentheile zeigen, dass ausser diesen unendlich vielen Auflösungen
noch andere bestehen. In der That setzen wir in den Gleichungen (1)
lässt sich
^
,
.
.
.
X2
-\-
^3 ^''^3^1
1
ive
X.2^=X.j^l;i
T
-^ 3
•
5
•
^m+n—-
•
•
I
»i+i(
unbestimmte Zusätze verstanden, so erhält man neue Gleichungen,
x'„,^„
welche die neuen Unbekannten
.r',
a^'3
,
,
•
•
•
a:^',„+„
sich schliessen
hi
ibr
ary
X.^
und lassen
sich unmit-
X^2
)
"^'3
«^3
,
•
•
Xj^^j^^,
•
X
,^,_|_„
tM
ay
,
rL
U
ihre W^erthe zu
of
wenn man:
X^
(1),
und
the
bestimmen haben. Diese Gleichungen unterscheiden sich von den
telbar daraus ableiten,
^'
^»i+u^l
pa
rat
x\
1
Co
m
x!^
C|
of
unter
== X,
Mu
se
um
X^
(\3j
Zo
olo
gy
(
Ca
mb
rid
Es
rd
Un
ive
rsi
ty,
Er
ns
Sie sind folgende
setzt.
+ %x',+
O2X2 + 33X3 +
...
.
.
by
.
+
+
%„,x'„,
+
3,,„a',„ -f
-I-
n„,x'„ -h »,„+,a;'„,+, -f
+
3„,+,x-',„+, +
2,„^.,a;',„+,
.
.
.
.
.
.
+
+
3,„+„x-',„+„
=
=
«,„+„<„+„
=
2„.+„a'',„+„
(>
Dig
itis
ed
(7)
the
Ha
rva
%x'2
/ZoX'o
+ n.;,x\-ir ...
.
.
•
-|-
<»
System von unbestimmten Gleichungen dar, wenn überhaupt
1 überschüssigen Grössen, und
/M einen von Eins verschiedenen Werth besitzt, aber mit m
Avie
verstatten gleichfalls unendlich viele verschiedene von Null diflferirende Auflösungen
Sie stellen gleichfalls ein
—
,
früher allgemein bewiesen worden. Wendet man hier die eben früher angewendeten Schlussfolgerungen an, so gelangt man zur Überzeugung, dass kein einziger Werth von x\_ bestehen
könne, der nicht durch die Formel:
Denkschriften der m.irhpiii.-naturw. CI. \IV. Ed. AblianclJ.
v.
Nichtmitgl.
*'
10
Ignaz Heger.
.
{
O
^2 ~~ -^2 ^"2
)
2
gegeben wäre, unter a:, eine bestimmte ganze Zahl verstanden, die den kleinsten von Null
verschiedenen Werth angibt, dessen x-i fähig ist, um eine Auflösung des Systemes in ganzen
Zahlen zu ermöglichen, und wo ^2 eine völlig willkürliche Zahl bedeutet. Die Werthe der
alle,
2
Xg
,
,
X ^^^Xj^<;.2
.
,
.
.
3J
.
„,_|_„
^= iC,„_j.„ 1^2
2
a?4
,
...
a;,„^.„
ganze Zahlen vorstellen,
einer speciellen Auflösung des
irgend
die
rar
y.o
rg/
;w
ww
.
2
wo
2
2
2
X ^^^^Xr^q.;,
(yj
aber doch einige, gegeben durch die Formel
2
Gleichungen
in die
(6), so
wenn xj =x.,
erhält man
12
I
(iUj
Xf ^=:
a'j
C|
X^^^
5
gesetzt wird. Substituirt
Xi,qi
-f" •'^2^2
12^
-*'3^'^3^1
5
*^'3
^2
I
man
•
•
•
(8)
12
•^m + n
•
Werthe
diese
ylib
(7) entsprechen,
htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t
Systemes
bio
log
iez
en
tru
m.
at
übrigen Unbekannten sind, wohl nicht
•^m+uCl
*^»i
I
+
h
,
(9)
V)
nunmehr keinem Zweifel unterworfen, dass die beiden ersten dieser Gleichungen
(10) alle möglichen ganzen Werthe von er, und x., liefern, welche in den ganzen Auflösungen
des Systemes (1) erscheinen können. Von den übrigen Werthen (10) gilt dies jedoch nicht
mehr, im Gegentheile bedürfen dieselben alle noch einer Completirung, ausser wenn zufällig
m=2 ist. Diese Vervollständigung der Werthe (10) lässt sich auf dieselbe Weise vollführen,
und
Th
e
Bio
div
ers
ity
He
rita
g
eL
ibr
ary
es ist
—
1
*^
1
A)
fg
Ci -\-
3
C2
eine willkürliche ganze Zahl, x^
Null verschiedenen Werth von
welcher für
aTj
=
,
aber den kleinsten möglichen, von
im Systeme
£»,=
ganze Auflö-
(1)
ive
a^g,
^3
3
Zo
olo
gy
(
hier bedeutet
Ca
mb
rid
CTg
und
»'2?i
ge
,M
^
\
2
=
+ ^i^i
= X3
Xg
+ ^3
;O
^2
1^
^1
12
1
n
rig
ina
lD
•^1
ow
nlo
ad
f
Werthen:
drei completen
Sie führt zunächst zu folgenden
rom
wie jene der früheren Werthe so eben bewerkstelligt wurde.
Co
m
pa
rat
sungen ermöglicht.
Dieses Verfahren der Completirung der gewonnenen Werthe
so lange fortzusetzen,
of
ist
auch der Werth der letzten
Ist
aber dies geschehen,
the
of
•
^,„+n vollständig,
ibr
ary
,
da
vervollständigt worden.
auch die Werthe der übi-igen Unbekannten x^^^
durch die vorliegenden 71 Gleichungen vollkommen
,
Grössen
x^
x.,
,
verfügt hat.
x„,
•
,
tM
die überschüssigen
Er
ns
gelangt so zu den folgenden Werthen:
rsi
ty,
Man
sie
man über
ay
bestimmt werden, sobald
x-,„
sind dann
so
rL
x„^2
überschüssigen Unbekannten
Mu
se
um
bis
ive
1
Xj ^j
Xj
Un
12
12
Xii ^j
Xo
-j-
Xg ^o
+
^33
X,n
=^^,Jl
+
X,.S,
+
a?„.e3
'^ni+l
^^
T~
^m +
^ni + i
itis
'
Form
3
C'j
f 1 T" ^m+l
3
schliesst in sich
'?2
-'s.
»
m
"^3
S;
3
2
)
Diese
s2
^= Xg
Dig
12'
~j~
Xg
ed
by
the
Ha
rva
rd
1
X.)
+
m
+
^.nl,.
m
.
\
^3 "V
!
*^m+l ^m
'"
^
willkürliche ganze Grössen
^,
nämlich, als überschüssige Unbekannte in den Gleichungen (1)
f
,
Cj
.
fg
,
.
•
erscheinen,
•
$„„ so viele
und diesem
Vber die Aiißösio/g eines Siistomes von mehreren inihestimniten Uleichangeii
Unistande
Systemes
ist
es
zuzuschreiben,
dass
alle
ganzen
in;>L;li<'lien
AuHfisungon des
gewonnen werden künnen, indem mau den
aus diesen Formeln
(1)
wii-klich
11
etc.
darin erseliei-
m
L'nbekannten
:
Ci
Grössen
a-„,+,
I2
,
x„,^.,
,
Die Grössen x^
,
Ci
x\,
,
x^ deren drei:
;
,
.
,
.
Xg
,
C3
.
.
a-„,_,_„.
.
.
.
,
•
und nur
I3
,
gerade so, wie
sich,
der numerisch kleinste von Null verschiedene Werth, dessen
fähig
ist,
eL
ibr
ary
worden;
=
aber nicht überhaupt, sondern für x^=x.2
zulässige nicht verschwindende numerische
Werth von
u.
cc,,,,
s.
wenn
x^
ist,
nämlich
ist
ohne irgend
rig
ina
lD
hat:
-^i
die Grössen
aj„,^i
erscheinenden überschüssigen Unbekannten
alle darin
^1
übrigen überschüssigen
alle
a:„,^.2
,
.
.
.
in
folgender
m
"
•^m—\
•'-i
,
gehen durch Auflösung der Gleichuiigen
sie
;O
Weise verfügt
endlich der kleinste
ow
nlo
ad
f
wenn man über
denn
1
•'^m
ge
,M
A)
(1) hervor,
,
a'„,
rom
vollkommen bestimmte Zahlen
w.
Th
e
Bio
Unbekannten gleich Null gesetzt werden. Dessgleichen' sind auch
•^'ra+«
übrigen abhängigen
numerische von Null verschiedene Werth dessen
Xj ist der kleinste
He
rita
g
.^•3
gesetzt
div
ers
ity
kleinste
:=
alle
a'„,
Unbekannten einen gebrochenen Werth aufzunöthigen; x., ist ebenso der
numerische, von Null verschiedene Werth von x.^. aber unter der Voraussetzung, dass
einer der übrigen
x'i
a-.,
:
letzte
überhaupt fähig
x-^
Ci
derselben
die
vollkommen bestimmte Zahlen:
sind
x„,
.
Ci
c„, ii>
•
Co
<
rar
y.o
rg/
;w
ww
.
enthält alle
^o
näiuli
ylib
deren zwei:
enthält
enthält nur eine einzige derselben.
.x\
:
htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t
vorkommen
schüssigen Unbekannten
bio
log
iez
en
tru
m.
at
nenden willkürlichen Grössen alle möglichen ganzen (sowohl positiven, wie negativen)
Werthe ertheilt. Man bemerkt ferner, dass diese willkürlichen Grössen nicht in allen über-
112
*'?«•
untercCg
Xg
den Formeln (12) erscheinenden Grössen
liegen noch immer einer gewissen Willkürlichkeit, die aber der Brauchbarkeit derselben
Es
nämlich klar, dass x,
ist
a:;^
nm
,
,
ein Vielfaches
von
,
.r.>
.
.
.
.
nach Belieben
bestehende Formel aufhören wird, alle möglichen
of
liefern.
Gleiches
gilt
von allen übrigen Grössen
x^
,
Mu
se
um
ganzen Werthe dieser Unbekannten zu
x..
Co
m
geändert werden könne, ohne dass die für
pa
rat
ive
keinerlei Eintrag' thut.
Zo
olo
gy
(
Ca
mb
rid
Alle übrigen in
2
Formel der erwähnten Art, sondern
ig
Es besteht demnach
unendlich viele verschiedene, die aber alle in Bezug auf Brauchbarkeit gleichen Werth besitzen.
Diese Willkürlichkeit lasst sich freilich wohl auch beheben, man dürfte nur z. B. die Bestim.
.
.
.
tM
Grössen:
treffen, dass alle
1
X.,
•>
1
Xo
,
Xi
Dig
itis
ed
by
the
Ha
rva
rd
Un
ive
rsi
ty,
Er
ns
mimg
ay
rL
ibr
ary
of
the
,
nicht blos eine einzige
die numerisch kleinsten
so
würde
und positiven Werthe erhalten
sollen,
deren
sie
überhaupt
fällig sind,
alsogleich jede Willkürlichkeit verschwinden.
Die in diesen Formeln angenommene Ordnung der Unbekannten lässt sich in den meisten
Italien durch jede beliebige andere ersetzen, allein in gewissen Ausnahmsfällen, die später
genauen Erörterung werden gemacht werden, besteht auch in dieser
Hinsicht eine gewisse Beschränkung, da sich bisweilen einige Unbekannte nicht dazu eignen,
die Rolle der unabhängigen Veränderlichen zu übernehmen. Avas im Grunde hier
zum Gegenstande
einer
schüssigen Unbekannten thun.
Ignaz Heger.
12
Die hier aufgestellte Form der allgerueinen Auflösung unbestimmter Gleichungen des ersten
Grades ist keineswegs die einzige mögliclie, denn es lassen sich auch andere, namentlich voll-
kommen symmetrische Formen
man
Stande sind, allein
und
,
gleichfalls alle
dann
ist
möglichen ganzen Auflösungen zu
liefern im
Werthe einiger der willkürlichen Grössen
wenn man nicht Gefahr laufen will eine und
genöthigt, die
innerhalb bestimmter Grenzen einzuschliessen,
dieselbe Auflösung zu widerholten
willkürliche ganze
Malen daraus zu
bio
log
iez
en
tru
m.
at
in sich schliessen
m
als
erhalten.
Die hier aufgestellte Form, die nicht symmetrisch
rar
y.o
rg/
;w
ww
.
Grössen
mehr
für dieselben finden, die sogar
besitzt aber
ist,
,
den Vortheil, dass
sie
und keine einzige wiederholt, und dies ist der Grund, warum wir ihr
vor allen übrigen den Vorzug unbedingt einräumen, wenn es sich um wirkliche Auflösung des
Svstemes handelt. Die symmetrischen Formen hingegen eignen sich sehr gut, um vermittelst
der Substitutionsmethode die Auflösungen eines Svstemes von Gleichungen zu bewerkstelligen
und die für dieselben geltenden Eegeln abzuleiten. Wir fanden es aber zweckmässiger, von
Auflösungen
liefert
Methode Gebraucli zu machen.
He
rita
g
einer andern
eL
ibr
ary
htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t
ylib
alle
div
ers
ity
andere Zahlen:
Bio
welches im zweiten Theile der Gleichungen
(2) abzuleiten,
1^
2^.
.
,
3i.
,
.
.
aufweiset.
.
Denkt man
sich
statt
der Nulle,
nämlich zuvörderst die
allge-
ow
nlo
ad
f
,
Th
e
anderen Systemes
rom
in
Die unmittelbare Betrachtung dieser allgemeinen Form der Auflösung des Systemes (1)
ganzen Zahlen verstattet nun unmittelbar, auch die allgemeine Form der Auflösungen des
rig
ina
lD
meine Form der Auflösungen für das System (3) gebildet, welches noch eine weitere Unbekannte x,. enthält, der wir den ersten Eang einräumen wollen so gelangt man zur folgenden
s-
Xj. ^,1
Ca
mb
rid
^=
X/.
ge
,M
A)
;O
Formel
,
12^
12
^
^
ive
Zo
olo
gy
(
1
3
+
+ a;3?2
pa
rat
=»"3 Co
+3^3 ^1
Co
m
a*3
12
Mu
se
um
the
-—
•^m+1 Co
x,„-(-„
^=
•'^,„-(-».
of
^»l+l
-^«i
+
l
?'l
.
"^ )«+)!
Ci
-r
.
.
3
-^m+l Co ~r •^»i+l C3
m
+
-p ^,„+lC,„
ay
rL
ibr
ary
1
.
;
of
(13)
a^sCa
2
1
Co
n
3
•^»j+ji
+
C2 ~r •^m+n C3 ~r
willkürlichen ganzen Grössen versehen und liefert alle möglichen ganzen
(2).
Gesetzt nun, es wäre zufällig:
the
Ha
rva
rd
Auflösungen des Systemes
=
1
by
ed
1 ein
möglicher Werth
itis
=
,
der auch den übrigen Unbekannten Xi
,
x.,
,
....
x,„^„
ganzen Zahlen aufgelöst werden
ganz zu sein, so wird auch das System (2) in
Die vollständige Formel für die ganzen Auflösungen desselben geht aus den (13)
verstattet,
können.
Xf.
Dig
also x^
C,»
ive
1
Un
Sie ist mit TO -f
m
-^m+n
rsi
ty,
Er
ns
tM
11
hervor für x,^^l
,
also für f^
Xj
X.,
=
1.
Sie
— x^
ist
folgende:
1
-f-
X^ Ci
k
über die Auflösung eines Systemcs ron mehreren nnbestimmten Gleichungen
12
2
3
4-a',,.'?..
+a;„.l3
•^M+1 ^^^
•'^'m+l
"T
•^»1+1 Cl
1
U
3
^m+I So ~r ^m+I Cn
-2
1
+
+
+
a-,„ jf„,
"'
-(-
^^«i+lCm
//i
:)
u
u
ü
lyt
,-y»
•
1
•*':!
'
•'-i
-y^
,
.
Auflösung der Gleichungen
*,„-(-„
•
•
ganzen Zahlen,
(2) in
haben die bekannte Bedeutung.
hingegen
Ist
in
die übrigen Glieder
htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t
rgeuil eine specielle
•
ylib
^w
rar
y.o
rg/
;w
ww
.
Hier hcdeutct nun
•*
•
»
bio
log
iez
en
tru
m.
at
=3',,,
11^
m
I
+a'„,^,
U
^«
1+)
etc.
von Eins verschieden, zum Beispiele gleich N, so verstattet
keine ganzen Auflösungen. Es wird aber die Auflöslichkeit des
(13) x^
eL
ibr
ary
offenbar das System (2)
ganzen Zahlen allsogleich möglich, wenn man alle im zweiten Theile dieser
.... n,. mit der Zahl ^multiplicirt. Dies
2,.
Gleichungen erscheinenden Constanten 1^
geschieht aber geradezu, wenn man die Unbekannten in Bruchform (4) mit den Nenner
(2)
in
,
N
div
ers
ity
,
He
rita
g
Systemes
X,
=~
X,
z=--(x.,
X, C,
+
X.Ci
gegeben sind durch
die Formel:
)
;O
'
^
+
(3)
rig
ina
lD
1
(.T,
10
N
12'
u
1
ow
nlo
ad
f
versehenen Auflösungen des Systemes
10
+
A)
iV"
ge
,M
Nenner
^^2^2)
Ca
mb
rid
kleinsten
rom
Th
e
Bio
aufstellt; und die ganzen Auflösungen, gezogen aus den solchergestalt veränderten Gleichungen, sind die Werthe der Zähler dieser Brüche. Es folgt hieraus, dass die mit dem
2
ä
^
\
^x„J,
+ xj,
'"
+
+
^
\
x,„c,„)
of
x„,^,
"
1
™
3
2
;>
\
"*
3
2
ay
1
II
tM
1
rL
ibr
ary
of
the
1
3
Co
m
+
=-^ix„.
Mu
se
um
x„,
2
1
J
(15)
pa
rat
ive
Zo
olo
gy
(
1
rva
rd
Un
ive
rsi
ty,
Er
ns
X.
Über Systeme von zwei Gl eicliu ngen mit mehr
als
zwei Unbekannten.
ed
by
the
Ha
,
3.
Dig
itis
§•
(16)
+ b,7j + c,z
-\-c,z-\a,x +
a,x
-\-
b.,i/
sei
+ d,u + e,v -4^g,w=k\
+ d.Ai -f e,r + g.,w =k,
das gegebene System von zwei Gleichungen des ersten Grades mit einer beliebig grossen
Anzahl von Unbekannten: x
1.
,
y
^
i
^
.•<",
•y
,
w.
Erörterung derBedingung für das Vorhandensein ganzer Auflösungen.
Die Frage, ob einem vorliegenden Systeme von zwei Gleichungen ganze Werthe der
Unbekannten genügen können, oder nicht, lässt zwar in einem jeden speciellen Falle nur
Ignaz Heger.
1-i
immer
Wegen
eine einzige Beantwortung zu: Ja oder Nein; allein
man kann
auf sehr verschiedenen
zu diesem Endresultate gelangen. Die Beantwortung dieser Frage kann nämlich nicht
Ansehen der Gleichungen erfolgen, sondern erfordert immer eine
Rechnung. Dieses Kechnungsverfahren kann jedoch auf sehr viele verschiedene Weisen eingeleitet werden, und alle diese verschiedenen Welsen führen zu demselben Endresultate; aber
nicht alle sind von gleichem Werthe in Bezug auf Einfachheit und Übersicht. Ich bin durch
eine sorgsame Prüfung all' der verschiedenen möglichen Methoden zu einer bestimmten Regel
gelangt, welche vor allen übrigen einen unbestreitbaren Vorzug der Einfachheit und Allgebesitzt.
lautet folgendermassen
Man
:
bilde aus den Coefficienten der beiden
ylib
Die Regel
htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t
meinheit
rar
y.o
rg/
;w
ww
.
bio
log
iez
en
tru
m.
at
unmittelbar, durch blosses
gegebenen Gleichungen:^
Dig
itis
ed
by
the
Ha
rva
rd
Un
ive
rsi
ty,
Er
ns
tM
ay
rL
ibr
ary
of
the
Mu
se
um
of
Co
m
pa
rat
ive
Zo
olo
gy
(
Ca
mb
rid
ge
,M
A)
;O
rig
ina
lD
ow
nlo
ad
f
rom
Th
e
Bio
div
ers
ity
He
rita
g
eL
ibr
ary
«1
{a
.
[ae)
,
umiiittelbar einleuolitend. dass
ist
((>c)
[he]
und
^'„
[de).
(c-e)
.
^'„
zwei relative Primzahlcu sind, denn jeder Factor,
welcher diesen beiden Zahlen gemeinschaftlich zukäme
(irössen der
Gruppe
und der andern
(18)
würde auch
.
(19), somit in
um
= ^„
{ag) = cPM)
=
.
(6 e)
•
{bg)^4>^{h<^)
^-^(b c)
{d e) =^
{ce)=(p„{Ct)
.
(c^r)
,
.= ^^(cg)
,,
.
.
(c?^)
•
(f ,^{\i t)
= ^.(bg)
,
(o'.ry)
=
^^, (e
g)
Bio
(a e)
e)
Th
e
(20) (a
(^bc)='ip,,(\it)
.
ersichtlicli
eL
ibr
ary
[ac) =f'„(aci
,
Faetoren
ylib
(a b
He
rita
g
(p^^
div
ers
ity
=
di(\se
htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t
zu machen, die neuen Bezeichnungen ein:
b)
gleichzeitig in allen
Grössen (17) erscheinen, was
allen
der gemachten Voraussetzung widerspräche. Führen wir nun.
((/
bio
log
iez
en
tru
m.
at
so
[ar)
rar
y.o
rg/
;w
ww
.
[\9)
())
ow
nlo
ad
f
rom
wobei
(bc)
,
(b e)
c)
(c e)
,
(b c)
,
Zo
olo
gy
(
(rt
Ca
mb
rid
ge
,M
A)
,
;O
(nc)
(21)
rig
ina
lD
(ab)
Cruppe von Zahlen anzusehen ist, welche keinen von Eins vei'schiedenen Factor
gemeinschaftlich besitzen können, und für die andere Gruppe
eine
(ag)
Wir müssen
(cg)
(bg)
,
(cg)
,
hier die Relationen:
rL
ay
«1 (6 c)
Er
ns
tM
(23)
,
of
gilt.
ibr
ary
genau dasselbe
(bg)
.
the
(22)
Mu
se
um
of
Co
m
pa
rat
ive
als
=
=
b, [a c) -f c, (« b)
b,
(a c)
+
c,
{a b)
Un
ive
rsi
ty,
a, (b c)
—
—
rva
rd
vorausschicken, von deren identischem Erfülltsein
man
unmittelbar überzeugen kann,
sicli
{ab)
the
Grössen
,
(bc)
(ac)
,
Dig
itis
ed
by
die
Ha
durch ihre binomischen Wertlie ersetzt und die dabei
möglichen Reductionen durchführt. Solcher Relationen lassen sich hier so viele Paare aufd e g Combinationen zu dreien zulassen. Sie
c
b
stellen, als die Grössen a
c beziehungsweise durch
b
lassen sich aus den (23) ableiten, wenn man die Grössen a
wenn man
,
,
,
.
.
.
.
,
,
,
,
jene der andern Combination: a
nicht zu zweifeln.
,
b
,
d
;
a
,
b
,
e
.
;
.
.
An
ersetzt.
ihrer
Giltigkeit
Für unseren Zweck bedürfen wir jedoch nur jene Relationen, welche g
ist
m
g enthaltenden Terne entsprechen. Ihre Anzahl kommt
e zulassen. Denkt man
d
c
b
gleich der Anzahl Amben, welche die Grössen: a
so findet
sich dieselben gebildet, dabei aber die neuen Bezeichnungen (20) eingeführt,
sich
schliessen,
also
einer
,
man:
,
,
.
.
.
.
,
Ignaz Hege?-.
(24
[«
(l^i
*p9
[«
(Ci 92)
4',^,
[h
(c, 93)
—
—
—
[d
(e>
—
92)
92)
=
=
c) =
^,5r (a,
c (b, B,)]
+
+
+
cp,^,g
(b,
e (bi
+
f.
(b> £2)
b (Ol
9-2
)
]
c (a, g;)]
9-i)]
9, 9
(
<7
'ii ^"2)
c,
<-»
1
=
bio
log
iez
en
tru
m.
at
IG
Jede dieser Gleichungen repräsentirt im Grunde zwei Gleichungen, indem man den ohne
den andern 2 beifügen kann.
und addirt
0.
,
man
Multiplicirt
alsdann; so erhält
sie
soAvohl den Index
als
1
diese Gleichungen beziehungsweise mit
man
Ö,
Form:
eine neue Gleichung von der
(25
in
^'„
)
welcher
A
A+
+
.g [ia, b,) 6, 4- (0, c) e,
Ausdruck
ein mehrgliedriger
htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t
ylib
0.,
a,ft,c,....f/,e,^
Coeffifienten:
rar
y.o
rg/
;w
ww
.
Stellenzeiger versehenen
{{\ C,) ^3
+
+
=
(öl C2) Ö.]
<»
dessen Gestalt uns aber nicht weiter interessirt.
ist,
Wählt man nun
die bisher
massen, dass
sämmtlich ganze Werthe erhalten und zugleich die Eelation:
eL
ibr
ary
rig
ina
lD
+ ^^''.=
bedeutet nunmehr,
ge
,M
A)
wie leicht einzusehen, eine ganze Zahl.
Ca
mb
rid
g durch ^^ theilbar sein, und da ^^ und
dass geradezu g den Factor ^^ in sieh schliessen müsse. Dies
und man kann durch die neuen Bezeichnungen:
unmittelbar, dass ^^
.
.
.
ä„ der-
1
Diese Gleichung zeigt
relative
4>,j
gilt
Primzahlen
sowohl für
^j
,
sind,
wie inv g.,,
Co
m
pa
rat
ive
Zo
olo
gy
(
.
.
<»
;O
A
=
,
in:
^.,A
(27)
(b, c,) ä„
0^
Grössen (21) keinen von Eins verschiedenen Factor
diese unbestimmte Gleichung in ganzen Zahlen auf-
die
Gleichung (25) über
löslich ist; so geht die
+
e,+
(b. c,)
div
ers
ity
was immer möglich ist, indem
gemeinschaftlich besitzen und demnach
erfüllen,
und
He
rita
g
+
,
Bio
a, c,) 0,
ß.,
Th
e
(
^
rom
+
(a, b,) 0,
(26)
f)j
ow
nlo
ad
f
sie
unbestimmt gelassenen Multiplicatoren
Dieser Factor
aber zugleich der grösste
the
ist
Mu
se
um
of
diesen Factor ersichtlich maclien.
gemeinschaftliche Theiler von
g^
und
kann auf folgende Weise eingesehen
werden: Jeder in g^ und g., gemeinschaftlich ercheinende Factor muss nothwendig auch in
verknüpften Grössen (18) vorkommen, weil sie Binome sind, deren erstes Glied
allen mit
h.
i],
und
sind relative
130
of
d.
Dies
Primzahlen.
ay
rL
ibr
ary
g.>
ns
Er
^.,,
das zweite g^ besitzt.
rsi
ty,
den Factor
tM
(jT
Würde nun
ausser
4)^
noch ein anderer Factor gleichzeitig
und in g., erscheinen, so müsste auch in den Grössen (18) ausser ^^ noch dieser andere
Factor vorhanden sein. Aber es wäre dann nicht jA^, sondern ein Vielfaches von ^^ der grösste
gemeinschaftliche Divisor dieser Grössen, was den gemachten Bestimmungen widerspräche.
Es kann somit ausser ^^^ kein anderer Factor gleichzeitig in g^ und g.^ erscheinen und ^^ ist ihr
Dig
itis
ed
by
the
Ha
rva
rd
Un
ive
in g^
grösster gemeinschaftlicher Divisor
d.
h.
i:|o
.
fl,
sind relative Primzahlen.
Demnach
ist
der
obige Satz erwiesen.
§. 5.
2
gen
.
H
(10)
(29)
i 1
fs s
a t z. Leitet
man
aus den ursprünglich gegebenen zwei Gleichun-
zwei neue, ihnen gleichgeltende:
rt/
X
-\-
b; y -h <; s -f
.
,
.
.
.
-j- r/,' 2(
-f e/ w -^
g;
iv
= k;
Auflosung eines Systemes
Tiber die
a^x
(;^0
ah:
II (I
i
(l
io
c/s
diu
-'-
-f
-\-
unbestimmtpii (llrirlntiiqon
17
+ glw=:k.J
e^v
diesem neuen Systeme en tspredi cnd
Oi'ös.«en:
e n
.
(a/^r.;)
.
<)
(XV
.
[b; e:)
,
(c/e,')
(c?/e;)
(^./^r;)
.
(c'g:)
(d,'
(^i'6;)
.
(X/cV)
[k,'d:)
gl)
(e/^r,')
.
ylib
(ö/e,')
(^ve3')
htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t
(31)
rar
y.o
rg/
;w
ww
.
bio
log
iez
en
tru
m.
at
H(i s
+
h.Uj
-\-
roii nielircrcu
.
enen des ursprünglichen Systemes;
(kig.:)
,
(6,63)
.
(k^bo)
(0,6,)
.
(c^fea)
Th
e
(a, e,)
Bio
(32)
div
ers
ity
He
rita
g
eL
ibr
ary
(«1 bo)
.
(/^iC.,)
.
(Xi(?a)
•
{k^e^)
.
[k^g.^)
rig
ina
lD
(ÄJi«,)
ow
nlo
ad
f
rom
2;
man
gleichgeltende abzuleiten vermag,
A)
aus den ursprünglichen Gleichungen neue, ihnen
bekannt.
ist
ge
,M
dessen
mittelst
Man
Ca
mb
rid
Das Verfahren,
;O
prop ortional.
multiplicirt
nämlich die erste und die
man
eine neue Gleichung. Wiederholt
ive
alsdann, so erhält
Zo
olo
gy
(
zweite mit irgend welchen Zahlen, die völlig willkürlich gewählt seiü können,
pa
rat
anderen willkürlich gewählten Multiplicatoren, so erhält
und
addirt sie
man dasselbe Verfahren mit zwei
man eine zweite Gleichung. Diese
dem ursprünglichen Systeme vollkommen gleichgeltend, wenn
man bei der Wahl der Multiplicatoren eine einzige Vorsicht gebraucht hat, von der alsogleieh
Erwähnung geschehen soll. Bezeichnen wir mit ^j, ^^ die beiden zuerst erwähnten Multipli(29) die entsprechende Gleichung, mit
ibr
ary
und mit
catoren
of
the
Mu
se
um
of
Co
m
zwei neuen Gleichungen sind
/i^,
/i^
die beiden
anderen Multipli-
welche zur zweiten neuen Gleichung (30) führen-; so sind, diese zwei Gleichungen für
Werthe der Unbekannten erfüllt, welche dem ursprünglichen Systeme genügen, und noch
ns
rsi
ty,
Er
alle
tM
ay
rL
catoren.
wenn
die beiden Quotienten t^
Un
ive
überdies von einander verschieden,
wenn
rva
leicht einzusehen, dass die hier
the
by
alten die einzio- möa:liche sei
ed
dem
auch
,
X^/x.^
—
Ao/ii
—
ungleich ausfallen,
von Null verschieden
ist.
erwähnte Ableitungsweise neuer Systeme
da bei allen übrigen erlaubten Transformationen und
itis
aus
ist
die Determinante
Ha
Es
rd
oder mit anderen Worten,
und
Dig
Combinationeu der Gleichungen die lineare Form derselben verloren ginge, abgesehen davon,
dass neue
aufstellen,
^.1
,
^
/jt]
,
tienten
—
Wurzeln eingeführt würden. Trotzdem lassen sich dennoch unendlich viele Systeme
die alle dem ursprünglichen vollkommen äquivalent sind, weil die Multiplicatoren
auf unendlich viele Arten gewählt werden können, ohne dass die beiden Quo,
/J..2
und
—
gleich werden.
Wir übergehen
es hier, diese
Behauptungen zu erweisen und
weiter zu erörtern, da dieselben als bekannt vorausgesetzt werden können
zmn Beweise
Man
,
und schreiten nun
des obigen Satzes.
hat unter den angegebenen Umständen:
Denkschriften der mathem.-naturw.
CK XIV.
E<1.
Abhandl. von Niciitmitgl.
^'
Ignaz Heger.
18
ciy
«.,'
= a^ki + a.,h
=
Oj/ij
eine Reihe
(57)
und
-{-
a.2iu
,
h^'
--^b^A^
,
bj
= bji^ +
von Gleichungen,
die
-\-
,
b.^/jL.,
,
=
cV =
c/
im Grunde nur
Aus ihnen
(58) feststellen.
b.,L
c-j >^j
Co
-)-
Ci/ij -\- c^jio,
^2'
^=
/w/x, -f A'o/i.
-|-
k.,k,
neuen Gleichungen
rar
y.o
rg/
;w
ww
.
ylib
(h'b.^)
,
Aus diesen Gleichungen
(61 Co)
(>^,
/io)
{b; g.:) ={b,g.;){k,n.^
.,
{k;a.^):^{k,a,){k,iu)
z=
Co')
(6/
,
= {a,g.^{k,n.^
für die übrio-en Grössen:
eL
ibr
ary
(«1 Co) {ki /io)
{a,h.;){K,j..;)
htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t
man
findet
=
=
(h:g.^) =
{< g-i)
He
rita
g
{a;g.;)
=
Icyk^
=
ik,b.;){kji,)
man, dass
{ßig-^iKlJ-^)
(k,g.;)(k,/x,).
div
ers
ity
(35)
Co')
=
nun unmittelbar:
folgt
{
(34)
(«/
,
k^
die Ableitungsweise der
also
und auf dieselbe Weise
4
bio
log
iez
en
tru
m.
at
(33)
Grössen (31) des neuen Systemes den
Grössen (32) des ursprünglich gegebenen proportional sind, womit der obige Satz erwiesen
ist, und zwar lassen sie sich durch Multiplication mit (kifi.,) =Xi/io
-/lo/ii aus ihnen ableiten.
die
Th
e
Bio
ersieht
ist
der aus der Theorie der Determinanten bekannte Satz von der Multiplication der
rig
ina
lD
Dies
ow
nlo
ad
f
rom
—
Wenn
bei einem Systeme von zwei Gleichungen die Detereinen grössten gemeinschaftlichen Divisor ^ besitzen und
ive
Hilfssatz.
minanten
tJ-
(17)
pa
rat
3.
§•
Zo
olo
gy
(
Ca
mb
rid
ge
,M
A)
;O
Determinanten.
{k,a,)
(Ä-,6o)
.
,
(^,Co)
(k,d.^
,
(k,e.^
.
[k,g.;)
the
(36)
Mu
se
um
of
Co
m
derselbe auch in den Determinanten
of
Factor erscheint, so lässt sich ein anderes System von zwei Gleichungen
(29) und (30) ableiten, das demselben vollkommen äquivalent ist, und bei
welchem die Determinanten:
rsi
ty,
Er
ns
tM
ay
rL
ibr
ary
als
rd
Un
ive
(«,;&,')
{b;c.;)
,
itis
«d')
.
{b;d:)
.
(c/d')
{b;e:)
.
(c/a/)
(d:e^)
ib;g:)
,
{c;g:)
{d;g:)
Dig
(37)
ed
by
the
Ha
rva
(ß/cj')
(«/<)
K^/)
,
,
,
{e;g:)
keinen von Eins verschiedenen Factor gemeinschaftlich besitzen, ohne
dass die Coefficienten G!',6'.....e',(/'.Ä;'aufhören, ganze Zahlen zu sein.
Die neuen Gleichungen werden abgeleitet durch Multiplication der ursprünglichen Gleichungen mit schicklich gewählten Multiplicatoren und Addition Avie dies im vorhergehenden
Lehrsatze umständlicher besprochen wurde. Dies ist nämlich die einzig mögliche Weise,-'aus
,
über die Atißömng eines Systemes von mehreren Hübest immten Glciclniugen
einem Systeme vou
es ist
/.wci Gleieliungeii ein
demnach unmittelbar
catoren
/^
,
L
.
/t,
.
/i,
19
etc.
anderes vollkommen glcichgeltendes abzuleiten und
Wald der
einleuclitend, dass nur durch eine geeignete
der gewünselite Z^veck erreicht werden könne,
falls
derselbe überhaupt
X,
,
/i^
,
/i
,
,
wo dann auch
.
noch den anderen
jj
rar
y.o
rg/
;w
ww
.
},i
Zahl bedeutet, die Grössen ausser dem Factor
,
dass die
seien und
hervorgehen. Hieraus folgt nun wieder,
(>^i/i.)
dass für ganze Zahlwerthe der Multiplicatoren
bio
log
iez
en
tru
m.
at
im Bereiche der Möglichkeit liegt. Im vorhergehenden Lehrsatze wurde erwiesen
Determinanten des neuen Systemes jenen des ursprünglich gegebenen proportional
namentlich durch Multiplication derselben mit
Multipli-
{Xji.^
fi.^
eine ganze
also
im Ganzen
(,^j
,
,
htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t
ylib
den Factor ^ (X^ /x,) gemeinschaftlieh besitzen werden. Der gewünschte Zweck wird daher
durch ganze Zahlwerthe der Multiplicatoren X^ X., /x^ /x, niemals erreicht, sondern nur
,
,
durch gebrochene und namentlich mit dem Nenner ^ versehene
solche, die so zu
ganze Zahlen zu
6,'
c/
,
.
,
.
f?/
.
sein, so ist der
6,)=^_
e/
(//
,
,
k^'
aj
,
gewünschte Zweck
(a^c,)
,
,
He
rita
g
/x,
dermassen zu wählen, ohne dass die
6.,'
,
c.,'
erreicht,
,
.
.
.
clj
,
ej
,
gj
LJ aufhören,
= —^
,
{b^c,)=^^
,..
ive
Zo
olo
gy
(
Ca
mb
rid
ge
,M
A)
;O
Es erübrigt nur noch, die Möglichkeit einer solchen Wahl darzuthun.
Wir wollen hier die vollkommen analytische Behandlung dieses Problemes geben, weil
für die späteren Probleme wichtige Aufschlüsse ertheilt.
Die Bedingungen sind:
the
= b;
b,x,
by
the
Ha
rva
rd
Un
ive
rsi
ty,
Er
ns
tM
ay
rL
ibr
ary
of
+
ed
6, A,
itis
(ii)
Mu
se
um
of
Co
m
pa
rat
(iO)
Dig
sie
,
denn man hat dann:
rig
ina
lD
(«,
,
,
,
div
ers
ity
,
/ij
X.,
,
Bio
a^
.^i
Th
e
:
a/i,)=7
also
l
Gelingt es, die Multiplicatoren
Coeflficienten
(39)
=
sind,
rom
ausfällt.
f(^/A.)
ow
nlo
ad
f
(38)
wählen
eL
ibr
ary
dass
(12)
6,/ii
+
b,ii,
= b:
Ignaz Heger.
20
anderen aber nicht
Weise herausschaffen und
die Letzteren durcti Elimination auf bekannte
,
von den dabei erhaltenen Gleichungen, welche nur noch jetzt diejenigen Unbekannten in sich
Werthe ganze Zahlen sein sollen, zuerst allein Gebrauch maclien. Man verwandelt dadurch das Problem in ein anderes, welches nur die Unbekannten der einen Gattung
enthält und nur durch ganze Werthe der darin erscheinenden Unbekannten erfüllt werden
Die zu eliminirenden Grössen sind hier die folgenden vier
man
Form
:
k^
,
X^
eine Vorsicht zu beobachten haben,
rar
y.o
rg/
;w
ww
.
darf.
bei dieser Elimination wird
bio
log
iez
en
tru
m.
at
schliessen, deren
der Gleichungen so weit als möglich zu erhalten wünscht.
Da
,
/Xj
,
/x,.
Allein selbst
wenn man
die lineare
dies in unserer Absicht
wollen wir in folgender Weise verfahren: Das System (41) enthält nur zwei Grössen,
die eliminirt werden sollen, nämlich A, und X.^ und besteht aus lauter linearen Gleichungen.
Eliminirt
man
aus ihnen
übrigen Grössen a/
6/
,
und
X^
c/
,
,
.
X.^
.
man
so erhält
,
.
htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t
ylib
liegt,
eine Anzahl Gleichungen, die nur noch die
in sich schliessen. In
.
ganz gleicher Weise
lässt sich das
(41)
.
.
.
(42)
div
ers
ity
dem Systeme
.
Bio
aus
.
,
gewonnenen Gleichungen von den früheren
abgeleiteten nur dadurch unterscheiden können, dass hier die Unbe-
Zweifel, dass sich diese aus
kannten aj
dem Systeme
He
rita
g
,
eL
ibr
ary
System (42) durch Elimination von ji^ und /x> auf ein ähnliches System von Gleichungen bringen, in welchem weder /Xj noch /z^, sondern nur a/ b.2
erscheinen. Es ist auch kein
c.^'
treten,
beziehungsweise an die Stelle der dortigen «/ £/ c/
weil sich das System (42) von dem anderen (41) nur in den Unbekannten, aber keineswegs
in den Coefficienten unterscheidet. Hat man also die Eliminationsgleichungen für das System
Co'
,
Th
e
b.2
,
,
.
.
.
.
rig
ina
lD
ow
nlo
ad
f
rom
,
auch gleichzeitig jene für das System (42) mit Leichtigkeit daraus
Unbekannten:
wenn man
A)
die
Ca
mb
rid
ge
,M
ableiten,
;O
(41) gebildet, so lassen sich
Zo
olo
gy
(
5
z.
dieselben
^-2
5
of
alsogleich
(^1
1
Man denke
bilden.
sich
aus den Gleichungen
B. die drei folgenden herausgehoben:
of
the
(41),
Wir wollen
('2
Mu
se
um
ersetzt.
Co
m
pa
rat
ive
durch die anderen
-!-
«o ^2
X2
= a/
h^
--=^
6i ^1 -r
b-,
Cj /j
C, ^2 -—-
rsi
ty,
Er
ns
tM
ay
rL
ibr
ary
«1 Ai
Grössen
ive
und aus ihnen
chung
X^
und
A,
^'1
auf bekannte Weise eliminirt, so gelangt
man
zur Glei-
rva
rd
Un
die
-}-
the
Ha
:
<
[b, C2)
— bl
=
(a, c.) -f c/ (a, 6.)
0.
itis
ed
by
(43)
Dig
Die Ableitung derselben unterliegt keiner Schwierigkeit;
man
hat nänilicli nur die drei Glei-
chungen beziehungsweise mit den Multiplicatoren:
(ijCä)
,
—
(«1C2)
zu -multipliciren und hierauf zu addiren, so erhält
tionsgleichung,
wenn man auf
,
{(^ib.,)
man
unmittelbar die aufgestellte EHmiiia-
die zwei identisch erfüllten Relationen:
a,
a.,
61
c.,)
[bi
Cj.')
(
—
—
[cij c.,)
-\-
c, [11, b.,]
-- U
60 («, Co)
-j-
Co (a,
=
bi
b.,)
über die Auflösimg eines Systcmes
i-on
mehreren rmhestimmten Gleichungen
Rücksicht nimmt, deren Giltigkeit sich leicht erweisen
In vollkommen ähnliclier Weise
lässt.
lassen sich alle übrigen Eliminatiousglcichungen ableiten.
21
etc.
Man
liat
nämlich die beiden ersten
C.leichungen in (41) mit allen späteren der Reihe nach zu combinircn. Die dabei hervorder Buchstabe c durch die übrigen: d
L
(44)
«/
(6j Co)
<
(bi d^)
«i' (6, e»)
um
,
e
g
,
,
aus den (41) liervorgehenden Gleichungen folgende:
— &/
—
— 6/
i,'
c/ («i ^a)
-1-
((?!
Ca)
(ffli
(?,) -f
(?; («1 6o)
(«le.,) -r
e/ («, to)
jene in (41). Es
=
=
=
rar
y.o
rg/
;w
ww
.
und
/>,
ylib
durch Elimination von
von der (43) nur darin unterscheiden, dass
der Reihe nach ersetzt ist. Sonach sind
htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t
die
sich
bio
log
iez
en
tru
m.
at
gehenden Elimiuationsgleichungen werden
wohl überflüssig zu bemerken, dass
man auch andere Gleichungen hätte erhalten können, wenn man bei der Combination der
Gleichungen zu dreien in einer anderen Ordnung vorgegangen wäre. Diese Verschiedenheit
ist
zwei kleiner
als
ist
He
rita
g
eL
ibr
ary
Ihre Anzahl
Th
e
Bio
div
ers
ity
wäre aber nur eine Formverschiedenheit gewesen, keine wesentliche.
Dieses so eben erhaltene System (44) geht, wie eben früher bemerkt wurde, durch Ver-
^i'
,
,
c/
,
rig
ina
lD
«/
ow
nlo
ad
f
rom
wandlung der Grössen:
und
/ij
,
c,/
/x,
aus den (42) hervorgehenden (lleichuugen. Sie
Zo
olo
gy
(
über in die durch Elimination von
bj
,
Ca
mb
rid
aö
ge
,M
A)
;O
111
b.!
(6i Co)
«;
(6i
d)
— b:
aj
(ij
e-i)
—
(«1
c,,)
(a^do)
Mu
se
um
of
Co
m
cio
bo {a^
e.^)
^- c/ («1 Äg)
=
-'-
d.{ {a, b,)
^
-;-
e.,'
b.^)
=
(«i
ü
Form
der Gleichungen bewahrt wor-
tM
die lineaie
aber auch die (40) mit in die Elimination einbezogen, so hätte
ns
man
ist
Er
den. Hätte
ay
das hier eingeschlagene Verfahren
man
die nicht
rsi
ty,
Diir./h
rL
ibr
ary
of
the
(45)
---
pa
rat
ive
sind folgende:
(«1 *2)
«6;)=- 9
ed
by
the
Ha
rva
rd
Un
ive
linearen Gleichungen:
(cf
c,)—
.
(ft,
Co)
=
Dig
itis
46)
ia;d:)=^^^
gefunden. Hier also
ist,
eine der (16).
[ii)
hinzuzufügen.
z.
ist
.
ib;d:)=^^^^
zu den Gleichungen (44) und (45) noch die
B. die
[^a,b,)r^-^^
(
10).
oder, was dasselbe
Ignaz Heger.
22
Der nächste
mm
besteht
Scliritt
Bestimmung der Auflösungen in ganzen Zahlen
Wir beginnen wieder mit der allgemeinen Auflösung
in der
für die Gleichungen (44), (45), (47).
des Systemes (44), denn mit ihr
ist
zugleich jene des anderen Systemes (45) bekannt, da nur die
Unbelvaniiten andere Bezeichnungen tragen,
die Coefficienten jedoch
dieselben sind.
Die
bio
log
iez
en
tru
m.
at
allgemeine Auflösung des Systemes (44) enthält offenbar nur zwei willkürliche Grössen in
sich, wir wollen sie mit li und :yi bezeichnen. In gleicher Weise erscheinen in der allge-
meinen Auflösung des Systemes (45) wieder zwei willkürliche Grössen f, und
Substituirt man nun die Werthe von «/
in
die
so
geht
a.^
b.!
eine
Gleichung
hervor,
6/
(47)
welche nur noch die vier Grössen ^^ (f^ 3y, jy, enthält und in ganzen Zahlwerthen aufge,
,
Die dabei hervorgehenden Werthe von
soll.
^j
^^
htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t
werden
rar
y.o
rg/
;w
ww
.
,
löst
,
,
ylib
,
,
tj^^.
,
,
tj^
,
3y.,
sind dann die wirklich
brauchbaren. Man
sie in die allgemeinen Werthe von «/
i/
c/
r?,'
a.^
6./,
c'„
dann
die
Werthe
substituiren
und
besitzt
dieser
Grössen
und
hiemit
also
die
(1.2
wird
.
,
.
.
.
.
,
,
,
,
.
.
.
.
und Constanten der beiden gesuchten transformirten Gleichungen.
Die allgemeine Auflösung des Systemes (44) mit zwei unabhängigen Grössen
Form vorhanden:
folgender
nach
rom
Th
e
Bio
div
ers
ity
§. 2 in
ist
He
rita
g
eL
ibr
ary
Coefficienten
,
rig
ina
lD
^,
-4-
7ji
ist
A„
,
B^^
C^
,
,
D^,
,
E^,
eine speciel]e Auflösung in ganzen Zahlen. Eine solche
,
Zo
olo
gy
(
Hier
Ca
mb
rid
ge
,M
A)
e/
C,7i,
= A + Ali + A'yi
= E„ + E^
E,
;O
c/;
ow
nlo
ad
f
c'^a +C,^,+
(48)
und
es
können demnach diese Grössen durch Null
pa
rat
werden. Hiedurch gewinnt die allgemeine Auflösung des Systemes die
Form
the
Mu
se
um
of
Co
m
ersetzt
ive
begreift hier in sich lauter Nullwerthe,
c/^ci, + a^,
dl = i)i?i + A'?!
tM
ay
rL
ibr
ary
of
(49)
= All +
E.//}i
,
G.2
rd
B.,
D.,
,
rva
.
bestimmte Zahlen bedeuten. Die anderen
Ha
wo Ai
Un
ive
rsi
ty,
Er
ns
cV
Werth
ertheilt
Die Auflösung des Systemes (45)
ist
(1-2
in ähnlicher
-^^ -^1
Form vorhanden:
?'2
b;=^B,^,^B^,
(50)
c/=ac, +
a=7.
e:=E,^,^E^,
,
C,
,
Z),
.
.
wenn man B^
oder dergl.
itis
ed
B. den kleinsten numerischen
Dig
z.
by
the
liegen nocli einer Willkürliehkeit, die aber alsogleich behoben wird,
/?,
.
.
unter-
feststellt,
über die Auflösung eines S//stemes ton mehreren unbestimmtcv (llcichungcn
hei-vor.
man
h-i
,
Alan
dem
hat
Grössen
^villkiirliellen
ohne
erliält sie aueli
1, iiiul
Substituiren wir
r^.,.
die Wertlie
uiiii
Eeehnung
aller
vermittelst der Ergebnisse von
zufolge:
(a/
von
a,',
Gleichung
in die (47), so gehl die
6,;)
= [A, 5,) (f
Tj.^
,
=
.1, 1?, (I, :y,)
i?.
l)
,
denn
rar
y.o
rg/
;w
ww
.
,
rt./
bio
log
iez
en
tru
m.
at
nur mit anderen
/;,'
23
otc.
.
dass sie durch ganze
.
Werthe dieser Grössen
htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t
•,
ylib
woraus mit Hilfe der (49) die (51) alsogleich hervorgeht. Diese Gleichung stellt die Bedingungsgleiclmng für Ci Co J^i ^i vor. Sie ist nicht linear, aber es ist leicht einzusehen,
werden können nur daim. wenn
erfüllt
"'
'
nun A^ i?, zu suchen und in die Gleichung zu setzen.
Wir beginnen mit der Bestimmung von I?o. Hiezu dienen die nachfolgenden Gleichungen:
eine ganze Zahl
Es
ist
,
B., («1
e.,)
+
+
A
(«1 ^2)
E„
{a.-.
5.)
=
=
(»
div
ers
ity
d^
ow
nlo
ad
f
rom
Th
e
{a,
Bio
— B,
—
(52)
He
rita
g
eL
ibr
ary
ist.
Der blosse Anblick
C,
,
D,
(ßiC.)
,
(«id)
B,
,
E, ,....
,
A)
;O
(53)
rig
ina
lD
dieser Gleichungen lehrt, dass die Grössen:
(54)
(«i&a)
(«16.)
,
Zo
olo
gy
(
Da
proportional sind.
,
Ca
mb
rid
ge
,M
den andern
ferner laut §. 2 die Grössen Bo
,
,
C,
D.^
,
pa
rat
ive
verschiedenen Factor gemeinschaftlich besitzen dürfen, so hat
of
Co
m
ihren grössten gemeinschaftlichen Theiler zu dividiren,
erhält
man:
ist
Eo
.
,
man nur
.
keinen von Eins
.
Grössen (54) durch
alsogleich die Grössen (53) zu
die
unserer Bezeichnungsvsreise zufolge: ^^^
the
und demnach
Mu
se
um
finden. Dieser grösste gemeinschaftliehe Theiler
um
,
of
= + —— U = ± ——
ibr
ary
Bo
;
,
L>„
-
,
= ± ——
iio
;
,
= ± ——
;
,
.
.
.
.
ns
noch übrig, die anderen Grössen: A^
Er
ist
,
B^
,
C^
,
D^
,
E^
,
.... zu suchen und
rsi
ty,
Es
tM
ay
rL
(o5)
Un
ive
zwar aus dem Systeme von Gleichungen:
(b, c,)
Ha
rva
rd
A,
A,{b, d,)
A,
{b, e,)
(a, c.) 4- C, (a, 5,)
{a, d)
(«, ^2)
+
+
A (%
^2)
^1 («1
b,)
=
=
=
Dig
itis
ed
by
the
(56)
— B,
— B,
-A
Dieses System
ist
aufzulösen durch ganze Zahlenwerthe und dabei
soll
A^ den möglich
von Null verschiedenen Werth erlangen. Zuerst handelt es sich also darum diesen
Werth von A^ zu finden. Multipliciren wir diese Gleichungen beziehungsweise mit ganzen
kleinsten
Grössen
(57)
,
/'
.
(j
.
e
so erhält
man
A,\ib,c.;)y -r {b,d._)d-X- (5,e,)£
+
+
.
ichb.;)[c,r
.
.]
—A
[(«iC,)r
+
{a,d,^rl^
+ D,ö + E,s + ...]=.
{a,e.;)s-\-
.
.
.]
+
Ignaz Heger.
24
Wenn ;-,,£,
dem Systeme
.... völlig
vollkommen
(56)
Grössen bedeuten, so
willkiirliclie
äquivalent. Dies
denn eine solche Gleichung enthält
in sich schliesst,
diese Gleiclning
auch dann noch der Fall, wenn man für
ist
die aber
diese Multiplicatoren eine Bedingungsgleicliung aufstellt,
ß
ist
in ihrer
noch eine fernere Grösse
Auflösung, gleichgiltig ob
Diese Bedingungsgleichung
sind.
-L [a,
(«, b.^
(58)
d^
-l (a, d.^
c.,) ;-
sei:
{a,e.^s^
ö
c
,
sich in die
.
.
in
.
.
Gleichung (57) gesetzt, so geht
+
A,[{b,c.;)r
sie
über
in:
+
{h,d.)d-V{b,e.;)e^...]-B,[
eL
ibr
ary
(59)
(p
ylib
.
=
htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t
/•,
.
Die aus ihr hervorgehenden ganzen Werthe für
ihrer allgemeinen Form mit m willkürlichen Constanten, denke man
Sie verstattet stets ganze Auflösungen.
^?
.
.
sie
im Systeme
rar
y.o
rg/
;w
ww
.
Gleichungen vorhanden
bio
log
iez
en
tru
m.
at
in ganzen Zahlen geschieht oder nicht, gerade so viele willkürliche Grössen, als
He
rita
g
noch immer dem Systeme (56) äquivalent. Um den kleinsten Werth von A^ zu finden,
der einer ganzen Auflösung dieser Gleichung entspricht, schreibt die bekannte Eegel voi-, den
ist
div
ers
ity
und
Th
e
Bio
grössten gemeinschaftlichen Divisor der Coefficienten:
(«,i.,)Y
{a,b.;)d
,
I
{a,b.^s ....
,
ow
nlo
ad
f
,
rom
(p4'„~(a,b.;)ß
(60)
dei-
rig
ina
lD
zu dividiren durch den grössten gemeinschaftlichen Divisor aller dieser Grössen und
zeigt eine leichte Überlegung, dass
Ca
mb
rid
Nun
ge
,M
A)
;O
(^ic,)r4 {b,d.^d^-{b,e.;)s+
wenn
den grössten gemeinschaftlichen Factor
e
bezeichnet, die Coefficienten (60) höchstens (p(p,j als grössten
der Grössen ^
gemeinschaftlichen Factor aufweisen können. In der That ist der grösste gemeinschaftliehe
,
.
.
,
.
.
ive
Zo
olo
gy
(
,
Co
m
pa
rat
Factor von:
man nun den
Sucht
(«1 62) 0.
)
(«i^-..)«?
,
(«1^2)^
,
•
•
•
grössten gemeinschaftlichen Factor von
of
the
gleich
Mu
se
um
of
{<^A)r
tM
in beiden
Grössen
(fl,i.)^
als Factor, weil {a^b^ diesen
Factor enthält. Die
—
ns
so erscheint jedenfalls
ay
rL
ibr
ary
(61)
Un
ive
rsi
ty,
Er
ausser
(aj 63) /9 unmöglich vor,
weil nur ein Theil diesen Factor enthält, der andere aber gewiss nicht. Folglich könnte nun
im Ganzen
rd
höchstens noch
Ha
:
(b^ c.,)
y
+
also
(ij
tZ.,)
d
-\-
ib^e.^s A^
by
the
noch die Grösse
rva
ö,
Grössen (61) erscheinen. Fasst
Auge so zeigt
aber kann man weder
ins
,
Dig
Ai keinesfalls kleiner sein könne,
so ginge die
oder:
als ^^.
Gleichung (51) über in:
alsogleich,
das Erscheinen
itis
ed
dass in ihr jedenfalls (pü als Factor erscheint; von (f>„
noch das Fehlen unmittelbar nachweisen. Es geht hieraus hervor, dass der
sich
man nun
kleiiiste
In der That bestünde ein kleinerer Werth
z.
Werth von
B.yli= —
über die Auflösung eines Sjistemes ron mehreren
Diese Gleichuno-
offenbar in
ist
Werilieu autlüslidi,
i;;uiz('ii
Gleichungen rfc
tiiilxstlmmtc))
z.
für
J>.
^
,
1
2."»
rj,
,
=: p
,
:^0. Ilienuis folgt, dass jedenfalls zwei (Gleichungen bestehen, deren Coeffieicnten ganz
:y,
sind, und deren Determinanten die oben verlangten Werthe:
^,
Folglich
verknüpften Determinanten
=
-1,
die
m
(c.r;.)
Dies
yl,
l.
unterliegt es keiner Schwierigkeit, auch
ist,
=
=
in:
aber
ist
iiui-
l'üi-
.
C\
I)^
,
.
...
Gleichung (59), so finden wir:
in die
f/i^
J!^
div
ers
ity
Substituiren wir
gemeinschaft-
^'„
Bio
Nachdem nun ^j bekannt
^^,[^7;,a,)/-+(^fyo^+(^:^.)s
+ .-.]-^.[^5^'.-K^.)A^J +
Diese Gleichung lässt sich durch
rig
ina
lD
ow
nlo
ad
f
(65)
ei'sclieint.
(^'„
Bedingungsgleiehung (62) verwandelt sich
zu finden.
den Faetor
a.,'
ist:
(63)
und
und
htt
p:/
/w
ww
.bi
od
ive
rsi
t
der Fall.
c/
He
rita
g
1
«,'
Th
e
=
sollen
rom
/>
Nun
0.
ylib
den mit
lich besitzen, Aveil er in
=
a_;
,
rar
y.o
rg/
;w
ww
.
hat hier (7/1=-^"
eL
ibr
ary
Man
besitzen.
bio
log
iez
en
tru
m.
at
(ajC.,)
fff, />.,)
abkürzen, und gewinnt dadurch die Form:
^
^^^l^s+
.
.
'
.]-BAl^^ß]+
ive
Zo
olo
gy
(
(66)
h:!ilj
Ca
mb
rid
llh^y ^
ge
,M
A)
;O
^{/'„
Da
ist.
es sich aber
nun
um
ist
dies eine unbe-
irgend eine beliebige Auf-
Mu
se
um
of
stimmte Gleichung, wie für sich klar
Co
m
pa
rat
Die hier angezeigten Divisionen lassen sieh wirklich ausführen. Es
lösung derselben handelt, so können wir noch Verfügungen
dürfen. Hier
eine einzige Grösse willkürlich, folglich dai'f auch
ist
the
machen
nur ganze Auflösungen
of
nicht unmöglich
treffen, die
rL
ibr
ary
nur eine einzige Grösse zur willkürlichen Verfügung erwählt, oder, was dasselbe
ist
heisst, eine
die folgende:
ns
tM
ay
einziffe Bedino-unofsg'leichuno- aufo-estellt
werden. Für unsere Zwecke
Er
B,ß+C,r + D,d-^E,s+....^0
ive
rsi
ty,
(67)
Un
nämlich
stets
durch ganze Werthe auflöslich und verwandelt die
rva
rd
die zweckdienlichste. Sie ist
bestimmte Gleichung:
ed
by
the
Ha
(66) in die sehr einfache
B,
= ^[(b,c.^r +
{b^d.^0^
+
{b,e.^e
+
.
.
.J.
Dig
itis
(68)
Die entsprechenden Werthe von
Gleichungen des Systemes
Ci
(56), Avenn
^
man
D,
E^ findet
,
man
unmittelbar aus den einzelnen
A^ und B^ durch ihre Werthe (63) und (68)
ersetzt.
Sie sind zufolge der (58):
^
^
"'
~
?
(«1 *2)
l— {a,b.;)(b,c.;\ ß— (a, c,) (6, c,)
und mit Rücksicht auf die identisch
Iienkscbriften ik-r mathem.-naturw. Cl.
XIV.
;-
—
(a,
d) {b, c.) d— (a, e,)
erfüllten Relationen
Bd. Alihandl.
v. Kichlmil;;!.
(b, c,) c
+
.
.
.
.
J